2012年广州市越秀区二中数学一模试题(word版)(无答案)
广州二中初中部2011学年下学期初三“一模”考试 初三年级 数学试卷（满分150分） 出卷人：孙苏平 审卷人：曾爱群 陈景文
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．4的算术平方根是（※）
A ．-2
B ． 2
C ．±2
D ．16
2．下列运算正确的是（※）.
A ．642a a a =+
B ．642a a a =⋅
C ．624a a =）（
D ．3
26a a a =÷
3．在樱桃采摘园，五位游客每人各采摘了一袋樱桃，质量分别为（单位：千克）：5，2，3， 5，5，则这组数据的平均数和中位数分别为（※）
A ．4,3
B ．3,5
C ．4，5
D ．5,5
4．若两圆的半径分别为4和3，圆心距为1，则这两圆的位置关系是（※）
A ．内含
B ．内切
C ．相交
D ．外切
5．抛物线2)1(2-+=x y 的顶点坐标是（※）
A ．），（2-1
B ．），（21
C ．），（2-1-
D ．），（21-
6．如图，AB ∥DF ，AC ⊥BC 于C ，BC 与DF 交于点E ，若∠A=20°，则∠CEF 等于（※）
A ．110°
B ．100°
C ．80°
D ．70°
7．如图，已知⊙O 的半径为4，弦AB 长为6，P 为AB 上任一点，则OP 的最小值为（※）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．7
第6题图 第7题图 第8题图
8．一个几何体的三视图如下，其中主视图和左视图都是腰长为4，底边为2的等腰三角形，
则这个几何体侧面展开图的面积为（※）
A ．π2
B ．π2
1
C ．π4
D ．π8
9．函数a ax y -=与x
a y =）（0≠a 在同一坐标系中得图像可能是（※）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．若n m 、）（n m <是关于x 的方程0)(-1=--b x a x ）（
的两根，且b a <，则n m b a ,,,的大小关系是（※） A ．b n a m ><, B ．b n a m <>,
C ．b n a m >>,
D ．b n a m <<,
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）
11．若
110
=-）（x ，则x 的取值范围是 ．
12．若分式21+x 与2
3
-x 的值互为相反数，则x 的值为 ． 第13题图
13．如图，在⊙O 中，点B 为劣弧AC 上一点，若∠AOC=80°，则∠ABC= 度． 14．抛物线2
1
2
+
-=x mx y 与x 轴有两个交点，则m 的取值范围是 ． 15．已知q p 、是方程0132=--x x 的两个不相等的实数根，则代数式q p p +-522
的值
等
于 ．
16．在图, 有一张矩形纸片ABCD ，AB=4，AD=3，P 为AB 中点，点E 在AD 上，将△PBC ，
△PAE 反折分别得到△PCF 和△PEG ，折痕分别为PC 、PE,且点F 在PG 上，则AE 长为 ．
三、解答题（本大题共9小题，满分102分．每个大题需写出必要的解答过程，否则不得分） 17．（本小题满分10分）
先化简，再求值：m
m -+-22
482，其中1-=m ．
18．（本小题满分6分）
如图，作出Rt △ABC 的内切圆圆心． （要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
第16题图
P G F
E
D
B
C
A
第13题图
O
C
B
A
19．（本小题满分10分）
如图，有三张背面相同的卡片，其正面分别写有三个不同的数字，小明将这三张卡片背面朝上洗匀后随机摸一张，记录其标有的数字为a, 放回后洗匀再随机摸一张，记录其标有的数字为b．
（1）用列举法表示两次摸卡片所有可能出现的结果；
（2）求两次摸出的卡片上数字a，b的乘积与3是同类二次根式的概率．
20．（本小题满分12分）
如图，等边△ABC中，AO是∠BAC的角平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD 下
方作等边△CDE，连接BE.
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）延长BE至Q，P为BQ上一点，连接CP、CQ 使CP=CQ=5，若BC=8时，求PQ的长.
21．（本小题满分12分）
热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的俯角为60°，看这栋高楼底部的俯角为80°，若这栋高楼有82.6 m，问热气球与高楼的水平距离是多少？（结果精确到0.1米）
22．(本题满分12分)
某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种机器零件．现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产机器零件的数量如下表所示．经过预算，本次购买机器所用资金不能超过34万元．
（1）按该公司要求可以有几种购买方案？
（2）若改公司购进的6台机器的日生产能力不低于380个，那么为了节约资金应该选择哪种
方案？
甲乙
价格(万元/台) 7 5
每台日产量(个) 100 60
23．（本小题满分１2分）
已知(1)A m -，与(233)B m +，是反比例函数k
y x
=图象上的两个点． （1）求k 的值；
（2）若C 点坐标为（-1 , 0），则在反比例函数k
y x
=
图象上是否存在点D ，使得ABCD ，，，
四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（本小题满分１4分）
如图，在平面直角坐标系中，点P 从原点O 出发，沿x 轴向右以每秒1个单位长的
速度运动t 秒）（0>t ，抛物线c bx x y ++=2
经过点O 和点P ．已知矩形ABCD 的三个
顶点为A （1，0）、B （1，－5）、D （4，0）．
（1）求c 、b （用含t 的代数式表示）；
（2）当54<<t 时，设抛物线分别与线段AB 、CD 交于点M 、N ．
①在点P 的运动过程中，你认为∠AMP 的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不
变，求出∠AMP 的值；
②求△MPN 的面积S 与t 的函数关系式，并求t 为何值时，8
21=
S ； （3）在矩形ABCD 的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”．若
A B
C x y
O
物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接．．写出t 的取值范围．
25．（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xoy 中，边长为a （a 为大于0的常数）的正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点P ，顶点A 在x 轴正半轴上运动，顶点B 在y 轴正半轴上运动（x 轴的正半轴、y 轴的正半轴都不包含原点O ），顶点C 、D 都在第一象限．
（1）当∠BAO= 45°时，求点P 的坐标；
（2）求证：无论点A 在x 轴正半轴上、点B 在y 轴正半轴上怎样运动，点P 都在∠AOB 的
平分线上；
A D
P O
M N
C
B
x
y
（3）设点P 到x 轴的距离为h ，试确定h 的取值范围，并说明理由．
y
B
A O
C
D
P
x。
2012年广东省广州市中数学考试题(WORD版 答案扫描版)
2012年广州市初中毕业生学业考试数 学第一部分 选择题（共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分。
在每小题给出的4个选项中只有一项是符合题目要求的） 1．实数3的倒数是（ ）。
（A ）、31-（B ）、31（C ）、3- （D ）、32．将二次函数2x y =的图象向下平移1个单位，则平移后的二次函数的解析式为（ ）。
（A ）、12-=x y（B ）、 12+=x y （C ）、2)1(-=x y（D ）、2)1(+=x y3．一个几何体的三视图如图1所示，则这个几何体是（ ）。
（A ）、四棱锥 （B ）、 四棱柱 （C ）、三棱锥 （D ）、三棱柱4．下面的计算正确的是( ) 。
（A ）、156=-a a （B ）、 223a a a =+（C ）、b a b a +-=--)(（D ）、b a b a +=+2)(25．如图2，在等腰梯形ABCD 中，BC ∥AD ,AD =5,DC =4,DE ∥AB 交BC 于点E ，且EC =3，则梯形ABCD 的周长是（ ） （A ）、26 （B ）、25 （C ）、21（D ）、206．.已知,071=++-b a 则=+b a ( ) 。
（A ）、-8 （B ）、 -6 （C ）、6（D ）、87. Rt ABC △中，∠C=900，AC =9,BC =12,则点C 到AB 的距离是( )。
（A ）、536 （B ）、2512 （C ）、49 （D ）、433 8.已知a >b .若c 是任意实数，则下列不等式中总是成立的是（ ）。
（A ）、a+c <b+c （B ）、 a-c >b-c （C ）、ac <bc （D ）、ac >bc9.在平面中，下列命题为真命题的是（ ）。
（A ）、四边相等的四边形是正方形 （B ）、对角线相等的四边形是菱形 （C ）、四个角相等的四边形是矩形（D ）、对角线互相垂直的四边形是平行四边形 10.如图3，正比例函数x ky 11=和反比例函数xky 22=的图象交于A(-1,2)、B （1，-2）两点。
2012年广州市越秀区二十一中数学一模试题(word版)(含部分答案)
2012年初三学业水平测试 数学试卷（问卷）注意事项：1．答卷前，务必在答卷相应位置上面用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自已的考生号、姓名；考场试室号、座位号，再用2B 铅笔把对应这两个号码的标号涂黑．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B 铅笔画图，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，改动的答案也不能超出指定的区域，不准使用铅笔，圆珠笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 5．可以使用表明“学生用计算器”的科学计算其器．6．本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，问卷共4页，答卷共8页，满分150分，考试时间120分钟．第一部分 选择题 （共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．我国某工程预计总投资167万元，用科学计数法表示为（※）A ．310167⨯元 B ．4107.16⨯元 C ．51067.1⨯元D ．61067.1⨯元2．由7个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示（※）.A ．正视图面积最大B ．俯视图面积最大C ．左视图面积最大D ．三个视图面积一样大3．函数2-=x y 的自变量x 的取值范围是（※）A ．2>xB ．2<xC ．2≥xD ．2≤x4．已知方程0252=++x x 的两个解分别为1x ，2x ，则2121x x x x -+的值为（※）A ．-7B ．-3C ．7D ．35．已知圆锥底面半径为2cm ，母线长为5cm ，则圆锥的侧面积是（※）A ．220cmB ．220cm πC ．210cm π D ．25cm πDCBA41216x yO Oyx161248816xyO 416xyO 88886．如图所示，△ABC 中，DE ∥BC,AD=5，BD=10，AE=3，则CE 的值为（※）A ．9B ．6C ．3D ．47．若1=-n m ，2=+n m （0>m ，0>n ）则n m -的值为（※）A ．21B ．1C ．2D ．3第6题图 第9题图8．若（2，k ）是双曲线xy 1=上一点，则函数k x k y +-=)1(的图像不经过（※） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限9．如图，正方形ABCD 以AD 为边向外作等边三角形ADE ，则∠BEC 的度数为（※）A ． 30°B ．15°C ．20°D ．45°10．如图，正方形ABCD 的边长为4，P 为正方形边上一动点，运动路线是A →D →C →B →A ,设P 点经过的路程为x ，以点A 、P 、D 为顶点的三角形的面积是y .则下列图象能大致反映y 与x 的函数关系的是( )PDCBAA ．B ．C ．D ．第二部分 非选择题 （共120分）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．点A （0，﹣2）关于坐标原点对称的点的坐标为 ．12．甲、乙、丙三位选手各10次射击成绩的平均数和方差，统计如下表：选手 甲 乙 丙 平均数 9.3 9.3 9.3 方差0.0260.0150.032则射击成绩最稳定的选手是 ． (填“甲”、“乙”、“丙”中的一个)13．方程xx 221=-的解是 ． 14．如图,CD ∥AB ，∠1=120°，∠2=80°，则∠E 的度数是 ．15．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，若AC=8cm,AB=10cm,OD ⊥BC 于点D ．则BD 的长为 cm ．第14题图 第15题图16．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第n 个图形有 个小圆（用含n 的代数式表示）三、解答题（本大题共9小题，满分102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分9分）计算：120)2(1214.330sin -︒+---⋅ba b π）（ （0>a ,0>b ）18．（本小题满分9分）先化简252552-÷---x xx x x x ）（，在选取一个你认为符合题意的x 的值代入求值．19．（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点A 、B 的坐标分别为A （0，4）和B（-2，0），连接AB ．（1）现将△AOB 绕点A 按逆时针方向旋转90°得到△AO 1B 1，请画出△AO 1B 1 ； （2）求经过B 、A 、O 1三点的抛物线对应的函数关系式，并画出抛物线的略图． （3）直接写出x 取何值时，抛物线位于x 轴上方 ；20．（本小题满分12分）一个不透明的布袋里装有3个球，其中2个红球，1个白球，它们除颜色外其余都相同． （1）求摸出1个球是白球的概率；（2）摸出1个球，记下颜色后放回，并搅匀，再摸出1个球．求两次摸出的球恰好颜色不同的概率（要求画树状图或列表）； （3）现再将n 个白球放入布袋，搅匀后，使摸出1个球是白球的概率为75．求n 的值．21．（本小题满分12分）如图，以△ABC 的边AB 为直径的⊙O 交边BC 于点D ，其中边AC 与⊙O 相切于点A ，E 为AC 中点.（1）求证：∠CAD=∠B ； （2）求证：DE 是⊙O 切线.OE DCBA22．(本题满分12分)某兴趣小组用高为1.2米的仪器测量建筑物CD 的高度．如示意图，由距CD 一定距离的A 处用仪器观察建筑物顶部D 的仰角为β，在A 和C 之间选一点B ，由B 处用仪器观察建筑物顶部D 的仰角为α．测得A ，B 之间的距离为4米，tan 1.6α=，tan 1.2β=，试求建筑物CD 的高度．AC DBE F β αG23．（本小题满分１2分）某商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价15元，售价分别为20元；乙种商品每件进价35元，售价分别为45元；（1）若该商场同时购进甲、乙两种商品共100件恰好用去2700元，求能购进这两种商品各多少件？（2）该商场为使甲、乙两种商品共100件的总利润（利润=售价—进价）不少于750元，且不超过760元，请你帮该商场设计相应的进货方案．（3）在“五•一”黄金周期间，该商场对甲、乙两种商品进行如下优惠促销的活动：打折前一次性购物总金额优惠措施不超过300元不优惠超过300元且不超过400元售价打九折超过400元售价打八折按上述优惠条件，若小王第一天只购买甲商品一次性付款200元，第二天只购买乙商品一次性付款324元，那么他在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？（通过计算求出所有符合要求的结果）24．（本小题满分１4分）如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，且BC=CD=2AD，过点D作DE ∥AB，交∠BCD的平分线于点E，连接BE．将△BCE绕点C，顺时针旋转90°得到△DCG，连接EG．（1）求证：DE=DG；（2）求证：直线BE平分CD；25．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xoy中，AB在x轴上，AB=10，以AB为直径的⊙O'与y轴正半轴交于点C，连接BC，AC．CD是⊙O'的切线，AD丄CD于点D，tan∠CAD=错误！未找到引用源。
2012年广州市高三文科数学调研、一模、二模试题分类整理汇编
