高中数学选修2-2课时作业1：3.1.2 复数的几何意义

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人教a版数学【选修2-2】练习：3.1.2复数的几何意义(含答案)

选修2-2 第三章 3.1 3.1.2一、选择题1．若OZ →＝(0，－3)，则OZ →对应的复数为( ) A ．0 B ．－3 C ．－3i D ．3[答案] C[解析] 由OZ →＝(0，－3)，得点Z 的坐标为(0，－3)， ∴OZ →对应的复数为0－3i ＝－3i.故选C.2．已知z 1＝5＋3i ，z 2＝5＋4i ，则下列各式正确的是( ) A ．z 1>z 2 B ．z 1<z 2 C ．|z 1|>|z 2| D ．|z 1|<|z 2| [答案] D[解析] 不全为实数的两个复数不能比较大小，排除选项A ，B. 又|z 1|＝52＋32，|z 2|＝52＋42， ∴|z 1|<|z 2|. 故选D.3．在复平面内，O 为原点，向量OA →对应复数为－1－2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB →对应复数为( )A ．－2－iB ．2＋iC ．1＋2iD ．－1＋2i [答案] B[解析] 由题意知A 点坐标为(－1，－2)，而点B 与点A 关于直线y ＝－x 对称，则B 点坐标为(2,1)，所以向量OB →对应复数为2＋i.故应选B.4．在复平面内，复数6＋5i 、－2＋3i 对应的点分别为A 、B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i [答案] C[解析] 由题意知A (6,5)，B (－2,3)，AB 中点C (x ，y )，则x ＝6－22＝2，y ＝5＋32＝4，∴点C 对应的复数为2＋4i ，故选C.5．复数1＋cos α＋isin α(π＜α＜2π)的模为( ) A ．2cos α2B ．－2cos α2C ．2sin α2D ．－2sin α2[答案] B[解析] 所求复数的模为 (1＋cos α)2＋sin 2α＝2＋2cos α＝4cos 2α2，∵π＜α＜2π，∴π2＜α2＜π，∴cos α2＜0，∴4cos 2α2＝－2cos α2.6．复数z ＝－2(sin100°－icos100°)在复平面内所对应的点Z 位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限[答案] C[解析] z ＝－2sin100°＋2icos100°. ∵－2sin100°<0,2cos100°<0， ∴点Z 在第三象限．故应选C. 二、填空题7．(2013·湖北文，11)i 为虚数单位，设复数z 1、z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1＝2－3i ，则z 2＝________.[答案] －2＋3i[解析] ∵z 1＝2－3i ，∴z 1对应的点为(2，－3)，关于原点的对称点为(－2,3)． ∴z 2＝－2＋3i.8．复数3－5i 、1－i 和－2＋a i 在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a 的值为________．[答案] 5[解析] 复数3－5i,1－i 和－2＋a i 在复平面内对应的点分别为(3，－5)，(1，－1)，(－2，a )，所以由三点共线的条件可得－1－(－5)1－3＝a －(－1)－2－1.解得a ＝5.9．若复数z ＝(m 2－9)＋(m 2＋2m －3)i 是纯虚数，其中m ∈R ，则|z |＝________. [答案] 12[解析] 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －3≠0m 2－9＝0，∴m ＝3，∴z ＝12i ，∴|z |＝12. 三、解答题10．实数m 分别取什么数值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i 是： (1)对应点在x 轴上方；(2)对应点在直线x ＋y ＋5＝0上．[解析] (1)由m 2－2m －15>0，得知m <－3或m >5时，z 的对应点在x 轴上方； (2)由(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)＋5＝0，得知： m ＝－3－414或m ＝－3＋414，z 的对应点在直线x ＋y ＋5＝0上．一、选择题11．若复数(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i 对应的点在虚轴上，则实数m 的值是( ) A ．－1 B ．4 C ．－1和4 D ．－1和6[答案] C[解析] 由m 2－3m －4＝0得m ＝4或－1，故选C.[点评] 复数z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )对应点在虚轴上和z 为纯虚数应加以区别．虚轴上包括原点，切勿错误的以为虚轴不包括原点．12．下列命题中，假命题是( ) A ．复数的模是非负实数B ．复数等于零的充要条件是它的模等于零C ．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件D ．复数z 1>z 2的充要条件是|z 1|＞|z 2| [答案] D[解析] ①任意复数z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )的模|z |＝a 2＋b 2≥0总成立．∴A 正确；②由复数相等的条件z ＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝0⇔|z |＝0，故B 正确；③若z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i(a 1、b 1、a 2、b 2∈R )，若z 1＝z 2，则有a 1＝a 2，b 1＝b 2，∴|z 1|＝|z 2|. 反之由|z 1|＝|z 2|，推不出z 1＝z 2，如z 1＝1＋3i ，z 2＝1－3i 时|z 1|＝|z 2|，故C 正确；④不全为零的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，∴D 错． 13．已知复数z 1＝2－a i(a ∈R )对应的点在直线x －3y ＋4＝0上，则复数z 2＝a ＋2i 对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] B[解析] 复数z 1＝2－a i 对应的点为(2，－a )，它在直线x －3y ＋4＝0上，故2＋3a ＋4＝0，解得a ＝－2，于是复数z 2＝－2＋2i ，它对应的点在第二象限，故选B.14．已知0<a <2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z |的取值范围是( ) A ．(1,5) B ．(1,3) C ．(1，5) D ．(1，3) [答案] C[解析] 由已知，得|z |＝a 2＋1. 由0<a <2，得0<a 2<4， ∴1<a 2＋1<5.∴|z |＝a 2＋1∈(1，5)．故选C. 二、填空题15．已知复数z 1＝－1＋2i 、z 2＝1－i 、z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别是A 、B 、C ，若O C →＝x O A →＋y O B →(x 、y ∈R )，则x ＋y 的值是________________．[答案] 5[解析] 由复数的几何意义可知，O C →＝xOA →＋yOB →，即3－2i ＝x (－1＋2i)＋y (1－i)， ∴3－2i ＝(y －x )＋(2x －y )i ，由复数相等可得，⎩⎪⎨⎪⎧ y －x ＝3，2x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4.∴x ＋y ＝5.16．设(1＋i)sin θ－(1＋icos θ)对应的点在直线x ＋y ＋1＝0上，则tan θ的值为________． [答案] 12[解析] 由题意，得sin θ－1＋sin θ－cos θ＋1＝0，∴tan θ＝12.三、解答题17．(2014·山东鱼台一中高二期中)已知复数z ＝m (m －1)＋(m 2＋2m －3)i(m ∈R )． (1)若z 是实数，求m 的值； (2)若z 是纯虚数，求m 的值；(3)若在复平面C 内，z 所对应的点在第四象限，求m 的取值范围． [解析] (1)∵z 为实数，∴m 2＋2m －3＝0，解得m ＝－3或m ＝1.(2)∵z 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m (m －1)＝0，m 2＋2m －3≠0.解得m ＝0.(3)∵z 所对应的点在第四象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧m (m －1)>0，m 2＋2m －3<0.解得－3<m <0. *18.已知复数z 1＝1＋cos θ＋isin θ，z 2＝1－sin θ＋icos θ，且两数的模的平方和不小于2，求θ的取值范围．[解析] 由已知得，|z 1|2＝(1＋cos θ)2＋sin 2θ＝2＋2cos θ， |z 2|2＝(1－sin θ)2＋cos 2θ＝2－2sin θ. |z 1|2＋|z 2|2≥2，即2＋2cos θ＋2－2sin θ≥2， cos θ－sin θ≥－1， cos(θ＋π4)≥－22，所以2k π－π≤θ≤2kπ＋π2，k ∈Z .所以θ的取值范围是[2kπ－π，2kπ＋π2]，k ∈Z .。

