10379-数学建模-常微分方程模型
(完整版)常微分方程在数学建模中的应用.
微分方程应用1 引言常微分方程的形成与发展和很多学科有着密切的联系，例如力学、天文学、物理学等.数学的其他分支的快速发展，产生出很多新兴学科，这些新兴学科的产生都对常微分方程的发展有着深刻的影响，而且当前计算机的快速发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具.数学解决实际问题就必须建立模型，而数学建模就是把数学语言描述实际现象的过程.利用数学去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分重要的一步，但是也是最困难的一步.建立数学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程.要通过大量调查、收集相关数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题.因此本文先简要介绍了如何建立微分方程模型，并通过具体的实例来简单地介绍了微分方程在数学建模中的应用.2 数学模型简介通常我们把现实问题的一个模拟称为模型．如交通图、地质图、航空模型和建筑模型等．利用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等来模拟现实的模型称为数学模型．数学模型在实际生活中经常碰到，如求不规则图形的面积，可建立定积分的数学模型，求变化率的问题可建立导数模型，统计学中抽样调查，买彩票中奖的概率问题等等．学会建立数学模型对解决实际生活问题会有很大的帮助．建立数学模型是沟通摆在面前的实际问题与数学工具之间联系的一座必不可少的桥梁．随着科学技术的进步，特别是电子计算机技术的迅速发展，数学已经渗透到从自然科学技术到工农业生产建设，从经济生活到社会生活的各个领域．一般地说，当实际问题需要我们对所研究的现实对象提供分析、预报、决策、控制等方面的定量结果时，往往都离不开数学的应用，而建立数学模型则是这个过程的关键环节．3 常微分方程模型3．1 常微分方程的简介微分方程的发展有着渊远的历史．微分方程和微积分产生于同一时代，如苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解.牛顿在建立微积分的同时就对简单的微分方程用级数来求解.后来，瑞士数学家雅各布·贝努、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程理论.纵观微分方程的发展史，我们发现微分方程与物理、天文学以及日异月新的科学技术有着密切的联系.如牛顿研究天体力学和机械力学的时候，就利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动的规律.后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置.而这些都证明微分方程在改造自然和认识自然方面有着巨大的力量.微分方程是自变量、未知函数及函数的导数(或微分)组成的关系式．在解决实际问题的过程中，我们又得出了常微分方程的概念：如果在一个微分方程中出现的未知函数中只含有一个自变量，那么这个方程则称为常微分方程，也可以简单的叫做微分方程.在反映客观现实世界运动过程的量与量之间的关系中，大量存在满足微分方程关系似的数学模型，需要我们通过求解常微分方程来了解未知函数的性质．常微分方程是解决实际问题的重要工具.3．2 常微分方程模型示例数学模型按照建立模型的数学方法可以分为初等数学模型、几何模型、微分方程模型、图论模型、马氏链模型和规划论模型等．当我们描述实际对象的某些特性随时间(或空间)而演变的过程，分析它的变化规律，预测他的未来性态时，通常要建立对象的动态模型，即微分方程模型．建立微分方程模型就是把物理、化学、生物科学、工程科学和社会科学中的规律和原理用含有待定函数的导数或微分的数学关系式表示出来．下面我们由浅入深地介绍一些微分方程模型．例1 细菌的增长率与总数成正比．如果培养的细菌总数在24h内由100增长为400，那么，前12h后总数是多少？解：第一句话说的是在任何瞬间都成立的事实；第二句话给出的是特定瞬间的信息．如果我们用)y表示总数，第一句话告诉我们(tky dtdy = 它的通解为kt y Ae =A 和k 这两个常数可以由问题中第二句话提供的信息计算出来，即,100)0(=y (3.1) 和 ,400)24(=y (3.2) 其中t 的单位为小时．(3.1)意味着.100)0(0===A Ae y(3.2)意味着.400100)24(24==k e y它给出 .24)4(ln =k 故 .100)(244ln t e t y =要我们求的是200100)12(4ln )2412(==e y 个细菌．例 2 将室内一支读数为 60的温度计放到室外．10min 后，温度计的读数为 70；又过了10min ，读数为 76.先不用计算，推测一下室外的温度.然后利用牛顿的冷却定律计算出正确的答案．牛顿的冷却定律或称加热定律是：将温度为T 的物体放进处于常温m 的介质中时，T 的变化速率正比于T 与周围介质的温度差．在这个数学模型中，假定介质足够大，从而，当放入一个较热或较冷的物体时，m 基本上不受影响．实验证明，这是一个相当好的近似．解 显然，对于这个题首先要做的是了解牛顿定律的含义，这已经做过了。
常微分方程模型
yx
y
M0 M
o
α0
x
β
θ
dy (tanα0 )x + y = . 因而得到 y x 满足的微分方程 dx x (tanα0 ) y
三、本讲习题
作业 习题1.1, 1, 2.