2012年广州市高三文科数学调研、一模、二模试题分类整理汇编1．集合与常用逻辑用语GZ-T 1．已知集合{}1,2A =，{}2,1,2B =-，则A B 等于A ．{}2-B ．{}1C ．{}1,2D ．{}1,1,2-GZ-1 1．函数y =A ．(],1-∞-B ．(),1-∞-C ．[)1,-+∞D ．()1,-+∞GZ-2 1．已知集合A 满足{}1,2A ⊆，则集合A 的个数为A ．4B ．3C ．2D ．1GZ-2 8．下列说法正确的是 A ．函数()1f x x=在其定义域上是减函数 B ．两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件C ．命题“x ∃∈R ，210x x ++>”的否定是“x ∀∈R ，210x x ++<” D ．给定命题p 、q ，若p q ∧是真命题，则p ⌝是假命题2．函数、导数GZ-T 2．已知函数()1,0,,0.xx x f x a x -≤⎧=⎨>⎩若()()11f f =-，则实数a 的值等于A ．1B ．2C ．3D ．4GZ-T 10．定义：若函数)(x f 的图像经过变换T 后所得图像对应函数的值域与)(x f 的值域相同，则称变换T 是)(x f 的同值变换．下面给出四个函数及其对应的变换T ，其中T 不属于)(x f 的同值变换的是A ．2)1()(-=x x f ，T 将函数)(x f 的图像关于y 轴对称B ．12)(1-=-x x f ，T 将函数)(x f 的图像关于x 轴对称C ．32)(+=x x f ，T 将函数)(x f 的图像关于点()1,1-对称D ．()sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，T 将函数)(x f 的图像关于点()1,0-对称 GZ-T 21．（本小题满分14分）已知函数()321232a f x x x x =-+-()a ∈R ． （1）当3a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若对于任意[)1,x ∈+∞都有()2(1)f x a '<-成立，求实数a 的取值范围； （3）若过点10,3⎛⎫- ⎪⎝⎭可作函数()y f x =图象的三条不同切线，求实数a 的取值范围．GZ-1 7．已知幂函数()22657m y m m x-=-+在区间()0,+∞上单调递增，则实数m 的值为A ．3B ．2C ．2或3D ．2-或3-GZ-1 9．已知函数()21f x x =+，对于任意正数a ，12x x a -<是()()12f x f x a -<成立的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件GZ-1 11．若函数()()2ln 1f x x ax =++是偶函数，则实数a 的值为 ．GZ-1 12．已知集合{}13A x x =≤≤，{}3B x a x a =+≤≤，若A B ⊆，则实数a 的取值范围为 ．GZ-1 20．（本小题满分14分）已知函数32()f x x ax b =-++(),a b ∈R ． （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若对任意[]3,4a ∈，函数()f x 在R 上都有三个零点，求实数b 的取值范围．GZ-2 6．已知函数()f x =e x-e1x-+ (e 是自然对数的底数)，若()2f a =，则()f a -的值为A ．1--eB ．-eC ．eD ． 1+eGZ-2 21．（本小题满分14分） 已知函数()21ln 2f x x ax x =-+，a ∈R . （1）求函数()f x 的单调区间;（2）是否存在实数a ，使得函数()f x 的极值大于0？若存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由.3．数列GZ-T 4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知33a =，63=S ，则10a 的值是A ．1B ．3C ．10D ．55GZ-1 19．（本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，它的前n 项和为n S ，若570S =，且2a ，7a ，22a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为nT ，求证：1368n T <≤．GZ-2 20．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意n ∈N *，都有0n a >且()()122n n n a a S -+=，令1ln ln n n na b a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）使乘积12k b b b ∙∙⋅⋅⋅∙为整数的(k k ∈N *)叫“龙数”，求区间[]1,2012内的所有“龙数”之和；（3）判断n b 与1n b +的大小关系，并说明理由.4．不等式GZ-T 9．已知实数y x ,满足0,1,2210.x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-+≤⎩若目标函数y ax z +=()0≠a 取得最小值时最优解有无数个，则实数a 的值为 A ．1- B ．12- C ．12D ．1GZ-1 6．在平面直角坐标系中，若不等式组20,20,x y x y x t +-⎧⎪-+⎨⎪⎩≥≥≤表示的平面区域的面积为4，则实数t 的值为A ．1B ．2C ．3D ．4GZ-2 11．不等式2230x x +-<的解集是 .GZ-2 17．（本小题满分12分）某工厂欲将这三种食物混合成100kg 的混合食物，设所用食物甲、乙、丙的重量分别为x kg 、y kg 、z kg. (1) 试以x 、y 表示混合食物的成本P ；（2）若混合食物至少需含35000单位维生素C 及40000单位维生素D ，问x 、y 、z 取什么值时，混合食物的成本最少？5．平面向量与三角GZ-T 5．已知向量()21=，a ，()2x =-，b ，若a ∥b ，则a +b 等于A ．()2,1--B ．()2,1C ．()3,1-D ．()3,1-GZ-T 7．已知函数3()sin 2()2f x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，下面结论错误．．的是 A ．函数)(x f 的最小正周期为π B ．函数)(x f 是偶函数 C ．函数)(x f 的图象关于直线4x π=对称 D ．函数)(x f 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数GZ-T 16．（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，33AD =，5sin 13BAD ∠=， 3cos 5ADC ∠=． （1）求sin ABD ∠的值； （2）求BD 的长．GZ-1 3．如果函数()sin 6f x x ωπ⎛⎫=+⎪⎝⎭()0ω>的最小正周期为2π，则ω的值为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．8GZ-1 8．已知两个非零向量a 与b ，定义sin θ⨯=a b a b ，其中θ为a 与b 的夹角．若()3,4-a =，()0,2b =，则⨯a b 的值为A ．8-B ．6-C ．6D ．8GZ-1 16．（本小题满分12分）已知函数()tan 34f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭． （1）求9f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）若234f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求cos 2α的值．ABCDGZ-1 17．（本小题满分12分）某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[)50,40，[)60,50，…，[]100,90后得到如图4的频率分布直方图．（1）求图中实数a 的值；（2）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级 期中考试数学成绩不低于60分的人数； （3）若从数学成绩在[)40,50与[]90,100两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．GZ-2 5．已知向量()()3,4,6,3,OA OB =-=- ，(),1OC m m =+，若//AB OC ，则实数m 的值为 A ．32- B ．14- C ．12 D ．32GZ-2 10. 已知实数,a b 满足22430a b a +-+=， 函数()sin cos 1f x a x b x =++的最大值记为(),a b ϕ， 则(),a b ϕ的最小值为A ．1B ．2C 1D ．3GZ-2 13．已知点P 是直角坐标平面xOy 上的一个动点，OP =O 为坐标原点）， 点()1,0M -，则cos OPM ∠的取值范围是 .GZ-2 16. （本小题满分12分）已知函数()()()cos sin cos sin f x x x x x =+-. （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）若0,022ππαβ<<<<，且12,2323f f αβ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求()sin αβ-的值.图46．立体几何GZ-T 8．设一个球的表面积为1S ，它的内接正方体的表面积为2S ，则12S S 的值等于 A ．2π B ．6π C ．6π D ．π2资料来源： 苏 元 高 考 吧 www.g GZ-T 19.（本小题满分14分）如图所示，已知正方形ABCD 的边长为2，AC BD O = ．将正方形ABCD 沿对角线BD 折起，得到三棱锥A BCD -．（1）求证：平面AOC ⊥平面BCD ； （2）若三棱锥A BCD -AC 的长．GZ-1 5．如图1A B ．C ．8 D ．12图1俯视图正(主)视图 侧(左)视图图5NM DC BA B 1C 1D 1A1图6侧（左）视图正（主）视图GZ-1 18．（本小题满分14分）如图5所示，在三棱锥ABC P -中，AB BC =平面⊥PAC 平面ABC ，AC PD ⊥于点D ，1AD =，3CD =，2=PD ．（1）求三棱锥ABC P -的体积； （2）证明△PBC 为直角三角形．GZ-2 7. 已知两条不同直线m 、l ，两个不同平面α、β，在下列条件中，可得出αβ⊥的是 A ．m l ⊥，//l α，//l β B ．m l ⊥，l αβ= ，m α⊂ C ．//m l ，l β⊥，m α⊂ D ．//m l ，m α⊥，l β⊥GZ-2 18. （本小题满分14分）某建筑物的上半部分是多面体MN ABCD -, 下半部分是长方体1111ABCD A BC D -(如 图5). 该建筑物的正（主）视图和侧（左）视图如图6, 其中正（主）视图由正方形和等 腰梯形组合而成，侧（左）视图由长方形和等腰三角形组合而成. （1）求线段AM 的长；（2）证明：平面ABNM ⊥平面CDMN ； （3）求该建筑物的体积.图5PACD7．平面解析几何GZ-T 6．直线1y kx =+与圆224x y +=的位置关系是A ．相交B ．相切C ．相离D ．与k 的取值有关GZ-T 13．已知直线()2y k x =-()0k >与抛物线28y x =相交于A 、B 两点，F 为抛物线的焦点，若2FA FB =，则k 的值为 ．GZ-T 20．（本小题满分14分）设椭圆222:12x y M a +=(a >的右焦点为1F ，直线2:22-=a a x l 与x 轴交于点A ，若112OF AF +=0（其中O 为坐标原点）． （1）求椭圆M 的方程；（2）设P 是椭圆M 上的任意一点，EF 为圆()12:22=-+y x N 的任意一条直径（E 、F 为直径的两个端点），求PF PE ⋅的最大值．GZ-1 10．已知圆O ：222x y r +=，点()P a b ，（0ab ≠）是圆O 内一点，过点P 的圆O 的最短弦所在的直线为1l ，直线2l 的方程为20ax by r ++=，那么A ．12l l ∥，且2l 与圆O 相离B ．12l l ⊥，且2l 与圆O 相切C ．12l l ∥，且2l 与圆O 相交D ．12l l ⊥，且2l 与圆O 相离GZ-1 21．（本小题满分14分）已知椭圆2214y x +=的左、右两个顶点分别为A 、B ．曲线C 是以A 、B 两点为顶点，的双曲线．设点P 在第一象限且在曲线C 上，直线AP 与椭圆相交于另一点T ． （1）求曲线C 的方程；（2）设点P 、T 的横坐标分别为1x 、2x ，证明：121x x ⋅=；（3）设TAB ∆与POB ∆（其中O 为坐标原点）的面积分别为1S 与2S ，且PA PB uu r uu rg ≤15，求2212S S -的取值范围．GZ-2 3．已知双曲线221y x m-=的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m 的值是 A ．4 B ．14 C ．14- D ．4-GZ-2 19．（本小题满分14分）已知对称中心为坐标原点的椭圆1C 与抛物线22:4C x y =有一个相同的焦点1F ， 直线:2l y x m =+与抛物线2C 只有一个公共点. （1）求直线l 的方程；（2）若椭圆1C 经过直线l 上的点P ，当椭圆1C 的长轴长取得最小值时，求椭圆1C 的方程及点P 的坐标.8．算法、统计与概率GZ-T 11．在区间()0,1内任取两个实数，则这两个实数之和小于0.8的概 率是 ．GZ-T 12．已知程序框图如右，则输出的i = ．图1895x 061162y 116987乙甲GZ-T 17．（本小题满分12分）某城市为准备参加“全国文明城市”的评选，举办了“文明社区”评选的活动，在第一轮暗访评分中，评委会对全市50个社区分别从“居民素质”和“社区服务”两项进行评分，每项评分均采用5分制，若设“社区服务”得分为x 分，“居民素质”得分为y 分，统计结果如下表：（1）若“居民素质”得分和“社区服务”得分均不低于3分（即3x ≥且3y ≥）的社区可以进入第二轮评比，现从50个社区中随机选取一个社区，求这个社区能进入第二轮评比的概率； （2）若在50个社区中随机选取一个社区，这个社区的“居民素质”得1分的概率为110，求a 、b 的值．GZ-1 4．在△ABC 中，60ABC ∠=，2AB =，3BC =，在BC 上任取一点D ，使△ABD 为钝角三角形的概率为 A ．16 B ．13 C ．12 D ．23GZ-2 4．某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛， 他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图1，其中甲班学生的 平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x +y 的值为A ．7B ．8C ．9D ．109．阅读图2的程序框图, 该程序运行后输出的k 的值为 A. 9 B. 10 C. 11 D. 129．复数GZ-T 3．设复数113i z =-，232i z =-，则21z z 在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限GZ-1 2．已知复数()i i 1i a b +=-（其中,a b ∈R ，i 是虚数单位），则a b +的值为A ．2-B ．1-C ．0D ．2GZ-2 2．已知i 为虚数单位，复数1z a =+i ,22z =-i ,且12z z =，则实数a 的值为 A ．2 B ．2- C ．2或2- D ．±2或0图3BA10．推理与证明GZ-1 13．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图2中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作11a =，第2个五角形数记作25a =，第3个五角形数记作312a =，第4个五角形数记作422a =，…，若按此规律继续下去，则5a = ，若145n a =，则n = ．GZ-2 12．如图3，,A B 两点之间有4的最大信息量分别为1,2,3,4.从中任取两条网线，则这两条 网线通过的最大信息量之和为5的概率是 .11．坐标系与参数方程 GZ-T 15．（极坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，点A 的坐标为4π⎛⎫⎪⎝⎭，曲线C 的方程为θρcos 2=，则OA （O 为极点）所在直线被曲线C 所截弦的长度为 ．GZ-1 15．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，已知直线l 与曲线C 的参数方程分别为l ：1,1x s y s =+⎧⎨=-⎩（s 为参数）和C ：22,x t y t =+⎧⎨=⎩（t 为参数）， 若l 与C 相交于A 、B 两点，则AB = ．GZ-2 14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，若等边三角形(ABC 顶点A ,,B C 按顺时512122图2图4A针方向排列)的顶点,A B 的极坐标分别为72,,2,66ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则顶点C 的极坐标 为 .12．几何证明选讲 GZ-T 14．（几何证明选讲选做题）如右图，AB 是圆O 的直径，直线CE 与圆O 相切于点C ，AD CE ⊥于点D ，若圆O 的面积为4π，30ABC ∠=，则AD 的长为 ．GZ-1 14．（几何证明选讲选做题）如图3，圆O 的半径为5cm ，点P 是弦AB 的中点，3OP =cm ，弦CD 过点P ，且13CP CD =，则CD 的长为 cm ．GZ-2 15．（几何证明选讲选做题）如图4，AB 是圆O 的直径，延长AB 至C ，使2BC OB =，CD 是圆O 的切线，切点为D ，连接AD ，则ADBD的值为 .E图3。
数学-讲义-教案2012年广一模理科数学试卷及答案
5
18． （本小题满分14分） 如图 5 所示，在三棱锥 P ABC 中， AB BC 6 ，平面 PAC 平面 ABC ，
PD AC 于点 D ， AD 1 ， CD 3 ， PD 3 ．
（1）证明△ PBC 为直角三角形； （2）求直线 AP 与平面 PBC 所成角的正弦值． 19． （本小题满分 14 分）
2
1 ．……………………………………………………9 分 5
因为 ,
5 2 5 3 ， sin ．………………………10 分 ，所以 cos 5 5 2
cos cos 4 sin sin 4 ……………………………………11 分 4
2 图1
俯视图 则实数 a 的取值范围为 ． 13．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩 上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图2中的 实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作 a1 1 ，第2 个 五 角 形 数 记 作 a2 5 ， 第 3 个 五 角 形 数 记 作 a3 12 ， 第 4 个 五 角 形 数 记 作
cm ．
15． （坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，已知直线 l 与曲线 C 的 参数方程分别为 l ：
x t 2, x 1 s, （ s 为参数）和 C ： （ t 为参数） ， 2 y 1 s y t
．
图3
若 l 与 C 相交于 A 、 B 两点，则 AB
2 2 2 2 * （3）证明： 1 L ． ≤gn 1 e （ n N ） 2 3 4 n 1
2012年广东省广州市普通高中毕业班综合测试理科数学试题广州一测及参考答案
数学（理科）试题A 第 1 页 共 4 页试卷类型:A2012年广州市普通高中毕业班综合测试(一)数学(理科)2012.3本试卷共4页,21小题, 满分150分.考试用时120分钟.注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。
2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4.作答选做题时,请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答。
漏涂、错涂、多涂的,答案无效。
5.考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。