人教新课标版数学高二-选修2-2课时作业复数的几何意义

3.1.2 复数的几何意义课时目标 1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数以及它们之间的一一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、模等概念.3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法．1．复平面的定义建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做________，y 轴叫做________，实轴上的点都表示实数，除了________外，虚轴上的点都表示纯虚数． 2．复数与点、向量间的对应如图，在复平面内，复数z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )可以用点__________或向量__________表示．复数z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )与点Z (a ，b )和向量OZ →的一一对应关系如下：3．复数的模复数z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )对应的向量为OZ →，则OZ →的模叫做复数z 的模，记作|z |，且|z |＝ __________.一、选择题1．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( ) A ．4＋8i B ．8＋2i C ．2＋4i D ．4＋i2．若点P 对应的复数z 满足|z |≤1，则P 的轨迹是( ) A ．直线 B ．线段C ．圆D ．单位圆以及圆内3．当23<m <1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．已知复数z 满足|z |2－2|z |－3＝0，则复数z 对应点的轨迹是( ) A ．1个圆 B ．线段 C ．2个点 D ．2个圆5．已知0<a <2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z |的取值范围是( ) A ．(1,5) B ．(1,3) C ．(1，5) D ．(1，3)6．在复平面内，若z ＝(m 2－4m )＋(m 2－m －6)i 所对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．(－∞，－2)C ．(－2,0)D ．(3,4)7．复数z ＝3＋4i 对应的点Z 关于原点的对称点为Z 1，则向量OZ 1→对应的复数为________． 8．在复平面内，向量OP →对应的复数是1－i ，将P 向左平移一个单位后得向量P 0，则点P 0对应的复数是________．9．已知复数3＋i 、2－i 在复平面内对应的点为A 、B ，则直线AB 的斜率为________．三、解答题10．在复平面内，若复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 对应的点 (1)在虚轴上； (2)实轴负半轴上；(3)在直线y ＝x 上，分别求出复数z .11.(1)求复数z 1＝3＋4i 及z 2＝－12－2i 的模，并比较它们的模的大小；(2)已知复数z ＝3＋a i ，且|z |<4，求实数a 的取值范围．能力提升12．在复平面内，复数z ＝sin 2＋icos 2对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限13．已知复数z 表示的点在直线y ＝12x 上，且|z |＝35，求复数z .1．复数与复平面上点一一对应，与以原点为起点的向量一一对应．2．复数z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )的模为非负实数，利用模的定义，可以将复数问题实数化．答案知识梳理1．实轴虚轴原点 2．Z (a ，b ) OZ → 3.a 2＋b 2 作业设计1．C [复数6＋5i 对应A 点坐标为(6,5)，－2＋3i 对应B 点坐标为(－2,3)．由中点坐标公式知C 点坐标为(2,4)，∴点C 对应的复数为2＋4i ，故选C.] 2．D3．D [∵23<m <1，则3m －2>0，m －1<0，∴点在第四象限．]4．A [由|z |2－2|z |－3＝0解得： |z |＝3或|z |＝－1(舍)，故选A.] 5．C [∵|z |＝a 2＋1，而0<a <2，∴1<a 2＋1<5，∴1<|z |< 5.]6．D [z ＝(m 2－4m )＋(m 2－m －6)i ，对应点在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4m <0，m 2－m －6>0，解得3<m <4.]7．－3－4i解析由题意Z 点的坐标为(3,4)，点Z 关于原点的对称点Z 1(－3，－4)，所以向量OZ 1→对应的复数为－3－4i. 8．－i解析 P (1，－1)向左平移一个单位至P 0(0，－1)，对应复数为－i. 9．2解析 ∵A (3,1)，B (2，－1)，∴k AB ＝－1－12－3＝2.10．解 (1)若复数z 对应的点在虚轴上，则m 2－m －2＝0，∴m ＝－1或m ＝2.此时z ＝ 6i 或z ＝0.(2)若复数z 对应的点在实轴负半轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －2<0m 2－3m ＋2＝0，解得m ＝1，∴z ＝－2.(3)若复数z 对应的点在直线y ＝x 上时， m 2－m －2＝m 2－3m ＋2，∴m ＝2， ∴复数z ＝0. 11．解 (1)|z 1|＝32＋42＝5，|z 2|＝⎝⎛⎭⎫－122＋(－2)2＝32，∵5>32，∴|z 1|>|z 2|.(2)∵z ＝3＋a i (a ∈R )，∴|z |＝32＋a 2，由已知得32＋a 2<42，∴a 2<7，∴a ∈(－7，7)． 12．D [∵π2<2<π，∴sin 2>0，cos 2<0.∴z ＝sin 2＋icos 2对应的点在第四象限．] 13．解设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则b ＝12a 且a 2＋b 2＝35，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝6b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6b ＝－3.因此z ＝6＋3i 或z ＝－6－3i.。

