《归纳与递推》配套练习题
递推考试题及答案
递推考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 递推关系式是描述序列中项与项之间关系的数学表达式，以下哪个选项不是递推关系式的特点？A. 递推关系式描述了序列中项与项之间的关系B. 递推关系式可以是线性的，也可以是非线性的C. 递推关系式只能用于描述有限序列D. 递推关系式可以包含序列中的前几项答案：C2. 在递推关系式中，如果一个序列的每一项都依赖于前一项或几项，这种关系被称为：A. 线性递推关系B. 非线性递推关系C. 直接递推关系D. 间接递推关系答案：A3. 以下哪个选项是递推关系式的基本组成部分？A. 初始条件B. 序列的项C. 递推公式D. 所有以上选项答案：D4. 在递推关系式中，如果一个序列的第n项只依赖于第n-1项，这种关系被称为：A. 一阶线性递推关系B. 二阶线性递推关系C. 三阶线性递推关系D. 四阶线性递推关系答案：A5. 递推关系式中的初始条件是指：A. 序列的第一项B. 序列的前几项C. 序列的任意一项D. 序列的最后一项答案：B二、填空题（每题2分，共10分）6. 递推关系式可以表示为：\(a_n = f(a_{n-1}, a_{n-2}, ..., a_{n-k})\)，其中\(k\)是序列的________。
答案：阶数7. 斐波那契数列是一个经典的递推关系式的例子，其递推公式为：\(F_n = F_{n-1} + F_{n-2}\)，其中\(F_1 = 1\)，\(F_2 = 1\)，这是一个________阶线性递推关系。
答案：二8. 如果一个递推关系式可以表示为：\(a_n = c_1a_{n-1} +c_2a_{n-2} + ... + c_ka_{n-k}\)，其中\(c_1, c_2, ..., c_k\)是常数，那么这个递推关系式被称为________递推关系。
答案：线性9. 递推关系式中的初始条件是解决递推关系式问题时必须给定的，它包括序列的前________项。
第2讲.归纳与递推.B版
2 3 6 (个)交点．这 6 个交点将第二个三角形的周边分成了 6 段，这 6 段中的每一段都将原来的每
一个部分分成 2 个部分，从而平面也增加了 6 个部分，即 a2 2 2 3 ． n 3 时，第三个三角形与前面两个三角形最多有 4 3 12 (个)交点，从而平面也增加了12 个部
（1）用 3 个形如“
”的方格覆盖 2 3 的方格（“
”）；有多少种不同的摆法?
（2）用 4 个形如“
”的方格覆盖 2 4 的方格（“
”）；有多少种不同的摆法?
（3）用 10 个形如“
”的方格覆盖 2×10 的方格（“
”）；有多少种不同
的摆法? 【分析】前两问可通过枚举验证，设 2 n 的棋盘有 an 种摆法（n 为正整数），明显 a1 1， a2 2 ， a3 3 ，
奥数--归纳递推与逆推试题
归纳递推与逆推一只青蛙在井底，每天白天爬上4米，晚上又滑下3米，这井有90米深。
那么爬上这口井的上面一共需要多少天？1. 1.一个数是20,现在先加30,再减20,再加30 ,再减20,反复这样操作,如果每加、减一次算两次操作，请问至少经过______次操作结果是500?2. 2.有一类自然数，其数码只能是2或者3，并且没有两个3是相邻的。
请问：满足这些条件的10位数共有______个？3. 3.有一个圆，其上有两个点将圆周分成两半，并且这两个点上写有数字1，我们进行一下的操作，第1步将两段圆弧对分，在这两个分点上写上相邻的两点上的数字之和，如此继续下去，问：第6步后，圆周上所有的点的数的和是______？有一段楼梯有10级台阶，规定每一步只能跨一级或者两级，问：要登上第十级台阶有多少种不同的走法？1. 1.从学校到少年宫有4条东西的马路和3条南北的马路相通，李楠从学校出发，步行到少年宫，学校在东南方而少年宫在西北方，走的路径最短的不同的走法有______种？2. 2.根据各个数之间的关系，在括号内填上一个恰当的数1，2，6，24，（），720；1，2，4，7，11，16，（）。
（分别回答以上两道题目，中间用一个空格隔开）3. 3.在2×8的棋盘每个格编号。
现在用8张1×2的长方形卡片去覆盖棋盘。
问：有多少种方法将棋盘完全盖住？一串数1，1，1，2，2，3，4，5，7，9，12，16，21，……称为帕多瓦数列，请问这个数列第14个数和第18个数分别是什么？1. 1.已知用一根线段能将一个矩形分成两部分，现在问：8条线段最多能将一个矩形分成______段？2. 2.仅由字母XY组成的长度为n的“单词”恰好有2^n个（因为每个位置都有2个选择），设这些单词中至少有两个X相连的有an个，比如XXYY，YXXX，XXXY等。
现在问a10=______3. 3.从边长为1的小正方形开始，以这个正方形的对角线为边做第二个正方形，再以第二个正方形的对角线做第三个正方形，如此下去，那么，第11个正方形的边长是_____？六年级六个班组织乒乓球单打比赛，每班派甲、乙两人参赛，根据规则每两人之间至多赛一场，且同班的两人之间不进行比赛。
奥数讲义计数专题：归纳与递推
华杯赛计数专题: 归纳与递推基础知识:1.递推的基本思想: 从简单情况出发寻找规律, 逐步找到复杂问题的解法。
2.基本类型: 上楼梯问题、直线分平面问题、传球法、圆周连线问题。
3.递推分析的常用思路: 直接累加、增量分析、从复杂化归简单。
