一元一次方程应用题(精选拔高-题型全-含详细答案-可编辑)

(1 )多位数字的表示方法：1 / 12一兀一次方程的应用1、列方程解应用题的基本步骤和方法:(1)初中列方程解应用题时，怎么列简单就怎么列 (即所列的每一个方程都直接的表示题意)担心未知数过多，简化审题和列方程的步骤，把难度转移到解方程的步骤上.(2 )解方程的步骤不用写出，直接写结果即可.(3)设未知数时，要标明单位，在列方程时，如果题中数据的单位不统一，必须把单位换算成统一单位，尤其是行程问题里需要注意这个问题.2、设未知数的方法：设未知数的方法一般来讲，有以下几种：(1)“直接设元”：题目里要求的未知量是什么，就把它设为未知数，多适用于要求的未知数只有一个的情况；(2)“间接设元”：有些应用题，若直接设未知数很难列出方程，或者所列的方程比较复杂，可以选择间接设未知数，而解得的间接未知数对确定所求的量起中介作用.(3)“辅助设元”：有些应用题不仅要直接设未知数，而且要增加辅助未知数，但这些辅助未知数本身并不需要求出，它们的作用只是为了帮助列方程，同时为了求出真正的未知量，可以在解题时消去.(4)“部分设元”与“整体设元”转换：当整体设元有困难时，可以考虑设其一部分为未知数，反之亦然，如：数字问题.，不用模块一：数字问题a、b,(其中a、b均为整数，乞9 , O^b空9 )则这个两一个两位数的十位数字、个位数字分别为位数可以表示为1Oa b .一个三位数的百位数字为a，十位数字为b,个位数字为c,(其中均为整数，且1^a乞9, O乞b岂9 ,O乞c乞9 )则这个三位数表示为：1OOa 1Ob c .(2)奇数与偶数的表示方法：偶数可表示为2k,奇数可表示为2k 1 (其中k表示整数).(3)三个相邻的整数的表示方法：可设中间一个整数为a,则这三个相邻的整数可表示为 a _1,a,a -1 .【例1】一次数学测验中，小明认为自己可以得满分，不料卷子发下来一看得了96分，原来是由于粗心把一个题目的答案十位与个位数字写颠倒了，结果自己的答案比正确答案大了36,而正确答案的个位数字是十位数字的2倍•正确答案是多少？【解析】此题中数据96与列方程无关•与列方程有关的量就是小明粗心后所涉及的量.设正确答案的十位数字为x，则个位数字为2x ,依题意，得(1O 2x - x) -(1Ox - 2x) =36，解之得x=4 .于是2x =8 .所以正确答案应为48.【答案】48【例2】某年份的号码是一个四位数，它的千位数字是2，如果把2移到个位上去，那么所得的新四位数比原四位数的2倍少6,求这个年份.【解析】设这个年份的百位数字、十位数字、个位数字组成的三位数为x，则这个四位数字可以表示为2 1OOO x，根据题意可列方程：1Ox 2=2 2 1OOO x -6，解得x=499【答案】2499年【例3】有一个四位数，它的个位数字是8,如果将个位数字8调到千位上，则这个数就增加117,求这个四位数.【解析】设由原数中的千位数字、百位数字和十位数字组成的三位数为x,则这个四位数可以表示为1Ox 8 , 则调换后的新数可以表示为8OOO - x，根据题意可列方程1Ox 8 =8000 ^117，解得x =875，所以这个四位数为8758【答案】8758【例4】五一放假，小明的爸爸开车带着小明和妈妈去郊游，他们在公路上匀速行驶，下表是小明每隔1小时看到的路边里程碑上数的信息.你能确定小明在7:00时看到的里程碑上的数是多少吗？2 / 123 / 12字是 x , 则个位数字是 7-x , 根据题意可列方程100x 亠 i7 _x 「一『0 7 _x x -『0 7 _x x _ ||100x 亠〔7 _x ，解得 x =1，所以 7-x =6 .【答案】小明在 7:00时看到的两位数是 16.模块二：日历问题(1 )、在日历问题中，横行相邻两数相差1,竖列相邻两数相差 7.(2) 、日历中一个竖列上相邻 3个数的和的最小值时 24,最大值时72,且这个和一定是 3的倍数. (3)、一年中，每月的天数是有规律的，一、三、五、七、八、十、十二这七个月每月都是31天，四、六、九、十一这四个月每月都是 30天，二月平年28天，闰年29天，所以，日历表中日期的取值是有范围的.