3任意角的正弦函数、余弦函数的定义
任意角的正余弦函数定义
正弦函数奇偶性和对称性
奇偶性
正弦函数是奇函数，即满足$sin(-x) = -sin(x)$。
对称性
正弦函数图像关于原点对称，即如果点$(x, y)$在正弦函数图像上，那么点$(-x, -y)$也在图像上。此外，正弦函 数还具有轴对称性，其对称轴为$x = kpi + frac{pi}{2}$（k为整数）。
弦函数，是正切函数的基础定义。
正余弦函数相互转化方法
要点一
正弦函数转化为余弦函数
$sintheta = cos(frac{pi}{2} - theta)$。这个公式可以将正 弦函数转化为余弦函数，通过角度的变换实现两种函数的 转化。
要点二
余弦函数转化为正弦函数
$costheta = sin(frac{pi}{2} - theta)$。同样地，这个公 式可以将余弦函数转化为正弦函数，也是通过角度的变换 实现转化。
当$r > 0$时，$alpha$是第一或第二象限的角；当$r < 0$时，$alpha$是第三或第四象限的角；当$r = 0$时， $alpha$是轴线角。
在平面直角坐标系中，任意角$alpha$可以表示为 $(cosalpha, sinalpha)$，其中$cosalpha$和$sinalpha$ 分别是角的余弦值和正弦值。
在波动现象中，正余弦函数是波动方程的基本解，用 于描述波的传播和干涉等。
在其他领域应用
信号处理
正余弦函数在信号处理中用于表 示周期性信号，如正弦波和余弦 波，以及进行频谱分析等。
电气工程
在电气工程中，正余弦函数用于 描述交流电的电压和电流变化规 律，以及进行电路分析等。
高中数学-三角函数知识点总结
三角函数知识点一、三角函数知识点 1.角的定义：（1）00~0360角的定义：从一点O 出发的两条射线OB OA ,所形成的图形叫做角，这点O 叫做角的顶点，射线OB OA ,叫做角的两边（2）任意角的定义：角可以看成是平面内一条射线绕着它的端点从一个位置OA 旋转到另一个位置OB 所形成的图形，端点O 叫做角的顶点，射线OA 叫做角的始边，射线OB 叫做角的终边2.规定：（1）正角：按逆时针方向旋转形成的角叫正角 （2）负角：按顺时针方向旋转形成的角叫负角 （3）零角：一条射线不作任何旋转形成的角叫零角这样，我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角，负角，零角 注：角的度量需注意：既要考虑旋转方向，又要考虑旋转量3.终边相同的角：所有与α终边相同的角连同α在内组成的集合{}Z k k S ∈⋅+==,3600αββ 4.象限角和轴线角：将角放在直角坐标系中，让角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴非负半轴重合，则（1）象限角：角的终边落在第几象限，则称该角为第几象限角 （2）轴线角：角的终边落在坐标轴上，则称该角为轴线角 5.1º的角的定义：规定周角的3601为1度的角，记作：01，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制6.1弧度角的定义：我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1rad ，读作：1弧度，这种以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制7.弧度数（1）我们规定，正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零 （2）半径为R 的圆的圆心角α所对的弧长为l ，则角α的弧度数为Rl=α，角α的正负由α终边的旋转方向决定注：弧度制与角度制区别：（1）弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，角度制是以“度”为单位来度量角的单位制，1弧度≠1度（2）1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小，而1度是周角的3601所对的圆心角的大小（3）弧度制是十进制，它的表示是用一个实数表示，而角度制是六十进制； （4）以弧度和度为单位的角，都是一个与半径无关的定值 8.弧度制与角度制的换算（1）弧度制与角度制下的一些特殊角①角度制下零度的角：00，弧度制下零度的角：0rad ， 区别数值相同，单位不同 ②角度制下平角：0180，弧度制下平角：πrad ③角度制下周角：0360，弧度制下平角：2πrad （2）弧度制与角度制的换算①角度化成弧度：=0360 π2 ，0180 π2 ，01 01745.0 ②弧度化成角度：π2 0360 ，π 0180 ，rad 1 '01857 注：角度和弧度互化9.扇形的弧长公式和面积公式（1）角度制下扇形的弧长公式：180Rn l π=；扇形的面积公式：3602R n S π=（2）弧度制下扇形的弧长公式：R l α=；扇形的面积公式：Rl R S 21212==α10.角度制下和弧度制下轴线角和象限角的集合 （1）轴线角的集合①终边在x 轴的非负半轴上{}Z k k x x ∈⋅=,3600={}Z k k x x ∈=,2π②终边在x 轴的非正半轴上{}Z k k x x ∈+⋅=,18036000={}Z k k x x ∈+=,2ππ ③终边在x 轴上{}Z k k x x ∈⋅=,1800={}Z k k x x ∈=,π④终边在y 轴的非负半轴上{}Z k k x x ∈+⋅=,9036000={}Z k k x x ∈=,2π ⑤终边在y 轴的非正半轴上{}Z k k x x ∈-⋅=,9036000={}Z k k x x ∈+=,2ππ⑥终边在y 轴上{}Z k k x x ∈+⋅=,9018000=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ,2ππ⑦终边在坐标轴上{}Z k k x x ∈⋅=,900=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=Z k k x x ,2π （2）象限角的集合①第一象限角的集合{}Z k k x k x ∈+⋅<<⋅,90360360000=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<Z k k x k x ,222πππ②第二象限角的集合{}Z k k x k x ∈+⋅<<+⋅,180360903600000=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,222ππππ③第三象限角的集合{}Z k k x k x ∈+⋅<<+⋅,2703601803600000=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,2322ππππ④第四象限角的集合{}Z k k x k x ∈+⋅<<+⋅,3603602703600000=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,22232ππππ ={}Z k k x k x ∈⋅<<-⋅,36090360000=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈<<-Z k k x k x ,222πππ11.