条件异方差
时间序列条件异方差模型
时间序列条件异方差模型时间序列分析是一种重要的统计分析方法，用于研究时间变量之间的关系。
在金融、经济学、气象学和其他领域，时间序列分析都扮演着重要的角色。
而条件异方差模型则是一种用于捕捉时间序列数据中异方差性质的模型。
本文将介绍时间序列条件异方差模型的概念、原理、应用以及在金融领域的重要性。
一、条件异方差模型的概念条件异方差模型，全称为条件异方差自回归移动平均模型（ARCH），是由Robert F. Engle于1982年提出的一种用于描述时间序列数据中异方差性质的模型。
它认为时间序列数据中的方差是随时间变化的，并受到之前残差的影响，即当前的方差是过去残差的函数。
而在实际应用中，ARCH模型的延伸GARCH模型则是被广泛使用的一种工具，它不仅可以捕捉时间序列数据中的异方差性质，还可以考虑到长期记忆性和其他特征。
二、条件异方差模型的原理条件异方差模型的原理在于将时间序列数据的方差建模为过去残差的函数。
以GARCH(1,1)模型为例，其方差可以表示为：σ^2_t = ω + αε^2_(t-1) + βσ^2_(t-1)其中，σ^2_t为时间t的方差，ω为模型中的常数项，α和β分别表示过去残差和过去方差的权重。
这个模型说明当前的方差受到上一个时期残差的影响，而且方差是随时间变化的。
通过对时间序列数据进行拟合，可以得到最优的α、β和ω参数，从而建立条件异方差模型。
三、条件异方差模型的应用条件异方差模型在金融领域得到了广泛的应用。
由于金融市场的波动性较高，时间序列数据中经常存在着异方差性质。
而条件异方差模型可以帮助金融从业者更好地理解和预测市场的波动性，从而做出更为准确的决策。
例如，投资者可以利用条件异方差模型对金融资产的风险进行度量和管理，而交易员可以利用该模型进行波动性的预测和交易策略的制定。
四、条件异方差模型在金融领域的重要性金融时间序列数据中的异方差性质是一个重要的问题。
大量的实证研究表明，金融资产的收益率往往表现出高度的异方差性，这给投资者和决策者带来了很大的挑战。
精选-时间序列分析课件-条件异方差模型
方法2：ARCH_LM检验
• ARCH_LM检验 – 1982年，Engle提出检验残差序列是否存在ARCH 效应的拉格朗日乘数检验（Lagrange multiplier test），即ARCH LM检验。
该检验等价于在如下的线性回归中用F统计量检验i 0(i 1, , m) :
at2
0
1at21
m
a2 tm
et ,
t m 1, ,T ,
其他et 表示误差项，m是事先指定的正整数，T是样本容量。
具体的
H0 :1 m 0
令SSR0
T
(at2
t m1
)2,其中
1 T
T
at2 ,
t 1
T
SSR1 eˆt2 ,其中eˆt2是前面线性回归最小二乘估计的残差。 t m1
于是，在原假设下，我们有
at的条件均值 ? at的条件方差 ?
作业：ARCH(p)模型
at的条件均值 ? at的条件方差 ? at的无条件均值 ? at的无条件方差 ?
