随机微分方程的数值求解方法及其在梁随机弯曲问题上的应用

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第二章 基于 K-L 分解的随机微分方程解法
本章探讨一种基于 K-L 分解将随机微分方程转化为确定性微分方程的方法。 考虑简单的一维二阶椭圆形随机微分方程， 通过 K-L 分解使其随机系数 a ( x, ω ) 由
N KL 个独立随机变量表达，从而将其转化成确定性微分方程。
ϕ (t ) = λ ∫ R(t , s )ϕ ( s)ds
a
b
(2.4)
的特征根， ϕ k ห้องสมุดไป่ตู้t ) 为相应的特征向量， R (t , s ) = Eξ t ξ s 。 证明 利用积分方程中的 Mercer 定理，可得
R (t , s ) = ∑
ϕ k (t )ϕ k ( s ) ( λ k > 0) λk k =1
Λ
(2.2)
Karhunen 定理有广泛的应用，我们来介绍几个有用的结果：
定理 2.2[24] 设 ξ t , a ≤ t ≤ b 是实均方连续的随机过程 ( Eξ t ≡ 0) ，则可将 ξ t 展成
ξt = ∑
ϕ k (t ) zk λk k =1
∞
(2.3)
其中 {z k }为实随机变量， Ez k = 0 ， Ez k z l = δ k ,l ， λ k 为积分方程
§2.1 概率空间的基本知识 引入概率空间， (Ω, F , P) ，其中 Ω, F , P 分别为：随机事件的集合， Ω 的 子集上的 σ -代数，以及概率测度[16]。 如果 Z 是 (Ω, F , P) 中一个实的随机变量，且 Z ∈ L1 (Ω) ，我们记它的期望为：
E ( Z ) = ∫ E ( Z ) = ∫ Z (ω )dP (ω ) = ∫ zdµ ( z )
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机函数和输入数据利用不同的正交多项式展开并作内积，根据正交多项式的性 质，将非确定性问题转化为确定性问题。 第四章给出了经典梁弯曲问题的数学模型[23]。 第五章将对带随机参数的梁弯曲模型进行研究，试图利用第二、三章的两种 方法分别将这一非确定性问题转化为确定性问题。 以便利用已有的有限元方法或 者差分方法等数值求解方法来解决已转化的确定性问题。
∞
(2.5)
其中 ϕ k (t ) ， λ k 由(2.4)式所决定。 令
ϕ k (t ) k , whenλ = k (k = 1, 2, Λ) f (t , λ ) = λ k 0, others
学位论文作者签名：陈欣 日期：2007 年 1 月 24 日
指导教师签名：黄建国 日期：2007 年1 月 24 日
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随机微分方程的数值求解方法 及其在梁随机弯曲问题上的应用 摘 要
梁（杆件）是工程上弹性结构的重要组成部分，梁在外力作用下发生弯 曲形变。 对于梁弯曲模型的数值解研究是科学计算及工程领域有理论意义和实用 价值的问题。 本文主要考虑具有随机抗弯刚度的经典梁弯曲问题的数值解法， 它可以用具 有随机参数的一维四阶偏微分方程来刻画， 因此本文首先介绍了具有随机参数的 随机微分方程的两种有效解法。一种是利用随机过程的 Karhunen-Loeve 展开将 随机问题转化成高维的确定性问题来求解。 另一种是通过随机过程的广义多项式 混沌展开，再利用多项式正交的性质，将随机微分方程转化成确定性的方程进行 求解。然后利用这两种方法来讨论梁随机弯曲问题的求解思路。给出了基于 Karhunen-Loeve 展开求解随机梁问题的一些理论上的分析， 而鉴于此方法只能很 好的求解具有服从高斯分布的随机参数的随机梁问题， 我们给出了用广义多项式 混沌(Askey Chaos)将该问题转化成确定性微分方程的具体算法。
学位论文作者签名：陈欣 日期：2007年 1 月 24 日
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Λ
(2.1)
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其中 Λ ∈ B1 ， dF 是可测空间 (Λ, B (Λ)) 的有限测度， F (Λ) < +∞ ，则必存在一个 定义在 (Λ, B (Λ ), F ) 上的随机正交测度 Z (•), • ∈ B (Λ ) 使得
ξ t = ∫ f (t , λ )dZ (λ ), t ∈ T
R
§2.2
Karhunen 定理及其应用
定理 2.1 (Karhunen)[24] 设 {ξ t , t ∈ T }是具有二阶矩的过程 ( Eξ t ≡ 0) ，其协方差 函数 Eξ t ξ s = R(t , s ) 可表为：
R (t , s ) = ∫ f (t , λ ) f ( s, λ )dF (λ ), t , s ∈ T
KEY WORDS: Stochastic PDE, K-L Expansion, Polynomials Chaos, Wiener-Askey Theory, Orthogonal Polynomials
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第一章 绪论
