定积分的概念和性质公式
第5.1节 定积分的概念及性质
§5.1 定积分的概念及性质一、定积分的定义5.1.1 定积分： 设)(x f 是定义在],[b a 上的有界函数，在],[b a 上任取一组分点b x x x x x a n i i =<<<<<<=−L L 110，这些分点将],[b a 分为n 个小区间],[10x x ，],[21x x ，…，],[1n n x x −记每个小区间的长度为：),,2,1(1n i x x x i i i L =−=∆−，并记},,,max{21n x x x ∆∆∆=L λ再任取点),,2,1(],[1n i x x i i i L =∈−ξ，作和式：∑=∆ni i i x f 1)(ξ，若和式的极限∑=→∆ni i i x f 1)(lim ξλ存在，则称)(x f 在区间],[b a 上可积，并称该极限为)(x f 在区间],[b a 上的定积分，记为∫b adx x f )(，即∑∫=→∆=ni i i bax f dx x f 1)(lim )(ξλ其中)(x f 称为被积函数，x 称为积分变量，a 称为积分下限，b 称为积分上限，],[b a 称为积分区间。
注：（1）定积分∫b adx x f )(表示一个常数值，它与被积函数)(x f 和积分区间],[b a 有关；（2）定积分的本质是一个和式的极限，该极限与区间的划分以及点i ξ的取法无关；5.1.2 函数可积的条件：（1）若)(x f 在],[b a 上连续，则)(x f 在],[b a 上可积； （2）若)(x f 在],[b a 上有界，且只有有限个间断点，则)(x f 在],[b a 上可积； （3）若)(x f 在],[b a 上单调有界，则)(x f 在],[b a 上可积； （4）有界不一定可积，可积一定有界，无界函数一定不可积。
5.1.3 定积分的几何意义：∫b adx x f )(表示以)(x f y =为曲边，以b x a x ==,为侧边，x 轴上区间],[b a 为底边的曲边梯形面积的代数和。
定积分的概念及性质
定积分的概念、微积分基本定理及其简单应用一． 定积分的定义A ）定义： 设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点，把区间[a,b]分成n 个小区间，记},......,,max{,,......2,1,211n i i i x x x n i x x x ∆∆∆==-=∆-λ在[i i x x ,1-]上任意取一点i ξ，作和式：)1.......()(1ini ix f ∆∑=ξ 如果无论[a,b]作怎样分割，也无论i ξ在[i i x x ,1-]怎样选取，只要0→λ有→∆∑=ini ixf 1)(ξI （I 为一个确定的常数），则称极限I 是f(x)在[a,b]上的定积分，简称积分，记做⎰b adx x f )(即I=⎰badx x f )(其中f(x)为被积函数，f(x)dx 为积分表达式，a 为积分下限，b 为积分上限，x 称为积分变量，[a,b]称为积分区间。
例：求曲边图形面积：3x y =的图像在[]1,0∈x 间与1=x 及x 轴围成的图形面积。
注：1、有定义知道⎰ba dx x f )(表示一个具体的数，与函数f(x)以及区间[a,b]有关，而与积分变量x 无关，即⎰badx x f )(=⎰badu u f )(=⎰badt t f )(2、定义中的0→λ不能用∞→n 代替3、如果ini ix f Lim∆∑=→1)(ξλ存在，则它就是f(x)在[a,b]上的定积分，那么f(x)必须在[a,b]上满足什么条件f(x)在[a,b]上才可积分呢？经典反例：⎩⎨⎧=中的无理点，为，中的有理点，为]10[0]10[,1)(x x x f 在[0，1]上不可积。
可见函数f(x)在什么情况下可积分并不是一件容易的事情。
以下给出两个充分条件。
定理1 设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。
定理2 设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。
定积分的概念和性质公式
1.曲边梯形的面积设在区间*I上：；--L ,则由直线工’=■<、応匚、V 1及曲线■V °/W所围成的图形称为曲边梯形，下面求这个曲边梯形的面积分割求近似：在区间-八「中任意插入若干个分点将宀…-分成n个小区间兀5 5 <…，小区间的长度&广呜一為」（T三12…在每个小区间- ：-一I〕上任取一点-■■作乘积求和取极限：则面积取极限J=1其中；'1 ； J L厂V '…，即小区间长度最大者趋于零。
2.变速直线运动的路程设某物体作变速直线运动，速度| I「是上*的连续函数，且1■求在这段时间内物体所经过的路程。
分割求近似：在「〔[内插入若干分点■- _ "将其分成n 个小区间「—，小区间长度■- _■'.-1, ■1丄。
任取• _ _做求和取极限：则路程一取极限将分成n个小区间-，其长度为2 - —，在每个小区间上任取一点「:，作乘积■- ' ■'，并求和 r ，记1■r 1，如果不论对怎样分法，也不论小区间[:■ 上的点「怎样取法，只要当「「I;时，和总趋于确定的极限，则称这个极限为函数-—I在区间上的定积分，记作J '，即定义设函数」•、在L•二上有界，在-亠二中任意插入若干个分点其中叫被积函数，一’，八叫被积表达式，'‘叫积分变量，二叫积分下限, 「叫积分上限，-’」叫积分区间。