新人教A版选修2-2：3.1.2复数的几何意义

§3.1.2复数的几何意义教学目标：知识与技能：理解复数与从原点出发的向量的对应关系过程与方法：了解复数的几何意义情感、态度与价值观：画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用教学重点：复数与从原点出发的向量的对应关系．教学难点：复数的几何意义。

教具准备：多媒体、实物投影仪。

教学设想：复数z =a +bi (a 、b ∈R )与有序实数对(a ，b )是一一对应关系这是因为对于任何一个复数z =a +bi (a 、b ∈R )，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a ，b )惟一确定. 教学过程：学生探究过程：1.若(,)A x y ，(0,0)O ，则(),OA x y =u u u r2. 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差3. 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标即 AB =OBOA =( x 2, y 2) (x 1,y 1)= (x 2 x 1, y 2 y 1)讲授新课：复平面、实轴、虚轴：复数z =a +bi (a 、b ∈R )与有序实数对(a ，b )是一一对应关系这是因为对于任何一个复数z =a +bi (a 、b ∈R )，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a ，b )惟一确定，如z =3+2i 可以由有序实数对(3，2)确定，又如z =－2+i 可以由有序实数对(－2，1)来确定；又因为有序实数对(a ，b )与平面直角坐标系中的点是一一对应的，如有序实数对(3，2)它与平面直角坐标系中的点A ，横坐标为3，纵坐标为2，建立了一一对应的关系由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系.点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi (a 、b ∈R )可用点Z (a ，b )表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z =0+0i =0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数在复平面内的原点(0，0)表示实数0，实轴上的点(2，0)表示实数2，虚轴上的点(0，－1)b Z(a ，b)a o yx表示纯虚数－i ，虚轴上的点(0，5)表示纯虚数5i非纯虚数对应的点在四个象限，例如点(－2，3)表示的复数是－2+3i ，z =－5－3i 对应的点(－5，－3)在第三象限等等.复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法. １．复平面内的点(,)Z a b ←−−−→一一对应平面向量OZ uuu r 2. 复数z a bi =+←−−−→一一对应平面向量OZ uuu r 例1．（2007年辽宁卷）若35ππ44θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则复数(cos sin )(sin cos )i θθθθ++-在复平面内所对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解：选B .例2．（2003上海理科、文科）已知复数z 1=cos θ－i ，z 2=sin θ+i ，求| z 1·z 2|的最大值和最小值.[解] |)sin (cos cos sin 1|||21i z z θθθθ-++=⋅.2sin 412cos sin 2)sin (cos )cos sin 1(22222θθθθθθθ+=+=-++= 故||21z z ⋅的最大值为,23最小值为2. 例3．（2004北京理科）满足条件||||z i i -=+34的复数z 在复平面上对应点的轨迹是（） A. 一条直线 B. 两条直线 C. 圆 D. 椭圆解：选C.巩固练习：课后作业：课本第106页习题3. 1 A 组4，5，6 B 组1,2教学反思：复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.1．（2000广东，全国文科、理科，江西、天津理科）在复平面内，把复数i 33-对应的向量按顺时钟方向旋转3π，所得向量对应的复数是：（ B ）（A ）23 （B ）i 32- （C ）3i 3- （D ）3+i 32． (1992全国理科、文科)已知复数z 的模为2,则│z -i│的最大值为：( D )(A)1 (B)2 (C) (D)33．（2003北京理科）若C z ∈且|22|,1|22|i z i z --=-+则的最小值是（ B ）A ．2B ．3C ．4D ．5 4．（2007年上海卷）若,a b 为非零实数，则下列四个命题都成立：①10a a+≠ ②()2222a b a ab b +=++ ③若a b =，则a b =± ④若2a ab =，则a b =则对于任意非零复数,a b ，上述命题仍然成立的序号是_____。

