高中数学课时跟踪检测(二)极坐标系新人教A版选修4_4
高二数学,人教A版,选修4-4 , 第2课时,极坐标,和直角坐标的互化 , 课件
[规律方法]
2
将点的直角坐标(x，y)化为极坐标(ρ，θ)时，
2
y 运用公式 ρ＝ x ＋y ，tan θ＝x(x≠0)即可．在[0,2π)范围内，由 y tan θ＝x(x≠0)求 θ 时， 要根据直角坐标符号特征判断出点所在的 象限．如果允许 θ∈R，再根据终边相同的角的意义，表示为 θ ＋2kπ(k∈Z)即可．
解析： (1)∵ρ＝2，θ＝0，
∴x＝2cos θ＝2，y＝2sin θ＝0， ∴将极坐标(2,0)化为直角坐标为(2,0)． 0 (2)∵ρ＝ －2 ＋0 ＝2，tan θ＝ ＝0， －2
2 2
由于点(－2,0)在 x 轴的非正半轴上，所以 θ＝π， ∴将直角坐标(－2,0)化为极坐标为(2，π)．
(2)互化公式： 设 M 是平面内任意一点， 它的直角坐标是(x， y)，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)， 于是极坐标与直角坐标的互化公式如表： 点M 互化 公式 直角坐标(x，y)
______ cos θ x＝ρ sin θ ______ y＝ρ
极坐标(ρ，θ)
x2＋y2 ρ2＝______
tan θ＝－1，θ∈[0,2π)， 3π 由于点(－1,1)在第二象限，所以 θ＝ 4 ，
∴直角坐标(－1,1)化为极坐标为
2 2
3π 2， 4 .
－1 3 (2)ρ＝ － 3 ＋－1 ＝2，tan θ＝ ＝3， － 3 7π 由于点(－ 3，－1)在第三象限，所以 θ＝ 6 ， ∴直角坐标(－
二 极坐标 第2课时 极坐标和直角坐标的互化
课标定位
1．了解极坐标系与直角坐标系的联系．
2．掌握极坐标和直角坐标的互化关系式．
高中数学第一讲极坐标系与平面直角坐标系的互化同步测试新人教A版选修4-4
极坐标系与平面直角坐标系的互化典题探究例1 将点M 的极坐标2(5,)3π化成直角坐标.例2将点M 的直角坐标)1,3(--化成极坐标.例3在极坐标系中,已知),6,2(),6,2(ππ-B A 求A,B 两点的距离。
例4已知,,A B C 三点的极坐标分别是52(2,),(6,),(4,6123πππ）,求ABC ∆的面积.演练方阵A 档（巩固专练）1．将点的直角坐标(－2，23)化成极坐标得( )． A ．(4，32π) B ．(－4，32π) C ．(－4，3π) D ．(4，3π) 2．点M 的极坐标是(2，3π)，则M 的直角坐标为（ ） A ．(1，3) B ．(−3，1) C ．(3，1) D ．(−1，3) 3．极坐标方程 cos ＝sin2( ≥0)表示的曲线是( )． A ．一个圆 B ．两条射线或一个圆 C ．两条直线D ．一条射线或一个圆4．极坐标方程θρcos ＋12＝ 化为普通方程是( )．A ．y 2＝4(x －1) B ．y 2＝4(1－x )C ．y 2＝2(x －1)D ．y 2＝2(1－x )5.点M 的直角坐标是(1,3)-，则点M 的极坐标为 . 6 化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为 .7.将下列各点的极坐标化成直角坐标:3(3,),(4,).42A B ππ--8.将下列各点的直角坐标化成极坐标:(4,43),(1,1).C D ---9.在极坐标系中,求下列两点之间的距离： (1)5(7,),(2,)44A B ππ； (2)11(6,),(4,)412A B ππ-.10.在符合互化条件的直角坐标系和极坐标系中，将下列直角坐标方程（极坐标方程）转化为极坐标方程（直角坐标方程）.（1）cos sin 0x y αα-=；（2）24cos52θρ=.B 档（提升精练）1．点P 在曲线 cos ＋2 sin ＝3上，其中0≤≤4π，＞0，则点P 的轨迹是( )．A ．直线x ＋2y －3＝0B ．以(3，0)为端点的射线C ． 圆(x －2)2＋y ＝1D ．以(1，1)，(3，0)为端点的线段2．设点P 在曲线 sin＝2上，点Q 在曲线＝－2cos上，则|PQ |的最小值为 ( )．A ．2B ．1C ．3D ．0 3．在满足极坐标和直角坐标互的化条件下，极坐标方程θθρ222sin 4＋ cos 312＝经过直角坐标系下的伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧''y ＝y x ＝ x 3321后，得到的曲线是( )． A ．直线 B ．椭圆 C ． 双曲线 D ． 圆4．在极坐标系中，直线2＝ 4π＋ sin )(θρ，被圆 ＝3截得的弦长为( )．A ．22B ．2C ．52D ．325 直线cos sin 0x y αα+=的极坐标方程为____________________6.极坐标方程24sin52θρ⋅=表示的曲线是 。
(必考题)高中数学高中数学选修4-4第一章《坐标系》检测题(答案解析)
一、选择题1．（理）在极坐标系中,圆2cos ρθ=的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ） A ．0()R θρ=∈ 和cos 2ρθ= B ．()2R πθρ=∈和cos 2ρθ=C ．()2R πθρ=∈和cos 1ρθ= D ．0()R θρ=∈和cos 1ρθ=2．已知曲线C 的极坐标方程为222123cos 4sin ρθθ=+，以极点为原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系，则曲线C经过伸缩变换123x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩后，得到的曲线是（ ）A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线3．已知圆C 与直线l 的极坐标方程分别为6cos ρθ=，sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭C 到直线l 的距离是（ ） A ．1B ．2CD．24．在极坐标系中，点(),ρθ与(),ρπθ--的位置关系为（ ） A ．关于极轴所在直线对称 B ．关于极点对称 C ．重合D ．关于直线()2R πθρ=∈对称5．在极坐标系中，由三条直线0θ=，3πθ=，cos sin 1ρθρθ+=围成的图形的面积为（ ） A ．14BCD ．136．