五、材料力学切应力分析
材料力学第五章 弯曲应力分析
B
D
1m
1m
1m
y2
20
120
FRA
F1=9kN FRB F2=4kN
A C
BD
1m
1m
1m
2.5 Fs
+
+
4 kN
-
6.5 2.5
M
kNm
-
+
4
解： FRA 2.5kN FRB 10.5kN
88
52
-
+
C 2.5
4 B 80
z
20
120
20
B截面
σ t max
M B y1 Iz
4 • 52 763
20
+
-
+
10
Fs
kN
10
20
30
30
25
25
M
kNm
max
M max W
[ ]
W Mmax 30 187.5cm3
[ ] 160
1)圆 W d 3 187.5
32
d 12.4cm
A d 2 121cm2
4
2）正方形
a3 W 187.5
6
3）矩形
a 10.4cm
A a2 108cm2
压，只受单向拉压. （c）同一层纤维的变形相同。 （d）不同层纤维的变形不相同。
推论：必有一层变形前后长度不变的纤维—中性层
中性轴
中性轴⊥横截面对称轴
中性层
横截面对称轴
二、变形几何关系
dx
dx
图（a）
O
O
zb
O yx b
y
图（b）
五材料力学切应力分析资料讲解
五材料力学切应力分析资料讲解材料力学中的切应力分析是研究材料在受到切剪力作用下的应变和应力分布的一门学科。
切应力是物体内部各部分之间相对运动时产生的应力，常见于剪切变形过程中。
在进行切应力分析时，我们需要考虑以下几个关键因素：材料力学性质、应力方向、应变状态和材料结构。
首先，材料力学性质是进行切应力分析的基础。
不同材料在受到力作用时会发生不同的变形和断裂行为。
常见的材料力学性质包括弹性模量、屈服强度、断裂强度等。
这些性质决定了材料在受到力作用时的应变和应力分布规律。
其次，应力方向是进行切应力分析时需要考虑的因素之一、应力方向决定了材料内部产生的应力大小和分布情况。
常见的应力方向有横向应力、纵向应力和切向应力。
切向应力是材料在受到切剪力作用下产生的应力，它导致材料内部的断裂和形变。
应变状态是进行切应力分析时的另一个重要因素。
应变状态描述了材料在受到外力作用时的形变程度和方向。
常见的应变状态有线性应变、剪切应变和体积应变。
线性应变描述了材料在受到拉伸或压缩力作用下的变形情况，剪切应变描述了材料在受到切剪力作用下的变形情况，而体积应变描述了材料在受到体积力作用下的变形情况。
最后，材料的结构对切应力分析也有重要影响。
材料的结构决定了其内部微观结构和组织特征，从而影响了材料的力学性能和切应力分布。
常见的材料结构有晶体结构、非晶结构和多晶结构等。
不同的结构会导致材料在受到力作用时产生不同的应变和应力分布。
综上所述，材料力学切应力分析是研究材料在受到切剪力作用下的应变和应力分布的一门学科。
在进行切应力分析时，需要考虑材料力学性质、应力方向、应变状态和材料结构等因素。
通过深入研究材料在受到切剪力作用下的响应行为，可以有效提高材料的使用寿命和性能。
材料力学切应力
材料力学切应力材料力学是研究材料在外力作用下的力学性能和变形规律的学科，其中切应力是材料力学中的重要概念之一。
切应力是指材料内部受到的切削力，是材料在受到外力作用时发生形变的一种力学性质。
在材料力学中，切应力的研究对于材料的强度、塑性变形和破坏等方面具有重要的意义。
首先，我们来了解一下切应力的概念。
切应力是指材料内部受到的切削力，它是由于外力作用而引起的材料内部相对位移所产生的应力。
在材料受到外力作用时，内部各层之间会产生相对位移，从而产生切应力。
切应力的大小与外力的大小、材料的形状和材料的性质有关。
其次，我们来探讨一下切应力的计算方法。
在材料力学中，切应力的计算通常采用横截面上的切应力公式，τ=F/A，其中τ表示切应力，F表示作用力，A表示横截面积。
通过这个公式，我们可以计算出材料在外力作用下所受到的切应力大小。
