2017年高考试题分类汇编之向量(带答案解析)
﹣ 与 +λ
的夹角为 60°，则实数 λ的值是
．
【分析】根据平面向量的数量积运算与单位向量的定义， 列出方程解方程即可求 出 λ的值．
【解答】 解： ， 是互相垂直的单位向量，
∴ | | =| | =1，且 ? =0；
又
﹣ 与 +λ 的夹角为 60°，
∴（
﹣ ）?（ +λ ）=|
﹣ | ×| +λ | ×cos60°，
即
+（
﹣1） ? ﹣ λ =
×
×，
化简得 ﹣λ＝ ×
×，
即 ﹣ λ＝
，
解得 λ＝ ．
故答案为： ． 【点评】 本题考查了单位向量和平面向量数量积的运算问题，是中档题．
11．（ 2017?北京）已知点 P 在圆 x2+y2=1 上，点 A 的坐标为（﹣ 2，0）， O 为原 点，则 ? 的最大值为 6 ．
Hale Waihona Puke A． ⊥ B．| | =| | C． ∥ D．| | ＞ | |
3．在矩形 ABCD中，AB=1，AD=2，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上．若
=λ +μ ，则 λ+μ的最大值为（
）
A．3 B．2 C． D．2 4．如图，已知平面四边形 ABCD，AB⊥ BC，AB=BC=AD=，2 CD=3，AC与 BD 交于
【分析】 由已知得
，从而 =0，由此得到
．
【解答】 解：∵非零向量 ， 满足 | + | =| ﹣ | ，
∴
，
解得 =0，
∴
．
故选： A． 【点评】 本题考查两个向量的关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意 向量的模的性质的合理运用．
3．（2017?新课标 Ⅲ）在矩形 ABCD中， AB=1，AD=2，动点 P 在以点 C 为圆心且
【分析】 设 P（cosα，sin α）．可得 =（2，0）， =（cosα+2，sin α）．利用数量 积运算性质、三角函数的单调性与值域即可得出． 【解答】 解：设 P（ cosα， sin α）. =（2，0）， =（cosα+2，sin α）． 则 ? =2（cosα+2）≤ 6，当且仅当 cosα=1时取等号． 故答案为： 6． 【点评】本题考查了数量积运算性质、 三角函数的单调性与值域、 圆的参数方程， 考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
（ λ∈ R），且
=﹣4，则 λ的值为
∴ r= ，
∴圆的方程为（ x﹣1）2+（ y﹣ 2） 2= ，
设点 P 的坐标为（
cosθ+1， sin θ+2），
∵ =λ +μ ， ∴（ cosθ+1，
sin θ+2）=λ（ 1， 0） +μ（0，2）=（λ，2μ），
∴ cosθ+1=λ， sin θ+2=2μ，
∴ λ+μ＝ cosθ+ sin θ+2=sin（θ+φ）+2，其中 tan φ=2，
【解答】 解：如图：以 A 为原点，以 AB， AD 所在的直线为 x， y 轴建立如图所 示的坐标系， 则 A（0，0）， B（ 1， 0），D（0，2），C（1，2）， ∵动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上， 设圆的半径为 r， ∵ BC=2， CD=1，
∴ BD=
=
∴ BC?CD= BD?r，
与 BD 相切的圆上．若 =λ +μ ，则 λ+μ的最大值为（
）
A．3 B．2 C． D．2 【分析】 如图：以 A 为原点，以 AB，AD 所在的直线为 x，y 轴建立如图所示的
坐标系，先求出圆的标准方程，再设点 P 的坐标为（
cosθ+1， sin θ+2），
根据 =λ +μ ，求出 λ，μ，根据三角函数的性质即可求出最值．
2017 年 11 月 08 日 187****5958 的高中数学组卷
一．选择题（共 5 小题）
1．已知△ ABC是边长为 2 的等边三角形， P 为平面 ABC内一点， 则 ?（ + ）
的最小值是（
）
A．﹣ 2 B．﹣ C．﹣ D．﹣ 1
2．设非零向量 ， 满足 | + | =| ﹣ | 则（ ）
得 cosα＝ ， sin α＝ ． C
．可得 cos（ α+45°） = ． sin（α+45°）
= ．B
．利用 =m +n （ m，n∈R），即可得出．
【解答】 解：如图所示，建立直角坐标系． A（1，0）． 由 与 的夹角为 α，且 tan α=．7 ∴ cosα＝ ， sinα＝ ．
∴C
．
cos（α+45°） = （ cosα﹣sin α）= ． sin（α+45°）= （sin α+cosα）= ．
二．填空题（共 9 小题）
6．已知向量 ， 的夹角为 60°，| | =2，| | =1，则 | +2 | =
．
7．已知向量 =（﹣ 1， 2）， =（m，1），若向量 + 与 垂直，则 m=
．
8．已知向量 =（﹣ 2， 3）， =（3，m），且
，则 m=
．
9．已知向量 =（2，6）， =（﹣ 1，λ），若
8．（ 2017?新课标 Ⅲ）已知向量 =（﹣ 2，3）， =（3，m），且
，则 m= 2 ．
【分析】 利用平面向量数量积坐标运算法则和向量垂直的性质求解．
【解答】 解：∵向量 =（﹣ 2，3）， =（ 3， m），且
，
∴ =﹣6+3m=0， 解得 m=2． 故答案为： 2． 【点评】 本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量 数量积坐标运算法则和向量垂直的性质的合理运用．
A．I1＜I2＜ I3 B．I1＜ I3＜ I2 C． I3＜ I1＜ I2 D．I2＜I1＜I3 【分析】 根据向量数量积的定义结合图象边角关系进行判断即可． 【解答】 解：∵ AB⊥BC，AB=BC=AD=，2 CD=3， ∴ AC=2 ， ∴∠ AOB=∠COD＞90°，
由图象知 OA＜ OC， OB＜ OD， ∴ 0＞ ? ＞ ? ， ? ＞0， 即 I3＜I1＜I2， 故选： C． 【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用， 根据图象结合平面向量数量积的 定义是解决本题的关键．
∴ | +2 | =2 ．
【解法二】根据题意画出图形，如图所示；
结合图形 = + = +2 ； 在△ OAC中，由余弦定理得 | |=
即 | +2 | =2 ． 故答案为： 2 ．
=2 ，
【点评】本题考查了平面向量的数量积的应用问题， 解题时应利用数量积求出模 长，是基础题．
7．（2017?新课标 Ⅰ）已知向量 =（﹣ 1，2）， =（m，1），若向量 + 与 垂直，
，则 λ＝
．
10．已知 ， 是互相垂直的单位向量，若
﹣
与 +λ 的夹角为
60°，则实数 λ的值是
．
11．已知点 P 在圆 x2+y2=1 上，点 A 的坐标为（﹣ 2，0），O 为原点，则 ? 的
最大值为
．
12．如图，在同一个平面内，向量 ， ， 的模分别为 1，1， ， 与 的
夹角为 α，且 tan α=，7 与 的夹角为 45°．若 =m +n （m， n∈ R），则
m+n=
．
13．在△ ABC中，∠ A=60°，AB=3， AC=2．若 =2 ， =λ ﹣ （ λ∈ R），且
=﹣4，则 λ的值为
．
14．在平面直角坐标系 xOy 中， A（﹣ 12，0），B（0，6），点 P 在圆 O：x2+y2=50
上．若
≤20，则点 P 的横坐标的取值范围是
．
2017 年 11 月 08 日 187****5958 的高中数学组卷
∵﹣ 1≤sin（ θ+φ）≤ 1， ∴ 1≤ λ+μ≤3， 故 λ+μ的最大值为 3， 故选： A
【点评】本题考查了向量的坐标运算以及圆的方程和三角函数的性质， 点 P 的坐标，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题．
关键是设
4．（2017?浙江）如图，已知平面四边形 ABCD，AB⊥ BC，AB=BC=AD=，2 CD=3， AC与 BD 交于点 O，记 I1= ? ，I2= ? ，I3= ? ，则（ ）
点 O，记 I1= ? ，I2= ? ，I3= ? ，则（
）
A．I1＜I2＜ I3 B．I1＜ I3＜ I2 C． I3＜ I1＜ I2 D．I2＜I1＜I3 5．设 ， 为非零向量，则 “存在负数 λ，使得 =λ ”是 ? ＜ 0”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
则 m= 7 ．
【分析】 利用平面向量坐标运算法则先求出
，再由向量 + 与 垂直，利用
向量垂直的条件能求出 m 的值．
【解答】 解：∵向量 =（﹣ 1，2）， =（ m，1），