例题：例1.一个楼梯共有10级台阶, 规定每步可以迈一级台阶或二级台阶.走完这10级台阶, 一共可以有多少种不同的走法？【答案】89种【解答】设n级台阶有an种走法, 则an=an-1+an-21级有1种走法；2级有（1+1和2）2种走法；3级有（1+1+1、2+1和1+2）3种走法；4级有3+2=5种走法；5级有3+5=8种走法；6级有5+8=13种走法；7级有8+13=21种走法；8级有13+21=34种走法；9级有21+34=55种走法；10级有34+55=89种走法例2.小悦买了10块巧克力, 她每天最少吃一块, 最多吃3块, 直到吃完, 共有多少种吃法？【答案】274种【解答】通过枚举法和递推法: 设n块糖有an种走法, 则an=an-1+an-2+ an-31块糖有1种吃法；2块糖有2种吃法； 3块糖有4种吃法； 4块糖有1+2+4=7种吃法； 5块糖有2+4+7=13种吃法； 6块糖有4+7+13=24种吃法； 7块糖有7+13+24=44种吃法； 8块糖有13+24+44=81种吃法；9块糖有24+44+81=149种吃法；10块糖有44+81+149=274种吃法。
例3.用 1×2的小方格覆盖 2×7的长方形, 共有多少种不同的覆盖方法？【答案】21种【解答】2×1的方格有1种盖法；2×2的方格有2种盖法；2×3的方格有2+1=3种盖法；2×4的方格有3+2=5种盖法；2×5的方格有3+5=8种盖法；2×6的方格有5+8=13种盖法；2×7的方格有8+13=21种盖法。
人教版高二上学期数学(选择性必修二)《4.4数学归纳法》同步测试题带答案
人教版高二上学期数学(选择性必修二)《4.4数学归纳法》同步测试题带答案一、单选题1．利用数学归纳法证明不等式1111()2321nf n ++++<-（2n ≥，且*n ∈N ）的过程，由n k =到1n k =+时，左边增加了（ ） A ．12k -项 B ．2k 项 C ．1k -项D ．k 项2．用数学归纳法证明：()()()1221121n n n ++++=++，在验证1n =成立时，左边所得的代数式是（ ）A ．1B ．13+C ．123++D ．1234+++3．用数学归纳法证明等式()()()3412332n n n +++++++=()N,1n n ∈≥时，第一步验证1n =时，左边应取的项是（ ） A ．1B ．12+C ．123++D ．1234+++4．用数学归纳法证明：11112321nn ++++<-，()N,1n n ∈≥时，在第二步证明从n k =到1n k =+成立时，左边增加的项数是（ ） A ．2kB ．21k -C ．12k -D ．21k +5．已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1111111122341242n n n n ⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+ ⎪-++⎝⎭时，若已假设n k =（2k ≥，k 为偶数）时命题为真，则还需要再证（ ） A ．1n k =+时等式成立 B ．2n k =+时等式成立 C ．22n k =+时等式成立 D ．()22n k =+时等式成立6．现有命题：()()()11*1112345611442n n n n n ++⎛⎫-+-+-++-=+-+∈ ⎪⎝⎭N ，用数学归纳法探究此命题的真假情况，下列说法正确的是（ ） A ．不能用数学归纳法判断此命题的真假 B ．此命题一定为真命题C ．此命题加上条件9n >后才是真命题，否则为假命题D ．存在一个无限大的常数m ，当n m >时，此命题为假命题 二、多选题7．用数学归纳法证明不等式11111312324++++>++++n n n n n 的过程中，下列说法正确的是（ ） A ．使不等式成立的第一个自然数01n = B ．使不等式成立的第一个自然数02n =C ．n k =推导1n k =+时，不等式的左边增加的式子是()()12122k k ++ D ．n k =推导1n k =+时，不等式的左边增加的式子是()()12223k k ++8．用数学归纳法证明不等式11111312324++++>++++n n n n n 的过程中，下列说法正确的是（ ） A ．使不等式成立的第一个自然数01n = B ．使不等式成立的第一个自然数02n =C ．n k =推导1n k =+时，不等式的左边增加的式子是()()12122k k ++ D ．n k =推导1n k =+时，不等式的左边增加的式子是()()12223k k ++三、填空题9．在运用数学归纳法证明()121*(1)(2)n n x x n +-+++∈N 能被233x x ++整除时，则当1n k =+时，除了n k =时必须有归纳假设的代数式121(1)(2)k k x x +-+++相关的表达式外，还必须有与之相加的代数式为 ． 10．用数学归纳法证明：()()122342n n n -+++++=（n 为正整数，且2n）时，第一步取n = 验证． 四、解答题11．用数学归纳法证明：()*11111231n n n n +++>∈+++N 12．数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立．证明分为下面两个步骤：1．证明当0n n =（0n ∈N ）时命题成立；2．假设n k =（k ∈N ，且0k n ≥）时命题成立，推导出在1n k =+时命题也成立．用模取余运算：mod a b c =表示“整数a 除以整数b ，所得余数为整数c ”．用带余除法可表示为：被除数＝除数×商＋余数，即a b r c =⨯+，整数r 是商．