【例5】 下表是2011年12月的日历表，请解答问题：在表中用形如下图的平行四边形框框出4个数， (1 )若框出的4个数的和为74,请你通过列方程的办法，求出它分别是哪 4天？(2)框出的4个数的和可能是26吗？为什么？【解析】(1)设第一个数是X,则根据平行四边形框框出 4个数得其他3天可分别表示为x 1 , x 6 , x 7 . 根据题意可列方程： x ■ x • 1厂［X 飞厂［X • 7 =74，解得x =15 ； 所以它分别是：15, 16, 21, 22;(2)设第一个数为x ，则4x *14=26 , x=3，本月3号是周六，由平行四边形框框出 4个数， 得出结论：无法构成平行四边形.【答案】(1) 15, 16, 21, 22; (2)无法构成平行四边形.【例6】 如图，框内的四个数字的和为 28，请通过平移长方形框的方法，使框内的数字之和为 68,这样的长方形的位置有几个？能否使框内的四个数字之和为 49?若能，请找出这样的位置；若不能，请说明理由.日—三四五7x【解析】设小7:00 到 位 十明在 时看 的两 数的 位数234567S 910111213［斗151(51718IP20212223242526272S2930【解析】(1)设四个数字是a, a 1 , a 7 , a 8，根据题意可列方程：a a 1 a 7 a *8=68，解得a =13 .则平移后的四个数是13、14、20、21.(2)设四个数字是x, x 1, x 7 , x 8，则4x ■ 16 =49 , x =聖.不合题意，舍去.4【答案】平移后的四个数是13、14、20、21，这样的长方形的位置只有1个；不存在能使四个数字的和为49的长方形.【例7】把2012个正整数1, 2, 3, 4,…，2012按如图方式排列成一个表.(1)用如图方式框住表中任意4个数，记左上角的一个数为x，则另三个数用含x的式子表示出来，从小到大依次是__________________ .(2)由(1)中能否框住这样的4个数，它们的和会等于244吗？若能，则求出x的值；若不能，则说明理由.(2)不能.假设能够框住这样的4个数，则：x 8 x 16 x 24 =244，解得x=49 .•/49是第七行最后一个数，.••不可以用如图方式框住.【答案】(1) x 8 , x 16 , x 24 ; (2)不能.模块三：和差倍分问题和、差、倍问题关键要分清是几倍多几和几倍少几.(1)当较大量是较小量的几倍多几时，较大量=较小量倍数+多余量；(2)当较大量是较小量的几倍少几时，较大量=较小量倍数-所少量.【例8】一部拖拉机耕一片地，第一天耕了这片地的 -;第二天耕了剩下部分的丄，还剩下42公顷没耕完， 3 3则这片地共有多少公顷？2 2 14 / 12【解析】设这片地共有x公顷，第一天耕了这片地的 1 2，则耕地-x公顷，第二天耕了剩下部分的 -，则第3 3 3时，有一次停电，将这样的两支未使用过的蜡烛同时点燃，来电时，发现两支蜡烛所剩的长度一样，问停电的时间有多长？【解析】设停电时间为x小时，粗蜡烛长|米，则细蜡烛长21米，那么细蜡烛每小时点燃21米，粗蜡烛没小时点燃1米，根据题意可列方程：2l -2l x=.l --x，解得x=-2 2 3【答案】停电时间为2小时3【例11】2006年我市在全国率先成为大面积实施“三免一补”的州市，据悉，2010年我市筹措农村义务教育经费与“三免一补”专项资金 3.6亿元【由中央、省、市、县（区）四级共同投入，其中，中央投入的资金约2.98亿元，市级投入的资金分别是县（区）级、省级投入资金的 1.5倍、18倍】，且2010年此项资金比2009年增加1.69亿元.（1）2009年我市筹措农村义务教育经费与“三免一补”专项资金多少亿元？（2）2010年省、市、县（区）各级投入的农村义务教育经费与“三免一补”专项资金各多少亿元？（3）如果按2009-2010年筹措此项资金的年平均增长率计算，预计2011年，我市大约需要筹措农村义务教育经费与“三免一补”专项资金多少亿元（结果保留一位小数）？【解析】（1） 3.61 -1.69 =1.91 （亿元）.（2）设市级投入x亿元，则县级投入2x亿元，省级投入—x亿元，3 182 1 2 1由题意得：2.98 x x =3.6 ,解得x =0.36 .