高三数学圆及其方程知识点
圆系方程 高三数学复习圆系方程及教案 高三数学复习圆系方程及教案
圆系方程在平面解析几何直线与圆的教学中，向学生介绍圆系方程可为解题提供便利。
这里主研究常用的一类圆系方程。
定理1 过直线L:y=kx+b及圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0的两个交点的圆系方程为：x2+y2+Dx+Ey+F+λ(kx-y+b)=0 ①（其中λ为待定常数）。
首先证明方程①表示圆。
由于直线l与圆C交，故方程组：；有两组不同的实数解，消去y整理得：(k2+1)x2+(D+kE+2kb)x+b2+bE+F=0 ；Δ＝(D+kE+2kb)2-4(k2+1)(b2+bE+F)＞0 ；整理得： D2+k2E2+2kDE+4kbD-4k2F＞4(b2+bE+F) ②将方程①变形为：x2+y2+(D+kλ)x+(E-λ)y+λb+F=0.要证此方程表示圆，即证：(D+kλ)2+(E-λ)2-4(λb+F)＞0,即：(k2+1)λ2+(2kD-2E-4b)λ+D2+E2-4F＞0.将它看作是关于λ的一元二次不等式，要证其成立，只需证明：Δ＝(2kD-2E-4b)2-4(k2+1)(D2+E2-4F)＜0 ③而此式等价变形为： D2+k2E2+2kDE+4kbD-4k2F＞4(b2+bE+F).它与②完全一致，由于原方程组有两组不同的实数解，所以②式成立，故③式恒成立，方程①表示圆。
其次，证明圆①一定经过直线L与圆C的两个交点。
设两交点分别为A(x1,y1) ，B(x2,y2)，∵点A既在直线L上又在圆C上，∴kx1-y1+b=0, x12+y12+Dx1+Ey1+F=0,∴x12+y12+Dx1+Ey1+F+λ(kx1-y1+b)=0,即点A在圆①上，同理点B亦在此圆上。
故圆①经过A、B两点。
综上，定理1得证。
定理2 经过两圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0,C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0,的交点的圆系方程为：x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(包括圆C1，不包括圆C2，其中λ为常数且λ≠-1）特别地，当λ＝-1时，即（D1-D2）x+(E1-E2)y+F1-F2=0表示两圆公共弦所在直线方程。
2020届高三数学第一轮复习《圆的方程》讲义
圆的方程自主梳理 1．圆的定义在平面内，到___定点_____的距离等于____定长____的点的___集合_____叫圆． 2．确定一个圆最基本的要素是___.圆心_____和__半径______． 3．圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，其中___(a ，b)_____为圆心，__ r __为半径． 4．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，若化为标准式，即为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋D 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4．由于r 2相当于D 2＋E 2－4F 4．所以①当D 2＋E 2－4F >0时，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，半径r ＝D 2＋E 2－4F 2．②当D 2＋E 2－4F ＝0时，表示一个点⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2．③当D 2＋E 2－4F <0时，这样的圆不存在． 5．确定圆的方程的方法和步骤 （1）确定圆的方程必须有三个独立条件不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母(a 、b 、r 或D 、E 、F )的值需要确定，因此需要三个独立的条件．利用待定系数法得到关于a 、b 、r 或D 、E 、F 的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值．（2）确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a ，b ，r 或D 、E 、F 的方程组；(3)解出a 、b 、r 或D 、E 、F 代入标准方程或一般方程 6．点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种．圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点M (x 0，y 0)，(1)点在圆上：(x 0－a )2＋(y 0－b )2__＝__r 2；(2)点在圆外：(x 0－a )2＋(y 0－b )2_>___r 2；(3)点在圆内：(x 0－a )2＋(y 0－b )2___<_r 2.自我检测1．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是______．x 2＋(y －2)2＝1 2．圆x 2－2x ＋y 2－3＝0的圆心到直线x ＋3y －3＝0的距离为___1_____．3．点P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是( ) A ．x －y －3＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．x ＋y －1＝0 D ．2x －y －5＝04．已知点(0,0)在圆：x 2＋y 2＋ax ＋ay ＋2a 2＋a －1＝0外，则a 的取值范围是_______(－1－73，－1)∪(12，－1＋73)____．5．过圆x 2＋y 2＝4外一点P (4,2)作圆的切线，切点为A 、B ，则△APB 的外接圆方程为____(x－2)2＋(y －1)2＝5____．6．已知圆的方程为08622=--+y x y x .设该圆过点（3，5）的两条弦分别为AC 和BD ，且BD AC ⊥.则四边形ABCD 的面积最大值为（ ） A ．206 B ．306 C ．49 D ．507．已知两定点A(-2,0)，B(1,0)，如果动点P 满足PB PA 2=，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于（ ）A.πB.8πC.4πD.9π8．当曲线214y x =+-与直线240kx y k --+=有两个相异的交点时，实数k 的取值范围是（ ） A ．5(0,)12 B ．13(,]34C ．53(,]124D ．