在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程为2sin ρθ=，曲线2C的极坐标方程为ρθ=，若曲线1C 与2C 交于A 、B 两点，则AB 等于（ ）A ．1BC ．2D．7．221x y +=经过伸缩变换23x xy y ''=⎧⎨=⎩后所得图形的焦距（ ）A．B．C ．4D ．68．将2216x y +=的横坐标压缩为原来的12，纵坐标伸长为原来的2倍，则曲线的方程变为（ ）A ．22134x y +=B ．22213x y +=C ．222112x y +=D ．222134x y +=9．已知曲线C 与曲线5ρ=3cos?5sin?θθ-关于极轴对称，则曲线C 的方程为( )A ．10cos ρ=-π-6θ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．10cos ρ=π-6θ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．10cos ρ=-π6θ⎛⎫+⎪⎝⎭D ．10cos ρ=π6θ⎛⎫+⎪⎝⎭10．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程为22162x y+=，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()36πρθ+=，射线M 的极坐标方程为(0)θαρ=≥.设射线m 与曲线C 、直线l 分别交于A 、B 两点，则2211OAOB+的最大值为（ ） A ．34B ．25C ．23D ．1311．极坐标方程cos ρθ=与1cos 2ρθ=的图形是（ ） A ． B ． C ． D ．12．在同一平面直角坐标系中，将曲线1cos 23y x =按伸缩变换23x x y y ''=⎧⎨=⎩后为（ ）A ．cos y x ''=B ．13cos 2y x ''= C ．12cos3y x ''= D ．1cos32y x ''=二、填空题13．在极坐标系中，曲线C 的方程为28cos 10sin 320ρρθρθ--+=，直线l 的方程为0()R θθρ=∈，0tan 2θ=，若l 与C 交于A ，B 两点，O 为极点，则||||OA OB +=________．14．在极坐标系中，直线sin 24πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭4ρ=截得的弦长为______.15．（理）在极坐标系中，曲线sin 2ρθ=+与sin 2ρθ=的公共点到极点的距离为_________．16．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为：2cos 22sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），以Ox 为极轴建立极坐标系，直线l 30cos sin θθ-=，则圆C截直线l 所得弦长为___________． 17．两条直线sin 20164πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，sin 20174πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的位置关系是_______ 18．点C 的极坐标是(2,)4π,则点C 的直角坐标为______________ 19．在极坐标系中0,02,ρθπ>≤<，曲线cos 1ρθ=-与曲线=2sin ρθ的交点的极坐标为_______________。
人教A版高中数学选修4-4同步课时跟踪检测：第1讲 坐标系 二 第1课时
第一讲 坐标系 二 极坐标系 第一课时 极坐标系的概念课时跟踪检测一、选择题1．(2019·衡水期中)极坐标系中，与点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3相同的点是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3，5π3B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－2π3C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－4π3D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－5π3解析：因点π3与－5π3的终边相同，所以点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－5π3与点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3重合，故选D ．答案：D2．在极坐标系中，点(ρ，θ)与点(ρ，π－θ)的位置关系是( ) A ．关于极轴所在的直线对称 B ．关于极点对称 C ．重合D ．关于过极点且垂直于极轴的直线对称解析：如图，点A (ρ，θ)与点B (ρ，π－θ)关于过极点且垂直于极轴的直线对称．故选D ．答案：D3．(2019·北京海淀区期末)在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π4与点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，3π4的距离为( )A ．1B ． 2C ． 3D ． 5解析：依题意，点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π4和点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，3π4的距离d ＝12＋12－2×1×1×cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－3π4＝ 2.故选B ．答案：B4．在极坐标系中，确定点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，π6的位置，下面方法正确的是( ) A ．作射线OP ，使∠xOP ＝π6，再在射线OP 上取点M ，使|OM |＝2 B ．作射线OP ，使∠xOP ＝π6，再在射线OP 的反向延长线上取点M ，使|OM |＝2C ．作射线OP ，使∠xOP ＝7π6，再在射线OP 的反向延长线上取点M ，使|OM |＝2D ．