2014-2015学年北京市延庆县高一(上)期末数学试卷Word版含答案
《解析》北京市西城区2014-2015学年高一上学期期末数学试卷Word版含解析
北京市西城区2014-2015学年高一上学期期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（4分）已知α∈（0，2π），且sinα＜0，cosα＞0，则角α的取值范围是（）A．B．C．D．2．（4分）已知向量=（2，8），=（﹣4，2）．若=2﹣，则向量=（）A．（0，18）B．（8，14）C．（12，12）D．（﹣4，20）3．（4分）已知角α的终边经过点P（3，﹣4），那么sinα=（）A．B．C．D．4．（4分）在△ABC中，D是BC的中点，则=（）A．B．C．D．5．（4分）函数y=（sinx﹣cosx）2的最小正周期为（）A．2πB．C．πD．6．（4分）如果函数y=cos（x+φ）的一个零点是，那么φ可以是（）A．B．C．D．7．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB=2，，E是CD的中点，那么=（）A．4B．2C．D．18．（4分）当x∈[0，π]时，函数f（x）=cosx﹣sinx的值域是（）A．[﹣2，1]B．[﹣1，2]C．[﹣1，1]D．9．（4分）为得到函数的图象，只需将函数y=sinx的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位10．（4分）已知，为单位向量，且•=m，则|+t|（t∈R）的最小值为（）A．B．1C．|m| D．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11．（4分）若向量=（1，2）与向量=（λ，﹣1）共线，则实数λ=．12．（4分）设α是第二象限角，，则cosα=．13．（4分）若，且tanθ＞1，则θ的取值范围是．14．（4分）已知向量=（1，3），=（2，﹣1），=（1，1）．若=λ+μ（λ，μ∈R），则=．15．（4分）函数f（x）=sin2x+sinx•cosx的最大值是．16．（4分）关于函数，给出下列三个结论：①对于任意的x∈R，都有；②对于任意的x∈R，都有；③对于任意的x∈R，都有．其中，全部正确结论的序号是．三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（12分）已知tanα=﹣2，其中．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求sin2α的值．18．（14分）已知向量=（cosα，sinα），=（﹣，），其中α是锐角．（Ⅰ）当α=30°时，求|+|；（Ⅱ）证明：向量+与﹣垂直；（Ⅲ）若向量与夹角为60°，求角α．19．（10分）已知函数f（x）=asinx+bcosx，其中a∈Z，b∈Z．设集合A={x|f（x）=0}，B={x|f （f（x））=0}，且A=B．（Ⅰ）证明：b=0；（Ⅱ）求a的最大值．一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上.20．（4分）已知集合A={a，b}，则满足A∪B={a，b，c}的不同集合B的个数是．21．（4分）已知幂函数f（x）=xα的图象过点（4，2），则α=．22．（4分）函数f（x）=的零点是．23．（4分）设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是减函数．若f（m）＞f（2），则实数m的取值范围是．24．（4分）已知函数f（x）的定义域为D．若对于任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得=M成立，则称函数f（x）在D上的几何平均数为M．已知函数g（x）=3x+1（x∈[0，1]），则g（x）在区间[0，1]上的几何平均数为．二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 25．（10分）已知函数f（x）=（x﹣2）（x+a），其中a∈R．（Ⅰ）若f（x）的图象关于直线x=1对称，求a的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，1]上的最小值．26．（10分）已知函数f（x）=a•2x+b•3x，其中a，b为常数．（Ⅰ）若ab＞0，判断f（x）的单调性，并加以证明；（Ⅱ）若ab＜0，解不等式：f（x+1）＞f（x）．27．（10分）定义在R上的函数f（x）同时满足下列两个条件：①对任意x∈R，有f（x+2）≥f（x）+2；②对任意x∈R，有f（x+3）≤f（x）+3．设g（x）=f（x）﹣x．（Ⅰ）证明：g（x+3）≤g（x）≤g（x+2）；（Ⅱ）若f（4）=5，求f的值．北京市西城区2014-2015学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（4分）已知α∈（0，2π），且sinα＜0，cosα＞0，则角α的取值范围是（）A．B．C．D．考点：三角函数值的符号．专题：三角函数的求值．分析：直接由sinα＜0，cosα＞0可得α为第四象限的角，结合α∈（0，2π）得到选项．解答：解：由sinα＜0，cosα＞0，可得α为第四象限的角，又α∈（0，2π），∴α∈．故选：D．点评：本题考查了三角函数的象限符号，是基础的会考题型．2．（4分）已知向量=（2，8），=（﹣4，2）．若=2﹣，则向量=（）A．（0，18）B．（8，14）C．（12，12）D．（﹣4，20）考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：运用向量的加减和数乘坐标运算，计算即可得到所求向量．解答：解：向量=（2，8），=（﹣4，2），若=2﹣，则=（4，16）﹣（﹣4，2）=（8，14）．故选B．点评：本题考查平面向量的坐标运算，考查向量的加减和数乘运算，属于基础题．3．（4分）已知角α的终边经过点P（3，﹣4），那么sinα=（）A．B．C．D．考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用任意角的三角函数的定义，求得sinα的值．解答：解：由于角α的终边经过点P（3，﹣4），∴x=3，y=﹣4，r=|OP|=5，∴sinα==﹣，故选：B．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．4．（4分）在△ABC中，D是BC的中点，则=（）A．B．C．D．考点：向量的加法及其几何意义．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的平行四边形法则、中点的性质即可得出．解答：解：∵D是BC的中点，∴=，故选：A．点评：本题考查了向量的平行四边形法则，属于基础题．5．（4分）函数y=（sinx﹣cosx）2的最小正周期为（）A．2πB．C．πD．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的求值．分析：化简可得y=1﹣sin2x，由周期公式可得答案．解答：解：化简可得y=（sinx﹣cosx）2=1﹣sin2x，∴由周期公式可得T==π，故选：C点评：本题考查三角函数的恒等变换，涉及三角函数的周期性，属基础题．6．（4分）如果函数y=cos（x+φ）的一个零点是，那么φ可以是（）A．B．C．D．考点：余弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据余弦函数的性质即可得到结论．解答：解：若y=cos（x+φ）的一个零点是，则cos（+φ）=0，即+φ=kπ+，k∈Z即φ=kπ+，当k=0时，φ=，故选：A点评：本题主要考查余弦函数的求值，根据函数零点的定义结合余弦函数的性质是解决本题的关键．7．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB=2，，E是CD的中点，那么=（）A．4B．2C．D．1考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：运用向量的三角形法则和向量的平方即为模的平方，以及向量垂直的条件即数量积为0，计算即可得到．解答：解：=（+）•=+=+=0+==2．故选B．点评：本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查向量的垂直的条件和向量的平方与模的平方的关系，考查运算能力，属于基础题．8．（4分）当x∈[0，π]时，函数f（x）=cosx﹣sinx的值域是（）A．[﹣2，1]B．[﹣1，2]C．[﹣1，1]D．考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的图象．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：化简解析式可得f（x）=2cos（x+），当x∈[0，π]时，x+∈[，]，由正弦函数的图象和性质可知：2cos（x+）∈[﹣2，1]．解答：解：∵f（x）=cosx﹣sinx=2cos（x+）∴当x∈[0，π]时，x+∈[，]∴由正弦函数的图象和性质可知：2cos（x+）∈[﹣2，1]故选：A．点评：本题主要考察了两角和与差的正弦函数公式的应用，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．9．（4分）为得到函数的图象，只需将函数y=sinx的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：将y=sinx化为y=cos（x﹣），再根据三角函数的图象变换知识确定平移的方向和长度即可．解答：解：y=sinx=cos（x﹣），，故只需将函数y=sinx的图象向左平移个长度单位．故选C．点评：本题考查了三角函数的图象变换，中间用到了诱导公式，属于常考题型．10．（4分）已知，为单位向量，且•=m，则|+t|（t∈R）的最小值为（）A．B．1C．|m| D．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：运用向量的数量积的性质，向量的平方即为模的平方，配方整理，再由二次函数的最值求法，即可得到所求最值．解答：解：，为单位向量，且•=m，则|+t|2=+t2+2t=1+t2+2tm=（t+m）2+1﹣m2，当t=﹣m时，|+t|2取得最小值1﹣m2，则|+t|（t∈R）的最小值为．故选D．点评：本题考查平面向量的数量积的性质，考查二次函数的最值求法，考查运算能力，属于基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11．（4分）若向量=（1，2）与向量=（λ，﹣1）共线，则实数λ=．考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：计算题．分析：利用向量共线的充要条件列出方程，解方程求出λ的值．解答：解：∵∴﹣1=2λ∴故答案为：．点评：解决有关向量共线的问题，应该利用向量共线的充要条件：坐标交叉相乘相等．12．（4分）设α是第二象限角，，则cosα=．考点：同角三角函数间的基本关系．专题：计算题；三角函数的求值．分析：利用sin2α+cos2α=1，结合α是第二象限角，即可求得cosα．解答：解：∵sinα=，α是第二象限角，∴cosα=﹣=﹣=﹣．故答案为：﹣．点评：本题考查同角三角函数间的基本关系，属于基础题．13．（4分）若，且tanθ＞1，则θ的取值范围是（，）．考点：三角函数线；任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用正切函数的图象特征求得θ的取值范围．解答：解：若，且tanθ＞1，则θ∈（，），故答案为：（，）．点评：本题主要考查正切函数的图象特征，属于基础题．14．（4分）已知向量=（1，3），=（2，﹣1），=（1，1）．若=λ+μ（λ，μ∈R），则=．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的线性运算、向量相等即可得出．解答：解：∵向量=（1，3），=（2，﹣1），=（1，1）．=λ+μ（λ，μ∈R），∴，解得，∴=．故答案为：．点评：本题考查了向量运算性质、向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．（4分）函数f（x）=sin2x+sinx•cosx的最大值是．考点：三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的求值．分析：化简可得f（x）=sin（2x﹣）+，易得其最大值．解答：解：化简可得f（x）=sin2x+sinx•cosx=+sin2x=sin（2x﹣）+，∴当sin（2x﹣）=1时函数取最大故答案为：点评：本题考查三角函数的最值，属基础题．16．（4分）关于函数，给出下列三个结论：①对于任意的x∈R，都有；②对于任意的x∈R，都有；③对于任意的x∈R，都有．其中，全部正确结论的序号是①②③．．考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据三角函数的图象和性质进行判断即可．解答：解：①f（x）=cos[﹣（2x﹣）]=cos（﹣2x）=cos（2x﹣），故①正确，②f（x+）=sin[2（x+）﹣）]=﹣sin（2x﹣）]，f（x﹣）=sin[2（x﹣）﹣）]=﹣sin（2x﹣），则f（x+）=f（x﹣）故②正确③f（）=sin（2×﹣）=sin=1为最大值，故x=是函数的对称轴，故③正确，故答案为：①②③．点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的诱导公式以及三角函数变换是解决本题的关键．三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（12分）已知tanα=﹣2，其中．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求sin2α的值．考点：同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）原式利用两角和与差的正切函数公式化简，把tanα的值代入计算即可求出值；（Ⅱ）由tanα的值求出sinα与cosα的值，原式利用二倍角的正弦函数公式化简，把各自的值代入计算即可求出值．解答：解：（Ⅰ）∵tanα=﹣2，∴tan（α﹣）===3；（Ⅱ）∵α∈（，π），tanα=﹣2，∴cosα=﹣=﹣，sinα==，则sin2α=2sinαcosα=﹣．点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．18．（14分）已知向量=（cosα，sinα），=（﹣，），其中α是锐角．（Ⅰ）当α=30°时，求|+|；（Ⅱ）证明：向量+与﹣垂直；（Ⅲ）若向量与夹角为60°，求角α．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：（Ⅰ）当α=30°时，求得+的坐标，可得|+|的值．（Ⅱ）由条件求得（+）•（﹣）=0，从而证得向量+与﹣垂直．（Ⅲ）若向量与夹角为60°，根据两个向量的数量积公式、两个向量的数量积的定义，求得，从而得到角α的值．解答：（Ⅰ）解：当α=30°时，=（，），所以，+=（，），所以，|+|==．（Ⅱ）证明：由向量=（cosα，sinα），=（﹣，），得+=（cosα﹣，sinα+），﹣=（cosα+，sinα﹣），由，得向量+，﹣均为非零向量．因为（+）•（﹣）=﹣=（cos2α+sin2α）﹣（+）=0，所以向量+与向量﹣垂直．（Ⅲ）解：因为||=||=1，且向量与夹角为60°，所以=||•||•cos60°=，所以，即．因为，所以，所以，即．点评：本题主要考查两个向量的数量积公式、两个向量的数量积的定义，两个向量坐标形式的运算，两个向量垂直的条件，根据三角函数的值求角，属于基础题．19．（10分）已知函数f（x）=asinx+bcosx，其中a∈Z，b∈Z．设集合A={x|f（x）=0}，B={x|f （f（x））=0}，且A=B．（Ⅰ）证明：b=0；（Ⅱ）求a的最大值．考点：集合的相等．专题：集合．分析：（Ⅰ）利用集合相等得到f（0）=0，从而求b；（Ⅱ）讨论a与0的关系，在a≠0时，因为A=B，对于任意x∈R，必有asinx≠kπ（k∈Z，且k≠0）成立，结合正弦函数的有界性得到，求得a的最大值．