两角的终边对称结论（1）α与β的终边关于x 轴对称Z k k ∈=+,2πβα （2）α与β的终边关于y 轴对称Z k k ∈+=+,2ππβα （3）α与β的终边关于原点轴对称Z k k ∈++=,2ππβα （4）α与β的终边共线Z k k ∈+=,πβα（5）α与β的终边关于直线x y =对称Z k k ∈+=+,22ππβα（6）α与β的终边关于直线x y -=对称Z k k ∈+=+,232ππβα （7）α与β的终边互相垂直Z k k ∈++=,2ππβα12．三角函数定义：（1）任意角的三角函数定义1：设角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，角α的终边上任意一点P 的坐标为),(y x ，它到原点的距离022>+=y x r ，则 ①比值r y 叫做角α的正弦，记作αsin ，即=αsin r y ②比值r x 叫做角α的余弦，记作αcos ，即=αcos r x ③比值x y 叫做角α的正切，记作αtan ，即=αtan x y ④比值y x 叫做角α的余切，记作αcot ，即=αcot yx （2）任意角的三角函数定义2：设角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，角α的终边与单位圆的交点为P ),(y x ，则 ①=αsin y ②αcos x ③=αtan xy④=αcot y x三角函数都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，又由于角与实数是一一对应的，所以三角函数也可以看作是以实数为自变量的函数13.三角函数的定义域和值域三角函数定义域值域αsin =yR ]1,1[- αcos =y R]1,1[-αtan =y⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,2ππR αcot =y{}Z k k x x ∈≠,πR14.三角函数值在各象限的符号αsin αcos αtan记法1：正弦上正，余弦右正，正切一三正 记法2：一全正，二正弦，三正切，四余弦 15.诱导公式：公式一：终边相同的角的同一三角函数值相等角度制下 弧度制下=+⋅)360sin(0αk αsin =+)2sin(απk αsin =+⋅)360cos(0αk αcos =+)2cos(απk αcos =+⋅)360tan(0αk αtan =+)2tan(απk αtan =+⋅)360cot(0αk αcot =+)2cot(απk αcot公式二：角度制下 弧度制下=+)180sin(0ααsin - =+)sin(απαsin - =+)180cos(0ααcos - =+)cos(απαcos - =+)180tan(0ααtan =+)tan(απαtan =+)180cot(0ααcot =+)cot(απαcot公式三：角度制下 弧度制下=-)180sin(0ααsin =-)sin(απαsin =-)180cos(0ααcos - =-)cos(απαcos - =-)180tan(0ααtan - =-)tan(απαtan - =-)180cot(0ααcot - =-)cot(απαcot -公式四：角度制下 弧度制下=-)sin(ααsin - =-)sin(ααsin - =-)cos(ααcos =-)cos(ααcos =-)tan(ααtan - =-)tan(ααtan - =-)cot(ααcot - =-)cot(ααcot -公式五：角度制下 弧度制下=-)90sin(0ααcos =-)2sin(απαcos=-)90cos(0ααsin =-)2cos(απαsin-)90tan(0ααcot =-)2tan(απαcot=-)90cot(0ααtan =-)2cot(απαtan公式六：角度制下 弧度制下=+)90sin(0ααcos =+)2sin(απαcos=+)90cos(0ααsin - =+)2cos(απαsin -=+)90tan(0ααtan - =+)2tan(απαtan -=+)90cot(0ααcot - =+)2cot(απαcot -公式七：角度制下 弧度制下=+)270sin(0ααcos - =+)23sin(απαcos -=+)270cos(0ααsin =+)23cos(απαsin=+)270tan(0ααcot - =+)23tan(απαcot -=+)270cot(0ααtan - =+)23cot(απαtan -公式八：角度制下 弧度制下=-)270sin(0ααcos - =-)23sin(απαcos -=-)270cos(0ααsin - =-)23cos(απαsin -=-)270tan(0ααcot =-)23tan(απαcot=-)270cot(0ααtan - =-)23cot(απαtan -记忆口诀：奇变偶不变符号看象限 16.部分特殊角的三角函数：αcos21 22 23 1αtan/3-1-33- 017.三角函数线：（1）有向线段：当角α的终边不在坐标轴上时，我们把MP 、OM 、AT 都看成带有方向的线段，这种带方向的线段叫有向线段规定：与坐标轴相同的方向为正方向（2）这几条与单位圆有关的有向线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线注：（1）正弦线、余弦线、正切线分别解释了正弦函数x y sin =，余弦函数x y cos =、正切函数x y tan =的几何意义（2）正弦线、余弦线、正切线的方向与坐标轴正方向相同时，对应的三角函数值为正，与坐标轴正方向相反时，对应的三角函数值为负 18.同角三角函数的关系：（1）平方关系：1cos sin 22=+αα （2）商数关系：=αtan ααcos sin 、=αcot ααsin cos （3）倒数关系：1cot tan =αα 注意公式的变形：（1）1cos sin 22=+x x ⇒x x 22cos 1sin -=、x x 22sin 1cos -= （2）⇒=αααcos sin tan =αsin ααcos tan 、⇒=αααsin cos cot =αcos ααsin cot （3）ααααααcos sin ,cos sin ,cos sin -+的关系：①=+2)cos (sin ααααcos sin 21+ ②=-2)cos (sin ααααcos sin 21- ③=-++22)cos (sin )cos (sin αααα219.正弦函数x y sin =、余弦函数x y cos =、正切函数x y tan =的图像和性质 函数x y sin = x y cos = x y tan =图形定义域 RR⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,2ππ值域]1,1[-]1,1[-R最值当Z k k x ∈+=,22ππ时，有最大值当Z k k x ∈-=,22ππ时，有最大值当Z k k x ∈=,2π时，有最大值当Z k k x ∈+=,22ππ时，有最大值无最大值无最小值单调性在Zk k k ∈+-],22,22[ππππ上递增在Zk k k ∈++],232,22[ππππ上递减在Z k k k ∈-],2,2[πππ上递增在Z k k k ∈+],2,2[πππ上递减在Zk k k ∈+-),2,2(ππππ上递增奇偶性 奇函数偶函数奇函数周期性π2=Tπ2=Tπ=T 对称性关于Z k k x ∈+=,2ππ对称关于点Z k k ∈),0,(π中心对称关于Z k k x ∈=,π对称 关于点Zk k ∈+),0,2(ππ中心对称关于点Z k k ∈),0,2(π中心对称20.