如7321=⨯+，则7mod31=；再如3703=⨯+，则3mod73=．当mod 0a b =时，则称b 整除a ．现从序号分别为0a 1a 2a 3a …n a 的1n +个人中选出一名幸运者，为了增加趣味性，特制定一个遴选规则：大家按序号围成一个圆环，然后依次报数，每报到m （2m ≥）时，此人退出圆环；直到最后剩1个人停止，此人即为幸运者，该幸运者的序号下标记为()1,f n m +．如()1,0f m =表示当只有1个人时幸运者就是0a ；()6,24f =表示当有6个人而2m =时幸运者是4a ；()6,30f =表示当有6个人而3m =时幸运者是0a ． (1)求10mod3；(2)当1n ≥时 ()()()()1,,mod 1f n m f n m m n +=++，求()5,3f ；当n m ≥时，解释上述递推关系式的实际意义；(3)由（2）推测当1212k k n +≤+<（k ∈N ）时，()1,2f n +的结果，并用数学归纳法证明．参考答案1．B【分析】根据给定条件，探讨n 从k 变到1k +不等式左边增加的部分即可得解. 【详解】当(2,N )n k k k *=≥∈时，不等式左边为11112321k++++- 当1n k =+时，不等式左边为11111111232122121k k k k +++++++++-+-增加的项为111111122121221221k k k k k k k++++=++++-++-，共有2k 项. 故选：B 2．C【分析】根据题意结合数学归纳法分析判断.【详解】当1n =时212113n +=⨯+=，所以左边为123++. 故选：C. 3．D【分析】由数学归纳法的证明步骤可得答案. 【详解】由数学归纳法的证明步骤可知： 当1n =时，等式的左边是1234+++. 故选：D ． 4．A【分析】列出增加的项，即可得解.【详解】从n k =到1n k =+成立时，左边增加的项为12k 121k + (1121)k +- 因此增加的项数是21012k k --+=.故选：A ． 5．B【分析】直接利用数学归纳法的证明方法分析判断即可.【详解】由数学归纳法的证明步骤可知，假设n k =（2k ≥，k 为偶数）时命题为真 还需要再证明下一个偶数，即2n k =+时等式成立. 故选：B 6．B【分析】直接用数学归纳法证明可得答案．【详解】①当1n =时，左边1=，右边1=，左边=右边，即1n =时，等式成立； ①假设()*1,n k k k =≥∈N 时，等式成立即1111123456(1)(1)442k k k k ++⎛⎫-+-+-++-=+-+ ⎪⎝⎭则当1n k =+时 121211123456(1)(1)(1)(1)(1)(1)442k k k k k k k k ++++⎛⎫-+-+-++-+-+=-++-+ ⎪⎝⎭211(1)1442k k k +⎛⎫=+-+-- ⎪⎝⎭ 2111(1)442k k ++⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭即当1n k =+时，等式成立． 综上，对任意n +∈N 等式1111123456(1)(1)442n n n n ++⎛⎫-+-+-++-=+-+ ⎪⎝⎭恒成立 所以ACD 错误. 故选：B ． 7．BC【分析】根据数学归纳法逐项分析判断. 【详解】当1n =时，可得113224<；当2n =时，可得111413342424+=>； 即使不等式成立的第一个自然数02n =，故A 错误，B 正确； 当n k =时，可得1111123k k k k k++++++++； 当1n k =+时，可得11111232122k k k k k k ++++++++++；两式相减得：()()1111212212122k k k k k +-=+++++ 所以n k =推导1n k =+时，不等式的左边增加的式子是()()12122k k ++，故C 正确，D 错误；故选：BC. 8．BC【分析】根据数学归纳法逐项分析判断. 【详解】当1n =时，可得113224<；当2n =时，可得111413342424+=>； 即使不等式成立的第一个自然数02n =，故A 错误，B 正确； 当n k =时，可得1111123k k k k k++++++++； 当1n k =+时，可得11111232122k k k k k k ++++++++++； 两式相减得：()()1111212212122k k k k k +-=+++++ 所以n k =推导1n k =+时，不等式的左边增加的式子是()()12122k k ++，故C 正确，D 错误；故选：BC.9．()22133(2)k x x x -+++【分析】按数学归纳法写出证明过程即可得答案.【详解】设当n k =时 ()121*(1)(2)k k x x k +-+++∈N 能被233x x ++整除所以1n k =+时 221(1)(2)k k x x +++++()12211(1)(2)(2)k k x x x x +-=+++++()1212211(1)(1)(2)(33)(2)k k k x x x x x x x +--=+++++++++ ()1212211[(1)(2)](33)(2)k k k x x x x x x +--=++++++++因此必须有代数式()22133(2)k x x x -++⋅+． 故答案为：()22133(2)k x x x -++⋅+10．2【分析】利用数学归纳法证明的步骤一：取证明的命题对象中的最小自然数，即可得出． 