解答：（Ⅰ）证明：显然集合A≠∅．设x0∈A，则f（x0）=0．（1分）因为A=B，所以x0∈B，即f（f（x0））=0，所以f（0）=0，（3分）所以b=0．（4分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得f（x）=asinx，a∈Z．①当a=0时，显然满足A=B．（5分）②当a≠0时，此时A={x|asinx=0}；B={x|asin（asinx）=0}，即B={x|asinx=kπ，k∈Z}．（6分）因为A=B，所以对于任意x∈R，必有asinx≠kπ（k∈Z，且k≠0）成立．（7分）所以对于任意x∈R，，所以，（8分）即|a|＜|k|•π，其中k∈Z，且k≠0．所以|a|＜π，（9分）所以整数a的最大值是3．（10分）点评：本题考查集合相等的运用以及正弦函数的有界性的运用，属于中档题．一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上.20．（4分）已知集合A={a，b}，则满足A∪B={a，b，c}的不同集合B的个数是4．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：根据题意和并集的运算，按照B中元素的个数依次写出满足条件的集合即可．解答：解：因为集合A={a，b}，满足A∪B={a，b，c}，所以B={c}、{a，c}、{b，c}、{a，b，c}共4个，故答案为：4．点评：本题考查并集及其运算，注意列举时按一定的顺序做到不重不漏，属于基础题．21．（4分）已知幂函数f（x）=xα的图象过点（4，2），则α=．考点：幂函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据幂函数的图象过点（4，2），代入幂函数的解析式求得即可．解答：解：∵4α=2，解得，故答案为：点评：本题主要考查幂函数的图象和性质，属于基础题．22．（4分）函数f（x）=的零点是﹣2或1．考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：转化为或求解即可．解答：解：∵函数f（x）=∴或解得：x=1，或x=﹣2故答案：﹣2，1；点评：本题考查了分段函数的解析式的求解，函数的零点的求解属于中档题．23．（4分）设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是减函数．若f（m）＞f（2），则实数m的取值范围是（﹣2，2）．考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．解答：解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是减函数，∴不等式f（m）＞f（2），等价为f（|m|）＞f（2），即|m|＜2，解得﹣2＜m＜2，故答案为：（﹣2，2）；点评：本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行等价转化是解决本题的关键．24．（4分）已知函数f（x）的定义域为D．若对于任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得=M成立，则称函数f（x）在D上的几何平均数为M．已知函数g（x）=3x+1（x∈[0，1]），则g（x）在区间[0，1]上的几何平均数为2．考点：平均值不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：我们易得若函数在区间D上单调递增，则C应该等于函数在区间D上最大值与最小值的几何平均数，由g（x）=x，D=[0，1]，代入即可得到答案．解答：解：根据已知中关于函数g（x）在D上的几何平均数为C的定义，结合g（x）=3x+1在区间[0，1]单调递增则x1=0时，存在唯一的x2=1与之对应C==2，故答案为：2．点评：本题考查的知识点是函数单调性的性质，其中根据函数在区间上的几何平均数的定义，判断出C等于函数在区间D上最大值与最小值的几何平均数，是解答本题的关键．二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 25．（10分）已知函数f（x）=（x﹣2）（x+a），其中a∈R．（Ⅰ）若f（x）的图象关于直线x=1对称，求a的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，1]上的最小值．考点：二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）先求出函数的对称轴，得到，解出即可；（Ⅱ）先求出函数的对称轴，通过讨论对称轴的位置，从而得到答案．解答：（Ⅰ）解法一：因为f（x）=（x﹣2）（x+a）=x2+（a﹣2）x﹣2a，所以，f（x）的图象的对称轴方程为．由，得a=0．解法二：因为函数f（x）的图象关于直线x=1对称，所以必有f（0）=f（2）成立，所以﹣2a=0，得a=0．（Ⅱ）解：函数f（x）的图象的对称轴方程为．①当，即a≥2时，因为f（x）在区间（0，1）上单调递增，所以f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（0）=﹣2a．②当，即0＜a＜2时，因为f（x）在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以f（x）在区间[0，1]上的最小值为．③当，即a≤0时，因为f（x）在区间（0，1）上单调递减，所以f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（1）=﹣（1+a）．点评：本题考查了二次函数的性质，考查了函数的最值问题，是一道中档题．．26．（10分）已知函数f（x）=a•2x+b•3x，其中a，b为常数．（Ⅰ）若ab＞0，判断f（x）的单调性，并加以证明；（Ⅱ）若ab＜0，解不等式：f（x+1）＞f（x）．考点：函数单调性的性质；函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）当a＞0，b＞0时，f（x）在R上是增函数；当a＜0，b＜0时，f（x）在R上是减函数．再利用函数的单调性的定义进行证明．（Ⅱ）解：由f（x+1）﹣f（x）=a•2x+2b•3x＞0，得，再分类讨论求得它的解集．解答：（Ⅰ）解：当a＞0，b＞0时，f（x）在R上是增函数；当a＜0，b＜0时，f（x）在R上是减函数．证明如下：当a＞0，b＞0时，任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则△x=x2﹣x1＞0，则．因为；又，所以△y=f（x2）﹣f（x1）＞0，所以，当a＞0，b＞0时，f（x）在R上是增函数．当a＜0，b＜0时，同理可得，f（x）在R上是减函数．（Ⅱ）解：由f（x+1）﹣f（x）=a•2x+2b•3x＞0，得．（*）①当a＜0，b＞0时，（*）式化为，解得．②当a＞0，b＜0时，（*）式化为，解得．点评：本题主要考查函数的单调性的判断和证明，利用函数的单调性解指数、对数不等式，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．27．（10分）定义在R上的函数f（x）同时满足下列两个条件：①对任意x∈R，有f（x+2）≥f（x）+2；②对任意x∈R，有f（x+3）≤f（x）+3．设g（x）=f（x）﹣x．（Ⅰ）证明：g（x+3）≤g（x）≤g（x+2）；（Ⅱ）若f（4）=5，求f的值．考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）通过g（x）=f（x）﹣x，利用x+2，x+3分别代替x推出方程，由条件①，②转化，即可推出g（x+3）≤g（x）≤g（x+2）．（Ⅱ）由（Ⅰ）g（x+2）≥g（x），然后推出g（x+3）≤g（x），说明g（x）是以6为周期的周期函数所然后求解函数值．解答：（本小题满分10分）（Ⅰ）证明：因为g（x）=f（x）﹣x，所以g（x+2）=f（x+2）﹣x﹣2，g（x+3）=f（x+3）﹣x﹣3．由条件①，②可得g（x+2）=f（x+2）﹣x﹣2≥f（x）+2﹣x﹣2=f（x）﹣x=g（x）；【（2分）】③g（x+3）=f（x+3）﹣x﹣3≤f（x）+3﹣x﹣3=f（x）﹣x=g（x）．④【（4分）】所以g（x+3）≤g（x）≤g（x+2）．（Ⅱ）解：由③得g（x+2）≥g（x），所以g（x+6）≥g（x+4）≥g（x+2）≥g（x）．【（6分）】由④得g（x+3）≤g（x），所以g（x+6）≤g（x+3）≤g（x）．【（7分）】所以必有g（x+6）=g（x），即g（x）是以6为周期的周期函数．【（8分）】所以g=g（335×6+4）=g（4）=f（4）﹣4=1．【（9分）】所以f=g+2014=2015．【（10分）】点评：本题考查抽象函数的应用，函数的周期性以及不等式的证明，难度比较大．。
高考数学 延庆县2014—2015县模(理科终稿)
最新整理延庆县2014—2015学年度高考模拟检测试卷高三数学（理科） 2015.3本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知全集U R =，{|1}A x x =<-，{|1}B x x =>,则()U C A B ⋃=（ ） A. {|1}x x > B ．{|-1}x x ≤ C ．{|1x x >或1}x <- D ．{|11}x x -≤≤2. 下列函数是奇函数，并且在定义域上是增函数的是（ ）A. x y 1-= B. ln ||y x = C. sin y x = D. 1,01,0x x y x x +>⎧=⎨-<⎩3. 设sin393,cos55,tan50a b c =︒=︒=︒，则,,a b c 的大小关系为（ ）A. a b c << B ．c b a << C ．b a c << D ．a c b << 4. 执行右边的程序框图，当输入25时， 则该程序运行后输出的结果是（ ） A. 4B. 5C. 6D. 75. 在边长为2的正方形ABCD 中，,E F 分别为BC 和DC 的中点，则DE BF ⋅=u u u v u u u v（ ）A. -52 B ．32C ．-4D ．-27. 一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的体积为（ ）A.16πB. 6πC.4πD. 88. 有四张卡片，每张卡片有两个面，一个面写有一个数字，另一个面写有一个英文字母.现规定：当卡片的一面为字母P 时，它的另一面必须是数字2. 如图，下面的四张卡片的一个面分别写有,,2,3P Q ，为检验此四张卡片是否有违反规定的写法，则必须翻看的牌是（ ） A.第一张，第三张 B.第一张，第四张 C.第二张，第四张 D.第二张，第三张第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题共6个小题，每小题5分，共30分. 9. 复数(1)(1)2i i z i+-=在复平面上对应的点的坐标为 .10. 有三个车队分别有2辆、3辆、4辆车，现分别从其中两个车队各抽调两辆车执行 任务，则不同的抽调方案共有 种.11. 如图，AB 是半圆O 的直径，P 在AB 的延长线上，PD 与半圆O 相切于点C ，AD PD ⊥．若4PC =，2PB =，则圆O 的半径为 ，CD = ．12.已知1,0x y ≥≥，集合{(,)|4}A x y x y =+≤,{(,)|1}B x y y kx ==-，如果A B φ⋂≠,则k 的取值范围是 .Q P2 3（7题图）侧视图主视图俯视图13. 曲线2||30x y y +-=的对称轴方程是 ，y 的取值范围是 . 14. ABCD 是矩形，4AB =，3AD =，沿AC 将ADC ∆折起到AD C '∆，使平面AD C '⊥平面ABC ∆,F 是AD '的中点，E 是AC 上的一点，给出下列结论：① 存在点E ，使得//EF 平面BCD ' ② 存在点E ，使得EF ⊥平面ABD ' ③ 存在点E ，使得D E '⊥平面ABC ④ 存在点E ，使得AC ⊥平面BD E '其中正确结论的序号是 .（写出所有正确结论的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分）ABC ∆中，2=BC ,θ=∠ABC . （Ⅰ）若5522cos=θ，5=AB ,求AC 的长度； （Ⅱ）若6π=∠BAC ，)(θf AB =，求)(θf 的最大值.16.（本小题满分14分）如图1，在边长为12的正方形11A A A A ''中，111////AA CC BB ,且3AB =,且 4BC =，1A A '分别交11,CC BB 于点Q P ,，将该正方形沿11,CC BB 折叠，使得1A A ''与1AA 重合，构成图2所示的三棱柱111C B A ABC -，在图2中. (Ⅰ)求证：PQ AB ⊥；（Ⅱ）求直线BC 与平面APQ 所成角的正弦值； （Ⅲ）在底边AC 上有一点M ，使得//BM 平面APQ ，求MCAM的值. A ′BA 1′CB 1A 1C 1P Q（图1）（图2） CA C 1 Q17.（本小题满分13分）某普通高中为了了解学生的视力状况，随机抽查了100名高二年级学生和100名高的频数分布表和高三学生频率分布直方图如下：将近视程度由低到高分为4个等级：当近视度数在0-100时，称为不近视，记作0；当近视度数在100-200时，称为轻度近视，记作1；当近视度数在200-400时，称为中度近视，记作2；当近视度数在400以上时，称为高度近视，记作3.（Ⅰ）从该校任选1名高二学生，估计该生近视程度未达到中度及以上的概率；（Ⅱ）设0.0024a=，从该校任选1名高三学生，估计该生近视程度达到中度或中度以上的概率；（Ⅲ）把频率近似地看成概率，用随机变量,X Y分别表示高二、高三年级学生的近视程度,若EX EY=,求b.18.（本小题满分13分）已知函数ln()xf xx a=+（a为常数）在点(1,(1))f处的切线的斜率为12，（Ⅰ）求实数a的值;（Ⅱ）若函数()f x在区间[,)()t t Z+∞∈上有极值，求t的取值范围.0.001ab19.（本小题满分14分） 已知椭圆G的离心率为2，其短轴的 两端点分别为(01),(01)A B -，，. （Ⅰ）求椭圆G 的方程；（Ⅱ）若,C D 是椭圆G 上关于y 轴对称的两个不同点，直线,AC BD 与x 轴分别交于点,M N .试判断以MN 为直径的圆是否过定点，如经过，求出定点坐标；如不过定点，请说明理由.20.（本小题满分13分）对于集合M ，定义函数⎩⎨⎧∉∈-=Mx Mx x f M ,1,1)(，对于两个集合M ,N ，定义集合}.1)()(|{-=⋅=⊗x f x f x N M N M 已知}6,5,4,3,2,1{=A ，}81,27,9,3,1{=B .（Ⅰ）写出)2(A f 与)2(B f 的值，并用列举法写出集合B A ⊗； （Ⅱ）用)(M Card 表示有限集合M 所含元素的个数， 求)()(B X Card A X Card ⊗+⊗的最小值；（Ⅲ）求有多少个集合对),(Q P 满足)(,B A Q P ⋃⊆， 且B A B Q A P ⊗=⊗⊗⊗)()(.。
2014-2015学年高一数学上学期必修一复习试题必修四综合试题二(含答案)
