第二章实数单元知识结构
八年级上册人教版数学第二章知识点归纳总结
八年级上册人教版数学第二章知识点归纳总结数学课本中介绍了大量的数学专题知识，尤其是应用题部分，是所有年级所有竞赛考试中必考的重点知识。
学生一定要在各个应用题专题学习的初期打下良好的基础。
下面是为大家整理的有关八年级上册数学第二章知识点，希望对你们有帮助!八年级上册数学第二章知识点1一、实数的概念及分类1、实数的分类一是分类是：正数、负数、0;另一种分类是：有理数、无理数将两种分类进行组合：负有理数，负无理数，0，正有理数，正无理数2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：(1)开方开不尽的数，如等;(2)有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等;(3)有特定结构的数，如0.1010010001…等;(4)某些三角函数值，如sin60o等二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数实数与它的相反数时一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零)，从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。
2、绝对值在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。
(|a|≥0)。
零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0;若|a|=-a，则a≤0.3、倒数如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1.零没有倒数。
4、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可)。
解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。
八年级上册数学第二章知识点2一、定义1、如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。
这条直线就是它的对称轴。
我们也说这个图形关于这条直线[成轴]对称。
2、把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称。
北师大版八年级上册第二章实数知识点梳理及题型解析
第二章《实数》知识点梳理及题型解析一、知识归纳 （一）平方根与开平方1. 平方根的含义若是一个数的平方等于a ，那么那个数就叫做a 的平方根。
即a x =2，x 叫做a 的平方根。
2.平方根的性质与表示⑴表示：正数a 的平方根用a ±表示，a 叫做正平方根，也称为算术平方根，a -叫做a 的负平方根。
⑵一个正数有两个平方根：a ±（根指数2省略） 0有一个平方根，为0，记作00= ，负数没有平方根⑶平方与开平方互为逆运算开平方：求一个数a 的平方根的运算。
a a =2==⎩⎨⎧-a a 00<≥a a()a a =2（0≥a ） ⑷a 的双重非负性0≥a 且0≥a （应用较广）例：y x x =-+-44 得知0,4==y x ⑸若是正数的小数点向右或向左移动两位，它的正的平方根的小数点就相应地向右或向左移动一名。
区分：4的平方根为____ 4的平方根为________4=4开平方后，得____3.计算a 的方式⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧精确到某位小数 ＝非完全平方类 ＝完全平方类 773294 *假设0>>b a ，那么b a >（二）立方根和开立方1．立方根的概念若是一个数的立方等于a ，呢么那个数叫做a 的立方根，记作3a2. 立方根的性质任何实数都有唯一确信的立方根。
正数的立方根是一个正数。
负数的立方根是一个负数。
０的立方根是０. 3. 开立方与立方开立方：求一个数的立方根的运算。
()a a =33a a =33 33a a -=-（a 取任何数）这说明三次根号内的负号能够移到根号外面。
*０的平方根和立方根都是０本身。
（三）推行： n 次方根１. 若是一个数的n 次方（n 是大于１的整数）等于a ，那个数就叫做a 的n 次方根。
当n 为奇数时，那个数叫做a 的奇次方根。
当n 为偶数时，那个数叫做a 的偶次方根。
２. 正数的偶次方根有两个：n a ±；０的偶次方根为０：00=n ；负数没有偶次方根。
北师大版数学八年级上册第二章实数单元复习课课件
④8的立方根是___2____.
图Z2-2
6. (202X湘潭)在数轴上到原点的距离小于4的整数可以为
_3_（__答__案__不__唯__一__）____.（任意写出一个即可）
7. 下列数中：①-|-3|；②-0.3；③
④
⑦0；⑧1.202 002 000 2…（每两个2之间依次多一个0），⑨
无理数是__③__④__⑧___，整数是__①__⑥__⑦___，负分数是___②__⑨____.（
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无理数 概念：无限不循环小数
算术平方根
实
定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即
数 平方根 x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根.
规定：0的算术平方根是0.
