二次函数的应用--确定表达式

二次函数的应用
专题一： 待定系数法确定二次函数
已知一个二次函数的图象过点（0，1）， 它的顶点坐标是（8，9），求函数解析式 时应设那种二次函数形式?
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顶点式：y=a(x-h)2+k
y=a(x-8)2+9
显而易见：顶点式


已知函数的图象是以点（2，3）为顶点的抛 物线，并且这个图象通过点（3，1），求这 个函数的解析式。 已知某二次函数当x＝1时，有最大值－6，且 图象经过点（2，－8），求此二次函数的解 析式。
二次函数的应用
专题三： 二次函数的最值应用题
最值应用题——面积最大


某工厂为了存放材料，需要围一个周长 160米的矩形场地，问矩形的长和宽各取 多少米，才能使存放场地的面积最大。 窗的形状是矩形上面加一个半圆。窗的 周长等于6cm，要使窗能透过最多的光线， 它的尺寸应该如何设计？
A
O D
B
C
最值应用题——面积最大
最值应用题——销售问题

某商场以每件42元的价钱购进一种服装，根据 试销得知这种服装每天的销售量t（件）与每 件的销售价x（元/件）可看成是一次函数关系： t＝－3x＋204。 写出商场卖这种服装每天销售利润y（元） 与每件的销售价x（元）间的函数关系式； 通过对所得函数关系式进行配方，指出商场 要想每天获得最大的销售利润，每件的销售 价定为多少最为合适？最大利润为多少？


写出结论。
求y关于x的函数关系式，并注明x的取值范围。
将上面所求出的函数配方成顶点式，写出顶点坐标。 并指出单价定为多少元时日均获利最多，是多少？
解函数应用题的步骤:

设未知数(确定自变量和函数); 找等量关系,列出函数关系式;

化简,整理成标准形式(一次函数、二次函数 等); 求自变量取值范围；
利用函数知识，求解（通常是最值问题）；
最值应用题——运动观点

在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发， 沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时，点Q从点B出 发沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动。如果P、Q两点在 分别到达B、C两点后就停止移动，回答下列问题： 运动开始后第几秒时， D C 2 △PBQ的面积等于8cm 设运动开始后第t秒时， 五边形APQCD的面积为Scm2， Q 写出S与t的函数关系式， 并指出自变量t的取值范围； t为何值时S最小？求出S的最小值。
无坚不摧：一般式

已知二次函数的图象经过A（－1，6）， B（1，2），C（2，3）三点， 求这个二次函数的解析式；
已知二次函数的图象过（0，1）、 （2，4）、（3，10）三点，求这个二次 函数的关系式时应设那种二次函数形式?
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2+bx+c 一般式：y=ax
思维小憩：

用待定系数法求二次函数的解析式，设出 一般式y=ax2+bx+c是绝对通用的办法。


因为有三个待定系数，所以要求有三个
已知点坐标。

已知二次函数的图象与x轴交于（－2，0）和 （1，0）两点，又通过点（3，－5）， 求这个二次函数的解析式。 当x为何值时，函数有最值？最值是多少？
思维小憩：

用待定系数法求二次函数的解析式，什么 时候使用顶点式y=a(x-m)2+n比较方便？
A P B
最值应用题——运动观点

在△ABC中，BC＝2，BC边上的高AD＝1，P 是BC上任一点，PE∥AB交AC于E，PF∥AC交 AB于F。 设BP＝x，将S△PEF用x表示； 当P在BC边上什么位置时，S值最大。
A E
F
B
P
D
C
在取值范围内的函数最值
设0 x 3，讨论函数 y x 4 x 5
2
的最大值和最小值。
1 2 设1 x 3，讨论函数 y x 4 x 4 2 的最大值和最小值。
二次函数的应用
专题四： 二次函数综合应用题
如图所示，公园要建造圆形喷水池，在水池中央 垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心， OA=1.25米。由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在 各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较 为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1米处达到距 水面最大高度2.25米。 (1)如果不计其他因素，那 么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致 落到池外？(2)若水流喷出的抛物线形状与（1）相同， 水池的半径为3.5米，要使水流不落到池外，此时水 流的最大高度应达到多少米？（Leabharlann 确到0.1米）二次函数的表达式

一般式：y=ax2+bx+c 顶点式：y=a(x-m)2+n 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的 一个交点坐标是（8,0），顶点是（6,12），求这个二次函数的解析式。

二次函数的应用
专题二： 数形结合法
简单的应用（学会画图）

已知二次函数的图象与x轴交于A（－2，0），B （3，0）两点，且函数有最大值2。 求二次函数的解析式； 设此二次函数图象顶点为P，求△ABP的面积
• 用一块宽为1.2m的长方形铁板弯起两边做 一个水槽，水槽的横断面为底角120º 的等 腰梯形。要使水槽的横断面积最大，它的 侧面AB应该是多长？ D A
B
C
最值应用题——销售问题



某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加 盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的 降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降 价1元，商场平均每天可多售出2件。 （1）若商场平均每天要盈利1200元，每件 衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天 盈利最多？
A
O
某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千 克，购进价格为每千克30元。物价部门规定其销售单 价不得高于每千克70元，也不得低于30元。市场调查 发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降 低1元，日均多售出2千克。在销售过程中，每天还要 支出其它费用500元（天数不足一天时，按整天计 算）。设销售单价为x元，日均获利为y元。

知道顶点坐标或函数的最值时 一般式：通用，但计算量大 顶点式：简单，但有条件限制 顶点坐标再加上一个其它点的坐标； 对称轴再加上两个其它点的坐标； 其实，顶点式同样需要三个条件才能求。

比较顶点式和一般式的优劣



使用顶点式需要多少个条件？

二次函数的交点式


已知二次函数的图象与x轴交于（－2，0）和 （1，0）两点，又通过点（3，－5）， 求这个二次函数的解析式。 当x为何值时，函数有最值？最值是多少？ 求函数最值点和最值的若干方法： 直接代入顶点坐标公式 配方成顶点式 借助图象的顶点在对称轴上这一特性，结合 和x轴两个交点坐标求。