2015届高三数学一轮复习练习：达标练习5三角函数模型的简单应用 必修四
高中数学 必修四 1.6三角函数模型的简单应用学业达标测试 新人教A版必修4
高中数学 1.6三角函数模型的简单应用学业达标测试1．方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内( )A ．没有根B ．有且仅有一个根C ．有且仅有两个根D ．有无穷多个根解析：结合函数y ＝cos x 和y ＝|x |的图象可知，方程|x |＝cos x 有且仅有两根． 答案：C2．电流I (A)随时间t (s)变化的关系是I ＝3sin 100πt ，t ∈[0，＋∞)，则电流I 变化的周期是( )A.150 B ．50 C.1100 D ．100解析：由题意知，T ＝2π100π＝150. 答案：A3．函数y ＝－x cos x 的部分图象是( )解析：首先该函数为奇函数，排除B 、D 选项，又当x ＝π6时，y ＜0，当x ＝π时，y ＞0，故选C.答案：D4．设某人的血压满足函数式p (t )＝115＋25sin 160πt ，其中p (t )为血压(mmHg)，t 为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数是________．解析：T ＝2π160π＝180(分)．f ＝1T＝80(次/分)． 答案：805．如图所示，一个摩天轮半径为10 m ，轮子的底部在地面上2 m 处，如果此摩天轮按逆时针方向转动，每30 s 转一圈，且当摩天轮上某人经过点P 处(点P 与摩天轮中心高度相同)时开始计时．(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式．(2)在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m?解：(1)设在t s 时，摩天轮上某人在高h m 处．这时此人所转过的角为2π30t ＝π15t ，故在t s 时，此人相对于地面的高度为h ＝10sin π15t ＋12(t ≥0)． (2)由10sin π15t ＋12≥17，得sin π15t ≥12，则52≤t ≤252. 故此人有10 s 相对于地面的高度不小于17 m.。
人教A版高中数学必修四北京四中同步复习三角函数三角函数模型的简单应用_巩固练习_提高,
【巩固练习】1. 02年北京国际数学家大会会标是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若直角三角形中较小的锐角为θ,大正方形的面积为1,小正方形的面积是125,则sin 2θ-cos 2θ的值是 ( ) (A) 1 (B) 2425(C) 725(D) -7252．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s cm 和时间t s 的函数关系式为：6sin 26s t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，那么单摆来回摆动一次所需的时间为（ ）A ．2πsB ．πsC ．0.5 sD ．1 s3．某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（A ）2sin 2cos 2-+αα； （B ）sin 3+αα（C ）3sin 1-+αα； （D ）2sin cos 1-+αα4．电流强度I （A ）随时间t （s ）变化的关系式是5sin 1003I t ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则当1200t =s 时，电流强度I 为（ ）A ．5 AB ．2.5 AC ．2 AD ．－5 A5．如图为一半径为3 m 的水轮，水轮圆心O 距离水面2 m ，已知水轮自点A 开始旋转，15 s 旋转一圈．水轮上的点P 到水面距离y （m ）与时间x （s ）满足函数关系sin()2y A x ωϕ=++，则有（ ）A ．215πω=，A=3 B ．152ωπ=，A=3 C ．215πω=，A=6 D ．152ωπ=，A=66．2008年北京奥运会的帆船比赛在青岛奥林匹克帆船中心举行，已知该中心比赛场馆区的海面上每天海浪高度y （米）可看作是时间t （0≤t ≤24，单位：时）的函数，记作()y f t =，经长期观测，()y f t =的曲线可近似地看成是函数cos y A t B ω=+，下表是某日各时的浪A ．1cos 126y t π=+ B ．13cos 262y t π=+C ．32cos62y t π=+ D ．13cos 622y t π=+7．如图所示，有一广告气球，直径为6 m ，放在公司大楼上方，当行人仰望气球中心的仰角∠BAC=30°时，测得气球的视角为β=1°，若β很小时，可取sin β≈β，试估算该气球的高BC 约为（ ）A ．70 mB ．86 mC ．102 mD ．118 m8．设()y f t =是某港口水的深度y （m ）关于时间t （h ）的函数，其中0≤t ≤24，下表是该港口某一天从0至24 h 记录的时间t 与水深y 的关系：经长期观察，函数()y f t =的图象可以近似地看成函数sin()y A t ωϕ=+的图象．下面的函数中，最能近似地表示表中数据间对应关系的函数是（ ）A ．123sin6y t π=+，t ∈[0，24]B ．123sin 6y t ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，t ∈[0，24] C ．123sin12y t π=+，t ∈[0，24]D ．123sin 122y t ππ⎛⎫=++⎪⎝⎭，t ∈[0，24]9．如图，是一弹簧振子做简谐振动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振子的位移，则这个振子振动的函数解析式是________． 10．甲、乙两楼相距60米，从乙楼望甲楼顶的仰角为45°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高度分别为________．11．如图表示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度h （米）在24小时内的变化情况，若变化情况近似于函数危sin()h A t ωϕ=+（ω＞0，ϕ＞0），则水面高度h 与时间t 的函数关系式为________．12．某昆虫种群数量在1月1日时低至700只，而在当年7月1日时高达900只，其数量在这两个值之间按正弦曲线呈规律性变化．（1）求出种群数量关于时间t 的函数解析式，t 以月为单位；根据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数sin y A t b ω=+的图象．（1）试根据数据表和曲线，求出sin y A t b ω=+的表达式；（2）一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度（船底与水面的距离）为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？（忽略离港所用的时间）则由勾股定理得：22()15x x ++=，解得5x =，sin ,cos 55θθ∴==，7sin 5cos θθ∴+=，进一步求得1sin 5cos θθ-=-，所以227sin cos 25θθ-=-，故选D.【解析】 155sin 1005sin 5cos (A)20032332I πππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5．【答案】A【解析】 ∵T=15，故2215T ππω==，显然max min y y -的值等于圆O 的直径长，即max min 6y y -=，故max min 6322y y A -===．6．【答案】B【解析】由周期T=12，得6πω=，maxmin 122y y A -==，max min 322y y B +==． 7．【答案】B【解析】由已知CD=3 m ，1180πβ=︒=，又sin 180CD AC πββ=≈=，∴1803172(m)AC π=⨯≈，∴BC=AC ·sin30°≈86（m ）．故选B ． 8．【答案】A【解析】在sin()y A t b ωϕ=++中，15932A -==． 159122b +==，2T πω=，而T=12，6πω=，显然0ϕ=． 9．