定义t
at2
2 t
,
可以
证明{
t
}是均
值为
零的
不相关序列。
于是ARCH模型变成
at2 0 1at21 mat2m t , 这是at2的A R(m)形式，但是{ t }不是独立同分布的序列。 因为{ t }不同分布，因此上述模型的最小二乘估计是相合的，
现实金融市场上，许多金融时间序列并没有恒定的均值，大 多数序列在呈现出阶段性的相对平稳的同时，往往伴随着出 现剧烈的波动性。
金融数据的重要特征，包括： ➢ 尖峰厚尾（Leptokurtosis）：金融资产收益呈现厚尾（fat
tails）和在均值处呈现过度波峰，即出现过度峰度分布的倾 向； ➢ 波动丛聚性（clustering）：金融市场波动往往呈现簇状倾向， 即波动的当期水平往往与它最近的前些时期水平存在正相关 关系。波动率可能在一些时间上高，在另一些时间段上低。 ➢ 杠杆效应（leverage effects）：指价格大幅度下降后往往会 出现同样幅度价格上升的倾向，对价格大幅上升和大幅下降 的反应不同 ➢ 波动率以连续方式随时间变化，即波动率的跳跃是很少见的。 ➢ 波动率不发散到无穷，即在固定的范围内变化。
协整与自回归条件异方差理论的贡献及其应用_史璐
!""& 年 度 诺 贝 尔 经 济 学 奖 获 得 者 是 两 位 著 名 计 量 经 济 学 家 ! 罗 伯 特"恩 格 尔 ’()*+,- ./01+2 和 克
莱夫"格兰杰 #3145+ 6,780+ $% 格兰杰获奖是因为时 间 序 列 的 协 整 93)4/-+0,7-4)/: 分 析 方 法 ! 他 的 贡 献 已经被广泛地用于研究财富与消费 & 汇率与物价水 平 & 以及短期与长期利率之间的关系 % 恩格尔的最 主要贡献在于解决了经济时间序列分析领域内一 个 重 要 的 问 题’ ’’ 异 方 差 ’;48+ <=7,>4/0 =)17-414?
!"
理论研究
非平稳时间序列之间的临时性的和永久性的关系 区分开来 ! 例如 " 在长期内 " 低的通货膨胀率使汇率 坚 挺 #而 在 短 期 "由 于 跨 国 资 本 流 动 和 人 们 对 汇 率 预期的影响 " 汇率走势具有不确定性 ! 这使得传统 的标准方法对精确估计长期关系无能为力 ! 传统的处理非平稳时间序列的常用方法是考 察非平稳时间序列增长率之间的关系 ! 如果增长率 是平稳时间序列的话 " 应用传统的方法可以得到有 效的结果 ! 仅仅对增长率之间建立统计模型 " 虽然 能对短期的动态过程进行合理描述 " 但是对于变量 之间长期协变 $&’()*+,*-,’. % 关系解释程度很低 & 并 且 "使 用 这 种 方 法 更 大 的 问 题 是"很 多 经 济 理 论 通 常用绝对值而不是增长率来描述 &
ccc-garch广义自回归条件异方差模型
ccc-garch广义自回归条件异方差模型什么是广义自回归条件异方差模型（GARCH）？广义自回归条件异方差模型（Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity Model，简称GARCH模型）是一种用于描述时间序列数据中异方差性的模型。
GARCH模型是由Engle在1982年首次提出的，是对传统的自回归条件异方差模型（ARCH）的改进和扩展。
GARCH模型是一种统计模型，可以通过对数据序列进行拟合来捕捉其异方差性。
在金融学中，GARCH模型常常被用于建立金融资产价格的波动模型，从而用于风险管理和金融衍生品的定价等方面。
GARCH模型的原理是基于以下两个主要假设：第一，时间序列数据存在自回归关系，即当前观测值与过去的观测值相关；第二，时间序列数据的方差存在自回归条件异方差的特性，即方差的变动与过去的方差相关。
GARCH模型可以通过对这种自回归关系进行建模来预测未来的波动情况。
GARCH模型的一般形式可以表示为：\[r_t = \mu + \epsilon_t = \mu + \sigma_t \cdot z_t\]其中，\(r_t\)是时间序列数据的观测值，\(\mu\)是均值，\(\epsilon_t\)是误差项，\(\sigma_t\)是方差，\(z_t\)是一个标准正态分布随机变量。