∴ =（﹣ 1+m，3），
∵向量 + 与 垂直，
∴（ ） ? =（﹣ 1+m）×（﹣ 1）+3× 2=0， 解得 m=7． 故答案为： 7． 【点评】 本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量 坐标运算法则和向量垂直的性质的合理运用．
=λ 不成立．即可判断出结论． 【解答】 解： ， 为非零向量，存在负数 λ，使得 =λ ，则向量 ， 共线且方 向相反，可得 ? ＜ 0． 反之不成立，非零向量 ， 的夹角为钝角，满足 ? ＜ 0，而 =λ 不成立． ∴ ， 为非零向量，则 “存在负数 λ，使得 =λ ”是 ? ＜ 0”的充分不必要条件． 故选： A． 【点评】 本题考查了向量共线定理、向量夹角公式、简易逻辑的判定方法，考查 了推理能力与计算能力，属于基础题．
湖北省各地2017届高三最新考试数学理试题分类汇编平面向量Word版含答案
湖北省各地2017届高三最新考试数学理试题分类汇编平面向量2017.02一、选择、填空题1、（黄冈市2017届高三上学期期末）已知ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为2，且0OA AB AC ++=，则向量CA 在向量CB 方向上的投影为A. 3 C.3- D.2、（荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2017届高三2月联考）如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边33B C 上有10个不同的点1210,,,P P P ，记2(1,2,10)i i m AB AP i ==，则1210m m m +++的值为A. B.45 C. D.1803、（荆门市2017届高三元月调考）向量(2,3)a =，(1,2)b =-，则2a b -的模等于 ▲ .4、（荆州市五县市区2017届高三上学期期末）设向量12,,OA e OB e ==若1e 与2e 不共线，且6AP PB =，则OP =A ．121677e e -B ．126177e e -C ．121677e e +D ．126177e e + 5、（天门、仙桃、潜江市2017届高三上学期期末联合考试）平面向量(1,2)=a ，(4,2)=b ，()m m =+∈R c a b ，且与c a 的夹角等于与c b 的夹角，则m 等于 ▲6、（武汉市2017届高三毕业生二月调研考）已知,m n 为两个非零向量，且2,22m m n =+=，则2n m n ++的最大值为A.7、（武汉市武昌区2017届高三1月调研）已知平面向量,a b 的夹角为0120，且1a =，2b =，若平面向量m 满足1m a m b ⋅=⋅=，则m = ．8、（襄阳市2017届高三1月调研）等边三角形ABC 的边长为2，则AB 在BC 方向上的射影为 .9、（襄阳市优质高中2017届高三1月联考）设向量()(),2,1,1a m b m ==+，且a 与b 的方向相反，则实数m 的值为A. 2-B. 1C. 2-或1D.m 的值不存在10、（孝感市七校教学联盟2017届高三上学期期末）已知向量OM =()3,2-，=()5,1--，则MN 21等于 .11、（湖北省部分重点中学2017届高三上学期第二次联考）若等边ABC ∆的边长为3，平面内一点M 满足1132CM CB CA =+，则AM MB ⋅的值为 A. 2 B.152- C. 152 D.2- 12、（荆州中学2017届高三1月质量检测）已知数列{}n a 为等差数列，满足32015OA a OB a OC =+u u r u u r u u u r ，其中,,A B C 在一条直线上，O 为直线AB 外一点，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2017S 的值为（ ）A.20172B. 2017C. 2016D. 20152 13、（荆州市五县市区2017届高三上学期期末）正ABC ∆中，AB 在BC 方向上的投影为1-，且2AD DC =,则BD AC ⋅=________.14、（天门、仙桃、潜江市2017届高三上学期期末联合考试）设G 是△ABC 的重心，且sin 3sin 37sin 0A GB B GC C ++=，则角B 的大小为 ▲ ．15、（湖北省部分重点中学2017届高三上学期第二次联考）已知向量,a b 满足2,1a b ==，a 与b 的夹角为23π，则2a b += . 16、（湖北省部分重点中学2017届高三上学期第二次联考）在直径AB=4的圆上有长度为2的动弦CD,则AC BD ⋅的最大值为 .17、（荆州中学2017届高三1月质量检测）已知,A B 是单位圆O 上的两点（O 为圆心），120AOB ∠=，点C 是线段AB 上不与A B 、重合的动点．MN 是圆O 的一条直径，则CM CN 的取值范围是（ ）A ．3[,0)4-B ．[1,1)-C ．1[,1)2- D ．[1,0)-二、解答题1、（孝感市七校教学联盟2017届高三上学期期末）已知向量a ＝(sin x ，－1)，b ＝)21,cos 3(-x ， 函数()().2f x a b a =+- (1)求函数()f x 的最小正周期T ；(2)已知,,a b c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，其中A 为锐角，a ＝32，c ＝4，且f （A ）＝1，求△ABC 的面积S.参考答案一、选择、填空题1、B2、D3、174、C5、26、D7、3 8、－1 9、A 10、14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ 11、A 12、A 13、23 14、3π15、2 16、2 17、A二、解答题1、解：(1)f(x)＝(a ＋b )·a －2＝|a |2＋a ·b －2＝sin 2x ＋1＋3sin x cos x ＋12－2＝1－cos 2x 2＋32sin 2x －12（2分） ＝32sin 2x －12cos 2x ＝sin )62(π-x , ……………………………4分 因为ω＝2，所以T ＝2π2＝π. ……………………………（6分）(2)f (A )＝sin )62(π-A ＝1.因为A ∈)2,0(π，2A －π6∈(-)65,6ππ， 所以2A －π6＝π2，A ＝π3……………………………（8分） 又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以12＝b 2＋16－2×4b ×12，即b 2－4b ＋4＝0，则b ＝2. …… （10分） 从而S ＝12bc sin A ＝12×2×4×sin π3＝23. …… （12分）。
17年高考真题—文科数学3：三角与向量
2017高考真题分类汇编：三角与向量1．【2017课标II 3】函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为（ ） （A ）4π （B ）2π （C ）π （D ）2π2．【2017课标II 4】设非零向量,a b 满足||||a b a b +=-，则（ ）（A ）a b ⊥ （B ）||||a b = （C ）//a b （D ）||||a b >3．【2017课标III 4】已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α=（ ） （A ）7- （B ）29- （C ）29 （D ）794．【2017山东 4】已知3cos 4x =，则cos2x =（ ） （A ）14- （B ）14 （C ）18- （D ）15．【2017课标III 6】函数()1sin cos 536f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为（ ） （A ）5 （B ）1 （C ）3 （D ）156．【2017北京 7】设,m n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m n λ=”是“0m n ⋅<”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件7．【2017天津 7】设函数()()()2sin f x x x R ωϕ=+∈，其中0ω>，||ϕπ<，若()52f π=， ()1180f π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则（ ）（A ）2,312πωϕ== （B ）211,312πωϕ==- （C ）111,324πωϕ==- （D ）17,324πωϕ==8．【2017山东 7】函数2cos2y x x =+ 最小正周期为（ ）（A ）2π （B ）32π （C ）π （D ）2π9．【2017浙江 10】已知平面四边形ABCD ，AB BC ⊥，2AB BC AD ===，3CD =，AC 与BD 交于点O ，记1I O A O B =⋅，2I OB OC =⋅，3I OC OD =⋅，则（ ） （A ）123I I I << （B ）132I I I << （C ）312I I I << （D ）213I I I <<10．【2017课标I 11】ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()sin sin sin cos 0B A C C +-=，2a =，c =C =（ ）（A ）12π （B ）6π （C ）4π （D ）3π11．【2017江苏 5】 若1tan 46πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan α= 。