作射线OP ，使∠xOP ＝－π6，再在射线OP 上取点M ，使|OM |＝2 解析：本题涉及极径ρ取负值的坐标表示，当ρ<0，确定点M (ρ，θ)的方法如下：作射线OP ，使∠xOP ＝θ，在OP 的反向延长线上取点M ，使|OM |＝|ρ|，故选B ．答案：B5．已知极坐标系中，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4，若O 为极点，则△OAB 为( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰锐角三角形D ．等腰直角三角形解析：∵A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，34π，∴|OA |＝2，|OB |＝2，∠AOB ＝34π－π2＝π4， ∴|AB |＝22＋(2)2－2×2×2×22＝2，∴△AOB 为等腰直角三角形．故选D ．答案：D6．与极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，π6不表示同一点的是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3，76πB ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－76πC ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－116πD ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，136π解析：由ρ＝－3的表示方法知，点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，76π，⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－116π，⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，136π与⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，π6表示同一点，故选B ． 答案：B 二、填空题7．将极轴绕极点顺时针方向旋转π4，得到射线OP ，在OP 上取一点M ，使|OM |＝2 018，则当ρ>0，θ∈[0,2π)时的点M 的极坐标为____________．解析：∵－π4＝－2π＋74π，∴点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018，74π.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018，74π 8．下列各点的相互位置关系：A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4π3，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3. ①A ，B 关于极轴所在直线对称；②A ，C 关于极点对称；③A ，D 关于过极点且垂直于极轴的直线对称．其中正确的是________．解析：在极坐标系中画出各点便知①②③都正确． 答案：①②③9．(2019·宝鸡中学期末)将极轴Ox 绕极点顺时针方向旋转π6得到射线OP ，在OP 上取点M ，使|OM |＝2，则当ρ＞0，θ∈[0,2π)时点M 的极坐标为________，它关于极轴的对称点的极坐标为________(ρ＞0，θ∈[0,2π))．解析：依题意，ρ＝|OM |＝2，与OP 终边相同的角为－π6＋2k π(k ∈Z )．∵θ∈[0,2π)，∴k ＝1时θ＝11π6，∴点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，11π6，它关于极轴对称的点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫2，11π6 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6三、解答题10．某大学校园的部分平面示意图如图，用点O ，A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 分别表示校门，器材室，操场，公寓，教学楼，图书馆，车库，花园，其中|AB |＝|BC |，|OC |＝600 m ．建立适当的极坐标系，写出除点B 外各点的极坐标(限定ρ≥0,0≤θ<2π且极点为(0,0))．解：以点O 为极点，OA 所在的射线为极轴Ox (单位长度为1 m)，建立极坐标系．由|OC |＝600 m ，∠AOC ＝π6，∠OAC ＝π2， 得|AC |＝300 m ，|OA |＝300 3 m.又|AB |＝|BC |， 所以|AB |＝150 m.同理，得|OE |＝2|OD |＝2|AC |＝300 2 m ，|OG |＝12|OE |＝150 2 m ， 所以各点的极坐标分别为O (0,0)，A (3003，0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫600，π6，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫300，π2，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫3002，3π4，F (300，π)，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫1502，3π4. 11．(2019·抚顺第一中学月考)已知定点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3，将极点O 移至O ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6处，极轴方向不变，求点P 的新的极坐标．解：设点P 的新的极坐标为(ρ，θ)，如图．则|OO ′|＝23，又|OP |＝4，∠POO ′＝π3－π6＝π6，在△OPO ′中，ρ2＝(23)2＋42－2×23×4×cos π6＝4，故ρ＝2，又sin ∠OPO ′23＝sin ∠POO ′2，所以sin ∠OPO ′＝sin π62×23＝32，所以∠OPO ′＝π3， 所以θ＝π3＋π3＝2π3，故点P 的新的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3.12．