【答案】52sin 24y t ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭【解析】A=2，T=2(0.5－0.1)=0.8，∴250.82πωπ==， 将点（0.1，2）代入52sin 2y t πϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭，得4πϕ=．10．【答案】60米，(60-米【解析】 如图甲楼的高度AC=AB=60米，在Rt △CDE 中，tan 3060DE CE =⋅︒==∴乙楼的高度为(60BD BE DE =-=-米． 11．【答案】6sin6h t π=-【解析】由题图知A=6，T=12，22126T πππω===，又由6sin 366πϕ⎛⎫⨯+=- ⎪⎝⎭，得cos 1ϕ=-，2k ϕππ=+，k ∈Z ．所以6sin 26sin 6sin 666h t k t t ππππππ⎛⎫⎛⎫=++=+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．12．【解析】（1）设所求的函数解析式为sin()y A t b ωϕ=++，则7009008002b +==，A=100，且212T πω==，所以2πω=．又12πωϕ⨯+=-．所以23πϕ=-．因此所求的函数解析式为2100sin 80063y t ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭． （2）图象（简图）如图．13．【解析】（1）从拟合的曲线可知，函数sin y A t b ω=+在一个周期内由最大变为最小需要9―3=6个小时，此为半个周期，所以函数的最小正周期为12小时，因此212πω=，6πω=．又当t=0时，y=10；当t=3时，y max =13，得b=10，A=13―10=3． 于是所求函数解析式为3sin106y t π=+．（2）由于船的吃水深度为7米，船底与海底的距离不少于4.5米，故在船舶航行时水深y 应大于等于7+4.5=11.5（米）．令3sin 1011.56y π=+≥，可得1sin62t π≥． ∴522666k t k πππππ+≤≤+（k ∈Z ）． ∴12k+1≤t ≤12k+5（k ∈Z ）．取k=0，则1≤t ≤5；取k=1，则13≤t ≤17； 而取k=2时，则25≤t ≤29（不合题意）．∴船只可以安全进港的时间为1～5点和13～17点，船舶要在一天之内在港口停留的时间最长，就应从凌晨1点（1点到5点都可以）进港，而下午17点（即13点到17点之间）前离港，在港内停留的时间最长为16小时．。
最新人教版高中数学必修四第一章三角函数(三角函数模型的简单应用)同步练习(含解析)
最新人教版高中数学必修四第一章三角函数（函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象2）同步练习（含解析）一、选择题1．要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象，只要将y ＝sin x 的图象( ) A ．向左平移π3个单位长度 B ．向右平移π3个单位长度 C ．向左平移π6个单位长度 D ．向右平移π6个单位长度 2．为得到函数y ＝cos(x ＋π3)的图象，只需将函数y ＝sin x 的图象( ) A ．向左平移π6个单位长度 B ．向右平移π6个单位长度 C ．向左平移5π6个单位长度 D ．向右平移5π6个单位长度 3．把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象向右平移π8个单位，所得图象对应的函数是( ) A ．非奇非偶函数B ．既是奇函数又是偶函数C ．奇函数D ．偶函数4．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( ) A ．y ＝cos 2x B ．y ＝1＋cos 2xC ．y ＝1＋sin(2x ＋π4) D ．y ＝cos 2x －1 5．为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象( ) A ．向左平移π4个长度单位 B ．向右平移π4个长度单位 C ．向左平移π2个长度单位 D ．向右平移π2个长度单位 6．把函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点向左平行移动π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，x ∈R B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6，x ∈RC ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈R D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，x ∈R二、填空题7．函数y ＝sin 2x 图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，所得图象的函数解析式为f (x )＝____________.8．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向左平移π6个单位，所得函数的解析式为____________． 9．为得到函数y ＝cos x 的图象，可以把y ＝sin x 的图象向右平移φ个单位得到，那么φ的最小正值是________．10．某同学给出了以下论断：①将y ＝cos x 的图象向右平移π2个单位，得到y ＝sin x 的图象；②将y ＝sin x 的图象向右平移2个单位，可得到y ＝sin(x ＋2)的图象；③将y ＝sin(－x )的图象向左平移2个单位，得到y ＝sin(－x －2)的图象；④函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象是由y ＝sin 2x 的图象向左平移π3个单位而得到的．其中正确的结论是______(将所有正确结论的序号都填上)．三、解答题11．怎样由函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，试叙述这一过程．12．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x (x ∈R ).(1)求f (x )的单调减区间；(2)经过怎样的图象变换使f (x )的图象关于y 轴对称？(仅叙述一种方案即可)．13．要得到y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象，只要将y ＝sin 2x 的图象( )A ．向左平移π8个单位B ．向右平移π8个单位C ．向左平移π4个单位D ．向右平移π4个单位 14．使函数y ＝f (x )图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩小到原来的12倍，然后再将其图象沿x 轴向左平移π6个单位得到的曲线与y ＝sin 2x 的图象相同，则f (x )的表达式为( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3参考答案与解析1．B 2.C 3.D4．B [将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝sin2(x ＋π4)，即y ＝sin(2x ＋π2)＝cos 2x 的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y ＝1＋cos 2x .]5．B [y ＝sin(2x ＋π6)4π−−−−−−−→向右平移个长度单位y ＝sin[2(x －π4)＋π6]＝sin(2x －π3)．] 6．C [把函数y ＝sin x 的图象上所有的点向左平行移动π3个单位长度后得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象，再把所得图象上所有的点的横坐标缩短到原来的12倍，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象．] 7．sin x8．y ＝cos 2x9.32π 解析 y ＝sin x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2向右平移φ个单位后得y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －φ－π2， ∴φ＋π2＝2k π，k ∈Z ，∴φ＝2k π－π2，k ∈Z . ∴φ的最小正值是32π. 10．