表示方法：正数a的算术平方根表示为 读作
“根号a”
续表
平方根 定义：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2 = a，那么这个 数叫做a 的平方根（二次方根）. 平 性质: 实 方 ①一个正数有两个平方根，它们互为相反数； 数 根 ②0只有一个平方根，它是0本身； ③负数没有平方根
运算：实数的运算法则及运算律对二次根式仍然适用
专题1 平方根、立方根
1. （202X南京）3的平方根是( D )
A. 9
B.
C.
D. ±
2.
的算术平方根的倒数是（ C ）
A.
B. ±
C.
D. ±
3.有理数8的立方根为（ B ）
A.-2
B.2
C.±2
D.±4
4. 下列计算正确的是（ D ）
A.
=-3 B.
+(7-c)2=0，求-2a-b-c的立方根.
解：因为|a+3|+
北师大版数学八年级上册 第二章 实数 知识点总结
第二章 实数考点一、实数的概念及分类1、实数的分类正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数实数 负有理数正无理数无理数 无限不循环小数负无理数整数包括正整数、零、负整数。
正整数又叫自然数。
正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。
2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数，如sin60o 等（这类在初三会出现）考点二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=-b ，反之亦成立。
2、绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。
零的绝对值是它本身，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。
正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。
3、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1。
零没有倒数。
考点三、平方根、算数平方根和立方根1、平方根如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。
一个数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
正数a 的平方根记做“a ±”。
2、算术平方根正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
a （a ≥0） 0≥a ==a a 2 ；注意a 的双重非负性：-a （a <0） a ≥03、立方根如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。
一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
北师大版八年级数学第二章实数知识点
实数 第二章 实数1．有理数，无理数概念：有理数：任何有限小数和无限循环小数都是有理数。
无理数：无限不循环小数叫做无理数。
2．平方根和算术平方根的概念及其性质：（1）概念：如果2x a =，那么x 是a 的平方根，记作：a 的算术平方根。
（2）性质：①当a ≥0；当a②2＝aa =。
（3）开平方：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方，期中a 叫做被开方数。
3．立方根的概念及其性质：（1）概念：若3a ，那么x 是a（2a =； ②3a =；（3）开立方：求一个数a 的立方根的运算，叫做开立方，期中a 叫做被开方数。
4．实数的概念及其分类：（1）概念：实数是有理数和无理数的统称；（2）分类：a 按定义分⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数实数 b 按大小分:⎪⎩⎪⎨⎧负实数零正实数在数轴上表示的两个实数,右边的数总比左边的数大.5．与实数有关的概念：在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义与有理数范围内的意义完全一致；在实数范围内，有理数的运算法则和运算律同样成立。
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数和数轴上的点是一一对应的。
因此，数轴正好可以被实数填满。
6．算术平方根的运算律：（a ≥0，b ≥0）；（a ≥0，b ＞0）；；公园有多宽1 估算无理数的方法是（1）通过平方运算，采用“夹逼法”，确定真值所在范围；（2）根据问题中误差允许的范围，在真值的范围内取出近似值。
2 “精确到”与“误差小于”意义不同。
如精确到1m是四舍五入到个位，答案惟一；误差小于1m，答案在真值左右1m都符合题意，答案不惟一。
在本章中误差小于1m就是估算到个位，误差小于10m就是估算到十位。
实数测试题参考答案一、1-5、CBABA 6-10、CADCD 11-12、CC二、13、±6,214、2，-315、3,±16、略17、4，-6,19618、8三、19、1.2，-0.3,10-3，，，20、0.1,5，，6,0,14321、4，-822、023、-1+24、6,4提示：设两直角边分别为2x和3x。
第二章：实数知识结构图
第二章：实数知识结构图一、实数的概念及分类1、实数的分类正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数实数 负有理数正无理数无理数 无限不循环小数负无理数2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一实质，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数值，如sin60o 等。