2014—2015学年度第二学期高一期末检测数学试卷（B ）注意事项：1. 本试题满分150分，考试时间为120分钟.2. 使用答题纸时，必修使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，作图时，可用2B 铅笔.要字迹工整，笔迹清晰.超出答题区书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效，答卷前将密封线内的项目填写清楚.一、选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题卡上．1．如果、a b 是两个单位向量，那么下列四个结论中一定正确的是（ ）A ．=a bB ．=1⋅a bC ．22≠a bD ．22=a b 2．cossin)(cossin 12121212ππππ-+（等于（ ）AB ．12-C ．12D．3．函数cos 2y x =的图象（ ）A ．关于直线4x π=-对称 B ．关于直线2x π=-对称C ．关于直线8x π=对称 D ．关于直线54x π=对称 4．如果一扇形的弧长为2cm π，半径等于2cm ，则扇形所对圆心角为（ ）A ．2πB ．πC ．2πD ．32π 5．如果点(tan ,cos )P θθ位于第三象限，那么角θ所在象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．已知向量()2 1=-，a ，()4k =，b ．若⊥a b ，则实数k 的值是（ ） A ．2k = B ．2k =- C ．8k = D ．8k =- 7．已知3tan 4x =-，则tan 2x =（ ）A ．247 B ．－247 C ．－724 D ．7248．已知正方形ABCD 的边长为1， 则++-=AB BC AB AD （ ）A ．4B ．2 CD． 9．设单位向量1e 、2e 的夹角为60 ，则向量1+e 2e 与向量1e 的夹角为（ ）A ．30B ．60C ．120D ．15010．已知函数sin()y A x B ωϕ=++的一部分图象如右图所示，如果0,0,||2A πωϕ>><，则（ ） A ．6πϕ=B ．1ω=C ．4A =D ．4B =二、填空题:本大题共有5个小题，每小题5分，共25分.把正确答案填在答题卡的相应位置.11．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点()3 4P -，，则cos α等于 12．已知4tan 3α=-，则6sin cos 3sin 2cos αααα+=- 13．已知向量()2cos 2sin θθ=，a ，(3=b ，且a 与b 共线，[)0 2θπ∈，，则=θ 14．已知αβ、都是锐角，且54sin ,cos()135ααβ=+=-，则sin β的值是 15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，钝角α的终边与单位圆交于B 点，且点B 的纵坐标为1213．若将点B 沿单位圆逆时针旋转π2到达A 点， 则点A 的坐标为三、解答题: 本大题共6个小题，共75分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤. 16．（本小题满分12分）（1）计算：232costan3sin 0cos sin2432ππππ++++； （2）化简：()()()11sin(2)cos()cos cos 229cos sin 3sin sin 2πππθπθθθππθπθπθθ⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫----+ ⎪⎝⎭.17．（本小题满分12分） 已知向量a 、b 满足2 1==，a b ，且a 与b 的夹角为23π，求： （1）a 在b 的方向上的投影； （2）( a －2b )//b18．（本小题满分12分）已知tan α，tan β是方程26510x x -+=的两根，且02πα<<，32ππβ<<，求tan +αβ（）及+αβ的值．19．（本小题满分12分）已知函数()sin(+)+sin()+cos (66f x x x x a a ππ=-+∈R ，a 为常数）的最大值为1．（1）求常数a 的值；（2）求使()0f x ≥成立的x 的集合．20．（本小题满分13分）已知函数()22sin ()2.4f x x x π=+-（1）求()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）若关于x 的方程()2f x m -=在42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上有解，求实数m 取值范围．21．（本小题满分14分）已知三个点()()()2 13 21 4A B D -，、，、，． （1）求证：AB AD ⊥；（2）要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标，并求矩形ABCD 两对角线所夹锐角的余弦值．高一数学B 卷答案一、 选择题：DABBB CCDAA 二、填空题： 11.35-12.76 13. π6或76π 14.5665 15. 125(,)1313--三、解答题： 16.解：⑴23sin3cos 0sin 34tan2cos22ππππ++++ 14103102-+⨯++⨯=14=………………………….6分 ⑵()()()11sin(2)cos()cos cos 229cos sin 3sin sin 2πππθπθθθππθπθπθθ⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫----+ ⎪⎝⎭)2sin(sin sin cos )23cos()sin ()cos (sin θπθθθθπθθθ+⋅⋅⋅--⋅-⋅-⋅-==θθθθθθθθcos sin sin cos sin sin cos sin ⋅⋅⋅-⋅⋅⋅ θtan -= ……………………12分17. 解：(1)由题意知，|a |＝2，a 与b 的夹角为32π，∴向量a 在向量b的方向上的投影为：|a |cos 32π＝122⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭＝－1，∴a 在b的方向上的投影为－1 ……….………….6分 (2)( a －2b )·b ＝a ·b －2b 2＝－1－2＝－3. ………………………12分18. 解：∵tan α、tan β为方程6x 2－5x ＋1＝0的两根，∴tan α＋tan β＝56，tan αtan β＝16， ………………4分tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝561－16＝1. ……………………………8分∵0<α<π2，π<β<3π2，∴π<α＋β<2π，∴α＋β＝5π4. …………………………12分19.解 (1)∵f (x )＝2sin x cos π6＋cos x ＋a＝3sin x ＋cos x ＋a ＝2sin(x ＋π6)＋a ，∴()max2f xa =+，令21a +=得：1a =- ………………………………6分 (2) f (x )＝2sin(x ＋π6)-1,由0)(≥x f 得：01)6sin(2≥-+πx∴21)6sin(≥+πx ∴Z k k x k ∈+≤+≤+,265626πππππ， ∴Z k k x k ∈+≤≤,2322πππ， ∴使0)(≥x f 成立的x 的集合为222,3x k x k k Z πππ⎧⎫≤≤+∈⎨⎬⎩⎭…………………12分20. 解 (1)f (x )＝)4(sin 22x +π－3cos 2x＝1－)22cos(x +π－3cos 2x＝1＋sin 2x －3cos 2x ＝)32sin(2π-x ＋1， ……………………………4分 所以，函数)(x f y =最小正周期T ＝π； ………………………6分 令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )． ……………………8分 (2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，所以2x －π3∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3, sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤12，1, 所以f (x )的值域为[2,3]． ……………………………11分 而f (x )＝m ＋2，所以m ＋2∈[2,3],即m ∈[0,1]． ………………………………13分21. 解：(1)证明：A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)．∴AB ＝(1,1)，AD＝(－3,3)．又∵AB AD ⋅＝1×(－3)＋1×3＝0， ∴AB AD ⊥. ………………………………6分(2)∵AB AD ⊥，若四边形ABCD 为矩形，则AB DC = .设C 点的坐标为(x ，y )，则有(1,1)＝(x ＋1，y －4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝1，y －4＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5.∴点C 的坐标为(0,5)． …………………………9分由于AC ＝(－2,4)，BD＝(－4,2)， ∴AC BD ⋅ ＝(－2)×(－4)＋4×2＝16，AC BD = ＝2 5. ………11分设对角线AC 与BD 的夹角为θ， 则cos θ＝1620＝45>0.故矩形ABCD 两条对角线所夹锐角的余弦值为45. ……………14分。
2015年北京市延庆县高三一模数学(文)试题和答案
延庆县2014—2015学年度高考模拟检测试卷高三数学（文科）2015.3本试卷共5页，满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 若集合{0,1,2}A =，2{|3}B x x =<，则B A =（ ） A. φ B ．{1,0,1}- C2. 下列函数中是奇函数，并且在定义域上是增函数的一个是（ ）A. x y 1-= B. ln y x =C. sin y x =D. 1,01,0x x y x x +>⎧=⎨-<⎩3. 设sin393,cos55,tan50a b c =︒=︒=︒，则,,a b c 的大小关系为（ ） A. a b c << B ．c b a << C ．b a c << D ．a c b <<4. 执行右边的程序框图，若输入1,1,1a b c ===-，则输出的结果满足（ ） A.01,1e f <<> B.10,12e f -<<<< C.21,01e f -<<-<< D.无解5. 在边长为2的正方形ABCD 中，,E F 分别为BC 和DC 的中点，则AE AF ⋅=（ ）A. 52 B ．32C ．4D ．26. “2>x ”是“22x x >”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7. 一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的体积为（ ） A. 96 B ．120 C ．144 D ．1808. 有外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是d c b a ,,,，已知d c b a +=+，c bd a +>+，b c a <+ 则这四个小球由重到轻的排列顺序是（ ）A. d b a c >>>B. a d c b >>>C. a c b d >>>D. c a d b >>>第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题共6个小题，每小题5分，共30分.9. 复数(1)(1)2i i z i +-=在复平面上对应的点的坐标为 .10. 双曲线2222x y -=的焦点坐标是 ，离心率是 .11. 在ABC ∆中，3,2,60==︒=BC AC A ,则ABC ∆的面积等于_______. 12. 已知1,0x y ≥≥，集合{(,)|4}A x y x y =+≤,{(,)|0}B x y x y t =-+=，如果A B φ⋂≠,则t 的取值范围是 .13. 已知直线20x y a ++=与圆心为C 的圆222450x y x y ++--=相交于,A B 两点，且AC BC ⊥，则圆心的坐标为 ；实数a 的值为 . 14. ABCD 是矩形，4AB =，3AD =，沿AC 将ADC ∆折起到AD C '∆，使平面AD C '⊥平面ABC ∆,F 是AD '的中点，E 是线段AC 上的一点，给出下列结论：① 存在点E ，使得//EF 平面BCD ' ② 存在点E ，使得EF ⊥平面ABD ' ③ 存在点E ，使得D E '⊥平面ABC ④ 存在点E ，使得AC ⊥平面BD E '.其中正确结论的序号是 .（写出所有正确结论的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. （本小题满分13分）设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，已知1245,14a a S +==， （Ⅰ）求}{n a 的通项公式； （Ⅱ）设2n an b =，求}{n b 的前n 项和n T .16. （本小题满分13分）直角坐标系xoy 中，锐角α的终边与单位圆的交点为P ，将OP 绕O 逆时针旋转到OQ ，使α=∠POQ ，其中Q 是OQ 与单位圆的交点，设Q 的坐标为),(y x .（Ⅰ）若P 的横坐标为53，求xy ；（Ⅱ）求y x +的取值范围. 17. （本小题满分14分）如图，矩形ABCD 中，3AB =，4=BC ． E ，F 分别在线段BC 和AD 上，EF ∥AB ，将矩形ABEF 沿EF 折起．记折起后的矩形为MNEF ，且平面⊥MNEF 平面ECDF ． （Ⅰ）求证：NC ∥平面MFD ；（Ⅱ）若3EC =，求证：FC ND ⊥； （Ⅲ）求四面体NFEC 体积的最大值． 18．（本小题满分13分） 某普通高中共有36个班，每班40名学生，每名学生都有且只有一部手机，为了解图1 图2 （7题图）主视图俯视图侧视图该校学生对B A ,两种品牌手机的持有率及满意度情况，校学生会随机抽取了该校6个班的学生进行统计, 得到每班持有两种品牌手机人数的茎叶图以及这些学生对自己所持手机的满意度统计表如下： （Ⅰ）随机选取1名该校学生，估计该生持有A 品牌手机的概率；（Ⅱ）随机选取1名该校学生，估计该生持有A 或B 品牌手机且感到满意的概率；（Ⅲ）B A ,两种品牌的手机哪种市场前景更好?(直接写出结果，不必证明）19. （本小题满分14分）已知椭圆G，其短轴的两个端点分别为(01),(01)A B -，，.（Ⅰ）求椭圆G 的方程； （Ⅱ）若,C D 是椭圆G 上关于y 轴对称的两个不同点，直线,AC BD 与x 轴分别交于点,M N .判断以MN 为直径的圆是否过点A ，并说明理由.20. （本小题满分13分）已知函数()ln f x x =.（Ⅰ）求过点(0,0)，曲线()y f x =的切线方程；（Ⅱ）设函数()()xg x f x e =-，求证：函数()g x 有且只有一个极值点；（Ⅲ）若()(1)f x a x ≤-恒成立，求a 的值.延庆县2013—2014学年度一模统一考试高三数学（文科答案） 2015年3月一、选择题：)0485('=⨯' 1. D 2. D 3. A 4. C 5. C 6. D 7. B 8. A 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. (0,1)-；10. (11. 12. [4,2]-；13. (1,2),5-±；14. ① ③ . 三、解答题：)0365('=⨯'15. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）∵ 41214,5S a a =+=，∴349a a +=……………1分 ∴44,1d d ==,∴12a =……………3分 ∴1(1)1n a a n d n =+-=+ . ……………………6分 （II ）∵122na n nb +==，211222n n n n b b +++∴==, ∵10b ≠ , {}n b ∴是等比数列，………8分 14,2b q ==………10分 1(1)4(12)4(21)112n n n n b q T q --∴===---，……………………13分16.（本小题满分13分） (Ⅰ) ∵P 的横坐标为35, ∴34cos ,sin 55αα==，∴4tan 3α=………………2分∴22422tan 243tan 241tan 71()3y x ααα⨯====--- ……………………6分 法二：∵P 的横坐标为35, ∴34cos ,sin 55αα==，∴229167cos 2cos sin 252525ααα=-=-=-，………2分 4324sin 22sin cos 25525ααα==⨯⨯=…………4分 ∴sin 224cos 27y x αα==-………………6分（Ⅱ）cos 2sin 2x y αα+=+),(0,)42ππαα=+∈，…………10分 ∴ 52(0,),2(,)444πππαπα∈+∈， ∴sin(2)(4πα+∈………12分 ∴)(4πα+∈- ∴ x y +的取值范围是(-………13分 17. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）法一：∵AB EF //, ∴MN EF //, CD EF //,∴CD MN //,………………2分∴MNCD 是平行四边形 ∴MD NC //…………………3分 ∴//NC 平面MFD ……………………4分法二： ∵MF NE // ∴//NE 平面MFD ………………1分 ∵FD EC //∴//EC 平面MFD …………2分 ∴平面//NEC 平面MFD ………………3分 ∴//NC 平面MFD …………………4分（Ⅱ）∵3,3EC AB CD === ∴ECDF 为正方形∴ED FC ⊥………5分 又∵平面⊥MNEF 平面ECDF , EF NE ⊥, ∴⊥NE 平面EFDC ………6分 ∴⊥NE FC …………7分 ∴⊥FC 平面NED ………8分∴ND FC ⊥…………9分(Ⅲ) 设x BE NE ==，则x EC -=4，)4(21x x S NEC -=∆…………10分 21111(4)3(4),(0,4)3322NFEC V Sh x x x x x ==⨯-⨯=-∈……12分 当2=x 时……13分 N F E C V 达到最大值2……14分 18. (Ⅰ)设该生持有A 品牌手机为事件X ，…………1分 则3124080)(==X P ………4 分 （Ⅱ）设该生持有A 或B 品牌手机且感到满意为事件Y ，……5 分则240%6060240%8080)(⨯+⨯=Y P ……9 分 1252403664=+=………10 分 （Ⅲ）A 品牌手机市场前景更好.………13分19. （本小题满分14分）（Ⅰ）1b =，2c a =，222a c =，∴ 21c =，∴222,1a b ==，…………3分∴ 椭圆方程为2212x y += …………5分 （Ⅱ）设00(,)C x y ，则00(,)D x y -，001AC y k x -=，001BD y k x +=-,000011:1,:1y y AC y x BD y x x x -+=+=--………7分 令0y =，则0000,,11M N x x x x y y -==-+……………9分 ∴ 0000(,1),(,1)11x xAM AN y y =-=---+，…………11分 ∴20001(1)(1)x AM AN y y -⋅=+-+=22002011x y y --+- ∵220012x y += ∴220012x y -= ∴2020212x AM AN x -⋅==-………………13分 ∴ AM 与AN 不垂直，∴ 以MN 为直径的圆不过A 点.…………14分 20. （本小题满分13分）（Ⅰ）设切点为00(,ln )x x ，∵0011(),()f x f x x x ''==……………1分∴切线方程为0001ln ()y x x x x -=-…………2分 ∵切线过(0,0)， ∴00ln 1,x x e -=-=……………3分 ∴切线方程为11()y x e e-=-，即：1y x e =. ……………………4分（Ⅱ）1()x g x e x'=-………………5分 当(0,)x ∈+∞时，1x 是减函数，xe -也是减函数，∴ 1()xg x e x '=-在(0,)+∞上是减函数，………………6分 当1x =时，()10g x e '=-<，………………7分当12x =时，()20g x '=>，…………………8分 ∴ ()g x '在(0,)+∞上有且只有一个变号零点，∴ ()g x 在定义域(0,)+∞上有且只有一个极值点. ……………………9分（Ⅲ）令()ln (1)h x x a x =--，则()0h x ≤恒成立，1()h x a x'=-，①若0a ≤，则()0h x '>恒成立，∴()h x 在(0,)+∞上是增函数，∵当x e =时，()1(1)0h e a e =-->，∴题设不成立. …………10分②若0a >，则11()ax h x a x x-'=-=，令()0,h x '= 则1x a =；令()0,h x '> 则10x a <<；令()0,h x'< 则1x a >.∴()h x 在1x a =处达到极大值111()ln (1)ln 1h a a a a a a=--=-+-∴ln 10a a -+-≤恒成立，即1ln a a -≤恒成立.……11分令()(1)ln F x x x =--，则1()1F x x'=-，当1x =时，()0F x '=；当01x <<时，()0F x '<；当1x >时，()0F x '>；∴()F x 在(0,1)上是减函数；在(1,)+∞上是增函数；在1x =处达到最小值.∴()1F a F≥（）恒成立，∴ln 10a a -+-≥，即：1ln a a -≥恒成立.…12分 ∴1=ln a a -恒成立，∴=1a .…………13分。
北京市延庆县2014-2015学年高二下学期期末数学试卷(文科)
北京市延庆县2014-2015学年高二下学期期末数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡内）1．（5分）设集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2=x}，则M∩N=（）A．{﹣1，0，1} B．{0，1} C．{1} D．{0}2．（5分）在复平面内，复数z=对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知f（x）是R上的奇函数，且当x∈（﹣∞，0]时，f（x）=﹣xlg（3﹣x），那么f（1）的值为（）A．0B．l g3 C．﹣lg3 D．﹣lg44．（5分）下列说法正确的是（）A．l og0.56＞log0.54 B．0.60.5＞log0.60.5C．2.50＜D．90.9＞270.485．（5分）命题p：x2﹣x＜0是命题q：0＜x＜2的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）若变量y与x之间的相关系数r=﹣0.9362，则变量y与x之间（）A．不具有线性相关关系B．具有线性相关关系C．它们的线性相关关系还需要进一步确定D．不确定7．（5分）“指数函数y=a x（a＞1）是增函数，y=xα（α＞1）是指数函数，所以y=xα（α＞1）是增函数”，在以上演绎推理中，下列说法正确的是（）A．推理完全正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．推理形式不正确8．（5分）想沏壶茶喝．洗烧开水的壶、灌入凉水需2分钟，洗茶壶、茶杯需2分钟，拿茶叶需1分钟，烧开水需15分钟，沏茶需1分钟．最省时的操作时间是（）A．17分钟B．18分钟C．19分钟D．20分钟9．（5分）把函数y=sinx（x∈R）的图象上所有点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（）A．，x∈R B．，x∈RC．，x∈R D．，x∈R10．（5分）已知f′（x）是奇函数f（x）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）+f（x）＞0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣1，0）∪（0，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案涂在答题卡上）11．（5分）sin15°+sin75°的值是．12．（5分）函数f（x）=x2﹣4x+5﹣2lnx的零点个数为．13．（5分）已知x∈（﹣π，0）且cosx=﹣，则sin2x=．14．（5分）已知函数是R上的增函数，则实数a的取值范围是．15．（5分）若存在x0∈R，使ax02+2x0+a＜0，则实数a的取值范围是．16．（5分）“整数对”按如下规律排成一列：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），…，则第50个数对是．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（10分）（Ⅰ）证明：=．（Ⅱ）已知圆的方程是x2+y2=r2，则经过圆上一点M（x0，y0）的切线方程为x0x+y0y=r2，类比上述性质，试写出椭圆+=1类似的性质．18．（10分）铁路运输托运行李，从甲地到乙地，规定每张客票托运费计算方法为：行李质量不超过50kg，按0.25元/kg计算；超过50kg而不超过100kg时，其超过部分按0.35元/kg计算，超过100kg时，其超过部分按0.45元/kg计算．设行李质量为xkg，托运费用为y元．（Ⅰ）写出函数y=f（x）的解析式；（Ⅱ）若行李质量为56kg，托运费用为多少？19．（12分）设平面向量=（cosx，sinx），=，函数f（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．20．（12分）已知函数f（x）=x3﹣（a∈R）．（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）在[0，2]上的最大值；（Ⅱ）若对任意x∈（0，+∞），有f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．21．（13分）已知函数f（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）若f（x）=2，求x的取值集合及sin2x的值．22．（13分）已知函数f（x）=（2﹣a）lnx++2ax（a≤0）．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；（Ⅱ）当a＜0时，讨论f（x）的单调性；（Ⅲ）若对任意的a∈（﹣3，﹣2），x1，x2∈[1，3]，恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求实数m的取值范围．北京市延庆县2014-2015学年高二下学期期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡内）1．（5分）设集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2=x}，则M∩N=（）A．{﹣1，0，1} B．{0，1} C．{1} D．{0}考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：集合M与集合N的公共元素，构成集合M∩N，由此利用集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2=x}={0，1}，能求出M∩N．解答：解：∵集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2=x}={0，1}，∴M∩N={0，1}，故选B．点评：本题考查集合的交集及其运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．2．（5分）在复平面内，复数z=对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：对已知复数化简为a+bi的形式，判断（a，b）所在象限．解答：解：z====﹣1﹣i；对应的点为（﹣1，﹣1），在第三象限；故选C．点评：本题考查了复数的化简以及复数的几何意义；关键是正确化简复数，得到对应的位置．3．（5分）已知f（x）是R上的奇函数，且当x∈（﹣∞，0]时，f（x）=﹣xlg（3﹣x），那么f（1）的值为（）A．0B．l g3 C．﹣lg3 D．﹣lg4考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用函数是奇函数，将f（1）转化为f（﹣1）即可求值．解答：解：因为函数f（x）是R上的奇函数，所以f（﹣1）=﹣f（1），即f（1）=﹣f（﹣1），当x∈（﹣∞，0]时，f（x）=﹣xlg（3﹣x），所以f（﹣1）=lg（3﹣（﹣1））=lg4．所以f（1）=﹣f（﹣1）=﹣lg4．故选D．点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，利用奇偶性的定义将数值进行转化是解决本题的关键．4．（5分）下列说法正确的是（）A．l og0.56＞log0.54 B．0.60.5＞log0.60.5C．2.50＜D．90.9＞270.48考点：对数值大小的比较；有理数指数幂的化简求值．专题：函数的性质及应用．分析：根据指数函数和对数的图象和性质即可得到答案．解答：解：对于A，根据对数函数的单调性可知，不正确，对于B，0＜0.60.5＜1，log0.60.5＞log0.60.6=1，故B不正确，对于C，2.50=1，＜1，故C不正确，对于D，90.9＞=31.8＞270.48=31.44，故D正确，故选：D．点评：本题考察了根据指数函数和对数的图象和性质，属于基础题．5．（5分）命题p：x2﹣x＜0是命题q：0＜x＜2的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：先求出命题p，然后再结合p和q的取值范围进行判断．解答：解：命题p：x2﹣x＜0等价于0＜x＜1，命题q：0＜x＜2，∴p能推出p，但q不能推出q，∴p是q的充分比必要条件，故选：A．点评：本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，解题时要认真审题，准确求解p 和q的取值范围．6．（5分）若变量y与x之间的相关系数r=﹣0.9362，则变量y与x之间（）A．不具有线性相关关系B．具有线性相关关系C．它们的线性相关关系还需要进一步确定D．不确定考点：变量间的相关关系．专题：概率与统计．分析：相关系数的绝对值越接近于1，越具有强大相关性，相关系数r=﹣0.9362，相关系数的绝对值约接近1，得到结论．解答：解：∵相关系数的绝对值越大，越具有强大相关性，相关系数r=﹣0.9362，相关系数的绝对值约接近1，相关关系较强．故选：B．点评：判断两个变量间的关系是函数关系还是相关关系的关键是判断两个变量之间的关系是否是确定的，若确定的则是函数关系；若不确定，则是相关关系，相关系数越大，相关性越强．7．（5分）“指数函数y=a x（a＞1）是增函数，y=xα（α＞1）是指数函数，所以y=xα（α＞1）是增函数”，在以上演绎推理中，下列说法正确的是（）A．推理完全正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．推理形式不正确考点：演绎推理的基本方法．专题：综合题；推理和证明．分析：小前提：y=xα（α＞1）是幂函数，不是指数函数，即可得出结论．解答：解：小前提：y=xα（α＞1）是幂函数，不是指数函数，故选：C．点评：演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系．因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论8．（5分）想沏壶茶喝．洗烧开水的壶、灌入凉水需2分钟，洗茶壶、茶杯需2分钟，拿茶叶需1分钟，烧开水需15分钟，沏茶需1分钟．最省时的操作时间是（）A．17分钟B．18分钟C．19分钟D．20分钟考点：优选法的概念．专题：推理和证明．分析：烧开水的同时可以洗茶壶，洗茶杯，拿茶叶，由此求解．解答：解：具体工序安排如下：①洗烧开水的壶、灌入凉水需2分钟，②烧开水需15分钟，烧开水时洗茶壶，茶杯需2分钟，拿茶叶需1分钟，沏③茶需1分钟．一共只需要3个大步骤，共有18分钟．故选：B．点评：此类问题属于合理安排时间问题，要奔着既节约时间，又使各项工序互不矛盾进行安排．9．（5分）把函数y=sinx（x∈R）的图象上所有点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（）A．，x∈R B．，x∈RC．，x∈R D．，x∈R考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：常规题型．分析：根据左加右减的性质先左右平移，再进行ω伸缩变换即可得到答案．