①③11．解 由y ＝sin x 的图象通过变换得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象有两种变化途径： ①y ＝sin x ————→向右平移π3个单位y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3——————→纵坐标不变横坐标缩短为12 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 ②y ＝sin x ————→纵坐标不变横坐标缩短为12y ＝sin 2x ——————→向右平移π6个单位 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 12．解 (1)由已知函数化为y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.欲求函数的单调递减区间，只需求y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间．由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )， 解得k π－π12≤x ≤k π＋512π (k ∈Z )，∴原函数的单调减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋512π (k ∈Z )． (2)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝cos2⎝⎛⎭⎫x ＋π12. ∵y ＝cos 2x 是偶函数，图象关于y 轴对称，∴只需把y ＝f (x )的图象向右平移π12个单位即可． 13．A [y ＝sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8－π4――→向左平移π8个单位 y ＝cos[2(x －π8＋π8)－π4]＝cos(2x －π4)．] 14．D [方法一 正向变换y ＝f (x )——————→横坐标缩小到原来的12y ＝f (2x )——————→沿x 轴向左平移π6个单位y ＝f ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6，即y ＝f ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 所以f ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin 2x .令2x ＋π3＝t ，则2x ＝t －π3，∴f (t )＝sin ⎝⎛⎭⎫t －π3，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3. 方法二 逆向变换据题意，y ＝sin 2x 6π−−−−−−→向右平移个单位y ＝sin2⎝⎛⎭⎫x －π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3――→横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3.]。
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1.6 三角函数模型的简单应用一、选择题（每小题5分，共20分）1．电流强度I (A)随时间t (s)变化的关系式是I＝5sin(100πt ＋π3)，则当t ＝1200s 时，电流强度I为( )A ．5 AB ．2.5 AC ．2 AD ．－5 A 2．如图所示，一个单摆以OA 为始边，OB 为终边的角θ(－π<θ<π)与时间t (s)满足函数关系式θ＝12sin(2t ＋π2)，则当t ＝0时，角θ的大小及单摆频率是( )A.12，1π B ．2，1π C.12，π D ．2，π 3. 已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ(|φ|<π2)的图像经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )A ．T ＝6，φ＝π6 B ．T ＝6，φ＝π3C ．T ＝6π，φ＝π6D ．T ＝6π，φ＝π34. 如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的弧AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致是( )二、填空题(每小题5分，共10分)5．某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5 cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间t ＝0时，点A 与钟面上标12的点B 重合．将A 、B 两点的距离d (cm)表示成t (s)的函数，则d ＝________，(其中t ∈[0,60])．6．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0，|φ|<π2)的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f (x )的解析式为________．三、解答题(共70分)7．（15分）如图是一弹簧振子做简谐运动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振动的位移，求这个振子振动的函数解析式．8. （20分）一个被绳子牵着的小球做圆周运动(如图)．它从初始位置P 0开始，按逆时针方向以角速度ω rad/s 做圆周运动．已知绳子的长度为l ，求：(1)P 的纵坐标y 关于时间t 的函数解析式； (2)点P 的运动周期和频率；(3)如果ω＝π6 rad/s ，l ＝2，φ＝π4，试求y的最值；(4)在(3)中，试求小球到达x 轴的正半轴所需的时间．9．(20分) 在一个港口，相邻两次高潮发生时间相距12 h ，低潮时水的深度为8.4 m ，高潮时为16 m ，一次高潮发生在10月10日4∶00.每天涨潮落潮时，水的深度d (m)与时间t (h)近似满足关系式d ＝A sin(ωt ＋φ)＋h .(1)若从10月10日0∶00开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述该港口的水深d (m)和时间t (h)之间的函数关系；(2)10月10日17∶00该港口水深约为多少？(保留一位小数)(3)10月10日这一天该港口共有多少时间水深低于10.3 m?10. （15分）已知某海滨浴场的海浪高度()y 米是时间(024,t t≤≤单位：h)的函数，记作()y f t =，下表是某日各时的浪高数据：t 03 6 9 12 15 18 2124 y1.51.00.51.01.51.00.50.991.5经长期观测，()y f t =的曲线可近似地看成是函数cos y A t b ω=+.(1)求函数cos y A t b ω=+的最小正周期T ，振幅A 及函数表达式；(2)依据规定：当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，一天内的上午8:00时至晚上20:00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？1.6 三角函数模型的简单应用答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4答案二、填空题5． 6．三、解答题7.8.9.10.1.6 三角函数模型的简单应用 答案一、选择题1.B 解析：当t ＝1200 s 时，I ＝5sin(100π×1200＋π3)＝5cos π3＝2.5 A.2.A 解析：t ＝0时θ＝12sin π2＝12，由函数解析式易知单摆周期为2π2＝π，故频率为1π.3.A 解析： T ＝2πω＝2ππ3＝6，代入(0,1)点得sin φ＝12.∵－π2<φ<π2，∴φ＝π6.4.C 解析：令AP 所对圆心角为θ，由|OA |＝1，则l ＝θ，sin θ2＝d2，∴d ＝2sin θ2＝2sin l2，即d ＝f (l )＝2sin l2(0≤l ≤2π)，它的图象为C.二、填空题5. 