高中数学选修2-2课时作业10：3.1.2 复数的几何意义

3.1.2 复数的几何意义一、选择题1．设z ＝a ＋b i 对应的点在虚轴右侧，则( )A ．a ＞0，b ＞0B ．a ＞0，b ＜0C ．b ＞0，a ∈RD ．a ＞0，b ∈R2．已知复数z ＝a ＋b i(i 为虚数单位)，集合A ＝{}－1，0，1，2，B ＝{}－2，－1，1.若a ，b ∈A ∩B ，则|z |等于( )A ．1B.2 C ．2 D ．43．在复平面内，O 为原点，向量OA u u u r 对应的复数为－1＋2i ，若点A 关于直线y ＝－x的对称点为点B ，则向量OB uuu r 对应的复数为( )A ．－2－iB ．－2＋iC ．1＋2iD ．－1＋2i4．当23＜m ＜1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．已知实数a ，x ，y 满足a 2＋2a ＋2xy ＋(a ＋x －y )i ＝0，则点(x ，y )的轨迹是( )A ．直线B ．圆心在原点的圆C ．圆心不在原点的圆D ．椭圆二、填空题6．已知0＜a ＜2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z |的取值范围是________．7．在复平面内，表示复数z ＝(m －3)＋2m i 的点位于直线y ＝x 上，则实数m 的值为________．8．已知z －|z |＝－1＋i ，则复数z ＝________.三、解答题9．实数m 取什么值时，复数z ＝2m ＋(4－m 2)i 在复平面内对应的点：(1)位于虚轴上？(2)位于第一、三象限？(3)位于以原点为圆心，4为半径的圆上？10．已知复数z＝2＋cos θ＋(1＋sin θ)i(θ∈R)，试确定复数z在复平面内对应的点的轨迹是什么曲线．——★ 参考答案 ★——1．[解析]复数对应的点在虚轴右侧，则该复数的实部大于零，虚部可为任意实数．[答案]D2．[解析]因为A ∩B ＝{}－1，1，所以a ，b ∈{}－1，1，所以|z |＝a 2＋b 2＝ 2.[答案]B3．[解析]因为复数－1＋2i 对应的点为A (－1,2)，点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B (－2,1)，所以OB uuu r 对应的复数为－2＋i.[答案]B4．[解析]由23<m <1，得⎩⎪⎨⎪⎧3m －2>0，m －1<0， ∴复数z 在复平面内对应的点位于第四象限．[答案]D5．[解析]因为a ，x ，y ∈R ，所以a 2＋2a ＋2xy ∈R ，a ＋x －y ∈R.又因为a 2＋2a ＋2xy ＋(a ＋x －y )i ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋2a ＋2xy ＝0，a ＋x －y ＝0，消去a 得(y －x )2＋2(y －x )＋2xy ＝0，即x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0，亦即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2，该方程表示圆心为(1，－1)，半径为2的圆．[答案]C6．[解析]由题意得z ＝a ＋i ，根据复数的模的定义可知|z |＝a 2＋1.因为0＜a ＜2，所以1＜a 2＋1＜5，故1＜a 2＋1＜ 5.[答案](1，5)7．[解析]由表示复数z ＝(m －3)＋2m i 的点位于直线y ＝x 上，得m －3＝2m ，解得m ＝9.[答案]98．[解析]法一：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，由题意，得x ＋y i －x 2＋y 2＝－1＋i ，即(x －x 2＋y 2)＋y i ＝－1＋i.根据复数相等的条件，得⎩⎨⎧x －x 2＋y 2＝－1，y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，∴z ＝i. 法二：由已知可得z ＝(|z |－1)＋i ，等式两边取模，得|z |＝|z |－12＋12.两边平方，得|z |2＝|z |2－2|z |＋1＋1⇒|z |＝1.把|z |＝1代入原方程，可得z ＝i.[答案]i9．解：(1)若复数z 在复平面内的对应点位于虚轴上，则2m ＝0，即m ＝0.(2)若复数z 在复平面内的对应点位于第一、三象限，则2m (4－m 2)>0，解得m <－2或0<m <2.(3)若复数z 的对应点位于以原点为圆心，4为半径的圆上，则4m 2＋(4－m 2)2＝4，即m 4－4m 2＝0，解得m ＝0或m ＝±2.10．解：设复数z 与复平面内的点(x ，y )相对应，则由复数的几何意义可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝1＋sin θ. 由sin 2θ＋cos 2θ＝1可得(x －2)2＋(y －1)2＝1，所以复数z 在复平面内对应的点的轨迹是以(2,1)为圆心，1为半径的圆．。