莱布尼兹 (Leibniz, Gottfried Wilhelm, 1646-1716)
德国数学家、自然科学家、哲学家。1646 年7月1日生于莱比锡，1716年11月14日卒于 汉诺威。 他的研究涉及逻辑学、数学、力学、地质学、法学、历史、 语言及神学等多种领域，其目的是寻求一种可以获得知识和创造 发明的普遍方法。在数学中以独立创立微积分学而著称，所发表 之论文从几何学的角度论述微分法则，得到微分学的一系列基本 结果，是较早的微积分文献。1686年他又发表第一篇积分学论 文，可以求出原函数。这两篇文献均早于牛顿首次发表的微积分 结果(1687)，但他开始从事研究的时间要晚近10年，因此数学史 上将他二人并列做为微积分的创立者。莱布尼兹于1694年进一 步补充了积分结果。他创设的数学符号非常优良，对微积分的发 展有极大影响，直到现在仍在使用。
y = g.
例 3 弹簧振子:设质量为 m 的弹簧振子作水平自由
例3 振动,见右图.弹簧的弹性系数为 k ,阻力与速度成正
比,阻尼系数为 .
用 x t 表示振子当前所处的位置,并 假设弹簧松弛时振子所处的位置 为x
0 .那么振子在时刻 t 受到的
dx
′) x ( tkx(t 源自 ox (t )解: 设坐标原点为 M 0. 设曲线 的方程为 y
过点 M x, y 的切线与 x 轴的 夹角 满足 tan θ = dy . dx 按照夹角关系,有 α 0 = θ β
常微分方程在数学建模中的应用
一般地
一阶微分方程的初始条件为：y xx0 y0 二阶微分方程的初始条件为：y xx0 y0
y x x0 y1
( x0，y0，y1为给定值)
（2）由初始条件确定了通解中任意常数后所得到的解，称为微
分方程的特解。
如 y = x2 + 2是方程（1）的特解.
则C1 2,
于是所求特解为 y 2x ex.
二、分离变量法
1．定义 形如 dy f x g y (1)
dx 的方程称为可分离变量的方程.
特点 -- 等式右端可以分解成两个函数之积，其中一个只是x 的函数，另一个只是y的函数
2．解法
设 dy f xgy
dx
分离变量得
1
g y
dy
f
x dx
k
k
故所求特解为
v
mg k
1
k
em
t
由此可见，随着t的增大，速度趋于常数mg/k，但不会超过 mg/k，这说明跳伞后，开始阶段是加速运动，以后逐渐趋于匀 速运动.
第二节 一阶线性微分方程与可降阶的高阶微分方程
一、一阶线性微分方程
1．定义： 形如
dy P x y Q x (1)
dx
例1 函数y Cx2 1 是方程xy 2 y 1 0的解吗?若是解, 是通解 2
还是特解 ?