10sin πt60解析： 如图，秒针每秒钟走10π60＝π6(cm)，∴L 弧AB ＝π6t (cm)，∴2θ＝πt 65＝πt30，∴θ＝πt 60，∴d AB ＝5×sin πt 60×2＝10sin πt 60.6. f (x )＝2sin(π4x －π4)＋7解析：由条件可知⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝9，－A ＋B ＝5，∴B ＝7，A ＝2.又T ＝2(7－3)＝8，∴ω＝π4，令3×π4＋φ＝π2， ∴φ＝－π4， ∴f (x )＝2sin(π4x －π4)＋7.三、解答题7.解： 设函数解析式为y ＝A sin(ωt ＋φ)，则A ＝2，由图象可知T ＝2×(0.5－0.1)＝45，∴ω＝2πT ＝5π2.∴5π2×0.1＋φ＝π2.∴φ＝π4. ∴函数的解析式为y ＝2sin(5π2t ＋π4)．8．解：(1)y ＝l sin(ωt ＋φ)，t ∈[0，＋∞)．(2)由解析式得，周期T ＝2πω，频率f ＝1T ＝ω2π. (3)将ω＝π6 rad/s ，l ＝2，φ＝π4代入解析式，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6t ＋π4，t ∈[0，＋∞)．最小正周期T ＝2πω＝2ππ6＝12.当t ＝12k ＋1.5，k ∈N 时，y max ＝2， 当t ＝12k ＋7.5，k ∈N 时，y min ＝－2.(4)设小球经过时间t 后到达x 轴正半轴， 令π6t ＋π4＝2π，得t ＝10.5， ∴当t ∈[0，＋∞)时，t ＝12k ＋10.5，k ∈N ，∴小球到达x 轴正半轴所需要的时间为10.5＋12k ，k ∈N .9. 解： (1)依题意知T ＝2πω＝12，故ω＝π6，h ＝8.4＋162＝12.2，A ＝16－12.2＝3.8，所以d ＝3.8sin(π6t ＋φ)＋12.2；又因为t ＝4时，d ＝16，所以sin(4π6＋φ)＝1，所以φ＝－π6，所以d ＝3.8sin(π6t －π6)＋12.2.(2)t ＝17时，d ＝3.8sin(17π6－π6)＋12.2＝3.8sin 2π3＋12.2≈15.5(m)．(3)令3.8sin(π6t －π6)＋12.2<10.3，有sin(π6t －π6)<－12，因此2k π＋7π6<π6t －π6<2k π＋116π(k ∈Z )，所以2k π＋4π3<π6t <2k π＋2π，k ∈Z ，所以12k ＋8<t <12k ＋12.令k ＝0，得t ∈(8,12)；令k ＝1，得t ∈(20,24)， 故这一天共有8小时水深低于10.3 m. 10. 解：(1)可得224T =，∴212T ωπ==，有6ωπ=，而振幅(1.50.5)20.5A =-÷=， ∴0.5cos 6y t b π=+，又当0t =时， 1.5y =，∴0.5cos0 1.5b +=，得1b =，∴0.5cos 16y t π=+；(2)由0.5cos 116t π+>，得cos 06t π>，∴22262k t k ππππ-<<π+，解得123123,k t k k -<<+∈Z ，而820t <<，取1k =，得915t <<， ∴可供冲浪者进行运动的时间为上午9:00时至下午15:00，共6小时.。
高中数学 第一章 三角函数 1.6 三角函数模型的简单应
1.6 三角函数模型的简单应用1.如图所示是一个简谐运动的图象,则下列判断正确的是()A.该质点的振动周期为0.7 sB.该质点的振幅为-5 cmC.该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度最大D.该质点在0.3 s和0.7 s时的位移为零解析:由题中图象及简谐运动的有关知识知,T=0.8 s,A=5 cm.当t=0.1 s或0.5 s时,v为零.答案:D2.函数y=cos x·|tan x|的大致图象是()解析:当-<x<0时,y=-sin x;当0<x<时,y=sin x;x=0时,y=0.象为选项C.答案:C3.如图,为了研究钟表与三角函数的关系,建立如图所示的坐标系,设秒针针尖位置P(x,y),若初始位置为P0,当秒针从P0(注:此时t=0)正常开始走时,那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为()A.y=sinB.y=sinC.y=sinD.y=sin解析:设y=sin(ωt+φ),其中ω<0.由=60,得|ω|=,∴ω=-.∴y=sin.又t=0时,y=,∴φ=.∴y=sin.答案:C4.动点A(x,y)在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12秒旋转一周.已知时间t=0时,点A的坐标是,则当0≤t≤12时,动点A的纵坐标y关于t(单位:秒)的函数的单调递增区间是()A.[0,1]B.[1,7]C.[7,12]D.[0,1]和[7,12]解析:由已知可得该函数的周期为T=12,ω=.又当t=0时,A,∴y=sin,t∈[0,12],可解得函数的单调递增区间是[0,1]和[7,12].答案:D5.据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上,按月呈f(x)=A sin(ωx+φ)+b的模型波动(x为月份),已知3月份达到最高价9千元,7月份价格最低为5千元,根据以上条件可确定f(x)的解析式为()A.f(x)=2sin+7(1≤x≤12,x∈N*)B.f(x)=9sin(1≤x≤12,x∈N*)C.f(x)=2sin x+7(1≤x≤12,x∈N*)D.f(x)=2sin+7(1≤x≤12,x∈N*)解析:令x=3,可排除D;令x=7,可排除B;由A==2,可排除C;由题意,可得A==2,b=7,周期T==2×(7-3)=8,∴ω=.于是f(x)=2sin+7,再代入点(3,9),结合φ的范围可求得φ=-.答案:A6.单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置O的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系为s=3sin,那么单摆来回摆动的振幅和一次所需的时间分别为.解析:由题意知,单摆来回摆动的振幅A=3(cm),来回摆动一次的时间T==4(s).答案:3 cm,4 s7.电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I=5sin,则当t= s时,电流I为A.解析:当t= s时,I=5sin=5sin=5cos.答案:8.若函数f(x)=sin x+2|sin x|,x∈[0,2π]的图象与直线y=k有且只有两个不同的交点,则k的取值范围是.解析:当x∈[0,π]时,sin x≥0,f(x)=3sin x;当x∈(π,2π]时,sin x≤0,f(x)=-sin x, 故函数f(x)的图象如下.若f(x)的图象与直线y=k有且只有两个不同的交点,则k∈(1,3).答案:(1,3)9.如图,弹簧上挂的小球做上下振动时,小球离开平衡位置的距离s(cm)随时间t(s)的变化曲线是一个三角函数的图象.(1)经过多长时间,小球往复振动一次?(2)求这条曲线的函数解析式;(3)小球在开始振动时,离开平衡位置的位移是多少?解:(1)由题中图象可知,周期T=2=π,所以小球往复振动一次所需要的时间为π≈3.14(s).(2)可设该曲线的函数解析式为s=A sin(ωt+φ)(A>0,ω>0,0≤φ<2π),t∈[0,+∞),从图象中可以看出A=4,T=2×=π.则=π,即ω=2,将t=,s=4代入解析式,得sin=1,解得φ=.所以这条曲线的函数解析式为s=4sin,t∈[0,+∞).(3)当t=0时,s=4sin =2(cm),故小球在开始振动时,离开平衡位置的位移是2 cm.10.已知某地一天从4时~16时的温度变化曲线近似满足函数y=10sin+20,x∈[4,16].(1)求该地区这一段时间内的温差;(2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存,那么在这段时间内,该细菌能生存多长时间? 解:(1)由函数易知,当x=14时函数取最大值,此时最高温度为30 ℃;当x=6时函数取最小值,此时最低温度为10 ℃,所以温差为30-10=20(℃).(2)∵4≤x≤16,∴x-,令15≤10sin+20≤25,∴-≤sin.∴-x-.∴≤x≤.∴该细菌的存活时间为(时).。
高考数学一轮总复习第四章三角函数与解三角形 5函数y=Asinωx+φ及三角函数的应用课件
命题角度1 函数的零点问题
例3 设常数使方程在区间,上恰有五个解 ，则 ( )
A. B. C. D.
解： .
√
作出函数在, 上的图象如图所示.
