第9章 条件异方差模型上课讲义
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B09异方差
▪ 以三变量模型 Yi 0 1 X1i 2 X 2i ui 为例。 ▪ （1）做OLS回归得到残差 uˆ i 。 ▪ （2）做辅助回归：
uˆ i2
0
1 X1i
2X2i
3
X
2 1i
4
X
2 2i
5 X1i X 2i
vi
▪ 得到 R2 。也可以加入原始变量的更高次幂。
▪ （3）在无异方差的虚拟假设下， nR2 近似服
9
计量经济学
▪ 2、格莱泽检验（Glejser Test）：思想上类似 于帕克检验。
▪ 格莱泽建议，用OLS回归的残差的绝对值对被 认为与密切相关的变量X做回归。
▪ 他使用了如下几种函数形式：
uˆi Xi vi
uˆi Xi vi
uˆi / Xi vi
10
计量经济学
▪ 如果 表现为统计上显著异于0，就表明数据
差的。
▪ （2）非纯异方差：由于错误设定模型的误差项
所导致的异方差。
▪ （3）在对异方差进行检验和补救之前，首先要
确认模型是正确设定的。
2
计量经济学
Y的条件 分布
Y的条件方差 随着X而增大
教材210页图9-5a是另 一种形式的异方差
3
计量经济学
▪ 2、异方差产生的原因： ▪ （1）按照边干边学模型，人们在学习的过程中
计量经济学
第九章 异方差
▪ 第1节 异方差的性质与影响 ▪ 第2节 异方差的诊断 ▪ 第3节 异方差的补救措施
▪ 教学时数：4
1
计量经济学
第1节 异方差的性质与影响
▪ 一、异方差的性质
▪ 1、异方差：误差的条件方差（即因变量的条件
方差）随着自变量的变化而变化，即
第9章 异 方 差
9.3 异方差的诊断2
• 残差的图形检验graphical examination of residuals
– 见“精要§13例题”之残差图、残差平方图(收 入X为横轴) – 如果是多元回归方程，可以使用残差平方对Y^ 作图，注意，Y^是有確定规律的，它是X的线性 函数 – 如果呈现图9.6之b、c、d、e模式，即有异方差 性存在
对变换後的模型使用普通最小二乘法得到如 下结果：
Yi / 1 X i 26.611 0.069 X i Xi Se (442.622) t (0.060) R 2 0.230 (0.011 ) (6.194) DW 1.684
ˆ Y 329.996 0.075 X Se (810.332) (0.012) t (0.407) (6.105) R 2 0.489 DW 1.616
• 其中的X，可以是每一个Xi，或者是Y^。 • 如果B2以较大的概率为0，说明自变量对 残差没有影响，不存在异方差。如果B2 以较小的概率为0，说明自变量对残差有 影响，则存在异方差。
9.3 异方差的诊断4格莱泽Gleiser检验
| ei | B1 B2 xih vi h 1,2,0.5,
• 假设误差方差与X成比例，则平方根变换 • 假设误差方差与X2成比例，则倒数变换
• 2.重新设定模型
i2 9.4.1
已知时：加权最小二乘法
Y • 考虑一元线性回归模型 i 1 2 X i u, i 1,2,, n
如果每个观察值的误差项方差 i2 是已知的， 使用 1 / i 为权数，对模型(9.18)作如下变 X i ui 1 换： Yi
第9章 异方差 HETEROSCEDASTICITY
精选-时间序列分析课件-条件异方差模型
方法2：ARCH_LM检验
• ARCH_LM检验 – 1982年，Engle提出检验残差序列是否存在ARCH 效应的拉格朗日乘数检验（Lagrange multiplier test），即ARCH LM检验。
该检验等价于在如下的线性回归中用F统计量检验i 0(i 1, , m) :
at2
0
1at21
m
a2 tm
et ,
t m 1, ,T ,
其他et 表示误差项，m是事先指定的正整数，T是样本容量。
具体的
H0 :1 m 0
令SSR0
T
(at2
t m1
)2,其中
1 T
T
at2 ,
t 1
T
SSR1 eˆt2 ,其中eˆt2是前面线性回归最小二乘估计的残差。 t m1
于是，在原假设下，我们有
at的条件均值 ? at的条件方差 ?