在极坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的极坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，B (2，π)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π3. (1)判断△ABC 的形状； (2)求△ABC 的面积． 解：(1)如图所示，由A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，B (2，π)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π3得，|OA |＝|OB |＝|OC |＝2，∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ＝2π3. ∴△AOB ≌△BOC ≌△AOC ， ∴|AB |＝|BC |＝|CA |， 故△ABC 为等边三角形．(2)由上述可知，|AC |＝2|OA |sin π3＝2×2×32＝2 3. ∴S △ABC ＝34×(23)2＝3 3.13．(2019·保定高二期末)在极坐标系中，与点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3关于极点对称的点的坐标是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－π3B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，4π3C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－2π3 解析：设点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3关于极点的对称点为P ′(ρ，θ)，则ρ＝|OP |＝2，θ＝(2k ＋1)π＋π3(k ∈Z )， 令k ＝－1，则θ＝－2π3，∴P ′⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－2π3.答案：D由Ruize收集整理。
2020年高中数学人教A版选修4-4课时跟踪检测 极坐标系 学生版
高中数学人教A 版选修4-4课时跟踪检测极坐标系一、选择题1.在极坐标系中与点A ⎝⎛⎭⎪⎫6，4π3重合的点是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π3 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫6，7π3 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫6，－2π3 D ．⎝⎛⎭⎪⎫6，2π32.在极坐标平面内，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，200π，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，201π)，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，－200π，H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π3，200π中互相重合的两个点是( )A ．M 和NB ．M 和GC ．M 和HD ．N 和H3.将点M 的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫10，π3化成直角坐标是( )A ．(5,53)B ．(53，5)C ．(5,5)D ．(－5，－5)4.在极坐标系中，ρ1=ρ2且θ1=θ2是两点M(ρ1，θ1)和N(ρ2，θ2)重合的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.若ρ1＋ρ2=0，θ1＋θ2=π，则点M 1(ρ1，θ1)与点M 2(ρ2，θ2)的位置关系是() A ．关于极轴所在直线对称B ．关于极点对称C ．关于过极点垂直于极轴的直线对称D ．两点重合6.在极坐标下，圆C ：ρ2＋4ρsin θ＋3=0的圆心坐标为( )A ．(2,0)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2C ．(2，π)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π2二、填空题7.点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6关于极点的对称点为________．8.直线l 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6，则直线l 与极轴的夹角等于________．9.在极坐标系中，已知A ⎝⎛⎭⎪⎫1，3π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4两点，则|AB|=________.10.在极坐标系中，定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32π，点B 在直线ρcos θ＋3ρsin θ=0上运动，当线段AB 最短时，点B 的极坐标为 .三、解答题11.将下列各点的直角坐标化为极坐标(ρ＞0,0≤θ＜2π)． (1)(3，3)；(2)(－1，－1)；(3)(－3,0)．12.在极轴上求与点A ⎝⎛⎭⎪⎫42，π4的距离为5的点M 的坐标．13.在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x=－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．求C 1，C 2的极坐标方程；14.已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t ，(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．。
2018_2019学年高中数学课时跟踪检测(二)极坐标系(含解析)新人教A版选修4_4