解答：解：由y=sinx的图象向左平行移动个单位得到y=sin（x+），再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍得到y=sin（2x+）故选C点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，平移变换时注意都是对单个的x或y来运作的．10．（5分）已知f′（x）是奇函数f（x）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）+f（x）＞0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣1，0）∪（0，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）考点：函数的单调性与导数的关系．专题：导数的概念及应用．分析：根据题意构造函数g（x）=xf（x），由求导公式和法则求出g′（x），结合条件判断出g′（x）的符号，即可得到函数g（x）的单调区间，根据f（x）奇函数判断出g（x）是偶函数，由f（﹣1）=0求出g（﹣1）=0，结合函数g（x）的单调性、奇偶性画出函数的大致图象，再转化f（x）＞0，由图象求出不等式成立时x的取值范围．解答：解：由题意设g（x）=xf（x），则g′（x）=xf′（x）+f（x），∵当x＞0时，有xf′（x）+f（x）＞0，∴则当x＞0时，g′（x）＞0，∴函数g（x）=xf（x）在（0，+∞）上为增函数，∵函数f（x）是奇函数，∴g（﹣x）=（﹣x）f（﹣x）=（﹣x）[﹣f（x）]=xf（x）=g（x），∴函数g（x）为定义域上的偶函数，由f（﹣1）=0得，g（﹣1）=0，函数g（x）的图象大致如右图：∵不等式f（x）＞0⇔＞0，∴或，由函数的图象得，﹣1＜x＜0或x＞1，∴使得f（x）＞0成立的x的取值范围是：（﹣1，0）∪（1，+∞），故选：B．点评：本题考查利用导数判断函数的单调性，由函数的奇偶性、单调性解不等式，考查构造函数法，转化思想和数形结合思想，属于综合题．二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案涂在答题卡上）11．（5分）sin15°+sin75°的值是．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的化简求值．专题：三角函数的求值．分析：利用诱导公式以及两角和的正弦函数化简求解即可．解答：解：sin15°+sin75°=sin15°+cos15°=（sin15°cos45°+cos15°sin45°）=sin60°=．故答案为：．点评：本题考查两角和的正弦函数，三角函数的化简求值，考查计算能力．12．（5分）函数f（x）=x2﹣4x+5﹣2lnx的零点个数为2．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：根据f（x）解析式确定出x大于0，求函数f（x）=x2﹣4x+5﹣2lnx的零点个数，即求方程lnx=（x﹣2）2+的解的个数，利用图象求出即可．解答：解：由题意可得x＞0，求函数f（x）=x2﹣4x+5﹣2lnx的零点个数，即求方程lnx=（x﹣2）2+的解的个数，数形结合可得，函数y=lnx的图象和函数y=（x﹣2）2+的图象有2个交点，则f（x）=lnx﹣x2+2x+5有2个零点，故答案为：2点评：此题考查了根的存在性及根的个数判断，利用了数形结合的思想，画出相应的图象是解本题的关键．13．（5分）已知x∈（﹣π，0）且cosx=﹣，则sin2x=．．考点：二倍角的余弦．专题：三角函数的求值．分析：由已知及同角三角函数关系式可求sinx，由二倍角公式即可得解．解答：解：∵x∈（﹣π，0）且cosx=﹣，∴sinx=﹣=﹣，∴sin2x=2sinxcosx=2×=．故答案为：．点评：本题主要考查了同角三角函数关系式，二倍角公式的应用，属于基本知识的考查．14．（5分）已知函数是R上的增函数，则实数a的取值范围是4≤a＜8．考点：分段函数的应用．专题：计算题．分析：利用函数单调性的定义，结合指数函数，一次函数的单调性，即可得到实数a的取值范围．解答：解：由题意，，解得4≤a＜8故答案为：4≤a＜8点评：本题考查函数的单调性，解题的关键是掌握函数单调性的定义，属于中档题．15．（5分）若存在x0∈R，使ax02+2x0+a＜0，则实数a的取值范围是a＜1．考点：特称命题．专题：简易逻辑．分析：写出命题：存在x0∈R，使a+2x0+a＜0的否定，求出对命题的否定成立时a的范围，再求该命题成立时a的取值范围．解答：解：命题：存在x0∈R，使a+2x0+a＜0的否定为：对任意x∈R，都有ax2+2x+a≥0恒成立；先求对任意x∈R，都有ax2+2x+a≥0恒成立时a的范围：①当a=0时，该不等式化为2x≥0，即x≥0，不合题意；②当a≠0时，有，解得a≥1，由①②得a的范围是：a≥1；所以，存在x0∈R，使a+2x0+a＜0时a的取值范围是：a＜1．故答案为：a＜1．点评：本题考查了命题与命题的否定的应用问题，也考查了一元二次不等式的恒成立问题，是基础题目．16．（5分）“整数对”按如下规律排成一列：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），…，则第50个数对是（5，6）．考点：归纳推理．专题：推理和证明．分析：由已知可知排列规律是（m，n）（m，n∈N*），且m+n的和从2开始，依次是3，4…增大，其中m也是依次增大，按规律分组：第一组（1，1）；第二组（1，2），（2，1）；第三组（1，3），（2，2），（3，1）；…求前10组有序实数对个数，第50项应在第10组中的第五个，分析“整数对”的分布规律，然后归纳推断出第50个数对．解答：解：由已知可知：“整数对”（m，n）（m，n∈N*），m+n的值从2开始，依次是3，4…增大，其中m也是依次增大，而m+n=2只有一个（1，1）；m+n=3有两个（1，2），（2，1）；m+n=4有3个（1，3），（2，2），（3，1）；…m+n=11有10个（1，10），（2，9），…，（10，1）；其上面共有1+2+…+10==55个；所以第50个“整数对”是（5，6），故答案为：（5，6）．点评：本题考查的知识点是归纳推理，归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想），属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（10分）（Ⅰ）证明：=．（Ⅱ）已知圆的方程是x2+y2=r2，则经过圆上一点M（x0，y0）的切线方程为x0x+y0y=r2，类比上述性质，试写出椭圆+=1类似的性质．考点：三角函数恒等式的证明；圆的切线方程．专题：三角函数的求值；直线与圆．分析：（Ⅰ）运用分析法进行证明；（Ⅱ）经过圆上一点M（x0，y0）的切线方程就是将圆的方程中的一个x与y分别用M（x0，y0）的横坐标与纵坐标替换．由此类比得到．解答：（Ⅰ）证明：欲证，只需证sin2α=（1﹣cosα）（1+cosα），即证sin2α=1﹣cos2α，上式显然成立，故原等式成立．…5分（Ⅱ）解：圆的性质中，经过圆上一点M（x0，y0）的切线方程就是将圆的方程中的一个x与y分别用M（x0，y0）的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆类似的性质为：过椭圆一点P（x0，y0）的切线方程为．…10分．点评：本题考查了三角函数恒等式的证明以及类比推理．18．（10分）铁路运输托运行李，从甲地到乙地，规定每张客票托运费计算方法为：行李质量不超过50kg，按0.25元/kg计算；超过50kg而不超过100kg时，其超过部分按0.35元/kg计算，超过100kg时，其超过部分按0.45元/kg计算．设行李质量为xkg，托运费用为y元．（Ⅰ）写出函数y=f（x）的解析式；（Ⅱ）若行李质量为56kg，托运费用为多少？考点：分段函数的应用．专题：应用题；函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）对x讨论，若0＜x≤50，若50＜x≤100，若x＞100，求得f（x）的解析式；（Ⅱ）对自变量的范围考虑，选择第二段，代入计算即可得到托运费．解答：解：（Ⅰ）（1）若0＜x≤50，则y=0.25x；（2）若50＜x≤100，则y=12.5+0.35（x﹣50）=0.35x﹣5；（3），则y=30+0.45（x﹣100）=0.45x﹣15．综上可得，y=；（Ⅱ）因为50kg＜56kg≤100kg，所以y=12.5+6×0.35=14.6（元）．则托运费为14.6元．点评：本题考查分段函数及运用，主要考查分段函数的解析式的求法和运用，属于基础题．19．（12分）设平面向量=（cosx，sinx），=，函数f（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．考点：两角和与差的正弦函数；平面向量数量积的运算；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质；平面向量及应用．分析：（Ⅰ）由平面向量数量积的运算，化简函数解析式可得f（x）=，由周期公式即可得解．（Ⅱ）由即可解得f（x）的单调递增区间．解答：解：（Ⅰ）=…2分=…4分所以，f（x）的最小正周期为2π．…6分（Ⅱ）由…8分得…10分所以，f（x）的单调递增区间为．…12分．点评：本题主要考查平面向量数量积的运算，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．20．（12分）已知函数f（x）=x3﹣（a∈R）．（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）在[0，2]上的最大值；（Ⅱ）若对任意x∈（0，+∞），有f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）a=1时写出f（x），求出f′（x），解方程f′（x）=0，列出当x变化时f′（x）、f （x）的变化表，由表格可得函数在[0，2]上的最大值；（Ⅱ）对任意x∈（0，+∞），有f（x）＞0恒成立，等价于f（x）min＞0，分a＜0，a=0，a＞0三种情况进行讨论，利用导数即可求得f（x）在（0，+∞）上的最小值，然后解不等式f（x）min＞0可得a的范围；解答：解：（I）当a=1时，f（x）=﹣x+，f′（x）=x2﹣1，令f′（x）=0，得x1=﹣1，x2=1，列表：x 0 （0，1） 1 （1，2） 2f′（x）﹣1 ﹣0 + 3f（x）↘﹣↗∴当x∈[0，2]时，f（x）最大值为f（2）=．（Ⅱ）f′（x）=x2﹣a2=（x﹣a）（x+a），令f′（x）=0，得x1=﹣a，x2=a，①若a＜0，在（0，﹣a）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（﹣a，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增．所以，f（x）在x=﹣a时取得最小值f（﹣a）=﹣=a（），因为a＜0，＞0，所以f（﹣a）=a（）＜0．所以当a＜0时，对任意x∈（0，+∞），f（x）＞0不成立；②若a=0，f′（x）=x2≥0，所以f（x）在（0，+∞）上是增函数，所以当a=0时，有f（x）＞f（0）=0；③若a＞0，在（0，a）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（a，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增．所以，f（x）在x=a时取得最小值f（a）==﹣a（），令f（a）=﹣a（）＞0，由a＞0，得＜0，0＜a＜，所以当0＜a＜时，对任意x＞0，f（x）＞0都成立．综上，a的取值范围是[0，]．点评：本题考查利用导数求函数在闭区间上的最值、函数恒成立，函数恒成立问题常转化为函数的最值解决，体现了转化思想．21．（13分）已知函数f（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）若f（x）=2，求x的取值集合及sin2x的值．考点：三角函数的化简求值；二倍角的正弦；正弦函数的定义域和值域．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）求使sinx≠0的x 范围即可；（Ⅱ）由f（x）=2，化简得到sin2x=﹣1，由此得到x．解答：解：（Ⅰ）由sinx=0，得x=kπ（k∈Z），…2分所以，函数f（x）的定义域为{x|x∈R，x≠kπ}（k∈Z）．…3分（Ⅱ）由f（x）=2，得即，，…（*）…5分所以（sinx﹣cosx）2=2，即sin2x﹣2sinxcosx+cos2x=2，所以，sin2x=﹣1．…8分由sin2x=﹣1，得，则，…10分当k=2n﹣1（n∈Z）时，代入（*），矛盾，舍去；当k=2n（n∈Z）时，代入（*），成立．所以，x的取值集合是．…13分．点评：本题考查了三角函数解析式的化简；用到了倍角公式、基本关系式等．22．（13分）已知函数f（x）=（2﹣a）lnx++2ax（a≤0）．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；（Ⅱ）当a＜0时，讨论f（x）的单调性；（Ⅲ）若对任意的a∈（﹣3，﹣2），x1，x2∈[1，3]，恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求实数m的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）当a=0时，f（x）=2lnx+，求导，令f′（x）=0，解方程，分析导数的变化情况，确定函数的极值；（Ⅱ）当a＜0时，求导，对导数因式分解，比较两根的大小，确定函数f（x）单调区间；（Ⅲ）若对任意a∈（﹣3，﹣2）及x1，x2∈[1，3]，恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求函数f（x）的最大值和最小值，解不等式，可求实数m的取值范围．解答：解：（Ⅰ）依题意知f（x）的定义域为（0，+∞），当a=0时，f（x）=2lnx+，f′（x）=﹣=，令f′（x）=0，解得x=，当0＜x＜时，f′（x）＜0；当x≥时，f′（x）＞0又∵f（）=2ln=2﹣2ln2∴f（x）的极小值为2﹣2ln2，无极大值．（Ⅱ）f′（x）=﹣+2a=，当a＜﹣2时，﹣＜，令f′（x）＜0 得0＜x＜﹣或x＞，令f′（x）＞0 得﹣＜x＜；当﹣2＜a＜0时，得﹣＞，令f′（x）＜0 得0＜x＜或x＞﹣，令f′（x）＞0 得＜x＜﹣；当a=﹣2时，f′（x）=﹣≤0，综上所述，当a＜﹣2时f（x），的递减区间为（0，﹣）和（，+∞），递增区间为（﹣，）；当a=﹣2时，f（x）在（0，+∞）单调递减；当﹣2＜a＜0时，f（x）的递减区间为（0，）和（﹣，+∞），递增区间为（，﹣）．（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当a∈（﹣3，﹣2）时，f（x）在区间[1，3]上单调递减，当x=1时，f（x）取最大值；当x=3时，f（x）取最小值；|f（x1）﹣f（x2）|≤f（1）﹣f（3）=（1+2a）﹣[（2﹣a）ln3++6a]=﹣4a+（a﹣2）ln3，∵（m+ln3）a﹣ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|恒成立，∴（m+ln3）a﹣2ln3＞﹣4a+（a﹣2）ln3整理得ma＞﹣4a，∵a＜0，∴m＜﹣4恒成立，∵﹣3＜a＜﹣2，∴﹣＜﹣4＜﹣，∴m≤﹣．点评：考查利用导数研究函数的极值、单调性和最值问题，在求函数的单调区间时，体现了分类讨论的思想方法；恒成立问题，转化为函数的最值问题，体现了转化的思想．属难题．。
2014-2015年北京市延庆县高二(上)期末数学试卷(文科)及答案