解 将y x2 1 及y 2Cx代入所给方程左端得 2
2Cx2
2
Cx2
1 2
1
2Cx2
2Cx2
11
0
y Cx2 1 是所给方程的解. 2
又 y Cx2 1 中含有一个任意常数C，而所给方程又是一阶微分方程，
常微分方程在数学建模中的应用
常微分方程在数学建模中的应用目录摘要 (1)1引言 (2)2 常微分方程的发展概况 (2)3 数学建模简介 (3)4 常微分方程和数学建模结合的特点 (3)5 常微分方程在数学建模中的应用 (3)5.1 建立微分方程的方法 (4)5.2市场价格模型 (5)5.3广告模型 (7)5.4人口预测模型 (9)5.5混合溶液的数学模型 (11)5.6振动模型 (13)5.7教育问题模型 (16)6 总结 (19)参考文献 (20)常微分方程在数学建模中的应用摘要常微分方程是在17世纪伴随着微积分而发展起来的一门具有重要应用价值的学科.它是研究连续量变化规律的重要工具，是众多实际问题与数学之间联系的重要桥梁.在历史上，牛顿正是通过求解常微分方程证实了地球绕太阳运动的轨道是椭圆；天文学家通过常微分方程的计算，预见了海王星的存在.随着工业化的进展，常微分方程在航海、航空工业生产以及自然科学的研究中发挥了重要作用.计算机和计算技术的发展,使微分方程的求解突破了经典方法的局限,迈向数值计算和图像模拟,这为微分方程的应用提供了更为广阔的天地和有效手段,也使得建立数学模型显得尤为重要.本文主要从市场价格模型、广告模型、人口预测模型、混合溶液的数学模型、教育问题模型来论述常微分方程在数学建模中的应用。
关键字：常微分方程；数学建模；市场价格模型；广告模型；人口预测模型；混合溶液的数学模型；教育问题模型1引言在初等数学中，方程有很多种，比如线性方程、指数方程、对数方程、三角方程等，然而并不能解决所有的实际问题。
要研究实际问题就要寻求满足某些条件的一个或几个未知数方程。
这类问题的基本思想和初等数学的解方程思想有着许多的相似之处，但是在方程的形式、求解的具体方法、求出解的性质等方面依然存在很多不同的地方，为了解决这类问题，从而产生了微分方程。
常微分方程是许多理工科专业需要开设的基础课程，常微分方程与微积分是同时产生的，一开始就成为人类认识世界和改造世界的有力工具，随着生产实践和科学技术的发展，该学科已经演变发展为数学学科理论中理论联系实际的一个重要分支。
微分方程模型
模型评价
隔离病人和在传染病爆发前对易感人群接 种疫苗都是有效降低日接触率λ 种疫苗都是有效降低日接触率λ, 使σ减小, 减小, 从而使病人比例减小; 从而使病人比例减小; 研发特效药是有效提高日治愈率 使使σ 研发特效药是有效提高日治愈率;使使σ 减小,从而使病人比例减小; 减小,从而使病人比例减小;
微分方程模型
常微分方程
常微分方程是最简单的微分方程之一，也 是在建模中经常使用的方程； 常微分方程就是各项系数为常数的微分方 程； y '+ y + xy 2 = 0 微分方程的解就是满足这个式子的函数 y=f(x,C)； y=f(x,C)；
Mathematica解常微分方程 Mathematica解常微分方程
SIS模型问题描述 SIS模型问题描述
有些传染病如流行性感冒、伤风等愈后免 疫力很低，于是病人被治愈后变成健康者， 健康者还可以被感染再变成病人。 传染病的传播是有一定范围的，在传染病 传播期内所考察地区的总人口数相对稳定。
SIS模型变量假设 SIS模型变量假设
传染病区总人口设为N 传染病区总人口设为N； 传染病区人群分为健康者和病人，它们在 人口所点比例分别为s(t)和i(t)； 人口所点比例分别为s(t)和i(t)； 日接触率：每个病人每天有效传染的平均 人数百分比λ 人数百分比λ，当病人与健康者接触，一 部分健康者就会被感染变为病人； 日治愈率：每天被治愈的病人点总病人总 数的百分比 数的百分比；
数学建模微分方程模型
数学建模微分方程模型在数学建模的旅程中，微分方程模型扮演了至关重要的角色。
它们在描述和解决各种实际问题中，从物理学到社会科学，都起到了关键的作用。
在本章中，我们将探讨微分方程模型的基本概念、类型和应用。
微分方程是一种方程，它包含未知函数的导数。
这种方程在描述变化率时非常有用，例如，描述物体的速度或加速度。
在形式上，微分方程可以表示为 y'(x) = f(x, y)，其中 y'表示 y的导数，f是一个给定的函数。