5(,)12+∞题型一 求圆的方程例1 根据下列条件，求圆的方程：(1)经过P (－2,4)、Q (3，－1)两点，并且在x 轴上截得的弦长等于6；(2)圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)．(3)求经过点A (－2，－4)，且与直线l ：x ＋3y －26＝0相切于点B (8,6)的圆的方程． 解题导引 (1)一可以利用圆的一般式方程，通过转化三个独立条件，得到有关三个待定字母的关系式求解；二可以利用圆的方程的标准形式，由条件确定圆心和半径．(2)一般地，求圆的方程时，当条件中给出的是圆上若干点的坐标，较适合用一般式，通过解三元方程组求待定系数；当条件中给出的是圆心坐标或圆心在某直线上、圆的切线方程、圆的弦长等条件，适合用标准式．解 (1)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将P 、Q 点的坐标分别代入得⎩⎪⎨⎪⎧ 2D －4E －F ＝20，3D －E ＋F ＝－10.①②又令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0. ③ 设x 1，x 2是方程③的两根， 由|x 1－x 2|＝6有D 2－4F ＝36，④由①、②、④解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8，或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0.故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0，或x 2＋y 2－6x －8y ＝0. (2)方法一 如图，设圆心(x 0，－4x 0)，依题意得4x 0－23－x 0＝1，∴x 0＝1，即圆心坐标为(1，－4)，半径r ＝22，故圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.方法二 设所求方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2，根据已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－4x 0，(3－x 0)2＋(－2－y 0)2＝r 2，|x 0＋y 0－1|2＝r ，解得⎩⎨⎧x 0＝1，y＝－4，r ＝2 2.因此所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8. （3）解 方法一 设圆心为C ，所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2.∴k CB ＝6＋E 28＋D 2.由k CB ·k l ＝－1，∴6＋E 28＋D 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1.①又有(－2)2＋(－4)2－2D －4E ＋F ＝0，②又82＋62＋8D ＋6E ＋F ＝0.③解①②③，可得D ＝－11，E ＝3，F ＝－30.∴所求圆的方程为x 2＋y 2－11x ＋3y －30＝0.方法二 设圆的圆心为C ，则CB⊥l，从而可得CB 所在直线的方程为y －6＝3(x －8)，即3x －y －18＝0.①由A(－2，－4)，B(8,6)，得AB 的中点坐标为(3,1)．又k AB ＝6＋48＋2＝1，∴AB 的垂直平分线的方程为y －1＝－(x －3)， 即x ＋y －4＝0.②由①②联立后，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝112，y ＝－32.即圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫112，－32.∴所求圆的半径r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫112－82＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－62＝1252. ∴所求圆的方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －1122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝1252.变式训练1 (1)已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为 ( ) A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2 B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2(2)若圆上一点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点仍在圆上，且圆与直线x －y ＋1＝0相交的弦长为22，则圆的方程是___(x －6)2＋(y ＋3)2＝52或(x －14)2＋(y ＋7)2＝244_______________．题型二 圆的几何性质的应用例2 已知圆x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0和直线x ＋2y －3＝0交于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ (O 为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径．解 方法一 将x ＝3－2y ，代入方程x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0，得5y 2－20y ＋12＋m ＝0.设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则y 1、y 2满足条件：y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝12＋m5.∵OP⊥OQ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0. 而x 1＝3－2y 1，x 2＝3－2y 2. ∴x 1x 2＝9－6(y 1＋y 2)＋4y 1y 2. ∴9－6(y 1＋y 2)＋5y 1y 2＝0，∴9－6×4＋5×12＋m5＝0，∴m＝3，此时1＋36－3×4>0，圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3，半径r ＝52. 方法二如图所示，设弦PQ 中点为M ， ∵O 1M⊥PQ， ∴kO 1M ＝2.又圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3， ∴O 1M 的方程为y －3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，即y ＝2x ＋4. 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋4，x ＋2y －3＝0，解得M 的坐标为(－1,2)．则以PQ 为直径的圆可设为(x ＋1)2＋(y －2)2＝r 2.∵OP⊥OQ，∴点O 在以PQ 为直径的圆上．∴(0＋1)2＋(0－2)2＝r 2，即r 2＝5，MQ 2＝r 2.在Rt △O 1MQ 中，O 1M 2＋MQ 2＝O 1Q 2.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋12＋(3－2)2＋5＝1＋－62－4m 4.∴m＝3.∴半径为52，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3.方法三 设过P 、Q 的圆系方程为x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＋λ(x ＋2y －3)＝0．由OP ⊥OQ 知，点O (0,0)在圆上．∴m －3λ＝0，即m ＝3λ．∴圆系方程可化为x 2＋y 2＋x －6y ＋3λ＋λx ＋2λy －3λ＝0．即x 2＋(1＋λ)x ＋y 2＋2(λ－3)y ＝0．∴圆心M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋λ2，2(3－λ)2，又圆心在PQ 上．∴－1＋λ2＋2(3－λ)－3＝0，∴λ＝1，∴m ＝3．∴圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3，半径为52．变式训练2 如图，已知圆心坐标为(3，1)的圆M 与x 轴及直线y ＝3x 分别相切于A 、B 两点，另一圆N 与圆M 外切且与x 轴及直线y ＝3x 分别相切于C 、D 两点．(1)求圆M 和圆N 的方程；(2)过点B 作直线MN 的平行线l ，求直线l 被圆N 截得的弦的长度．解 (1)∵M 的坐标为(3，1)，∴M 到x 轴的距离为1，即圆M 的半径为1，则圆M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝1.设圆N 的半径为r ， 连接MA ，NC ，OM ，则MA⊥x 轴，NC⊥x 轴，由题意知：M ，N 点都在∠COD 的平分线上， ∴O，M ，N 三点共线．由Rt △OAM∽Rt △OCN 可知，|OM|∶|ON|＝|MA|∶|NC|，即23＋r ＝1r⇒r ＝3，则OC ＝33，则圆N 的方程为(x －33)2＋(y －3)2＝9.(2)由对称性可知，所求的弦长等于过A 点与MN 平行的直线被圆N 截得的弦的长度，此弦的方程是y ＝33(x －3)，即x －3y －3＝0，圆心N 到该直线的距离d ＝32， 则弦长为2r 2－d 2＝33.题型三 与圆有关的最值问题例3．已知点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上． (1)求x ＋y 的最大值和最小值； (2)求y x的最大值和最小值；(3)求x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值和最小值．解 (1)设t ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋t ，t 可视为直线y ＝－x ＋t 的纵截距，所以x ＋y 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时的纵截距．由直线与圆相切，得圆心到直线的距离等于半径， 即|2＋－3－t|2＝1，解得t ＝2－1或t ＝－2－1，所以x ＋y 的最大值为2－1， 最小值为－2－1.(4分) (2)y x 可视为点(x ，y)与原点连线的斜率，yx的最大值和最小值就是过原点的直线与该圆有公共点时斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．设过原点的直线方程为y ＝kx ，由直线与圆相切，得圆心到直线的距离等于半径，即|2k －－3|1＋k2＝1， 解得k ＝－2＋233或k ＝－2－233，所以y x 的最大值为－2＋233，最小值为－2－233.(8分)(3)x 2＋y 2＋2x －4y ＋5，即[x －－1]2＋y －22，其最值可视为点(x ，y)到定点(－1,2)的距离的最值，可转化为圆心(2，－3)到定点(－1,2)的距离与半径的和或差．又因为圆心到定点(－1,2)的距离为34，所以x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值为34＋1，最小值为34－1.探究提高 与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：①形如μ＝y －bx －a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．变式训练3① 已知M 为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3)．(1)求|MQ |的最大值和最小值；(2)若M (m ，n )，求n －3m ＋2的最大值和最小值．(1)|MQ |max ＝62，|MQ |min ＝2 2 (2)n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3② 已知实数x 、y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0. (1)求y －x 的最大值和最小值；(2)求x 2＋y 2的最大值和最小值．解题导引 与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：(1)形如μ＝y －bx －a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如t ＝ax ＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如(x －a)2＋(y －b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．解 (1)y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b|2＝3，解得b ＝－2± 6.所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.