参考公式:锥体的体积公式Sh V 31=,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 方差()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥⎣⎦,其中12nx x x x n+++=.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数()i i 1i a b +=-(其中,a b ∈R ,i 是虚数单位),则a b +的值为( )A.2-B.1-C.0D.2 2.已知全集U =R ,函数y =A ,函数()2log 2y x =+的定义域为集合B ,则集合()UA B =ð( )A.()2,1--B.(]2,1--C.(),2-∞-D.()1,-+∞ 3.如果函数()sin 6f x x ωπ⎛⎫=+⎪⎝⎭()0ω>的相邻两个零点之间的距离为12π,则ω的值为( ) A.3 B.6 C.12 D.244.已知点()P a b ，(0ab ≠)是圆O :222x y r +=内一点,直线l 的方程为20ax by r ++=,那么直线l 与圆O 的位置关系是( )A.相离B.相切C.相交D.不确定数学（理科）试题A 第 2 页 共 4 页5.已知函数()21f x x =+,对于任意正数a ,12x x a -<是()()12f x f x a -<成立的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知两个非零向量a 与b ,定义sin θ⨯=a b a b ,其中θ为a 与b 的夹角.若()3,4-a =, ()0,2b =,则⨯a b 的值为( )A.8-B.6-C.8D.67.在△ABC 中,60ABC ∠=,2AB =,6BC =,在BC 上任取一点D ,使△ABD 为钝角三角形的概率为( ) A.16 B.13 C.12 D.238.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数字中任取3个不同的数字构成空间直角坐标系中的点的坐标(),,x y z ,若x y z ++是3的倍数,则满足条件的点的个数为( )A.252B.216C.72D.42二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分. (一)必做题(9～13题) 9.如图1是一个空间几何体的三视图,则该几何体的体积为 .10.已知()211d 4kx x +⎰2≤≤,则实数k 的取值范围为 . 11.已知幂函数()22657m y m m x-=-+在区间()0,+∞上单调递增,则实数m 的值为 .12.已知集合{}1A x x =≤≤2,{}1B x x a =-≤,若A B A =I ,则实数a 的取值范围为 .13.两千多年前,古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩上画点或用小石子来表示数,按照点或小石子能排列的形状对数进行分类,如图2中的实心点个数1,5,12,22,…,被称为五角形数,其中第1个五角形数记作11a =,第2个五角形数记作25a =,第3个五角形数记作312a =,第4个五角形数记作422a =,……,若按此规律继续下去,则5a = ,若145n a =,则n =.512122图2图1 俯视图正(主)视图侧(左)视图数学（理科）试题A 第 3 页 共 4 页(二)选做题(14～15题,考生只能从中选做一题) 14.(几何证明选讲选做题)如图3,圆O 的半径为5cm ,点P 是弦AB 的中点,3OP =cm ,弦CD 过点P ,且13CP CD =,则CD 的长为 cm . 15.(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系中,已知直线l 与曲线C 的参数方程分别为l :1,1x s y s =+⎧⎨=-⎩(s 为参数)和C :22,x t y t =+⎧⎨=⎩(t 为参数), 若l 与C 相交于A 、B 两点,则AB = .三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分12分)已知函数()tan 34f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. (1)求9f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； (2)设3,2απ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭,若234f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,求cos 4απ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.17.(本小题满分12分)如图4所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组(每小组4人)在期末考试中 的数学成绩.乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以a 表示. 已知甲、乙两个小组的数学成绩的平均分相同. (1)求a 的值；(2)求乙组四名同学数学成绩的方差；(3)分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学,记这两名同学数学成绩之差的绝对值为X ,求随机变量X 的分布列和均值(数学期望).(温馨提示:答题前请仔细阅读卷首所给的计算公式及其说明.)18.(本小题满分14分)如图5所示,在三棱锥ABC P -中,AB BC ==,平面⊥PAC 平面ABC ,AC PD ⊥于点D ,1AD =,3CD =,PD =.(1)证明△PBC 为直角三角形；(2)求直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值.图4甲组 乙组 89 7a 3 57 9 66 图5PACD图3数学（理科）试题A 第 4 页 共 4 页19.(本小题满分14分)等比数列{}n a 的各项均为正数,4352,,4a a a 成等差数列,且2322a a =. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设()()252123n n n b a n n +=++,求数列{}n b 的前n 项和n S .20.(本小题满分14分)已知椭圆2214y x +=的左,右两个顶点分别为A 、B .曲线C 是以A 、B 两点为顶点,双曲线.设点P 在第一象限且在曲线C 上,直线AP 与椭圆相交于另一点T . (1)求曲线C 的方程；(2)设P 、T 两点的横坐标分别为1x 、2x ,证明:121x x ⋅=；(3)设TAB ∆与POB ∆(其中O 为坐标原点)的面积分别为1S 与2S ,且PA PB uu r uu rg ≤15,求2212S S -的取值范围.21.(本小题满分14分)设函数()e xf x =(e 为自然对数的底数),23()12!3!!nn x x x g x x n =+++++L (*n ∈N ). (1)证明:()f x 1()g x ≥；(2)当0x >时,比较()f x 与()n g x 的大小,并说明理由；(3)证明:()123222211e 2341nn g n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭≤L (*n ∈N ).2012年广州市普通高中毕业班综合测试(一)数学(理科)试题参考答案及评分标准说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数.2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分.一、选择题:二、填空题:本大题查基本知识和基本运算,体现选择性.共7小题,每小题5分,满分30分.其中14~15题是选做题,考生只能选做一题.第13题仅填对1个,则给3分.10.2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦11.3 12.[]1,2 13.35,10 14.三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本小题满分12分)(本小题主要考查两角和的正切、诱导公式、同角三角函数的基本关系和两角差的余弦等知识,考查化归与转化的数学思想方法,以及运算求解能力) (1)解:9f π⎛⎫⎪⎝⎭tan 34ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭……………………………………………………………………………1分tantan 341tan tan34ππ+=ππ-…………………………………………………………………………3分 2==-………………………………………………………………………4分(2)解:因为3tan 3444f ααπππ⎛⎫⎛⎫+=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭………………………………………………………………5分()tan α=+π……………………………………………………………………6分tan 2α==.……………………………………………………………………7分所以sin 2cos αα=,即sin 2cos αα=. ① 因为22sin cos 1αα+=, ②由①、②解得21cos 5α=.………………………………………………………………………………9分 因为3,2απ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭,所以cos α=,sin α=…………………………………………10分 所以cos 4απ⎛⎫-⎪⎝⎭cos cos sin sin 44ααππ=+ ………………………………………………………11分525210⎛⎫=-+-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭.……………………………………12分17.(本小题满分12分)(本小题主要考查统计、方差、随机变量的分布列、均值(数学期望)等知识,考查或然与必然的数学思想方法,以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识) (1)解:依题意,得11(87899696)(87909395)44a ⨯+++=⨯++++,……………………………1分 解得3a =.…………………………………………………………………………………………………2分 (2)解:根据已知条件,可以求得两组同学数学成绩的平均分都为92x =.……………………………3分所以乙组四名同学数学成绩的方差为()()()()222221879293929392959294s ⎡⎤=-+-+-+-=⎣⎦. ……………………………5分(3)解:分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学,共有4416⨯=种可能的结果.……………6分这两名同学成绩之差的绝对值X 的所有情况如下表:所以X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,6,8,9.…………………………………………………8分由表可得1(0)16P X ==,2(1)16P X ==,1(2)16P X ==,4(3)16P X ==, 2(4)16P X ==,3(6)16P X ==,1(8)16P X ==,2(9)16P X ==.所以随机变量X 随机变量X 的数学期望为121423012346161616161616EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯12891616+⨯+⨯…………………………11分 6817164==.…………………………………………………………………………………………12分 ……………………10分18.(本小题满分14分)(本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成角、空间向量及坐标运算等知识,考查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)(1)证明1:因为平面⊥PAC 平面ABC ,平面PAC 平面ABC AC =, PD ⊂平面PAC ,AC PD ⊥,所以PD ⊥平面ABC .…………………………………………………………………………………1分 记AC 边上的中点为E ,在△ABC 中,AB BC =,所以AC BE ⊥.因为AB BC ==4=AC ,所以BE ===………………3分因为PD ⊥AC ,所以△PCD 为直角三角形. 因为PD =,3CD =, 所以PC ===………4分连接BD ,在Rt △BDE中,因为BE =,1DE=,所以BD ===…………5分因为PD ⊥平面ABC ,BD ⊂平面ABC ,所以PD ⊥BD . 在Rt △PBD中,因为PD=,BD =, 所以PB ===.…………………………………………………6分在PBC ∆中,因为BCPB =PC =所以222BC PB PC +=.所以PBC ∆为直角三角形.………………………………………………………………………………7分 证明2:因为平面⊥PAC 平面ABC ,平面PAC I 平面ABC AC =, PD ⊂平面PAC ,AC PD ⊥, 所以PD ⊥平面ABC .…………………………………………………………………………………1分 记AC 边上的中点为E ,在△ABC 中,因为ABBC =,所以AC BE ⊥. 因为ABBC ==4=AC ,所以BE ===………………3分连接BD ,在Rt △BDE 中,因为90BED ∠=o,BE =,1DE =,所以BD ===………………………………………………………4分在△BCD 中,因为3CD =,BC =BD =,所以222BC BD CD +=,所以BC BD ⊥.……………………………………………………………5分因为PD ⊥平面ABC ,BC ⊂平面ABC ,所以BC PD ⊥.…………………………………………………………………………………………6分 因为BD PD D =,所以BC ⊥平面PBD .因为PB ⊂平面PBD ,所以BC PB ⊥.所以PBC ∆为直角三角形.………………………………………………………………………………7分BPACDE(2)解法1:过点A 作平面PBC 的垂线,垂足为H ,连PH ,则APH ∠为直线AP 与平面PBC 所成的角.…………………………………………………………8分由(1)知,△ABC的面积12ABC S AC BE ∆=⨯⨯=…………………………………………9分因为PD =,所以13P ABC ABC V S PD -∆=⨯⨯13=⨯=…………………………10分 由(1)知PBC ∆为直角三角形,BC =,PB =所以△PBC的面积11322PBC S BC PB ∆=⨯⨯==.……………………………………11分 因为三棱锥A PBC -与三棱锥P ABC -的体积相等,即A PBC P ABC V V --=,即1333AH ⨯⨯=所以3AH =.……………………………………………………………12分 在Rt △PAD 中,因为PD ,1AD =,所以2AP ===.………………………………………………………13分因为3sin 2AH APH AP ∠===所以直线AP 与平面PBC …………………………………………………14分 解法2:过点D 作DM AP ∥,设DMPC M =,则DM 与平面PBC 所成的角等于AP 与平面PBC 所成的角.……………………………………8分由(1)知BC PD ⊥,BC PB ⊥,且PD PB P =,所以BC ⊥平面PBD .因为BC ⊂平面PBC ,所以平面PBC ⊥平面PBD .过点D 作DN PB ⊥于点N ,连接MN ,则DN ⊥平面PBC . 所以DMN ∠为直线DM 与平面PBC 所成的角.……10分 在Rt △PAD中,因为PD ,1AD =, 所以2AP ===.………………………………………………………11分因为DM AP ∥,所以DM CD AP CA =,即324DM =,所以32DM =.………………………………12分由(1)知BD=PB =且PD =,所以PD BD DN PB ⨯===……………………………………………………………13分 BP A CDM N因为2sin 32DN DMN DE ∠===所以直线AP 与平面PBC…………………………………………………14分 解法3:延长CB 至点G ,使得BG BC =,连接AG 、PG ,……………………………………8分 在△PCG 中,PB BG BC ===所以90CPG ∠=o,即CP PG ⊥.在△PAC 中,因为PC =2PA =,4AC =, 所以222PA PC AC +=, 所以CP PA ⊥. 因为PA PG P =I ,所以CP ⊥平面PAG .…………………………………………………………………………………9分 过点A 作AK PG ⊥于点K , 因为AK ⊂平面PAG , 所以CP AK ⊥. 因为PG CP P =I ,所以AK ⊥平面PCG .所以APK ∠为直线AP 与平面PBC 所成的角.……………………………………………………11分 由(1)知,BC PB ⊥,所以PG PC ==.在△CAG 中,点E 、B 分别为边CA 、CG 的中点,所以2AG BE ==………………………………………………………………………………12分 在△PAG 中,2PA =,AG =PG =所以222PA AG PG +=,即PA AG ⊥.……………………………………………………………13分因为sin AG APK PG ∠===. 所以直线AP 与平面PBC所成角的正弦值为3.…………………………………………………14分 解法4:以点E 为坐标原点,以EB ,EC 所在的直线分别为x 轴,y 轴建立如图的空间直角坐标系E xyz -,…………………………………………………………………………………………………8分BPACDEGK则()0,2,0A -,)B,()0,2,0C,(0,P -.于是(AP =,(2,1,PB =,(0,3,PC =.设平面PBC 的法向量为(),,x y z =n ,则0,0.PB PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,30.y y +==⎪⎩ 取1y =,则z =x =所以平面PBC的一个法向量为=n .……………………………………………………12分设直线AP 与平面PBC所成的角为θ,则sin cos 3AP AP AP θ⋅=<>===⋅n ,n n. 所以直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值为3.…………………………………………………14分若第(1)、(2)问都用向量法求解,给分如下:(1)以点E 为坐标原点,以EB ,EC 所在的直线分别为x 轴,y 轴建立如图的空间直角坐标系E xyz -, (1)分则)B,()0,2,0C ,(0,P -.于是(BP =-,()2,0BC =. 因为()()2,1,32,2,00BP BC =---=,所以BP BC ⊥.所以BP BC⊥.所以PBC ∆为直角三角形.………………………………………………………………………………7分 (2)由(1)可得,()0,2,0A -. 于是(AP =,(2,1,PB =,(0,3,PC =.设平面PBC 的法向量为(),,x y z =n ,AA则0,0.PB PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,30.y y +==⎪⎩ 取1y =,则z =x =所以平面PBC的一个法向量为=n .……………………………………………………12分设直线AP 与平面PBC所成的角为θ,则sin cos AP AP AP θ⋅=<>===⋅n ,n n. 所以直线AP 与平面PBC …………………………………………………14分19.(本小题满分14分)(本小题主要考查等比数列的通项、裂项求和等知识,考查化归与转化的数学思想方法,以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识)(1)解:设等比数列{}n a 的公比为q ,依题意,有45323224,22.a a a a a +⎧=⎪⎨⎪=⎩即3452322,2.a a a a a =+⎧⎪⎨=⎪⎩……………………………………………………………………2分 所以234111222112,2.a q a q a q a q a q ⎧=+⎪⎨=⎪⎩………………………………………………………………………………3分 由于10a ≠,0q ≠,解之得11,21.2a q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或11,21.a q ⎧=⎪⎨⎪=-⎩……………………………………………………5分又10,0a q >>,所以111,22a q ==,…………………………………………………………………6分 所以数列{}n a 的通项公式为12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭(*n ∈N ).…………………………………………………7分(2)解:由(1),得()()252123n n n b a n n +=⋅++()()25121232n n n n +=⋅++.………………………………8分所以21121232n n b n n ⎛⎫=-⋅⎪++⎝⎭ 111(21)2(23)2n nn n -=-++.