三角函数周期结论（1）函数B x A y ++=)sin(ϕω(其中0,≠ωA )的周期=T ωπ2函数B x A y ++=)cos(ϕω(其中0,≠ωA )的周期=T ωπ2函数)tan(ϕω+=x A y (其中0,≠ωA )的周期=T ωπ （2）函数)sin(ϕω+=x A y (其中0,≠ωA )的周期=T ωπ 函数)cos(ϕω+=x A y (其中0,≠ωA )的周期=T ωπ 函数)tan(ϕω+=x A y (其中0,≠ωA )的周期=T ωπ （3）函数B x A y ++=)sin(ϕω（其中0,,≠B A ω）的周期=T ωπ2函数B x A y ++=)cos(ϕω（其中0,,≠B A ω）的周期=T ωπ221.函数B x A y ++=)sin(ϕω)0,0(>>ωA 的图像的作法（1）图像变换法：函数B x A y ++=)sin(ϕω的图像可由正弦函数x y sin =经过一系列的变换得到：①先平移变换，再周期变换：x y sin =———————————→)sin(ϕ+=x y —————————→)sin(ϕω+=x y——————————→)sin(ϕω+=x A y ——————————→B x A y ++=)sin(ϕω ②先周期变换，再平移变换：x y sin =———————————→)sin(x y ω=——————————→)sin(ϕω+=x y——————————→)sin(ϕω+=x A y ——————————→B x A y ++=)sin(ϕω （2）五点作图法：函数B x A y ++=)sin(ϕω的图像画法：一个周期内起关键作用的五个点的横坐标可由=+ϕωx ππππ2,23,,2,0得到 22.函数变换结论： （1）平移变换01左右平移：①将函数)(x f y =的图象向左移a 个单位得函数)(a x f y +=的图象 ②将函数)(x f y ω=的图象向左移a 个单位得函数))((a x f y +=ω的图象02上下平移：将函数)(x f y =的图象向上移b 个单位得函数b x f y +=)(的图象（2）伸缩变换①函数)(x f y ω=的图象可由函数)(x f y =的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的ω1倍得到 ②函数)(x Af y =的图象可由函数)(x f y =的图象上每一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍得到 （3）翻折变换①函数)(x f y =的图象可将函数)(x f y =的图像y 轴右侧的图像保留，y 轴左侧的图像由y 轴右侧的图像沿y 轴翻折得到②函数)(x f y =的图象可将函数)(x f y =的图像在x 轴上方的图像保留，x 轴下方的图像沿x 轴翻折到x 轴上方得到 23.两个函数的对称性结论（1）函数)(x f y -=与)(x f y =的图象关于x 轴对称 （2）函数)(x f y -=与)(x f y =的图象关于y 轴对称 （3）函数)(x f y --=与)(x f y =的图象关于原点对称 （4）函数)(1x fy -=与)(x f y =的图象关于x y =对称（5）函数)2(x a f y -=与)(x f y =的图象关于a x =对称（6）函数)2(x a f y --=与)(x f y =的图象关于点)0,(a 对称24.函数)sin(ϕω+=x A y 和)cos(ϕω+=x A y )0,0(>>ωA 的奇偶性结论 （1）函数)sin(ϕω+=x A y 为奇函数⇔Z k k ∈=,πϕ（2）函数)sin(ϕω+=x A y 为偶函数⇔Z k k ∈+=,2ππϕ（3）函数)cos(ϕω+=x A y 为奇函数⇔Z k k ∈+=,2ππϕ（4）函数)cos(ϕω+=x A y 为偶函数⇔Z k k ∈=,πϕ 二、三角变换25.两角和与差的正弦余弦正切公式：（1）=+)sin(βαβαβαsin cos cos sin +，记作)(βα+ S （2）=-)sin(βαβαβαsin cos cos sin -，记作)(βα- S （3）=+)cos(βαβαβαsin sin cos cos -，记作)(βα+C （4）=-)cos(βαβαβαsin sin cos cos +，记作)(βα-C （5）=+)tan(βαβαβαtan tan 1tan tan -+，记作)(βα+T（6）=-)tan(βαβαβαtan tan 1tan tan +-，记作)(βα-T26.二倍角的正弦、余弦、正切公式 （1）=α2sin ααcos sin 2（2）=α2cos αα22sin cos -=1cos 22-α=α2sin 21-（3）=α2tan αα2tan 1tan 2- 注：二倍角公式的变形：（1）=+2)cos (sin ααααcos sin 21+；=-2)cos (sin ααααcos sin 21-（2）升幂缩角公式：=+αcos 12cos 22α；=-αcos 12sin 22α（3）降幂扩角公式：=α2sin 22cos 1α-；=α2cos 22cos 1α+ =α2sin 2α2cos 1-；=α2cos 2α2cos 1+27.半角公式：（1） =2sinα22cos 1α-±=2cosα22cos 1α+±=2tanααα2cos 12cos 1+-±（2）=2tanαααsin cos 1-=ααcos 1sin +28.辅助角公式： （1）=+θθcos sin b a )sin(22ϕ++x b a ，其中=ϕsin 22b a b +，=ϕcos 22b a a +（2）=+θθcos sin b a )cos(22ϕ-+x b a ，其中=ϕsin 22ba a +，=ϕcos 22ba b +29.万能公式=α2sin αα2tan 1tan 2+ =α2cos αα22tan 1tan 1+- =α2tan αα2tan 1tan 2- 30.积化和差公式=βαcos sin )]sin()[sin(21βαβα-++=βαsin cos )]sin()[sin(21βαβα--+ =βαcos cos )]cos()[cos(21βαβα-++ =βαsin sin )]cos()[cos(21βαβα--+-31.和差化积公式=+βαsin sin 2cos2sin2βαβα-+=-βαsin sin 2sin2cos2βαβα-+=+βαcos cos 2cos2cos2βαβα-+=-βαcos cos 2sin2sin2βαβα-+-。
任意角的三角函数及其诱导公式
-α
余弦函数的诱导公式 cos(2kπ+α)=cosα cos(-α)=cos α cos(2π-α)=cos α cos(π-α)= - cosα cos(π+α)= - cosα 函数名不变，符号看象限
2、研究角π/2+α与角α的正、余弦函数值的关系 在单位圆中，画出角α和角 π/2+α的终边， 由终边的位置关系可得
3)tan(-16500)的符号是——？
3)sin(-21π/5）的符号是——？
练习：求值 19 23 1、 sin ; 2、con(); 4 3 0 3、 tan （ 1110 ）
二、三角函数的诱导公式
1、若α是一个正锐角，怎样用α表示第一、二、 三、四象限角,并研究其终边位置关系.
一
任意角的三角函数及其诱导公式
一、 任意角的 的三角函数.