根据方程的特点，微分方程可以划分为多种类型，如线性微分方程、非线性微分方程、常微分方程、偏微分方程等。
每种类型的方程都有其特定的求解方法和应用领域。
微分方程在众多领域中都有应用，如物理学、工程学、经济学等。
例如，牛顿第二定律就是一个微分方程，它描述了物体的加速度如何由作用力决定。
人口增长模型、传染病模型等也都依赖于微分方程。
建立微分方程模型通常需要以下步骤：确定模型的目标和变量；然后，根据问题背景和物理规律建立数学模型；通过数值计算或解析解法得出结果。
求解微分方程的方法主要有两种：数值方法和解析方法。
数值方法是通过计算机程序或软件进行数值计算得到近似解，而解析方法是通过求解方程得到精确解。
对于某些类型的微分方程，可能需要结合使用这两种方法。
建立微分方程模型后，我们需要对模型进行评估和检验，以确保其有效性和准确性。
这通常包括对模型的假设进行检验、对模型的预测结果进行验证以及对模型的参数进行估计和调整等。
随着科学技术的发展，微分方程模型的应用前景越来越广阔。
例如，在生物学中，微分方程被用来描述疾病的传播动态；在经济学中，微分方程被用来分析市场供需关系的变化；在工程学中，微分方程被用来模拟复杂系统的行为等。
未来，随着大数据和人工智能等技术的发展，微分方程模型将在更多领域得到应用和发展。
微分方程模型是数学建模中一个极其重要的部分。
通过学习和掌握微分方程的基本概念、类型、应用以及求解方法等，我们可以更好地理解和解决现实生活中的各种问题。
常微分方程建模方法及案例分析
常微分方程建模方法及案例分析作者：沈延锋姜永慧沈延琦来源：《科技创新导报》2020年第24期摘要：常微分方程建模是数学建模中一类十分重要的方法，使用它通常需要建立含多个变量及导数信息的常系数微分方程。
本文首先给出了此类建模问题的基本思路、步骤和建模方法，然后通过最速降线、悬链线及药物扩散衰减三个问题对该建模方法进行了分析。
分析过程中强调了变量及其变量间关系的确定在常微分方程建立过程中的重要作用。
关键词：微分方程微元分析法最速降线悬链线药物扩散衰减中图分类号：O175 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2020）08（c）-0199-04Abstract： Ordinary differential equation modeling is a very important method in mathematical modeling. Using it， it is usually necessary to establish constant coefficient differential equations with multiple variables and derivative information. In this paper， we shall discuss the basic idea，steps and several methods about thus modeling problems firstly. Then three practical problems will be studied， as the brachistochrone problems， catenary problems and medicament diffusion problems. The important role of the determination of variables and their relations in the establishment of ordinary differential equations is emphasized.Key Words： Ordinary differential equations; Microelement analysis method; Brachistochrone; Catenary; Medicament diffusion函數的本质是两个变量之间的依赖关系，而对事物变化相互影响的关系研究是工程计算、医疗卫生和金融经济等众多领域中的核心问题。
1.1常微分方程模型
.
这就是电流强度I与时间t所满足的数学关系式.