由图象，可知在区间, 上恰有五个解，只有 时才能成立.由，,，解得， ，
，， .所以 .故选C.
【点拨】研究的性质时，一般将 视为一个整体，利用换元法和数形结合思想解题.与三角函数相关的方程根的问题（零点问题）等常通过函数与方程思想化为图象交点问题，再借助图象分析.
图1
图2
A.200 B.400 C. D.
解：由题图，可得，，即，则 .故选D.
√
6.将函数 的图象上所有点向右平移个单位长度，得到如图所示的函数 的图象，则 ( )
A.0 B.1 C.2 D.
√
解：依题意，知，故 .的周期满足，得 ，所以，所以 .由，得 , .又，所以，所以 ，所以 .故选C.
图1
图2
A.函数 的最小正周期为12B. C.时，过山车距离地平面 D.一个周期内过山车距离地平面低于的时间是
√
√
√
解：由题意，知周期满足，解得 ，A正确.由，得.又 解得 所以.由，即，得 .因为，所以.所以 ,B错误. ，C正确.由，得，即 ， ，，解得， .所以一个周期内过山车距离地平面低于的时间是 ，D正确.故选 .
√
3.（2022年浙江卷）为了得到函数的图象，只要把函数 图象上所有的点( )
A.向左平移个单位长度 B.向右平移 个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移 个单位长度
解：因为，所以把函数 图象上的所有点向右平移个单位长度，即可得到函数 的图象.故选D.
高三数学一轮复习 4 函数y=Asin(wx+φ)的图像及三角函数模型的应用学案 文
学案4 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用班级______ 姓名__________导学目标：1.了解函数y＝A sin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝A sin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．【自主梳理】1．用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点．如下表所示．2.图象变换：函数y＝A sin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的图象可由函数y＝sin x的图象作如下变换得到：（1）相位变换：y＝sin x y＝sin(x＋φ)，把y＝sin x图象上所有的点向____(φ>0)或向____(φ<0)平行移动__________个单位．特别注意：由y＝sinωx→y＝sin(ωx＋φ)，是把y＝sinωx图象上所有的点向____(φ>0)或向____(φ<0)平行移动__________个单位．（2）周期变换：y＝sin (x＋φ)→y＝sin(ωx＋φ)，把y＝sin(x＋φ)图象上各点的横坐标____(0<ω<1)或____(ω>1)到原来的________倍(纵坐标不变)．（3）振幅变换：y＝sin (ωx＋φ)→y＝A sin(ωx＋φ)，把y＝sin(ωx＋φ)图象上各点的纵坐标______(A>1)或______(0<A<1)到原来的____倍(横坐标不变)．3．当函数y＝A sin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)，x∈(－∞，＋∞)表示一个振动量时，则____叫做振幅，T＝________叫做周期，f＝______叫做频率，________叫做相位，____叫做初相．函数y＝A cos(ωx＋φ)的最小正周期为__________．y＝A tan(ωx＋φ)的最小正周期为________． 【自我检测】1．要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象，可以把函数y ＝sin 2x 的图象( )A ．向左平移π8个单位B ．向右平移π8个单位C ．向左平移π4个单位D ．向右平移π4个单位2．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)(x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝cos ωx的图象，只要将y ＝f (x )的图象 ( )A ．向左平移π8个单位长度B ．向右平移π8个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度3．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的一条对称轴方程是 ( )A ．x ＝π6B ．x ＝π3C ．x ＝π12D ．x ＝5π124．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4 (x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π.将y ＝f (x )的图象向左平移|φ|个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则φ的一个值是 ( )A.π2B.3π8C.π4D.π85．若动直线x ＝a 与函数f (x )＝sin x 和g (x )＝cos x 的图象分别交于M 、N 两点，则|MN |的最大值为 ( )A ．1B.2C.3D ．2探究点一 三角函数的图象及变换【例1】 已知函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3。
人教A版必修4《三角函数模型的简单应用》同步练习含答案
人教A 版必修4《三角函数模型的简单应用》同步练习含答案测试卷（A 卷）（测试时刻：120分钟 满分：150分） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．如图为一半径为3米的水轮，水轮圆心距水面2米，已知水轮每分钟转4圈，水轮上的点到水面距离（米）与时刻（秒）满足关系式，则有 （ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵水轮的半径为3，水轮圆心距离水面2米，，又水轮每分钟旋转4圈，故转一圈需要秒，∴，∴，故选C.2．电流强度I(安)随时刻t(秒)变化的函数I ＝Asin ()ωt ＋φ(A>0，ω>0，0<φ<π2)的图象如图所示，则t ＝1100秒时，电流强度I ＝( )A ．－5安B ．5安C ．53安D ．10安 【答案】A3．某商品一年内每件出厂价在5千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx ＋φ)＋B(A>0，ω>0，|φ|<π2) 的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价7千元，7月份达到最低价3千元，按照以上条件能够确定f(x)的解析式是( )A ．f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4＋5(1≤x ≤12，x ∈N*)B ．f(x)＝7sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋5(1≤x ≤12，x ∈N*)C ．f(x)＝7sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4＋5(1≤x ≤12，x ∈N*)D ．f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋5(1≤x ≤12，x ∈N*)【答案】D【解析】按照题意，T ＝ 2(7－3)＝8，ω＝2πT ＝π4，由⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝7，－A ＋B ＝3， 得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2，B ＝5， 当x ＝3时，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4×3＋φ＋5＝7，得φ＝－π4.∴f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋5.故选D.4．一个大风车的半径为8m ，12min 旋转一周，它的最低点0P ，离地面2m ，风车翼片的一个端点P 从0P 开始按逆时针方向旋转，则点P 离地面距离()h m 与时刻(min)t 之间的函数关系式是（ ）A ．