…………………………………………………………………10分所以12n n S b b b =+++L()()211111113525272212232n n n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-++-⎢⎥⎪ ⎪⋅⋅⋅++⎝⎭⎝⎭⎣⎦L ()113232nn =-+. 故数列{}n b 的前n 项和()113232n nS n =-+.………………………………………………………14分 20.(本小题满分14分)(本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识,考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法,以及推理论证能力和运算求解能力)(1)解:依题意可得(1,0)A -,(1,0)B .…………………………………………………………………1分设双曲线C 的方程为2221y x b-=()0b >,=即2b =.所以双曲线C 的方程为2214y x -=.……………………………………………………………………3分 (2)证法1:设点11(,)P x y 、22(,)T x y (0i x >,0i y >,1,2i =),直线AP 的斜率为k (0k >),则直线AP 的方程为(1)y k x =+,………………………………………………………………………4分联立方程组()221,1.4y k x y x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩………………………………………………………………………………5分 整理,得()22224240k x k x k +++-=,解得1x =-或2244k x k -=+.所以22244k x k -=+.…………………………………………………………6分同理可得,21244k x k +=-.…………………………………………………………………………………7分所以121x x ⋅=.……………………………………………………………………………………………8分证法2:设点11(,)P x y 、22(,)T x y (0i x >,0i y >,1,2i =),则111AP y k x =+,221AT y k x =+.…………………………………………………………………………4分 因为APAT k k =,所以121211y y x x =++,即()()2212221211y y x x =++.……………………………………5分 因为点P 和点T 分别在双曲线和椭圆上,所以221114y x -=,222214y x +=. 即()221141y x =-,()222241y x =-.…………………………………………………………………6分所以()()()()22122212414111x x x x --=++,即12121111x x x x --=++.……………………………………………………7分 所以121x x ⋅=.……………………………………………………………………………………………8分 证法3:设点11(,)P x y ,直线AP 的方程为11(1)1y y x x =++,………………………………………4分 联立方程组()11221,11.4y y x x y x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪+=⎪⎩…………………………………………………………………………5分整理,得222222111114(1)24(1)0x y x y x y x ⎡⎤++++-+=⎣⎦, 解得1x =-或221122114(1)4(1)x y x x y +-=++.…………………………………………………………………6分将221144y x =-代入221122114(1)4(1)x y x x y +-=++,得11x x =,即211x x =. 所以121x x ⋅=.…………………………………………………………………………………………8分 (3)解:设点11(,)P x y 、22(,)T x y (0i x >,0i y >,1,2i =),则()111,PA x y =---,()111,PB x y =--.因为15PA PB ⋅≤,所以()()21111115x x y ---+≤,即221116x y +≤.…………………………9分因为点P 在双曲线上,则221114y x -=,所以22114416x x +-≤,即214x ≤. 因为点P 是双曲线在第一象限内的一点,所以112x <≤.…………………………………………10分因为1221||||||2S AB y y ==,21111||||||22S OB y y ==, 所以()()22222222122121121441544S S y y x x x x -=-=---=--.……………………………11分由(2)知,121x x ⋅=,即211x x =. 设21t x =,则14t <≤,221245S S t t-=--. 设()45t t f t =--,则()()()222241t t f t t t -+'=-+=, 当12t <<时,()0f t '>,当24t <≤时,()0f t '<, 所以函数()f t 在()1,2上单调递增,在(]2,4上单调递减. 因为()21f =,()()140f f ==,所以当4t =,即12x =时,()()2212min40S S f -==.……………………………………………12分当2t =,即1x =,()()2212max21S S f -==.………………………………………………13分所以2212S S -的取值范围为[]0,1.……………………………………………………………………14分说明:由()222212121254541S S x x x x -=-+≤-=,得()2212max1S S -=,给1分.21.(本小题满分14分)(本小题主要考查函数、导数、不等式、数学归纳法、二项式定理等知识,考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法,以及运算求解能力) (1)证明:设11()()()1xx f x g x e x ϕ=-=--,所以1()1xx e ϕ'=-.………………………………………………………………………………………1分当0x <时,1()0x ϕ'<,当0x =时,1()0x ϕ'=,当0x >时,1()0x ϕ'>.即函数1()x ϕ在(,0)-∞上单调递减,在(0,)+∞上单调递增,在0x =处取得唯一极小值,………2分 因为1(0)0ϕ=,所以对任意实数x 均有 11()(0)0x ϕϕ=≥. 即1()()0f x g x -≥,所以()f x 1()g x ≥.………………………………………………………………………………………3分(2)解:当0x >时,()f x >()n g x .………………………………………………………………………4分用数学归纳法证明如下:①当1n =时,由(1)知()f x 1()g x >.②假设当n k =(*k ∈N )时,对任意0x >均有()f x >()k g x ,…………………………………5分 令()()()k k x f x g x ϕ=-,11()()()k k x f x g x ϕ++=-,因为对任意的正实数x ,()()11()()()k kk x f x g x f x g x ϕ++'''=-=-, 由归纳假设知,1()()()0k k x f x g x ϕ+'=->.…………………………………………………………6分 即11()()()k k x f x g x ϕ++=-在(0,)+∞上为增函数,亦即11()(0)k k x ϕϕ++>, 因为1(0)0k ϕ+=,所以1()0k x ϕ+>. 从而对任意0x >,有1()()0k f x g x +->. 即对任意0x >,有1()()k f x g x +>.这就是说,当1n k =+时,对任意0x >,也有()f x >1()k g x +.由①、②知,当0x >时,都有()f x >()n g x .………………………………………………………8分 (3)证明1:先证对任意正整数n ,()1e n g <.由(2)知,当0x >时,对任意正整数n ,都有()f x >()n g x . 令1x =,得()()11=e n g f <.所以()1e n g <.……………………………………………………………………………………………9分再证对任意正整数n ,()1232222112341nn g n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111112!3!!n =+++++. 要证明上式,只需证明对任意正整数n ,不等式211!nn n ⎛⎫≤ ⎪+⎝⎭成立. 即要证明对任意正整数n ,不等式1!2nn n +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭(*)成立.……………………………………10分以下分别用数学归纳法和基本不等式法证明不等式(*): 方法1(数学归纳法):①当1n =时,1111!2+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭成立,所以不等式(*)成立.②假设当n k =(*k ∈N )时,不等式(*)成立,即1!2kk k +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭.………………………………………………………………………………………11分则()()()1111!1!1222k k k k k k k k +++⎛⎫⎛⎫+=+≤+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为111101111112211121C C C2111112k k k k k k k k k k k k k k k k ++++++++++⎛⎫⎪+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭==+=+++≥ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭+⎛⎫⎪⎝⎭,…12分所以()11121!222k k k k k ++++⎛⎫⎛⎫+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.……………………………………………………………13分这说明当1n k =+时,不等式(*)也成立.由①、②知,对任意正整数n ,不等式(*)都成立.综上可知,对任意正整数n ,不等式()123222211e 2341nn g n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++≤< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立. ……………………………………14分方法2(基本不等式法):12n +≤,……………………………………………………………………………………11分 12n +≤, ……,12n +≤, 将以上n 个不等式相乘,得1!2nn n +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭.……………………………………………………………13分所以对任意正整数n ,不等式(*)都成立.综上可知,对任意正整数n ,不等式()123222211e 2341nn g n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++≤< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立. ……………………………………14分。
2012年广东省广州市普通高中毕业班综合测试文科数学试题广州一测及参考答案
试卷类型:A2012年广州市普通高中毕业班综合测试(一)数学(文科)2012.3本试卷共4页,21小题, 满分150分.考试用时120分钟注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。
2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4.作答选做题时,请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答。
漏涂、错涂、多涂的,答案无效。
5.考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。
参考公式:锥体的体积公式Sh V 31=,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.函数y =A.(],1-∞-B.(),1-∞-C.[)1,-+∞D.()1,-+∞2.已知复数()i i 1i a b +=-(其中,a b ∈R ,i 是虚数单位),则a b +的值为A.2-B.1-C.0D.23.如果函数()sin 6f x x ωπ⎛⎫=+⎪⎝⎭()0ω>的最小正周期为2π,则ω的值为 A.1 B.2 C.4 D.84.在△ABC 中,60ABC ∠=,2AB =,3BC =,在BC 上任取一点D ,使△ABD 为钝角三角形的概率为A.16 B.13 C.12 D.235.如图1是一个空间几何体的三视图,则该几何体的侧面积．．．为A.3B.C.8 D.126.在平面直角坐标系中,若不等式组20,20,x y x y x t +-⎧⎪-+⎨⎪⎩≥≥≤表示的平面区域的面积为4,则实数t 的值为A.1B.2C.3D.4 7.已知幂函数()22657m y m m x-=-+在区间()0,+∞上单调递增,则实数m 的值为A.3B.2C.2或3D.2-或3-8.已知两个非零向量a 与b ,定义sin θ⨯=a b a b ,其中θ为a 与b 的夹角.若()3,4-a =, ()0,2b =,则⨯a b 的值为A.8-B.6-C.6D.8 9.已知函数()21f x x =+,对于任意正数a ,12x x a -<是()()12f x f x a -<成立的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10.已知圆O :222x y r +=,点()P a b ，(0ab ≠)是圆O 内一点,过点P 的圆O 的最短弦所在的直线为1l ,直线2l 的方程为20ax by r ++=,那么A.12l l ∥,且2l 与圆O 相离B.12l l ⊥,且2l 与圆O 相切C.12l l ∥,且2l 与圆O 相交D.12l l ⊥,且2l 与圆O 相离二、填空题:本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分. (一)必做题(11～13题)11.若函数()()2ln 1f x x ax =++是偶函数,则实数a 的值为 .12.已知集合{}13A x x =≤≤,{}3B x a x a =+≤≤,若A B ⊆,则实数a 的取值范围为 .13.两千多年前,古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩上画点或用小石子来表示数,按照点或小石子能排列的形状对数进行分类,如图2中的实心点个数1,5,12,22,…,被称为五角形数,其中第1个五角形数记作11a =,第2个五角形数记作25a =,第3个五角形数记作312a =,第4个五角形数记作422a =,…,若按此规律继续下去,则5a = ,若145n a =,则n =.(二)选做题(14～15题,考生只能从中选做一题) 14.(几何证明选讲选做题)如图3,圆O 的半径为5cm ,点P 是弦AB 的中点,3OP =cm ,弦CD 过点P ,且13CP CD =,则CD 的长为 cm .15.(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系中,已知直线l 与曲线C 的参数方程分别为l :1,1x s y s=+⎧⎨=-⎩(s 为参数)和C :22,x t y t =+⎧⎨=⎩(t 为参数), 若l 与C 相交于A 、B 两点,则AB = .三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分12分)已知函数()tan 34f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. (1)求9f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； (2)若234f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,求cos 2α的值. 17.(本小题满分12分)某校从高一年级学生中随机抽取40名学生,将他们的期中考 试数学成绩(满分100分,成绩均为不低于40分的整数)分成六段:[)50,40,[)60,50,…,[]100,90后得到如图4的 频率分布直方图.(1)求图中实数a 的值；(2)若该校高一年级共有学生640人,试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数； (3)若从数学成绩在[)40,50与[]90,100两个分数段内的学 生中随机选取两名学生,求这两名学生的数学成绩之差 的绝对值不大于10的概率.18.(本小题满分14分)5 121 22 图2图4图3如图5所示,在三棱锥ABC P -中,AB BC ==,平面⊥PAC 平面ABC ,AC PD ⊥于点D ,1AD =,3CD =,2=PD .(1)求三棱锥ABC P -的体积； (2)证明△PBC 为直角三角形.19.(本小题满分14分)已知等差数列{}n a 的公差0d ≠,它的前n 项和为n S ,若570S =,且2a ,7a ,22a 成等比数列. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为nT ,求证:1368n T <≤.20.(本小题满分14分)已知函数32()f x x ax b =-++(),a b ∈R . (1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)若对任意[]3,4a ∈,函数()f x 在R 上都有三个零点,求实数b 的取值范围.21.(本小题满分14分)已知椭圆2214y x +=的左、右两个顶点分别为A 、B .曲线C 是以A 、B 两点为顶点,双曲线.设点P 在第一象限且在曲线C 上,直线AP 与椭圆相交于另一点T . (1)求曲线C 的方程；(2)设点P 、T 的横坐标分别为1x 、2x ,证明:121x x ⋅=；(3)设TAB ∆与POB ∆(其中O 为坐标原点)的面积分别为1S 与2S ,且PA PB uu r uu rg ≤15,求2212S S - 的取值范围.2012年广州市普通高中毕业班综合测试(一)图5BPAD数学(文科)试题参考答案及评分标准说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数.2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分.一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共10小题,每小题5分,满分50分.二、填空题:本大题考查基本知识和基本运算,体现选择性.共5小题,每小题5分,满分20分.其中14~15题是选做题,考生只能选做一题.第13题仅填对1个,则给3分.11.0 12.[]0,1 13.35,10 14.