所以—x = 0.24 （亿兀），一x = 0.02 （亿兀）.3 18 3 18{ 1 69 一（3）3.6 1 •— 6.8 （亿元）.（1.91 丿【答案】（1） 1.91亿元；（2）省、市、县分别投入0.02亿元、0.36亿元、0.24亿元；（3） 6.8亿元.1 (2 \ 1 2 1二天耕地 1 x x (公顷)，根据题意可列方程：x x x=42，解得x =189.3 I 3丿9 3 9【答案】189.【例9】牧羊人赶着一群羊寻找一个草长得茂盛的地方，一个过路人牵着一只肥羊从后面跟了上来，他对牧羊人说：“你赶的这群羊大概有100只吧！”牧羊人答道：“如果这群羊增加一倍，再加上原来这群羊的一半，又加上原来这群羊一半的一半，连你这只羊也算进去，才刚好凑满100只.”问牧羊人的这群羊共有多少只？1 1【解析】设这群羊共有x只，根据题意可列方程：2x -x -x ^100，解得x=36.2 4【答案】36【例10】有粗细不同的两支蜡烛，细蜡烛之长时粗蜡烛之长的2倍，细蜡烛点完需1小时，粗蜡烛点完需2小5 / 12模块四：行程问题一、行程问题路程=速度刈寸间相遇路程=速度和x相遇时间追及路程=速度差＞追及时间二、流水行船问题顺流速度=静水速度+水流速度逆流速度=静水速度-水流速度1水流速度=-x （顺流速度—逆流速度）2三、火车过桥问题火车过桥问题是一种特殊的行程问题，需要注意从车头至桥起，到车尾离桥止，火车所行距离等于桥长加上车长，列车过桥问题的基本数量关系为：车速x过桥时间=车长+桥长.【例12】有甲、乙、丙三人同时同地出发，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲与乙、丙背向而行.甲每分钟走40米，乙每分钟走38米，丙每分钟走36米.出发后，甲和乙相遇后3分钟和丙相遇，求花圃的周长.【解析】设甲、乙相遇时间为t分钟，则甲、丙相遇时间为t 3分钟，根据题意，由相遇路程相等可列方程t 38 -36 [=3 40 366 / 127 / 12【答案】8892米【例13】某人从家里骑摩托车到火车站，如果每小时行 30千米，那么比火车开车时间早到15分钟，若每小时行18千米，则比火车开车时间迟到 15分钟，现在此人打算在火车开车前 则此人此时骑摩托车的速度应为多少？【解析】设此人从家里出发到火车开车的时间为根据题意可列方程：30(x _普)30(1嵋 271』_60【答案】27【例14】甲、乙两车同时从 A , B 两地出发，相向而行，在A , B 两地之间不断往返行驶.甲车到达B 地后,在B 地停留了 2个小时，然后返回 A 地；乙车到达 A 地后，马上返回B 地；两车在返回的途中又 相遇了，相遇的地点距离 B 地288千米•已知甲车的速度是每小时 60千米，乙车的速度是每小时 40千米.请问：A , B 两地相距多少千米？【解析】设A 、B 两地相距x 千米，根据题意可列方程： 2x -288一^88注，解得x=420 40 60【答案】420千米【例15】某人骑自行车从 A 地先以每小时12千米的速度下坡后，再以每小时9千米的速度走平路到 B 地, 共用了55分钟•回来时，他以每小时8千米的速度通过平路后，再以每小时4千米的速度上坡，从B 地到A 地共用11小时，问A 、B 两地相距多少千米？2【解析】间接设未知数，设从A 地到B 地共用x 小时，根据题意可列方程：12t d 55-t 9=3t 4d 3-3t 8 ,⑹丿(2丿1 i /55 、、解得t ，所以A 、B 两地相距12t t 9=9 (千米)4 花0 丿 【答案】9千米【例16】一人步行从甲地去乙地，第一天行若干千米，自第二天起，每一天都比前一天多走同样的路程，这样10天可以到达乙地；如果每天都以第一天所行的相同路程步行，用 15天才能到达乙地；如果每天都以第一种走法的最后一天所行的路程步行到乙地，需要几天？【解析】设a 是第一次第一天走的路程， b 是第二天起每天多走的路程，x 是所求的天数.则根据题意可列方程： 15a = a ■ (a b )( a 2b )(a3b ) ( a 4b )( a5b ) ( a6b ) ( a 7b ) (a 8b ) (a9b ),解得a =9b .