()8sin 106h t t π=-+ B ．()8cos 106h t t π=-+ C ．()8sin 86h t t π=-+ D ．()8cos 86h t t π=-+ 【答案】B5．为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖指向位置P(x ，y)．若初始位置为P0⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，秒针从P0(注：现在t ＝0)开始沿顺时针方向走动，则点P 的纵坐标y 与时刻t 的函数关系为( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t ＋π6B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π60t －π6C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t ＋π6D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t －π6【答案】C【解析】由题意，函数的周期为T ＝60，∴ω＝2π60＝π30.设函数解析式为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t ＋φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2(秒针是顺时针走动)．∵初始位置为P0⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，∴t ＝0时，y ＝12.∴sin φ＝12，φ可取π6.∴函数解析式为y ＝sin⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t ＋π6.故选C.6．如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(2，－2)，角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时刻t 的函数图象大致为( )【答案】C7.已知某人的血压满足函数解析式f(t)＝24si n160πt ＋110.其中f(t)为血压(mmHg)，t 为时刻(min)，则此人每分钟心跳的次数为( )A ．60B ．70C ．80D ．90【答案】C【解析】由题意可得f ＝1T ＝160π2π＝80.因此此人每分钟心跳的次数为80.故选C.8.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k.据此函数可知，这段时刻水深(单位：m)的最大值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10 【答案】C【解析】由图知－3＋k ＝2，k ＝5，y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋5，ymax ＝3＋5＝8.故选C.9. 【2017届福建省泉州市模拟三】海水受日月的引力，在一定的时候发生潮涨潮落，船只一样涨潮时进港卸货，落潮时出港航行，某船吃水深度（船底与水面距离）为4米，安全间隙（船底与海底距离）为1.5米，该船在2:00开始卸货，吃水深度以0.3米/小时的速度减少，该港口某季节每天几个时刻的水深如下表所示，若选择()sin y A x K ωφ=++（0,0A ω>>）拟合该港口水深与时刻的函数关系，则该船必须停止卸货驶离港口的时刻大致操纵在（要考虑船只驶出港口需要一定时刻）A. 5:00至5:30B. 5:30至6:00C. 6:00至6:30D. 6:30至7:00【答案】C10. 已知函数()()cos 02f x x ππϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，()()00f x f =-，则正确的选项是（ ）A ．0,16x πϕ==B ．04,63x πϕ== C ．0,13x πϕ== D ．02,33x πϕ==【答案】A 【解析】由函数的图象可知()302f =，即3cos 2ϕ=，因为02πϕ<<，因此6πϕ=，因为()()0302f x f =-=-，因此()03cos 2x πϕ+=-，因此076x ππϕ+=，解得01x =，故选A ．11．已知函数()sin 2f x x =向左平移6π个单位后，得到函数()y g x =，下列关于()y g x =的讲法正确的是（ ）A ．图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,3-π中心对称 B ．图象关于6π-=x 轴对称C ．在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡--6,125ππ单调递增D ．在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3,6ππ单调递减【答案】C 【解析】函数()sin 2f x x =的图象向左平移6π个单位，得到的图象对应的函数为⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin 62sin ππx x y ．关于A ，当3π-=x 时，03sin ≠⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πy ．图象不关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,3-π中心对称，∴A 不正确；关于B ，当6π-=x 时，00sin ==y ，图象不关于6π-=x 轴对称，∴B 不正确；关于C ，⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin πx y 的周期是π．当12π=x 时，函数取得最大值，1211π-=x 时，函数取得最小值，∵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⊂⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12,12116,125ππππ，∴在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡--6,125ππ单调递增，∴C 正确；关于D ，⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin πx y 的周期是π．当12π=x 时，函数取得最大值，∴在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3,6ππ单调递减不正确，∴D 不正确；故选：C ．12. 将函数)62sin(2)(π+=x x f 的图象向左平移12π个单位，再向上平移1个单位，得到)(x g 的图象.若9)()(21=x g x g ，且]2,2[,21ππ-∈x x ，则212x x -的最大值为（ ）A ．625π B ．635π C ．1249π D ．417π【答案】C第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.某时钟的秒针端点A 到中心O 的距离为5 cm ，秒针平均地绕点O 旋转，当时刻t ＝0时，点A 与钟面上标12的点B 重合，将A ，B 两点间的距离d ()cm 表示成t ()s 的函数，则d ＝_____________，其中t ∈[]0，60.【答案】10sin π60t. 【解析】如图所示，OA ＝OB ＝5()cm ，秒针由B 平均地旋转到A 的时刻为t ()s ，则∠AOB ＝π30t ，取AB 中点为C ，则OC ⊥AB ，从而∠AOC ＝12∠AOB ＝π60t.在Rt △AOC 中，AC ＝OAsin ∠AOC ＝5sin π60t ，∴d ＝AB ＝10sin π60t ，t ∈[]0，60.故填10sin π60t.14．某实验室一天的温度（单位： 0C ）随时刻t （单位： h ）的变化近似满足函数关系： ()102sin 123f t t ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭， [)0,24t ∈，该实验室这一天的最大温差为__________．