三年高考(2017_2019)高考数学真题分项汇编专题11平面向量文(含解析)
A． 15 C． 6
2
( ) 结合数量积的运算法则可得：BC ⋅ OM = 3 ON - OM ⋅ OM = 3ON ⋅ OM - 3OM =- 3 - 3 =- 6.
本题选择 C 选项.
【名师点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意 义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
m n 0；
若 m n 0 ，那么两向量的夹角为 90,180 ，并不一定反向，即不一定存在负数 ，使得 m n ，
专题 11 平面向量
1．【2019 年高考全国 I 卷文数】已知非零向量 a，b 满足| a | 2 | b | ，且 (a b) b，则 a 与 b 的夹角为
π
A．
6 2π
C．
3
【答案】B
π
B．
3
5π
D．
6
【解析】因为 (a b)
b，所以 (a b) b a b b2 =0，所以 a b b2 ，所以 cos
3．【2018 年高考全国 I 卷文数】在△ABC 中， AD 为 BC 边上的中线， E 为 AD 的中点，则 EB
A．
3
AB
1
AC
44
C．
3
AB
1
AC
44
B．
1
AB
3
2017高考真题专题向量
2017高考向量汇总1.（2017全国│理，13）已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2， | b |=1，则| a +2 b |= .2.（2017全国│文，13）已知向量a =（-1，2）b=（m ,1）,若a +b 与a 垂直，则m = .3.（2017全国Ⅱ理，12）已知是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则的ABC ∆()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r 最小值是（ ）A. B. C. D.2-32-43-1-4.（2017全国Ⅱ文，4）设非零向量a,b 满足则a+b =a-b A.a b B. C.a ∥b D. ⊥a =b a b >5.（2017全国Ⅲ理，12）在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若= +，则+的最大值为AP u u u r λAB u u u r μAD u u u r λμA.3 D.26.（2017全国Ⅲ文，13）已知向量，，且，则= 。
)3,2(-=→a ),3(m b =→→→⊥b a m 7.（2017山东文，13）已知向量a =（2,6），b = ，若a ∥b ，则 。
(1,)λ-λ=8.（2017山东理，12）已知12,e e 12-e 与12λ+e e 的夹角为60o ，则实数λ的值是9.（2017北京文，12）已知点P 在单位圆上，点A 的坐标为(-2,0)，O 为原点，则的最大值22=1x y +AO AP ⋅u u u r u u u r 为 。
10.（2017江苏文理，12）如图，在同一个平面内，向量α，且OA ，OB , tan α=7，的夹角为45°。
若OB 与OC =m +n （m ，n ∈OC OA OB 11.（2017浙江文，12）已知向量a,b 满足=1,=2,则的最小值是 ，最大值是 。
|a ||b ||a +b |+|a ‒b |12.（2017天津文理，14）在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =.若2BD DC =u u u r u u u r ，()AE AC AB λλ∈=-R u u u r u u u r u u u r ，且4AD AE ⋅=-u u u ru u u r ，则λ的值为___________.。
2017高考十年高考数学(文科)分项版 专题05 平面向量(浙江专版)(解析版) 含解析
一．基础题组1。
【2012年。
浙江卷.文7】设a，b是两个非零向量，( ）A．若|a＋b|＝｜a｜－｜b|，则a⊥bB．若a⊥b，则｜a＋b｜＝|a｜－｜b｜C．若｜a＋b｜＝|a|－|b|，则存在实数λ,使得b＝λaD．若存在实数λ，使得b＝λa，则｜a＋b｜＝|a｜－|b｜【答案】C【解析】由｜a＋b｜＝|a|－|b|两边平方可得，｜a|2＋2a·b ＋｜b｜2＝｜a｜2－2|a||b|＋｜b|2，即a·b＝－｜a｜｜b｜，所以cos<a，b〉＝－1，即a与b反向，根据向量共线定理，知存在实数λ，使得b＝λa．2。
【2012年.浙江卷。
文15】在△ABC中，M是BC的中点,AM＝3,BC＝10，则AB AC⋅=__________．【答案】—16【解析】AM＋AM·MC＋AM·MB＋AB·AC＝（AM＋MB）·(AM＋MC）＝2MB·MC＝|AM｜2＋(MB＋MC)·AM＋｜MB｜｜MC｜cosπ＝9－25＝－16．3。
【2011年。
浙江卷.文15】若平面向量α，β满足｜α｜=1，｜β|≤1，且以向量α,β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是 。
【答案】]65,6[ππ4. 【2010年。
浙江卷。
文13】已知平面向量,,1,2,(2),αβαβααβ==⊥-则2a β+的值是【答案】10【解析】：10，由题意可知()-20ααβ•=,结合4122==βα，,解得12αβ•=，所以22a β+=22448210ααββ+•+=+=，∴2a β+=10，本题主要考察了平面向量的四则运算及其几何意义,属中档题。
5。
【2009年.浙江卷。
文5】已知向量(1,2)=a ，(2,3)=-b ．若向量c 满足()//+c a b ，()⊥+c a b ，则c = （ ）A ．77(,)93B ．77(,)39-- C ．77(,)39D ．77(,)93-- 【答案】D【解析】不妨设(,)C m n =，则()1,2,(3,1)a c m n a b +=+++=-，对于()//c a b +，则有3(1)2(2)m n -+=+；又()c a b ⊥+，则有30m n -=,则有77,93m n =-=-6。
2017年高考数学—向量(选择+填空+答案)
2017年高考数学—向量（选择+填空+答案）1.（17全国2理12）已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r的最小值是（ ）A.2-B.32-C. 43- D.1- 2.（17全国2文4）设非零向量a ，b 满足+=-b b a a 则A. a ⊥bB. =b aC. a ∥bD. >b a3.（17全国3理12）在矩形ABCD 中，1,2AB AD ==，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+的最大值为A ．3B ．CD ．24.（17北京理（6））设,m n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m n λ=”是“0m n ⋅<”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件5.（17北京文（7））设,m n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m n λ=”是“0m n <g ”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件6.（17全国1理13）已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2 b |= .7.（17全国1文13）已知向量a =（–1，2），b =（m ，1）.若向量a +b 与a 垂直，则m =______________.8.（17全国3文13）已知向量(2,3),(3,)a b m =-=，且a b ⊥，则m = .9.（17山东理（12））已知12,e e 是互相垂直的单位向量，12-e 与12λ+e e 的夹角为60o ，则实数λ的值是 .10.（17山东文（11））已知向量a =（2,6），b =(1,)λ- ，若//a b ，则λ= 。