作业：ARCH(p)模型
at的条件均值 ? at的条件方差 ? at的无条件均值 ? at的无条件方差 ?
定义t
at2
2 t
,
可以
证明{
t
}是均
值为
零的
不相关序列。
于是ARCH模型变成
at2 0 1at21 mat2m t , 这是at2的A R(m)形式，但是{ t }不是独立同分布的序列。 因为{ t }不同分布，因此上述模型的最小二乘估计是相合的，
现实金融市场上，许多金融时间序列并没有恒定的均值，大 多数序列在呈现出阶段性的相对平稳的同时，往往伴随着出 现剧烈的波动性。
金融数据的重要特征，包括： ➢ 尖峰厚尾（Leptokurtosis）：金融资产收益呈现厚尾（fat
tails）和在均值处呈现过度波峰，即出现过度峰度分布的倾 向； ➢ 波动丛聚性（clustering）：金融市场波动往往呈现簇状倾向， 即波动的当期水平往往与它最近的前些时期水平存在正相关 关系。波动率可能在一些时间上高，在另一些时间段上低。 ➢ 杠杆效应（leverage effects）：指价格大幅度下降后往往会 出现同样幅度价格上升的倾向，对价格大幅上升和大幅下降 的反应不同 ➢ 波动率以连续方式随时间变化，即波动率的跳跃是很少见的。 ➢ 波动率不发散到无穷，即在固定的范围内变化。
第九章方差分析及回归分析 第2讲精品PPT课件
x1, x2, , xn
因此干脆不把X看成随机变量，而将它当作 普通的变量。X的变化将使Y发生相应的变 化，但它们之间的变化是不确定的。由于Y 是随机变量 ，当X取得任一个可能的值x时， Y都相应地服从一定的概率分布。
10
设进行 n 次独立试验，测得试验数据如下表：
xபைடு நூலகம்
x1
x2
xn
y
y1
y2
yn
我们的问题是，如何根据这组观察值，用 “最佳”的形式来表达变量Y与x的相关关系？
比较合理的想法就是，取Xx时随机变量
Y的数学期望EY Xx 作为Xx时Y的估计值。
11
设Y的数学期望EY存在,其值随X的取值
而定，即Y的数学期望是x的函数。将这一函数
记为yx 或x，xEY Xx称为Y关于x
的回归函数。 为 此 ， 我 们 就 将 讨 论 Y 与 x的 相 关 关 系 的 问 题
转 换 为 讨 论 E Y x与 x的 函 数 关 系 了 。
由一个或一组非随机变量来估计或预测某 一个随机变量的观察值时所建立的数学模 型及所进行的统计分析称为回归分析
7
如果这个模型是线性的就称为线性回归分析 这种方法是处理变量间相关关系的有力工具，是
数理统计工作中一种常用的方法。它不仅告诉人 们怎样建立变量间的数学表达式，即经验公式， 而且还利用概率统计知识进行分析讨论，判断出 所建立的经验公式的有效性，从而可以进行预测 或估计。 本章主要介绍如何建立经验公式。
14
温度x(oc) 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 得率（%） 45 51 54 61 66 70 74 78 85 89
得率与温度关系的散点图 100 90 80 70 60 50 40
2012第9章异方差
（1)用X-Y的散点图 进行判断 看是否存在明显 的散点扩大、缩小 或复杂型趋势（即 不在一个固定的带 型域中） 9-24
Байду номын сангаас
300 Y
200
100
0 0 5000 10000 15000
X 20000
9.3 异方差的诊断：如何知道存在异方差问题？
9.3.2图形检验
2 ~ e (2)X- i 的散点图进行判断
9.1 异方差的性质
例9.1 放松管制后纽约股票交易所（NYSE）的经纪人佣金
9-13
9.1 异方差的性质
9-14
9.1 异方差的性质
例9.2 523个工人的工资等数据
Wagei B1 B2 Edui B 3 Exper ui
9-15
9.1 异方差的性质
例9.2 523个工人的工资等数据
9-11
9.1 异方差的性质
例如： 以某一行业的企业为样本建立企业生产函 数模型 Yi=Ai1 Ki2 Li3ei 被解释变量：产出量Y 解释变量：资本K、劳动L、技术A， 那么：每个企业所处的外部环境对产出量的影响被 包含在随机误差项中。 每个企业所处的外部环境对产出量的影响程度不 同，造成了随机误差项的异方差性。 这时，随机误差项的方差并不随某一个解释变量 9-12 观测值的变化而呈规律性变化，呈现复杂型。
9-39
9.3 异方差的诊断：如何知道存在异方差问题？