GARCH模型的关键是对方差进行建模，一种常用的方式是使用ARCH效应和GARCH效应。
ARCH效应是指方差与过去的观测值相关，可以表示为：\[\sigma_t^2 = \alpha_0 + \sum_{i=1}^{p} \alpha_i \epsilon_{t-i}^2\]其中，\(\alpha_0\)是常数，\(\alpha_i\)是ARCH参数，\(p\)是ARCH阶数。
ARCH效应通过利用过去的观测值来预测当前的方差。
GARCH效应是指方差与过去的预测误差相关，可以表示为：\[\sigma_t^2 = \alpha_0 + \sum_{i=1}^{p} \alpha_i \epsilon_{t-i}^2 +\sum_{j=1}^{q} \beta_j \sigma_{t-j}^2\]其中，\(\beta_j\)是GARCH参数，\(q\)是GARCH阶数。
条件异方差模型
条件异方差模型
条件异方差模型(ConditionalHeteroskedasticityModels，CHM)是一种用来检验和处理数据中异方差（heteroskedasticity）问题的模型，旨在估计和检验观测数据中异方差的存在，以及其影响程度，来获得更准确的分析结果。
条件异方差模型可分为简单异方差模型和动态异方差模型。
简单异方差模型假设观测值有固定的异方差，而动态异方差模型则假设异方差可以动态变化。
异方差模型通常包括四个步骤：
（1）数据准备：首先，将数据转换为异方差模型可识别的数据格式，其中可能包括数据集的统计量，如平均值，方差，偏度，峰度等；
（2）模型拟合：使用统计模型拟合数据，用于预测观测值的异方差；
（3）异方差识别：利用拟合的模型，采用检验的方法来识别异方差的存在；
（4）异方差处理：对于经识别的异方差，采用最优化的处理办法，以获得更准确和实用的异方差分析结果。
由于条件异方差模型提供了一种有效的方法来理解和处理异方差，因此，它在许多学科中，如财务分析，统计分析，市场营销，投资管理，经济分析等领域中被广泛应用。
- 1 -。
计量学-向量自回归和自回归条件异方差模型
33
第二节 自回归条件异方差模型
许多学者在分析通货膨胀、汇率、股票 价格等金融时间序列时，都发现时间序 列模型扰动方差的稳定性比通常认为的 差，时间序列数据也存在异方差问题。
经济时间序列数据的这种方差变化也称 为波动集聚性（volatility clustering）， 对于研究和控制金融风险等非常有用。
似然比检验实际上就是把不同约束，有约束和 无约束的参数估计、最大似然估计分别代入上 述似然函数，根据是否有显著差异说明参数约 束或者所对应的检验假设是否成立。
24
阶H滞0 ：后一的组高变斯量向数量据自由回p归0 阶生而成不。是p1 p0 H1 ：这组变量数据是由 p1 p0 阶滞后的 高斯向量自回归生成。
f (Y , YT , ,Y1 Y0 , ,Y p1 T , Y1 Y0 , , Y p1 ; θ)
因为 η Φ1Yt1 Φ pYt p 在时期t为常 数，而 εt ~ iidN[0,Ω]，因此
Yt Yt1, Yt2,, Y p1 ~ N[η Φ1Yt1 ΦpYt p ,Ω]
17
1
n1 1,t 1
Y (1)
nn n,t 1
Y ( p)
n1 1,t p
Y ( p) nn n,t p
nt
8
这个展开形式上与一般联立方程组模型相似， 但其实有本质差异：
1、VAR模型不强调变量之间关系的理论根据，模 型形式、变量、滞后期数等并不以特定经济理 论为依据，模型变量也不存在内生、外生之分， 每个方程都包含所有的变量；
18
向量自回归模型的（条件）似然函数为:
L(θ)
f YT ,
,Y1 Y0 ,
(Y , ,Y p1
太阳黑子的多项式趋势-自回归-条件异方差模型
太阳黑子的多项式趋势-自回归-条件异方差模型一、引言太阳黑子是太阳表面上的一种特殊现象，它是太阳活动的指示物之一。
科学家们长期以来对太阳黑子的产生规律和变化趋势进行研究，希望通过对太阳黑子的分析，可以更好地理解太阳活动的变化和预测太阳活动的未来走势。