课时跟踪检测 (二) 极坐标系一、选择题1．已知点M 的极坐标是⎝⎛⎭⎪⎫－2，－π6，它关于直线θ＝π2的对称点的坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，11π6 B.⎝⎛⎭⎪⎫－2，7π6 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π6 D.⎝⎛⎭⎪⎫－2，－11π6 解析：选 B 在极坐标系中，描点⎝⎛⎭⎪⎫－2，－π6时，先找到角－π6的终边，再在其反向延长线上找到离极点2个单位长度的点，即为点⎝⎛⎭⎪⎫－2，－π6.直线θ＝π2就是极角为π2的那些点的集合．故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－π6关于直线θ＝π2对称的点为⎝⎛⎭⎪⎫2，π6，但选项中没有此点，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6还可以写成⎝⎛⎭⎪⎫－2，7π6，故选B. 2．点M 的直角坐标为(－3，－1)，化为极坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π6B.⎝⎛⎭⎪⎫2，7π6 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，11π6 D.⎝⎛⎭⎪⎫2，π6 解析：选B ∵点M 的直角坐标为(－3，－1)，∴ρ＝－32＋－2＝2，又点M 位于第三象限，且tan θ＝－1－3＝33，∴可取θ＝7π6，故选B. 3．极坐标系中的点A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π3到圆x 2＋y 2－2x ＝0的圆心的距离为( ) A ．2B ．1C ．3 D. 3解析：选D 点A 的极坐标⎝⎛⎭⎪⎫2，π3化为直角坐标为(1，3)，圆x 2＋y 2－2x ＝0的圆心为(1,0)，由两点间的距离公式得所求距离为 3.4．在复平面内，设点P 对应的复数为1＋i ，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，3π4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，34π D.⎝⎛⎭⎪⎫－1，π4解析：选A 设点P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，∵点P 的直角坐标为(1,1)，∴ρ＝|OP |＝2，θ＝π4，故选A. 二、填空题5．极点的极坐标为________．解析：因为极点对应的极径为0，极角为任意角，所以极点的极坐标为(0，θ)(θ∈R)． 答案：(0，θ)(θ∈R)6．在极坐标系中，已知A ⎝⎛⎭⎪⎫1，3π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4两点，则|AB |＝________. 解析： |AB |＝12＋22－2×1×2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－π4＝ 5. 答案： 5 7．直线l 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3，B ⎝⎛⎭⎪⎫3，π6，则直线l 与极轴夹角的大小为________．解析：如图所示，先在图形中找到直线l 与极轴夹角(要注意夹角是个锐角)，然后根据点A ，B 的位置分析夹角大小．因为|AO |＝|BO |＝3，∠AOB ＝π3－π6＝π6，所以∠OAB ＝π－π62＝5π12， 所以∠ACO ＝π－π3－5π12＝π4. 答案：π4三、解答题8．在极轴上求与点A ⎝⎛⎭⎪⎫42，π4的距离为5的点M 的坐标． 解：设M (r,0)，因为A ⎝⎛⎭⎪⎫42，π4， 所以22＋r 2－82r ·cos π4＝5，即r 2－8r ＋7＝0.解得r ＝1或r ＝7.所以M 点的坐标为(1,0)或(7,0)．9．(1)已知点的极坐标分别为A ⎝⎛⎭⎪⎫3，－π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4π3， C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3π2，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，7π4，求它们的直角坐标． (2)已知点的直角坐标分别为A (6，2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－63， C ()－6，－2，求它们的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．解：(1)根据x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫322，－322，B (－1，－3)，C ⎝⎛⎭⎪⎫0，－32， D (32，－32)．(2)根据ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x， 得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫63，3π2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π6. 10．在极坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的极坐标分别为A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，B (2，π)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π3. (1)判断△ABC 的形状；(2)求△ABC 的面积．解：(1)如图，由A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π3， B ()2，π，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π3，得|OA |＝|OB |＝|OC |＝2，∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ＝2π3. 所以△AOB ≌△BOC ≌△AOC ，所以|AB |＝|BC |＝|CA |，故△ABC 为等边三角形．(2)由上述可知， |AC |＝2|OA |sin π3＝2×2×32＝2 3.所以S △ABC ＝12×23×23×32＝3 3.。