三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分12分)(本小题主要考查两角和的正切、诱导公式、同角三角函数的基本关系和二倍角的余弦等知识,考查化归与转化的数学思想方法,以及运算求解能力) (1)解:9f π⎛⎫⎪⎝⎭tan 34ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭……………………………………………………………………………1分tantan 341tan tan34ππ+=ππ-…………………………………………………………………………3分 2==-………………………………………………………………………4分(2)解法1:因为3tan 3444f ααπππ⎛⎫⎛⎫+=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………………………………………………………5分()tan α=+π………………………………………………………………6分tan 2α==.………………………………………………………………7分所以sin 2cos αα=,即sin 2cos αα=. ① 因为22sin cos 1αα+=, ②由①、②解得21cos 5α=.………………………………………………………………………………9分 所以2cos 22cos 1αα=-………………………………………………………………………………11分132155=⨯-=-.………………………………………………………………………12分解法2:因为3tan 3444f ααπππ⎛⎫⎛⎫+=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………………………………………………………5分()tan α=+π………………………………………………………………6分tan 2α==.………………………………………………………………7分所以22cos 2cos sin ααα=-……………………………………………………………………………9分2222cos sin cos sin αααα-=+…………………………………………………………………………10分 221tan 1tan αα-=+………………………………………………………………………………11分143145-==-+.……………………………………………………………………………12分17.(本小题满分12分)(本小题主要考查频率、频数、统计和概率等知识,考查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以及运算求解能力)(1)解:由于图中所有小矩形的面积之和等于1,所以10(0.0050.010.02⨯++0.0250.01)1a +++=.………………………………………………1分 解得0.03a =.……………………………………………………………………………………………2分 (2)解:根据频率分布直方图,成绩不低于60分的频率为110(0.0050.01)-⨯+0.85=.…………3分由于该校高一年级共有学生640人,利用样本估计总体的思想,可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为6400.85544⨯=人. …………………………………………………………………5分 (3)解:成绩在[)40,50分数段内的人数为400.052⨯=人,分别记为A ,B .……………………6分成绩在[]90,100分数段内的人数为400.14⨯=人,分别记为C ,D ,E ,F .…………………7分 若从数学成绩在[)40,50与[]90,100两个分数段内的学生中随机选取两名学生,则所有的基本事件有:(),A B ,(),A C ,(),A D ,(),A E ,(),A F ,(),B C ,(),B D ,(),B E ,(),B F ,(),C D ,(),C E ,(),C F ,(),D E ,(),D F ,(),E F 共15种.…………………………………………9分如果两名学生的数学成绩都在[)40,50分数段内或都在[]90,100分数段内,那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[)40,50分数段内,另一个成绩在[]90,100分数段内,那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M ,则事件M 包含的基本事件有:(),A B ,(),C D ,(),C E ,(),C F ,(),D E ,(),D F ,(),E F 共7种.……………………11分所以所求概率为()715P M =.…………………………………………………………………………12分18.(本小题满分14分)(本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识,考查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)(1)证明:因为平面⊥PAC 平面ABC ,平面PAC 平面ABC AC =, PD ⊂平面PAC ,AC PD ⊥,所以PD ⊥平面ABC .…………………………………………………………………………………2分 记AC 边上的中点为E ,在△ABC 中,因为AB BC =, 所以AC BE ⊥.因为AB BC ==4=AC ,所以BE ===………………………………………………………4分所以△ABC的面积12ABC S AC BE ∆=⨯⨯=.……………………………………………………5分 因为2=PD ,所以三棱锥ABC P -的体积13P ABC ABC V S PD -∆=⨯⨯1233=⨯=.……………………7分 (2)证法1:因为PD ⊥AC ,所以△PCD 为直角三角形.因为2PD =,3CD=,所以PC =………………9分连接BD ,在Rt △BDE 中,因为90BED ∠=o,BE =,1DE=,所以BD ===…………10分 由(1)知PD ⊥平面ABC ,又BD ⊂平面ABC , 所以PD ⊥BD .在Rt △PBD 中,因为90PDB ∠=o,2PD=,BD =,所以PB ===……………………………………………………12分在PBC ∆中,因为BCPB =PC =所以222BC PB PC +=.………………………………………………………………………………13分BPACDE所以PBC ∆为直角三角形.……………………………………………………………………………14分证法2:连接BD ,在Rt △BDE 中,因为90BED ∠=o,BE =,1DE =,所以BD ===…………8分在△BCD 中,3CD =,BC ,BD ,所以222BC BD CD +=,所以BC BD ⊥.………………10分由(1)知PD ⊥平面ABC , 因为BC ⊂平面ABC , 所以BC PD ⊥. 因为BD PD D =,所以BC ⊥平面PBD .…………………………………………………………………………………12分 因为PB ⊂平面PBD ,所以BC PB ⊥.所以PBC ∆为直角三角形.……………………………………………………………………………14分19.(本小题满分14分)(本小题主要考查等差数列、等比数列、裂项求和等知识,考查化归与转化的数学思想方法,以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识) (1)解:因为数列{}n a 是等差数列,所以()11n a a n d =+-,()112n n n S na d -=+.……………………………………………………1分 依题意,有52722270,.S a a a =⎧⎪⎨=⎪⎩即()()()1211151070,621.a d a d a d a d +=⎧⎪⎨+=++⎪⎩………………………………………3分 解得16a =,4d =.……………………………………………………………………………………5分 所以数列{}n a 的通项公式为42n a n =+(*n ∈N ).…………………………………………………6分(2)证明:由(1)可得224n S n n =+.……………………………………………………………………7分所以()21112422n S n n n n ==++11142n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭.…………………………………………………8分 所以123111111n n n T S S S S S -=+++++L 1111111111111114342443541142n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………9分 111114212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭BPACDE31118412n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭.………………………………………………………………………10分因为311108412n T n n ⎛⎫-=-+< ⎪++⎝⎭,所以38n T <.………………………………………………11分 因为11110413n n T T n n +⎛⎫-=-> ⎪++⎝⎭,所以数列{}n T 是递增数列.………………………………12分所以116n T T ≥=.………………………………………………………………………………………13分 所以1368n T ≤<.…………………………………………………………………………………………14分20.(本小题满分14分)(本小题主要考查函数的性质、导数、函数零点、不等式等知识,考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法,以及运算求解能力)(1)解:因为32()f x x ax b =-++,所以22()3233a f x x ax x x ⎛⎫'=-+=--⎪⎝⎭.……………………1分 当0a =时,()0f x '≤,函数()f x 没有单调递增区间；……………………………………………2分 当0a >时,令()0f x '>,得203a x <<. 故()f x 的单调递增区间为20,3a ⎛⎫⎪⎝⎭；…………………………………………………………………3分 当0a <时,令()0f x '>,得203ax <<. 故()f x 的单调递增区间为2,03a ⎛⎫⎪⎝⎭.…………………………………………………………………4分 综上所述,当0a =时,函数()f x 没有单调递增区间；当0a >时,函数()f x 的单调递增区间为20,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭； 当0a <时,函数()f x 的单调递增区间为2,03a ⎛⎫⎪⎝⎭.……………………………………5分(2)解:,由(1)知,[]3,4a ∈时,()f x 的单调递增区间为20,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,单调递减区间为(),0-∞和2,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. …………………………………6分所以函数()f x 在0x =处取得极小值()0f b =,……………………………………………………7分函数()f x 在23ax =处取得极大值324327a a f b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.………………………………………………8分由于对任意[]3,4a ∈,函数()f x 在R 上都有三个零点,所以()00,20.3fa f <⎧⎪⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩即30,40.27b a b <⎧⎪⎨+>⎪⎩……………………………………………………………………10分 解得34027a b -<<.……………………………………………………………………………………11分 因为对任意[]3,4a ∈,3427a b >-恒成立,所以33max44342727a b ⎛⎫⨯>-=-=- ⎪⎝⎭.………………13分 所以实数b 的取值范围是()4,0-.……………………………………………………………………14分21.(本小题满分14分)(本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识,考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法,以及推理论证能力和运算求解能力)(1)解:依题意可得(1,0)A -,(1,0)B .…………………………………………………………………1分设双曲线C 的方程为2221y x b-=()0b >,所以1=即2b =.所以双曲线C 的方程为2214y x -=.……………………………………………………………………3分 (2)证法1:设点11(,)P x y 、22(,)T x y (0i x >,0i y >,1,2i =),直线AP 的斜率为k (0k >),则直线AP 的方程为(1)y k x =+,………………………………………………………………………4分联立方程组()221,1.4y k x y x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩………………………………………………………………………………5分 整理,得()22224240k x k x k +++-=,解得1x =-或2244k x k -=+.所以22244k x k-=+.…………………………………………………………6分 同理可得,21244k x k +=-.…………………………………………………………………………………7分 所以121x x ⋅=.……………………………………………………………………………………………8分证法2:设点11(,)P x y 、22(,)T x y (0i x >,0i y >,1,2i =), 则111AP y k x =+,221AT y k x =+.…………………………………………………………………………4分 因为AP AT k k =,所以121211y y x x =++,即()()2212221211y y x x =++.……………………………………5分 因为点P 和点T 分别在双曲线和椭圆上,所以221114y x -=,222214y x +=. 即()221141y x =-,()222241y x =-.…………………………………………………………………6分 所以()()()()22122212414111x x x x --=++,即12121111x x x x --=++.……………………………………………………7分 所以121x x ⋅=.……………………………………………………………………………………………8分 证法3:设点11(,)P x y ,直线AP 的方程为11(1)1y y x x =++,………………………………………4分 联立方程组()11221,11.4y y x x y x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪+=⎪⎩…………………………………………………………………………5分 整理,得222222111114(1)24(1)0x y x y x y x ⎡⎤++++-+=⎣⎦, 解得1x =-或221122114(1)4(1)x y x x y +-=++.…………………………………………………………………6分 将221144y x =-代入221122114(1)4(1)x y x x y +-=++,得11x x =,即211x x =. 所以121x x ⋅=.…………………………………………………………………………………………8分(3)解:设点11(,)P x y 、22(,)T x y (0i x >,0i y >,1,2i =),则()111,PA x y =---,()111,PB x y =--.因为15PA PB ⋅≤,所以()()21111115x x y ---+≤,即221116x y +≤.…………………………9分因为点P 在双曲线上,则221114y x -=,所以22114416x x +-≤,即214x ≤. 因为点P 是双曲线在第一象限内的一点,所以112x <≤.…………………………………………10分 因为1221||||||2S AB y y ==,21111||||||22S OB y y ==, 所以()()22222222122121121441544S S y y x x x x -=-=---=--.……………………………11分 由(2)知,121x x ⋅=,即211x x =. 设21t x =,则14t <≤, 221245S S t t -=--. 设()45t t f t =--,则()()()222241t t f t t t -+'=-+=, 当12t <<时,()0f t '>,当24t <≤时,()0f t '<,所以函数()f t 在()1,2上单调递增,在(]2,4上单调递减. 因为()21f =,()()140f f ==,所以当4t =,即12x =时,()()2212min 40S S f -==.……………………………………………12分 当2t =,即1x =,()()2212max 21S S f -==.………………………………………………13分所以2212S S -的取值范围为[]0,1.……………………………………………………………………14分说明:由()222212121254541S S x x x x -=-+≤-=,得()2212max 1S S -=,给1分.。
2024年广东省广州市越秀区中考一模数学试题(解析版)