高中数学选修2-2课时作业13：3.1.2 复数的几何意义

3.1.2 复数的几何意义一、选择题1．在复平面内，复数z ＝cos 3＋isin 3的对应点所在象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限考点复数的几何意义题点复数与点的对应关系[答案] B[解析] ∵π2<3<π，∴sin 3>0，cos 3<0，故复数z ＝cos 3＋isin 3的对应点位于第二象限．2．已知复数z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－3,1)B ．(－1,3)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－3) 考点复数的几何意义题点复数与点的对应关系[答案] A [解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3>0，m －1<0，解得－3<m <1. 3．已知a 为实数，若复数z ＝(a 2－3a －4)＋(a －4)i 为纯虚数，则复数a －a i 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限考点复数的几何意义题点复数与点的对应关系[答案] B[解析] 若复数z ＝(a 2－3a －4)＋(a －4)i 是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－3a －4＝0，a －4≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4或a ＝－1，a ≠4，得a ＝－1，则复数a －a i ＝－1＋i 对应的坐标为(－1,1)，位于第二象限，故选B.4．复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i 对应的点在虚轴上，则( )A ．a ≠2或a ≠1B ．a ≠2且a ≠1C ．a ＝0或a ＝2D ．a ＝0考点复数的几何意义题点复数与点的对应关系[答案] C[解析] ∵z 在复平面内对应的点在虚轴上，∴a 2－2a ＝0，解得a ＝0或a ＝2.5．在复平面内，O 为原点，向量OA →对应的复数为－1＋2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB →对应的复数为( )A ．－2－iB ．－2＋iC ．1＋2iD ．－1＋2i 考点复数的几何意义题点复数与向量的对应关系[答案] B[解析] ∵A (－1,2)关于直线y ＝－x 的对称点为B (－2,1)，∴向量OB →对应的复数为－2＋i.6．已知复数z ＝a ＋3i 在复平面内对应的点位于第二象限，且|z |＝2，则复数z 等于( )A ．－1＋3iB ．1＋3iC ．－1＋3i 或1＋3iD ．－2＋3i考点复数的模的定义与应用题点利用模的定义求复数[答案] A[解析] 因为z 在复平面内对应的点位于第二象限，所以a <0，由|z |＝2知， a 2＋(3)2＝2，解得a ＝±1，故a ＝－1，所以z ＝－1＋3i.7．在复平面内，复数z 1，z 2的对应点分别为A ，B .已知A (1,2)，|AB |＝25，|z 2|＝41，则z 2等于( )A ．4＋5iB ．5＋4iC ．3＋4iD ．5＋4i 或15＋325i 考点复数模的定义与应用题点利用模的定义求复数[答案] D[解析] 设z 2＝x ＋y i(x ，y ∈R )，由条件得，⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2＋(y －2)2＝20，x 2＋y 2＝41. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5，y ＝4或⎩⎨⎧ x ＝15，y ＝325.二、填空题8．若复数3－5i,1－i 和－2＋a i 在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a 的值为________．考点复数的几何意义题点复数与点的对应关系[答案] 5[解析] 由点(3，－5)，(1，－1)，(－2，a )共线可知a ＝5.9．已知复数z ＝x －2＋y i 的模是22，则点(x ，y )的轨迹方程是________．考点复数的几何意义的综合应用题点利用几何意义解决轨迹、图形[答案] (x －2)2＋y 2＝8[解析] 由模的计算公式得(x －2)2＋y 2＝22，∴(x －2)2＋y 2＝8.10．在复平面内，O 为坐标原点，向量OB →对应的复数为3－4i ，若点B 关于原点的对称点为A ，点A 关于虚轴的对称点为C ，则向量OC →对应的复数为________．考点复数的几何意义题点复数与向量的对应关系[答案] 3＋4i[解析] 因为点B 的坐标为(3，－4)，所以点A 的坐标为(－3,4)，所以点C 的坐标为(3,4)，所以向量OC →对应的复数为3＋4i.11．若复数z ＝(a －2)＋(a ＋1)i ，a ∈R 对应的点位于第二象限，则|z |的取值范围是________．考点复数的模的定义与应用题点利用定义求复数的模[答案] ⎣⎡⎭⎫322，3 [解析] 复数z ＝(a －2)＋(a ＋1)i 对应的点的坐标为(a －2，a ＋1)，因为该点位于第二象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －2<0，a ＋1>0，解得－1<a <2. 由条件得|z |＝(a －2)2＋(a ＋1)2＝2a 2－2a ＋5 ＝ 2⎝⎛⎭⎫a 2－a ＋14＋92＝ 2⎝⎛⎭⎫a －122＋92. 因为－1<a <2，所以|z |∈⎣⎡⎭⎫322，3. 三、解答题 12．设z 为纯虚数，且|z －1|＝|－1＋i|，求复数z .考点复数的模的定义与应用题点利用模的定义求复数解因为z 为纯虚数，所以可设z ＝a i(a ≠0，且a ∈R )，则|z－1|＝|a i－1|＝a2＋1.又|－1＋i|＝2，所以a2＋1＝2，解得a＝±1，所以z＝±i.13．已知复数z＝3＋a i，且|z|<4，求实数a的取值范围．考点复数的几何意义题点复数的模及其应用解方法一∵z＝3＋a i(a∈R)，∴|z|＝32＋a2，由已知得32＋a2<42，∴a2<7，∴a∈(－7，7)．方法二利用复数的几何意义，由|z|<4知，z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，由z＝3＋a i知z对应的点在直线x＝3上，所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合．由图可知－7<a<7.四、探究与拓展14．设A，B为锐角三角形的两个内角，则复数z＝(cos B－tan A)＋itan B对应的点位于复平面的()A．第一象限B．第二象限C ．第三象限D ．第四象限考点复数的几何意义题点复数与点的对应关系[答案] B[解析] 因为A ，B 为锐角三角形的两个内角，所以A ＋B >π2，即A >π2－B ，sin A >cos B ，cos B －tan A ＝cos B －sin A cos A<cos B －sin A <0，又tan B >0，所以点(cos B －tan A ，tan B )在第二象限，故选B.15．已知复数z 对应的向量为OZ →(O 为坐标原点)，OZ →与实轴正方向的夹角为120°，且复数z的模为2，求复数z .考点复数的几何意义题点复数与向量的对应关系解根据题意可画图形如图所示，设点Z 的坐标为(a ，b )，∵|OZ →|＝|z |＝2，∠xOZ ＝120°，∴a ＝－1，b ＝±3，即点Z 的坐标为(－1，3)或(－1，－3)，∴z ＝－1＋3i 或z ＝－1－3i.。