人教版数学高二A版选修4-4检测 1-2 极坐标系
时间：45分钟满分：75分一、选择题(每小题5分，共30分)1．极坐标⎝⎛⎭⎪⎫1，2π3对应的点在以极点为坐标原点，极轴为横轴的直角坐标系的( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B解析 由题意可得ρ＝1，θ＝2π3， ∴x ＝ρcos θ＝－12，y ＝ρsin θ＝32，故它的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32在第二象限，故选B.2．已知点A ，B 的极坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3和⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6，则A 和B 之间的距离为( )A. 3 B ．2 3 C ．3 D ．1 答案 A解析 由已知得|OA |＝3，|OB |＝23，∠AOB ＝π6，所以|AB |＝ 32＋(23)2－2×3×23cos π6＝ 3.3．点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，π4关于极点O 对称的点的一个极坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，3π4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，5π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，7π4D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－7π4 答案 B解析 与点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π4关于极点对称的点的极坐标可表示为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，5π4＋2k π(k ∈Z )，故选B.4．若ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，则点M 1(ρ1，θ1)与点M 2(ρ2，θ2)的位置关系是( )A ．关于极轴所在直线对称B ．关于极点对称C ．关于过极点垂直于极轴的直线对称D ．两点重合 答案 A解析 因为点(ρ，θ)关于极轴所在直线对称的点为(－ρ，π－θ)．由此可知点(ρ1，θ1)和(ρ2，θ2)满足ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，是关于极轴所在直线对称．5．已知点M 的极坐标是⎝⎛⎭⎪⎫－2，－π6，它关于直线θ＝π2的对称点坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，11π6B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，7π6 C.⎝⎛⎭⎪⎫2，－π6D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－11π6 答案 B解析 当ρ<0时，我们找它的极角应按反向延长线上去找．描点⎝⎛⎭⎪⎫－2，－π6时，先找到角－π6的终边．又因为ρ＝－2<0，所以再沿反向延长线上找到离极点2个单位的点即点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－π6.直线θ＝π2，就是极角为π2的那些点的集合．故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－π6关于直线θ＝π2的对称点为M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，但是选项中没有这样的坐标．又因为M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6的坐标还可以写成M ′⎝⎛⎭⎪⎫－2，7π6，故选B.6．在极坐标系中，已知△OAB 的顶点A 的极坐标为(2，π)，AB 边的中点D 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，5π4.若以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则顶点B 的直角坐标为( )A ．(32，42)B ．(－32，42)C ．(－32，－42)D ．(32，－42)答案 C解析 设顶点B 的直角坐标为(x 0，y 0)．把A ，D 两点的极坐标化为直角坐标，得A (－2，0)，D (－22，－22)，则由中点坐标公式得－2＋x 02＝－22，0＋y 02＝－22，解得x 0＝－32，y 0＝－42，故顶点B 的直角坐标为(－32，－42)．二、填空题(每小题5分，共15分)7．限定ρ>0,0≤θ<2π时，若点M 的极坐标与直角坐标相同，则点M 的直角坐标为________．答案 (ρ，0)解析 点M 的极坐标为(ρ，θ)，设其直角坐标为(x ，y)，依题意得ρ＝x ，θ＝y ，即x 2＋y 2＝x 2.∴y ＝θ＝0，ρ>0，∴M(ρ，0)．8．已知极坐标系中，极点为O,0≤θ<2π，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3，在直线OM 上与点M 的距离为4的点的极坐标为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫7，π3或⎝ ⎛⎭⎪⎫1，4π3 解析 如图所示，|OM|＝3，∠xOM ＝π3，在直线OM 上取点P 、Q ，使|OP|＝7，|OQ|＝1，∠xOP ＝π3，∠xOQ ＝4π3，显然有|PM|＝|OP|－|OM|＝7－3＝4，|QM|＝|OM|＋|OQ|＝3＋1＝4.9．已知点P 在第三象限的角平分线上，且到横轴的距离为2，则当ρ>0，θ∈[0,2π)时，点P 的极坐标为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，54π解析 ∵点P(x ，y)在第三象限的角平分线上，且到横轴的距离为2，∴x ＝－2，且y ＝－2， ∴ρ＝x 2＋y 2＝22，又tan θ＝yx ＝1，且θ∈[0,2π)，∴θ＝54π.