2023学年第二学期学业质量发展阶段性训练九年级数学试卷本试卷共6页，25小题，满分120分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上；用2B 铅笔将考生号、座位号等填涂在答题卡相应位置上．⒉选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试卷上．3．非选择题答案必须用黑色字迹的钢笔或签字笔写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上，涉及作图的题目，用2B 铅笔画图；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，改动后的答案也不能超出指定的区域；不准使用铅笔（作图除外）、涂改液和修正带．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分选择题（共30分）一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 的相反数是（ ）A. B. 2 C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题考查相反数的定义．根据相反数的定义“只有符号不同的两个数互为相反数”判断即可．【详解】解：的相反数是2．故选B ．2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义，即可求解．【详解】解：A、是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意；2-1212-2-2-B 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；故选：A ．3. 如图，将沿方向平移到，若，，则平移距离为（ ）．A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】本题考查的是平移的性质，根据图形平移的性质可知，再由，可得出的长，进而可得出结论，熟知把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点，连接各组对应点的线段平行且相等是解题的关键．【详解】解：将沿方向平移到，，，，，平移距离为3．故选：B ．4. 石墨烯堪称目前世界上最薄的材料，约为0.3纳米（1纳米米）．与此同时，石墨烯比金刚石更硬，是世界上最坚硬又最薄的纳米材料．0.3纳米用科学记数法可以表示为（ ）米．A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．ABC BA A B C ''' 4AB =1AB '=AB A B ''=4AB =1AB '=AA ' ABC BA A B C ''' 4AB =1AB '=4AB A B ''∴==413AA A B AB ''''∴=-=-=∴0.000000001=8310-⨯90.310-⨯9310-⨯10310-⨯10n a -⨯10n a -⨯1||10a ≤<n【详解】解：0.3纳米米米．故选：D ．5. 下列运算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】此题主要考查了幂的乘方运算、完全平方公式、二次根式的加减运算，直接利用幂的乘方运算法则、完全平方公式、二次根式的加减运算法则分别化简，进而得出答案，正确掌握相关运算法则是解题关键．【详解】解：A无法变形，故此选项不合题意；B ．，故此选项不合题意；C ．，故此选项不合题意；D ．，故此选项符合题意．故选：D ．6. 关于函数，下列结论成立的是（ ）．A. 函数图象经过点B. 随的增大而增大C. 当时，D. 函数图象不经过第一象限【答案】C【解析】【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．将代入解析式求出函数值，即可判断A 选项；根据一次函数的增减性，即可判断B 选项；根据一次函数与坐标轴的交点坐标，即可判断C 选项；根据一次函数的系数，即可判断D 选项．【详解】解：A ．当时，，即函数图象经过点，原结论错误，不符合题意；B ．，即随的增大而减小，原结论错误，不符合题意；C ．函数过点，即当时，，原结论正确，符合题意0.30.000000001=⨯10310-=⨯=()a b a b -+=-+()325a a =222()2ab a ab b -=-+()a b a b -+=--236()a a =222()2a b a ab b -=-+21y x =-+(1,1)y x 0x <0y >1x =1x =2111y =-⨯+=-(1,1)-20k =-<y x 21y x =-+1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭12x <0y >D ．函数图象经过一、二、四象限，原结论错误，不符合题意；故选：C ．7. 如图是一个正方体的平面展开图，若将其按虚线折叠成正方体后，相对面上的两个数字之和均为6，则的值为（ ）A. 0B. 2C.D. 【答案】A【解析】【分析】本题考查了正方体的展开图形，代数式求值，根据正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，据此作答．【详解】解：“y ”所在面与“3”所在面相对，“z ”所在面与“”所在面相对，“x ”所在面与“8”所在面相对，则，解得：，，，，故选：A ．8. 某班35位同学课外阅读物的数量统计如下表所示，其中有两个数据被遮盖，下列关于课外阅读物的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（ ）．课外阅读物的数量人数■■A. 平均数，方差B. 中位数，方差C. 平均数，众数D. 中位数，众数【答案】D【解析】21y x =-+2x y z -+12-20-1-()361686y z x +=+-=+=，，3y =7z =2x =-()222370x y z ∴-+=⨯--+=234567897932【分析】本题考查了统计量的选择，熟练掌握众数和中位数的定义是解题的关键；根据众数和中位数的定义求解即可．【详解】这组数据中本数为2、3的人数和为：，则这组数据中出现次数最多的数9，即众数9，与遮盖的数据无关；，第个数据为，则中位数为，与被遮盖的数据无关；故选：D ．9. 如图，点为矩形边的中点，点为边上一点，且，若，，则的长为（ ）．A. 10B. C. 12 D. 【答案】C【解析】【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键．根据矩形的性质，先证明，得到，，再证明，得到，即可求出的长．【详解】解：如图，过点作于点，连接，四边形是矩形，，，，，在和中，，，，，点为的中点，，35979325-----=5972118++=>1877E ABCD CD F BC FAE EAD ∠=∠8BF =2FC =AF()AAS ADE AGE ≌ED EG =10AD AG ==()Rt Rt HL ECF EGF ≌2FG CF ==AF E EG AF ^G EF ABCD 8BF =2FC =90D C ∴∠=∠=︒10AD BC BF CF ==+=ADE V AGE 90EAD FAE D AGE AE AE ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()AAS ADE AGE ∴ ≌ED EG ∴=10AD AG == E CD CE DE EG ∴==在和中，，，，，故选：C10. 已知二次函数的函数值和自变量的部分对应取值如下表所示：…0123……11…若，则下列结论：①；②若方程的两个实数根为、，则；③；④的最大值为．其中正确的结论是（ ）．A. ①②B. ②③C. ③④D. ②④【答案】B【解析】【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，一元二次方程根和系数的关系，掌握二次函数的性质是解题关键．先得出抛物线对称轴为，进而得到，再根据时的函数值，得出，再分别表示出、，列出不等式组求出的取值范围，即可判断结论；根据一元二次方程根和系数的关系，即可判断结论；根据，，即可判断③结论；根据抛物线的对称性可得，即可判断④结论．【详解】解：由表格可知，抛物线对称轴为，，，Rt ECF Rt EGF △CE EG EF EF =⎧⎨=⎩()Rt Rt HL ECF EGF ∴ ≌2FG CF ∴==10212AF AG FG ∴=+=+=2(0)y ax bx c a =++≠y x x 1-y m n p0m p ⋅<0a >20ax bx c ++=1x 2x 121x x =+30a b c +-<n p ⋅9812x ==-b a =1x -12c a =-m p a =-b a 12c a =-m n =12122x -+==122b a ∴-=b a ∴=-当时，，，，，，，，或，解得：或，①结论错误；若方程的两个实数根为、，则，②结论正确；，，，③结论正确；根据抛物线的对称性可得，当和时的函数值相等，，，，④结论错误；即正确的结论是②③故选：B第二部分 非选择题（共90分）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）11.有意义，则x 的取值范围是 _____．【答案】【解析】【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解答此题的关键．根据二次根式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x 的取值范围即可．【详解】解：根据题意知，解得：，=1x -21y a b c a c =-+=+=12c a ∴=-212a a y ax x ∴=--+12m a ∴=-14p a =+0m p ⋅< ()()12140a a ∴-+<120140a a ->⎧∴⎨+<⎩120140a a -<⎧⎨+>⎩14a <-12a >20ax bx c ++=1x 2x 121b x x a+=-=b a =- 12c a =-()331210a b c a a a ∴+-=---=-<0x =1x =m n =∴0m p ⋅< 0n p ∴⋅<3x ≥30x -≥3x ≥故答案：．12. 在一个不透明的布袋中装有红球、白球共40个，这些球除颜色外都相同．小明从中随机摸出一个球记下颜色并放回，通过大量重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.4，则布袋中红球的个数大约是______．【答案】16【解析】【分析】本题考查了利用频率估计概率，用总球的个数乘以摸到红球的频率即可得出答案，解答本题的关键要明确：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．【详解】解：一个不透明的布袋中装有红球、白球共40个，其中摸到红球的频率稳定在0.4，布袋中红球的个数大约是（个；故答案为：16．13.分式方程的解是________．【答案】x =-1【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：去分母得：x -1=2x ，解得：x =-1，经检验x =-1是分式方程的解，故答案为：x =-1．【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．14. 如图所示的衣架可以近似看成一个等腰，其中，，，则高为______．（参考数据：，，）【答案】10.2为3x ≥ ∴400.416⨯=)121x x =-ABC AB AC =27ABC ∠=︒40cm BC =AD cm sin 270.45︒≈cos 270.89︒≈tan 270.51︒≈【解析】【分析】本题主要考查了解直角三角形、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握三角形函数的应用是解题关键．首先根据等腰三角形的性质可得，然后利用三角形函数计算的长度即可．【详解】解：∵，，为边上的高，∴，∵，∴在中，可有，∴．故答案为：10.2．15. 如图，点为菱形的边上一点，且，，点为对角线上一动点，若的周长最小值为6，则______．【答案】##【解析】【分析】本题考查了菱形的性质，轴对称—最短路径问题，勾股定理逆定理，锐角三角函数，推出是直角三角形是解题关键．连接、，根据菱形好轴对称的性质，得到，进而求出，再利用勾股定理逆定理，推出是直角三角形，再求正弦值即可．【详解】解：如图，连接、，四边形是菱形，，，，点和点关于对称，，，，的周长，的周长最小值为6，，，，，，120cm 2BD BC ==AD AB AC =40cm BC =AD BC 120cm 2BD CD BC ===27ABC ∠=︒Rt △ABD tan AD ABC BD ∠=tan 20tan 27200.5110.2cm AD BD ABC =⨯∠=⨯︒≈⨯=E ABCD AD 3AE =2DE =F AC DEF sin BCD ∠=450.8ABE BF BE EF DF BE +≥4BE =ABE BF BE ABCD 3AE =2DE =5AB AD ∴==D B AC BCD BAD ∠=∠BF DF ∴=EF DF EF BF BE ∴+=+≥DEF 2DE EF DF BE =++≥+DEF 4BE ∴=29AE = 216BE =225AB =222AE BE AB ∴+=是直角三角形，，，，故答案为：16. 如图，在中，，，，点为边上一动点（点D 与点A 、B 不重合），过点D 作，连接．（1）外接圆的直径的最小值是______；（2）内切圆的半径的最大值是______．【答案】①.②. 【解析】【分析】本题考查了直角三角形的外接圆和内切圆综合题，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握直角三角形外接圆直径为斜边长，内切圆半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半是解题关键．（1）当时，作为外接圆的直径最小，由勾股定理可得，设，则，根据列方程，求出的值，进而得到的长即可求解；（2）令，，,内切圆半径为，利用完全平方公式可得，进而推出，再根据当时，有最大，即当时，内切圆的半径的最大，证明，得到，设，则，求出，进而得到，再根据直角三角形内切圆半径公式求解即可．【详解】解：（1）为直角三角形，ABE ∴ 90AEB ∠=︒4sin 5BE BAD AB∴∠==4sin 5BCD ∴∠=45ABC 2AC =1BC =90ACB ∠=︒D AB DE AC ⊥CD CDE CDE CD AB ⊥CD CDE AB =BD x =AD x =-22222CD BC BD AC AD =-=-x CD DE a =CE b =CD c =r 222ab a b ≤+r a b =222ab a b =+DE CE =CDE AED ACB ∽DE AE BC AC =DE CE x ==2AE x =-23DE CE ==CD =CDE外接圆直径为斜边的长，当时，作为外接圆的直径最小，如图，，，，，设，则，，解得：，（2）令，，,内切圆半径为，是直角三角形，，，，，，当时，，此时最大，当时，有最大值，即当时，内切圆的半径的最大，，，∴CD ∴CD AB ⊥CD CDE 2AC = 1BC =90ACB ∠=︒AB ∴==22222CD BC BD ACAD =-=-BD x=AD x =-)2214x x ∴-=--x =CD ∴==DE a =CE b =CD c =r CDE 222c a b ∴=+()20a b -≥ 2220a b ab ∴+-≥222ab a b ∴≤+2a b c r +-∴===== a b =()20a b -=222ab a b =+∴a b =r DE CE =CDE DE AC ⊥ 90ACB ∠=︒，，，，，设，则，，，即，，三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 解方程：．【答案】【解析】【分析】本题考查了解一元一次方程，根据解一元一次方程的步骤解方程即可求解．【详解】解：，去分母得，，移项得，，解得：．18. 如图，线段与相交于点，，，求证：．DE BC ∴∥ADE ABC ∴∠=∠AED ACB ∠=∠AED ACB ∴ ∽DE AE BC AC∴=DE CE x ==2AE AC CE x =-=-212x x -∴=23x ∴=23DE CE ==CD ∴==∴=3112x x --=3x =3112x x --=3122x x --=3212x x -=+3x =AC BD O AB CD CD AB =OC OA =【答案】见解析【解析】【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识点，掌握全等三角形的判定与性质成为解题的关键．根据平行线的性质可得，再根据对顶角相等并结合已知条件可证，最后根据全等三角形的性质即可证明结论．详解】证明：∵，∴，在和中，,∴，∴．19. 已知：．（1）化简；（2）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值．【答案】（1） （2）【解析】【分析】本题考查了分式的混合运算，一元二次方程根的判别式，掌握相关运算法则是解题关键（1）先将除法化为乘法约分，再通分计算减法即可；（2）根据一元二次方程根的判别式，求得或，再结合分母不为0，得到，代入计算求出的值即可．【D B ∠=∠()AAS OCD OAB ≌AB CD D B ∠=∠OCD OAB DOC AOB D BDC AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AAS OCD OAB ≌OC OA =2211(1)21a A a a a a -=÷+--+A x 2220x ax a +++=A ()11a a -122a =1a =-2a =A【小问1详解】解：；小问2详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，，解得：或，，，，20. 如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，四边形是平行四边形，反比例函数过点，且与边交于点．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点为边的中点，求直线的解析式．【2211(1)21a A a a a a -=÷+--+()()()2111111a a a a a +-=⨯-+-111a a=--()()11a a a a --=-()11a a =- x 2220x ax a +++=()()2Δ2420a a ∴=-+=2a =1a =-10a +≠ 1a ∴≠-2a ∴=()112212A ∴==⨯-xOy A x OABC (0)m y x x=>(1,3)C AB D D AB CD【答案】（1） （2）【解析】【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是关键．（1）待定系数法求出反比例函数解析式即可；（2）根据平行四边形的性质可知，点的纵坐标相同为3，求得，再利用待定系数法求出一次函数解析式即可．【小问1详解】解：反比例函数过点，，反比例函数解析式为：；【小问2详解】解：四边形平行四边形，,点的纵坐标相同为3，点为边的中点，点的纵坐标为0，点的纵坐标为，当时，，，设直线的解析式为，，解得，直线的解析式为：．21. “英雄花开英雄城”2024广州传承弘扬红色文化系列活动正如火如荼地开展．某社区组织了形式多样的学雷锋志愿服务活动，活动现场设置义诊、科普宣传、普法宣传、消防宣传、交通宣传等多个便民服务是3y x =3922y x =-+,C B 32,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭ (0)m y x x=>(1,3)C 3m ∴=∴3y x =OABC CB OA ∴∥∴,C B D AB C ∴D 3232y =3232x ==3(2,)2D ∴CD y kx b =+3223k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩3292k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴CD 3922y x =-+摊位，吸引了众多市民前来参与活动．其中，前来参与义诊活动的100位市民的年龄整理可得如下的频数分布表：年龄分组/岁频数15254020（1）参与义诊活动的市民平均年龄为______岁；（2）某医院安排了4名医生前来为市民提供义诊，现要从这4名医生（其中3名女医生，1名男医生）中随机抽调2人到附近养老院为老人义诊，用树状图或列表的方法求抽取的两名医生恰好都是女医生的概率．【答案】（1）43（2）【解析】【分析】本题考查了加权平均数，列表法或树状图法求概率．（1）根据加权平均数的定义列式计算即可；（2）根据题意画出树状图，再利用概率公式求解即可．【小问1详解】解：参与义诊活动的市民平均年龄为岁，故答案为：43【小问2详解】解：画树状图如下：由树状图可知，共有种情况，其中两名医生恰好都是女医生的情况有6种，020x ≤<2040x ≤<4060x ≤<6080x ≤<12101530255040702043100⨯+⨯+⨯+⨯=12即抽取的两名医生恰好都是女医生的概率为．22. 人工智能与实体经济融合能够引领产业转型，提升人们生活品质．某科创公司计划投入一笔资金购进、两种型号的芯片．已知购进2片型芯片和1片型芯片共需900元，购进1片型芯片和3片型芯片共需950元．（1）求购进1片型芯片和1片型芯片各需多少元？（2）若该科创公司计划购进、两种型号的芯片共10万片，根据生产的需要，购进型芯片的数量不低于型芯片数量的4倍，问该公司如何购买芯片所需资金最少？最少资金是多少万元？【答案】（1）购进1片型芯片需元，购进1片型芯片需元；（2）该公司购买型芯片8万片，型芯片2万片所需资金最少,最少资金是万元【解析】【分析】本题考查了二元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的实际应用，正确理解题意，找出数量关系是解题关键．（1）设购进1片型芯片需元，购进1片型芯片需元，根据“购进2片型芯片和1片型芯片共需900元，购进1片型芯片和3片型芯片共需950元”列二元一次方程组求解即可；（2）设购进型芯片的数量为万片，则购进型芯片数量为万片，根据“购进型芯片的数量不低于型芯片数量的4倍”列不等式，求出的取值范围，令购买芯片所需资金为，根据题意得到关于的一次函数，利用一次函数的增减性求解即可．