例4 数学摆
数学摆是系于一根长度为L的线上而质量为m的质点M，在重 力作用下，它在垂直与地面的平面上沿圆周运动，试确定摆的运 动方程．
设取逆时针方向作为计算摆与铅垂线所成的角 的正方向. 质点M沿圆周的切向速度 摆的运动方程为
m dv dt
2
v l
即
u ( t ) 24 126 e
0 . 05 t
例3 R-L-C电路
如图所示的R-L-C电路. 它包含电感L,电阻R,电容C及电源e(t).
设L,R,C均为常数,e(t)是时间t的已知函数.试求当开关K合上后,电
路中电流强度I与时间t之间的关系.
解
电路的Kirchhoff第二定律: 在闭合回路中,所有支路上的电压的代数和为零. 设当开关K合上后, 电路中在时刻t的电流强度为I(t), 则电流
'
2
dx ( t )
化简，得
dt dx dt
ky ( t ) x ( t ) , x ( 0 ) x 0
kx ( n x ) , x ( 0 ) x 0
这个模型称为 SI 模型．
对无免疫性的传染病如痢疾、伤风等，病人治愈后会再次 被感染. 单位时间内的治愈率为 ，则上述 SI 方程修正为
温度的变化速度为
du dt .
由Newton冷却定律, 得到
du dt
k ( u u a ),
其中 k 0 为比例系数. 此数学关系式就是物体冷却过程的数 学模型. 解得
u ( t ) u 0 Ce kt 0 u 0 150 C u (10 ) 100 0 C
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微分方程模型人们在研究物体的运动、热量或声波的传播、电路中电压与电流的变化等物理现象，以及人口增长的预测，血药浓度的变化，交通流量的控制以及生态、环境、经济管理等过程中，作为研究对象的函数，要和函数的导数一起，用一个符合其内在规律的方程来描述，这就是微分方程，微分方程是用数学方法分析客观对象变化规律的有力工具，是一类重要的数学模型。
建立微分方程只是解决问题的第一步，通常需要求出方程的解来分析实际现象，并加以检验，虽然又是可以利用微积分方法求出某些微分方程的解分析，但实际上大量的微分方程都不能获得它们的解析表达式；即使有时能获得解细节，其表达式也非常复杂，难以讨论其性质，因此必须通过数值求解的方法算出微分方程在某些离散点处的近似解，进而分析微分方程所反映的客观规律。
1实例及其数学模型 1.1 海上缉私问题 海防某部缉私艇上的雷达发现正东方向c 海里处有一艘走私船争议一定速度象征北方向行驶，缉私艇立即以最大速度前往拦截，用雷达进行跟踪时，可保持缉私艇的速度方向始终指向走私船，建立任一时刻缉私艇的位置和缉私艇航线的数学模型，确定缉私艇追上走私船的位置，求出追上的时间。
模型 建立直角坐标系如图4.1，设在0=t 时刻缉私艇发现走私船，此时缉私艇的位置在),0,0(o ，走私船的位置在)0,(c .走私船以速度a 平行与y 轴正向行使，缉私艇以速度b 安指向走私船的方向行驶)(a b >。
在任意时刻t 缉私艇位于),(y x p 点，而走私船到达Q ),(at c 点，直线PQ 与缉私停航线（图4.1种曲线）相切，切线与x 轴正向夹角为α。
缉私艇在y x ,方向的速度分别为,sin ,cos ααb dtdyb dt dx ==有直角三角形PQR 写出αsin 和αcos 的表达式，得到微分方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+--=-+--=.)()()(,)()()(2222y at x c y at b dt dy y at x c x c b dt dx（1） 初始条件为.0)0(,0)0(==y x这就是缉私艇位置（)(),(t y t x ）的数学模型，但是有方程（1）无法得到)(),(t y t x 的解细节，需要用数值算法求解，我们将在4.3节继续讨论这个问题。
需要说明的示，缉私艇并不知道走私船的速度多大，否则缉私艇可以容易地沿一条直线追上走私船，不必用雷达跟踪，若走私船的速度已知，请读者给出缉私艇航线的方向和追),at c),y c上的时间。