■叫积分和式。
说明：1.如果（*）式右边极限存在，称-’’」在区间-仁丄可积，下面两类函数在区间上…-可积，（1）」在区间-LL■- - 上连续，则■' J'-在可积。
（2）-’八在区间-‘丄-上有界且只有有限个间断点，则在--"-■ 上可积。
2.由定义可知，定积分的值只与被积函数和积分区间有关，而与积分变量无关，所3.在-上一，••——时，j ■表示曲线」、两条直线=<■ > - =■:与T轴所围成的曲边梯形的面积；在’1上「I时，V表示曲线，一―、两条直线、■-L ［与工'轴所围成的曲边梯形的面积（此时，曲边梯形在k轴的下方）；例1利用定积分的几何意义写出下列积分值(1)12（三角形面积）（2妇評（半圆面积）S7-2yiy|设-■■■可积性质1 J[[/⑴土畧（胡必=[f如± [畑賈性质2 J[灯■（力缶=斤£/（对乂性质3（定积分对区间的可加性）对任何三个不同的数,有性质5如果在区间上]…「，则J'"推论性质6 (定积分的估值) 设M及m分别是函数在区间一上的最大值及最小值，则~a) i［/(x)必~ a)性质7 (定积分中值定理)如果函数一、八在区间-上连续，则在"圖上至少有一点：，使「—■ C •.成立17-7例2比较下面两个积分的大小在(0, 1 )内，-'' '一"'-■单调增当兀［0」］时，有=6^ 2/(0) = 0，即尹m2-]的值&、令1 ,得‘‘由性质5,例3估计积分J 1解 只需求出’在区间-上的最大值、最小值即可。
第2节 定积分的概念及性质
其长度为 xi xi xi 1 , 在每个小区间 [ xi 1 , xi ]上
任取一点 i ( xi 1 i xi ) , 则乘积
f ( i )xi ( i 1,2,, n)
称为积分元素
7/8/2013 1:12 PM
第6章
n
函数的积分
总和
S n f ( i )xi
0
x i
O
7/8/2013 1:12 PM
i 1 i n n
1
x
第6章
函数的积分
1p 2 p n p (2) lim n n p 1
lim
n i 1 n
i n
p
1 n
x i
x p dx
1 0
i
7/8/2013 1:12 PM
第6章
函数的积分
y
A1 a A3 A2 O A4 A5 b x
b a
f ( x )dx A1 A2的代数和
7/8/2013 1:12 PM
第6章
函数的积分
3. 定积分的性质 性质1 证明
b
kf ( x )dx k f ( x )dx （ k 为常数） a a
第6章
函数的积分
若函数 f ( x ) 在区间 性质7（积分中值定理） [a , b] 上连续， 则至少存在一点 [a , b] ， 使得
b
a
f ( x )dx f ( )(b a )
b
证明 由性质6 m(b a ) a f ( x )dx M (b a )
1 b m a f ( x )dx M ba
定积分公式大全
定积分公式大全定积分是微积分中的重要概念，它在数学和物理学中都有着广泛的应用。
本文将介绍定积分的基本概念和常见的定积分公式，帮助读者更好地理解和运用定积分。
1. 定积分的基本概念。
定积分是微积分中的一个重要概念，它可以用来计算曲线下面的面积、求解曲线的弧长、计算物体的质量和质心等。
在几何学中，定积分可以用来计算曲线与坐标轴之间的面积；在物理学中，定积分可以用来描述物体的质量、质心和转动惯量等。
2. 定积分的基本性质。
定积分具有一些基本的性质，包括线性性、区间可加性和保号性等。
其中，线性性是指定积分对于常数的线性性质，即∫[a, b] (cf(x) + g(x))dx = c∫[a, b] f(x)dx + ∫[a, b] g(x)dx；区间可加性是指定积分在区间上的可加性质，即∫[a, b] f(x)dx + ∫[b, c] f(x)dx = ∫[a, c] f(x)dx；保号性是指定积分的结果与被积函数的正负性有关，即若f(x)在[a, b]上非负，则∫[a, b] f(x)dx ≥ 0。
3. 定积分的常见公式。
在定积分的计算中，有一些常见的定积分公式可以帮助我们简化计算过程，如换元积分法、分部积分法、定积分的性质公式等。
（1）换元积分法。
换元积分法是定积分中常用的一种积分方法，它通过引入新的变量来简化被积函数的形式，从而使积分计算更加容易。
换元积分法的基本思想是利用复合函数的求导和积分的性质，通过代换变量来简化被积函数的形式，然后进行积分计算。
（2）分部积分法。
分部积分法是定积分中另一种常用的积分方法，它通过对被积函数进行分解，然后利用积分的性质进行计算。
分部积分法的基本思想是利用积分的乘积法则，将被积函数进行分解，然后利用分部积分公式进行积分计算。
（3）定积分的性质公式。
定积分具有一些常见的性质公式，如定积分的线性性质、定积分的区间可加性和保号性等。
这些性质公式在定积分的计算中经常被使用，可以帮助我们简化积分的计算过程，提高计算的效率。
第1,2节定积分的概念与性质
3. 由定义:
1 a bf(x )d x b af(x )d x有 向 性
a a
f (x)dx 0
2a b1d xba(积 分 值 = 区 间 长 ） .
