常量与变量 公开课教案

19．1 函 数

19.1.1 变量与函数 第1课时 常量与变量

1．了解常量、变量的概念；

2．掌握在简单的过程中辨别常量和变量的方法，感受在一个过程中常量和变量是相对存在的．(重点)

一、情境导入

大千世界处在不停的运动变化之中，如何来研究这些运动变化并寻找规律呢？

数学上常用常量与变量来刻画各种运动变化．

二、合作探究

探究点一：常量与变量

【类型一】 指出关系式中的常量与变量

设路程为s km ，速度为v km/h ，时

间为t h ，指出下列各式中的常量与变量：

(1)v ＝s 8

；

(2)s ＝45t －2t 2； (3)v t ＝100.

解析：根据变量和常量的定义即可解答．

解：(1)常量是8，变量是v ，s ；

(2)常量是45，2，变量是s ，t ；

(3)常量是100，变量是v ，t . 方法总结：常量就是在变化过程中不变的量，变量就是可以取到不同数值的量．

【类型二】 几何图形中动点问题中的常量与变量

如图，等腰直角三角形ABC 的直

角边长与正方形MNPQ 的边长均为10cm ，AC 与MN 在同一直线上，开始时A 点与M 点重合，让△ABC 向右运动，最后A 点与N 点重合．试写出重叠部分的面积y cm 2与MA 的长度x cm 之间的关系式，并指出其中的常量与变量．

解析：根据图形及题意所述可得出重叠部分是等腰直角三角形，从而根据MA 的长度可得出y 与x 的关系．再根据变量和常量的定义得出常量与变量．

解：由题意知，开始时A 点与M 点重合，让△ABC 向右运动，两图形重合的长度为AM ＝x cm.∵∠BAC ＝45°，∴S 阴影＝12·AM ·h ＝12AM 2＝12x 2，则y ＝12x 2，0≤x ≤10.其中的常量为1

2，变量为重叠部分的面积

y cm 2与MA 的长度x cm.

方法总结：通过分析题干中的信息得到等量关系并用字母表示是解题的关键，区分其中常量与变量可根据其定义判别．

探究点二：确定两个变量之间的关系

【类型一】区分实际问题中的常量与变量

分析并指出下列关系中的变量与

常量：

(1)球的表面积S cm2与球的半径R cm的

关系式是S＝4πR2；

(2)以固定的速度v0米/秒向上抛一个小

球，小球的高度h米与小球运动的时间t秒

之间的关系式是h＝v0t－4.9t2；

(3)一物体自高处自由落下，这个物体运

动的距离h m与它下落的时间t s的关系式是

h＝

1

2gt

2(其中g取9.8m/s2)；

(4)已知橙子每千克的售价是1.8元，则

购买数量x千克与所付款W元之间的关系

式是W＝1.8x.

解析：根据在一个变化的过程中，数值

发生变化的量称为变量；数值始终不变的量

称为常量可得答案．

解：(1)S＝4πR2，常量是4π，变量是S，

R；

(2)h＝v0t－4.9t2，常量是v0，4.9，变量

是h，t；

(3)h＝

1

2gt

2(其中g取9.8m/s2)，常量是1

2

g，变量是h，t；

(4)W＝1.8x，常量是1.8，变量是x，W.

方法总结：常量与变量必须存在于同一

个变化过程中，判断一个量是常量还是变

量，需要看两个方面：一是它是否在一个变

化过程中；二是看它在这个变化过程中的取

值情况是否发生变化．

【类型二】探索规律性问题中的常量

与变量

按如图方式摆放餐桌和椅子．用x

来表示餐桌的张数，用y来表示可坐人数．

(1)题中有几个变量？

(2)你能写出两个变量之间的关系式

吗？

解析：由图形可知，第一张餐桌上可以

摆放6把椅子，进一步观察发现：多一张餐

桌，多放4把椅子．x张餐桌共有6＋4(x－

1)＝4x＋2.

解：(1)有2个变量；

(2)能，关系式为y＝4x＋2.

方法总结：解答本题关键是依据图形得

出变量x的变化规律．

三、板书设计

1．常量与变量

数值发生变化的量称为变量，数值始终

不变的量为常量．

2．常量与变量的区分

整个教学过程中，作为教学主导的老师

需特别注重对学生感受知识与处理问题的

能力与结果的即兴评价．应引导学生在学习

中多举例，多类比，多思考，多体味，以此

激发和培养学生的学习兴趣，理解和接受常

量与变量的概念，改变对概念下程式化的定

义，切实提高学生的学习兴趣，降低函数学

习入门的难度．

17．1勾股定理

第1课时勾股定理

1．经历探索及验证勾股定理的过程，

体会数形结合的思想；(重点)

2．掌握勾股定理，并运用它解决简单

的计算题；(重点)

3．了解利用拼图验证勾股定理的方

法．(难点)

一、情境导入

如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它由若干个图形组成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形．各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧．你能说说其中的奥秘吗？

二、合作探究

探究点一：勾股定理

【类型一】直接运用勾股定理

如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，

AB＝13cm，BC＝5cm，CD⊥AB于D，求：

(1)AC的长；

(2)S△ABC；

(3)CD的长．

解析：(1)由于在△ABC中，∠ACB＝

90°，AB＝13cm，BC＝5cm，根据勾股定理

即可求出AC的长；(2)直接利用三角形的面

积公式即可求出S△ABC；(3)根据面积公式得

到CD·AB＝BC·AC即可求出CD.

解：(1)∵在△ABC中，∠ACB＝90°，

AB＝13cm，BC＝5cm，∴AC＝AB2－BC2＝

12cm；

(2)S△ABC＝

1

2CB·AC＝

1

2×5×12＝

30(cm2)；

(3)∵S△ABC＝

1

2AC·BC＝

1

2CD·AB，∴CD

＝

AC·BC

AB＝

60

13cm.

方法总结：解答此类问题，一般是先利

用勾股定理求出第三边，然后利用两种方法

表示出同一个直角三角形的面积，然后根据

面积相等得出一个方程，再解这个方程即

可．

【类型二】分类讨论思想在勾股定理

中的应用

在△ABC中，AB＝15，AC＝13，

BC边上的高AD＝12，试求△ABC的周长．

解析：本题应分△ABC为锐角三角形和

钝角三角形两种情况进行讨论．

解：此题应分两种情况说明：

(1)当△ABC为锐角三角形时，如图①

所示．在Rt△ABD中，BD＝AB2－AD2＝

152－122＝9.在Rt△ACD中，CD＝

AC2－AD2＝132－122＝5，∴BC＝5

＋9

＝14，∴△ABC的周长为15＋13＋14＝42；

(2)当△ABC为钝角三角形时，如图②

所示．在Rt△ABD中，BD＝AB2－AD2＝

152－122＝9.在Rt△ACD中，CD＝

AC2－AD2＝132－122＝5，∴BC＝9－5

＝4，∴△ABC的周长为15＋13＋4＝32.∴

当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长

为42；当△ABC为钝角三角形时，△

ABC

的周长为32.

方法总结：解题时要考虑全面，对于存

在的可能情况，可作出相应的图形，判断是

否符合题意．

【类型三】勾股定理的证明

探索与研究：

方法1：如图：

对任意的符合条件的直角三角形ABC

绕其顶点A旋转90°得直角三角形AED，所

以∠BAE＝90°，且四边形ACFD是一个正

方形，它的面积和四边形ABFE的面积相等，

而四边形ABFE的面积等于Rt△BAE和

Rt△BFE的面积之和．根据图示写出证明勾

股定理的过程；