角的 终 边 与 单 位 圆 相 交 点 于P(a , b ); b 则 si n b 1
P(a,b)
b 称为角 的正弦函数； 记作 b=sin ;
一般用x表示自变量，y表示函数； 所以正弦函数表示：y＝sin x （x R） 相类似余弦函数是y＝cos x；正弦函数是y＝tan x
Sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)= -Sinα Sin(π/2-α)=cosα #43;α)= -cotα => tan(π/2-α)=cotα
常用的正弦、余弦、正切诱导公式 1、同终边诱导公式 Sin(2kπ+α)=sin α cos(2kπ+α)=cosα tan(2kπ+α)=tan α 2、负角诱导公式 Sin(-α)=- sin α cos(-α)=cos α tan(-α)= - tan α 3、四象限诱导公式 Sin(2π-α)=-sin α cos(2π-α)=cos α tan(2π-α)= - tan α
《任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数》中职数学(基础模块)上册5.3【高教版】
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低着头，心情就放松了，但那种放松对学习一点好处也没有，之所以会放松，就是因为觉得即便是自己开小差，老师也不知道。如果你往前看，不时地和老师眼神交会一下，注意力必然会集中起来。和老师眼神交汇的那种紧张感会让你注意力集中，并充
实地听完整堂课。
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3、课前预习
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课前预习新课内容，找出不理解的地方标记下来。预习后尝试做课后练习题，不要怕出错，因为老师还没有讲，出错也是正常的。
2019/8/9
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谢谢欣赏！
2019/8/9
教学资料精选
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第五章 三角函数
5.3.1任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的概念
情境再现
情境１：回忆什么叫函数？
构建问题 探寻解决
情境２：初中，在直角三角形中，是如何定义锐角的锐角正弦、 余弦和正切函数的？
1.锐角正弦、余弦和正切函数的定义
sin
对边＝| PM | 斜边 | OP |
cos
邻边 斜边
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关键是，出错了你就知道上课时应该重点听哪里，注意力自然就能集中了。
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4、即便上课时不理解也不要放弃
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有些同学觉得老师讲的听不懂，就干脆不再听讲，按照自己的方法去学习。其实这样做真的很傻，因为不听讲就非常容易和同学们的学习进度脱节，这就会直接导致考试时成绩下降。原因是，老师讲的内容不一定都在教材中体现，有相当一部分重点内容
动脑思考 探索新知
关于定义两点说明：
三角函数定义域
三角函数
定义域
巩固知识 典型例题
运用知识 强化练习
归纳小结 强化思想
任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的概念：
对于每一个确定的值，其正弦、余弦及正切都分别对应一个确定的 比值。因此，正弦、余弦及正切都是以 为变量的函数，分别叫做正弦函 数、余弦函数及正切函数，它们都是三角函数。
三角函数详细讲解
三角函数详细讲解
三角函数是基本初等函数之一，是以角度（最常用的单位是弧度制）为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。
它也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。
三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具。
三角函数中的正弦函数、余弦函数和正切函数是最常见的。
这些函数的定义可以通过直角三角形来解释，其中θ是要找的角度，对边是指与θ所对应的直角三角形中的最短边，邻边是指与θ所对应的直角三角形中的最长边，斜边是指三角形的最长边。
正弦函数的定义为sinθ=对边/斜边，余弦函数的定义为cosθ=邻边/斜边，正切函数的定义为tanθ=对边/邻边。
这些函数的值是固定的，不会因为三角形的大小改变而改变。
例如，tan45°的值总是等于1，无论三角形的大小如何变化。
这是因为我们用的是直角三角形，所以每个三角形都有成比例的关系。
三角函数不仅用于计算三角形中未知长度的边和未知的角度，在导航、工程学以及物理学方面都有广泛的用途。
另外，以三角函数为模版，可以定义一
类相似的函数，叫做双曲函数。
常见的双曲函数也被称为双曲正弦函数、双曲余弦函数等等。
以上是关于三角函数的详细讲解，如需了解更多信息，建议查阅数学书籍或咨询专业人士。
三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式归纳总结
三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式归纳总结知识点精讲一、基本概念（1）任意角---------⎧⎪⎨⎪⎩正角逆时针旋转而成的角；负角顺时针旋转而成的角；零角射线没旋转而成的角.角α（弧度）(,)∈-∞+∞.（2）角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，α就叫做第几象限角，终边在坐标轴上的角不是象限角，称之坐标角（或象限界角、轴线角等） （3）弧度制度：半径为r 的圆心角α所对弧长为l ，则lrα=（弧度或rad ）. （4）与角α（弧度）终边相同的角的集合为{}2,k k Z ββαπ=+∈，其意义在于α的终边逆时针旋转整数圈，终边位置不变. 注：弧度或rad 可省略（5）两制互化：一周角=036022rrππ==（弧度），即0180π=. 1（弧度）00018057.35718π⎛⎫'=≈= ⎪⎝⎭故在进行两制互化时，只需记忆0180π=，01180π=两个换算单位即可：如：005518015066π=⨯=；036361805ππ=⨯=. （6）弧长公式：l r α=((0,2])απ∈， 扇形面积公式：21122S lr r α==. 注：关于扇形面积公式的记忆,可以采用类似三角形面积公式的方法，把扇形的弧长类比成三角形的底，半径类比成三角形的高，则有11=22S lr =底高，如图4-1所示.二、任意角的三角函数1.定义已知角α终边上的任一点(,)P x y （非原点O ），则P到原点O的距离0r OP ==>.sin ,cos ,tan y x y r r xααα===.此定义是解直三角形内锐角三角函数的推广.类比，对y ↔，邻x ↔，斜r ↔， 如图4-2所示.2.单位圆中的三角函数线以α为第二象限角为例.角α的终边交单位圆于P ，PM 垂直x 轴于M ， α的终边或其反向延长线交单位圆切线AT 于T ，如图4-3所示，由于取α为第二象限角，sin α=MP>0, cos α=OM<0, tan α=AT<0.3.三角函数象限符号与单调性在单位圆中1r ==，则：（1）sin yy rα==，即α终边与单位圆交点的纵坐标y 即为α的正弦值sin α. 如图4-4（a ）所示，sin α的特征为：01101111.⎧⎪-⎪⎨⎪⎪--⎩上正、下负；上（90），下（270），左、右都为；按逆时针方向旋转，向上（一、四）象限为增，从增到，向下（二，三象限）为减，从减到 （2）cos xx rα==，即α终边与单位圆交点的横坐标x 即为的余弦值cos α. 如图4-4（b ）所示，cos α的特征为：01101111.⎧⎪-⎪⎨⎪⎪--⎩右正、左负；右（0），左（180），上、下都为；按逆时针方向旋转，向右（三、四）象限为增，从增到，向左（一，三象限）为减，从减到 （3）tan yxα=.如图4-4（c ）所示，tan α的特征为： 0.⎧⎪⎨⎪⎩一、三正，二、四负；上、下是（即不存在），左、右都是；逆时针方向旋转，各象限全增三、同角三角函数的基本关系、诱导公式 1. 同角三角函数的基本关系 平方关系：22sin cos 1αα+= 商数关系：sin tan cos ααα=2. 诱导公式（1）sin ()sin()sin ()n n n ααπα⎧+=⎨-⎩为偶数；为奇数cos ()cos()cos ()n n n ααπα⎧+=⎨-⎩为偶数；为奇数tan()tan ()n n απα+=为整数.（2）奇偶性.()()()sin -=-sin cos -=cos tan -=-tan αααααα，，.