除了切应力的计算方法，我们还需要了解切应力的影响因素。
切应力的大小受到多种因素的影响，包括外力的大小、作用角度、材料的性质、形状等。
在实际工程中，我们需要综合考虑这些因素，合理地选择材料和设计结构，以减小切应力对材料的影响，保证材料的强度和稳定性。
另外，切应力还与材料的塑性变形和破坏有着密切的关系。
在材料受到外力作用时，如果切应力超过了材料的极限强度，就会导致材料的塑性变形和最终的破坏。
因此，对于切应力的研究对于材料的强度和稳定性具有重要的意义。
在工程实践中，我们需要根据不同材料的特性和外力的作用情况，合理地计算和分析切应力，以保证材料的安全可靠性。
同时，我们还需要通过实验和模拟等手段，深入研究切应力对材料性能的影响规律，为材料的设计和应用提供科学依据。
总之，切应力是材料力学中的重要概念，它对于材料的强度、塑性变形和破坏等方面具有重要的影响。
通过对切应力的研究和分析，我们可以更好地理解材料的力学性能，为工程实践提供科学依据。
因此，我们需要深入研究切应力的计算方法、影响因素和对材料性能的影响规律，以提高材料的使用效率和安全可靠性。
应力分析的基本知识
5、了解三组特殊方向面与三向应力状态应力圆，掌握一点处的最大正应力、最大切应力的计算。
6、掌握广义虎克定律及其应用。
7、了解应变能密度、体积改变能密度与畸变能密度的概念和计算。
重点、难点重点：一点处应力状态的概念、描述与研究目的；平面应力状态的应力坐标变换式与应力圆，主应力、主方向与面内最大切应力；广义虎克定律及其应用。
难点：对构件内危险点处的最大切应力（）、第一主方向与最大切应力及其作用方位客观存在的理解。
广义虎克定律的应用（解决应力分析与应变分析的工程实际问题）教学方法安排三次课堂讨论：1、材料破坏与应力状态的关系：塑性材料与脆性材料在相同外力作用下的破坏形式为什么不同？塑性材料与脆性材料在相同外力作用下的机械性能（屈服滑移线、颈缩、断口等）2、应力圆是否描述了一点的应力状态，包含了一点应力状态的各种信息？3、如何应用广义虎克定律解决应力分析和应变分析问题？课外作业第五章应力状态分析前面两章的分析结果表明，一般情形下杆件横截面上不同点的应力是不相同的。
本章还将证明，过同一点的不同方向面上的应力，一般情形下也是不相同的。
因此，当提及应力时，必须指明"哪一个面上哪一点"的应力或者"哪一点哪一个方向面"上的应力。
此即"应力的点和面的概念"。
所谓"应力状态"又称为一点处的应力状态，是指过一点不同方向面上应力的集合。
应力状态分析是用平衡的方法，分析过一点不同方向面上应力的相互关系，确定这些应力中的极大值和极小值以及它们的作用面。
与前几章中所采用的平衡方法不同的是，平衡对象既不是整体杆或某一段杆，也不是微段杆或其一部分，而是三个方向尺度均为小量的微元局部。
此外，本章中还将采用与平衡解析式相比拟的方法，作为分析和思考问题的一种手段，快速而有效地处理一些较为复杂的问题，从而避免死背硬记繁琐的解析公式。
§5-1一点处应力状态描述及其分类对于受力的弹性物体中的任意点，为了描述其应力状态，一般是围绕这一点作一个微六面体，当六面体在三个方向的尺度趋于无穷小时，六面体便趋于所考察的点。
了解材料力学中的应力分析方法
了解材料力学中的应力分析方法材料力学是研究材料行为及其力学特性的学科，应力分析方法是其中的重要内容之一。
在材料力学中，应力是描述物体内部受力情况的力学参数，而应力分析方法则是利用各种数学和物理手段来确定物体内部应力分布的过程。
本文将介绍几种常见的应力分析方法，并探讨其适用范围和基本原理。
1. 等效应力法等效应力法是最常用的应力分析方法之一，其基本原理是将复杂的三维应力状态简化为等效应力的一维问题。
等效应力通常使用了一些特定的理论假设，如弹性体材料的等效应力假设和受力高度假设。
通过计算等效应力，可以得出物体是否会发生破裂或变形的结论，从而指导工程实践。