例9-5工资回归与怀特的一般异方差检验
Wagei B1 B2 Edui B 3 Exper ui （9-13）
ei B1 B2 Edui B 3 Exper B4 Edu
2 2 i
B 5 Experi B 6 Edui Experi ui
条件异方差模型分析解析
第三节 自回归条件异方差(ARCH)模型金融时间序列数据通常表现出一种所谓的集群波动现象。
模型随机误差项中同时含有自相关和异方差。
一、ARCH 模型 （Auto-regressive Conditional Heteroskedastic —自回归条件异方差模型）对于回归模型t kt k t t x b x b b y ε++++= 110 （3.3.1） 若2t ε服从AR （q ）过程 t q t q t t νεαεααε++++=--221102 （3.3.2） 其中tν独立同分布，并满足0)(=t E ν , 2)(σν=tD 则称（3.3.2）式为ARCH 模型，序列t ε服从q 阶ARCH 过程，记为t ε～ARCH （q ）。
(3.3.1)和(3.3.2)称为回归—ARCH 模型。
注：不同时点t ε的方差2)(t t D σε=是不同的。
对于AR （p ）模型t p t p t t y y y εφφ+++=-- 11 （3.3.3） 如果tε～ARCH （q ），则（3.3.3）与（3.3.2）结合称为AR （p ）-ARCH （q ）模型。
ARCH （q ）模型还可以表示为 *t t h =εt ν (3.3.4)21022110jt q j q t q t t h -=--∑+=+++=εααεαεααα (3.3.5)其中，tν独立同分布，且0)(=t E ν,1)(=tD ν,00>α 0≥j α)2,1(q j = 且11<∑=q j j α（保证ARCH 平稳）。
有时，（3.3.5）式等号右边还可以包括外生变量，但要注意应保证th 值是非负的。
如：p t p t q t q t t h h h ----++++++=θθεαεαα 1122110 1011<+<∑∑==p j j q i iθα对于任意时刻t ，条件期望E （tε| ,1-t ε）=0)(*=t t E h ν （3.3.6）条件方差t t t t t h E h E ==-)(*),|(2212νεσ （3.3.7） （3.3.7）式反映了序列条件方差随时间而变化。
《异方差性》PPT课件 (2)
• scalar lm1 = e(N)*e(r2)display _n "LM statistic : " %6.3f lm1 /*
• 通常的LM=3.54 • 异方差—稳健LM=4.00 • 仍然不能拒绝H0 • 问题：语句的意思，有没有直接计算LM的命令〔robust LM statistic已有，那么前面的计
?
• predict ubar1, resid • quite reg avgsen pcnv ptime86 qemp86 inc86 black hispan • predict r1, r • quite reg avgsensq pcnv ptime86 qemp86 inc86 black hispan • predict r2, r • quite gen ur1 = ubar1*r1 • quite gen ur2 = ubar1*r2 • gen iota = 1 • reg iota ur1 ur2, noconstant • scalar hetlm = e(N)-e(rss) • scalar pval = chi2tail(2,hetlm) • display _n "Robust LM statistic : " %6.3f hetlm /* • > */ _n "Under H0, distrib Chi2(2), p-value: " %5.3f pval
异方差-稳健的F统计量
例8.2 P255 GPA3.DTA
例8.2 P255 GPA3.DTA
• 1.异方差-稳健回归得R-square=0.4006 • 〔注意是春季学期，所以有条件项〕
2.联合显著性检验—约束方程回归 求R-squared=0.3983
• 通常的LM=3.54 • 异方差—稳健LM=4.00 • 仍然不能拒绝H0 • 问题：语句的意思，有没有直接计算LM的命令〔robust LM statistic已有，那么前面的计
?