2014-2015学年北京市延庆县高二（上）期末数学试卷（文科）一、填空题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.把答案填在答题卡内）1．（5分）点P（﹣1，2）到直线2x﹣y+5=0的距离d=．2．（5分）双曲线的渐近线方程为．3．（5分）已知函，则f′（1）=．4．（5分）已知三点A（1，﹣1），B（x，3），C（4，5）共线，则实数x=．5．（5分）已知一个正方体的八个顶点都在一个球的表面上，若此正方体的棱长=4πR2（R为球的半径）为2，那么这个球的表面积是．注：S球6．（5分）抛物线y2=4x上一点P和焦点F的距离等于5，则点P的坐标是．7．（5分）某几何体的三视图如图所示，则它的体积是．8．（5分）设a，b∈R，若直线ax+y﹣b=0与直线x﹣3y+1=0垂直，则实数a=．9．（5分）过点（3，）与圆x2+y2﹣4x+3=0相切的直线方程为．10．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=1，则四面体A﹣EFB的体积V=．二、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案涂在答题卡上.11．（5分）下列命题错误的是（）A．已知直线a∥b，且b∥c，则a∥cB．已知直线a∥平面α，且直线b∥平面α，则a∥bC．已知直线a∥平面α，过平面α内一点作b∥a，则b⊂αD．过平面外一点可以做无数条直线与这个平面平行，并且这些直线都在同一平面内12．（5分）已知两圆x2+y2﹣4x=0和x2+y2﹣6x+8=0，则两圆的位置关系为（）A．相交B．外切C．内切D．相离13．（5分）从椭圆+=1（a＞b＞0）上一点P向x轴作垂线，垂足恰为右焦点F2，A是椭圆与x轴负半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB ∥OP（O是坐标原点），则该椭圆的离心率是（）A．B．C．D．14．（5分）设点P（x，y），则“x=0且y=﹣1”是“点P在直线l：x+y+1=0上”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件15．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c的导函数y=f′（x）的图象如图所示，给出下列三个结论：①f（x）的单调递减区间是（1，3）；②函数f（x）在x=1处取得极小值；③a=﹣6，b=9．正确的结论是（）A．①③B．①②C．②③D．①②③16．（5分）曲线y=x3﹣3x过点（1，﹣2）的切线条数为（）A．1条B．2条C．3条D．4条三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知函数f（x）=x3﹣4x+4．（Ⅰ）求函数的极值；（Ⅱ）求函数在区间[﹣3，4]上的最大值和最小值．18．（10分）已知在空间四边形ABCD中，AC=AD，BC=BD，且E，F分别是CD，AD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面ABC；（Ⅱ）求证：CD⊥AB．19．（12分）已知以点P为圆心的圆经过点A（﹣1，1）和B（1，3），线段AB 的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|=4．（Ⅰ）求直线CD的方程；（Ⅱ）求圆P的方程．20．（12分）如图，在四棱锥A﹣DCBE中，AC⊥BC，底面DCBE为平行四边形，DC⊥平面ABC．（Ⅰ）求证：DE⊥平面ACD；（Ⅱ）若∠ABC=30°，AB=2，EB=，求三棱锥B﹣ACE的体积；（Ⅲ）设平面ADE∩平面ABC=直线l，求证：BC∥l．21．（12分）已知椭圆C的焦点为（﹣2，0）和（2，0），椭圆上一点到两焦点的距离之和为4．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y=x+m（m∈R）与椭圆C交于A，B两点．当m变化时，求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．22．（12分）已知函数f（x）=mlnx+（m﹣1）x（m∈R）．（Ⅰ）当m=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）讨论f（x）的单调性．2014-2015学年北京市延庆县高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.把答案填在答题卡内）1．（5分）点P（﹣1，2）到直线2x﹣y+5=0的距离d=．【解答】解：由点到直线的距离公式可得d==．故答案为：．2．（5分）双曲线的渐近线方程为．【解答】解：∵双曲线方程为，则渐近线方程为，即y=±，故答案为：y=±．3．（5分）已知函，则f′（1）=﹣1．【解答】解：∵，∴f'（x）=﹣，∴f'（1）=﹣=﹣1．故答案为：﹣1．4．（5分）已知三点A（1，﹣1），B（x，3），C（4，5）共线，则实数x=3．【解答】解：∵三点A（1，﹣1），B（x，3），C（4，5）共线，∴k AB=k AC，∴=，解得x=3．故答案为：3．5．（5分）已知一个正方体的八个顶点都在一个球的表面上，若此正方体的棱长为2，那么这个球的表面积是12π．注：S=4πR2（R为球的半径）球【解答】解：设正方体的外接球的半径为R，由正方体的对角线长即为球的直径，则2=2r，即R=，即有球的表面积为S=4πR2=4π×3=12π．故答案为：12π．6．（5分）抛物线y2=4x上一点P和焦点F的距离等于5，则点P的坐标是（4，4），（4，﹣4）．【解答】解：设P（m，n），由于抛物线y2=4x的准线为x=﹣1，则由定义可得|PF|=m+1=5，解得m=4，则n2=16，解得n=﹣4和4．即有P（4，4）或（4，﹣4）．故答案为：（4，4），（4，﹣4）．7．（5分）某几何体的三视图如图所示，则它的体积是12．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是平放的直四棱柱，该四棱柱的底面为直角梯形，梯形的上底长为2，下底长为2+2=4，高为2；四棱柱的高是2；∴该四棱柱的体积为V=（4+2）×2×2=12．故答案为：12．8．（5分）设a，b∈R，若直线ax+y﹣b=0与直线x﹣3y+1=0垂直，则实数a=3．【解答】解：直线ax+y﹣b=0的斜率为k1=﹣a，直线x﹣3y+1=0的斜率为．因为直线ax+y﹣b=0与直线x﹣3y+1=0垂直，所以k1•k2=﹣1，即，解得：a=3．故答案为3．9．（5分）过点（3，）与圆x2+y2﹣4x+3=0相切的直线方程为或x=3．【解答】解：圆的标准方程为（x﹣2）2+y2=1，则圆心坐标为（2，0），半径R=1若直线斜率k不存在，则直线方程为x=3，圆心到直线的距离d=3﹣2=1，满足条件．，若直线斜率k存在，则直线方程为y﹣=k（x﹣3），即kx﹣y+﹣3k=0，圆心到直线的距离d=，平方得k=，此时切线方程为，综上切线方程为，x=3，故答案为：，x=310．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=1，则四面体A﹣EFB的体积V=．【解答】解：由题意可知，由于点B到直线B1D1的距离不变，故△BEF的面积为=．又点A到平面BEF的距离为，==．故V A﹣BEF故答案为：．二、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案涂在答题卡上.11．（5分）下列命题错误的是（）A．已知直线a∥b，且b∥c，则a∥cB．已知直线a∥平面α，且直线b∥平面α，则a∥bC．已知直线a∥平面α，过平面α内一点作b∥a，则b⊂αD．过平面外一点可以做无数条直线与这个平面平行，并且这些直线都在同一平面内【解答】解：对于A，已知直线a∥b，且b∥c，利用平行线的传递性得到a∥c；故A 正确；对于B，已知直线a∥平面α，且直线b∥平面α，则a，b的位置关系可能为平行、相交或者异面；故B 错误；对于C，已知直线a∥平面α，过平面α内一点作b∥a，关键线面平行的性质得到b⊂α；故C正确；对于D，过平面外一点可以做无数条直线与这个平面平行，并且这些直线都在同一平面内；根据面面平行的性质判断为正确．故选：B．12．（5分）已知两圆x2+y2﹣4x=0和x2+y2﹣6x+8=0，则两圆的位置关系为（）A．相交B．外切C．内切D．相离【解答】解：∵圆x2+y2﹣4x=0的标准方程为（x﹣2）2+y2=4，∴此圆的圆心为A（2，0），半径为R=2．∵圆x2+y2﹣6x+8=0的标准方程为（x﹣3）2+y2=1，∴此圆的圆心为B（3，0），半径为r=1．则|AB|=3﹣2=1．又R+r=5，R﹣r=1，∴|AB|=R﹣r，∴两圆内切．故选：C．13．（5分）从椭圆+=1（a＞b＞0）上一点P向x轴作垂线，垂足恰为右焦点F2，A是椭圆与x轴负半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB ∥OP（O是坐标原点），则该椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：依题意，设P（c，y0）（y0＞0），则+=1，∴y0=，∴P（c，），又A（a，0），B（0，b），AB∥OP，∴k AB=k OP，即==，∴b=c．设该椭圆的离心率为e，则e2====，∴椭圆的离心率e=．故选：D．14．（5分）设点P（x，y），则“x=0且y=﹣1”是“点P在直线l：x+y+1=0上”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：将x=0，y=﹣1代入直线l得：0+（﹣1）+1=0，满足方程，是充分条件，若P在直线l：x+y+1=0上，则不一定x=0，y=﹣1，不是必要条件，故选：A．15．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c的导函数y=f′（x）的图象如图所示，给出下列三个结论：①f（x）的单调递减区间是（1，3）；②函数f（x）在x=1处取得极小值；③a=﹣6，b=9．正确的结论是（）A．①③B．①②C．②③D．①②③【解答】解：由题意得：函数f（x）在（﹣∞，1）递增，在（1，3）递减，在（3，+∞）递增，∴f（x）在x=1处取到极大值，且，解得：a=﹣6，b=9，∴①③正确，②错误，故选：A．16．（5分）曲线y=x3﹣3x过点（1，﹣2）的切线条数为（）A．1条B．2条C．3条D．4条【解答】解：设切点P（t，t3﹣3t），由y=x3﹣3x，则y′=3x2﹣3，即有在点P处切线的斜率为k=y′|x=t=3t2﹣3，则有在点P处切线方程为y﹣t3+3t=（3t2﹣3）（x﹣t），又切线过点（1，﹣2），即有﹣2﹣t3+3t=（3t2﹣3）（1﹣t），即为2t3﹣3t2+1=0，即有（t﹣1）2（2t+1）=0，解得t=1或﹣，即t有两个解，即k有两个解，则过点（1，﹣2）与曲线相切的切线的条数是2．故选：B．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知函数f（x）=x3﹣4x+4．（Ⅰ）求函数的极值；（Ⅱ）求函数在区间[﹣3，4]上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=x2﹣4，令f′（x）=0，得x1=﹣2，x2=2，当f′（x）＞0时，即x＜﹣2或x＞2时，函数f（x）单调递增，当f′（x）＜0时，即﹣2＜x＜2时，函数f（x）单调递减，当x=﹣2时，函数有极大值，且f（﹣2）=，当x=2时，函数有极小值，且f（2）=﹣．（Ⅱ）∵f（﹣3）=×（﹣3）3﹣4×（﹣3）+4=7，f（﹣3）=×43﹣4×4+4=，与极值点的函数值比较，得已知函数在区间[﹣3，4]上的最大值是，最小值是﹣．18．（10分）已知在空间四边形ABCD中，AC=AD，BC=BD，且E，F分别是CD，AD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面ABC；（Ⅱ）求证：CD⊥AB．【解答】（Ⅰ）证明：因为E，F分别是CD，AD的中点，所以，EF为△ACD的中位线，所以EF∥AC．…（2分）又因为AC⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，所以，EF∥平面ABC．…（4分）（Ⅱ）证明：连结AE，BE，在△ACD中，因为AC=AD，E是CD中点，所以AE⊥CD．…（6分）同理可证，BE⊥CD．…（7分）又因为，AE∩BE=E，AE⊂平面ABE，BE⊂平面ABE，所以，CD⊥平面ABE．…（9分）又因为，AB⊂平面ABE，所以CD⊥AB．…（10分）19．（12分）已知以点P为圆心的圆经过点A（﹣1，1）和B（1，3），线段AB 的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|=4．（Ⅰ）求直线CD的方程；（Ⅱ）求圆P的方程．【解答】解：（Ⅰ）直线AB的斜率k=1，AB中点坐标为（0，2），∴直线CD的斜率为﹣1，∴直线CD方程为y﹣2=﹣x，即x+y﹣2=0（Ⅱ）设圆心P（a，b），则由P在CD上，得a+b﹣2=0①又直径|CD|=4，∴|PA|=2，（a+1）2+（b﹣1）2②由①②解得或∴圆心P（1，1）或P（﹣1，3），∴圆P的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=4和（x+1）2+（y﹣3）2=4．20．（12分）如图，在四棱锥A﹣DCBE中，AC⊥BC，底面DCBE为平行四边形，DC⊥平面ABC．（Ⅰ）求证：DE⊥平面ACD；（Ⅱ）若∠ABC=30°，AB=2，EB=，求三棱锥B﹣ACE的体积；（Ⅲ）设平面ADE∩平面ABC=直线l，求证：BC∥l．【解答】（Ⅰ）证明：因为DC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以BC⊥DC．…（1分）又因为AC⊥BC，AC⊂平面ACD，CD⊂平面ACD，AC∩CD=C，所以，BC⊥平面ACD．…（3分）因为底面DCBE为平行四边形，所以BC∥ED．所以DE⊥平面ACD．…（5分）（Ⅱ）解：因为底面DCBE为平行四边形，DC⊥平面ABC，所以BE⊥平面ABC．=V E﹣ABC=．…（8分）所以V B﹣ACE（Ⅲ）证明：因为底面DCBE为平行四边形，所以BC∥ED．…（9分）因为BC⊄平面ADE，ED⊂平面ADE，所以BC∥平面ADE．…（10分）因为，平面ADE∩平面ABC=l，BC⊂平面ABC，所以BC∥l．…（12分）21．（12分）已知椭圆C的焦点为（﹣2，0）和（2，0），椭圆上一点到两焦点的距离之和为4．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y=x+m（m∈R）与椭圆C交于A，B两点．当m变化时，求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为：（a＞b＞0），由题可知：长轴长，即，半焦距c=2，∴b2=a2﹣c2=4，∴椭圆C的标准方程为；（Ⅱ）联立，消去y并整理得：3x2+4mx+2m2﹣8=0，其根的判别式△=（4m）2﹣4×3×（2m2﹣8）＞0，解得，由题意，知m≠0，设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理，得：，，设直线l与y轴的交点为E，则E（0，m）．所以△AOB面积，====（0＜m2＜12），∴当m2=6即时，△AOB面积取得最大值．22．（12分）已知函数f（x）=mlnx+（m﹣1）x（m∈R）．（Ⅰ）当m=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）讨论f（x）的单调性．【解答】解：（Ⅰ）当m=2时，f（x）=2lnx+x，，，f（1）=2ln1+1=1，所以，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y﹣1=3（x﹣1），即3x﹣y﹣2=0．（Ⅱ）函数f（x）的定义域为{x|x＞0}，f′）x）=+m﹣1=；（1）当m≥1时，f'（x）＞0，f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增；（2）当m＜1时，令f'（x）=0，解得x=．当m≤0时，f'（x）＜0，f（x）在定义域（0，+∞）上单调递减；当0＜m＜1时，当x变化时，f'（x），f（x）变化状态如下表：（∴f（x）在（0，）单调递增，在（，+∞）单调递减．。
北京市延庆县2014—2015学年度高二第二学期期末考试数学理试题(WORD精校版)