2. 应力分量法应力分量法是应力分析的另一种常见方法，它将应力状态表示为各个坐标轴方向上的应力分量。
常见的应力分量包括正应力、切应力和主应力等。
通过计算和分析这些应力分量，可以更直观地理解和描述物体的内部应力状态，准确判断材料的强度和破坏机制。
3. 应变能法应变能法是一种基于能量原理的应力分析方法。
它假定物体的变形过程是一种能量的转化过程，通过计算和分析物体在外力作用下的应变能量和应力能量的变化情况，可以得出物体的内部应力分布。
应变能法在分析复杂的弹性和塑性变形问题时具有一定的优势，被广泛应用于材料力学和结构力学领域。
4. 有限元法有限元法是一种基于数值计算的应力分析方法，它通过将物体划分为无数个小区域，将连续的应力分析问题转化为离散的微分方程组。
通过求解这个方程组，可以得到物体各个小区域的应力状态，进而得出整体的应力分布情况。
有限元法具有计算精度高、适用范围广的优点，是现代材料力学研究中最常用的方法之一。
综上所述，材料力学中的应力分析方法有很多种，每种方法都有其独特的优点和适用范围。
在实际工程中，应根据具体情况选择合适的方法，结合实际问题进行应力分析，为材料设计和工程实践提供科学的依据。
通过深入了解和掌握应力分析方法，可以更好地解决材料力学中的问题，推动科学技术的进步和发展。
材料力学弯曲切应力ppt课件
F*
B N2 n
dFs
FN*2
FN*1
dM Iz
S
* z
3 求纵截面 AB1 上的切应力 ’
S dFs 1 dM *
b dx bI z dx z
Fs
S
* z
bI z
z x
y
A1
FN*1
m
B1 dFs
A
n
bm
dx
B FN*2 n
Fs
S
* z
bI z
4 横截面上距中性轴为任意 y 的点，其切应力 的计 算公式。
*
z max [ ]
I zb
式中 ：[] 为材料在横力弯曲时的许用切应力。
S* z max
为中性轴任一边的半个横截面面积对中性轴的静矩
F S s,max
*
z max [ ]
I zb
在选择梁的截面时，通常先按正应力选出截面， 再按切应力进行强度校核。
例题3 ： 简支梁受均布荷载作用，其荷载集度 q 3.6 kN m
Fs,max 所在的横截面上，而且一般说是位于该截面的中性轴上。 全梁各横截面中最大切应力可统一表达为
S Fsmax
* z max
max
Izb
S Fsmax
* z max
max
Izb
S* z max
—— 中性轴一侧的横截面面积对中性轴的静矩
b —— 横截面在中性轴处的宽度
Fs max —— 全梁的最大剪力
q
m
C
E
G
H D
m
l 2
l
Fs 图 F
M图
ql 2
ql 2 8
E
τ max
材料力学-应力状态分析
+
σ x σ y
2
cos 2α τ x sin 2α
sin 2α + τ x cos 2α
注意： 的正负号， 注意：1）σx 、σy 、τx 和 α的正负号， 2） 公式中的切应力是τx ，而非τy， 而非 的正负号。 3） 计算出的σα和τα 的正负号。
τα τ α>0
τα τ α<0
图示圆轴中， 已知圆轴直径d=100mm， 轴向拉 例 ： 图示圆轴中 ， 已知圆轴直径 ， 力 F=500kN，外力矩Me=7kNm。求 C点α = 30°截 ， 外力矩 。 点 ° 面上的应力。 面上的应力。 y
σy
τ
D
x
τx τy
σx
o A2
C
A1
σ
D
y
σ1 =
σ x +σ y
2
σ x +σ y + 2
2 +τ x
2
2
σ2 =
σ x +σ y
2
σ x +σ y 2 +τ x 2
σy
τ
D
x
τx τy
σx
o A2
2α0
C
A1
σ
D
y
2τ x 2α 0 = arctan σ x σ y
σ x σ y R= 2
+τ x2
2
σ x +σ y σ α 2
σy
σ x σ y 2 2 + τα = +τ x 2 τ
2 2
