平行四边形
平行四边形是什么
平行四边形是什么
平行四边形是：在同一个二维平面内，由两组平行线段组成的闭合图形。
平行四边形一般用图形名称加四个顶点依次命名。
注：在用字母表示四边形时，一定要按顺时针或逆时针方向注明各顶点。
在欧几里德几何中，平行四边形是具有两对平行边的简单（非自相交）四边形。
平行四边形的相对或相对的侧面具有相同的长度，并且平行四边形的相反的角度是相等的。
相比之下，只有一对平行边的四边形是梯形。
平行四边形的三维对应是平行六面体。
定义：
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
1.平行四边形属于平面图形。
2.平行四边形属于四边形。
3.平行四边形属于中心对称图形。
平行四边形的判定方法5个
平行四边形的判定方法5个平行四边形是一种特殊的四边形，具有一些独特的特征和性质。
在几何学中，我们可以使用不同的方法来判定一个四边形是否为平行四边形。
本文将介绍五种常见的判定方法。
一、对边平行法：对边平行法是判定平行四边形最直观的方法之一。
根据该方法，如果一个四边形的对边两两平行，则可以判定它为平行四边形。
例如，如果一个四边形的上下两条边分别平行于另外两条边，则可以确定这个四边形为平行四边形。
二、对角线互相平分法：对角线互相平分法是另一种常见的判定平行四边形的方法。
根据该方法，如果一个四边形的对角线互相平分，则可以判定它为平行四边形。
例如，如果一个四边形的对角线AC和BD互相平分，那么这个四边形就是平行四边形。
三、同位角相等法：同位角相等法是判定平行四边形的另一种常见方法。
根据该方法，如果一个四边形的各对相邻内角相等，则可以判定它为平行四边形。
例如，如果一个四边形的内角A和内角C相等，内角B和内角D 相等，那么这个四边形就是平行四边形。
四、邻角互补法：邻角互补法是判定平行四边形的另一种方法。
根据该方法，如果一个四边形的邻角互补，则可以判定它为平行四边形。
例如，如果一个四边形的邻角A和邻角B互补，邻角C和邻角D互补，那么这个四边形就是平行四边形。
五、边比例法：边比例法是判定平行四边形的另一种常见方法。
根据该方法，如果一个四边形的对边边长成比例，则可以判定它为平行四边形。
例如，如果一个四边形的AB/CD = BC/AD，那么这个四边形就是平行四边形。
通过上述五种判定方法，我们可以准确地判断一个四边形是否为平行四边形。
在实际问题中，我们可以根据已知条件使用这些方法来判定几何形状的性质，进而解决相关问题。
需要注意的是，判定平行四边形时，以上五种方法并不是相互独立的，有时候我们需要结合使用多种方法来得出准确的结论。
此外，我们还可以通过计算角度、边长、对角线等具体数值来验证判定结果。
平行四边形作为几何学中的一个重要概念，具有广泛的应用。
平行四边形的概念
平行四边形的概念平行四边形是几何学中的一个基本概念，指的是具有两组平行边的四边形。
在本文中，我将详细介绍平行四边形的定义、性质以及相关定理。
一、定义平行四边形是指具有两组平行边的四边形。
其中，两对相对的边互相平行，并且两对相对的角相等。
根据这个定义，我们可以得出平行四边形的一些特点。
二、性质1. 对角线平行四边形的对角线互相平分，并且交点将对角线分成两条相等的线段。
这意味着平行四边形的对角线长度相等。
2. 边长平行四边形的相对边是平行的，因此相对边的长度相等。
如果一个平行四边形的两组对边长度分别为a、b和c、d，那么a=c，b=d。
3. 内角相对的内角是相等的，也就是说，平行四边形的内角和为360度。
4. 外角平行四边形的相对外角互补，也就是说，相对外角的和为180度。
5. 高度平行四边形的高度是指从底边到顶边的距离，对于一个平行四边形而言，底边与顶边之间的距离是相等的。
三、定理1. 平行四边形的三条特殊线段（中位线、高度、角平分线）互相平行，且等于底边的长度。
2. 平行四边形的对边平方和等于对角线平方和。
即：AC^2 + BD^2 = AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2。
3. 平行四边形的对边互补。
即：∠A + ∠C = 180°，∠B + ∠D = 180°。
四、例题解析假设ABCD是一个平行四边形，AB = 6 cm，BC = 8 cm，对角线AC = 10 cm。
求该平行四边形的周长和面积。
解:根据定理2，我们可以列出方程：AC^2 + BD^2 = AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2。
代入已知条件：10^2 + BD^2 = 6^2 + 8^2 + CD^2 + DA^2。
化简得：BD^2 = 100 - 100 = 0，CD^2 + DA^2 = 36 + 64 = 100。
