第2章2.2.2第二课时知能优化训练

1．(2010年高考天津卷)设a ＝log 54，b ＝(log 53)2
，c ＝log 45，则( ) A ．a ＜c ＜b B ．b ＜c ＜a C ．a ＜b ＜c D ．b ＜a ＜c
解析：选D.a ＝log 54＜1，log 53＜log 54＜1，b ＝(log 53)2＜log 53，c ＝log 45＞1，故b ＜a
＜c .
2．已知f (x )＝log a |x －1|在(0,1)上递减，那么f (x )在(1，＋∞)上( ) A ．递增无最大值 B ．递减无最小值 C ．递增有最大值 D ．递减有最小值 解析：选A.设y ＝log a u ，u ＝|x －1|. x ∈(0,1)时，u ＝|x －1|为减函数，∴a >1.
∴x ∈(1，＋∞)时，u ＝x －1为增函数，无最大值． ∴f (x )＝log a (x －1)为增函数，无最大值．
3．已知函数f (x )＝a x ＋log a x (a ＞0且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则a 的值为( )
A.12
B.14 C ．2 D ．4
解析：选C.由题可知函数f (x )＝a x ＋log a x 在[1,2]上是单调函数，所以其最大值与最小值之和为f (1)＋f (2)＝a ＋log a 1＋a 2＋log a 2＝log a 2＋6，整理可得a 2＋a －6＝0，解得a ＝2或a ＝－3(舍去)，故a ＝2.
4．函数y ＝log 13
(－x 2＋4x ＋12)的单调递减区间是________．
解析：y ＝log 13
u ，u ＝－x 2＋4x ＋12.
令u ＝－x 2
＋4x ＋12>0，得－2<x <6.
∴x ∈(－2,2]时，u ＝－x 2＋4x ＋12为增函数， ∴y ＝log 13(－x 2＋4x ＋12)为减函数．
答案：(－2,2]
1．若log a 2＜1，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1,2) B ．(0,1)∪(2，＋∞)
C ．(0,1)∪(1,2)
D ．(0，1
2
)
解析：选B.当a ＞1时，log a 2＜log a a ，∴a ＞2；当0＜a ＜1时，log a 2＜0成立，故选B.
2．若log a 2<log b 2<0，则下列结论正确的是( ) A ．0<a <b <1 B ．0<b <a <1 C ．a >b >1 D ．b >a >1 解析：选B.∵log a 2<log b 2<0，如图所示， ∴0<b <a <1.
3．已知函数f (x )＝2log 12
x 的值域为[－1,1]，则函数f (x )的定义域是( )
A ．[
2
2，2] B ．[－1,1] C ．[1
2，2]
D ．(－∞，
2
2
]∪[2，＋∞)
解析：选A.函数f (x )＝2log 12x 在(0，＋∞)上为减函数，则－1≤2log 12x ≤1，可得－1
2≤log 1
2
x ≤1
2
， 解得
2
2
≤x ≤ 2. 4．若函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为( ) A.14 B.12 C ．2 D ．4
解析：选B.当a ＞1时，a ＋log a 2＋1＝a ，log a 2＝－1，a ＝1
2
，与a ＞1矛盾；
当0＜a ＜1时，1＋a ＋log a 2＝a ，
log a 2＝－1，a ＝1
2
.
5．函数f (x )＝log a [(a －1)x ＋1]在定义域上( ) A ．是增函数 B ．是减函数 C ．先增后减 D ．先减后增
解析：选A.当a ＞1时，y ＝log a t 为增函数，t ＝(a －1)x ＋1为增函数，∴f (x )＝log a [(a －1)x ＋1]为增函数；当0＜a ＜1时，y ＝log a t 为减函数，t ＝(a －1)x ＋1为减函数，
∴f (x )＝log a [(a －1)x ＋1]为增函数．
6．(2009年高考全国卷Ⅱ)设a ＝lge ，b ＝(lg e)2，c ＝lg e ，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．c >a >b D ．c >b >a
解析：选B.∵1<e<3，则1<e<e<e 2<10，
∴0<lg e<1.则lg e ＝1
2lg e<lg e ，即c <a .
∵0<lg e<1，∴(lg e)2
<lg e ，即b <a .
又c －b ＝12lg e －(lg e)2＝1
2
lg e(1－2lg e)
＝12lg e·lg 10e
2>0，∴c >b ，故选B. 7．已知0＜a ＜1,0＜b ＜1，如果a log b (x －
3)＜1，则x 的取值范围是________．
解析：∵0＜a ＜1，a log b (x －
3)＜1，∴log b (x －3)＞0. 又∵0＜b ＜1，∴0＜x －3＜1，即3＜x ＜4. 答案：3＜x ＜4
8．f (x )＝log 21＋x
a －x
的图象关于原点对称，则实数a 的值为________．
解析：由图象关于原点对称可知函数为奇函数， 所以f (－x )＋f (x )＝0，即
log 21－x a ＋x ＋log 21＋x a －x ＝0⇒log 21－x 2a 2－x 2＝0＝log 21，
所以1－x 2
a 2－x 2＝1⇒a ＝1(负根舍去)．
答案：1
9．函数y ＝log a x 在[2，＋∞)上恒有|y |＞1，则a 取值范围是________．
解析：若a ＞1，x ∈[2，＋∞)，|y |＝log a x ≥log a 2，即log a 2＞1，∴1＜a ＜2；若0＜a ＜1，
x ∈[2，＋∞)，|y |＝－log a x ≥－log a 2，即－log a 2＞1，∴a ＞12，∴1
2
＜a ＜1.
答案：1
2
＜a ＜1或1＜a ＜2
10．已知f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
(6－a )x －4a (x <1)
log a x (x ≥1)是R 上的增函数，求a 的取值范围．
解：f (x )是R 上的增函数，
则当x ≥1时，y ＝log a x 是增函数， ∴a >1.
又当x <1时，函数y ＝(6－a )x －4a 是增函数． ∴6－a >0，∴a <6.
又(6－a )×1－4a ≤log a 1，得a ≥6
5
.
∴6
5
≤a <6. 综上所述，6
5
≤a ＜6.
11．解下列不等式．
(1)log 2(2x ＋3)＞log 2(5x －6)；
(2)log x 12＞1.
解：(1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪
⎧
2x ＋3＞05x －6＞0
2x ＋3＞5x －6，
解得6
5
＜x ＜3，
所以原不等式的解集为(6
5，3)．
(2)∵log x 12＞1⇔log 2
12log 2x ＞1⇔1＋1
log 2x ＜0
⇔log 2x ＋1log 2x ＜0⇔－1＜log 2x ＜0
⇔⎩⎪⎨⎪⎧
2－1＜x ＜20x ＞0
⇔12＜x ＜1.
∴原不等式的解集为(1
2
，1)．
12．函数f (x )＝log 12
(3x 2－ax ＋5)在[－1，＋∞)上是减函数，求实数a 的取值范围．
解：令t ＝3x 2－ax ＋5，则y ＝log 12
t 在[－1，＋∞)上单调递减，故t ＝3x 2－ax ＋5在[－1，
＋∞)单调递增，且t ＞0(即当x ＝－1时t ＞0)．
因为t ＝3x 2－ax ＋5的对称轴为x ＝a 6，所以⎩⎪⎨⎪⎧
a 6≤－18＋a ＞0
⇒⎩⎪⎨⎪⎧
a ≤－6a ＞－8⇒－8＜a ≤－6.。