本文将从太阳黑子的多项式趋势出发，结合自回归和条件异方差模型，对太阳黑子的变化趋势进行深入分析。
二、太阳黑子的多项式趋势1. 太阳黑子是太阳表面的一种磁活动现象，它的产生与太阳的磁活动周期密切相关。
科学家们通过长期的观测和数据分析，发现太阳黑子的数量呈现出一定的周期性变化。
在研究中，常常会使用多项式趋势拟合模型来描述太阳黑子的数量随时间变化的趋势。
多项式趋势模型可以帮助科学家们更好地理解太阳黑子的长期变化规律。
2. 太阳黑子的多项式趋势分析是建立在大量观测数据的基础之上的，通过对太阳黑子数量随时间变化的数据进行拟合分析，可以得到太阳黑子的长期趋势。
多项式趋势模型可以帮助科学家们预测太阳黑子未来的变化趋势，为太阳活动的预测提供重要的参考依据。
三、自回归模型在太阳黑子研究中的应用1. 自回归模型是一种描述时间序列数据的重要工具，它可以帮助科学家们更好地理解时间序列数据的内在规律。
在太阳黑子研究中，自回归模型被广泛应用于对太阳黑子数量随时间变化的数据进行建模和分析。
2. 自回归模型可以帮助科学家们找出太阳黑子数量之间的相关性和因果关系，从而揭示太阳黑子的变化规律。
通过对太阳黑子数量时间序列数据的自回归建模分析，可以得到太阳黑子数量未来的变化趋势，并进行预测。
四、条件异方差模型在太阳黑子研究中的应用1. 条件异方差模型是一种描述时间序列数据波动性的重要方法，它可以帮助科学家们更好地理解时间序列数据的波动规律。
在太阳黑子研究中，条件异方差模型被广泛应用于对太阳黑子数量随时间变化的数据进行建模和分析。
2. 条件异方差模型可以帮助科学家们发现太阳黑子数量波动的规律性和特征，并进行预测。
garch模型均值方程和方差方程
GARCH模型均值方程和方差方程一、引言在金融领域，预测和控制风险是至关重要的。
为了应对金融市场波动性的特点，学者们提出了各种模型。
其中，GARCH模型（Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity model）是一种常用的模型，用于建模和预测金融时间序列数据的波动性。
本文将深入探讨GARCH模型的均值方程和方差方程。
首先，我们将介绍GARCH模型的基本原理和概念。
然后，我们将详细讨论GARCH模型的均值方程和方差方程，并解释其含义和表示方式。
最后，我们将通过一个实例来说明如何应用GARCH模型进行波动性预测。
二、GARCH模型基本原理和概念2.1 GARCH模型的基本原理GARCH模型是一种条件异方差模型，它是对经典的自回归移动平均模型（ARMA）的扩展。
GARCH模型最初由Bollerslev（1986）提出，用于描述金融时间序列的波动性。
它的基本原理是：波动性不仅与过去的观测值相关，还与过去的波动性相关。
2.2 GARCH模型的关键概念在深入探讨GARCH模型的均值方程和方差方程之前，我们需要了解几个关键概念。
1.条件异方差：金融时间序列通常表现出波动性的不稳定性和聚集性。
条件异方差是指波动性在不同时间段内发生变化的现象。
2.自回归（AR）：自回归是指序列之间的相关性。
AR模型用过去的观测值来预测当前值。
3.移动平均（MA）：移动平均是指通过计算时间序列的平均数来平滑数据。
MA模型用过去的误差项来预测当前值。
4.自回归移动平均（ARMA）：ARMA模型结合了AR和MA模型，用于建模时间序列数据。
三、GARCH 模型的均值方程GARCH 模型的均值方程描述了时间序列数据的平均水平。
基本形式如下：Y t =μ+∑ϕi pi=1Y t−i +εt其中，Y t 表示时间t 的观测值，μ表示均值，ϕi 表示自回归系数，p 为自回归阶数，εt 表示误差项。
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•
1 =0，则模型没有非对称性效应存在，只有当
表示幂的值，非对称性由系数 1 捕捉，如果
• 首先利用最小二乘法估计上式
GARCH 模型的检验
• 残差图
200 150 100 50 0 -50 -100 -150 1998 1999 2000 2001
GARCH 模型的检验
• 对残差序列进行ARCH效应检验