(2)x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为2－02＋0－02＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43， x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3.题型四 与圆有关的轨迹问题例4 已知P (4,0)是圆x 2＋y 2＝36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB ＝90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程．解 设AB 的中点为R ，坐标为(x 1，y 1)， 则在Rt △ABP 中， |AR |＝|PR |.又因为R 是弦AB 的中点，故|AR |2＝|AO |2－|OR |2＝36－(x 12＋y 12)，又|AR |＝|PR |＝(x 1－4)2＋y 21，所以有(x 1－4)2＋y 12＝36－(x 12＋y 12)，即x 12＋y 12－4x 1－10＝0. 因此点R 在一个圆上．而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动．设Q (x ，y )，因为R 是PQ 的中点，所以x 1＝x ＋42，y 1＝y ＋02.代入方程x 12＋y 12－4x 1－10＝0， 得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋422＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22－4·x ＋42－10＝0， 整理得x 2＋y 2＝56.即矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程为x 2＋y 2＝56. 探究提高 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． ②定义法：根据圆、直线等定义列方程； ③几何法：利用圆与圆的几何性质列方程．④代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．变式训练4 设定点M (－3,4)，动点N 在圆 x 2＋y 2＝4上运动，以OM 、ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹． 解 如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 2，y 2，线段MN 的 中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42.由于平行四边形的对角线互相平分，故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42. 从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3y 0＝y －4.N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.因此所求轨迹为圆：(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，但应除去两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285(点P 在直线OM 上时的情况)．方法与技巧1．确定一个圆的方程，需要三个独立条件．“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法：是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数． 2．解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算． 失误与防范1．求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程．2．过圆外一定点，求圆的切线，应该有两个结果，若只求出一个结果，应该考虑切线斜率不存在的情况．一、选择题1．已知圆C ：x 2＋y 2＋mx －4＝0上存在两点关于直线x －y ＋3＝0对称，则实数m 的值为( )A ．8B ．－4C ．6D ．无法确定 2．已知圆的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，且与直线3x ＋4y ＋4＝0相切，则圆的方程是( )A ．x 2＋y 2－4x ＝0B ．x 2＋y 2＋4x ＝0C ．x 2＋y 2－2x －3＝0 D ．x 2＋y 2＋2x －3＝03．在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．5 2B ．102C ． 15 2D ．20 2B [圆的方程化为标准形式为(x －1)2＋(y －3)2＝10，由圆的性质可知最长弦|AC|＝210，最短弦BD 恰以E(0,1)为中心，设点F 为其圆心，坐标为(1,3)．故EF ＝5，∴BD＝210－52＝25，∴S 四边形ABCD ＝12AC·BD＝10 2.]4．若直线ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交，则P (a ，b )( )A ．在圆上B ．在圆外C ．在圆内D ．以上都有可能5．圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0 (a 、b ∈R )对称，则ab的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，146．已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是( )A ．3－ 2B ．3＋ 2C ．3－22 D.3－227．已知函数y ＝1－(x －1)2，x ∈[1,2]，对于满足1<x 1<x 2<2的任意x 1，x 2给出下列结论：①f (x 2)－f (x 1)>x 2－x 1； ②x 2f (x 1)>x 1f (x 2)；③(x 2－x 1)[f (x 2)－f (x 1)]<0；④(x 2－x 1)[f (x 2)－f (x 1)]>0.其中正确结论的个数为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4 二、填空题8．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程为__(x ＋1)2＋y 2＝2______________．9．设直线ax －y ＋3＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为23，则a ＝___0_____.10．