【详解】用数学归纳法证明：()()122342n n n -+++++=（n 为正整数，且2n ≥）时第一步取2n =验证． 故答案为：2. 11．证明见解析【分析】利用数学归纳法的证明步骤进行证明即可. 【详解】①当1n =时，左边11113123412=++=>，左边>右边，不等式成立； ①假设n k =时不等式成立，即11111231k k k +++>+++ 则当1n k =+时，左边()()111112313231311k k k k k =+++++++++++ ()()1111111123113231311k k k k k k k ⎛⎫=+++-+++ ⎪++++++++⎝⎭ ()()()22616111211132343191889189k k k k k k k k k ⎡⎤++>++-=+->⎢⎥+++++++⎢⎥⎣⎦即当1n k =+时，不等式也成立. 由①①可知，原不等式成立. 12．(1)10mod31= (2)()5,33f =，答案见解析(3)()()1,221mod 2kf n n ⎡⎤+=+⎣⎦，证明见解析【分析】（1）用模取余法可求结论；（2）由()()()6,35,33mod60f f =+= ()5,35f < 可求()5,3f ；从1n +个人中选出一个幸运者时，幸运者的序号下标为()1,f n m +，从n 个人中选出一个幸运者时，幸运者的序号下标为(),f n m ，后者的圆环可以认为是前者的圆环退出一人而形成的，可推得结论； （3）取1,2,3,4,5,6,7n =时，分别求得()2,20f = ()3,22f = …… ()8,20f =；可得当1212k k n +≤+<（k ∈N ）时()()1,221mod 2k f n n ⎡⎤+=+⎣⎦，进而利用数学归纳法证明即可．【详解】（1）因为10331=⨯+，所以10mod31=． （2）因为()()()6,35,33mod60f f =+=，且()5,35f < 所以()5,336f +=，故()5,33f =．当n m ≥时，递推关系式的实际意义：当从1n +个人中选出一个幸运者时，幸运者的序号下标为()1,f n m + 而从n 个人中选出一个幸运者时，幸运者的序号下标为(),f n m ．如果把二者关联起来，后者的圆环可以认为是前者的圆环退出一人而形成的 当然还要重新排序，由于退出来的是1m a -，则原环的m a 就成了新环的0a 也就是说原环的序号下标要比新环的大m ，原环的n a 就成了新环的n m a -． 需要注意，新环序号n m a -后面一直到1n a -，如果下标加上m ，就会超过n ． 如新环序号1n m a -+对应的是原环中的0a ，…，新环序号1n a -对应的是原环中的2m a -． 也就是说，得用新环的序号下标加上m 再减去()1n +，才能在原环中找到对应的序号 这就需要用模取余，即()()()()1,,mod 1f n m f n m m n +=++． （3）由题设可知()1,20f =，由（2）知：()()()2,21,22mod22mod20f f =+==； ()()()3,22,22mod32mod32f f =+==； ()()()4,23,22mod44mod40f f =+==； ()()()5,24,22mod52mod42f f =+==； ()()()6,25,22mod64mod64f f =+==； ()()()7,26,22mod76mod76f f =+==； ()()()8,27,22mod88mod80f f =+==；由此推测，当1212k k n +≤+<（k ∈N ）时 ()()1,221mod 2k f n n ⎡⎤+=+⎣⎦．下面用数学归纳法证明：1．当0112n +==时()()01,2021mod 2f ==，推测成立；2．假设当12k n t +=+（k ∈N ，t ∈N 且02k t ≤<）时推测成立即()()2,222mod 22k k kf t t t ⎡⎤+=+=⎣⎦．由（2）知()()()()21,22,22mod 21k k kf t f t t ++=++++()()22mod 21k t t =+++．（①）当021k t ≤<-时 ()()21,222221mod 2k k kf t t t ⎡⎤++=+=++⎣⎦； （①）当21k t =-时 ()21,20kf t ++=，此时1212k k t +++= 即()()1112,222mod 2k k k f +++=．故当121k n t +=++时，推测成立．综上所述，当1212k k n +≤+<（k ∈N ）时 ()()1,221mod 2kf n n ⎡⎤+=+⎣⎦．推测成立.【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有：（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答.。
数学归纳法与递推关系模拟试题
数学归纳法与递推关系模拟试题在学习数学中，数学归纳法和递推关系是两个非常重要的概念。
通过数学归纳法，我们可以证明一些与自然数有关的命题；而递推关系则可以帮助我们找到数列中的规律和通项公式。
以下是一些关于数学归纳法和递推关系的模拟试题，以帮助大家更好地理解和运用这两个概念。