二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=-b ，反之亦成立。
2、绝对值在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。
（|a|≥0）。
零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。
3、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。
1和-1的倒数等于本身。
零没有倒数。
4、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。
实数与数轴的点是一一对应的。
三、平方根、算数平方根和立方根1、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。
特别地，0的算术平方根是0。
表示方法：记作“a ”，读作根号a 。
性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
2、平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根（或二次方根）。
表示方法：正数a 的平方根记做“a ”，读作“正、负根号a ”。
性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
3、开平方：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方。
八年级上册北师大版数学第二章-实数总结
第二章 实数一、实数的概念及分类1. 有理数，无理数概念：有理数： 整数和分数的统称（任何有限小数和无限循环小数都是有理数）。
无理数： 无限不循环小数叫做无理数。
实数: 是有理数和无理数的统称；2.分类：a 按定义分b 按正负分正有理数正实数实数 零 正无理数负有理数负实数负无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；例1.（1）下列各数：①3.141、②0.33333……、③75-、④π、⑤252.±、⑥32-、⑦0.3030003000003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有＿＿＿＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿＿＿＿。
（填序号）（2）有五个数:0.125125…,0.1010010001…,-π,4,32其中无理数有( )个 A 2 B 3 C 4 D 5二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数实数相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。
2、绝对值在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。
（|a|≥0）。
零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。
3、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1。
零没有倒数。
4、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。
八年级上册数学-第二章-知识点复习总结
第二章：实数本章的知识网络结构：知识梳理： 知识点一：平方根如果一个数x 的平方等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平方根；也即，当)0(2≥=a a x 时，我们称x 是a 的平方根，记做：)0(≥±=a a x 。
因此：当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；当a ＞0时，也就是a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：a x ±=。
当a ＜0时，也即a 为负数时，它不存在平方根。
例1.（1） 的平方是64，所以64的平方根是 ； （2） 的平方根是它本身。
（3）若x 的平方根是±2，则x= ；16的平方根是 （4）当x 时，x 23－有意义。
（5）一个正数的平方根分别是m 和m-4，则m 的值是多少？这个正数是多少？知识点二：算术平方根（1）如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”，读作，“根号a ”，其中，a 称为被开方数。
特别规定：0的算术平方根仍然为0。
（2）算术平方根的性质：具有双重非负性，即：)0(0≥≥a a 。
(3) 算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。
因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a ±。
例2.（1）下列说法正确的是 （ ）A ．1的立方根是1±；B ．24±=； C.81的平方根是3±； D.0没有平方根； （2）下列各式正确的是 （ ）A 、981±=B 、14.314.3-=-ππC 、3927-=-D 、235=- （3）2)3(-的算术平方根是 。
（4）若x x -+有意义，则=+1x ___________。
（5）已知△ABC 的三边分别是,,,c b a 且b a ,满足0)4(32=-+-b a ，求c 的取值范围。