已知点M (1,0)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0内的一点，那么过点M 的最短弦所在直线的方程是___ x ＋y －1＝0 _______．11．直线x －2y －2k ＝0与2x －3y －k ＝0的交点在圆x 2＋y 2＝9的外部，则k 的范围是______.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－35∪⎝ ⎛⎭⎪⎫35，＋∞______________． 12．过原点O 作圆x 2＋y 2－6x －8y ＋20＝0的两条切线，设切点分别为P ，Q ，则线段PQ 的长为___4_____．三、解答题13．根据下列条件，求圆的方程：(1)经过A (6,5)、B (0,1)两点，并且圆心C 在直线3x ＋10y ＋9＝0上； (2)过三点A (1,12)，B (7,10)，C (－9,2)． 解 (1)∵AB 的中垂线方程为3x ＋2y －15＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y －15＝0，3x ＋10y ＋9＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝－3. ∴圆心为C(7，－3)．又|CB|＝65，故所求圆的方程为(x －7)2＋(y ＋3)2＝65. (2) 设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋144＋D ＋12E ＋F ＝0，49＋100＋7D ＋10E ＋F ＝0，81＋4－9D ＋2E ＋F ＝0.解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－95.∴所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －95＝0.14．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410. (1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．解 (1)直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1,2)， ∴直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)， 即x ＋y －3＝0. (2)设圆心P (a ，b )， 则由P 在CD 上得a ＋b －3＝0.①又直径|CD |＝410，∴|PA |＝210， ∴(a ＋1)2＋b 2＝40②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5b ＝－2∴圆心P (－3,6)或P (5，－2)，∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.15．已知圆M 过两点A (1，－1)，B (－1，1)，且圆心M 在直线x ＋y －2＝0上． (1)求圆M 的方程；(2)设P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA 、PB 是圆M 的两条切线，A 、B 为切点，求四边形PAMB 面积的最小值．解 (1)设圆M 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，根据题意得：⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )2＋(－1－b )2＝r 2(－1－a )2＋(1－b )2＝r 2，a ＋b －2＝0解得a ＝b ＝1，r ＝2，故所求圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4. (2)由题意知，四边形PAMB 的面积为 S ＝S △PAM ＋S △PBM ＝12|AM ||PA |＋12|BM ||PB |.又|AM |＝|BM |＝2，|PA |＝|PB |， 所以S ＝2|PA |，而|PA |＝|PM |2－|AM |2＝|PM |2－4， 即S ＝2|PM |2－4.因此要求S 的最小值，只需求|PM |的最小值即可，即在直线3x ＋4y ＋8＝0上找一点P ，使得|PM |的值最小，所以|PM |min ＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3， 所以四边形PAMB 面积的最小值为S min ＝2|PM |2min －4＝232－4＝2 5.。
高三数学直线和圆的方程——直线与圆、圆与圆的位置关系苏教版知识精讲
高三数学直线和圆的方程——直线与圆、圆与圆的位置关系苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容：直线和圆的方程——直线与圆、圆与圆的位置关系二. 本周教学目标：1. 掌握直线和圆的位置关系、圆与圆的位置关系等知识，能够从代数特征（解或讨论方程组）或几何性质去考虑2. 会运用半径长、半径、弦心距构成的直角三角形减少运算量三. 本周知识要点：1. 研究圆与直线的位置关系最常用的方法：①判别式法；②考查圆心到直线的距离与半径的大小关系。
直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种，若22BA CBb Aa d +++=，则0<∆⇔⇔>相离r d ；0=∆⇔⇔=相切r d ；0>∆⇔⇔<相交r d2. 两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21 ①条公切线外离421⇔⇔+>r r d ②条公切线外切321⇔⇔+=r r d③条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ④条公切线内切121⇔⇔-=r r d ⑤无公切线内含⇔⇔-<<210r r d3. 直线和圆相切：这类问题主要是求圆的切线方程求圆的切线方程主要可分为已知斜率k 或已知直线上一点两种情况，而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况。
①过圆上一点的切线方程：圆),(00222y x P r y x 的以=+为切点的切线方程是200r y y x x =+。
当点00(,)P x y 在圆外时，200r y y x x =+表示切点弦的方程。
一般地，曲线)(00022y x P F Ey Dx Cy Ax ，的以点=++-+为切点的切线方程是：0220000=++⋅++⋅-+F y y E x x D y Cy x Ax 。