题目1：证明：对于任意正整数n，1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 =n(n+1)(2n+1)/6题目2：已知数列{a_n}满足递推关系a_1 = 2，a_(n+1) = a_n + n (n ≥ 1)求证：a_n = (n^2 + 3n)/2题目3：已知数列{a_n}满足递推关系a_1 = 1，a_(n+1) = 2a_n (n ≥ 1)求证：a_n = 2^(n-1)题目4：证明：对于任意正整数n，1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2解答：题目1：我们使用数学归纳法来证明这个等式对于任意正整数n成立。
当n=1时，左边等式为1^2 = 1，右边等式为1(1+1)(2×1+1)/6 = 1，两边相等。
假设当n=k时等式成立，即1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + k^2 =k(k+1)(2k+1)/6。
那么当n=k+1时，左边等式为1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + k^2 + (k+1)^2，右边等式为(k+1)(k+2)(2(k+1)+1)/6。
我们需要证明左边等式等于右边等式。
根据假设，左边等式可化简为k(k+1)(2k+1)/6 + (k+1)^2 =(k+1)(k+2)(2k+1)/6。
经过化简，我们得到(k+1)(k+2)(2k+1)/6 = (k+1)(k+2)(2k+3)/6，两边相等。
由数学归纳法的原理可知，对于任意正整数n，1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = n(n+1)(2n+1)/6，得证。
题目2：我们使用数学归纳法来证明这个等式对于任意正整数n成立。
第7讲__归纳与推递[1]
![第7讲__归纳与推递[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/57e0c8c480eb6294dc886c0c.png)
第七讲归纳与递推1、早在公元前300多年前，古希腊著名科学家欧几里德就在他的旷世名著<几何原本》一书中记载了几何学中最基本、最引人人胜的一条著名定理：“三角形的内角和等于180度”，我们的问题是：①四边形的内角和等于多少度（见下图）?答：五边形的内角和等于多少度（见下图）?答：②进一步，如果把多边形的边数记作n，你能够归纳出n边形的内角和的计算公式吗？答：公式为____．③在家庭装修中，经常采用各种正多边形（注：正多边形就是各条边均相等且各内角也相等的多边形）的瓷砖搭配出各式各样的地面图案．小明家装修时采用了三种正多边形瓷砖铺地面，这三种型号的瓷砖可以围绕着地面上的一点既不重叠又不产生漏洞的拼接起来．其中一种型号是正方形，另一种型号是正六边形，你知道第三种型号的多边形瓷砖的边数是多少吗？请写出你的计算过程．2、一条直线分一个平面为两部分，二条直线最多分一张平面为四部分，问：五条直线最多分一个平面为多少部分？3、将一个圆形纸片用直线划分成大小不限的若干小纸片，如果要分成不少于50个小纸片，至少要画多少条直线？请说明．4、一个长方形把平面分成两部分，那么三个长方形最多把平面分成部分．5、n个平面最多钝将空间分成多少个部分？6、如下图所示，第一个三角形的面积是256，取三角形的3条边的中点，连成一个三角形，将中间的三角形挖去，得到第二个图，再将第二个图中每个三角形按照前一个做法得到第三个图，如此下去……，求第五个图形的面积是。
7、在一张长方形纸片内有n个点，加上四个顶点共，n+4个点，这些点中任意三点都不在同一条直线上，（1）n=4时，将长方形纸片剪开，最多可以剪成多少个以这些点为顶点的三角形（画出一个示意图即可作答）．(2)n=2010时，最多可以剪成多少个以这些点为顶点的三角形？并作简要说明．(注意：(1)、(2)中任意两个三角形不重叠）8、在一个圆周上标出一些数，第一次先把圆周二等分，在两个分点旁分别标上和，如图a所示；第二次把两段半圆弧二等分，在分点旁标上相邻两分点旁所标两数的和，如图b 所示，=＋；第三次把4段圆弧二等分，并在4个分点旁标上相邻两分点旁所标两数的和，如图c所示，1=＋，1=＋；如此继续下去，当第八次标完数以后，圆周上所有已标的数的总和是____．9、小凯家住二楼，从一楼到二楼的楼梯共有9阶，小凯上楼时每步可跨1阶、跨2阶、或跨3阶．请问他共有多少种不同的方法上楼？10、仅由数字1和2组成一些数，其中至少有两个数字1相连的数称为“学而思数”，如11，112，1211等都是“学而思数”，而12212就不是“掌而思数”．那么所有六位的学而思数共多少个？11、用1×2小长方形或1×3的小长方形覆盖2×6的方格网（如下图所示），共有不同的盖法。
初中数学专题4.4 递推和归纳署