D
x
τx τy
σx
o
C D
y
σ
50MPa
材料力学之应力与应变分析
3.截取原始单元体的方法、原则
①用三个坐标轴(笛卡尔坐标和极坐标，依问题和构件形状 而定)在一点截取，因其微小，统一看成微小正六面体
②单元体各个面上的应力已知或可求； ③几种受力情况下截取单元体方法：
P
P
Me B
Me
A
s A s=P/A
B t=Me/Wn
Байду номын сангаасa) 一对横截面，两对纵截面 P
⑥
ss"'
a0 *
ttxyxy a0 *
ss"'
4.极值切应力：
应力与应变分析
①令：
，可求出两个相差90o 的
a1，代表两个相互垂直的极值切应力方位。
②极值切应力：
③
(极值切应力平面与主平面成45o)
例一 图示单元体，试求：①a=30o斜
截面上的应力； ②主应力并画出主单元
体；③极值切应力。
s" 40
txy
ssxtxxy
sα
a
a
dA
tα
x
tyx sy
sy tyx
得
符号规定：
应力与应变分析
a角—以x轴正向为起线，逆时针旋转为正，反之为负
s拉为正，压为负
t—使微元产生顺时针转动趋势者为正，反之为负
3.主应力及其方位：
①由主平面定义，令t =0，得：
可求出两个相差90o的a0值，对应两个互相垂直主平面。
④单向应力状态又称简单应力状态，平面和空间应 力状态又称复杂应力状态。
第二节 平面应力状态下的 应力研究、应力圆
一、平面应力分析的解析法
1.平面应力状态图示：
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薄壁截面梁弯曲时横截面上的切应力与弯曲中心
弯曲中心： 以图示薄壁槽钢为例，先分别确定腹板和翼缘
上的切应力：
腹板：1
6F（Q bh h2
h2 (h
/4 6b)
y
2） ；
翼缘： 2
6FQ s
h2 (h 6b)
;
由积分求作用在翼缘上的合力FT ：
b
FT 0 2ds;
y
y
2
z
c
z c y 1 z
πD 4 1－ 4 32
,
πD 3 1－ 4
WP
16
圆轴扭转时横截面上的切应力分析
例题5-1、图示传动机构，由B轮输入功率，通过锥型齿轮将其一半功率传递给C轴，另一半传递给 H轴。已知：P1＝14kW, n1= n2= 120 r/min, z1=36,z3=12;d1=70mm, d 2 =50mm, d3=35mm. 求: 各轴横截面上的最大切应力。
请判断轴受哪些力 将发生什么变形
请判断哪些截面 将发生剪切变形
Mn z
x 两类切应力：扭转切应力、弯曲切应力；
切应力互等定理、剪切虎克定律
考察承受切应力作用的微元体
M0；
dydzdx(dxd)zdy0;
y
A dy
C
dz
x
B
D
z
dx
切应力互等定理：在两个相互垂直的平面上，切应力成对存在 ，两应力垂直于两个平面的交线，共同指向或者背离该交线： τ = τˊ
2、计算各轴的最大切应力
max E
M x1 W P1
πHale Waihona Puke 16 1114 70 3 10 -9
P a
16.54MPa
max H
M x2 WP2
π
16 557 50 3 10 -9
P a
22.69M P a
max C
M x3 W P3
π
16 185.7 353 10 -9
五、材料力学切应力分析
第五章 弹性杆件横截面上的切应力分析
1、切应力互等定理、剪切虎克定律 2、圆轴扭转时横截面上的切应力分析 3、薄壁截面梁弯曲时横截面上的切应力流与弯曲中心 4、基于最大切应力的强度计算 5、结论与讨论
切应力互等定理、剪切虎克定律 请判断哪些零件 将发生扭转变形
传动轴
切应力互等定理、剪切虎克定律
dFN*
(M z
dM
z
)S
* z
Iz
;
带入（a）式得：
FQ
S
* z
I z
薄壁截面梁弯曲时横截面上的切应力
FQ
S
* z
I z