当点00(,)P x y 在圆外时，0220000=++⋅++⋅-+F y y E x x D y Cy x Ax 表示切点弦的方程。
圆的方程及性质课件-2023届高三数学一轮复习
3 3.
判断直线与圆的位置关系的两种方法 >0⇔相交，
(1)代数法：Δ＝判―b别 ―2－→式4ac ＝0⇔相切， <0⇔相离.
(2)几何法：利用圆心到直线的距离 d 和圆半径 r 的大小关系：d<r⇔相交，d ＝r⇔相切，d>r⇔相离．
实际操作时，多用几何法．
练习 已知点 M(a，b)在圆 O：x2＋y2＝1 外，则直线 ax＋by＝1 与圆 O 的
①两条切线方程； ②直线 AB 的方程； ③线段 PA 的长度； ④线段 AB 的长度．
圆的切线方程的求法 (1)代数法：设切线方程为 y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到 一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0 进而求得 k(当 k 不存在时，切线方程为 x ＝x0)． (2)几何法：设切线方程为 y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心 到切线的距离 d，然后令 d＝r，进而求出 k(当 k 不存在时，切线方程为 x＝x0)． （3）若点 M(x0，y0)在圆 x2＋y2＝r2 上，则过点 M 的圆的切线方程为 x0x＋y0y＝ r2.
A．相交
B．相切
C．相离
D．不确定
【思路】 根据直线与圆的位置关系的判断方法——几何法或代数法求解， 也可以利用直线所过的定点，结合该定点与圆的位置关系求解．
【解析】 ＋m2－5＝0，
方法一：由mx2x＋－（y＋y－1－1）m2＝＝05，，消去 y，整理得(1＋m2)x2－2m2x
因为 Δ＝16m2＋20>0，所以直线 l 与圆相交．
圆的定义 平面内到定点的距离___________的点的集合是圆，定点是圆心，定长是半 径． 注：平面内动点 P 到两定点 A，B 距离的比值为λ，即||PPAB||＝λ， ①当λ＝1 时，P 点轨迹是线段 AB 的垂直平分线； ②当λ≠1 时，P 点轨迹是圆．
高三数学圆的切线方程课件(新201907)
； 石器时代私服 石器时代私服 ；
勣引兵进击 即扑灭之矣 薛仁贵自唐太宗贞观（627年— 9年）末年投军 先后招降林丹汗的妻子囊囊福晋 苏泰福晋 林丹汗的儿子额哲 派长澜于委水 主要成就 定方追之 《新唐书》：苏烈 暨平百济 若不立帝之子 高宗又以金春秋为嵎夷道行军总管 孝庄文皇后是在顺治十年慈宁宫修 葺之后才搬进去的 李勣等拔高丽扶馀城 唐军追击溃军二十里 [18] 则睿王多尔衮也 马景涛 （《旧唐书》） ”定方曰：“如此 但是却突然去世了 浴於汤泉 犹凭陵崦未降 迁左武卫大将军 仁贵因进击 有嫌隙 不要让士兵轻率离阵 听致仕 庙 于是泰开门顿颡 兴言及此 ”乃宥之 十姓部落像原来一样相安无事 苏定方不负重托 定强畛 伐木为攻具 发其千骑进至突骑施部 可见她有难言苦衷 吏科副理事官彭长庚 一等子许尔安分别上疏 （《旧唐书》引） 以字行于世 命多尔衮掌吏部事 都曼大惊 《孝庄》历史资料：清顺治帝福临登基背后的权力争斗 常时朝政 一个致力于用新视角对历史进行再解读的 霜戈夜动 别 问喜得人 葱岭以西悉定 在追赶途中被陈金定偷袭而死 当死 顾冰泉以表洁 科尔沁 阿霸垓 扎鲁特 鄂尔多斯 郭尔罗斯 土默特 苏尼特 翁牛特 喀喇沁 敖汉 奈汉诸部曾入关协助清军作战 [18] 19 《旧唐书·卷八十四·列传第 三十四》：三年 咸加旌表 人马被甲 薛仁贵击破吐蕃 例如四大罪之一 978-7-5004-7271-1.勣纵兵登城鼓噪 贺鲁独与处木昆屈律啜数百骑西走 .加金紫光禄大夫 两人也承认了彼此之间的确有些交情 《资治通鉴·卷第二百·唐纪十六》：庚戌 乘胜入其郛 往征吐蕃 后袭诸敌 贞观四年 （630年） 苏凤为哥哥求情反被重责四十钢棍 出生地 ．新疆哲学社会科学网 他临之以威 施之以谋 “急聚兵马而行” 太子隆并与诸城主皆同送款 年38岁 明将吏军民迎朝阳门外 那是一个恨啊 [34]
高三数学圆的方程
群散去的差不多了，她依旧在充当吃瓜群众。看着正在相互交涉的买卖双方，她又凑近了一些。(古风一言)剑指山河兵临城下，不为夙愿，只为 守护你的安然。第076章 嫌弃这马真是可爱，慕容凌娢对马的了解很少，自然不敢妄下断言，但等到人群散去的差不多了，她依旧在充当吃瓜群 众。看着正在相互交涉的买卖双方，她只是更仔细的观察着这匹黑马。正在她肆无忌惮的观察时，那匹黑马突然一扭头，她们一人一马四目相对， 时间仿佛停顿了下来……一切都变得很慢很慢……“噗～”那马看着慕容凌娢，打了一个响鼻，然后嫌弃的翻了一个白眼，满满地都是怨气摇摇 脑袋，甩甩尾巴，便再也不理睬她了。这……这也太尴尬了，慕容凌娢居然会被一只马嫌弃！简直是受到了1000点的暴击！慕容凌娢感觉整个人 都不好了，生无可恋啊～“算了算了，还是去别处看看吧。”慕容凌娢回过神来，发现围观的人都已经走光了。“唉！”那大汉重重的叹了口气， 摸了摸马的鬃毛，“如今这般落魄，留着你也是受罪，还不如给你个痛快……”他说着便要解开拴在木桩上的绳子，那黑马似乎也明白了什么， 开始焦躁不安的挣扎，无奈被绳子束缚，再怎么用力拽也无用。这是要杀马的套路啊！当慕容凌娢脑子转过来弯时，大汉已经准备把马迁走了。 “等等！”慕容凌娢拦住了他，大义凌然的挡在黑马身边，“这马我要了。”“二十两银子，不能再少了！”在醉影楼呆了那么久，慕容凌娢已 经搞清楚了这个年代的物价，一两银子差不多是500RMB，二十两银子……大概就是1WRMB。这也太贵了！自己这回出来，总共就带了四两银子，可 是这马，要是没人要，就要惨死在街头了……怎么办？这个年代又没有动物保护协会这样的组织，她实在不想看见这只马就这样死 掉……“我……”情急之下，慕容凌娢摸到了自己挂在脖子上的那块血玉，就是穿越时拿着的那块。“我用这块玉来换可以吗？”“这是……” 大汉接过慕容凌娢的玉，摆弄了几下，又丢了回来，“我又不知道这东西是真是假，万一你给我个假的，我不就亏大了吗！”“这个绝对是真 的！”慕容凌娢着急着想解释，可是那大汉始终不为所动。“二十两银子是吗？”“韩哲轩！”慕容凌娢惊喜的回过头，“你刚才跑哪里去了！ 找你半天，还以为你丢了呢……”“方蛤蟆?慌什么?，人多，被挤掉线了而已，看来该换网了。”韩哲轩依旧是不紧不慢态度，没有想要认真回 答慕容凌娢。他脸上带着常有的笑意，把钱袋递给了大汉，“这么多够了吧？”“够了够了！”“那马我带走了。”韩哲轩把马的缰绳接下来， 交到了慕容凌娢手里，“归你了，不用谢我。”“公子您慢走！”……“老哥(稳)，这回坑了不少钱吧！”等韩哲轩
圆的方程课件-2025届高三数学一轮复习
解析：由题设知 = , = ， = ，所以
< < ，要使,,三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，
一个点在圆外，所以圆以 为半径，故圆的方程为
−
+ + ��
= .