由此可知BD = 0，CD^2 + DA^2 = 100，即CD = DA = 10。
平行四边形的性质
第九节平行四边形的性质【知识要点】1．平行四边形的有关概念（1）平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
（2）对边、对角、对角线的概念：平行四边形共有四条边，四个角，把不相邻的边称为对边，不相邻的角称为对角，因此平行四边形有两组对边，两组对角。
对角线：平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫对角线。
平行四边形有两条对角线，它们交于四边形内一点。
2．相关性质边：平行四边形的对边平行且相等。
角：平行四边形中对角相等，邻角互补，内角和是360°。
对角线：平行四边形的对角线互相平分。
3．平行线间的距离（1）两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等，这个距离称为平行线之间的距离。
（2）平行线之间的垂线段处处相等。
4. 平行四边形的面积公式：S=底×高【典型例题】例1 在平行四边形ABCD中（1）若∠A=40°，则∠B= ，∠C= ，∠D= 。
（2）若∠A－∠B=80°，则∠A= ，∠B= 。
（3）若∠A+∠C=220°，则∠A= ，∠B= 。
（4）若周长为44cm，AB－BC=2cm，则CD= ，AD= 。
灵活运用平行四边形性质进行边长、周长计算例2 如图，四边形ABCD为平行四形，∠A+∠C=80°，□ABCD的周长为40cm，且AB－BC=2cm，求□ABCD 各边长和各内角的度数。
例3 如图，四边形ABCD是平行四边形，∠DAB:∠ABC=1:3，AB=4，BD与AC相交于O，且BD⊥AB，求AD，BC和AC的长。
利用平行四边形中对角线与边长的关系求取值范围例4 如图，□ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于O 点，若AC=8，BD=6，则边AB 长的取值范围为（ ） A ．1﹤AB ﹤7 B ．2﹤AB ﹤14 C ．6﹤AB ﹤8D ．3﹤AB14灵活运用平行四边形的面积公式计算例5 小强家承包了一块苗圃用来养花。
平行四边形知识点总结
平行四边形知识点总结平行四边形是几何中的一种特殊的四边形，具有许多独特的性质和特点。
在学习几何学的过程中，了解平行四边形的各种知识点是非常重要的。
本文将对平行四边形的定义、性质、判定条件、相关定理等知识点进行总结，希望对读者们有所帮助。
一、定义平行四边形是指具有两对对边分别平行的四边形。
换句话说，如果一个四边形的两对对边分别平行，则这个四边形就是平行四边形。
在平行四边形中，相邻的两条边互相平行，而对角线长相等。
此外，平行四边形是菱形和矩形的特殊情况。
二、性质1. 对边平行性：平行四边形的两对对边分别平行。
2. 对角相等性：平行四边形的对角相等，即相对的两个角相等。
3. 交叉角相等性：平行四边形的交叉角相等，即相对的两个对边之间的角相等。
4. 相邻角补角性：平行四边形的相邻角互为补角。
5. 对角和：平行四边形的对角之和为180度。
6. 对角线长相等：平行四边形的对角线长相等。
7. 重心：平行四边形的对角线交点是平行四边形的重心。
8. 对角线相交：平行四边形的对角线彼此相交于中点。
以上是平行四边形的一些基本性质，在解题过程中，可以根据这些性质来判断和推理。
三、平行四边形的判定条件1. 两对对边分别平行根据平行四边形定义可知，平行四边形的判定条件就是具有两对对边分别平行。
2. 对角线长相等对于一个四边形，如果其对角线长相等，则可以判定为平行四边形。
3. 对角相等如果一个四边形的对角相等，则可以判定为平行四边形。
以上是平行四边形的判定条件，可以根据这些条件来判断一个四边形是否为平行四边形。
四、相关定理在学习平行四边形的过程中，还有一些相关定理也是非常重要的。
以下是一些常见的相关定理：1. 单位法则：平行四边形的对边平行，可以利用单位法则进行求解。
2. 等边平行四边形：如果一个四边形的四条边长度相等，则这个四边形是等边平行四边形。
3. 等腰平行四边形：如果一个四边形的两对对边分别平行且具有相等的对边，则这个四边形是等腰平行四边形。
平行四边形专题详解
平行四边形专题详解18.1 平行四边形知识框架{基础知识点{ 平行四边形的定义平行四边形的性质平行四边形的判定定理三角形中位线定理典型题型{利用平行线的性质求角度平行线间距离的运用平行四边形的证明难点题型{平行四边形间距离的应用平行四边形有关的计算平行四边形的有关证明一、基础知识点知识点1 平行四边形的定义1）平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形。