1.2肉强食问题 自然界中在同一环境下的两个种群之间存在着几种不同的生存方式，比如相互竞争，及争夺同样的食物资源，造成一个种群趋于灭绝，而另一个趋向环境资源容许的最大容量；或者相互依存，及彼此提供部分食物资源，而资格和平共处，趋于一种平衡状态；在有一种关系可称之为弱肉强食，及某个种群甲靠丰富的自然资源生存，而另一种群乙靠捕食种群甲为生，种群甲称为食饵（prey ）,种群乙为捕食者（predator ）,二者组成食饵一捕食者系统。
海洋中的食用鱼和软骨鱼（鲨鱼等）、，美洲兔和山猫、落叶松和蚜虫等都是这种生存方式的典型。
这样两个种群的数量是如何演变的呢？近百年来许多数学家和生态学家对这一系统进行了深入的研究，建立了一系列数学模型，本节介绍的是最初的、最简单的一个模型，他是意大利数学家V olterra 在20世纪20年代建立的。
模型 用)(t x 表示时刻t 食饵（如食用鱼）的密度，及一定区域内的数量，)(t y 表示捕食者（如鲨鱼）的密度。
假设食饵独立生存时的（相对）增长率为常数r >0,即,/r x x= 而捕食者的存在使食饵的增长率减小，设减小量与捕食者密度成正比，比例系数为0>a ，则./ay r x x-= 捕食者离开食饵无法生存，设它独自存在时死亡率为常数0>d ，即,/d y y-= 而食饵的存在为捕食者提供了食物，是捕食者的死亡率减小。
设减小量与食饵密度成正比，比例系数为,0>b 则).(/bx d y y--= 实际上，当d bx >食捕食者密度将增长。
给定食饵和捕食者密度的初始值00,y x ，有上可知)(),(t y t x 满足一下方程：⎪⎩⎪⎨⎧==+-=--=-=-=.00)0(,)0(,)(,)(yy x x bxy dy y bx d yaxy rx x ay r x方程组（3）的解)(),(t y t x 描述了食饵和捕食者密度随时间的演变过程，我们同样得不到)(),(t y t x 的解细节，需要用数值算法求解，将在3节继续讨论这个问题。
2微分方程的数值解2.1 常微分方程数值解的定义在生产和科研中所处理的微分方程往往很复杂且大多得不出一般解。
而在实际上对初值问题，一般是要求得到解在若干个点上满足规定精确度的近似值，或者得到一个满足精确度要求的便于计算的表达式。
因此，研究常微分方程的数值解法是十分必要的。
2.2建立数值解法的一些途径1. 单步欧拉法 若步长h 较小，则有故有公式： 2. 梯形公式对方程y’=f(x,y), 两边由x i 到x i+1积分，并利用梯形公式，有故有公式：3、改进的欧拉法（预报—校正系统）实际应用时，与欧拉公式结合使用：4.龙格-库塔公式3、用Matlab 软件求常微分方程的数值解[t ，x]=solver（’f’,ts,x 0,options ）注意:1、在解n 个未知函数的方程组时，x 0和x 均为n 维向量，m-文件中的待解方程组应以x 的分量形式写成.2、使用Matlab 软件求数值解时，高阶微分方程必须等价地变换成一阶微分方程组.4.1 海上缉私（续）。
的相应近似值求出准确值，值处，即对的若干离散的开始其数值解是指由初始点，：对常微分方程n n n y y x y x y x x x x x y ,,,y )(,),(),y(x x )y(x y)f(x,y' 2121210000<<<<⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==-==-+001i )y(x y)f(x,y' ,1,2,1,0 , x y n i h x i 解微分方程：可用以下离散化方法求设 hx y h x y x y )()()('-+≈1-n ,0,1,2,i )(),(001 =⎩⎨⎧=+=+x y y y x hf y y i i i i ))](,())(,([2))(,()()(11111+++++-≈=-⎰+i i i i i i x x i i x y x f x y x f x x dt t y t f x y x y i i ⎪⎩⎪⎨⎧=++=+++)()],(),([200111x y y y x f y x f h y y i i i i i i,2,1,0 i )],(),([2),(1111=++=+=++++i i i i i i i i i i y x f y x f hy y y x hf y y 校正：预报：对于1.1节的模型（1），先设定参数，用龙格—库塔方法和MA TLAB 软件求其数值解，在设法研究其解分解。