GARCH 模型的检验
• ARCH效应检验结果
GARCH 模型的检验
• 残 差 平 方 相 关 图
GARCH 模型的检验
• 对残差序列建立GARCH(1,1)模型
GARCH 模型的检验
• 均值方程 ln( spt ) 1.000051ln( spt 1 ) u t • 方差方程
2 t
9.30 106 0.202 u
2 t 1
0.779
2 t 1
GARCH 模型的检验
1 ≠0，非对称效应才会出现。
^2 ^2 t 1
p
^2 t p
t
ARCH 模型的检验
（3）进行假设检验：
H0 : 1 2 p 0 H1 : i 0(1 i பைடு நூலகம் p)
LM nR 2 ~ 2 ( p) 检验统计量
2 ( p) ， 给定显著水平 和自由度p，如果 LM ＞ 则拒绝 H 0 ，认为存在ARCH效应；如果
2
2
y x , ~ N (0, 2 ) t t t t t ut 1 ut 1 2 ln( t ) 0 1 1ln 2t 1 t 1 t 1
非对称的ARCH 模型
（3）PGARCH 模型
• 模型模拟的不是方差，而是标准差 • PGARCH(1,1)模型
GARCH 模型的检验
• 例：检验股票价格指数的波动是否具有条件异方 差性。选择的样本序列 spt 是1998年1月3日 ～2001年12月31日的上海证券交易所每日 股票价格收盘指数。
本例进行估计的基本形式为：
ln(spt ) ln(spt 1 ) ut
GARCH 模型的检验
yt x 't ht ut
ht 0 iu
i 1 p 2 t i
j
j 1
q
2
t j
非对称的ARCH 模型
（1）TARCH 模型
• 利用虚拟变量区分正的和负的冲击对条件波动性 的影响。 • TARCH（1，1）模型
I t 1 0, ut 1 0 I t 1 1, ut 1＜0
GARCH 模型
• GARCH（q，p）模型 的基本表达形式：
yt x 't ut , ut ~ N (0, 2t ) p q 2 2 2 t 0 i u t i j t j i 1 j 1
q表示GARCH项中的滞后阶数，p表示ARCH项 中的滞后阶数
条件均值方程
2 1 t 1
E(u ut 1, ut 2 ,) 0 u
u
2 p t p
条件方差方程 序列 u t 服从p阶的ARCH过程，记作 u t ～ARCH（p）
ARCH 模型的检验
• 最常用的检验方法是拉格朗日乘数法，即ARCH LM检验 • 具体步骤 （1）首先采用OLS回归 yt x 't t ，获得残差 ^ 序列 u t ； （2）然后回归 t c 1
y x , ~ N (0, 2 ) t t t t t 2 t 0 1 2t 1 1 2t 1 I t-1 1 2t 1
非对称的ARCH 模型
（2）EGARCH 模型
• 条件方差方程分析的不是 t ，而是 In( t )，并 且分别使用均值方程的干扰项和干扰项的绝对值 与干扰项的标准差之比来捕捉正负冲击给波动性 带来的非对称影响。 • EGARCH（1，1）模型
存在ARCH效应。
LM 2 ( p) ，则不能拒绝 H 0 ，说明序列不
GARCH 模型
• 基本思想 ：用一个或两个 t 的滞后值代替许多 2 t 的滞后值。
2
• GARCH（1，1）模型的基本表达形式：
y x , ~ N (0, 2 ) t t t t t 2 2 2 t 0 1 t 1 1 t 1
条件异方差模型
内容
1 2 3 4
ARCH 模型 GARCH 模型 ARCH-M 模型
非对称的 ARCH 模型
ARCH 模型
• 核心思想：随机干扰项u在时刻t的方差依赖于t时 刻之前的干扰项的误差平方的大小。
• 两个核心模型：
yt x 't ut , ut ~ N (0, 2t )
2 t 2 t
• 对残差序列进行ARCH效应检验
GARCH 模型的检验
• 残 差 平 方 相 关 图
ARCH-M 模型
• 利用条件方差表示预期风险 • ARCH-M(p)模型
yt x 't ht ut
ht 0 u
2 1 t 1
u
2 p t p
• GARCH-M(q，p)模型