高中数学选修2-2课件3.1.2《复数的几何意义》课件

如图3.1 3,设复平面内的点Z表示复数z a bi,
连结OZ,显然向量OZ是由点Z唯一确定的;反过来,
点Z(相对原点来说)也可以由向量OZ唯一确定.因此,复数集C与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的(实数0与零向量对应),即
一一对应
复数z a bi
平面向量OZ
这是复数的另一种几何意义.
z=a+bi 表示复数的平面——复平面
b
Z(a,b)
x轴——实轴
0
ax
y轴——虚轴
这是复数的一种几何意义.
有序实数对(a,b)
复数z=a+bi 一一对应直角坐标系中的点Z(a,b)
（数）
（形）
y
一一对应
z=a+bi
b
Z(a,b)
平面向量 OZ
向量OZ 的模r 叫做复数 z a bi
0
a
的模,记作 z 或 a bi .
(星期四限时训练,星期五不上新课.)
(段考范围:导数其运用、推理与证明）
例2 实数x分别取什么值时，复数 z x2 x 6 ( x2 2x 15)i 对应的点Z在（1）第三象限？（2）第四象限？（3）直线 x y 3 0 上？
x2 x 6 0,
解：（1）当实数x满足
x
2
Ox
|z|=|OZ| a2 b2
复数的模其实是实数绝对值概念的推广
练习：
1.下列命题中的假命题是（ D）
(A)在复平面内,对应于实数的点都在实轴上； (B)在复平面内,对应于纯虚数的点都在虚轴上； (C)在复平面内,实轴上的点所对应的复数都是实数; (D)在复平面内,虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数.