延庆县2014—2015学年度第二学期期末考试 高二数学（理科） 2015.7本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡内）A ．第一象限B ．第二象限C .第三象限D ．第四象限 2.现有高一学生9人，高二学生12人，高三学生7人，自发组织参加数学课外活动小组，从中推选两名来自不同年级的学生做一次活动的主持人，共有不同的选法 A ．756种 B ．56种 C ．28种 D ．255种 3.在极坐标中，与圆4sin ρθ=相切的一条直线方程为A ．sin 2ρθ=B ．cos 2ρθ=C ．cos 4ρθ=D ．cos 4ρθ=- 4.若变量y 与x 之间的相关系数0.9362r =-，则变量y 与x 之间 A.不具有线性相关关系 B . 具有线性相关关系 C.它们的线性相关关系还需要进一步确定 D.不确定 5.下列求导数运算正确的是A.211()1x x x'+=+ B.2(cos )2sin x x x x '=- C.3(3)3log x x e '= D.21(log )ln 2x x '=6. 由曲线y 2y x =-及x 轴所围成的图形的面积为A .103 B.4 C.163D.6 7.“指数函数(1)xy a a =>是增函数，(1)y x αα=>是指数函数，所以y x α=(1)α>是增函数”，在以上演绎推理中，下列说法正确的是A ．推理完全正确 B.大前提不正确 C ．小前提不正确 D ．推理形式不正确8.直线34x ty t=-⎧⎨=+⎩ ，（t 为参数)上与点(3,4)PA.)3,4(B.)5,4(-或)1,0(C. )5,2( D .)3,4(或)5,2( 9.袋中有大小相同的4个红球，6个白球，每次从中摸取一球，每个球被取到的可能性相同，现不放回地取3个球，则在前两次取出的是白球的前提下，第三次取出红球的概率为 A ．12 B ．13 C ．14 D ．1610.已知)(x f '是奇函数)(x f 的导函数，0)1(=-f ，当0>x 时，0)()(>-'x f x f x ， 则使得0)(>x f 成立的x 的取值范围是A ．)1,0()1,( --∞B ．),1()0,1(+∞-C ．)1,0()0,1( -D ．),1()1,(+∞--∞二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案涂在答题卡上） 11.523)1(xx -展开式中的常数项是 ．10- 12.已知某电子元件的使用寿命（单位：小时）服从正态分布2(1000,50)N ，那么该电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为 .21; 0212=-+-πy x 13.已知函数()tan f x x =,则()f x 在点(,())44P f ππ处的线方程为 .14.有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，若X 表示取到次品的件数，则EX = ．5315.用18m 长的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2:1，则该长方体的最大体积是_____3m ．316.“整数对”按如下规律排成一列: (1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4), (2,3),(3,2),(4,1),……,则第50个数对是 . )6,5(三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分） （Ⅰ）证明：sin 1cos 1cos sin αααα-=+.证明：欲证sin 1cos 1cos sin αααα-=+，只需证2sin (1cos )(1cos )ααα=-+，即证22sin 1cos αα=-，上式显然成立，故原等式成立． ……5分（Ⅱ）已知圆的方程是222x y r +=，则经过圆上一点00(,)M x y 的切线方程为200x x y y r +=，类比上述性质，试写出椭圆22221x y a b+=类似的性质．解：圆的性质中，经过圆上一点00(,)M x y 的切线方程就是将圆的方程中的一个x 与y 分别用00(,)M x y 的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆22221x y a b+=类似的性质为：过椭圆22221x y a b+=一点00(,)P x y 的切线方程为00221x x y y a b +=. ……10分18.（本小题满分10分） 已知函数32()3f x ax bx x =+-在1±=x 处取得极值.（Ⅰ）求实数,a b 的值；（Ⅱ）过点)16,0(A 作曲线)(x f y =的切线,求此切线方程. 解：（Ⅰ）2()323f x ax bx =+-'……1分(1)0(1)0f f '-=⎧⎨'=⎩，即32303230a b a b --=⎧⎨+-=⎩ 解得1,0a b ==， ……4分此时2()333(1)(1)f x x x x =-=+-'在1x =-两边（附近）()f x '符号相反，所以1x =-处函数()f x 取得极值，同理，在1x =处函数()f x 取得极值. ……5分（Ⅱ）设切点坐标为00(,)x y .则切线方程为2000(33)()y y x x x -=--……7分320000163(33)()x x x x -+=--化简，得 308x =-，即02x =-，……9分 所求的切线方程为：9160x y -+=.……10分19.（本小题满分12分）已知一个袋子中有3个白球和3个红球，这些球除颜色外完全相同.（Ⅰ）每次从袋中取出一个球，取出后不放回，直到取到一个红球为止，求取球次数ξ的分布列和数学期望()E ξ；（Ⅱ）每次从袋中取出一个球，取出后放回接着再取一个球，这样取3次，求取出红球次数η的数学期望()E η.解：（Ⅰ）ξ的所有可能值为1，2,3,4.……2分31(1)62P ξ===， 113326333(2)6510A A P A ξ⨯====⨯，2133363233(3)65420A A P A ξ⨯⨯====⨯⨯， 3133463231(4)654320A A P A ξ⨯⨯====⨯⨯⨯.……6分故ξ的分布列为()123421020204E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……8分（Ⅱ）取出后放回，取3次球，可看做3次独立重复试验，所以1(3,)2B η，所以13()322E η=⨯=. ……12分20.（本小题满分13分）已知函数3211()()32f x x a x a a =-+∈R . （Ⅰ）当1a =时，函数()()g x f x b =-恰有3个零点，求实数b 的取值范围； （Ⅱ）若对任意[)0,∈+∞x ，有()0f x >恒成立，求a 的取值范围.解：解：（Ⅰ）()21(1)(1)f x x x x '=-=+- ……1分令()120,1,1f x x x '==-= ……2分 当x 变化时，(),()f x f x '的取值情况如下：()716f -=， ()116f =-， ……5分 所以，实数b 的取值范围是17(,)66-. ……6分 （Ⅱ）()()()f x x a x a '=+-,令()120,,f x x a x a '==-= ……7分（1）当0a =时，()f x 在[0,)+∞上为增函数，()min (0)0f x f ∴==不合题意； ……8分（2）当0a >时，()f x 在(0,)a 上是减函数，在(,)a +∞上为增函数，()min ()0f x f a ∴=>，得0a <<； ……10分 （3）当0a >时，()f x 在(0,)a -上是减函数，在(,)a -+∞上为增函数，()min ()(0)0f x f a f ∴=-<<，不合题意. ……12分综上，02a <<. ……13分 21.（本小题满分12分）某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率依次为4321,,,5555，且各轮问题能否正确回答互不影响. （Ⅰ）求该选手进入第四轮才被淘汰的概率； （Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率.解：（Ⅰ）记“选手能正确回答第i 轮的问题”的事件记为(1,2,3,4)i A i =， 则1243(),()55P A P A ==，3421(),()55P A P A ==， ……2分 所以选手进入第四轮才被淘汰的概率:1234()P P A A A A =1234()()()()P A P A P A P A =4321965555625=⨯⨯⨯=. ……6分 （Ⅱ）该选手至多进入第三轮考核的概率112123()P P A A A A A A =++ ……8分 112123()()()P A P A A P A A A =++ ……10分142433101555555125=+⨯+⨯⨯=. ……12分22.（本小题满分13分）已知函数()x f x e ax =+，()ln g x ax x =-，其中0a <，e 为自然对数的底数．（Ⅰ）求)(x f 在[0,2]x ∈上的最小值；（Ⅱ）试探究能否存在区间M ，使得)(x f 和()g x 在区间M 上具有相同的单调性？若能存在，说明区间M 的特点，并指出)(x f 和()g x 在区间M 上的单调性；若不能存在，请说明理由．（Ⅰ）()f x 的定义域为R ，且()e x f x a '=+．令()0f x '=，得ln()x a =-． ……2分 若ln()0a -≤，即10a -≤<时，()0f x '≥，()f x 在[0,2]x ∈上为增函数，∴min ()(0)1f x f ==； ……3分若ln()2a -≥，即2a e ≤-时，()0f x '≤，()f x 在[0,2]x ∈上为减函数，∴2min ()(2)2f x f e a ==+； ……4分若0ln()2a <-<，即21e a -<<-时，由于[0,ln())x a ∈-时，()0f x '<；(ln(),2]x a ∈-时，()0f x '>，所以min ()(ln())ln()f x f a a a a =-=-- ……5分综上可知22min21, 10()2, ln(),1a f x e a a e a a a e a -≤<⎧⎪=+≤-⎨⎪---<<-⎩……6分 （Ⅱ）()g x 的定义域为(0,)+∞，且 11()ax g x a x x-'=-=．0a <时，()0g x '∴<，()g x ∴在(0,)+∞上单调递减． ……8分令()0f x '=，得ln()x a =-（1）10a -≤<时，ln()0a -≤，在(ln(),)a -+∞上()0f x '>，()f x ∴单调递增，由于()g x 在(0,)+∞上单调递减，所以不能存在区间M ，使得)(x f 和()g x 在区间M 上具有相同的单调性； ……10分 （2）若1a <-时，ln()0a ->，在(,ln())a -∞-上()0f x '<，()f x 单调递减； 在(ln(),)a -+∞上()0f x '>，()f x 单调递增．由于()g x 在(0,)+∞上单调递减，∴存在区间(0,ln()]M a ⊆-，使得)(x f 和()g x 在区间M 上均为减函数． ……12分综上，当10a -≤≤时，不能存在区间M ，使得)(x f 和()g x 在区间M 上具有相同的单调性；当1a <-时，存在区间(0,ln()]M a ⊆-，使得)(x f 和()g x 在区间M 上均为减函数． ……13分。
北京市延庆县2014-2015学年第一学期初三数学期末测试卷及答案
BA延庆县2014-2015学年第一学期期末测试卷初 三 数 学一、选择题（本题共32分，每小题4分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题．．．．．．．．意．的． 1. 下列图形中，是中心对称图形的是A ．B ．C ．D ．2．在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号小于4的概率为A. 15B. 25C. 35D. 453. 抛物线2(2)3y x =-+的顶点坐标是A ．（2，3）B ．（-2，3）C ．（2，-3）D ．（-2，-3） 4. 如图，□ABCD 中，点E 是边AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F ， 则EF ：FC 等于A ．1：1B ．1：2C ．1：3D ．2：35．如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足是E ，OC =5，CD =8， 则OE 的长为A ．1B ．2 C ．3D ． 4 6．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB BC ＝2，则sin B 的值为 A BC ．12D ．27．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示， 则下列结论中错误．．的是 A BCDE FnAB 22A ．函数有最小值B ．当－1 < x < 2时，0y >C ．0a b c ++<D ．当12x <，y 随x 的增大而减小 8．如图，矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，E ，F 分别是边BC ，AD 的中点， AB =3，BC =4，一动点P 从点B 出发，沿着B ﹣A ﹣D ﹣C 在矩形的边上运动，运动到 点C 停止，点M 为图1中某一定点，设点P 运动的路程为x ，△BPM 的面积为y ，表 示y 与x 的函数关系的图象大致如图2所示．则点M 的位置可能是图1中的A ．点CB ．点FC ．点D D ．点O二、填空题 （本题共16分，每小题4分）9．如果圆锥的母线长为5cm ，底面半径为2cm ，那么这个圆锥的侧面积是________ cm 2． 10. 请写出一个开口向下，并且与y 轴交于点（0，-2）的抛物线的表达式__________． 11. 已知关于x 的一元二次方程2410x x m -+-=无实数根，那么m 的取值范围是____． 12. 如图，AD 是⊙O 的直径．(1)如图1，垂直于AD 的两条弦B 1C 1，B 2C 2把圆周4等分，则∠B 1的度数是 ，∠B 2的度数是 ；(2)如图2，垂直于AD 的三条弦B 1C 1，B 2C 2，B 3C 3把圆周6等分，则∠B 3的度数是 ； (3)如图3，垂直于AD 的n 条弦B 1C 1，B 2C 2，B 3 C 3，…，B n C n 把圆周2n 等分，则∠B n的度数是 （用含n 的代数式表示∠B n 的度数）．图1 图2 图3图2图1三、解答题（本题共35分，每小题5分）13. 021(2015)()2π-︒+++14. 解方程：2450x x --=15. 已知：二次函数的图象过点A （2，-3），且顶点坐标为C （1，-4）． （1）求此二次函数的表达式；（2）画出此函数图象，并根据函数图象写出：当12x -<<时，y 的取值范围. 16. 如图，在⊙O 中，弦AC 与BD 交于点E ，AB =8，AE =6，ED =4，求CD 的长．（第16题）60°A B 30°CD17．如图，一渔船由西往东航行，在A 点测得海岛C 位于北偏东60°的方向，前进30海里到达B 点，此时，测得海岛C 位于北偏东30°的方向，求海岛C 到航线AB 的距离 CD 的长（结果保留根号）．18. 已知：AD 是△ABC的高，AD AB =4，tan ACD ∠=BC 的长.19. 某种商品每天的销售利润y （元）与销售单价x （元）之间 满足关系：y = ax 2+ bx ﹣75．其图象如图．（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？（第19题）（第17题）B四、解答题（本题共15分，每小题5分）20. 有六张完全相同的卡片，分A ，B 两组，每组三张，在A 组的卡片上分别画上☆○☆，B 组的卡片上分别画上☆○○，如图1所示.（1）若将卡片无标记的一面朝上摆在桌上，再分别从两组卡片中随机各抽取一张，求两张卡片上标记都是☆的概率（请用画树形图法或列表法求解）（2）若把A ，B 两组卡片无标记的一面对应粘贴在一起得到3张卡片，其正反面标记如图2所示，将卡片正面朝上摆放在桌上，并用瓶盖盖住标记.若揭开盖子，看 到的卡片正面标记是☆后，猜想它的反面也是☆，求猜对的概率是多少？21. 如图，在△ABC 中，以AC 为直径作⊙O 交BC 于点D ，交AB 于点G ，且D 是BC 中点，DE ⊥AB ，垂足为E ， 交AC 的延长线于点F .