【答案】4【解析】 因为()102sin 123f t t ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，因此731233t ππππ<+<，当31232t πππ+=时，即14t =时，函数()f t 取得最大值为10212+=，当1232t πππ+=时，即2t =时，函数()f t 取得最小值为1028-=， 因此一天的最大温差为1284-=．15.已知某种交流电电流I(A)随时刻t(s)的变化规律能够拟合为函数I ＝52sin ⎝⎛⎭⎪⎫100πt －π2，t ∈[0，＋∞)，则这种交流电在0.5 s 内往复运动的次数为________次．【答案】25.【解析】∵f ＝1T ＝ω2π＝100π2π＝50，∴0.5 s 内往复运动的次数为0.5×50＝25.故填25.16.某市的纬度是北纬21°34′，小王想在某住宅小区买房，该小区的楼高7层，每层3 m ，楼与楼之间相距15 m ，要使所买楼房在一年四季正午的太阳不被前面的楼房遮挡，最低应该选择第______层的房(地球上赤道南北各23°26′处的纬线分不叫南北回来线．冬季我国白天最短的一天冬至日太阳直射在南回来线上)．【答案】3.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解承诺写出文字讲明、证明过程或演算步骤.）17．画出函数y ＝|cosx|的图象并观看其周期． 【答案】见解析.【解析】函数图象如图所示．从图中能够看出，函数y ＝|cosx|是以π为周期的波浪形曲线． 我们也能够如此进行验证：|cos(x ＋π)|＝|－cosx|＝|cosx|， 因此，函数y ＝|cosx|是以π为周期的函数．18.如图，某大风车的半径为2 m ，每12 s 旋转一周，它的最低点O 离地面0.5 m ．风车圆周上一点A 从最低点O 开始，运动t(s)后与地面的距离为h(m)．(1)求函数h ＝f(t)的关系式；(2)画出函数h ＝f(t)的图象．【答案】（1）y ＝－2cos πt 6＋2，h ＝f(t)＝－2cos πt6＋2.5.（2）见解析. 【解析】(1)如图，以O 为原点，过点O 的圆O1的切线为x 轴，建立直角坐标系，设点A 的坐标为(x ，y)，则h ＝y ＋0.5.设∠OO1A ＝θ，则cos θ＝2－y2， y ＝－2cos θ＋2.又θ＝2π12·t ＝πt6，因此y ＝－2cos πt 6＋2，h ＝f(t)＝－2cos πt6＋2.5. (2)列表：t 0 3 6 9 12 h0.52.54.52.50.5描点连线，即得函数h ＝－2cos π6t ＋2.5的图象如图所示：19. 以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店的销售价格时发觉：该商品的出厂价格是在6元基础上按月份随正弦曲线波动的，已知3月份出厂价格最高为8元，7月份出厂价格最低为4元，而该商品在商店的销售价格是在8元基础上按月份随正弦曲线波动的，并已知5月份销售价最高为10元，9月份销售价最低为6元，假设某商店每月购进这种商品m 件，且当月售完，请估量哪个月盈利最大？并讲明理由．【答案】6月份盈利最大. 【解析】由已知条件可得，出厂价格函数关系式为y1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋6，销售价格函数关系式为y2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －34π＋8，则利润函数关系式为y ＝m(y2－y1)＝m[2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －34π＋8－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4－6]＝－22msin π4x ＋2m.当x ＝6时，y ＝2m ＋22m ＝(2＋22)m ， 即6月份盈利最大．20. 设函数)(),0( )2sin()(x f y x x f =<<-+=ϕπϕ图像的一条对称轴是直线8π=x ．（1）求ϕ并用“五点法”画出函数)(x f y =在区间],0[π上的图像； （2）求函数)(x f y =的单调增区间；【答案】（1）34π-，图象见解析；（2）5[,],88k k k Z ππππ++∈． 【解析】（1）)(8x f y x ==是函数πΘ的图像的对称轴，,1)82sin(±=+⨯∴ϕπ.,24Z k k ∈+=+∴ππππ .43,0πϕϕπ-=<<-Θ.45,,2,0,2,43],45,43[432,],0[πππππππππ--=-∈-=∈t x t x 取时由知)432sin(π-=x y432π-x 43π- 2π- 02ππ 45π x 08π83π 85π 87π π y22-－1 0 1 022-故函数上图像是在区间],0[)(πx f y =（2）由题意得.,2243222Z k k x k ∈+≤-≤-πππππ 得：Z k k x k ∈+≤≤+,858ππππ因此函数.],85,8[)432sin(Z k k k x y ∈++-=πππππ的单调增区间为21. 已知电流I 与时刻t 的关系式为I=Asin(ωt+φ). (1)如图是I=Asin(ωt+φ) π0,||2ωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭在一个周期内的图象,按照图中数据求解析式;(2)如果t 在任意一段1150秒的时刻内,电流I=Asin(ωt+φ)都能取得最大值和最小值,那么ω的最小正整数值是多少?【答案】（1）I=300sin 7200π8π1717x ⎛⎫+⎪⎝⎭；（2）943.【解析】试题分析：（1）由已知中函数的图象，我们能够分析出函数的最大值，最小值，周期及专门点坐标，按照函数的解析式中参数与函数性质的关系，易得到函数的解析式． （2）由已知中如果t 在任意一段1150秒内I 能取到最大值和最小值, I=Asin (ωt+φ)的周期T ≤1150即可求解(2)∵t 在任一段1150秒内I 能取到最大值和最小值, ∴I=Asin(ωt+T ≤1150,即2π1150ω≤,ω≥300π≈943.22. 弹簧挂着的小球作上下振动，时刻t(s)与小球相对平稳位置(即静止时的位置)的高度h(cm)之间的函数关系式是h ＝2sin(2t －π4)， t ∈[0，＋∞)．(1)以t 为横坐标，h 为纵坐标，画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图；(2)小球开始振动的位置在哪里？(3)小球最高点、最低点的位置及各自距平稳位置的距离分不是多少？ (4)小球通过多长时刻往复振动一次？ (5)小球1s 能振动多少次？【答案】（1）见解析；(2) 小球开始振动时的位置为(0，－2)(平稳位置的下方2cm 处)．（3）2cm ；（4）0.318次/s ．【解析】(1)画出h ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2t －π4的简图(长度为一个周期)．按五个关键点列表：t π8 3π8 5π8 7π8 9π8 2t －π4π2π3π22π 2sin⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －π4 0 2 0 －2 0描点并将它们用光滑的曲线连接起来，即得h ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2t －π4(t ≥0)在一个周期的简图，如图所示．(2)t ＝0时，h ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－2，即小球开始振动时的位置为(0，－2)(平稳位置的下方2cm 处)．。
高中数学三角函数模型简单应用同步练习(一)人教版必修四.doc