人教新课标版数学高二人教A版选修2-2练习复数的几何意义

3．1 数系的扩充和复数的概念3．1.2 复数的几何意义1．理解复平面、实轴、虚轴等概念．2．理解并掌握复数的几何意义，并能简单应用．3．理解并会求复数的模，了解复数的模与实数绝对值之间的区别和联系．基础梳理1．复平面、实轴、虚轴：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z＝a＋b i(a，b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数．对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0), 它所确定的复数是z＝0＋0i＝0表示是实数．故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．想一想：实轴与虚轴的交点是原点，对吗？解析：对，原点既在实轴上，又在虚轴上，但虚轴上的点，除了原点，都表示纯虚数．2．复数的几何意义想一想：复数z＝1－2i所对应的点在第__________象限．解析：因为复数z＝1－2i所对应的点是Z(1，－2)，所以复数z＝1－2i 所对应的点在第四象限．答案：43．复数的模→的模叫做复数z＝a＋b i的模，记作|z|或|a＋b i|且|z|＝a2＋b2．向量OZ想一想：已知复数z＝x＋y i(x，y∈R)的模|z|＝1，则复数z所对应的的轨迹是________．解析：因为|z|＝1，即x2＋y2＝1，所以x2＋y2＝1，所以复数z的轨迹是以原点为圆心，半径为1的圆．答案：以原点为圆心，半径为1的圆自测自评1．向量a＝(1，－2)所对应的复数是(B)A．z＝1＋2i B．z＝1－2iC．z＝－1＋2i D．z＝－2＋i解析：∵a＝(1，－2)，∴复平面内对应的点Z(1，－2)，∴a对应的复数为Z＝1－2i.2．已知复数z＝a＋3i(a∈R)在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z等于(A)A．－1＋3i B．1＋3iC．－1＋3i或1＋3i D．－2＋3i解析：因为z在复平面内对应的点位于第二象限，所以a<0，由|z|＝2知，a2＋（3）2＝2，解得a＝±1，故a＝－1，所以z＝－1＋3i.3．两个不相等的复数z1＝a＋b i(a，b∈R)，z2＝c＋d i(c，d∈R)，若z1与z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则a，b，c，d之间的关系为(A) A．a＝－c，b＝d B．a＝－c，b＝－dC．a＝c，b＝－d D．a≠0，b≠d解析：z1＝a＋b i的对应点P1(a，b)，z2＝c＋d i的对应点P2(c，d)，因为P1与P2关于y轴对称，所以a＝－c，b＝d.故选A.基础巩固1．过原点和3－i 对应点的直线的倾斜角是(D )A.π6 B ．－π6 C.2π3 D.5π6解析：∵3－i 在复平面上的对应点是(3，－1)，∴tan α＝－1－03－0＝－33(0≤α<π)，∴α＝56π. 2．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B ，若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是(C )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i解析：因为复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B ，所以A (6，5)，B (－2，3)，又C 为线段AB 的中点，所以C (2，4)，所以点C 对应的复数是2＋4i.3．当23<m <1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面上对应的点位于(D )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：∵23<m <1，∴3m －2>0，m －1<0，∴点(3m －2，m －1)在第四象限．4．若复数3－5i，1－i和－2＋a i在复平面内所对应的点在一条直线上，则实数a＝5．能力提升5．实部为5，模与复数4－3i的模相等的复数有(A)A．1个B．2个C．3个D．4个解析：设z＝5＋b i(b∈R)，则|z|＝25＋b2，又|4－3i|＝42＋（－3）2＝5，∴25＋b2＝5，∴b＝0，故选A.6．设复数z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，则以下结论中正确的是(C)A．复数z对应的点在第一象限B．复数z一定不是纯虚数C．复数z对应的点在实轴上方D．复数z一定是实数解析：∵z的虚部t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1恒为正，∴z对应的点在实轴上方，且z一定是虚数，排除D.又z的实部2t2＋5t－3＝(t＋3)(2t－1)可为正、为零、为负，∴选项A、B不正确．7．已知复数z＝x＋2＋(y－1)i的模为23，则点(x，y)的轨迹方程(x，y∈R)是__________．解析：由题意可得|z|＝23，即（x ＋2）2＋（y －1）2＝23，化简得(x ＋2)2＋(y －1)2＝12，所以点(x ，y )的轨迹方程是(x ＋2)2＋(y －1)2＝12.答案：(x ＋2)2＋(y －1)2＝128．复数z ＝1＋cosα＋isinα(π<α<2π)的模为________．解析：|z |＝（1＋cos α）2＋sin 2α＝2＋2cos α＝4cos 2α2＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2. ∵π<α<2π，∴π2<α2<π，cos α2<0， ∴|z |＝－cos α2. 答案：－cos α29．实数m 分别取何值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i 在复平面内的对应点：(1)在x 轴上方？(2)在直线x ＋y ＋5＝0上？解析：(1)由题意得m 2－2m －15>0，解得m <－3或m >5.(2)由题意得(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)＋5＝0，解得m ＝－3±414. 10．若复数z ＝(3＋2sin θ)＋(1－2cos θ)i(θ∈R)，则复数z 对应点的轨迹是什么？解析：令⎩⎨⎧x ＝3＋2sin θ，y ＝1－2cos θ.消去θ，得 (x －3)2＋(y －1)2＝4.所求轨迹是以(3，1)为圆心，2为半径的圆．。