2017高考数学试题分类汇编 平面向量 解析版
2017高考分类汇编 平面向量解析版1、（2017北京文理）设m ,n 为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若，使，则两向量反向，夹角是，那么；若，那么两向量的夹角为，并不一定反向，即不一定存在负数，使得，所以是充分而不必要条件，故选A.2、（2017江苏卷）．如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，与的夹角为，且=7，与的夹角为45°．若，则 ▲ ．【答案】3【解析】由可得，根据向量的分解，易得，即，即，即得，所以．3、（2017山东理）（12）已知12,e e与的夹角为60︒，则实数的值是.λλ=m n 0<⋅m n 0λ∃<λ=m n ,m n 180︒cos1800⋅=︒=-<m n m n m n 0⋅<m n (]90,180︒︒λλ=m n OA OB OCOA OC αtan αOB OC OC mOA nOB =+(,)m n ∈R m n +=tan 7α=sin α=cos 10α=cos 45cos sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩0210n m =⎪-=⎪⎩510570n m n m +=⎧⎨-=⎩57,44m n ==3m n +=12-e 12λ+e e λ4、（2017山东文）（11）已知向量a =（2,6）,b =(1,)λ- ,若∥a b ,则λ= . 【答案】3- 【解析】由∥a b 可得162 3.λλ-⨯=⇒=-5、（2017天津）（13）在中，，，．若，，且，则的值为___________．【答案】【解析】由题可得，则．6、（2017浙江）10．如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ，记，，，则ABC △60A =︒∠3AB =2AC =2BD DC = ()AE AC AB λλ∈=-R 4AD AE ⋅=-λ3111232cos 603,33AB AC AD AB AC ⋅=⨯⨯︒==+12()33AD AE AB AC ⋅=+2123()34934333311AC AB λλλλ-=⨯+⨯-⨯-⨯=-⇒= 1·I OAOB ＝2·I OB OC ＝3·I OC OD＝（第10题图）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】因为，，，所以，故选C ．7、（2017全国1卷理）已知向量a ，b的夹角为60︒，2a = ，1b = ，则2a b += ________．【答案】【解析】()22222(2)22cos602a b a b a a b b+=+=+⋅⋅⋅︒+221222222=+⨯⨯⨯+444=++12=∴2a b + 8、（2017全国2卷理）【题目12】(2017·新课标全国Ⅱ卷理12)12.已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（）A.2-B.32-C. 43- D.1- 【命题意图】本题主要考查等边三角形的性质及平面向量的线性运算﹑数量积，意在考查考生 转化与化归思想和运算求解能力 【解析】解法一：建系法连接PC ∴∴∴最小值为解法二：均值法∵2PC PB PO += ，∴ ()2PA PC PB PO PA ⋅+=⋅123I I I <<132I I I <<312I I I <<213I I I <<90AOB COD ∠=∠> OA OC <OB OD <0OB OC OA OB OC OD ⋅>>⋅>⋅由上图可知：OA PA PO =- ；两边平方可得()()2232PA PO PA PO =+-⋅∵()()222PA POPA PO +≥-⋅ ，∴ 322PO PA ⋅≥-∴ ()322PA PC PB PO PA ⋅+=⋅≥- ，∴最小值为32-解法三：配凑法 ∵2PC PB PO +=∴ ()()()()()222232222PO PA PO PAPO PA AOPA PC PB PO PA +--+-⋅+=⋅==≥-∴最小值为32-9、(2017全国卷2文)4.设非零向量a ，b 满足+=-b b a a 则A. a ⊥bB. =b aC. a ∥bD. >b a解析：ba b a b a b a b a b a ⊥⇒=⋅⇔-=+⇔-=+022选A10、（2017全国3卷理）12．在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为（） A ．3 B． CD ．2 【答案】A【解析】由题意，画出右图．设BD 与C 切于点E ，连接CE ． 以A 为原点，AD 为x 轴正半轴， AB 为y 轴正半轴建立直角坐标系， 则C 点坐标为(2,1)． ∵||1CD =，||2BC =．∴BD ∵BD 切C 于点E ． ∴CE ⊥BD ．∴CE 是Rt BCD △中斜边BD 上的高．12||||22||||||BCD BC CD S EC BD BD ⋅⋅⋅====△()A O Dxy BP gCE即C． ∵P 在C 上．∴P 点的轨迹方程为224(2)(1)5x y -+-=．设P 点坐标00(,)x y ，可以设出P 点坐标满足的参数方程如下：0021x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 而00(,)AP x y = ，(0,1)AB = ，(2,0)AD =． ∵(0,1)(2,0)(2,)AP AB AD λμλμμλ=+=+=∴0112x μθ==，01y λθ==． 两式相加得：112)2sin()3λμθθθϕθϕ+=++=+=++≤(其中sin ϕ=，cos ϕ=当且仅当π2π2k θϕ=+-，k ∈Z 时，λμ+取得最大值3． 11、（2017全国卷3文）13．已知向量(2,3),(3,)a b m =-=，且a ⊥b ，则m =. 【答案】2【解析】由题意可得：2330,2m m -⨯+=∴=.。
2017年高考数学试题分项版—平面向量(解析版)
2017年高考数学试题分项版—平面向量（解析版）一、选择题1．(2017·全国Ⅱ文，4)设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则( ) A ．a ⊥b B ．|a |＝|b | C ．a ∥b D ．|a |>|b |1．【答案】A【解析】方法一 ∵|a ＋b |＝|a －b |， ∴|a ＋b |2＝|a －b |2.∴a 2＋b 2＋2a·b ＝a 2＋b 2－2a·b . ∴a·b ＝0.∴a ⊥b . 故选A.方法二 利用向量加法的平行四边形法则． 在▱ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ， 由|a ＋b |＝|a －b |知|AC →|＝|DB →|，从而四边形ABCD 为矩形，即AB ⊥AD ，故a ⊥b . 故选A.2．(2017·北京文，7)设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m·n <0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 2．【答案】A【解析】方法一 由题意知|m |≠0，|n |≠0. 设m 与n 的夹角为θ. 若存在负数λ，使得m ＝λn ， 则m 与n 反向共线，θ＝180°， ∴m ·n ＝|m ||n |cos θ＝－|m ||n |＜0.当90°＜θ＜180°时，m ·n ＜0，此时不存在负数λ，使得m ＝λn . 故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n ＜0”的充分而不必要条件． 