（3）1sin -=cos cos -=sin tan -=222tan πππαααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，， 奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作2n πα⋅±；（2）无论有多大，一律视为锐角，判断2n πα⋅±所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；（3）当n 为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当n 为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可. 例如（1）sin +2πα⎛⎫⎪⎝⎭,因为+22ππαπ<<，所以sin +>02πα⎛⎫⎪⎝⎭，即sin +=cos 2παα⎛⎫⎪⎝⎭， （2）()sin +πα，因为3+2ππαπ<<，所以()sin +<0πα，即()sin +=-cos παα， 简而言之即“奇变偶不变，符号看象限”.题型归纳及思路提示题型1终边相同的角的集合的表示与区别 思路提示（1） 终边相同的角的集合的表示与识别可用列举归纳法和双向等差数列的方法解决.（2） 注意正角、第一象限角和锐角的联系与区别，正角可以是任一象限角，也可以是坐标轴角；锐角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐标轴角.例4.1终边落在坐标轴上的角的集合为（ ） A. {},k k Zααπ=∈ B. ,2k k Z παα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭C. ,2k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭D.,2k k N παα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭分析 表示终边相同的角的集合，必有k Z ∈，而不是k N ∈.解析 解法 一：排除法.终边在坐标轴上的角有4种可能，x 轴正、负半轴，y 轴正、负半轴，取1,2,3,4,,k =可知只有选项B占有4条半轴，故选B. 解法二;推演法.终边在坐标轴上的角的集合为3113",2,,,,0,,,,2,",2222ππππππππ----可以看作双向等差数列，公差为2π，取初始角0α=，故0()2k k Z πα=+∈，故0()2k k Z πα=+∈⇒,2k k Z παα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭故选B. 评注 终边在x 轴的角的集合，公差为π，取初始角0α=⇒{},k k Z ααπ=∈；终边在y 轴的角的集合，公差为π，取初始角2πα=⇒,2k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭.例4.2 请表示终边落在图4-5中阴影部分的角的集合.分析 本题是关于区域角的表示问题，需要借助终边相同角的集合表示知识求解，只需要把握区域角初始角的范围和终边相同角的集合的公差的大小即可顺利求解.解析 （1）如图4-5（a ）所示阴影部分的角的集合表示为22,63k k k N ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭；（2）如图4-5（b ）所示阴影部分的角的集合表示为222,63k k k N ππαπαπ⎧⎫-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭； （3）如图4-5（c ）所示阴影部分的角的集合表示为21122,36k k k N ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭； （4）如图4-5（d ）所示阴影部分的角的集合表示为,63k k k N ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭. 评注 任一角α与其终边相同的角，都可以表示成α与整数个周角的和，正确理解终边相同的角的集合中元素组成等差数列，公差为2π，即集合的周期概念，是解决本题的关键.变式1设集合M ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k 4·180°＋45°，k ∈Z ，那么( ) A ．M ⊆N B ． N ⊆M C ．M ＝ND ．M ∩N ＝∅例4.3 下列命题中正确的是（ ）A. 第一象限角是锐角B. 第二象限角是钝角C.()0,απ∈，是第一、二象限角D. ,02πα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，α是第四象限角，也叫负锐角 解析 第一象限角的集合为022,2k k k Z παπαπ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭，锐角的集合是是其真子集（即当0k =时）故选项A 错；同理选项B 错；选项C 中(0,)2ππ∈，但2π不是象限角，选项C 也错，故选D. 题型2 等分角的象限问题 思路提示先从α的范围出发，利用不等式性质，具体有：（1）双向等差数列法；（2）nα的象限分布图示. 例4.4 α 是第二象限角，2α是第 象限角解析 解法一：α与终边相同的角的集合公差为2π，该集合中每个月的一半组成的集合公差为π，取第二象限的一个初始集合,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，得2α的初始集合,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭，对比集合以π公差旋转得2α的分布，如图4-6所示，得2α是第一、三象限角.解法二：如图4-7所示，α是第二象限角，2α是第一、三象限角，又若α是第四象限角，2α是第二、四象限角.解法三：取α=0120，000012036060,2402α+⇒=，即2α是第一、三象限角.评注 对于2α是第几象限角的问题，做选填题以记住图示最为便捷，解法三是一种只要答案的特值方法；解法一能准确找出2α的分布. 对于3α是第几象限角可使用象限分布图示的规律，如图4-8所示，那么对于“nα是第几象限角”的象限分布图示规律是什么？只需要把第一个象限平均分成n 部分，并从x 轴正向起，逆时针依次标注1，2，3，4，1，2，3，4，1，2，3，4…..，则数字（α终边所在象限）所在象限即为nα终边所在象限.例如：3α的象限分布图示如图4-8所示，若α为第一象限角，则3α为第一、二、三象限角.变式1 若α是第二象限角，则3α是第 象限角；若α是第二象限角，则3α的取值范围是 题型3 弧长与扇形面积公式的计算 思路提示（1） 熟记弧长公式：l ＝|α|r ，扇形面积公式：S 扇形＝12lr ＝12|α|r 2（弧度制(0,2]απ∈）（2） 掌握简单三角形，特别是直角三角形的解法例4.5 有一周长为4的扇形，求该扇形面积的最大值和相应圆心角的大小. 解析：设扇形的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α（弧度），扇形面积S.依题意0024r l r l >⎧⎪>⎨⎪+=⎩，12S lr =，则12S lr =11(42)(42)224r r r r =-=-32π 2π4π O yx 54π 图 4-62 3 1 4 x 4 13 2 y图 4-7O21422()142r r -+≤=，（当且仅当422r r -=时，即1r =时取“=”，此时2l =）故扇形的面积最大值为1，此时lrα==2（弧度）.评注本题亦可解作21112212442l r S lr l r +⎛⎫==⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当22l r ==，即2l =，1r =时“=”成立，此时lr α==2.本题可改为扇形面积为1，求周长的最小值，2C l r =+≥且112lr =得2lr =，故4C ≥（当且仅当22l r ==时“=”成立），扇形周长的最小值为4.变式1 扇形OAB 的圆心角∠OAB=1（弧度），则AB =（） A. 1sin2 B. 6π C. 11sin 2D. 21sin 2变式2 扇形OAB ，其圆心角∠OAB=0120，其面积与其内切圆面积之比为 题型4 三角函数定义题 思路提示（1） 任意角的正弦、余弦、正切的定义； （2） 诱导公式；（3） 理解并掌握同角三角函数基本关系.例4.6 角α终边上一点(2sin 5,2cos5)P -，(0,2)απ∈，则α=（ ） A. 52π-B. 35π-C. 5D.5+2π 解析 解法一：排队法. 005557.3286.5≈⨯=，是第四象限角，2sin50x =<，2cos50y =-<，2r ==，α是第三象限角.选项C 中，5是第四象限角，选项D 中，5+2π是第一象限角，故排除C 、D ；选项B 中， ()cos cos 35cos5απ=-=-，与cos sin 5xrα==矛盾，排除B ，故选A.解法二：推演法.由解法一，35,2πθαπθ'=+=+，,(0,)2πθθ'∈（这样设的原因是cos sin5α=），cos cos()απθ'=+=cos θ'-，3sin 5sin()cos 2πθθ=+=-⇒cos cos θθ'-=-⇒cos cos θθ'=，,(0,)2πθθ'∈⇒352πθθ'==-， ⇒35522ππαπ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭故选A.