模型的数值解1.设走私船速度20=a n mile/h,缉私艇速度b =40n mile/h,初始距离c =15n mile ，有模型（1），（2）求任意时刻缉私艇的位置及缉私艇航线。
对于给出的c b a ,,用MSTLAB 求数值解时，记.))2(),1((,)2(,)1(Tx x x y x x x ===编写如下M 文件：function dx=jisi(t,x) % 建立名为jisi 的函数M 文件 a=20;b=40;c=15;s=sqrt((c-x(1)^2+(a*t-x(2)^2);dx=[ b*(c-x(1)/s;b*(a*t-x(2)/s)； %以向量形式表示方程（1）在编写运行程序时需设定时间t 的起终点及中间的等分点，终点可参考缉私艇知道走私船速度时沿直线追上的时间（约为0.4h ），并作试探。
编程如下：ts=0:0.05:0.5 %终点食摊、调整为0.5，输出“步长”0.05 x0=[0,0] %输入x,y 的初始值（2） [t,x]=ode45(@jisi,ts,x0); %调用ode45计算 [t,x] %输出t,x(t),y(t)plot(t,x),grid, %按照数值输出作x(t),y(t)的图形 gtext(`x(t)`),gtext(`y(t)`),pauseplot(x(:,1),x(:,2),grid, %作y(x)的图形 gtext(`x`),gtext(`y`)得到的数值结果)(),(t y t x 为缉私艇的位置，列入表4.1.走私船的位置记作)(1t x ，),(1t y 显然t at t y c t x 20)(,15)(11====，将)(1t y 列入表4.1最后一列。
可知当y x h t ,,5.0=与11,y x 几乎一致，缉私艇追上走私船。
)(),(t y t x 及)(x y 的图形见图4.2(a)和图4.2(b),)(x y 为缉私艇的航线。
表115,40,20===c b a 时（1），（2）的数值解)(),(t y t x 和)(1t y图2 模型(1),(2)的解)15,40,20(===c b a2. 设c b ,不变，而走私船速度a 变大为30，35，…,接近40n mile/h,观察解的变化。
修改a 的输入，并相应地延长t 的终点，设a =35，经试探t 的终点调整为1.6合适。
表2是计算结果，其中)(),(t y t x 有两列数字，左边的是用“默认”精度（即相对误差310-，绝对误差610-）计算的，中间的t at t y 35)(1==是走私船到达的位置，可知3.1=t 时缉私艇的位置x 以接近15，但y 与)(1t y 相差甚远；t =1.4，1.5时x 超过15，这是不对的；t =1.6时y x ,与11,y x 也有差距，这些缺陷是累积误差造成的。
可试探利用ode45的控制参数options 提高精度（上面的“调用ode45计算”用以下程序代替），如设 opt=odeset(`reltol`,1e-6,`abstol`,1e-9); [t,x]=ode45(@jisi,ts,x0,opt);得到表4.2右边的),(),(t y t x 与走私船到达的位置)(),(11t y t x 相对照，知t =1.6时y x ,与11,y x 几乎一致，可认为缉私艇追上走私船，)(),(t y t x 及)(x y 的图形见图4.3(a)和图4.3(b)，)(x y 为缉私艇的航线，当x 接近15时航线几乎时正北方向，形成沿走私船逃向的追赶态势。