数学中考《第二章实数》知识点聚焦
第二章实数知能图谱平方根⎩⎪⎨⎪⎧算术平方根的定义及性质平方根的定义及性质开平方运算立方根⎩⎨⎧立方根的定义及性质开立方运算实数与数轴的关系→实数与数轴上的点一一对应正有理数⎩⎨⎧正整数正分数负有理数⎩⎨⎧负整数负分数无理数⎩⎨⎧⎭⎬⎫正无理数负无理数无限不循环小数实数的运算及运算律⎩⎪⎨⎪⎧实数的加、减法实数的乘、除法实数的乘方、开方交换律结合律分配律实数的大小比较⎩⎨⎧直接法间接法第3讲平方根与立方根知识能力解读知能解读(一)算术平方根、平方根的定义及性质1．算术平方根的定义、表示及性质(1)定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即2x a=，那么这个正数x叫作a的算术平方根．规定：0的算术平方根是0．(2)表示方法：()0a a≥a”，a叫作被开方数．(3)性质：一个非负数的算术平方根的平方等于它本身，即()2a a=≥．注意：2(1)区别：①2两者运算顺序不同．②2中a的取值范围是0a≥a取正数、零、负数都可以．(2)联系：当0a≥时，2=．2．平方根的定义及性质(1)定义：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根或二次方根．这平方根与立方根有理数实数的分类实数就是说，如果2x a =，那么x 叫作a 的平方根．(2)表示方法：正数a 的平方根表示为a ”．(3)性质：正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 3．开平方运算求一个数a 的平方根的运算，叫作开平方．平方与开平方互为逆运算．根据这种互逆关系，可以求一个数的平方根．如4±的平方为()2416±=，所以，16的平方根为4±，即4=±．4．平方根与算术平方根的区别及联系 (1)区别： ①定义不同：“一个正数”与“一个数”含义不同．②个数不同：一个正数有两个平方根，而一个正数的算术平方根只有一个．③表示方法不同：正数a 的平方根表示为a (2)联系：①具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中的一种． ②存在条件相同：平方根和算术平方根都只有非负数才有． ③0的平方根、算术平方根均为0．④可以利用平方和开平方的互逆关系求一个非负数的算术平方根和平方根． 5．平方根(或算术平方根)的几个结论(1)式子0a ≥；)0a ≥表示a 0．(二)立方根的定义及性质(1)定义：一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫作a 的立方根或三次方根．这就是说，如果3x a =，那么x 叫作a 的立方根．(2)表示方法：a 的立方根(或三次方根)a 为被开方数，”中的3为根指数(根指数3不能省略)a ”或“a 的立方根”． (3)性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． (4)有关立方根的补充说明和公式：被开方数a 可为正数、零、负数，a 一致；=③3a ==．(5)开立方：求一个数的立方根的运算，叫作开立方．开立方与立方是互为逆运算的关系，负数(在实数范围内)不能开平方，但可以进行开立方运算．如12-的立方为18-，即31128⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，反过来，18-的立方根为12-，即12=-；3的立方为27，即3327=，反过来，27的立方根为33=．(三)(1)利用计算器求一个非负数的算术平方根时，只需要直接按书写顺序按键即可；求一个非负数的平方根时，则先求出它的算术平方根，再在前面添加符号．(不同计算器有不同的按键顺序)注意：(1)用计算器求一个非负数的负的平方根时，一般先求出算术平方根，然后再求其相反数，即负的平方根．(2)被开方数是分数时应化为小数；被开方数后面的0或小数点后的0比较多时，可先10n=将被开方数化简．(2)利用计算器求一个数的立方根时，只需要直接按书写顷序按键即可，若遇到被开方数是负数时，“－”的输入可按()-，也可以按-．方法技巧归纳 方法技巧 (一)平方根与立方根的求法我们知道，平方与开平方、立方与开立方都互为逆运算，根据这种互逆关系，可以求一个数的平方根和立方根．(二)平方根与立方根性质的应用平方根的性质：一个正数有两个平方根，0的平方根是0，负数没有平方根，即只有非负数才有平方根．立方根的性质：一个正数有一个正的立方根，一个负数有一个负的立方根，0的立方根是0．(三)算术平方根与立方根的综合应用 (四)用计算器求算术平方根、立方根 (五)根据一个数的平方根求这个数易混易错辨析易混易错知识12．2a 的算术平方根，a 可以取任意实数；2表示a 的算术平方根的平方，a 只能取非负数．23．误认为负数没有立方根．任何数都有立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 易混易错 (一)审题不认真，忽视语言叙述中含有的运算 (二)混淆平方根与算术平方根(三)在求形如“()20x a a =≥”的等式中的x 值时易漏掉x 为负值的情况中考试题研究中考命题规律本讲是中考的热点内容，注重考查对概念、性质和意义的理解，如平方根、算术平方根的概念以及它们的性质和意义，另外对算术平方根非负性的考查也是重中之重，题型以填空题、选择题为主，有时也与其他知识点综合以解答题的形式出现． 中考试题 (一)平方根、立方根、算术平方根的概念、性质 (二)算术平方根的非负性第4讲 实数 知识能力解读知能解读 (一)无理数、实数的定义及分类1．无理数的定义无限不循环小数叫作无理数．点拨：判断一个数是不是无理数，应看这个数是否满足“小数”“无限”和“不循环”这三个条件．2．