• predict ubar1, resid • quite reg avgsen pcnv ptime86 qemp86 inc86 black hispan • predict r1, r • quite reg avgsensq pcnv ptime86 qemp86 inc86 black hispan • predict r2, r • quite gen ur1 = ubar1*r1 • quite gen ur2 = ubar1*r2 • gen iota = 1 • reg iota ur1 ur2, noconstant • scalar hetlm = e(N)-e(rss) • scalar pval = chi2tail(2,hetlm) • display _n "Robust LM statistic : " %6.3f hetlm /* • > */ _n "Under H0, distrib Chi2(2), p-value: " %5.3f pval
异方差-稳健的F统计量
例8.2 P255 GPA3.DTA
例8.2 P255 GPA3.DTA
• 1.异方差-稳健回归得R-square=0.4006 • 〔注意是春季学期，所以有条件项〕
2.联合显著性检验—约束方程回归 求R-squared=0.3983
第九讲异方差性 PPT资料共47页
相同。
异方差性的含义
设模型为
Y i 0 1 X 1 i 2 X 2 i . . . k X k i u i i 1 , 2 , . . . , n
如果对于模型中随机误差项 u i 有：
V a r(u i)i2 , i 1 ,2 ,3 ,...,n (5.3)
则称具有异方差性。进一步，把异方差看成是由于某个
解释变量的变化而引起的，则
V ar(ui)i22f(X i)
(5.4)
图形表示
概
率
密
Y
度
X
产生异方差的原因
（一）模型设定误差
假设正确的计量模型是：
Y i01 X 1 i2 X 2 i u i
假如略去 X 3 i ，而采用
的 β 、t 、F 等信息判断，若参数 β 显著不为零，即
认为存在异方差性。
26
White检验
（一）基本思想：
不需要关于异方差的任何先验信息，只需要在大 样本的情况下，将OLS估计后的残差平方对常数、解 释变量、解释变量的平方及其交叉乘积等所构成一 个辅助回归，利用辅助回归建立相应的检验统计量 来判断异方差性。
（一） 检验的前提条件
1、要求检验使用的为大样本容量。 2、除了同方差假定不成立外，其它假定均满足。
（二）检验的具体做法
1.排序 将解释变量的取值按从小到大排序。
2.数据分组 将排列在中间的约1/4的观察值删除掉，记
为 c ，再将剩余的分为两个部分，每部分观察
值的个数为 (n - c) / 2 。
（三）截面数据中总体各单位的差异
通常认为，截面数据较时间序列数据更容易产生异 方差。这是因为同一时点不同对象的差异，一般说来会 大于同一对象不同时间的差异。不过，在时间序列数据 发生较大变化的情况下，也可能出现比截面数据更严重 的异方差。
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两者的区别在于，GARCH模型的条件方差不仅是滞后误差平方的线性函数，而 且是滞后条件方差的线性函数，GARCH过程实质上是无限阶的ARCH过程.