故选A.方法二 ∵m ＝λn ，∴m ·n ＝λn ·n ＝λ|n |2. ∴当λ＜0，n ≠0时，m ·n ＜0.反之，由m ·n ＝|m ||n |cos 〈m ，n 〉<0⇔cos 〈m ，n 〉＜0⇔〈m ，n 〉∈⎝⎛⎦⎤π2，π，当〈m ，n 〉∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，m ，n 不共线．故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n ＜0”的充分而不必要条件． 故选A.3．(2017·全国Ⅱ理，12)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A →·(PB →＋PC →)的最小值是( ) A ．－2 B ．－32C ．－43D ．－13．【答案】B【解析】方法一 (解析法)建立坐标系如图①所示，则A ，B ，C 三点的坐标分别为A (0，3)， B (－1,0)，C (1,0)．设P 点的坐标为(x ，y )， 则P A →＝(－x ，3－y )，PB →＝(－1－x ，－y )， PC →＝(1－x ，－y )，∴P A →·(PB →＋PC →)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y )＝2(x 2＋y 2－3y )＝2[x 2＋⎝⎛⎭⎫y －322－34]≥2×⎝⎛⎭⎫－34＝－32. 当且仅当x ＝0，y ＝32时，P A →·(PB →＋PC →)取得最小值，最小值为－32. 故选B.方法二 (几何法)如图②所示，PB →＋PC →＝2PD →(D 为BC 的中点)，则P A →·(PB →＋PC →)＝2P A →·PD →.要使P A →·PD →最小，则P A →与PD →方向相反，即点P 在线段AD 上，则(2P A →·PD →)min ＝－2|P A →||PD →|，问题转化为求|P A →||PD →|的最大值． 又|P A →|＋|PD →|＝|AD →|＝2×32＝3，∴|P A →||PD →|≤⎝⎛⎭⎪⎫|P A →|＋|PD →|22＝⎝⎛⎭⎫322＝34， ∴[P A →·(PB →＋PC →)]min ＝(2P A →·PD →)min ＝－2×34＝－32.故选B.4．(2017·全国Ⅲ理，12)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为( ) A ．3 B ．2 2C. 5D ．24．【答案】A【解析】建立如图所示的直角坐标系，则C 点坐标为(2,1)．设BD 与圆C 切于点E ，连接CE ，则CE ⊥BD . ∵CD ＝1，BC ＝2， ∴BD ＝12＋22＝5， EC ＝BC ·CD BD ＝25＝255，即圆C 的半径为255，∴P 点的轨迹方程为(x －2)2＋(y －1)2＝45.设P (x 0，y 0)，则⎩⎨⎧x 0＝2＋255cos θ，y 0＝1＋255sin θ(θ为参数)，而AP →＝(x 0，y 0)，AB →＝(0,1)，AD →＝(2,0)． ∵AP →＝λAB →＋μAD →＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)， ∴μ＝12x 0＝1＋55cos θ，λ＝y 0＝1＋255sin θ.两式相加，得λ＋μ＝1＋255sin θ＋1＋55cos θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3⎝⎛⎭⎫其中sin φ＝55，cos φ＝255，当且仅当θ＝π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3.故选A.5．(2017·北京理，6)设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件5．【答案】A【解析】方法一 由题意知|m |≠0，|n |≠0. 设m 与n 的夹角为θ.若存在负数λ，使得m ＝λn ，则m 与n 反向共线，θ＝180°， ∴m ·n ＝|m ||n |cos θ＝－|m ||n |＜0.当90°＜θ＜180°时，m ·n ＜0，此时不存在负数λ，使得m ＝λn . 故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n ＜0”的充分而不必要条件． 故选A.方法二 ∵m ＝λn ，∴m ·n ＝λn ·n ＝λ|n |2. ∴当λ＜0，n ≠0时，m ·n ＜0.反之，由m ·n ＝|m ||n |cos 〈m ，n 〉＜0⇔cos 〈m ，n 〉＜0⇔〈m ，n 〉∈⎝⎛⎦⎤π2，π， 当〈m ，n 〉∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，m ，n 不共线．故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n ＜0”的充分而不必要条件， 故选A. 二、填空题1．(2017·全国Ⅰ文，13)已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)．若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________. 1．【答案】7【解析】∵a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)， ∴a ＋b ＝(－1＋m,2＋1)＝(m －1,3)． 又a ＋b 与a 垂直，∴(a ＋b )·a ＝0， 即(m －1)×(－1)＋3×2＝0， 解得m ＝7.2．(2017·全国Ⅲ文，13)已知向量a ＝(－2,3)，b ＝(3，m )，且a ⊥b ，则m ＝________. 2．【答案】2【解析】∵a ＝(－2,3)，b ＝(3，m )，且a ⊥b ， ∴a·b ＝0，即－2×3＋3m ＝0，解得m ＝2.3．(2017·天津文，14)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2，若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为________． 3．【答案】311【解析】由题意，知|AB →|＝3，|AC →|＝2， AB →·AC →＝3×2×cos 60°＝3，AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →， ∴AD →·AE →＝⎝⎛⎭⎫13AB →＋23AC →·(λAC →－AB →) ＝λ－23AB →·AC →－13AB →2＋2λ3AC →2＝λ－23×3－13×32＋2λ3×22＝113λ－5＝－4，解得λ＝311. 4．(2017·山东文，11)已知向量a ＝(2,6)，b ＝(－1，λ)，若a ∥b ，则λ＝________. 4．【答案】－3【解析】∵a ∥b ，∴2λ－6×(－1)＝0，解得λ＝－3.5．(2017·浙江，15)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＋|a －b |的最小值是________，最大值是________． 5．【答案】4 2 5【解析】设a ，b 的夹角为θ， ∵|a |＝1，|b |＝2，∴|a ＋b |＋|a －b |＝(a ＋b )2＋(a －b )2＝5＋4cos θ＋5－4cos θ. 令y ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ. 则y 2＝10＋225－16cos 2θ. ∵θ∈[0，π]，∴cos 2θ∈[0,1]， ∴y 2∈[16,20]，∴y ∈[4,25]，即|a ＋b |＋|a －b |∈[4,25]．6．(2017·浙江，10)如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ，记I 1＝OA →·OB →，I 2＝OB →·OC →，I 3＝OC →·OD →，则( )A ．I 1＜I 2＜I 3B ．I 1＜I 3＜I 2C ．I 3＜I 1＜I 2D ．I 2＜I 1＜I 36．【答案】C【解析】∵I 1－I 2＝OA →·OB →－OB →·OC →＝OB →·(OA →－OC →)＝OB →·CA →， 又OB →与CA →所成角为钝角， ∴I 1－I 2＜0，即I 1＜I 2.