实数的定义及分类有理数和无理数统称实数，实数分类如下： (1)按定义分类实数⎩⎪⎨⎪⎧有理数⎩⎨⎧⎭⎬⎫整数分数有限小数和无限循环无理数：无限不循环小数(2)按性质分类正有理数⎩⎨⎧正整数正分数正无理数零负有理数⎩⎨⎧负整数负分数负无理数(二)实数的有关性质数的范围从有理数扩充到实数以后，实数范围内的相反数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、绝对值的意义完全一样．(1)实数a 的相反数为a -；0的相反数是其本身；若a 与b 互为相反数，则0a b +=，反之亦然．(2)实数a 的绝对值表示为a ；一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，即()()()0000a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩．(3)实数与数轴上的点是一一对应的，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．点拨：已知实数a ，b 在数轴上对应的点分别为A ，B ，则用a ，b 分别表示点A 、点B 到原点的距离；a b -表示点A 到点B 的距离．这是绝对值的几何意义．与规定有理数的大小一样，对于数轴上的两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大． (三)实数的运算实数和有理数一样，可进行加、减、乘、除、乘方、开方运算；有理数范围内的运算律、运算法则在实数范围内仍适用．交换律：a b b a +=+，ab ba =；结合律：()()a b c a b c ++=++，()()ab c a bc =； 分配律：()a b c ab ac +=+． (四)实数的大小比较(1)数轴比较法： (2)代数比较法； (3)差值比较法；(4)商值比较法；(5)倒数比较法：若11a b>，0a >，0b >，则a b <； 实数正实数负实数(6)平方比较法：若0a >，0b >，22a b >，则a b >；(7)开方比较法：若0a >，0b >>a b >；(8)估算法：在实数的大小比较中，当遇到无理数时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替，再进行比较．方法技巧归纳方法技巧 (一)无理数的识别识别无理数，常常与有理数综合在一起进行辨析，主要把握“无限”和“不循环”两个特点．初中所学的无理数归纳起来有三类：(1)(2)化简后含有π的数，如π5-；(3)特殊结构的无限不循环小数(构造型的无理数)，如0.020020002⋅⋅⋅(相邻两个2之间依次多一个0)． (二)实数大小比较的方法实数的大小比较包括有理数的大小比较和无理数的大小比较，另外还包括有理数与无理数的大小比较．有时综合多个知识点进行考查．常用的方法有特殊值法、平方法等． (三)实数与数轴的关系所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不全表示有理数，因此有理数与数轴上的点之间不是一一对应关系；所有的无理数都能用数轴上的点来表示，但数轴上的点并不都表示无理数，所以无理数与数轴上的点也不是一一对应关系；数轴上的每一个点都表示实数，且所有的实数都能用数轴上的点来表示，所以实数与数轴上的点是一一对应关系．拓展：有序实数对与坐标平面上的点之间也是一一对应关系． (四)实数的运算当数的范围从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实效可以进行开立方运算．在进行实数运算时，有理数的运算法则及运算律等同样适用． (五)实数性质的应用 (六)借助数轴化简易混易错辨析易混易错知识1．对无理数的概念理解不透彻，只看表面形式．(1) (2)不带根号的不一定不是无理数，如是无理数． 2．误认为有分数线的数就是分数，导致判断失误，如π2不是分数，它是无理数． 3．混淆有理数与数轴和实数与数轴的关系，误认为有理数和数轴上的点也是一一对应的．易混易错 混淆无理数与有理数中考试题研究中考命题规律本讲主要考查实数的概念、性质及计算，尤其是实数的大小比较、实数与数轴的关系、实数中的新定义运算及规律探究等，是中考热点，无理数的估算是近几年中考的热点题目．题型以填空题、选择题为主． 中考试题 (一)实数的大小比较 (二)无理数的估算 (三)无理数的识别 (四)实数的运算(五)实数中的新定义题(六)实数运算中的规律探究问题(探究性考点)。
八年级数学上册第二章实数知识点总结+练习(K12教育文档)
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第二章：实数【无理数】1. 定义：无限不循环小数的小数叫做无理数；注：它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。
2. 常见无理数的几种类型:（1）特殊意义的数,如:圆周率π以及含有π的一些数，如:2—π，3π等；（2）特殊结构的数(看似循环而实则不循环）:如：2.010 010 001 000 01…（两个1之间依次多1个0）等.（3）无理数与有理数的和差结果都是无理数。
如:2-π是无理数(4）无理数乘或除以一个不 为0的有理数结果是无理数。
如2π，（5）开方开不尽的数,如:39,5,2等；应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如:9等；无理数也不一定带根号，如：π)3.有理数与无理数的区别：（1)有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式.例:（1）下列各数：①3。
141、②0。
33333……、③75-、④π、⑤252.±、⑥32-、⑦0.3030003000003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿。
（填序号)(2）有五个数：0。