因此，点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，54π.三、解答题(每小题满分10分，共30分)10．在极轴上求与点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4的距离为5的点M 的坐标．解 设M(r,0)， 因为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4，所以(42)2＋r 2－82r·cos π4＝5.即r 2－8r ＋7＝0.解得r ＝1或r ＝7. 所以M 点的极坐标为(1,0)或(7,0)．11．(1)已知点的极坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2π3， C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－3π4，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，11π6，求它们的直角坐标； (2)已知点的直角坐标分别为A(3，3)，B ⎝⎛⎭⎪⎫0，－53，C(－1，－3)，求它们的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．解 (1)根据x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，532，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，C(－2，－2)，D(23，－2)．(2)根据ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx 得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，3π2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4π3. 12．△ABC 的顶点的极坐标为A ⎝⎛⎭⎪⎫4，4π3、B ⎝⎛⎭⎪⎫6，5π6、C ⎝⎛⎭⎪⎫8，7π6.(1)判断△ABC 的形状； (2)求△ABC 的面积． 解 ∠AOB ＝4π3－5π6＝π2， ∠BOC ＝7π6－5π6＝π3， ∠COA ＝4π3－7π6＝π6.(O 为极点)(1)|AB|＝|OA|2＋|OB|2＝42＋62＝213.|BC|＝|OB|2＋|OC|2－2|OB|·|OC|cos∠BOC＝213，|AC|＝|OA|2＋|OC|2－2|OA|·|OC|cos∠AOC＝45－2 3. 因为|AB|＝|BC|，所以△ABC是等腰三角形．(2)S△AOB＝12|OA|·|OB|＝12，S△BOC＝12|OB|·|OC|sin∠BOC＝123，S△COA＝12|OC|·|OA|sin∠COA＝8.所以S△ABC＝S△BOC＋S△COA－S△AOB＝123－4.。
人教新课标版数学高二A版选修4-4课后训练 极坐标系
二 极坐标系练习1若ρ1＝ρ2≠0，θ1－θ2＝π，则点M 1(ρ1，θ1)与点M 2(ρ2，θ2)的位置关系是( )．A ．关于极轴所在的直线对称B ．关于极点对称C ．关于过极点垂直于极轴的直线对称D ．重合2下列的点在极轴上方的是( )．A ．(3,0)B ．(3，76π) C ．(4，74π) D ．(4，174π) 3已知点M 的极坐标为(－5，3π)，下列所给出的四个坐标中不能表示点M 的坐标的是( )．A ．(5，3π-)B ．(5，43π)C ．(5，23π-)D ．(－5，53π-)4点P 的直角坐标为，那么它的极坐标可表示为( )．A ．(2，4π) B ．(2，34π) C ．(2，54π) D ．(2，74π) 5已知两点的极坐标A (3，2π)，B (3，6π)，则|AB |＝________，直线AB 的倾斜角为________．6若A (3，3π)，B (4，6π-)，则|AB |＝__________，S △AOB ＝________.(其中O 是极点) 7极坐标系中，点A 的极坐标是(3，6π)，则 (1)点A 关于极轴的对称点的极坐标是________；(2)点A 关于极点的对称点的极坐标是________；(3)点A 关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是________．(本题中规定ρ＞0，θ∈[0,2π))8已知边长为2的正方形ABCD 的中心在极点，且一组对边与极轴Ox 平行，求正方形的顶点的极坐标(限定ρ≥0,0≤θ＜2π)．9某大学校园的部分平面示意图如图用点O ，A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 分别表示校门，器材室，操场，公寓，教学楼，图书馆，车库，花园，其中|AB |＝|BC |，|OC |＝600 m ．建立适当的极坐标系，写出除点B 外各点的极坐标(限定ρ≥0,0≤θ＜2π且极点为(0,0))．10在极坐标系中，若A (3，3π)，B (4，76π)，求△ABO (O 为极点)的面积．参考答案1. 答案：B2. 答案：D 建立极坐标系，由极坐标的定义可得点(3,0)在极轴上，点(3，76π)，(4，74π)在极轴下方，点(4，174π)在极轴上方，故选D. 3．答案：A 化为直角坐标可知，点M 在第三象限，而选项A 中的点在直角坐标系中的第四象限．4. 答案：D ∵ρ2，tan θ＝－1，点P 在第四象限， ∴θ＝74π.∴点P 的极坐标为(2，74π)． 5. 答案：356π根据极坐标的定义可得|AO |＝|BO |＝3，∠AOB ＝60°，即△AOB 为等边三角形，所以|AB |＝|AO |＝|BO |＝3，∠ACx ＝56π(O 为极点，C 为直线AB 与极轴的交点)． 6. 答案：5 67. 答案：(1)(3，116π) (2)(3，76π) (3)(3，56π)8. 答案：解：由题意知，|OA |＝|OB |＝|OC |＝|OD |，∠xOA ＝4π，∠xOB ＝34π，∠xOC ＝54π，∠xOD ＝74π.∴正方形的顶点的极坐标分别为A ，4π)，B ，34π)，C ，54π)，D ，74π)．9. 答案：解：以点O 为极点，OA 所在的射线为极轴Ox (单位长度为1 m)，建立极坐标系，由|OC |＝600 m ，∠AOC ＝6π，∠OAC ＝2π，得|AC |＝300 m ，|OA |＝300m ，又|AB |＝|BC |，所以|AB |＝150 m.同理，得|OE |＝2|OG |＝m ，所以各点的极坐标分别为O (0,0)，A 0)，C (600，6π)，D (300，2π)，E ，34π)，F (300，π)，G ，34π)． 10. 答案：解：在△ABO 中，|OA |＝3，|OB |＝4，∠AOB ＝75636πππ-=，∴S △AOB ＝12|OA |·|OB |sin ∠AOB ＝12×3×4×sin 56π＝3.。