FQ 横截面上的剪力； Iz 横截面对中性轴的惯性矩；
薄壁截面的壁厚；
S
* z
过所要求切应力点，沿薄壁
横截面厚度方向将横截面分为两部
分，其中一部分对中性轴的静矩；
薄壁截面梁弯曲时横截面上的切应力与弯曲中心
请注意圆轴受扭转后表面的矩形将 发生什么变形？
Mx
´
A
C
A’
C’
B
D B’
Mx
´ D’
平面假设：圆轴扭转时，横截面 保持平面，并且只能发 生刚性转动。
横截面是刚性转动，直径始终是 直线。
圆轴扭转时横截面上的切应力分析
1、应变特征 两轴向间距为dx的截面相对转角为 dφ ,考察微元 ABCD 的变形得：
2、弯曲中心 对于薄壁截面，由于切应力方向必须平行于截面周边的切线方
向，故切应力相对应的分布力系向横截面所在平面内不同点简化， 将得到不同的结果。如果向某一点简化结果所得的主矢不为零而主 矩为零，则这一点称为弯曲中心。图示薄壁截面梁的弯曲中心并不 在形心上，因此外力作用在形心上时主矢不为零而主矩也不为零， 梁就会发生弯曲和扭转变形。
d
圆轴扭转时，切应变沿半径方向线性d分x布。
圆轴扭转时横截面上的切应力分析
2、切应力分布特征
由剪切虎克定律得：
G
G
d
dx
圆轴扭转时，切应力沿半径方向线性分布。
由切应力互等定理，与横截面相垂直的平面上也存在着切应力。
圆轴扭转时横截面上的切应力分析
3、切应力公式
切应力（A 在 圆 d轴A横）截面上A的G和 就dd是x d该A横截面上M的扭x 矩。
c
s
M
薄壁截面梁弯曲时横截面上的切应力与弯曲中心
y
y
2
z
c
z c y 1 z
c
作用在腹板上的剪力为FQ ;将FT 和FQ 向截面形心 C 简 化，可以得到主矢FQ 和主矩M ； 其中M=FT ×h+FQ×e’；
将FT 、FQ 向O点简化使e M=0e； 点OF即T为h弯;曲中心。 FQ
d M x
dx GIP
得：
M x
IP
圆形截面：IP
d 4 32
4、最大切应力 圆轴扭转时横截面上最大切应力在横截面的边缘上。
max
M x max IP
Mx WP
WP
IP
max
Wp 扭转截面系数
max
max
圆：IP
πd 4 32
；
πd 3 WP 16
圆 环 ： I P
3
圆轴扭转时横截面上的切应力分析
解：1、计算扭矩
P1=14kW, P2= P3= P1/2=7 kW
n1=n2= 120r/min
3
Mx1=9549×14/120=1114 N.m
nMM3＝xx23==n991554499zz××13 77＝//1326100==25105875.N7132.N6m.mr/min ＝360r/min ；
切应力互等定理、剪切虎克定律
剪切胡克定律： 弹性范围内，切应力与切应变成正比
G
A
C
´
B
D
´
式中 G 为材料的剪切弹性材料的模量， γ 为剪切应变。 弹性模量、泊松比、剪切弹性模量三个常数存在如下关系，只 有两个是独立的。
G E
2(1 )
圆轴扭转时横截面上的切应力分析
观察圆轴表面平行轴线的直线和垂直这些直线的环线在扭矩作 用下的变化。 圆轴变形后表面的直线变成螺旋线；环线没有变化，小矩形 ABCD变形为平行四边形A’B’C’D’。
以如图壁厚为 δ 的悬臂梁槽钢为例， 考察x方向平衡
Fx 0; FN* (FN* dFN* ) (dx) 0;(a)
其中：FN*
A*
x
dA;
FN* dFN*
(
A*
x
d
x )dA;
将 x
M z y*
/
I
z带入上式得：（注意到S
* z
y*dA; )
A
FN*
M
z
S
* z
Iz
; FN*
P a
21.98M P a
薄壁截面梁弯曲时横截面上的切应力
1、切应力流 承受弯曲的薄壁截面杆件，与剪力相对应的切应力有下
列显著特征： 杆件表面无切应力作用，由切应力互等定理，薄壁截面
上的切应力必定平行于截面周边的切线方向，并且形成切应 力流。
切应力沿壁厚方向均匀分布。
薄壁截面梁弯曲时横截面上的切应力