平行四边形用“▱”表示，平行四边形ABCD 表示为“▱ABCD ”，读作“平行四边形ABCD ”注：只要满足对边平行的四边形都是平行四边形。
矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形 2）平行四边形的高：一条边上任取一点作另一边的垂线，该垂线的长度称作平行四边形在该边上的高。
3）两条平行线之间的距离：一条直线上任一点到另一直线的距离。
平行线间距离处处相等。
例1.如图，AB ∥EG ，EF ∥BC ，AC ∥FG ，A ，B ，C 分别在EF ，EG 上，则图中有 个平行四边形，可分别记作 。
例2.如图，▱ABCD 中，DE ⊥AB ，BF ⊥CD ，垂足分别为E ，F ．求证：BE=DF 。
例3.如图，a∥b，AB∥CD，CE⊥b，FG⊥b，点E，G为垂足，则下列说法错误的是（）A.AB=CDB.CE=FGC.直线a，b之间的距离是线段AB的长D.直线a，b之间的距离是线段CE的长知识点2 平行四边形的性质平行四边形的性质，主要讨论：边、角、对角线，有时还会涉及对称性。
如下图，四边形ABCD是平行四边形：1）性质1（边）：①对边相等；②，即：AB=CD，AD=BC；AB∥CD，AD∥BC2）性质2（角）：对角相等，即：∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC3）性质3（对角线）：对角线相互平分，即：AO=OC，BO=OD注：①平行四边形仅对角线相互平分，对角线不相等，即AC≠BD（矩形的对角线才相等）；②平行四边形对角相等，但对角线不平分角，即∠DAO≠∠BAO（菱形对角线才平分角）4）性质4（对称性）：平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形。
平行四边形公式大全
平行四边形公式大全平行四边形是一种特殊的四边形，它具有两组对边分别平行且相等的性质。
在几何学中，我们经常需要计算平行四边形的各种属性，因此了解平行四边形的公式是非常重要的。
在本文中，我们将为您详细介绍平行四边形的各种公式，希望能为您的学习和工作提供帮助。
1. 周长公式。
平行四边形的周长可以通过以下公式来计算：周长 = 2 (a + b)。
其中，a和b分别为平行四边形的相邻边的长度。
这个公式非常简单，只需要将相邻边的长度相加，然后乘以2即可得到平行四边形的周长。
2. 面积公式。
计算平行四边形的面积需要使用以下公式：面积 = 底边长高。
其中，底边长为平行四边形的一条底边的长度，高为平行四边形的高度。
如果已知平行四边形的底边长和高，直接相乘即可得到面积。
3. 对角线长度公式。
平行四边形的对角线长度可以通过以下公式计算：对角线长度 = √(a² + b² + 2abcosθ)。
其中，a和b分别为平行四边形的相邻边的长度，θ为这两条边之间的夹角。
这个公式利用了余弦定理，可以帮助我们快速计算出平行四边形的对角线长度。
4. 高公式。
如果已知平行四边形的底边长和面积，可以使用以下公式来计算其高度：高 = 面积 / 底边长。
这个公式非常实用，可以在不知道平行四边形高度的情况下，通过已知的底边长和面积来计算出高度。
5. 内角公式。
平行四边形的内角可以通过以下公式来计算：内角 = 180°θ。
其中，θ为平行四边形的一个内角。
由于平行四边形的对边平行且相等，所以相邻内角的补角也是相等的。
6. 外角公式。
平行四边形的外角可以通过以下公式来计算：外角 = 180°内角。
利用这个公式，我们可以快速计算出平行四边形的外角大小。
总结。
通过以上介绍，我们了解了平行四边形的周长、面积、对角线长度、高度、内角和外角的计算公式。
这些公式在实际应用中非常有用，可以帮助我们快速准确地计算出平行四边形的各种属性。
平行四边形所有公式大全
平行四边形所有公式大全一、基本概念1. 平行四边形的定义平行四边形是一个具有两组对边平行的四边形。
即四边形的两对对边都是平行的。
2. 平行四边形的性质（1）对边相等：平行四边形的对边长度相等。
（2）对角线互相平分：平行四边形的对角线互相平分，即对角线互相平分对角。
3. 平行四边形的面积公式平行四边形的面积公式为：S = 底边 × 高。
4. 平行四边形的周长公式平行四边形的周长公式为：P = 2 × (底边 + 侧边)。
5. 平行四边形的对角线公式平行四边形的对角线长度公式为：d = √(a^2 + b^2 + 2abcosθ)。
其中a和b为平行四边形的两条对边的长度，θ为它们之间的夹角。
以上是平行四边形的一些基本概念和公式，下面我们将分别介绍其面积、周长和对角线的详细计算方法。
二、平行四边形的面积计算平行四边形的面积计算方法非常简单，只需要用底边乘以高即可。
例如，如果一个平行四边形的底边长为5cm，高为3cm，则其面积为：S = 5cm × 3cm = 15cm²。