利用GARCH模型，能在计算量不大时，更合适，更方便地描述高阶的ARCH过程 。
GARCH模型的基本性质 •
GARCH模型的基本性质
大多数金融数据序列的分布较正态分布而言，尾巴拖得更长，中间峰顶更尖 ，具有厚尾特征，GARCH（1,1）的尾部要比正态分布尾部厚，呈现尖峰厚 尾的形状。
ARCH模型的提出表明，经济时间序列中比较明显的变化是可以 预测的，并且这种变化是来自某一特定类型的非线性依赖性 ，而不是方差的外生结构变化。
9.1.2 ARCH效应的检验
检验ARCH效应的方法包括: LM检验、F检验和残差平方相关图检验。
LM检验 •
F检验 •
F检验 •
残差平方相关图检验
②GARCH(p,q)模型中假定参数都是非负数，从而保证方差非负，但是这些约 束隐含在任何时期增加误差的平方，都会增加误差方差，因而排除了误差 方差的随机波动行为。
GARCH模型的不足
③由于没有一致的测量波动持久性的准则，所以难以利用GARCH(p,q)模型对 条件方差的冲击是否会持久这一问题进行评价。
9.2 GARCH模型
如果ARCH模型中的阶数过高，约束条件就会变得复杂，结果也 难以解释。
针对ARCH模型的缺陷，Bollerslev在1986年提出了广义的自回归 条件异方差模型即GARCH模型。
9.2.1 GARCH(p,q)模型
•
GARCH模型的基本性质
ARCH(q)模型是GARCH(p,q)模型的特例，当p = 0时，GARCH(p,q)模型即为 ARCH(q)模型。
后来该模型又被扩展为GARCH、IGARCH、EGARCH、GARCH-M等 模型。
本章的知识框架
模 型 的 引 入 ： 解 决 金 融 市 场 中 时 间 序 列 存 在 的 异 方 差 现 象
自
回
归
条
件
异
方
差
模
型
（
A
R
C
H
）
模
型
的
表
达
式
：
u
2 t
0
ARCH 效 应 的 检 验 ： LM
1u
2 t 1
9.1 ARCH模型
•
9.1.1 ARCH(q)模型
•
9.1.1 ARCH(q)模型
•
ARCH(q)模型特点
ARCH(q)模型表明，过去的波动扰动对市场未来波动有着正向而 减缓的影响，即较大幅度的波动后面一般紧接着较大幅度的 波动，较小幅度的波动后面一般紧接着较小幅度的波动，波 动会持续一段时间。
如果波动变化只是暂时的，则市场对风险溢价不会有明显的调整，由将来预 期现金流的净现值决定的股票价格和折现因子都不会发生明显变化；如果 波动冲击无限期地存留，则可能改变整个风险溢价的期限结构，从而对长 期资本的投资产生显著影响。
9.2.2 GARCH模型误差项分布假设与估计
GARCH模型误差项的分布通常有3个假设，正态分布、学生t分布 和广义误差分布（GED）。给定误差项的分布假设，GARCH 模型都使用极大似然估计法进行参数估计。
j
2 t
j
i 1
j 1
IG ARC H 模 型
GARCH M 模 型
AGARCH
广
义
自
回
归
条
件
异
方
差
模
型
（
G
A
R
C
H
）
模
型
拓
展
不 ：
对
称
的
G
A
R
C
H
模
型
T E P
G G G
ARC ARC ARC
H H H
成
分
G
A
R
C
H
模
型
VEC GARCH
多
元
G
AR
C
H
模
型
BEEK GARCH CCC GARCH DCC GARCH
第九章 条件异方差模型（ARCH）
经典线性回归分析中，时间序列数据被认为更容易存在序列相 关，而不是异方差。
然而当学者在分析利率、汇率、股票价格等金融时间序列时， 却发现其方差会经常随时间变化，具有集群性和方差波动 性特点，即存在明显异方差现象。
第九章 条件异方差模型（ARCH）
1982年，美国经济学家恩格尔(Engle.R)教授提出了自回归条件异 方差模型(Auto Regressive Conditional Heteroscedasticity，以下 简称ARCH模型)，该模型被广泛应用于具有集群性和方差波动 性特点的金融时间序列数据的分析及预测，取得了良好的效 果，恩格尔教授也因此获得2003年诺贝尔经济学奖。
检验、F
t 检
验
与
残
差
平
方
相
关
图
检
验
广 义 自 回 归 条 件 异 方 差 模 型 （ G A R C H ） 模 型 的 引 入 ： 为 了 解 决 A R C H 模 型 估 计 时 参 数 过 多 不 易
求解的缺陷。
广