4．4 递推和归纳署递推和归纳是处理与正整数n 相关的命题时常用的方法．其基本思想是 从小的n 推出下一个或者大的n 成立．强调前后者之间的联系．例1 已知有2n 个人，如果每两人一组，试问：有多少种不同的分组方式？【解】先取定一个人，他与其余21n -个人均可组成一组，故有21n -种方式；再考虑剩下22n -人，取定一人后，他有23n -种方式组队．依此类推，于是共有()()21231n n -⨯-⨯⨯即(21n -)！种不同的组队方式．例2 已知某台阶有10级，每次可以向上跨一级或两级台阶．试问：走完10级台阶有多少种走法？【解】不妨设走完n 级台阶有n a 种走法，则要走到第n 级，要么从第1n -级上一级，要么从第2n -级跨两级．于是可以得到递推关系式：12(n 3)n n n a a a --=+≥，而11a =，22a =，所以3123a a a =+=，4235a a a =+=，5348a a a =+=，，834a =，955a =，1089a =，故走完10级台阶有89种走法．例3 圆周上两个点将圆周分成两半，在这两点玉写上数1．然后将两段半圆弧等分土写上相邻两数之和；再把四段圆弧分别等分，仍然在分点上写上相邻两数之和．如此下去，问：第六步后，圆周上所有点之和是多少？【解】不妨设第n 步后，圆周上所有点之和为n a 考虑从第1n -步到第n 步的过程：添上去的新数都等于相邻两数之和，且原来的数都被计算了两遍，即新数之和为12n a -，所以11123n n n n a a a a ---=+=，又12a =，所以26a =，318a =，454a =，5162a =，6486a =，即第六步后，圆周上所有数字之和为486．例4 四人进行篮球训练，亙相传球．要求每人接球后马上传给别人，开始由甲开球，并作第一次传球．第五次传球后，球又回到甲手中．试问；有多少种不同的传球方式？【解】设第n 次传球后，球回到甲手中的传球方式有n a 种，考虑前1n -次传球，每次传球都有三种选择，故所有传球方式共有13n -种．注意到，只有第1n -次传球后，球不甲手上，那么第n 次才能传给甲，所以，()113.2n n n a a n --=-≥由10a =，可依次算得2133a a =-=，23236a a =-=，343621a =-=，454360a a =-=，所以共有60种可能的传球方式．【注】从上面的处理可看出只有恰当建立前后者之间的关系式才能方便地用递推方法解决．例5 n 条直线最多能把平面分成多少部分？【解】不妨设n 条直线最多能把平面分成n a 份，考虑第n 条直线，它最多与前面1n -条均相交，那么它被分成了n 段，被分成的每一条线段（或者射线），都可以将平面多分出一个部分，所以1n n a a n -=+，于是()121n n a a n --=+-，()232n n a a n --=+-，323a a =+，212a a =+，将上面1n -个式子相加，有123n a a n =++++，结合12a =，可得222232n n n a n ++=++++=，所以n 条直线最多可以将平面分成222n n ++个部分． 例6 用1或2两个数字写n 位数，其中任意相邻的两个位置不全为1．记这样的n 位数的个数为()f n ．求()10f 的值．【解】符合条件的n 位数可以分为如下两类：（1）首位为2，则以后的1n -位符合条件的个数为()1f n -；（2）首位为1，则第二位必为2，之后2n -位符合条件的个数为()2f n -，于是()()()12f n f n f n =-+-．且()12f =，()23f =，所以可以递推得到()10144f =．【注】这里与例2 —样，均为斐波那契数列．例7 已知有排成一行的10个方格，现用红、黄、蓝三色涂每个格子，每格涂一色，要求任意相邻的格子不同色，且首尾两格也不同色．试问：有多少种不同的涂法？【解】直接考虑一般情形，不妨设一行n 个格子的涂法有n a 种，那么显然13a =，26a =，36a =，当4n ≥时，将格子编号，第1个格与第1n -格不相邻．(1)．若第1n -格与第1格颜色不同，此时第n 格只有一种颜色可以选择，且前1n -个格子满足首尾两个不同色，故这种情况有1n a -种涂法．⑵若第1n -格与第1格颜色相同，此时第2n -格与第1格颜色不同，于是前2n -个格子满足首尾两个不同色，于是前2n -个格子有2n a -种涂法，而另一方面，第n 个格子此时有两种选择，于是这种情况有22n a -种涂法．故()1224n n n a a a n --=+≥，递推可知101022a =+．例8 空间n 个平面最多可将空间分成多少个部分？【解】显然，当这n 个平面满足以下条件时，所分割的部分数是最多的：1． 这n 个平面两两相交；2． 没有三个以上的平面交于一点；3． 这n 个平面的交线任两条都不平行．由于一般情况不易考虑，不妨从简单的、特殊的情况入手来寻找规律．设n 个平面分空间的部分数为n a ，易知：当1n =时，2n a =；当2n =时，4n a =；当3n =时，8n a =；当4n =时，情况有些复杂，我们以一个四面体为模型来观察，可知15n a =；从以上几种情况，很难找串般性的规律，而且当n 的值继续增大时，情况更复杂．那么，我们把问题再进一步简单化，将空间问题退化到平面问题：n 条直线最多可将平面分割成多少个部分？（这n 条直线中，任两条不平行，任三条不相交同一点），设n 条直线最多可将平面分割成n b 个部分，那么由例5的结论知()2122n b n n =++． 回到原问题，用类似思路来解决空间的问题．设k 个平面将空间分割成k a 个部分，再添加上第1k +个平面，这个平面与前k 个平面相交有k 条交线，这k 条交线，任意三条不共点，任意两条不平行，因此这第1k +个平面就被这k 条直线分割成k b 个部分．而这k b 个部分平面中的每一个，都把它所通过的那一部分空间分割成两个较小的空间．所以，添加上这第1k +个平面后就把原有的空间数增加k b 个部分．由此得递推关系式：1k k k a a b +=+，即1k k k a a b +-=．当1k =，2，，1n -时，我们得到如下1n -个关系式：211a a b -=，322a a b -=，11n n n a a b ---=，将这1n -个式子相加，得()1121n n a a b b b -=++++． 