三、平行四边形的周长计算平行四边形的周长计算方法也很简单，只需要将底边和侧边的长度相加后乘以2即可。
例如，如果一个平行四边形的底边长为5cm，侧边长为3cm，则其周长为：P = 2 × (5cm + 3cm) = 16cm。
四、平行四边形的对角线计算平行四边形的对角线长度可以通过两对对边的长度和它们之间的夹角来计算。
具体计算公式为：d = √(a^2 + b^2 + 2abcosθ)。
其中a和b为平行四边形的两条对边的长度，θ为它们之间的夹角。
下面我们将通过一个例子来演示平行四边形对角线长度的计算方法。
假设平行四边形的两对对边分别为5cm和8cm，夹角为60°，则对角线的长度为：d = √(5^2 + 8^2 +2×5×8×cos60°) = √(25 + 64 + 80) = √(169) = 13cm。
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课题：19.1.1平行四边形的性质（一）
3课时主备人：朱运玉
学习目标：1、理解平行四边形的定义及有关概念；
2、能根据定义探索并掌握平行四边形的对边相等、对角相等的性质；
3、能根据平行四边形的性质进行简单的计算和证明；
学习重点：平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质；
学习难点：如何添加辅助线将平行四边形问题转化为三角形问题解决的思想方法；
课前预习：预习课本83-84页，完成问题：
1、叫平行四边形。
2、根据平行四边形的定义及相关知识探究平行四边形元素之间的关系，得平行
四边形性质定理1、2：
性质1：平行四边形邻角，对角。
性质2：平行四边形两组对边分别且。
3、用以前学过的知识证明：
4、数学语言：
学习过程：
一、知识回顾：（解决课前预习的问题）
二、题型讲解：
例题：（1）在平行四边形ABCD中，∠A=50°，求∠B、∠C、∠D的度数。
（2）在平行四边形ABCD中，∠A=∠B+40°，求∠A的邻角的度数。
（3）在平行四边形ABCD中，若∠A：∠B=2：3，求∠C、∠D的度数。
（4）平行四边形的两邻边的比是2：5，周长为28cm ，求四边形的各边的长。
（5）在平行四边形ABCD 的周长为36米，其中AB 长8米，求其它三条边的长各是多少？
三、互助提高：
1、如图，AD ∥BC ，AE ∥CD ，BD 平分∠ABC ，
求证AB=CE
2、如图，在
中，AE=CF ，求证AF=CE
四、总结提升：
课题：19.1.1平行四边形的性质（二）
图（5）C 图（6）
3课时主备人：朱运玉
学习目标：1、理解平行四边形中心对称的特征，掌握平行四边形对角线互相平分的性质．
2、能运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题和简单的证明题．
3、培养学生的推理论证能力和逻辑思维能力．
学习重点：理解平行四边形中心对称的特征，掌握平行四边形对角线互相平分的性质
学习难点：1、能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题，和简单的证明题．
2、培养学生的推理论证能力和逻辑思维能力．
课前预习：预习课本85页，完成问题：
【探究】：
请学生在纸上画两个全等的ABCD和EFGH，并连接对角线AC、BD
和EG、HF，设它们分别交于点O．把这两个平行四边形落在一起，在点O
180，观察它还和EFGH重合吗？
处钉一个图钉，将ABCD绕点O旋转
你能从子中看出前面所得到的平行四边形的边、角关系吗？进一步，你还
能发现平行四边形的什么性质吗？
学习过程：
一、知识回顾：
由上面的探究你能得到什么【结论】：
1、（1）平行四边形是对称图形，是对称中心；
（2）平行四边形的对角线互相．
2、用以前学过的知识证明性质定理3：
3、性质定理3的数学语言：
二、题型讲解：课本85页例题讲解
三、互助提高：
已知：如图ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与AB、CD分别相交于点E、F．
求证：OE＝OF，AE=CF，BE=DF．
四、课后测评：
1．在平行四边形中，周长等于48，
① 已知一边长12，求各边的长： ；
② 已知AB=2BC ，求各边的长： ；
③ 已知对角线AC 、BD 交于点O ，△AOD 与△AOB 的周长的差是10，求各边的
长： 。
2．如图，ABCD 中，AE ⊥BD ，∠EAD=60°，AE=2cm ，AC+BD=14cm ，则△OBC 的周
长是____ ___cm ．
3．ABCD 一内角的平分线与边相交并把这条边分成cm 5，cm 7的两条线段，则ABCD
的周长是__ ___cm ．
五、总结提升：。