义Байду номын сангаас
自
回
归
条
件
异
方
差
模
型
（
G
A
R
C
H
）
模
型
的
表
达
式
：
2 t
0
p
i
u
2 t
i
q
针对GARCH模型误差项的不同分布，下面列举每种分布对应的 对数似然函数。
•
•
正是由于GARCH模型既能模拟价格波动的集群性特征，又有助于解释厚尾巴 现象，从而使得GARCH模型得到了广泛的应用
。此外实践中还发现，当样本较大时，GARCH(1,1)就足以描述方差的动态特 征，而且越是高频率的数据序列，ARCH效应就越显著。
GARCH模型的不足
①由于GARCH(p,q)模型假定条件方差是过去残差平方的函数，因此，条件方 差对正的价格变化和负的价格变化的反应是对称的。但是现实中，正负冲 击对波动率的影响并不对称，即存在杠杆效应，而GARCH模型不能解释这 种现象。
应用残差平方图可以显示指定滞后阶数的残差平方序列的自相关（AC）系数 与偏自相关(PAC)系数，以及计算出相应滞后阶数的Ljung-Box Q统计量，从而 反映残差序列是否存在ARCH效应。若自相关系数与偏自相关系数都近似为0 且Q统计量不显著，说明模型在该指定的滞后阶数下不存在ARCH效应，反之 则存在ARCH效应。 对于ARCH模型的估计，一般采用极大似然估计法。
因此，ARCH模型可以拟合市场波动的集群性现象，但没有说明 波动的方向。
如果时间序列的方差随时间变化，使用ARCH模型可以更精确地 估计参数，提高预测精度，同时还可以知道预测值的可靠性 。当方差较大时，预测值的置信区间就较大，从而可靠性较 差；当方差较小时，预测值的置信区间就较小，从而可靠性 较好。
利用GARCH模型，能在计算量不大时，更合适，更方便地描述高阶的ARCH过程 。
GARCH模型的基本性质 •
GARCH模型的基本性质
大多数金融数据序列的分布较正态分布而言，尾巴拖得更长，中间峰顶更尖 ，具有厚尾特征，GARCH（1,1）的尾部要比正态分布尾部厚，呈现尖峰厚 尾的形状。
ARCH模型的提出表明，经济时间序列中比较明显的变化是可以 预测的，并且这种变化是来自某一特定类型的非线性依赖性 ，而不是方差的外生结构变化。
9.1.2 ARCH效应的检验
检验ARCH效应的方法包括: LM检验、F检验和残差平方相关图检验。
LM检验 •
F检验 •
F检验 •
残差平方相关图检验
②GARCH(p,q)模型中假定参数都是非负数，从而保证方差非负，但是这些约 束隐含在任何时期增加误差的平方，都会增加误差方差，因而排除了误差 方差的随机波动行为。
GARCH模型的不足
③由于没有一致的测量波动持久性的准则，所以难以利用GARCH(p,q)模型对 条件方差的冲击是否会持久这一问题进行评价。
9.2 GARCH模型
如果ARCH模型中的阶数过高，约束条件就会变得复杂，结果也 难以解释。
针对ARCH模型的缺陷，Bollerslev在1986年提出了广义的自回归 条件异方差模型即GARCH模型。
9.2.1 GARCH(p,q)模型
•
GARCH模型的基本性质
ARCH(q)模型是GARCH(p,q)模型的特例，当p = 0时，GARCH(p,q)模型即为 ARCH(q)模型。
后来该模型又被扩展为GARCH、IGARCH、EGARCH、GARCH-M等 模型。
本章的知识框架
模 型 的 引 入 ： 解 决 金 融 市 场 中 时 间 序 列 存 在 的 异 方 差 现 象
自
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条
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异
方
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型
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A
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模
型
的
表
达
式
：
u
2 t
0
ARCH 效 应 的 检 验 ： LM
1u
2 t 1
9.1 ARCH模型
•
9.1.1 ARCH(q)模型
•
9.1.1 ARCH(q)模型
•
ARCH(q)模型特点