【小问1详解】解：设购进1片型芯片需元，购进1片型芯片需元，由题意得：，解得：，答：购进1片型芯片需元，购进1片型芯片需元；【小问2详解】解：设购进型芯片的数量为万片，则购进型芯片数量为万片，由题意得：，解得；，令购买芯片所需资金为，则，，61122=A B A B A B A B A B A B A 350B 200A B 3200A x B y A B A B A a B ()10a -A B a w w a A x B y 29003950x y x y +=⎧⎨+=⎩350200x y =⎧⎨=⎩A 350B 200A a B ()10a -()410a a ≥-8a ≥w ()350200101502000w a a a =+-=+1500>随增大而增大，当时，最小，最小值为万元，万片，答：该公司购买型芯片8万片，型芯片2万片所需资金最少,最少资金是万元23. 如图，为内接四边形，为的直径，，点为上一点，且．（1）求作点，连接，延长，交于点（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作的图中，连接．①求证：为等腰三角形；②若，，求弦的长．【答案】（1）详见解析（2）①详见解析；【解析】【分析】利用垂径定理的性质可作的垂直平分线交圆O 与点E ，即可得解；①如图，连，利用圆周角定理证出，，由四边形为圆内接四边形证出，进而可证出，即可得解，②先证出，再由勾股定理得出，由得出比值，代入计算即可得解．【小问1详解】如图，作的垂直平分线交圆O 与点E ，点E 即为所求作的点，【小问2详解】的w ∴a ∴8a =w 150820003200⨯+=102a -=A B 3200ABCD O AC O AB BD =E AD EAEC =E ED ED BC F CE CEF △5FC =15BC =DE ()1AC ()2BD 135ECF ACB ∠=︒-∠135F DCF ∠=︒-∠ABCD BAD DCF ∠=∠F ECF ∠=∠20AB BD ==25AC =FEC FBD ∽AC①如图，连，，∵ ，为直径，∴，∴，∴，，∴，∵四边形为圆内接四边形，∴，∵，∴∵ ，∴，∴，∴，∴，∴为等腰三角形；②∵所对的圆周角为，∴，∵，∴，由①知，，∴，∴，BD AE EAEC =AC 18090452ACE ︒-︒∠==︒90ADC ∠=︒45ACE ADE ∠=∠=︒135EDC F DCF ∠=︒=∠+∠180135ECF ACE ACB ACB ∠=︒-∠-∠=︒-∠135F DCF ∠=︒-∠ABCD 180BAD BCD ∠+∠=︒180BCD DCF ∠+∠=︒BAD DCF∠=∠ AB BD=BAD BDA ACB ∠=∠=∠DCF ACB ∠=∠F ECF ∠=∠EC EF =CEF △ CD,DEC DBC ∠∠DEC DBC ∠=∠F F ∠=∠BDF ECF ∠=∠ECF F ∠=∠BDF F ∠=∠15520BD BF BC CF ==+=+=∵，∴，∵为直径，∴，∴，∴，∵，∴，∴，，∴∴． 【点睛】本题主要考查了圆的综合性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键．24. 已知抛物线经过点．（1）用含的式子表示；（2）当时，设该抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，的外接圆与轴交于另一点（点与点不重合），求点的坐标；（3）若点，，在该抛物线上，且当时，总有，求的取值范围． AB BD=20AB BD ==AC 90ABC ∠=︒25AC ===EC EF ===FEC DBF F F ∠=∠∠=∠，FEC FBD ∽FE CF FB DF=5DF=DF =DE EF DF =-=-=22y x mx n =-++(2,23)m -m n 0m <x A B A B y C ABC y D D C D ()13,E y -()2,F t y ()31,G m y -34t <≤123y y y <<3y【答案】（1）（2）（3）或【解析】【分析】本题考查了二次函数的图象的性质，三角形的外接圆，同弧所对的圆周角相等；（1）把点代入抛物线，即可求解；（2）先求得的坐标，进而得出是等腰直角三角形，根据同弧所对的圆周角相等得出得出是等腰直角三角形，即可求解；（3）根据在该抛物线上，则，由当时，总有，分点在之间，和对称轴右侧两种情况，分类讨论，即可求解．【小问1详解】解：把点代入抛物线，得，，解得：；【小问2详解】解：∵，∴，当时，则，解得：或；又∵点在点的左侧，∴，，当时，则，即，∴当时，，∴是等腰直角三角形，∴，∵的外接圆与轴交于另一点，∴，即是等腰直角三角形，21n m =-+()0,1D -315y >310y -≤≤(2,23)m -22y x mx n =-++,,A B C AOC 45ABD ACD ∠=∠=︒OBD ()31,G m y -()223211y m m m =-=--34t <≤123y y y <<F ,E G (2,23)m -22y x mx n =-++4423m n m -++=-21n m =-+21n m =-+2221y x mx m =-+-+0y =22210x mx m -+-+=1x =21x m =-A B ()21,0A m -()1,0B 0x =12y m =-()0,12C m -0m <OA OC =12m =-AOC 45ACD ∠=︒ABC y D 45ABD ACD ∠=∠=︒OBD∵，则，根据圆的对称性可得：；【小问3详解】解：在该抛物线上，则，∵，∴抛物线对称轴为直线，∴点的横坐标，即点在对称轴的左侧，∵当时，总有，∴图①不成立，当的位置满足图②时，，解得：，∴，则，当的位置满足图③时，则，解得：，此时，1OB =1OD =()0,1D -()31,G m y -()223211y m m m =-=--()22222121y x mx m x m m m =-+-+=--+-+x m =G 1m m -<G 34t <≤123y y y <<F 41m <-5m >()223211y m m m =-=--315y >F 13234m m +≤⎧⎨+>⎩122m <≤310y -≤≤综上所述， 或．25. 如图，矩形中，，，点E ，F 分别为边，上的点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段．射线与对角线交于点，连接，．（1）求的度数；（2）若，求的值；（3）连接，，若，设和的面积分别为，，当点在边上运动时，求的最大值．【答案】（1）（2） （3）【解析】【分析】（1）根据性质的性质可得是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解；（2）过点作，于点，延长至点，使得，连接，得出，证明，，进而证明，得出，连接，证明，得出，进而根据，即可求解；（3）取的中点，连接， ，过点作于，过点作分别交、于、，得出，证明，，，四点共圆，进而证明，得出则，根据表示出，则，根据二次函数的性质，即可求解．【小问1详解】解：∵将线段绕点顺时针旋转，得到线段，315y >310y -≤≤ABCD 4AB =B C =AB BC EF F 60︒FG FG AC M EM EG FGE ∠2FC BF =AM ME EB +-CG DG =BF CDG EFG 1S 2S E AB 12S S 60FGE ∠=︒443FGE △F PF EM ⊥FQ AC ⊥,P Q AB N BN MQ =FN 30ACB ∠=︒(ASA)FQM FBN ≌(SAS)EFN EFM ≌FPM FQM ≌MP MQ BN ==AF ()Rt Rt HL ABF AQF ≌4AQ AB ==4AM ME BE AM EN BE AQ +-=+-==EG 0FO BO O OR AE ⊥R G PQ AD ∥AB CD P Q tan 60FO EO=︒=B E O F EOR EGP ∽2GP OR ==1S =AE x =,4BF BE x ==-2212EFG S S EG OF ==⋅= 2S ()122413S S x =-+EF F 60︒FG∴是等边三角形，∴，【小问2详解】如图所示，过点作，于点，延长至点，使得，连接，∵，，，∴，∴，∴，∴，又∵，∴，∵，，∴，∴，，又∵，，，，又，∴，∴，，∴，FGE △60EGF ∠=︒F PF EM ⊥FQ AC ⊥,P Q AB N BN MQ =FN 4AB =B C =90ABC ∠=︒8AC ==1sin 2ACB ∠=30ACB ∠=︒2FC FQ =2FC BF =FB FQ =BN MQ =90FBN FQM ∠==︒(SAS)FQM FBN ≌FM FN BFN QFM ==∠∠,FMQ FNB =∠∠120BFQ FCQ FQC ∠=∠+∠=︒60EFM ∠=︒60QFM EFB BFQ EFM ︒∴∠+∠=∠-∠=60EFN NFB EFB QFM EFB ︒∴∠=∠+∠=∠+∠=EF EF =(SAS)EFN EFM ≌NEF MEF =∠∠ENF EMF EM EN ∠∠==，PMF FMQ =∠∠又，∴，∴，连接，∵，∴，∴，∴；【小问3详解】如图，取的中点，连接， ，过点作于，过点作分别交、于、，由（1）可得是等边三角形，点为的中点，，，则又，，，，，四点共圆，，，，90,FPM FQM PF PF ∠=∠=︒=FPM FQM ≌MP MQ BN ==AM ME BE AM EN BE AM BN AM MQ AQ∴+-=+-=+=+=AF ,AF AF FB FQ ==()Rt Rt HL ABF AQF ≌4AQ AB ==4AM ME BE AM EN BE AQ +-=+-==EG 0FO BO O OR AE ⊥R G PQ AD ∥AB CD P Q EFG O EG FO EG ∴⊥90EOF ∴∠=︒30EFO ∠=︒tan 60FO EO=︒=90EBF ∠=︒ 180EOF EBF ∴∠+∠=︒B ∴E O F OEB ∴∠+180OFB ∠=︒60OBF OEF ∠=∠=︒30EBO EFO ∠=∠=︒180OEB AEO ∠+∠=︒，，，，，在中，，， ，，，，，，∴，四边形是矩形，，，，，设则，，，，，AEO BFO ∴∠=∠90903060OAE BAC ACB ∠=∠-︒-∠=︒-︒=︒ 603090OAE EBO ∴∠+∠=︒+︒=︒90AOB ∴∠-︒122AO AB ∴==Rt AORsin 2sin60OR OA OAR =⋅∠=︒=OR AB ⊥ AD AB ⊥∴OR AD ∥ PQ AD ∥∴OR PQ ∥EOR EGP ∴ ∽∴12OR EO GP EG ==2GP OR == ADQP∴PQ AD BC ===∴GQ PQ GP =-== PQ CD ⊥∴111422CDG S S CD GQ ==⋅=⨯⨯= AE x=,4BF BE x ==-∴())22222244816EF BE BF x x x =+=-+=-+2224816EG EF x x ==-+OF EF EG ==∴2212EFG S S EG OF EG ==⋅=))22481624x x x x =-+=-+，∴当时，取的最大值，最大值为．【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，勾股定理，相似三角形的性质与判定，二次函数的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．()122413S S x ∴==-+1x =12S S 43。
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2012广州一模试题及答案(数学理) 试卷类型:A 2012年广州市普通高中毕业班综合测试年广州市普通高中毕业班综合测试年广州市普通高中毕业班综合测试年广州市普通高中毕业班综合测试((((一一一一))))数学数学数学数学((((理科理科理科理科))))2012.3本试卷共4页，21小题，满分150分(考试用时120分钟(注意事项注意事项注意事项注意事项::::1(答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。
2(选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3(非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上;如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4(作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5(考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式参考公式参考公式参考公式::::锥体的体积公式ShV31=，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高(方差 ()()()2222121nsxxxxxxn??=?+?+???+?????，其中12 nxxxxn+++=L.一一一一、、、、选择题选择题选择题选择题::::本大题共本大题共本大题共本大题共8小题小题小题小题，，，，每小题每小题每小题每小题5分分分分，，，，满分满分满分满分40分分分分((((在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，，，，只有一项是符合只有一项是符合只有一项是符合只有一项是符合题目要求的题目要求的题目要求的题目要求的((((1(已知复数()ii1iab+=?(其中,ab?R，i是虚数单位)，则ab+的值为A(2? B(1? C(0 D(22(已知全集U=R，函数1 1yx=+的定义域为集合A，函数( )2log2yx=+的定义域为集合B，则集合BACU?)(=A(()2,1?? B((]2,1?? C((),2??? D(()1,?+?3(如果函数()sin6fxxωπ??=+????()0ω>的相邻两个零点之间的距离为12π，则ω的值为A(3 B(6 C(12 D(24 4(已知点()Pab，(0ab?)是圆O:222xyr+=内一点，直线l的方程为20axbyr++=，那么直线l与圆O的位置关系是A(相离 B(相切 C(相交 D(不确定 5(已知函数()21fxx=+，对于任意正数a，12xxa?<是()()12fxfxa?<成立的A(充分非必要条件 B(必要非充分条件 C(充要条件 D(既不充分也不必要条件6(已知两个非零向量a与b，定义sinθ×=abab，其中θ为a与b的夹角(若()3,4?a=， ()0,2b=，则×ab的值为 A(8? B(6? C(8 D(67(在?ABC中，60ABC?=o，2AB=，6BC=，在BC上任取一点D，使?ABD为钝角三角形的概率为A(16 B(13 C(12 D(238(从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中任取3个不同的数字构成空间直角坐标系中的点的坐标(),,xyz，若xyz++是3的倍数，则满足条件的点的个数为 A(252 B(216 C(72 D(42 二二二二、、、、填空题填空题填空题填空题::::本大题共本大题共本大题共本大题共7小题小题小题小题，，，，考生作答考生作答考生作答考生作答6小题小题小题小题，，，，每小题每小题每小题每小题5分分分分，，，，满分满分满分满分30分分分分((((((((一一一一))))必做题必做题必做题必做题((((9,,,,13题题题题))))9(如图1是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为 ( 10(已知()2 11d4kxx+?2??，，，，则实数k的取值范围为 (11(已知幂函数( )22657mymmx?=?+在区间()0,+?上单调递增，则实数m的值为(12(已知集合{}1Axx=??2，{}1Bxxa=??，若ABA=I，，，，则实数a的取值范围为(13(两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图2中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作11a=，第2个五角形数记作25a=，第3个五角形数记作312a=，第4个五角形数记作422a=，……，若按此规律继续下去，则5a= ，若145na=，则n= (5 12 122图2图1俯视图22正(主)视图222侧(左)视图222 ((((二二二二))))选做题选做题选做题选做题((((14,,,,15题题题题，，，，考生只能从中选做一题考生只能从中选做一题考生只能从中选做一题考生只能从中选做一题) )))14((几何证明选讲选做题)如图3，圆O的半径为5cm，点P是弦AB的中点，3OP=cm，弦CD过点P，且1 3CPCD=，则CD的长为cm(15((坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系中，已知直线l与曲线C的参数方程分别为l:1, 1xsys=+??=??(s为参数)和C:22, xtyt=+??=?(t为参数)，若l与C相交于A、B两点，则AB= (三三三三、、、、解答题解答题解答题解答题::::本大题共本大题共本大题共本大题共6666小题小题小题小题，，，，满分满分满分满分80808080分分分分((((解答须写出文字说明解答须写出文字说明解答须写出文字说明解答须写出文字说明、、、、证明过程和演算步骤证明过程和演算步骤证明过程和演算步骤证明过程和演算步骤( (((16((本小题满分12分) 已知函数()tan3 4fxxπ??=+????((1)求9fπ??????的值;(2)设3,2απ???π????，若234fαπ??+=????，求cos4απ???????的值(17((本小题满分12分)如图4所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组(每小组4人)在期末考试中的数学成绩(乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a表示(已知甲、乙两个小组的数学成绩的平均分相同( (1)求a的值;(2)求乙组四名同学数学成绩的方差; (3)分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，记这两名同学数学成绩之差的绝对值为X，求随机变量X的分布列和均值(数学期望)((温馨提示温馨提示温馨提示温馨提示::::答题前请仔细阅读卷首所给的计算公式及其说明答题前请仔细阅读卷首所给的计算公式及其说明答题前请仔细阅读卷首所给的计算公式及其说明答题前请仔细阅读卷首所给的计算公式及其说明()18((本小题满分14分) 如图5所示，在三棱锥ABC P?中，6ABBC==，平面?PAC 平面ABC，ACPD?于点D， 1AD=，3CD=，3PD=((1)证明?PBC为直角三角形;(2)求直线AP与平面PBC所成角的正弦值(图4甲组乙组897a 357966图5 BPA CDPOABCD图3 19((本小题满分14分) 等比数列{}na的各项均为正数，4352,,4aaa成等差数列，且2322aa=((1)求数列{}na的通项公式;(2)设()()252123nnnbann+=++，求数列{}nb的前n项和nS(20((本小题满分14分) 已知椭圆2214yx+=的左，右两个顶点分别为A、B(曲线C是以A、B两点为顶点，离心率为5的双曲线(设点P在第一象限且在曲线C上，直线AP与椭圆相交于另一点T((1)求曲线C的方程;(2)设P、T两点的横坐标分别为1x、2x，证明:121xx?=;(3)设TAB?与POB ?(其中O为坐标原点)的面积分别为1S与2S，且PAPBuuruurg?15，求2212SS?的取值范围。
最新教案-2012年广一模文科数学试题及答案
为必要不充分条件；
10、A由题意可知， ，又过点 ，故用点斜式可得 方程为
，与 平行；因圆心到 的距离 ，
故 与圆相离。
11、 ，观察猜测可得
12、 ，解析：
13、35，10可以把前四项进行如下分解： ，故
， ，解得
；
14、 设 ，由P是AB中点可知 ，由 求
得 ，故 ；
15、 解析： 两式相加可解得 ，故两个点坐标为 ，
16、（1） ；
（2）因为 ，又 ，所以 即 ，所以
，所以
17、（1）由频率分布直方图可得 ，解得
；
（2）由频率分布直方图可得，数学成绩不低于60分的频率为 ，故估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数为 人。