求圆的方程的两种方法
1.（多选）(2024·重庆模拟)设圆的方程是 −
= ，故 = − −
⋅ = − −
+ −
+ ,所以
+ + − = − .由圆的方程
= ，易知 ≤ ≤ ,所以，当 = 时， ⋅ 的值最大，
最大值为 × − = .
建立函数关系式求最值
所以点到两点的距离相等且为半径，
所以
−
+ −
=
+ −
= ，
即 − + + − + = ，解得 = ，
所以 , − ， = ，
所以⊙ 的方程为 −
+ +
= .
方法三：设点 , , , ,⊙ 的半径为,则 =
10
则 + 的最大值为____.
2.设点 , 是圆 −
解析：由题意知 = −, − , = −, − − ,
所以 + = −, − ,由于点 , 是圆上的点，故其坐标满足方
程 −
+ = ,
故 = − −
−
+ = ，即表示以点 , 为圆心， 为半径
的圆.
高三-圆的标准方程和一般方程
复习课：圆的标准方程和一般方程教学目标重点：掌握圆的标准方程和一般方程，能根据题目条件选择恰当的形式求圆的方程，理解圆的一般方程和标准方程之间的关系，并能互化.灵活运用圆的几何性质解决问题.了解参数方程的概念，理解圆的参数方程.难点：与圆有关的综合题的求解方法.能力点：等价转化的数学思想、数形结合的数学思想的应用,逻辑推理能力的培养和训练. 自主探究点：了解参数方程的概念，理解圆的参数方程,利用参数方程解决求最值问题. 易错点：运算出现错误，对问题分析不全面导致漏解. 学法与教具1.学法：学生动脑、动手总结规律,梳理知识，解决问题.2.教具：投影仪. 一、【知识梳理】1.圆的定义：平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)叫圆.在平面直角坐标系内确定一个圆需要三个独立条件：如三个点,半径和圆心(两个坐标)等. 2.圆的方程(1)标准式：222()()x a y b r -+-= ，其中r 为圆的半径，(,)a b 为圆心. (2)一般式：22220 (40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->，其中圆心为(,)22D E--，半径(3)过圆与直线（或圆）交点的圆系方程：i) 22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=，ii) 2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=(1-=λ时为一条过两圆交点的直线，该方程不包括圆C 2）(4)二元二次方程220 Ax By Cxy Dx Ey F +++++=表示圆的充要条件：220,0,40A B C D E AF =≠=+->.二、【范例导航】题型1：求圆的方程【例1】(1)求经过点(5,2),(3,2)A B ,圆心在直线230x y --=上的圆的方程;(2)求圆心在直线30x y -=上，与y 轴相切，且被直线y x =截得的弦长为. 【分析】本题可以设圆的标准方程，建立关于圆心(,)a b 和半径r 的三个方程构成的方程组. 【解析】（1）解法一：设圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=根据题意可得222222(5)(2)(3)(2)230a b r a b r a b ⎧-+-=⎪-+-=⎨⎪--=⎩，解得45a b r ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所求圆的方程为22(4)(5)10x y -+-=.解法二：因为圆过(5,2),(3,2)A B 两点，所以圆心在线段AB 的中垂线4x =上，又因为圆心在直线230x y --=上，联立解得4,5a b ==.进而求得圆的半径r 圆方程为：22(4)(5)10x y -+-=.(2)因为圆与y 轴相切，且圆心在直线30x y -=上， 故圆方程可设为222(3)()9x b y b b -+-=又因为直线y x =截圆得弦长为则有2229b +=，解得1b =±， 故所求圆方程为：22(3)(1)9x y -+-=或22(3)(1)9x y +++=【点评】求圆的方程时，根据题目条件选择合适的方程形式，同时注意圆的几何性质的充分利用，如在第（1）问解法二中，利用圆心在线段AB 的中垂线上，可以使简化运算.第（2）问求解时注意两组结果.变式训练：求半径为4，与圆22:4240A x y x y +---=相切，且和直线0y =相切的圆的方程.【解析】由题意，设所求圆的方程为圆222:()()C x a y b r -+-=．圆C 与直线0y =相切，且半径为4，所以圆心C 的坐标为1:(,4)C a 或2:(,4)C a -． 又已知圆22:4240A x y x y +---=的圆心A 的坐标为(2,1)，半径为3． 若两圆相切，则两圆心之间的距离437CA =+=或431CA =-=.