又 15^x a 9b ，解得 x =7.5 .【答案】7.5天【例17】一只小船从甲港到乙港逆流航行需2小时，水流速度增加一倍后， 再从甲港到乙港航行需 3小时,水流速度增加后，从乙港返回甲港需航行多少小时？【解析】设小船在静水中的速度为 a ，原来的水速为b ，则2(a -b) =3( a -21)，解得a =4b ，故所求时间为10分钟到达火车站， (千米/时)x 小时,15= 18(x 一)，解得 x =1，60此人打算在火车开车前 10分钟到达，骑摩托车的速度应为2(a b)=1 (小时)•(a 2b)【答案】1【例18】一个人乘木筏在河面顺流而下，漂到一座桥下时此人想锻炼一下身体，便跳入水中逆水游泳，10分钟后转身追赶木筏，终于在离桥1500米远的地方追上木筏，假设水流速度及此人游泳的速度都一直不变，那么水流速度为多少？【解析】因为向上游了10分钟，所以返回追赶也要10分钟(流水中的相遇时间与追及时间都与水流速度无1关)，即水流20分钟的路程为1500米，水流速度为1.5“丄=：4.5 (千米/时).3【答案】水流速度为 4.5千米/时【例19】一小船由A港到B港顺流需行6小时，由B港到A港逆流需行8小时，一天，小船从早晨6点由A港出发顺流行至B港时，发现一救生圈在途中掉落在水中，立即返回，1小时后找到救生圈.问：(1)若小船按水流速度由A港漂流到B港需多少小时？(2)救生圈是何时掉入水中的？【解析】(1)设小船在静水中的速度为a，水流速度为b，则6(a - b) =8(a -b)，解得a = 7b，故小船按水流速度由A港漂流到B港所需时间为6(a耳=48 (小时)；b(2)设小船行驶x小时后，救生圈掉入水中，则(6-x 1)b，(a-b) 1 =(6 - x)(a • b)，将a = 7b代入上式，得到x =5，故救生圈是上午11点掉入水中的【答案】48 ; 5模块五：工程问题工作总量=工作时间＞工作效率各部分工作量之和=1【例20】有甲、乙、丙三个水管，独开甲管5小时可以注满一池水；甲、乙两管齐开，2小时可注满一池水；甲、丙两管齐开，3小时注满一池水•现把三管一齐开，过了一段时间后甲管因故障停开，停开后2小时水池注满.问三管齐开了多少小时？【解析】由题意知，甲管注水效率为1,甲、乙两管的注水效率之和为1,甲、丙两管的注水效率之和为1,5 2 3 设三管齐开了x小时，根据题意可列方程：~x - -l x 2 =1，解得x =—5 (2 3 5 丿194【答案】—小时19【例21 ］检修一住宅区的自来水管道，甲单独完成需14天，乙单独完成需18天，丙单独完成需12天.前7天由甲、乙两人合作，但乙中途离开了一段时间，后2天由乙、丙两人合作完成，问乙中途离开8 / 129 / 12【答案】乙中途离开了 3天【例22】某中学库存若干套桌凳，准备修理后支援贫困山区学校，现有甲、乙两木工组，甲每天修桌凳16套，乙每天修桌凳比甲多 8套，甲单独修完这些桌凳比乙单独修完多用 20天，学校每天付甲组 80元修理费，付乙组 120元修理费. (1) 问该中学库存多少套桌凳？ (2)在修理过程中，学校要派一名工人进行质量监督，学校负担他每天10元生活补助费，现有 三种修理方案：①由甲单独修理；②由乙单独修理；③甲、乙合作同时修理•你认为哪种方案省 时又省钱为什么？【解析】(1)设该中学库存x 套桌凳，根据题意可列方程： —20 ,解得x =960 .16 24(2)方案①所需费用：96080 10 =5400 (元)；16方案②所需费用：960120 1^=5200 (元); 方案③所需费用： -96080 120 10 =5040 (元).16+24 综上，方案③最省钱.【答案】(1) 960套；(2)方案③最省钱.模块六：商品销售问题在现实生活中，购买商品和销售商品时，经常会遇到进价、标价、售价、打折等概念，在了解这些基 本概念的基础上，还必须掌握以下几个等量关系：利润 标价=进价 1+利润率 利润=售价—进价利润率=100%*‘进价利润=进价旳利润率实际售价=标价 ＞打折率【例23】某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了6.4%，使得利润增加了 8个百分点，求经销这种商品原来的利润率•【解析】设经销这种商品原来的利润率为x ，原进价为a ，根据题意可列方程：a(1 x) =a(1 -6.4%)(1 x 8%)，解得 x =17% .