因为()2122n b n n =++且12a =，所以()()()()(()((){}()()()()()22222231112112222112222121211212121111561121111126266n a n n n n n n n n n n n n n n n n n ⎡⎤=+++++++-+-+⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤=++++-+++-+-⎣⎦⎣⎦++⎡⎤=++--+-=++-+=⎢⎥⎣⎦， 综上所述，n 个平面最多可将平面分割成()31566n n ++个部分． 练习 4．41．平面上5个圆最多能把平面分成多少部分？2．设1a ，2a ，，n a 这n 个数取值为0或1．记满足12a a ≤，23a a ≥，34a a ≤，45a a ≥的序列()12,,,n a a a 个数为()f n ．求()10f 的值．3．求满足以下条件的数列的个数：项数为6，每一项为0或1或2，并且0不能为2的前一项也不能为2的后一项．4．平面上有100条直线，其中20条互相平行．问这100条直线最多能将平面分成多少部分？5．已知：ABC 内部有2011个点，以顶点A 、B 、C 和这2011个点为顶点能把原三角形分割成多少个小三角形？73,36,41,x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩76,32,42,x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩79,28,43,x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 7．将五条边依次记为， ，，，．不妨设为红色，为黄色．那么若为红，则，．可以为(黄、蓝)或者(蓝、黄)；若为蓝，则，可以为(红、黄)或(红、k)或(黄、蓝)．所以当为红色，为黄色时，共有5种染色方法．而的染色办法还可以是(红、蓝），(黄、蓝），（黄、红），（蓝、红)，（蓝、黄)，且每一种情况都与上述情况是对称的．所以不同染方法共有'种．8． 分析：注意到当自变量变大时，函数值变化为，化简即为，所以若某一整数可以用以上形式表示的话，那么这个数加上6也可以用这个形式表示．所以只需枚举出1〜6中哪些数可以表示即可．令，易知．所以若整数可以表示为的形式，那么（为自然数）也可以表示为的形式．当时，；当时， ；当时，； 当时，；且． 82,24,44,x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩85,20,45,x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩a b c d e a b c d e c d e a b (),a b 6530⨯=x 12111246222x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦[][][]2466x x x +++()[][][]246f x x x x =++()162f x f x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭a ()f x 6a k +k ()f x 106x ≤<()0f x =1164x ≤<()1f x =1143x ≤<()2f x =1132x ≤<()3f x =162f ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以1~6中，有4个数可以表示为/的形式．而，所以共有个数可以表示成的形式．练习 4．41．一个圆最多分成两个部分；两个圆最多分成四个部分；三个圆最多分成八个部分．现在考虑第四个圆．要使分成的部分尽量多，第四个圆必须与前三个都有两个交点，因此有6个交点，将第四个圆周分成6段，每段圆弧都可以增加一个部分．所以四个圆最表可以分成份．同理，五个元最多可以分成个部分•【注】事实上，用例5的方法，也可以算出个圆最多可以将平面分成的份数的情形．这里．2．显然，，，．记当时，满足条件的序列数为，当时满足条件的序列数为．则．当为奇数时，有，；当为偶数时，有，．于是可以得到为奇数时，； 当为偶数时，．故为斐波那契数列，于是．3． 考虑一般情形，记满足条件且项数为的数列个数为．其中以0为末项的数列有个，以1为末项的数列有个，以2为末项的数列有个． 于是容易发现，，．所以（因为）而，，所以()f x 20046334=⨯33441336⨯=[][][]246x x x ++8614+=14+822=n ()22122232122n a n n n =+⨯+⨯+⨯++-⨯=-+()12f =()23f =()35f =0n a =()g n 1n a =()h n ()()()f n g n h n =+n ()()1h n h n =-()()1g n f n =-n ()()1g n g n =-()()1h n f n =-n ()()()()()()()1112f n g n h n f n h n f n f n =+=-+-=-+-n ()()()()()()()1121f n g n h n g n f n f n f n =+=-+-=-+-()f n ()10144f =n n f n a n b n c n n n n f a b c =++11n n n a a b --=+111n n n n b a b c ---=++11n n n c b c --=+1220n n n f f f ----=12222n n n n n b a b c f -----=++=13f =27f =6239f =4．