许多实际工程应用问题都可以归结为微分方程的定解问题， 而近些年来伴随 着科学计算的飞速发展，微分方程的数值求解方法也已发展的很完善，例如差分 方法、有限元方法和边界元方法等。但其基本前提是微分方程模型中的参数必须 是确定的。而在工程实践中，特别是在复杂系统的建模过程中，很多物质的材料 系数和几何性质都是不确定的，这些不确定性导致了参数的随机性，从而使得描 述原问题的微分方程成为随机微分方程(参见[7-9,12,14,18])。这类方程在生物技 术、流体力学、固体力学、海洋科学、金融学、经济学等各个学科领域中均有广 泛的应用。 梁（杆件）是工程上弹性结构的重要组成部分。梁在外力作用下发生弯曲形 变， 对于梁弯曲模型的研究是计算数学以及工程领域有理论意义和实用价值的问 题[23]。 本文主要考虑具有随机抗弯刚度的经典梁弯曲问题的数值解法， 它可以用具 有随机参数的一维四阶偏微分方程来刻画， 因此我们首先来介绍具有随机参数的 随机微分方程的两种有效解法。一种是利用随机过程的 Karhunen-Loeve 展开将 随机问题转化成高维的确定性问题来求解(参见[4])。 另一种是通过随机过程的广 义多项式混沌展开，再利用多项式正交的性质，将随机微分方程转化成确定性的 方程进行求解(参见[22])。然后我们用这两种方法来讨论随机梁问题的求解。给 出了基于 Karhunen-Loeve 展开求解随机梁问题的一些理论上的分析，而鉴于此 方法只能很好的求解具有服从高斯分布的随机参数的随机梁问题， 我们给出了用 广义多项式混沌展开求解该问题的具体算法。 本文的主要内容如下： 第一章主要介绍了本文的研究内容和已有的研究方法。 第二章中将介绍基于 Karhunen-Loeve 理论的方法([4])，利用 KL 分解，将一 从而将非确 维椭圆边值问题的随机系数 a ( x, ω ) 由 N KL 个独立随机变量表达出来， 定性问题转化为一个确定性的问题。同时，考虑到数值实验的实际情况，我们将 选取尽可能小的 N KL ，使展开项仍符合精度的要求。 第三章我们将介绍基于 Wenier-Askey 理论的方法([22])，根据不同分布的随
Ω Ω R
式中的 µ 是 Z 的分布概率测度，对于任意的 R 中的 Borel 集， µ 可以表示为：
µ ( B) = P −1 ( Z −1 ( B))
假设 µ ( B) 关于 Lebesgue 测度绝对连续，则存在 Z 的一个密度函数，ρ : R → R + ， 使得：
E[ Z ] = ∫ zρ ( z )dz
ABSTRACT
Beam is one of the most important components of elastic structures. A beam will result in the deformation of bending when it is applied to a vertical force. The numerical solution for the beam bending problem is of theoretical and practical importance in the fields of scientific computing and engineering applications. In this thesis, we will focus on the numerical solution of the beam bending problem with stochastic rigidity, which is governed by a fourth-order differential equation in 1D with stochastic coefficient. We first review two effective methods for solving such kind of problems: One is based on the theory of Karhunen-Loeve (K-L) expansion, converting the problem of uncertainty to a set of deterministic problems in higher dimensions; the other is based on extensions of Wiener’s polynomial chaos, also converting the problem of uncertainty into the related deterministic problem with the help of the properties of orthogonal polynomials. Afterwards, we use the two methods to solve the stochastic beam bending problem. Numerical analysis is developed for the method involving the K-L expansion, which is particularly effective when the noise in the parameter meets Gauss distribution. In addition, for the general distribution case, the method with Wiener-Askey Chaos theory is discussed.