∵I 1－I 3＝OA →·OB →－OC →·OD →＝|OA →||OB →|cos ∠AOB －|OC →||OD →|cos ∠COD ＝cos ∠AOB (|OA →||OB →|－|OC →||OD →|)， 又∠AOB 为钝角，OA ＜OC ，OB ＜OD ， ∴I 1－I 3＞0，即I 1＞I 3. ∴I 3＜I 1＜I 2， 故选C.7．(2017·江苏，12)如图，在同一个平面内，向量OA →，OB →，OC →的模分别为1,1，2，OA →与OC →的夹角为α，且tan α＝7，OB →与OC →的夹角为45°.若OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m ＋n＝________.7．【答案】3【解析】方法一 因为tan α＝7， 所以cos α＝210，sin α＝7210. 过点C 作CD ∥OB 交OA 的延长线于点D ，则OC →＝OD →＋DC →，∠OCD ＝45°. 又因为OC →＝mOA →＋nOB →， 所以OD →＝mOA →，DC →＝nOB →， 所以|OD →|＝m ，|DC →|＝n .在△COD 中，由正弦定理得|DC →|sin α＝|OD →|sin ∠OCD ＝|OC →|sin ∠ODC ，因为sin ∠ODC ＝sin(180°－α－∠OCD )＝sin(α＋∠OCD )＝45，即n 7210＝m 22＝245， 所以n ＝74，m ＝54，所以m ＋n ＝3.方法二 由tan α＝7可得cos α＝152，sin α＝752，则152＝OA →·OC →|OA →||OC →|＝m ＋nOA →·OB →2，由cos ∠BOC ＝22可得22＝OB →·OC →|OB →||OC →|＝mOA →·OB →＋n 2，cos ∠AOB ＝cos(α＋45°)＝cos αcos 45°－sin αsin 45° ＝152×22－752×22＝－35，则OA →·OB →＝－35，则m －35n ＝15，－35m ＋n ＝1，则25m ＋25n ＝65，则m ＋n ＝3. 8．(2017·全国Ⅰ理，13)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 8．【答案】2 3 【解析】方法一 |a ＋2b |＝(a ＋2b )2 ＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝22＋4×2×1×cos 60°＋4×12 ＝12＝2 3. 方法二(数形结合法)由|a |＝|2b |＝2知，以a 与2b 为邻边可作出边长为2的菱形OACB ，如图，则|a ＋2b |＝||.又∠AOB ＝60°，所以|a ＋2b |＝2 3.9．(2017·天津理，13)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2.若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为________． 9．【答案】311【解析】由题意知|AB →|＝3，|AC →|＝2， AB →·AC →＝3×2×cos 60°＝3，AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →，∴AD →·AE →＝⎝⎛⎭⎫13AB →＋23AC →·(λAC →－AB →) ＝λ－23AB →·AC →－13AB →2＋2λ3AC →2＝λ－23×3－13×32＋2λ3×22＝113λ－5＝－4，解得λ＝311. 10．(2017·山东理，12)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量，若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________． 10．【答案】33【解析】由题意知|e 1|＝|e 2|＝1，e 1·e 2＝0，|3e 1－e 2|＝(3e 1－e 2)2＝3e 21－23e 1·e 2＋e 22＝3－0＋1＝2. 同理|e 1＋λe 2|＝1＋λ2.所以cos 60°＝(3e 1－e 2)·(e 1＋λe 2)|3e 1－e 2||e 1＋λe 2|＝3e 21＋(3λ－1)e 1·e 2－λe 2221＋λ2＝3－λ21＋λ2＝12，解得λ＝33.。
2017年高考试题分类汇编之向量(带答案解析)
2017年11月08日187****5958的高中数学组卷一．选择题（共5小题）1．已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•（+）的最小值是（）A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．﹣12．设非零向量，满足|+|=|﹣|则（）A．⊥B．||=||C．∥D．||＞||3．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若=λ+μ，则λ+μ的最大值为（）A．3 B．2 C．D．24．如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD交于点O，记I1=•，I2=•，I3=•，则（）A．I1＜I2＜I3B．I1＜I3＜I2C．I3＜I1＜I2D．I2＜I1＜I35．设，为非零向量，则“存在负数λ，使得=λ”是•＜0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件二．填空题（共9小题）6．已知向量，的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|=．7．已知向量=（﹣1，2），=（m，1），若向量+与垂直，则m=．8．已知向量=（﹣2，3），=（3，m），且，则m=．9．已知向量=（2，6），=（﹣1，λ），若，则λ=．10．已知，是互相垂直的单位向量，若﹣与+λ的夹角为60°，则实数λ的值是．11．已知点P在圆x2+y2=1上，点A的坐标为（﹣2，0），O为原点，则•的最大值为．12．如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα=7，与的夹角为45°．若=m+n（m，n∈R），则m+n=．13．在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若=2，=λ﹣（λ∈R），且=﹣4，则λ的值为．14．在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20，则点P的横坐标的取值范围是．2017年11月08日187****5958的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．（2017•新课标Ⅱ）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•（+）的最小值是（）A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．﹣1【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．【解答】解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，则A（0，），B（﹣1，0），C（1，0），设P（x，y），则=（﹣x，﹣y），=（﹣1﹣x，﹣y），=（1﹣x，﹣y），则•（+）=2x2﹣2y+2y2=2[x2+（y﹣）2﹣]∴当x=0，y=时，取得最小值2×（﹣）=﹣，故选：B【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解决本题的关键．2．（2017•新课标Ⅱ）设非零向量，满足|+|=|﹣|则（）A．⊥B．||=||C．∥D．||＞||【分析】由已知得，从而=0，由此得到．【解答】解：∵非零向量，满足|+|=|﹣|，∴，解得=0，∴．故选：A．【点评】本题考查两个向量的关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意向量的模的性质的合理运用．3．（2017•新课标Ⅲ）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若=λ+μ，则λ+μ的最大值为（）A．3 B．2 C．D．2【分析】如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，先求出圆的标准方程，再设点P的坐标为（cosθ+1，sinθ+2），根据=λ+μ，求出λ，μ，根据三角函数的性质即可求出最值．