10
例1 利用定义计算定积分 1 x 2 dx . 0
解每 取 右 个 将 端 小 [ 点 区 0 ,1 间 ] in 的 等 n 长 i分 ， 度 ， (均 i分 为 点 1n 1 ,为 2,， x i, nn )i， 1(iy 1 ,y2 , x 2,n )
思路： 被积函数求最值.
证
设
f(x)
x， x2 1
则
f
(x)
1x2 (x2 1)2
0,
1x2
即 f (x) 单调下降，
所以
2
fmi
n
f(2) , 5
1 fmax f (1) 2 ,
即 2 f(x) 1 ,
5
2
于 是2 2 x dx1。 5 1x21 2
22
例3 估 计 积 分 4 2sxin xdx的 值 .
a
a
c
abc 由 定 义
c
b
c
f(x)d x f(x)d x f(x)d x
a
a
b
b
c
c
af(x )d xaf(x )d x bf(x )d x
有 向 性 c
b
====a f(x)dxc f(x)dx.
c a b 时 同 理 可 证 . 证毕.
a
a
a
即 ： bf(x)dxM(ba)，同 理 可 证 ： m (ba)bf(x)dx.
a
a
定积分的概念和性质
a
性质1 函数的和(差)的定积分等于它们的定 积分的和(差)。即
∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = ∫
a
b
b
a
f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx
a
b
• 证
∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = lim ∑ [ f (ξ ) ± g (ξ )]∆x λ
a →0 i =1 n i i
y y=f(x)
0
a=x0 x1 x2 x3 xi −1
xi
xn −1 x = b n
x
（2）取近似：将这些细长条近似地看作一个个小矩形
在第 i个小曲边梯形的底 [ x i −1 , x i ]上任取一点 ξ i x i −1 ≤ ξ ≤ x i ), （ 它所对应的函数值是 f (ξ i ).用相应的宽为 ∆x i , 长为 f (ξ i )的小矩形 面积来近似代替这个小 曲边梯形的面积，即 ∆Ai ≈ f (ξ i ) ∆x i
• 证
b
a
kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx
a
b
（k为常数）
∫
b
a
kf ( x)dx = lim ∑ kf (ξ i )∆xi
λ →0
i =1 n b
n
= k lim ∑ f (ξ i )∆xi = ∫ f ( x)dx
λ →0
i =1 a
• 性质3 (定积分的区间可加性) 若a < c < b，则
f (ξ i ) ∆ x i .