（3）由频率分布直方图可得，数学成绩在 这两个分数段内的学生人数分别有 ， ，记 内的学生为 ， 内的学生为1,2,3,4，故从这两个分数段内随机取两名学生的情况有 ，
A． ，且 与圆 相离B． ，且 与圆 相切
C． ，且 与圆 相交D． ，且 与圆 相离
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．
（一）必做题（11～13题）
11．若函数 是偶函数，则实数 的值为．
12．已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围为．
13．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图2中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作 ，第2个五角形数记作 ，第3个五角形数记作 ，第4个五角形数记作 ，…，若按此规律继续下去，则 ，若 ，则 ．
2024年广东省广州市越秀区初三一模数学试题含答案解析
2024年广东省广州市越秀区中考一模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．2-的相反数是（ ）A ．12B ．2C ．12-D ．2-【答案】B【分析】本题考查相反数的定义．根据相反数的定义“只有符号不同的两个数互为相反数”判断即可．【详解】解：2-的相反数是2．故选B ．2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义，即可求解．【详解】解：A 、是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意；B 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；故选：A ．3．如图，将ABC 沿BA 方向平移到A B C ''' ，若4AB =，1AB '=，则平移距离为（ ）．A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【分析】本题考查的是平移的性质，根据图形平移的性质可知AB A B ''=，再由4AB =，1AB '=可得出AA '的长，进而可得出结论，熟知把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点，连接各组对应点的线段平行且相等是解题的关键．【详解】解： 将ABC 沿BA 方向平移到A B C ''' ，4AB =，1AB '=，4AB A B ''∴==，413AA A B AB ''''∴=-=-=，∴平移距离为3．故选：B ．4．石墨烯堪称目前世界上最薄的材料，约为0.3纳米（1纳米0.000000001=米）．与此同时，石墨烯比金刚石更硬，是世界上最坚硬又最薄的纳米材料．0.3纳米用科学记数法可以表示为（ ）米．A ．8310-⨯B ．90.310-⨯C ．9310-⨯D ．10310-⨯【答案】D【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为10n a -⨯，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，一般形式为10n a -⨯，其中1||10a ≤<，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：0.3纳米0.30.000000001=⨯米10310-=⨯米．故选：D ．5．下列运算正确的是（ ）A =B ．()a b a b -+=-+C ．()325a a =D ．222()2a b a ab b -=-+【答案】D【分析】此题主要考查了幂的乘方运算、完全平方公式、二次根式的加减运算，直接利用幂的乘方运算法则、完全平方公式、二次根式的加减运算法则分别化简，进而得出答案，正确掌握相关运算法则是解题关键．6．关于函数21y x =-+，下列结论成立的是（ ）．A ．函数图象经过点(1,1)B ．y 随x 的增大而增大C ．当0x <时，0y >D ．函数图象不经过第一象限7．如图是一个正方体的平面展开图，若将其按虚线折叠成正方体后，相对面上的两个数字之和均为6，则2x y z -+的值为（ ）A ．0B ．2C ．12-D ．20-【答案】A【分析】本题考查了正方体的展开图形，代数式求值，根据正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，据此作答．【详解】解：“y ”所在面与“3”所在面相对，“z ”所在面与“1-”所在面相对，“x ”所在面与“8”所在面相对，则()361686y z x +=+-=+=，，，解得：3y =，7z =，2x =-，()222370x y z ∴-+=⨯--+=，故选：A ．8．某班35位同学课外阅读物的数量统计如下表所示，其中有两个数据被遮盖，下列关于课外阅读物的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（ ）．课外阅读物的数量2345678人数■■97932A ．平均数，方差B ．中位数，方差C ．平均数，众数D ．中位数，众数【答案】D【分析】本题考查了统计量的选择，熟练掌握众数和中位数的定义是解题的关键；根据众数和中位数的定义求解即可．【详解】这组数据中本数为2、3的人数和为：35979325-----=，则这组数据中出现次数最多的数9，即众数9，与遮盖的数据无关；5972118++=>，第18个数据为7，则中位数为7，与被遮盖的数据无关；故选：D ．9．如图，点E 为矩形ABCD 边CD 的中点，点F 为边BC 上一点，且FAE EAD ∠=∠，若8BF =，2FC =，则AF 的长为（ ）．A ．10B ．C ．12D ．【答案】C【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键．根据矩形的性质，先证明()AAS ADE AGE ≌，得到ED EG =，10AD AG ==，再证明()Rt Rt HL ECF EGF ≌，得到2FG CF ==，即可求出AF 的长．【详解】解：如图，过点E 作EG AF ^于点G ，连接EF ，四边形ABCD 是矩形，8BF =，2FC =，90D C ∴∠=∠=︒，10AD BC BF CF ==+=，在ADE V 和AGE 中，90EAD FAE D AGE AE AE ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()AAS ADE AGE ∴ ≌，ED EG ∴=，10AD AG ==，点E 为CD 的中点，CE DE EG ∴==，在Rt ECF 和Rt EGF △中，CE EGEF EF =⎧⎨=⎩，()Rt Rt HL ECF EGF ∴ ≌，2FG CF ∴==，10212AF AG FG ∴=+=+=，故选：C10．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的函数值y 和自变量x 的部分对应取值如下表所示：x…1-0123…y…1m n 1p…若0m p ⋅<，则下列结论：①0a >；②若方程20ax bx c ++=的两个实数根为1x 、2x ，则121x x =+；③30a b c +-<；④n p ⋅的最大值为98．其中正确的结论是（ ）．A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④根据抛物线的对称性可得，当0x =和1x =时的函数值相等，m n =∴，0m p ⋅< ，0n p ∴⋅<，④结论错误；即正确的结论是②③故选：B二、填空题11x 的取值范围是 ．【答案】3x ≥【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解答此题的关键．根据二次根式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x 的取值范围即可．【详解】解：根据题意知30x -≥，解得：3x ≥，故答案为：3x ≥．12．在一个不透明的布袋中装有红球、白球共40个，这些球除颜色外都相同．小明从中随机摸出一个球记下颜色并放回，通过大量重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.4，则布袋中红球的个数大约是 ．【答案】16【分析】本题考查了利用频率估计概率，用总球的个数乘以摸到红球的频率即可得出答案，解答本题的关键要明确：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．【详解】解： 一个不透明的布袋中装有红球、白球共40个，其中摸到红球的频率稳定在0.4，∴布袋中红球的个数大约是400.416⨯=（个)；故答案为：16．13．分式方程121x x =-的解是 ．【答案】x =-1【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：去分母得：x -1=2x ，解得：x =-1，经检验x =-1是分式方程的解，故答案为：x =-1．【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．14．如图所示的衣架可以近似看成一个等腰ABC ，其中AB AC =，27ABC ∠=︒，40cm BC =，则高AD 为cm ．（参考数据：sin 270.45︒≈，cos 270.89︒≈，tan 270.51︒≈）15．如图，点E 为菱形ABCD 的边AD 上一点，且3AE =，2DE =，点F 为对角线AC 上一动点，若DEF 的周长最小值为6，则sin BCD ∠= ．16．如图，在ABC 中，2AC =，1BC =，90ACB ∠=︒，点D 为边AB 上一动点（点D 与点A 、B 不重合），过点D 作DE AC ⊥，连接CD ．外接圆的直径的最小值是；（1）CDE内切圆的半径的最大值是．（2）CDE（2）令DE a =，CE b =，CD DE AC ⊥ ，90ACB ∠=︒，DE BC ∴∥，ADE ABC ∴∠=∠，AED ∠=∠∵C E AC ¢^，C C AB '⊥，C DB '∠=∴A C '∠=∠，∴2cos cos 5AC C A AB '===，∵425AC BC CC AB ⋅'=⋅=，三、解答题17．解方程：3112x x --=．18．如图，线段AC 与BD 相交于点O ，AB CD ，CD AB =，求证：OC OA =．【答案】见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识点，掌握全等三角形的判定与性质成为解题的关键．根据平行线的性质可得D B ∠=∠，再根据对顶角相等并结合已知条件可证()AAS OCD OAB ≌，最后根据全等三角形的性质即可证明结论．【详解】证明：∵AB CD ，∴D B ∠=∠，在OCD 和OAB 中，DOC AOB D BDC AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴()AAS OCD OAB ≌，∴OC OA =．19．已知：2211(1)21a A a a a a -=÷+--+．(1)化简A ；(2)若关于x 的一元二次方程2220x ax a +++=有两个相等的实数根，求A 的值．20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 在x 轴上，四边形OABC 是平行四边形，反比例函数(0)m y x x=>过点(1,3)C ，且与边AB 交于点D ．(1)求反比例函数的解析式；(2)若点D 为边AB 的中点，求直线CD 的解析式．21．“英雄花开英雄城”2024广州传承弘扬红色文化系列活动正如火如荼地开展．某社区组织了形式多样的学雷锋志愿服务活动，活动现场设置义诊、科普宣传、普法宣传、消防宣传、交通宣传等多个便民服务摊位，吸引了众多市民前来参与活动．其中，前来参与义诊活动的100位市民的年龄整理可得如下的频数分布表：年龄分组/岁频数020x ≤<152040x ≤<254060x ≤<406080x ≤<20(1)参与义诊活动的市民平均年龄为______岁；(2)某医院安排了4名医生前来为市民提供义诊，现要从这4名医生（其中3名女医生，1名男医生）中随机抽调2人到附近养老院为老人义诊，用树状图或列表的方法求抽取的两名医生恰好都是女医生的概率．由树状图可知，共有12种情况，其中两名医生恰好都是女医生的情况有即抽取的两名医生恰好都是女医生的概率为61122=．22．人工智能与实体经济融合能够引领产业转型，提升人们生活品质．某科创公司计划投入一笔资金购进A 、B 两种型号的芯片．已知购进2片A 型芯片和1片B 型芯片共需900元，购进1片A 型芯片和3片B 型芯片共需950元．(1)求购进1片A 型芯片和1片B 型芯片各需多少元？(2)若该科创公司计划购进A 、B 两种型号的芯片共10万片，根据生产的需要，购进A 型芯片的数量不低于B 型芯片数量的4倍，问该公司如何购买芯片所需资金最少？最少资金是多少万元？【答案】(1)购进1片A 型芯片需350元，购进1片B 型芯片需200元；(2)该公司购买A 型芯片8万片，B 型芯片2万片所需资金最少,最少资金是3200万元【分析】本题考查了二元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的实际应用，正确理解题意，找出数量关系是解题关键．（1）设购进1片A 型芯片需x 元，购进1片B 型芯片需y 元，根据“购进2片A 型芯片和1片B 型芯片共需900元，购进1片A 型芯片和3片B 型芯片共需950元”列二元一次方程组求解即可；（2）设购进A 型芯片的数量为a 万片，则购进B 型芯片数量为()10a -万片，根据“购进A 型芯片的数量不低于B 型芯片数量的4倍”列不等式，求出a 的取值范围，令购买芯片所需资金为w ，根据题意得到w 关于a 的一次函数，利用一次函数的增减性求解即可．【详解】（1）解：设购进1片A 型芯片需x 元，购进1片B 型芯片需y 元，由题意得：29003950x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：350200x y =⎧⎨=⎩，答：购进1片A 型芯片需350元，购进1片B 型芯片需200元；（2）解：设购进A 型芯片的数量为a 万片，则购进B 型芯片数量为()10a -万片，由题意得：()410a a ≥-，解得；8a ≥，令购买芯片所需资金为w ，则()350200101502000w a a a =+-=+，1500> ，w ∴随a 的增大而增大，∴当8a =时，w 最小，最小值为150820003200⨯+=万元，102a -=万片，答：该公司购买A 型芯片8万片，B 型芯片2万片所需资金最少,最少资金是3200万元23．如图，ABCD 为O 内接四边形，AC 为O 的直径， AB BD =，点E 为 AD 上一点，且 EAEC =．(1)求作点E ，连接ED ，延长ED ，BC 交于点F （尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；(2)在（1）所作的图中，连接CE ．①求证：CEF △为等腰三角形；②若5FC =，15BC =，求弦DE 的长．（2）①如图，连BD ，AE∵ EAEC = ，AC 为直径，∴18090452ACE ︒-︒∠==︒，∴45ACE ADE ∠=∠=︒，∴135EDC F DCF ∠=︒=∠+∠∴135F DCF ∠=︒-∠，【点睛】本题主要考查了圆的综合性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键．24．已知抛物线22y x mx n =-++经过点(2,23)m -．(1)用含m 的式子表示n ；(2)当0m <时，设该抛物线与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，ABC 的外接圆与y 轴交于另一点D （点D 与点C 不重合），求点D 的坐标；(3)若点()13,E y -，()2,F t y ，()31,G m y -在该抛物线上，且当34t <≤时，总有123y y y <<，求3y 的取值范围．【答案】(1)21n m =-+(2)()0,1D -(3)315y >或310y -≤≤【分析】本题考查了二次函数的图象的性质，三角形的外接圆，同弧所对的圆周角相等；（1）把点(2,23)m -代入抛物线22y x mx n =-++，即可求解；（2）先求得,,A B C 的坐标，进而得出AOC 是等腰直角三角形，根据同弧所对的圆周角相等得出45ABD ACD ∠=∠=︒得出OBD 是等腰直角三角形，即可求解；（3）根据()31,G m y -在该抛物线上，则()223211y m m m =-=--，由当34t <≤时，总有123y y y <<，分点F 在,E G 之间，和对称轴右侧两种情况，分类讨论，即可求解．【详解】（1）解：把点(2,23)m -代入抛物线22y x mx n =-++，得，4423m n m -++=-，解得：21n m =-+；（2）解：∵21n m =-+，∴2221y x mx m =-+-+，当0y =时，则22210x mx m -+-+=，解得：1x =或21x m =-；又∵点A 在点B 的左侧，∴()21,0A m -，()1,0B ，当0x =时，则12y m =-，即()0,12C m -，∴当0m <时，OA OC =12m =-，∴AOC 是等腰直角三角形，∴45ACD ∠=︒，∵ABC 的外接圆与y 轴交于另一点D ，∴45ABD ACD ∠=∠=︒，即OBD 是等腰直角三角形，∵1OB =，则1OD =，根据圆的对称性可得：()0,1D -；（3）解：()31,G m y -在该抛物线上，则()223211y m m m =-=--，∵()22222121y x mx m x m m m =-+-+=--+-+，∴抛物线对称轴为直线x m =，∴点G 的横坐标1m m -<，即点G 在对称轴的左侧，∵当34t <≤时，总有123y y y <<，∴图①不成立，当F 的位置满足图②时，41m <-，解得：5m >，∴()223211y m m m =-=--，则315y >，当F 的位置满足图③时，则13234m m +≤⎧⎨+>⎩，解得：12m <≤，此时310y -≤≤，25．如图，矩形ABCD 中，4AB =，B C =，点E ，F 分别为边AB ，BC 上的点，将线段EF 绕点F 顺时针旋转60︒，得到线段FG ．射线FG 与对角线AC 交于点M ，连接EM ，EG ．(1)求FGE ∠的度数；(2)若2FC BF =，求AM ME EB +-的值；(3)连接CG ，DG ，若=BF ，设CDG 和EFG 的面积分别为1S ，2S ，当点E 在边AB 上运动时，求12S S 的最大值．∵4AB =，43B C =，90ABC ∠=︒∴228AC AB BC =+=，∴1sin 2ACB ∠=，∴30ACB ∠=︒，∴FB FQ =，∵BN MQ =，90FBN FQM ∠==︒，∴(SAS)FQM FBN ≌，∴FM FN BFN QFM ==∠∠,，FMQ FNB =∠∠，又∵120BFQ FCQ FQC ∠=∠+∠=︒，60EFM ∠=︒，60QFM EFB BFQ EFM ︒∴∠+∠=∠-∠=，60EFN NFB EFB QFM EFB ︒∴∠=∠+∠=∠+∠=，又EF EF =，∴(SAS)EFN EFM ≌，∴NEF MEF =∠∠，ENF EMF EM EN ∠∠==，，∴PMF FMQ =∠∠，又90,FPM FQM PF PF ∠=∠=︒=，∴FPM FQM ≌，∴MP MQ BN ==，AM ME BE AM EN BE AM BN AM MQ AQ∴+-=+-=+=+=连接AF ，∵,AF AF FB FQ ==，∴()Rt Rt HL ABF AQF ≌，∴4AQ AB ==，∴4AM ME BE AM EN BE AQ +-=+-==；（3）如图，作FO EG ⊥，连接FO ， BO ，过点O 作OR AE ⊥于R ，过点G 作PQ AD ∥分别交AB 、CD 于P 、Q ，由（1）可得EFG 是等边三角形，∴点O 为EG 的中点，90EOF ∴∠=︒，30EFO ∠=︒，。