【解答】解：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，则A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），∵动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，设圆的半径为r，∵BC=2，CD=1，∴BD==∴BC•CD=BD•r，∴r=，∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=，设点P的坐标为（cosθ+1，sinθ+2），∵=λ+μ，∴（cosθ+1，sinθ+2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ），∴cosθ+1=λ，sinθ+2=2μ，∴λ+μ=cosθ+sinθ+2=sin（θ+φ）+2，其中tanφ=2，∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，∴1≤λ+μ≤3，故λ+μ的最大值为3，故选：A【点评】本题考查了向量的坐标运算以及圆的方程和三角函数的性质，关键是设点P的坐标，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题．4．（2017•浙江）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD交于点O，记I1=•，I2=•，I3=•，则（）A．I1＜I2＜I3B．I1＜I3＜I2C．I3＜I1＜I2D．I2＜I1＜I3【分析】根据向量数量积的定义结合图象边角关系进行判断即可．【解答】解：∵AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，∴AC=2，∴∠AOB=∠COD＞90°，由图象知OA＜OC，OB＜OD，∴0＞•＞•，•＞0，即I3＜I1＜I2，故选：C．【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用，根据图象结合平面向量数量积的定义是解决本题的关键．5．（2017•北京）设，为非零向量，则“存在负数λ，使得=λ”是•＜0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】，为非零向量，存在负数λ，使得=λ，则向量，共线且方向相反，可得•＜0．反之不成立，非零向量，的夹角为钝角，满足•＜0，而=λ不成立．即可判断出结论．【解答】解：，为非零向量，存在负数λ，使得=λ，则向量，共线且方向相反，可得•＜0．反之不成立，非零向量，的夹角为钝角，满足•＜0，而=λ不成立．∴，为非零向量，则“存在负数λ，使得=λ”是•＜0”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了向量共线定理、向量夹角公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．二．填空题（共9小题）6．（2017•新课标Ⅰ）已知向量，的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|= 2．【分析】根据平面向量的数量积求出模长即可．【解答】解：【解法一】向量，的夹角为60°，且||=2，||=1，∴=+4•+4=22+4×2×1×cos60°+4×12=12，∴|+2|=2．【解法二】根据题意画出图形，如图所示；结合图形=+=+2；在△OAC中，由余弦定理得||==2，即|+2|=2．故答案为：2．【点评】本题考查了平面向量的数量积的应用问题，解题时应利用数量积求出模长，是基础题．7．（2017•新课标Ⅰ）已知向量=（﹣1，2），=（m，1），若向量+与垂直，则m=7．【分析】利用平面向量坐标运算法则先求出，再由向量+与垂直，利用向量垂直的条件能求出m的值．【解答】解：∵向量=（﹣1，2），=（m，1），∴=（﹣1+m，3），∵向量+与垂直，∴（）•=（﹣1+m）×（﹣1）+3×2=0，解得m=7．故答案为：7．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量坐标运算法则和向量垂直的性质的合理运用．8．（2017•新课标Ⅲ）已知向量=（﹣2，3），=（3，m），且，则m=2．【分析】利用平面向量数量积坐标运算法则和向量垂直的性质求解．【解答】解：∵向量=（﹣2，3），=（3，m），且，∴=﹣6+3m=0，解得m=2．故答案为：2．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量数量积坐标运算法则和向量垂直的性质的合理运用．9．（2017•山东）已知向量=（2，6），=（﹣1，λ），若，则λ=﹣3．【分析】利用向量共线定理即可得出．【解答】解：∵，∴﹣6﹣2λ=0，解得λ=﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力语音计算能力，属于基础题．10．（2017•山东）已知，是互相垂直的单位向量，若﹣与+λ的夹角为60°，则实数λ的值是．【分析】根据平面向量的数量积运算与单位向量的定义，列出方程解方程即可求出λ的值．【解答】解：，是互相垂直的单位向量，∴||=||=1，且•=0；又﹣与+λ的夹角为60°，∴（﹣）•（+λ）=|﹣|×|+λ|×cos60°，即+（﹣1）•﹣λ=××，化简得﹣λ=××，即﹣λ=，解得λ=．故答案为：．【点评】本题考查了单位向量和平面向量数量积的运算问题，是中档题．11．（2017•北京）已知点P在圆x2+y2=1上，点A的坐标为（﹣2，0），O为原点，则•的最大值为6．【分析】设P（cosα，sinα）．可得=（2，0），=（cosα+2，sinα）．利用数量积运算性质、三角函数的单调性与值域即可得出．【解答】解：设P（cosα，sinα）.=（2，0），=（cosα+2，sinα）．则•=2（cosα+2）≤6，当且仅当cosα=1时取等号．故答案为：6．【点评】本题考查了数量积运算性质、三角函数的单调性与值域、圆的参数方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（2017•江苏）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα=7，与的夹角为45°．若=m+n（m，n∈R），则m+n=3．【分析】如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα=7．可得cosα=，sinα=．C．可得cos（α+45°）=．sin（α+45°）=．B．利用=m+n（m，n∈R），即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα=7．∴cosα=，sinα=．∴C．cos（α+45°）=（cosα﹣sinα）=．sin（α+45°）=（sinα+cosα）=．∴B．∵=m+n（m，n∈R），∴=m﹣n，=0+n，解得n=，m=．则m+n=3．故答案为：3．【点评】本题考查了向量坐标运算性质、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．（2017•天津）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若=2，=λ﹣（λ∈R），且=﹣4，则λ的值为．【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用、表示出，再根据平面向量的数量积列出方程求出λ的值．【解答】解：如图所示，△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2，=2，∴=+=+=+（﹣）=+，又=λ﹣（λ∈R），∴=（+）•（λ﹣）=（λ﹣）•﹣+λ=（λ﹣）×3×2×cos60°﹣×32+λ×22=﹣4，∴λ=1，解得λ=．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是中档题．14．（2017•江苏）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20，则点P的横坐标的取值范围是[﹣5，1] ．【分析】根据题意，设P（x0，y0），由数量积的坐标计算公式化简变形可得2x0+y0+5≤0，分析可得其表示表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域，联立直线与圆的方程可得交点的横坐标，结合图形分析可得答案．【解答】解：根据题意，设P（x0，y0），则有x02+y02=50，=（﹣12﹣x0，﹣y0）•（﹣x0，6﹣y0）=（12+x0）x0﹣y0（6﹣y0）=12x0+6y+x02+y02≤20，化为：12x0﹣6y0+30≤0，即2x0﹣y0+5≤0，表示直线2x﹣y+5=0以及直线上方的区域，联立，解可得x0=﹣5或x0=1，结合图形分析可得：点P的横坐标x0的取值范围是[﹣5，1]，故答案为：[﹣5，1]．【点评】本题考查数量积的运算以及直线与圆的位置关系，关键是利用数量积化简变形得到关于x0、y0的关系式．。