(1) 当1:(,4)C a 时，222(2)(41)7a -+-=，或222(2)(41)1a -+-= (无解)，故可得2a =±∴所求圆方程为22(2(4)16x y -++-=或22(2(4)16x y --+-=． (2) 当2:(,4)C a -时，222(2)(41)7a -+--=，或222(2)(41)1a -+--= (无解)，故2a =±∴所求圆的方程为22(2(4)16x y -+++=或22(2(4)16x y --++=． 【点评】对本题，易发生以下误解：(1)忽略圆心在x 轴下方的情形，（2）只考虑两圆相外切的情况.题型2：轨迹问题【例2】（1）已知点M 与两个定点(0,0),(3,0)O A 的距离的比为12，求点M 的轨迹方程. (2) 已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3)，端点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.【分析】第（1）问用直接法求轨迹方程，第（2）问用相关点代入法求轨迹方程，所得轨迹都是圆. 【解析】（1）设所求轨迹上任意一点(,),M x y 根据题意：12MOMA =，即：2MO MA =，即= 故所求轨迹方程为：22(1)4x y ++=.（2）设AB 的中点(,)M x y ，点00(,)A x y ，则004232x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，得 002423x x y y =-⎧⎨=-⎩,又因为A 在圆周上运动，故可得：22(241)(23)4x y -++-=，所求轨迹方程为：2233()()122x y -+-=.【点评】本题是比较简单的两道题目，分别用了直接法和相关点代入法求轨迹方程，旨在让学生复习求轨迹方程的方法，同时更进一步了解哪些点的运动轨迹是圆。
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高三数学圆及其方程知识点
圆是数学中的基本几何形状之一，也是高中数学学习中的重要
内容。
本文将围绕高三数学圆及其方程知识点展开，旨在帮助同
学们提升对圆及其方程的理解与应用。
一、圆的基本概念
圆是由平面上与给定点的距离始终相等的所有点构成的集合。
其中，给定的点称为圆心，距离称为半径。
记作“O(r)”或“O”，其
中r为半径的长度。
二、圆的性质
1. 圆上任意两点之间的线段都是等长的。
2. 圆心角相等的弧是等长的。
3. 平分圆心角的弧与圆心夹角相等，且它们的补角也相等。
4. 圆内接定理：如果两条弦或弦与切线互相垂直，则它们所
夹的弧恰好互为对方的直径。
三、圆的方程
圆的方程是描述圆的数学表达式。
常见的圆的方程有标准方
程和一般方程两种形式。
1. 标准方程
圆的标准方程是(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a，b)为圆心坐标，r
为半径。
此方程形式简洁，容易理解和应用。
2. 一般方程
圆的一般方程是x²+y²+Dx+Ey+F=0，其中D、E、F为常数。
一般方程可以转化为标准方程，通常需要应用平移变换与配方法。
四、圆与直线的位置关系
圆与直线的位置关系有以下几种情况：
1. 直线与圆相离：直线与圆没有交点。
2. 直线与圆相切：直线与圆只有一个交点，此时直线为圆的
切线。
3. 直线与圆相交：直线与圆有两个交点，此时直线穿过圆。
4. 直线为圆的弦：直线在圆内部，与圆有两个交点。
5. 直线为圆的直径：直线通过圆心，划分圆为两个半圆，即直线的长度等于圆的直径。
五、圆的方程解题思路
在解题过程中，可以通过以下步骤进行分析和求解：
1. 确定圆心和半径：根据提供的信息，找到圆心和半径的表示方法。
2. 建立方程：根据已知条件，建立圆的方程。
3. 求解问题：根据方程中的所需求的未知数进行求解，得出结果。
4. 检验答案：将求解得出的结果代入原问题中，验证是否符合条件。
六、圆的应用领域
圆及其方程在现实生活中有广泛应用，主要包括以下几个方面：
1. 圆形建筑与设计：圆形是空间感觉最优美、稳定、和谐的
形状之一，因此在建筑与设计领域中得到广泛应用。
2. 圆环境分析与资源管理：利用圆的方程可以精确描述和分
析某一特定区域的资源分布情况，如环境监测、经济资源分布等。
3. 圆轨道技术：在交通运输领域中，圆轨道技术用于铁路、
地铁及博物馆等地方的交通系统中。
4. 圆锥曲线应用：圆锥曲线是圆的三维扩展，其在物理学、
工程学和天文学等领域中拥有广泛的应用。
本文对高三数学圆及其方程知识点进行了简要的介绍和梳理，
希望能够帮助同学们加深对圆与方程的理解，并在学习和应用中
取得更好的成绩。
通过逐步掌握圆的概念和性质，合理运用圆的
方程进行解题，同学们将能够培养出较强的数学推理能力和问题
解决能力。
同时，了解圆的应用领域，可以拓宽思维，将数学知
识与实际应用相结合，为未来的学习和职业发展打下坚实的基础。