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课时跟踪检测(二) 极 坐 标 系
一、选择题
1．在极坐标平面内，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，200π，N ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π3，201π)，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，－200π，H ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2π＋π3
，200π中互相重合的两个点是( ) A ．M 和N
B ．M 和G
C ．M 和H
D ．N 和H 解析：选A 由极坐标的定义知，M ，N 表示同一个点．
2．将点M 的极坐标⎝
⎛⎭⎪⎫10，π3化成直角坐标是( ) A ．(5,53)
B ．(53，5)
C ．(5,5)
D ．(－5，－5)
解析：选A x ＝ρcos θ＝10cos π3＝5，y ＝ρsin θ＝10sin π3
＝5 3. 3．在极坐标系中，ρ1＝ρ2且θ1＝θ2是两点M (ρ1，θ1)和N (ρ2，θ2)重合的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选A 前者显然能推出后者，但后者不一定推出前者，因为θ1与θ2可相差2π的整数倍．
4．若ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，则点M 1(ρ1，θ1)与点M 2(ρ2，θ2)的位置关系是( )
A ．关于极轴所在直线对称
B ．关于极点对称
C ．关于过极点垂直于极轴的直线对称
D ．两点重合
解析：选A 因为点(ρ，θ)关于极轴所在直线对称的点为(－ρ，π－θ)．由此可知点(ρ1，θ1)和(ρ2，θ2)满足ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，关于极轴所在直线对称．
二、填空题
5．点⎝
⎛⎭⎪⎫2，π6关于极点的对称点为________． 解析：如图，易知对称点为⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，76π.
答案：⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，76π 6．在极坐标系中，已知A ⎝
⎛⎭⎪⎫1，3π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4两点，则|AB |＝________. 解析：|AB |＝
12＋22－2×1×2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4
－π4＝ 5. 答案： 5 7．直线l 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3，B ⎝
⎛⎭⎪⎫3，π6，则直线l 与极轴的夹角等于________．
解析：如图所示，先在图形中找到直线l 与极轴夹角(要注意夹角是个锐角)，然后根据点A ，B 的位置分析夹角大小．
因为|AO |＝|BO |＝3，
∠AOB ＝π3－π6＝π6
， 所以∠OAB ＝π－π62＝5π12
， 所以∠ACO ＝π－π3－5π12＝π4
. 答案：π4
三、解答题
8．在极轴上求与点A ⎝
⎛⎭⎪⎫42，π4的距离为5的点M 的坐标． 解：设M (r,0)，因为A ⎝
⎛⎭⎪⎫42，π4， 所以
42 2＋r 2－82r cos π4＝5， 即r 2－8r ＋7＝0.
解得r ＝1或r ＝7.
所以M 点的坐标为(1,0)或(7,0)．
9．将下列各点的直角坐标化为极坐标(ρ＞0,0≤θ＜2π)．
(1)(3，3)；(2)(－1，－1)；(3)(－3,0)．
解：(1)ρ＝ 3 2＋32＝2 3.tan θ＝33＝ 3.
又因为点在第一象限， 所以θ＝π3.
所以点(3，3)的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π
3.
(2)ρ＝ －1 2＋ －1 2＝2，tan θ＝1. 又因为点在第三象限，
所以θ＝5π
4.
所以点(－1，－1)的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4.
(3)ρ＝ －3 2＋02＝3，画图可知极角为π， 所以点(－3,0)的极坐标为(3，π)．
10．已知定点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π
3.
(1)将极点移至O ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π
6处极轴方向不变，求P 点的新坐标；
(2)极点不变，将极轴顺时针转动π
6角，求P 点的新坐标．
解：(1)设点P 新坐标为(ρ，θ)，
如图所示，由题意可知|OO ′|＝23，|OP |＝4，∠POx ＝π
3，∠O ′Ox ＝π
6，
∴∠POO ′＝π
6.
在△POO ′中，ρ2＝42＋(23)2－2·4·23·cos π
6＝16＋12－24＝4，∴ρ＝2. 又∵sin ∠OPO ′23＝sin ∠POO ′
2，
∴sin ∠OPO ′＝sin π62·23＝3
2，
∴∠OPO ′＝π
3.
∴∠OP ′P ＝π－π3－π3＝π
3，
∴∠PP ′x ＝2π3.
∴∠PO ′x ′＝2π
3.
∴P 点的新坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π
3.
(2)如图，设P 点新坐标为(ρ，θ)， 则ρ＝4，θ＝π3＋π6＝π
2.
∴P 点的新坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π
2.。