最新高考数学理试题分类汇编：平面向量资料
2017年高考数学理试题分类汇编：平面向量1. (2017年新课标Ⅰ) 13．已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2 b |= . 【答案】232. ( 2017年新课标Ⅱ卷理) 12.已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r的最小值是（ ）A.2-B.32-C. 43- D.1- 【答案】B【解析】解法一：建系法连接OP ，()0,3OA =u u u r，()1,0OB =-u u u r ，()1,0OC =u u u r .2PC PB PO +=u u u r u u u r u u u r ，∴()(),,3PO PA x y x y ⋅=--⋅--u u u r u u u r∴222233324PO PA x y y x y ⎛⎫⋅=+-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r ∴34PO PA ⋅≥-u u u r u u u r ，∴ ()322PA PC PB PO PA ⋅+=⋅≥-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r∴最小值为32-解法二：均值法∵2PC PB PO +=u u u r u u u r u u u r ，∴ ()2PA PC PB PO PA ⋅+=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r由上图可知：OA PA PO =-u u u r u u u r u u u r ；两边平方可得()()2232PA POPA PO =+-⋅u u u r u u u ru u u r u u u r∵ ()()222PA POPA PO +≥-⋅u u u r u u u ru u u r u u u r ，∴ 322PO PA ⋅≥-u u u r u u u r∴ ()322PA PC PB PO PA ⋅+=⋅≥-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴最小值为32-解法三：配凑法 ∵2PC PB PO +=u u u r u u u r u u u r∴ ()()()()()222232222PO PA PO PAPO PA AOPA PC PB PO PA +--+-⋅+=⋅==≥-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r∴最小值为32-3. ( 2017年新课标Ⅱ文)4.设非零向量a ，b 满足+=-b b a a 则 (A)A a ⊥b B. =b a C. a ∥b D. >b a4. (2017年北京卷理) （6）设m ,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若0λ∃<，使m n λ=r r，即两向量反向，夹角是0180，那么0cos1800m n m n m n ⋅==-<r r r rr r，反过来，若0m n ⋅<r r，那么两向量的夹角为(0090,180⎤⎦ ，学科网并不一定反向，即不一定存在负数λ，使得λ=m n ，所以是充分不必要条件，故选A.5. (2017年新课标Ⅰ文)已知向量a =（–1，2），b =（m ，1）.若向量a +b 与a 垂直，则m =______7_______.6. (2017年江苏卷) 12．如图，在同一个平面内，向量OA u u u r ，OB u u u r ，OC u u u r 的模分别为1，1，2，OA u u u r 与OC u u u r的夹角为α，且tan α=7，OB u u u r 与OC u u u r 的夹角为45°．若OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r(,)m n ∈R ，则m n += ▲ ．【解析】:n m OB n OA m OB OC OB OC OB o+-=+=⋅⋅=⋅53)(45cos 2153=+-∴n m 5153=-n m 同理，3=+∴n m7. (2017年浙江卷)如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ，记1·I OA OB u u u r u u u r＝，2·I OB OC u u u r u u u r ＝，3·I OC OD u u u r u u u r＝，则A ．I １<I ２<I ３B ．I １<I ３<I ２C ． I ３<I １<I ２D ．I ２<I １<I ３【答案】C8. (2017年浙江卷)已知向量a ，b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是________，最大值是_______. 【答案】4，25【解析】设向量,a b r r 的夹角为θ，由余弦定理有：2212212cos 54cos a b θθ-=+-⨯⨯⨯=-r r，()2212212cos 54cos a b πθθ+=+-⨯⨯⨯-=+r r，则：54cos 54cos a b a b θθ++-=++-r r r r，令54cos 54cos y x x =++-，则[]221022516cos 16,20y θ=+-∈，据此可得：()()maxmin2025,164a b a ba b a b++-==++-==r r r rr r r r，即a b a b ++-r r r r的最小值是4，最大值是25.9. (2017年新课标Ⅲ卷理)在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP u u u r=λAB u u u r +μAD u u u r，则λ+μ的最大值为A ．3B ．22C ．5D ．2【答案】A【解析】如图，建立平面直角坐标系设()()()()0,1,0,0,2,1,,A B D P x y 5()22425x y -+=()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=u u u r u u u r u u u r ，若满足AP AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r即21x y μλ=⎧⎨-=-⎩ ，,12x y μλ==- ，所以12x y λμ+=-+，设12x z y =-+ ，即102xy z -+-=，点(),P x y 在圆()22425x y -+=上，所以圆心到直线的距离d r ≤，即221514z -≤+ ，解得13z ≤≤，所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，故选A.10. (2017年江苏卷)已知向量(cos ,sin ),(3,3),[0,π].x x x ==-∈a b （1）若a ∥b ，求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值．16. 【解析】（1）∵a ∥b ，∴3sin 3cos x x =-，又cos 0x ≠，∴3tan 3x =-，∵，∴5π6x =. （2）()π3cos 3sin 23sin()3f x x x x =-=--.∵，∴ππ2π[,]333x -∈-，∴3πsin()123x -≤-≤，∴()233f x -≤≤，当ππ33x -=-，即0x =时，取得最大值，为3；当ππ32x -=，即5π6x =时，取得最小值，为3-11.12. ( 2017年全国Ⅲ卷文)已知向量)3,2(-=→a ，),3(m b =→，且→→⊥b a ，则m = 。