变式1 已知角α终边上一点(2sin 2,2cos 2)P -，(0,2)απ∈，则α=（ ）A.2B.-2C.22π-D. 22π- 变式2 已知角α终边上一点22(2sin ,2cos )77P ππ-，则α=变式3 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=（ ） A. 45-B. 35-C. 35D. 45题型5 三角函数线及其应用 思路提示正确作出单位圆中正弦、余弦、正切的三角函数线 一，利用三角函数线证明三角公式 例4.7 证明（1）()sin -=sin παα， （2）sin -=cos 2παα⎛⎫⎪⎝⎭（3）31tan =-2tan παα⎛⎫+⎪⎝⎭解析 （1）如图4-9所示，角-πα与α的终边关于y 轴对称，MP MP '=⇒()sin -=sin παα. （2）如图4-10所示，角-2πα与α的终边关于直线y x =对称.OM M P ''=⇒sin -=cos 2παα⎛⎫⎪⎝⎭（3） 如图4-11所示，.2311tan =k =--2tan tan OT πααα⎛⎫+=⎪⎝⎭评注 用单位圆中的三角函数线证明诱导公式是新课标的要求，必须掌握，重点在(),,2ππααα±-±.在（1）证明中易得()cos -=-cos παα，，相除得()tan -=-tan παα，，在（2）证明 中易得cos -=sin 2παα⎛⎫⎪⎝⎭，相除得1tan =2tan παα⎛⎫-⎪⎝⎭.角α与-πα的终边关于终边（即y 轴）对称，角-2πα与α的终边关于终边所在的直线y x =轴对称.一般地，角α,β的终边关于终边所在直线2αβ+轴对称二.利用三角函数线比较大小 例4.8 ,42ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭，比较sin ,cos ,tan ααα的大小. 解析 如图4-12所示，,42ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭，在单位圆中作出α的正弦线MP ，余弦线OM 和正切线AT ，显然有OM<MP<A T,故cos sin tan ααα<<.评注 由本例可看出，三角函数线可直观、形象地处理三角函数中的大小比较问题变式1 求证：（1）当角α的终边靠近y 轴时，cos sin αα<及tan 1α>； （2）当角α的终边靠近x 轴时，cos sin αα>及tan 1α<；变式2 （1）α为任意角，求证：cos sin 1αα+>； （2）0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，比较sin ,cos ,tan ααα的大小 变式3 比较大小 （1）sin 2,sin 4,sin 6 （2）cos 2,cos 4,cos6（3）tan 2,tan 4,tan 6 变式4 1sin tan ()tan 22ππαααα>>-<< ，则α∈（） A. ,24ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ B. ,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 0,4π⎛⎫⎪⎝⎭D. ,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭三、利用三角函数线求解特殊三角方程例4.9 利用单位圆中的三角函数线求解下列三角方程： （1）1sin 22x =；（2）2cos 22x =；（3）tan 23x =.解析 （1）在单位圆中作为正弦为12的正弦线，如图4-13所示，得正弦为12的两条终边，即16πα=，256πα=，故226x k ππ=+或5226x k ππ=+，k Z ∈. 解得12x k ππ=+或512x k ππ=+，k Z ∈.（2）如图4-14所示14πα=，24πα=-，故224x k ππ=+或224x k ππ=-+，k Z ∈，解得8x k ππ=+或8x k ππ=-+，k Z ∈.（3）如图4-15所示，得13πα=，243πα=，公差为π，故23x k ππ=+，k Z ∈. 解得6x k ππ=+，k Z ∈.评注（1）sin 1α≤ ，cos 1α≤，tan x R ∈；（2）当1k <时，方程sin ,cos x k x k ==在[0,2)π有两解. 四、利用三角函数线求解特殊三角不等式例4.10利用单位圆，求使下列不等式成立 的角的集合. （1）1sin 2x ≤；（2）2cos 2x ≥；（3）tan 1x ≤.分析 这是一些较简单的三角函数不等式，在单位圆中，利用三角函数线作出满足不等式的角所在的区域，由此写出不等式的解集.解析 （1）如图4-16所示，作出正弦线等于12的角：5,66ππ，根据正弦上正下负，得在图4-16中的阴影区域内的每一个角均满足1sin 2x ≤，因此所求的角x 的集合为 51322,66xk x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭.（2）如图4-17所示，由余弦左负右正得满足2cos 2x ≥的角的集合为 22,44x k x k k Z ππππ⎧⎫-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭. （3）如图4-18所示，在[0,2]π内，作出正切线等于1的角5,44ππ：则在如图4-18所示的阴影区域内（不含y 轴）的每一个角均满足tan 1x ≤，因此所求的角的集合为,24x k x k k Z ππππ⎧⎫-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭.评注 解简单的三角不等式，可借助于单位圆中的三角函数线，先在[0,2]π内找出符合条件的角，再利用终边相同的角的表达式写出符合条件的所有角的集合，借助关于单位圆中的三角函数线，还可以比较三角函数值的大小.例4.11利用单位圆解下列三角不等式： （1）2sin 10α+>； （2）23cos 30α+≤； （3）sin cos αα>；（4）若02απ≤<，sin 3cos αα>，则则α∈（） A. ,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭ B. ,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭ C. 4,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭D. 3,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭解析 （1）由题意1sin 2α>-，令1sin 2α=-，如图4-19所示，在单位圆中标出第三、四象限角的两条终边，这两条终边将单位圆分成上、下两部分，根据正弦上正下负，取α终边上面的部分，按逆时针从小到大标出16πα=-，2766ππαπ=+=，故不等式的解集为 722,66k k k Z ππαπαπ⎧⎫-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭.（2）如图4-20所示，3cos α≤标出3cos α=的角在单位圆中第二、三象限的两条终边，这两条终边将单位圆分成左，右两部分，根据余弦左负右正，取α终边在左侧的部分，按逆时针从小到大标出1566ππαπ=-=，2766ππαπ=+=，.故不等式的解集为 5722,66k k k Z ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭. （3）sin cos αα>y x y x r r ⇒>⇒>.如图4-21所示，在单位圆中作出y x =所对的两个角14πα=，254πα=.这两个角的终边将单位圆分成上、下两部分.在上面的部分取2πα=，sin cos 22ππ>成立 ，故不等式的解集为522,44k k k Z ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭. 注 本题也可通过线性规划的知识直接判断出表示y x >的平面区域为如图4-21所示的阴影部分.（4）sin 3cos αα>，得33y x y x r r>⇒>，如图4-22所示，在单位圆中标出3y x =所对的角13πα=，243πα=.，.这两个角的终边把单位圆分为上、下两部分，因为02απ≤<，在上面的部分取2πα=，sin 3cos αα>成立 ，所以取α终边上面的部分，故不等式的解集为433ππαα⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭，故选C.评注 三角函数线的应用(1)证明 三角公式；(2)比较大小；(3)解三角方程；(4)求解三角不等式. 