首先，20条平行直线将平面分成了 21份．设另外加上条直线，连同这20条，将平面最多分成个部分．考虑加上第条直线时的情况．它与前是条有个交点，所以，，，，将上述后个式子相加，有．又，所以，故．习题解答 【注】这里与前面例题不同的地方仅仅在于递推开始时初始状态稍有改变，基本方法仍然相同．5．设内部有个点时能分割成个小三角形．考虑从个点到个点的过程．(1)如果第个点在某小三角形的内部，那么将这个点与小三角形三顶点相接，一分为三，故增加了两个；(2)如果第个点在某两个小三角形的公共边上，则这两个小三角形的顶点与这个点相连，分别将它们都一分为二，故也增加了两个．于是，且，所以．当 时，，即能把原三角形分割成4023个小三角形．k k a 1k +20k +20k +121k k a a k +=++()1211k k a a k -=++-()12212k k a a k --=++-21211a a =++1k -()()112112k k k a a k -=+-+142a =21412122k a k k =++804861a =n n a 1n -n n n 12n n a a -=+01a =21n a n =+2011n =20114023a =。
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《归纳与递推》配套练习题
一、简答题
1、请用递推方法求出甲、乙、丙、丁、戊五个人站成一排照相，共有多少种不同站法？
2、在平面上有5个三角形，最多把平面分割成多少部分？
3、将自然数1，2，3，…，按图排列，在“2”处转第一个弯，“3”处转第二个弯，“5”处转第三个弯，…。
问哪个数处转第十二个弯？
4、用“1×2”纸牌（如下左图）若干张，放在一个图形上，要求“不空、不超、不重叠”，满足这种条件的叫做一种“完全覆盖”。
例如，用“1×2”纸牌覆盖“2×2”图形（如下右图），有两种方法。
1
问用“1×2”纸牌，覆盖“2×8”图形（如下图）有多少种覆盖方法？
5、10级台阶，每次可以上1级或者2级，那么有多少种不同的走法？
6、平面上5条直线最多能把圆的内部分成几部分？
平面上24条直线最多能把圆的内部分成几部分？
7、
2
8、传说在印度的佛教圣地贝拿勒斯圣庙里安放着个一个黄铜板，板上插着三根宝石针，在第一根宝石针上，从下到上穿着由大到小的64片中心有孔的金片。
每天都有一个值班僧侣按下面规则移动金片：把金片从第一根宝石针移到其余的某根宝石针上。
要求一次只能移动一片，而且小片永远要放在大片的上面。
当时传说当64片金片都按上面的规则从第一根宝石针移到另一根宝石针上时，世界将在一声霹雳中毁灭。
所以有人戏称这个问题叫“世界末日”问题（也称为“Hanoi塔”问题），当然，移金片和世界毁灭并无联系，这只是一个传说而已，但说明这是一个需要移动很多很多次才能办到的事情。
那么究竟按上述规则移动完成64片金片需要移动多少次呢？
答案部分
一、简答题
1、
【正确答案】：120
【答案解析】：一个人站法：1种；
3
二个人站法：1×2＝2（种）；
三个人站法：1×2×3＝6（种）；
四个人站法：1×2×3×4＝24（种）；
五个人站法：1×2×3×4×5＝120（种）。
【答疑编号10235603】2、
【正确答案】：38
【答案解析】：2＋（1×3＋3）＋（3×3＋3）＋（5×3＋3）＝2＋6＋12＋18＝38
【答疑编号10235606】3、
【正确答案】：45
【答案解析】：1＋2×（1＋2＋3＋4＋5＋6）＝45
【答疑编号10235605】4、
【正确答案】：34
【答案解析】：设用“1×2”纸牌，覆盖“2×n”图形有a n种方法。
根据a n＝a n－2＋a n－1。
4
a1＝1，a2＝2，a3＝1＋2＝3，a4＝2＋3＝5，a5＝3＋5＝8，
a6＝5＋8＝13，a7＝8＋13＝21，a8＝13＋21＝34。
【答疑编号10235607】5、
【正确答案】：89
【答案解析】：a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8，
a6＝13，a7＝21，a8＝34，a9＝55，a10＝89。
【答疑编号10235604】6、
【正确答案】：16；301
【答案解析】：
5条直线最多把圆内分成：a5＝a4＋5＝1＋1＋2＋3＋4＋5＝16（部分）；24条直线最多把圆内分成：a24＝1＋1＋2＋3＋…＋24＝301（部分）。
【答疑编号10235602】7、
【正确答案】：16402.5
5
【答案解析】：
【答疑编号10235626】8、
【正确答案】：264－1
【答案解析】：设移动n片金片需要a n次，那么移动n＋1片金片，可以分为三步：
第一步：将n片金片移动到一个宝石针上，需要a n次；
第二步：在将最下面一个移动到另一个宝石针上，需要1次；
第三步：最后在将n片金片移动过来，需要a n次。
那么移动n＋1片金片需要2×a n＋1次。
依次类推，得
a n+1＝2×a n＋1
＝2×2×a n－1＋2＋1
……
6
＝1＋2＋4＋8＋ (2)
＝2n＋1－1
所以移动64片金片需要：a64＝264－1。
【答疑编号10235628】
7。