三角函数模型简单应用 同步练习(一)一、选择题1．函数的2cos 3cos 2y x x =-+最小值为（ ） A ．2 B ．0 C ．41-D ．6 2．2sin 5cos )(+-⋅=x x x x f ，若a f =)2(，则)2(-f 的值为（ ）． A ．－a B ．2＋a C ．2－a D ．4－a3．设A 、B 都是锐角，且cosA ＞sinB 则A+B 的取值是 （ ）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ,2B ．()π,0C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0πD ．⎪⎭⎫ ⎝⎛2,4ππ 4．若函数)(x f 是奇函数，且当0<x 时，有x x x f 2sin 3cos )(+=，则当0>x 时，)(x f 的表达式为（ ）A ．x x 2sin 3cos +B ．x x 2sin 3cos +-C ．x x 2sin 3cos -D ．x x 2sin 3cos --5．下列函数中是奇函数的为( )A ．y=x x x x cos cos 22-+B ．y=xx x x cos sin cos sin -+ C ．y=2cosx D ．y=lg(sinx+x 2sin 1+) 二、填空题6．在满足x x 4πtan 1πsin +＝0的x 中，在数轴上求离点6最近的那个整数值是 ． 7．已知()sin 4f x a x =+（其中a 、b 为常数），若()52=f ，则()2f -=__________．8．若︒>30cos cos θ，则锐角θ的取值范围是_________．9．由函数⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤=6563sin 2ππx x y 与函数y ＝2的图象围成一个封闭图形，这个封闭图形的面积是_________． 10．函数1sin(2)2y x θ=+的图象关于y 轴对称的充要条件是 三、解答题11．如图，表示电流强度I 与时间t 的关系式),0,0)(sin(>>+=ωϕωA t A I 在一个周期内的图象. ①试根据图象写出)sin(ϕω+=t A I 的解析式 ②为了使)sin(ϕω+=t A I 中t 在任意一段1100秒的时间内I 能同时取最大值|A|和最小值－|A|，那么正整数ω的最小值为多少？12．讨论函数y=lgcos2x 的的定义域、值域、奇偶性、周期性和单调性等函数的基本性质 13．函数2()122cos 2sin f x a a x x =---的最小值为()()g a a R ∈，（1）求g a ()的表达式；（2）若1()2g a =，求a 及此时()f x 的最大值14．已知f(x)是定义在R 上的函数，且1()(2)1()f x f x f x ++=-(1)试证f(x)是周期函数. (2)若f(3)=，求f(2005)的值.15．已知函数)0,0)(sin()(πϕωϕω≤≤>+=x x f 是R 上的偶函数，其图象关于点⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛2π0，对称，且在,043πM 上是单调函数，求ϕω和的值．答案：一、选择题1．Ｂ 2．D 3．C 4．B 5．Ｄ二、填空题6．1 7．3 8．︒<<︒300θ 9．π34 10．,2k k Z πθπ=+∈ 三、解答题11．（1）)3100sin(300ππ+=t I （2）629=ω 12．定义域：(k π-4π,k π+4π),k ∈Z;值域]0,(-∞；奇偶性：偶函数；周期性：周期函数，且T=π;单调性：在(k π-4π,k π] (k ∈Z)上递增，在［k π,k π+4π)上递减 13．2()122cos 2sin f x a a x x =--- 2122cos 2(1cos )a a x x =----(1)函数()f x 的最小值为()g a 1.122a a <-<-当时即时，cos 1x =-由得 22()2(1)12122a a g a a =-----= 2.11222a a -≤≤-≤≤当时即时，cos 2a x =由得 2()122a g a a =--- 3.122a a >>当时即时，cos 1x =由，22()2(1)1222a a g a a =----得＝14a - (2) g a a ()=∴-≤≤1222有 2211243022a a a a -=++=－－得 14．(1)由1()(2)1()f x f x f x ++=-，故f(x+4)=)2(1)2(1+-++x f x f =1()f x - f(x+8)=f(x+4+4)=1(4)f x -+=f(x)，即8为函数()f x 的周期(2)由 f(x+4) =1()f x -，得f(5) =1(1)3f -= ∴f(2005)=f(5+250×315． 由f （x ）为偶函数，知|f （0）|=1,结合πϕ≤≤0，可求出2πϕ=． 又由图象关于⎪⎭⎫ ⎝⎛0,43πM 对称，知043=⎪⎭⎫ ⎝⎛πf ，即043cos =ωπ 又0>ω及()()()2,1,01232,,2,1,0243=+=∴=+=k k k k ωππωπ ． 当k=0,1即32=ω，2时，易验证f （x ）在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上单减；k ≥2时，f （x ）在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上不是单调的函数．综上所述22,32πωϕ==或。
核按钮(新课标)高考数学一轮复习 第四章 三角函数(基本初等函数(Ⅱ))4.5 三角函数模型的应用课件 文
(2)小球开始振动的位置在哪里？ (3)小球最高点、最低点的位置及各自距平衡位置的距离分别是多 少？ (4)小球经过多长时间往复振动一次？ (5)小球 1s 能振动多少次？
解：(1)画出 h＝2sin2t－π4的简图(长度为一个周期)．
按五个关键点列表：
t
π 3π 5π 7π 9π 88 8 8 8
的房(地球上赤道南北各 23°26′处的纬线分别叫南北回归线．冬季 我国白天最短的一天冬至日太阳直射在南回归线上)．
解：设最低高度为 h0，则由题意知，太阳的高度角为 90°
－|21°34′－（－23°26′）|＝45°，∴15＝t2a1n－45h°0 ，得 h0
＝6.
∴最低应选在第 3 层．故填 3.
1≤t≤12k＋5(k∈Z)．在同一天内取 k＝0 或 1，则 1≤t≤5 或 13≤t≤17.
所以该船最早能在凌晨 1 时进港，最晚下午 17 时出港，在港口最多停
留 16 小时．
点拨： (1)这是一道根据生活中的实例编拟的题目，由表中数据抽象 出数学问题(求解析式、解不等式)，从而得出船在港内最多停留 的时间，这一过程体现了数学建模的思想；(2)许多实际问题可以 根据以前的记录数据寻找模拟函数，再结合几个关键数据求出解
点拨： 利用函数图象的直观性，通过观察图象而获得
对函数性质的认识，这是研究数学问题的常用方法．
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必修Ⅳ达标练习（5） 三角函数模型的简单应用
1．交流电的电压U （单位：伏）与时间t （单位：秒）的关系可
用
22s i n (100)
6U t π
π=+来表示，则电压值的最大值为 ，第一次获得这个最大值的时间为 .
2．已知某种交流电电流()I A 随时间()t s 的变化规律为函数
：
[)),0,2
I t t π
π=-∈+∞，则这种交流电在0.5s 内往复运动的次数为__
次.
3．（2004湖北，12）设()y f t =是某港口水的深度y （米）关于时间t （时）的函
数，其中024t ≤≤.下表是该港口某一天从0时到24时记录的时间t 与水深y 的关系：
经长期观察，函数()y f t =的图象可以近似的看成函数sin()y k A t ωϕ=++的图象，下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是 （ ）
A []123sin ,0,246
y t t π=+∈ B []123sin(),0,246
y t t π
π=++∈
C []123sin ,0,2412y t t π=+∈
D []123sin(),0,24122
y t t ππ
=++∈
4 A 该质点的振动周期为0.7s B 该质点的振幅为5cm -
C 该质点在0.10.5s s 和时的振动速度最大
D 该质点在0.3s 和0.7s 的加速度为零
5 如图单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离()s cm 和时间()t s 的函数
关系式为6sin(2),6
s t π
π=+那么单摆来回摆动一次所需的时间为（ ）
A 2()s π
B ()s π
C 0.5()s
D 1()s
6 在两个弹簧上各挂一个质量分别为1M 和2M 的小球，做上下自由振动，已知
它们在时间()t s 离开平衡位置的位移12()s s cm 和分别由下列两式确定：
15sin(2);6
s t π
=+
210cos(2)3
s t π
=-
.则在时间23
t π
=
时，12s s 与的大小关系是（ ）
A 12s s >
B 12s s <
C 12s s =
D 不能确定。