f(ξ) ｉ
0
a=x0 x1
x2 xi −1ξｉxi
xn −1 x = b n
x
一元函数积分学(定积分概念性质)
无穷区间上的定积分
定义与性质
无穷区间上的定积分定义为在无穷区间上对有界函数的积分，其性质与普通定积分相似，但需要考虑 积分收敛的条件。
应用场景
无穷区间上的定积分在解决实际问题中有着广泛的应用，如物理学中的某些模型、无穷级数求和等。
无界函数的定积分
定义与性质
无界函数的定积分定义为在有界区间上 对无界函数的积分，其性质与普通定积 分有所不同，需要考虑函数无界的条件 。
定积分的几何意义
几何解释
定积分表示曲线与x轴所夹的面积， 即曲线下方的面积。
实例
如计算曲线y=f(x)与直线x=a、x=b以 及x轴所夹的面积。
定积分的物理意义
物理应用
定积分在物理中常用于计算变力做功、引力、压力等。
实例
变力做功的计算，如物体在变力F(x)的作用下，沿直线运动从a到b所做的功W 可以表示为W=∫F(x)dx。
详细描述
如果c是a和b之间的任意值，则 ∫(a,b)f(x)dx = ∫(a,c)f(x)dx + ∫(c,b)f(x)dx。
03 定积分的计算方法
微积分基本定理
总结词
微积分基本定理是计算定积分的核心方法，它建立了积分与微分之间的联系，通过求导数的逆运算来计算积分。
详细描述
微积分基本定理（也称为牛顿-莱布尼茨公式）指出，对于连续函数f(x)在闭区间[a, b]上的定积分，可以表示为 ∫abf(x)dx=F(b)−F(a)，其中F(x)是f(x)的一个原函数。这个公式将定积分与不定积分（求原函数的过程）联系起 来，通过求不定积分得到原函数，再利用原函数计算定积分。
分部积分法
总结词
分部积分法是一种通过将两个函数的乘积进行求导来计算定积分的方法。
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1. 曲边梯形的面积
设在区间上，则由直线、、及曲线所围成的图形称为曲边梯形，下面求这个曲边梯形的面积
分割求近似：在区间中任意插入若干个分点将分成n 个小区间
，小区间的长度
在每个小区间上任取一点作乘积，
求和取极限：则面积取极限
其中，即小区间长度最大者趋于零。
2.变速直线运动的路程
设某物体作变速直线运动，速度是上的连续函数，且，求在这段时间内物体所经过的路程。
分割求近似：在内插入若干分点将其分成
n 个小区间，小区间长度，。
任取，
做
求和取极限：则路程取极限
定义设函数在上有界，在中任意插入若干个分点
将分成n 个小区间，其长度为，在每个小区间
上任取一点，作乘积，并求和，
记，如果不论对怎样分法，也不论小区间上的
点怎样取法，只要当时，和总趋于确定的极限，则称这个极限为函数在区间上的定积分，记作，即
，（*）
其中叫被积函数，叫被积表达式，叫积分变量，叫积分下限，叫积分上限，叫积分区间。
叫积分和式。
说明：
1.如果（*）式右边极限存在，称在区间可积，下面两类函数在区间
可积，（1）在区间上连续，则在可积。
（2）在区间上有界且只有有限个间断点，则在上可积。
2.由定义可知，定积分的值只与被积函数和积分区间有关，而与积分变量无关，所以
3.规定
时 ,
在上时, 表示曲线、两条直线、
与轴所围成的曲边梯形的面积；
在上时, 表示曲线、两条直线、与轴所围成的曲边梯形的面积（此时，曲边梯形在轴的下方）；
例1 利用定积分的几何意义写出下列积分值
（1）（三角形面积）（2）（半圆面积）
设可积
性质1
性质2
性质3 （定积分对区间的可加性）对任何三个不同的数，有
性质4
性质5 如果在区间上，，则
推论
性质6 （定积分的估值）设M 及m 分别是函数在区间上的最大值及最小值，则
性质7 （定积分中值定理）
如果函数在区间上连续，则在上至少有一点，
使成立
例2 比较下面两个积分的大小
与
解设，
在（0，1）内，单调增
当时，有，即
由性质5，
例3估计积分的值
解只需求出在区间上的最大值、最小值即可。
设，
，令，得，
所以，在区间上
由性质6，
设在区间上连续，，则定积分一定存在，当在上变动时，它构成了一个的函数，称为的变上限积分函数，记作即
定理如果函数在区间上连续，则积分上限的函数在上具有导数，且导数是，即
说明：
1.由原函数的定义知, 是连续函数的一个原函数，因此，此公式揭示了定积分与原函数之间的联系。
2.当积分上限的函数是复合函数时，有
更一般的有
例1 （1），则： =
（2），则：
（4），则：
（5）设，求:
此题中为函数的自变量，为定积分的积分变量，因而是两个函数乘积的形式由求导法则
=
= +
（6）=0（因定积分的结果为一常数，故导数为零）
（7）设是方程所确定的函数，求解利用隐函数求导法则和变限积分求导法则有
则=
例2 设，求。
例3 设为连续函数，（1）若，则______ , ___ 。
（2）
例4求
解这是型不定式，用罗必塔法则
定理（牛顿——莱公式）如果函数是连续函数在区间
上的一个原函数，则
此公式表明：一个连续函数在区间上的定积分等于它的任一个原函数在该区间上的增量，此公式也称为微积分基本公式。
例5
DDY整理解原式
例6
解原式。