变式1 已知函数()3cos ,,()1f x x x x R f x =-∈≥若,则x 的取值范围（） A. ,3xk x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭ B. 22,3x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭ C. 5,66xk x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭D. 522,66x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭题型6 象限符号与坐标轴角的三角函数值思路提示正弦函数值在第一、二象限为正，第三、四象限为负；. 余弦函数值在第一、四象限为正，第二、三象限为负；. 正切函数值在第一、三象限为正，第二、四象限为负.例4.12（1）若()0,2απ∈，sin cos 0αα<，则α的取值范围是 ； （2）3tan 0sincos sincos 222ππππ+---= ； 解析：（1）由sin cos 0αα<得sin 0cos 0αα>⎧⎨>⎩或sin 0cos 0αα<⎧⎨<⎩，得α为第二象限角或第四象限角⇒α的取值范围是3,,222ππππ⎛⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）01(1)(1)12+-----=.变式1 sin 0α>是α为第一、二象限的（ ）A.充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 变式2 ，43sin,cos 2525αα==-,2α是第 象限角，α是第 象限角. 变式3若sin cos 1=-，则α的取值范围是 .变式4 已知tan cos 0αα<，则α是第（ ）象限角.A.一或三B. 二或三C.三或四D.一或四 变式5 若α为第二象限角，则tan2α的符号为变式6 若点(tan ,cos )P αα在第三象限，则角α的终边在第 象限角变式7 函数cos sin tan sin tan x x xy x cox x=++的值域为 . 题型7 同角求值-----条件中出现的角和结论中出现的角是相同的思路提示（1） 若已知角的象限条件，先确定所求三角函数的符号，再利用三角形三角函数定义求未知三角函数值.（2） 若无象限条件，一般“弦化切”. 例4.13 （1）已知3,22παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1sin 3α=-，cos α= , tan α=（2）已知tan α=2， 1. 3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,sin α= , cos α= 2.2sin cos 3sin 4cos αααα-+= ,3. 22sin 2sin cos 3cos αααα--= , （3）已知2sin cos αα-= 1. sin cos tan ααα+= ； 2. sin cos αα-= . 解析 （1）因为3,22παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭,cos 0,tan 0αα><,故cos α==.sin tan cos ααα==（2）1.因为3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0,cos 0αα<<，22sin tan cos sin cos 1ααααα⎧=⎪⎨⎪+=⎩， 得22sin 2cos sin cos 1αααα=⎧⎨+=⎩，得21cos 5α=.cos 5α=-,sin 5α=-2.无象限条件，弦化切.2sin cos 3sin 4cos αααα-+=2tan 122133tan 432410αα-⨯-==+⨯+3. 22sin 2sin cos 3cos αααα--=2222sin 2sin cos 3cos sin cos αααααα--=+22tan 2tan 3tan 1ααα--=+35- （3）无象限条件，弦化切.，两边平方，得()()2222sin cos 5sin cos αααα-=+222sin 4sin cos 4cos (sin 2cos )0αααααα⇒++⇒+=sin 2cos 0αα⇒+=,tan 20α+=⇒tan 2α=-.1. sin cos tan ααα+=22sin cos tan sin cos ααααα+=+2tan 12tan tan 15ααα+=-+2. 2sin cos αα-=()αϕ+=可知当x α=时，2sin cos x x -取最小值.()2sin cos sin 2cos 0x x x ααα='-=+=.2sin cos sin 2cos 0αααα⎧-=⎪⎨+=⎪⎩⇒cos 5sin αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，sin cos αα-=5-. 评注 本题给出同角求值的几种基本题型..（1）及（2）中的1体现了有象限条件的任意角三角函数与锐角三角函数的本质联系（只多了一个象限符号）；（2）中的2体现了无象限条件弦化切的解题策略.（3）中无象限条件，2sin cos αα-=()αϕ+=表示函数2sin cos y x x =-在处取得极小值，导数0x y α='=，故有更简便做法：()2sin cos sin 2cos 0x x x ααα='-=+=.如已知sin cos αα-=()0,απ∈，则tan α= .答案为-1，与本题（3）同理可解.变式1 若tan α=2，则2212sin cos cos sin αααα+=-=（ ） A. 13 B.3 C. 13- D.-3变式2 当x θ=时，函数sin 2cos y αα=-取得最大值，则cos θ= ； 例4.14 已知1sin cos 5αα+=-时，,22ππα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则tan α=（ ）A. 34-B. 43-C. 34D.- 43解析 解法一：已知角的象限条件，将方程两边平方得112sin cos 25αα+=12sin cos 025αα⇒=-<，,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，tan 0α<，排除C 和D.， sin 0,cos 01sin cos 05αααα<>⎧⎪⎨+=-<⎪⎩⇒sin cos ,αα>tan 1α>，故排除A ，故选B. 解法二：将方程两边平方得，()22221sin 2sin cos cos sin cos 25αααααα++=+ 2212sin 25sin cos 12cos 0αααα⇒++=212tan 25tan 120αα⇒++=43tan 34α⇒=--或由解法一知tan 1α>，得4tan 3α=-，故选B. 变式1 已知R α∈，sin 2cos αα+=，则tan 2α=（ ） A.43 B. 34 C. 34- D. 43- 变式2 已知3sin cos 8αα=，42ππα<<，则cos sin αα-=（ ）A. 12B. 12-C. 14D. 14-题型8 诱导求值与变形 思路提示（1）诱导公式用于角的变换，凡遇到与2π整数倍角的和差问题可用诱导公式，用诱导公式可以把任意角的三角函数化成锐角三角函数. （2）通过2,,2πππ±±±等诱导变形把所给三角函数化成所需三角函数.（3）2,,2παβππ±=±±±等可利用诱导公式把,αβ的三角函数化例4.15 求下列各式的值.（1）0sin(3000)-； （2）41cos 3π⎛⎫-⎪⎝⎭； （3）51tan 4π⎛⎫-⎪⎝⎭解析 （1）0sin(3000)-=0sin(8360120)sin120-⨯+=-000sin(18060)sin 602=--=-=-；（2）41cos 3π⎛⎫-⎪⎝⎭=411cos cos 14cos 3332ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（3）5151tan tan tan(13)tan 14444πππππ⎛⎫-=-=--== ⎪⎝⎭. 评注 利用诱导公式化简或求值，可以参照口决“负角化正角，大角化小角，化为锐角，再计算比较”.变式1 若()cos 2-3πα=，且,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则()sin -πα= ； 变式2 若3,22ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭，()3tan 74απ-=，则cos sin αα+=（ ） A. 15± B. 15- C.15 D. 75- 变式3 若cos-80°= k ,则tan 100°的值为（ ）A.B. D.变式4 已知1sin 64x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则25sin sin ()63x x ππ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭= ； 最有效训练题A. 15± B. 15- C. 15 D. 75-2.已知点33(sin ,cos )44P ππ落在角θ的终边上，且[]0,2θπ∈，则θ的值为（ ）A. 4πB. 34πC. 54πD. 74π3.若角α的终边落在直线0x y +==（ ）A. 2B. 2-C. 1D. 0 4.