【答案】17%【例24】某商品月末的进货价为比月初的进货价降了8%，而销售价不变，这样，利润率月末比月初高 10%,了几天？【解析】设乙中途离开x 天，根据题意可列方程=1 ,14 18 12问月初的利润率是多少？【解析】设月初进货价为a元，月初利润率为x,则月初的销售价为a 1 x元，月末进货价为a 1-8%元，销售价为a 1-8% 1 x '10% 元，根据月初销售价与月末销售价相等可列方程：a 1 x =a 1 -8% I』］x 10% ，解得x =0.15 .10 /12（1）请问：投资者选择哪种购铺方案, 5年后所获得的投资收益率更高？为什么？（注:投资收益率投资收益实际投资额【答案】15%【例25】某公司生产一种饮料是由 A , B两种原料液按一定比例配制而成，其中A原料液的成本价为15元/千克，B原料液的成本价为10元/千克，按现行价格销售每千克获得70%的利润率•由于市场竞争，物价上涨，A原料液上涨20% , B原料液上涨10%，配制后的总成本增加了12%，公司为了拓展市场，打算再投入现总成本的25%做广告宣传，如果要保证每千克利润不变，则此时这种饮料的利润率是多少？【解析】原料液A的成本价为15元/千克，原料液B的成本价为10元/千克，涨价后，原A价格上涨20%，变为18元；B上涨10%，变为11元，总成本上涨12%, 设每100千克成品中，二原料比例A占x千克，B占（100-x）千克，则涨价前每100千克成本为15x 10 100-x，涨价后每100千克成本为18x，11 100-x ,根据题意可列方程：18x +1Q1 04x）—[ 轴（1 0 1书0 F + 1 ），解得x_10°,所以600100「X 二7即二者的比例是：A:B -1:6，则涨价前每千克的成本为15• 60二75（元），销售价为127.5元，7 7 7 7利润为7.5元.原料涨价后，每千克成本变为12兀，成本的25%为3兀，保证利润为7.5兀，则利润率为：7.5-〉12 -31=50% .【答案】50%.模块七：方案决策问题在实际生活中，做一件事情往往会有多种选择，这就需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用，到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，把每一种方案的结果先算出来，进行比较后得出最佳方案.【例26】某开发商进行商铺促销，广告上写着如下条款：投资者购买商铺后，必须由开发商代为租赁5年，5年期满后由开发商以比原商铺标价高20%的价格进行回购，投资者可在以下两种购铺方案中做出选择：方案一：投资者按商铺标价一次性付清铺款，每年可以获得的租金为商铺标价的10% .方案二：投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款，2年后每年可以获得的租金为商铺标价的10%，但要缴纳租金的10%作为管理费用.（2）对同一标价的商铺，甲选择了购铺方案一，乙选择了购铺方案二，那么益将相差5万元•问：甲、乙两人各投资了多少万元?【解析】（1）设商铺标价为x万元，则5年后两人获得的收100% )12 / 12按方案一购头，则获投资收益 120% -1 x x 10% 5=0.7x ，投资收益率为 0.7x100% =70%x按方案二购买，则获投资收益120% -0.85 x x 10% 1-10%3=0.62x ,投资收益率为0.62x 100% : 72.9% .0.85x所以投资者选择方案二获得的投资收益率高•(2)由题意得，0.7x -0.62x =5，解得x =62.5，所以甲投资了 62.5万元，乙投资了 53.125万元【答案】略【例27】有一个只允许单向通过的窄道口，通常情况下，每分钟可以通过9人.一天王老师到达道口时，发现由于拥挤，每分钟只能有3人通过道口，此时，自己前面还有36个人等待通过，通过道口后， 还需7分钟到达学校.(1) 若绕道而行，要 15分钟到达学校。