125125…,0。
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第二章实数单元知识结构图
一、实数的概念及分类
1、实数的分类
厂正有理数>
厂有理数W 零卜有限小数和无限循环小数实嘔L负有理数」
厂正无理数
j 无理数彳卜无限不循环小数
L负无理数」
I 整数包括正整数、零、负整数。
] 正整数又叫自然数。
-正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。
2、无理数
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类：
（1）开方开不尽的数，如、、讣2等；
（2）有特定意义的数，如圆周率n或化简后含有n的数，如n+8等；
3 （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；
（4）某些三角函数，如sin60°等（这类在初三会出现）
二、实数的倒数、相反数和绝对值
1、相反数
实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=-b，反之亦成立。
2、绝对值
一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|%。
零的绝对值是它本身，若|a|=a,则a%；若|a|=-a，则a切。
正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。
3、倒数
如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1。
零没有倒数。
三、平方根、算数平方根和立方根
1、平方根
如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。
一个数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
正数a的平方根记做“ a ”。
2、算术平方根
正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“ ■. a ”。
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零
厂 a （a 0）厂j a 0 Ja2 a y;注意苗的双重非负性：y
匚-a （a<0）匚 a 0
3、立方根
如果一个数的立方等于a,那么这个数就叫做a的立方根（或a的三次方根）。
一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是
零。
注意：V a V a，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
四、科学记数法和近似数
1、有效数字
一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个
不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。
2、科学记数法
把一个数写做a 10n的形式，其中1 a 10，n是整数，这种记数法叫做科学记数法。
五、实数大小的比较
1、数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。
解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。
2、实数大小比较的几种常用方法
（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
(2)求差比较:设a、b是实数，
a b0a b,
a b0a b,
a b0a b
(3）求商比较法：设a、b 是两正实数，
a ’,a
1 a b a ’,
-1a b;-); 1 a b;
b b b
（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则a b a b （5）平方法：设a、b是两负实数，则a2 b2 a b
六、实数的运算（做题的基础，分值相当大）
1、加法交换律abba
2、加法结合律(a b) c a (b c)
3、乘法交换律ab ba
4、乘法结合律(ab)c a(bc)
5、乘法对加法的分配律a（b c） ab ac
6、实数混合运算时，对于运算顺序有什么规定？实数混合运算时，将运算分为三级，加减为一级运算，乘除为二级运算，乘方为三级运算。
同级运算时，从左到右依次进行；不是同级的混合运算，先算乘方，再算乘除，而后才算加减；运算中如有括号时，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序进行。
7、有理数除法运算法则就什么？有理数除法运算法则可用两种方式来表述：第一，
除以一个不等于零的数，等于乘以这个数的倒数；第二，两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
零除以任何一个不为零的数，商都是零。
8、什么叫有理数的乘方？幂？底数？指数？相同因数相乘的积的运算叫乘方，乘方的结果叫幂，相同因数的个数叫指数，这个因数叫底数。
记作: a n
9、有理数乘方运算的法则是什么？负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
正数的任何次幂都是正数。
零的任何正整数幂都是零。
10、加括号和去括号时各项的符号的变化规律是什么？去（加）括号时如果括号外的因数是正数，去（加）括号后式子各项的符号与原括号内的式子相应各项的符号相同；括号外的因数是负数去（加）括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相反。