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3.1.2 复数的几何意义
一、基础过关
1．复数z＝3＋i3对应的点在复平面第几象限()
A．一B．二C．三D．四
[答案] D
[解析]由i2＝－1，z＝3－i，对应点坐标为(3，－1)．
2．当0<m<1时，z＝(m＋1)＋(m－1)i对应的点位于()
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
[答案] D
[解析]∵0<m<1，∴m＋1>0，－1<m－1<0，
故对应的点在第四象限内．
3．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C 对应的复数是()
A．4＋8i B．8＋2i C．2＋4i D．4＋i
[答案] C
[解析]A(6,5)，B(－2,3)，∵C为AB的中点，∴C(2,4)，
∴点C对应的复数为2＋4i，故选C.
4．已知复数z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，当a ＝0时，复平面内的点z 的轨迹是( )
A ．实轴
B ．虚轴
C ．原点
D ．虚轴除去原点
[答案] B
[解析] a ＝0时，z ＝b i ，复平面内的点z 的轨迹是虚轴．
5．已知复数z ＝a ＋3i 在复平面内对应的点位于第二象限，且|z |＝2，则复数z 等于( )
A ．－1＋3i
B ．1＋3i
C ．－1＋3i 或1＋3i
D ．－2＋3i [答案] A
[解析] 因为z 在复平面内对应的点位于第二象限，
所以a <0，由|z |＝2知，a 2＋(3)2＝2，解得a ＝±1，故a ＝－1，所以z ＝－1＋3i.
6．若复数(－6＋k 2)－(k 2－4)i(k ∈R )所对应的点在第三象限，则k 的取值范围是________．
[答案] 2<k <6或－6<k <－2
[解析] ∵z 位于第三象限，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
k 2－6<0，4－k 2<0，∴2<k <6或－6<k <－2. 7．复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i(a ∈R )是纯虚数，求|z |.
解 ∵复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i 是纯虚数，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
a 2－1＝0，a ＋1≠0.解得a ＝1，∴z ＝2i.∴|z |＝2. 二、能力提升
8．若θ∈(3π4，5π4
)，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内所对应的点在( ) A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
[答案] B
[解析] ∵θ∈(3π4，5π4
)，∴cos θ＋sin θ<0，sin θ－cos θ>0. ∴选B.
9．复数z ＝icos θ，θ∈[0,2π)的几何表示是( )
A ．虚轴
B ．虚轴除去原点
C ．线段PQ ，点P ，Q 的坐标分别为(0,1)，(0，－1)
D ．C 中线段PQ ，但应除去原点
[答案] C
10．设A 、B 为锐角三角形的两个内角，则复数z ＝(cos B －tan A )＋tan B i 对应的点位于复平面的( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 [答案] B
[解析] 因A 、B 为锐角三角形的两个内角，所以A ＋B >π2，即A >π2
－B ，sin A >cos B . cos B －tan A ＝cos B －sin A cos A
<cos B －sin A <0，又tan B >0，所以点(cos B －tan A ，tan B )在第二象限，故选B.
11．若复数z 1＝1－i ，z 2＝3－5i ，则复平面上与z 1，z 2对应的点Z 1与Z 2的距离为________．
[答案] 2 5
12．复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i(a ∈R )是纯虚数，则|z |＝______.
[答案] 2
[解析] ∵复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i 是纯虚数，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
a 2－1＝0，a ＋1≠0.解得a ＝1，∴z ＝2i.∴|z |＝2. 13．当实数m 为何值时，复数z ＝(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i 在复平面内的对应点：
(1)位于第四象限；(2)位于x 轴负半轴上；
(3)在上半平面(含实轴)．
解 (1)要使点位于第四象限，须⎩⎪⎨⎪⎧
m 2－8m ＋15>0m 2＋3m －28<0， ∴⎩
⎪⎨⎪⎧
m <3或m >5
－7<m <4，∴－7<m <3. (2)要使点位于x 轴负半轴上，须
⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－8m ＋15<0m 2＋3m －28＝0，∴⎩⎨⎧
3<m <5m ＝－7或m ＝4，∴m ＝4. (3)要使点位于上半平面(含实轴)，须m 2＋3m －28≥0，
解得m ≥4或m ≤－7.
14．已知复数z 对应的向量为OZ →(O 为坐标原点)，OZ →与实轴正向的夹角为120°且复数z 的模
为2，求复数z .
解根据题意可画图形如图所示：
设点Z 的坐标为(a ，b )，
∵|OZ →|＝|z |＝2，∠xOZ ＝120°，
∴a ＝－1，b ＝3，
即点Z 的坐标为(－1，3)，
∴z ＝－1＋3i.
三、探究与拓展
15．(1)满足条件|z －i|＝|3＋4i|的复数z 在复平面上对应点的轨迹是(
) A ．一条直线 B ．两条直线
C ．圆
D ．椭圆
[答案] C
(2)已知复数(x －2)＋y i(x ，y ∈R )的模为3，则y x 的最大值为________．
[答案] 3
[解析] ∵|x －2＋y i|＝3， ∴(x －2)2＋y 2＝3，故(x ，y )在以C (2,0)为圆心，3为半径的圆上，y x
表示圆上的点(x ，y )与原点连线的斜率．
如图，由平面几何知识，易知y x
的最大值为 3.。