若角A 是第二象限角，那么2A 和2A π-都不是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5.已知sin -=cos ,cos -=sin 22ππαααα⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，对于任意角α均成立.若(sin )cos 2f x x =，则(cos )f x =（ ）A. cos2x -B. cos2xC. sin 2x -D. sin 2x6.已知02x π-<<，1cos sin 5αα+=-，则sin cos 1αα-+=（ ） A. 25- B. 25 C. 15 D. 15-7.已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若(4,)P y 是角θ终边上一点，且25sin 5θ=-，则y = .8.函数2lgsin 29y x x =+-的定义域为 .9.如图4-23所示，已知正方形ABCD 的边长为1，以A 为圆心，AD 长为半径画弧，交BA 的延长线于1P ，然后以B 为圆心，1BP 长为半径画弧，交CB 的延长线于2P ，再以C 为圆心，2CP 长为半径画弧，交DC 的延长线于3P ，再以D 为圆心，3DP 长为半径画弧，交AD 的延长线于4P ，再以A 为圆心，4AP 长为半径画弧，…，如此继续下去，画出的第8道弧的半径是 ，画出第n 道弧时，这n 道弧的弧度之和为 .10.在平面直角坐标系xOy 中，将点3,1)A 绕点O 逆时针旋转090到点B ，那么点B 的坐标为 ；若直线OB 的倾斜角为α，则sin 2α的值为 . 11.一条弦的长度等于半径r ，求： （1）这条弦所对的劣弧长；（2）这条弦和劣弧所围成的弓形的面积.12.已知001tan(720)3221tan(360)θθ++=+--. 求2221cos ()sin()cos()2sin ()cos (2)πθπθπθπθθπ⎡⎤-++-++⎣⎦--的值.。
任意角的正弦函数、余弦函数的定义
周期性
总结词
正弦函数和余弦函数都是周期函数，这意味 着它们的图像会重复出现。
详细描述
周期函数的定义是，如果存在一个非零常数 $T$，使得对于定义域内的所有$x$，都有 $f(x+T)=f(x)$，则称$f(x)$是周期函数， $T$是它的周期。对于正弦函数和余弦函数， 它们的周期是$2pi$。这意味着无论角度是 多少，正弦和余弦函数的值都会在一定的周 期内重复。
04
在$0^circ$到 $360^circ$之间，余弦 函数在$0^circ$、 $180^circ$处取得最大 值1和最小值-1。
正弦函数与余弦函数的比较
正弦函数和余弦函数有许多相似之处，如它们 都是周期函数，其值域也都为$[-1,1]$。
然而，它们在图像上呈现出不同的形态。正弦 函数的图像呈现正弦波的形状，而余弦函数的 图像呈现余弦波的形状。
正弦函数的周期性
正弦函数具有周期性，其周期 为2π。
在一个周期内，正弦函数呈 现出波形变化的特点，即随 着角度的增加，正弦值在-1
和1之间循环变化。
正弦函数的周期性是三角函数 的一个重要性质，在解决实际
问题中具有广泛的应用。
02
任意角的余弦函数定义
定义
1
任意角α的余弦函数定义为：cosα = x/r，其中x 是余弦函数在单位圆上对应的横坐标，r是单位圆 的半径。
乘积公式
总结词
乘积公式是正弦函数和余弦函数之间的另一种重要关 系，用于将两个角的正弦或余弦值的乘积转换为其他 角度的正弦或余弦值。
详细描述
乘积公式是三角函数中另一个重要的公式，它表示两个 角的正弦或余弦值的乘积可以通过已知的两个角的三角 函数值计算出来。具体来说，对于任意角α和β，有： sin α cos β=1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]；cos α cos β=1/2[cos(α+β)+cos(α-β)]；sin α sin β=1/2[cos(αβ)-cos(α+β)]。这些公式在解决实际问题时也非常有用， 例如在信号处理和振动分析等领域。
三角函数
三角函数（图：角θ的所有三角函数）三角函数（Trigonometric）是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。
它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。
通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。
另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。
现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。
它包含六种基本函数：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割。
由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。
三角函数在复数中有较为重要的应用。
在物理学中，三角函数也是常用的工具。
定义锐角三角函数定义如右图，当平面上的三点A、B、C的连线，AB、AC、BC，构成一个直角三角形，其中∠ACB为直角。
对于AB与AC的夹角∠BAC而言：（图：Rt△ABC）对边（opposite）a=BC斜边（hypotenuse）h=AB邻边（adjacent）b=AC基本函数英文缩写表达式语言描述正弦函数Sine sin a/h ∠A的对边比斜边余弦函数cosine cos b/h ∠A的邻边比斜边正切函数Tangent tan a/b ∠A的对边比邻边余切函数Cotangent cot b/a ∠A的邻边比对边正割函数Secant sec h/b ∠A的斜边比邻边余割函数Cosecant csc h/a ∠A的斜边比对边(注：tan、cot曾被写作tg、ctg，现已不用这种写法。
)罕见三角函数除了上述六个常见的函数，还有一些不常见的三角函数：函数名与常见函数转化关系正矢函数versinθ=1-cosθvercosinθ=1+cosθ余矢函数coversinθ=1-sinθcovercosinθ=1+sinθ半正矢函数haversinθ=(1-cosθ)/2havercosinθ=(1+cosθ)/2半余矢函数hacoversinθ=(1-sinθ)/2hacovercosinθ=(1+sinθ)/2外正割函数exsecθ=secθ-1外余割函数excscθ=cscθ-1任意角三角函数定义如图：在平面直角坐标系中设O-x为任意角α的始边，在角α终边上任取一点P（x，y），令OP=r.sinα=y/r cscα=r/ycosα=x/r secα=r/x [1]tanα=y/x cotα=x/y单位圆定义六个三角函数也可以依据半径为1中心为原点的单位圆来定义。
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任意角的正弦函数、余弦函数的定义
单位圆与周期性（1）
1、11αα-若角终边上一点的坐标为（，
），则角为 。
A.24
k ππ+
B. 24
k ππ- C. 4
k ππ
+
D. ,4
k k Z
ππ
-
∈其中
2、若cos 0
θ
<且sin 0
θ
>，则2
θ是第 象限角。
A.一
B.三
C.一或三
D.任意象限角
3、已知θ是三角形的一个内角，且sin 2
θ
=
，则角θ等于 。
A.
3
π B.
4
π C.
4
π或
6
π D.
4
π或
34
π
4、若三角形A B C 的两内角满足sin cos 0A B <，则三角形A B C 的形状 。
A.锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 锐角或直角三角形 5、已知角α终边过点(3,1)
M
-，则
c os sin αα
=
，
1c os α
=。
6、P 15a 8a a 0αα-≠已知角的终边上有一点（，），且，求的正弦值，余弦值。
7、2sin cos y x ααα=-已知角的终边在直线上，求，。
任意角的正弦函数、余弦函数的定义
单位圆与周期性（2）
1、若600 角的终边上有一点()4,a -，则a 的值为 。
A. B.
- C.
± D.
2、若sin cos 0θθ>，则θ在 。
A.第一、二象限
B. 第一、三象限
C. 第一、四象限
D. 第二、四象限
3、函数y
=的定义域是 。
A.(),212
k k k Z ππ
π
⎡
⎤+
+∈⎢⎥⎣⎦
B.
()2,212k k k Z
πππ⎡⎤
++∈⎢⎥⎣⎦
C.
(),12k k k Z
πππ⎡⎤
++∈⎢⎥⎣⎦
D.
()2,21k k k Z
ππ+∈⎡⎤⎣⎦
4、求下列函数的周期
3sin (2)6
y x T π=+=⑴ 1
(2)s i n 2y x T ==
(3)2sin (
)
36
x y T π=-
=
(4)2s i n (4
)9
y x T π
=
-=
5、求5sin 902cos 03sin 27010cos 180
+-+
的值。
6、sin(1320)cos 1110cos(1020)sin 750-+-
求的值。
7、,30c os =
sin 10
P
x x x θθθ≠已知角终边上一点（（））且，求的值。