ARCH(q)模型表明，过去的波动扰动对市场未来波动有着正向而 减缓的影响，即较大幅度的波动后面一般紧接着较大幅度的 波动，较小幅度的波动后面一般紧接着较小幅度的波动，波 动会持续一段时间。
如果波动变化只是暂时的，则市场对风险溢价不会有明显的调整，由将来预 期现金流的净现值决定的股票价格和折现因子都不会发生明显变化；如果 波动冲击无限期地存留，则可能改变整个风险溢价的期限结构，从而对长 期资本的投资产生显著影响。
9.2.2 GARCH模型误差项分布假设与估计
GARCH模型误差项的分布通常有3个假设，正态分布、学生t分布 和广义误差分布（GED）。给定误差项的分布假设，GARCH 模型都使用极大似然估计法进行参数估计。
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IG ARC H 模 型
GARCH M 模 型
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义
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归
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型
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H H H
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VEC GARCH
多
元
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型
BEEK GARCH CCC GARCH DCC GARCH
第九章 条件异方差模型（ARCH）
经典线性回归分析中，时间序列数据被认为更容易存在序列相 关，而不是异方差。
然而当学者在分析利率、汇率、股票价格等金融时间序列时， 却发现其方差会经常随时间变化，具有集群性和方差波动 性特点，即存在明显异方差现象。
第九章 条件异方差模型（ARCH）
1982年，美国经济学家恩格尔(Engle.R)教授提出了自回归条件异 方差模型(Auto Regressive Conditional Heteroscedasticity，以下 简称ARCH模型)，该模型被广泛应用于具有集群性和方差波动 性特点的金融时间序列数据的分析及预测，取得了良好的效 果，恩格尔教授也因此获得2003年诺贝尔经济学奖。
检验、F
t 检
验
与
残
差
平
方
相
关
图
检
验
广 义 自 回 归 条 件 异 方 差 模 型 （ G A R C H ） 模 型 的 引 入 ： 为 了 解 决 A R C H 模 型 估 计 时 参 数 过 多 不 易
求解的缺陷。
广
义Байду номын сангаас
自
回
归
条
件
异
方
差
模
型
（
G
A
R
C
H
）
模
型
的
表
达
式
：
2 t
0
p
i
u
2 t
i
q
针对GARCH模型误差项的不同分布，下面列举每种分布对应的 对数似然函数。
•
•
正是由于GARCH模型既能模拟价格波动的集群性特征，又有助于解释厚尾巴 现象，从而使得GARCH模型得到了广泛的应用
。此外实践中还发现，当样本较大时，GARCH(1,1)就足以描述方差的动态特 征，而且越是高频率的数据序列，ARCH效应就越显著。
GARCH模型的不足
①由于GARCH(p,q)模型假定条件方差是过去残差平方的函数，因此，条件方 差对正的价格变化和负的价格变化的反应是对称的。但是现实中，正负冲 击对波动率的影响并不对称，即存在杠杆效应，而GARCH模型不能解释这 种现象。
应用残差平方图可以显示指定滞后阶数的残差平方序列的自相关（AC）系数 与偏自相关(PAC)系数，以及计算出相应滞后阶数的Ljung-Box Q统计量，从而 反映残差序列是否存在ARCH效应。若自相关系数与偏自相关系数都近似为0 且Q统计量不显著，说明模型在该指定的滞后阶数下不存在ARCH效应，反之 则存在ARCH效应。 对于ARCH模型的估计，一般采用极大似然估计法。
因此，ARCH模型可以拟合市场波动的集群性现象，但没有说明 波动的方向。
如果时间序列的方差随时间变化，使用ARCH模型可以更精确地 估计参数，提高预测精度，同时还可以知道预测值的可靠性 。当方差较大时，预测值的置信区间就较大，从而可靠性较 差；当方差较小时，预测值的置信区间就较小，从而可靠性 较好。