（1）求证：直线EF 是⊙O 的切线； （2）CF =5，cos ∠A = 25，求BE 的长.○☆B 组A 组☆☆○○ 图1○○ ○☆反面正面☆☆图2AE C FBAB CCBA22. 探究发现:如图1，△ABC是等边三角形，点E在直线BC上，∠AEF=60°，EF交等边三角形外角平分线CF于点F，当点E是BC的中点时，有AE=EF成立；数学思考:某数学兴趣小组在探究AE，EF的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，通过验证得出如下结论：当点E是直线BC上（B，C除外）（其它条件不变），结论AE=EF仍然成立．请你从“点E在线段BC上”；“点E在线段BC延长线”；“点E在线段BC反向延长线上”三种情况中，任选一种情况，在图2中画出图形，并证明AE=EF．拓展应用:当点E在线段BC的延长线上时，若CE=BC，在图3中画出图形，并运用上述结论求出S△ABC：S△AEF的值．图1图2图3五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题9分，第25题6分） 23. 已知关于x 的一元二次方程21202k x x -++=有实数根，k 为正整数. （1）求k 的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数2122k y x x -=++的图象 向下平移9个单位，求平移后的图象的表达式；（3）在（2）的条件下，平移后的二次函数的图象与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 左侧），直线(0)y kx b k =+>过点B ，且与抛物线的另一个交点为C ，直线BC 上方的抛物线与线段BC 组成新的图象，当此新图象的最小值大于-5时，求k 的取值范围.C24. 已知：△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB =AC ，在∠BAC 所对弧AC 上，任取一点D ，连接AD ，BD ，CD ，（1）如图1，BAC α∠=，直接写出∠ADB 的大小（用含α的式子表示）； （2）如图2，如果∠BAC =60°，求证：BD+CD=AD ；（3）如图3，如果∠BAC =120°，那么BD+CD 与AD 之间的数量关系是什么？写出猜测并加以证明；（4）如果BAC α∠=，直接写出BD+CD 与AD 之间的数量关系.图1图2图325. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C 1: 224y mx mx =-++（0≠m ）与抛物线C 2:22y x x =-，（1）抛物线C 1与y 轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B ．求点A ，B 的坐标； （2）若抛物线C 1在21x -<<-这一段位于C 2下方，并且抛物线C 1在13x <<这一段位于C 2上方，求抛物线C 1的解析式.----------------5分------------------4分 ------------------4分 ------------------5分------------------4分 ------------------5分------------------5分------------------4分 延庆县2014—2015学年第一学期期末测试答案初 三 数 学一、选择题（共32分，每小题4分）二、填空题（共16分，每题4分）三、解答题（本题共35分，每小题5分） 13. 02145(2015)()2π-︒+++= 414+ =514．解方程：2450x x --= 解1: (5)(1)0x x -+=∴125,1x x ==-解2: 2450x x --= 2449x x -+= 2(2)9x -= 23x ∴-=±∴125,1x x ==-解3: 2450x x --= ∵a =1,b =－4,c =－5∴462x ±==∴125,1x x ==--------4分-----------2分 ---------3分----------------------2分----------------------1分-----------5分---------------3分-------5分15.(1) 设二次函数的表达式为2()y a x h k =-+∵此函数图象顶点C （1，﹣4） ∴2(1)4y a x =-- 过点A （2，－3），∴a =1∴二次函数的解析式: 223y x x =-- （2）二次函数的解析式: 223y x x =--当x = －1时，y =0当x =1时，y 有最小值，为y =－4 ∵x =1在12x -<<内∴当12x -<<时，y 的取值范围－4 ≤ y ＜016. 解：∵∠B =∠C ，∠A =∠D ∴△ABE ∽△CDE∴AB AECD DE= ∵AB =8，AE =6，ED =4， ∴864CD = ∴163CD =---------1分---------2分 ---------3分--------4分 ---------5分E2D60°AB30°CD1---------2分 ---------3分---------5分---------4分 DCB ADC A17. 解：∵DA ⊥AD ，∠DAC =60°， ∴∠1=30°.∵EB ⊥AD ，∠EBC =30°， ∴∠2=60°. ∴∠ACB =30°. ∴BC = AB=30.在Rt △ACD 中，∵∠CDB =90°，∠2=60°， ∴tan 2CDBC∠=∴tan 6030CD ︒==∴CD =18. 分两种情况： （1）如图1在Rt △ABD 中，∠CDB =90°，AD =AB =4，由勾股定理可得：3BD ===. 在Rt △ACD 中，∠ADC =90°，AD =∵tan ACD ∠=，AD =∴tan ADACD CD∠== ∴CD =1. ∴BC =4. （2）如图2同理可求：BD =3，CD =1 ∴BC =2.综上所述：BC 的长为4或2.图1 图2---------2分---------4分 ---------5分---------3分---------1分○☆☆○○○○○☆☆☆---------5分---------4分 19. 解：（1）y =ax 2+bx ﹣75图象过点（5，0）、（7，16），∴，解得，y =﹣x 2+20x ﹣75的顶点坐标是（10，25） 当x =10时，y 最大=25，答：销售单价为10元时，该种商品每天销售利润最大，最大利润为25元； （2）∵函数y =﹣x 2+20x ﹣75图象的对称轴为直线x =10，可知点（7，16）关于对称轴的对称点是（13，16）， 又∵函数y =﹣x 2+20x ﹣75图象开口向下， ∴当7≤x ≤13时，y ≥16．答：销售单价不少于7元且不超过13元时，该商品每天销售利润不低于16元．20.（1）方法1：由题意：从树状图中可以看到，所有可能结果共9种，且每种结果出现的可能性相等，其中两张卡片上标记都是☆的结果共2种，所以 2()9P =两张都是☆. 方法1：由题意可列表如下：从表中可以看到，所有可能结果共9种，且每种结果出现的可能性相等，其中两张卡片上标记都是☆的结果共2种，所以 2()9P =两张都是☆. （2）12---------2分---------1分---------3分---------4分 ---------5分21.证明：（1）连接CD ∵AO=CO ，CD=BD∴OD //AB ∴∠ODE =∠DEB ∵DE ⊥AB ∴∠DEB=90° ∴∠ODE=90° ∴OD ⊥BC∴直线EF 是⊙O 的切线（2）设⊙O 的半径为x ，则OC=OA=OD ，∵OD //AB∴∠ODC =∠B ，∠FOD =∠A ∵OC =OD ∴∠ODC =∠OCD ∴∠B =∠OCD∴AC=BC=2x在Rt △ODF 中，∠ODF =90°， ∴2cos cos 5OD FOD A OF ∠=∠== ∴255xx =+ ∴103x =在Rt △AEF 中，∠FEA =90°， ∴2cos 5AE A AF ∠== ∴23553AE =∴143AE =∴BE =2B---------3分---------2分---------1分22. 数学思考:证明：如图一，在AB 上截取AG ，使AG=EC ，连接EG ， ∵△ABC 是等边三角形， ∴AB=BC ，∠B =∠ACB =60°． ∵AG=EC ， ∴BG=BE ，∴△BEG 是等边三角形，∠BGE =60°， ∴∠AGE =120°． ∵FC 是外角的平分线， ∴∠ECF =120°=∠AGE ． ∵∠AEC 是△ABE 的外角， ∴∠AEC =∠B +∠GAE =60°+∠GAE ． ∵∠AEC =∠AEF +∠FEC =60°+∠FEC ， ∴∠GAE =∠FEC ． 在△AGE 和△ECF 中，∴△AGE ≌△ECF （ASA ）， ∴AE =EF ；拓展应用：如图二：∵△ABC 是等边三角形，BC=CE ∴CE=BC=AC ， ∴∠CAH =30°， 作CH ⊥AE 于H 点， ∴∠AHC =90°． ∴CH =AC ，AH =AC ，∵AC=CE ，CH ⊥AE ∴AE=2AH =AC ．---------5分---------4分°CAB-3-1-2-4-3-1-22O-4311-5y-6-7∴．由数学思考得AE=EF ， 又∵∠AEF =60°， ∴△AEF 是等边三角形， ∴△ABC ∽△AEF ． ∴==．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题9分，第25题6分） 23.（1）∵关于x 的一元二次方程21202k x x -++=有实数根 ∴2144402k b ac -∆=-=-⨯≥ ∴12k -≤∴3k ≤…………………………………………………1分 ∵k 为正整数∴k 的值是1,2,3 ……………………………………2分 （2）方程有两个非零的整数根当1k =时，220x x +=，不合题意，舍 当2k =时，21202x x ++=，不合题意，舍 当3k =时，2210x x ++=，121x x ==-∴3k = ……………………………3分∴221y x x =++∴平移后的图象的表达式228y x x =+- ……（3）令y =0，2280x x +-= ∴124,2x x =-=∵与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 左侧）∴A （－4,0），B （2,0）∵直线l ：y kx b =+(0)k >经过点B ， ∴函数新图象如图所示，当点C 在抛物 线对称轴左侧时，新函数的最小值有(1)902ADB α∠=︒-可能大于5-．令5y =-，即2285x x +-=-．解得 13x =-，21x =（不合题意，舍去）． ∴抛物线经过点(3,5)--． ……………5分当直线y kx b =+(0)k >经过点（－3，－5），（2,0）时，可求得1k =…………6分由图象可知，当01k <<时新函数的最小值大于5-． ………………………7分 （也可以用三角形相似求出－5以及k 的值） 24.………………1分（2）延长BD 到E ，使得DE=DC ∵∠BAC =60°，AB =AC∴△ABC 是等边三角形 ………………2分 ∴BC=AC ，∠BAC =∠ACB=60°∵四边形ABCD 内接于圆 ∴∠BAC +∠BDC=180° ∵∠BDC +∠EDC=180° ∴∠BAC=∠EDC=60° ∵DC=DE∴△DCE 是等边三角形 ………………3分 ∴∠DCE=60° ∴∠ACD=∠BCE ∴△ACD ≌△BCE ∴BE=AD ∵BE=BD+DE∴AD=BD+CD ………………4分 （3）延长DB 到E ，使得BE=DC ，连接AE ， 过点A 作AF ⊥BD 于点F ，∵AB =AC ∴∠1=∠2 ………………5分∵四边形ABCD 内接于圆 ∴∠DBA +∠ACD=180° ∵∠EBA +∠DBA =180° ∴∠EBA=∠DCA ∵BE=CD ，AB=AC∴△EBA ≌△DCA ∴∠E=∠1 ∴AE=AD ………………6分在Rt △ADF 中，∠AFD =90°， ∴cos 1DFAD∠= ………………………………7分∵∠1=90°－2α=30°, ∴cos30DF AD AD =︒=∴2DE DF == ∵ BE =BD +CD∴BD CD += …………………………………………8分 (4) 2cos(90)2DF AD α=︒- ……………………………………………9分25.（1）根据:224y mx mx =-++ 2122b mx a m=-=-=- 可得点A (0,4)，B (1,0) ……………………………2分(2)根据对称, 抛物线C 1在21x -<<-这一段位于C 2下方,相当于抛物线C 1在34x <<这 一段位于C 2下方 ……………………………3分 ∵抛物线C 1在13x <<这一段位于C 2上方， ∴两条抛物线的交点横坐标:x =3……………………………4分 ∴把x =3代入22y x x =- ∴y=3∴抛物线C 1：224y mx mx =-++经过点（3,3）……………………………5分 ∴13m =-∴抛物线C 1的解析式: 212433y x x =-+……………………………6分。
北京市延庆县2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含答案
延庆县2014— 2015学年度第一学期期末试卷高一数学 2015.1满分共150分。
考试时间120分钟。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知全集},4,3,2,1,0{=I ，集合}3,2,1{=M ，]3,0{=N ，则=N M C I )( A ．}4,3,0{B ． }0{C ．}3,2,1,0{D ．}4,3,2,1,0{2．已知)2,0[πα∈，与角3π-终边相同的角是A ．3π B ．32πC ．34π D ．35π 3．若0sin >α ，且0cos <α ，则角α是 A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角4．若角α的终边经过点)4,3(-P ，则tan =α A ．54 B ．53-C ．34-D. 43-5．函数x x y -+-=31的定义域为A ．)3,1(B ．]3,1[C ．),3()1,(+∞-∞D ．),0()0,1(+∞6．已知向量)0,1(),2,1(=-=b a，那么向量a b -3的坐标是A. (4,2)-B. (4,2)--C. (4,2)D. (4,2)-7．函数()log 21a y x =++的图像过定点 A ． ()2,1-B ．()2,1C ． ()1,1-D ．)1,1(8．若x x f 3cos )(cos =，则)3(sinπf 的值为A ． 1-B ．23 C ．0D ．19．设A 、B 、C 是三角形的三个内角，下列关系恒成立的是 A ． C B A sin )sin(=+ B ．C B A cos )cos(=+ C ．C B A tan )tan(=+D ．2sin 2sinCB A =+ 10．已知向量a ，b 满足1||=a，4||=b 且2-=⋅b a ,则a 与b 的夹角为A ．150B ．120C.60D.3011. 要得到)42sin(π+=x y 的图象只需将x y 2sin =的图象A ．向左平移4π个单位 B ．向右平移4π个单位 C ．向右平移8π个单位D ．向左平移8π个单位12．已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在区间),0[+∞上单调递增，若实数a 满足)1(2)(log )(log 212f a f a f ≤+，则a 的取值范围是A ．]221[B ． ]2,1[C ． )21,0(D ．]2,0(二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上. 13．不等式212>x的解集为____ ___.14．已知sin cos αα-=，则sin 2α=______.15．已知向量),3(),3,1(x b a -=-=，若b a //，则=x _____；若b a ⊥，则x =_____.16．已知B A ,是圆O 上两点,2=∠AOB 弧度,2=OA ,则劣弧AB 长度是__ ____. 17．已知3.0222,3.0log ,3.0===c b a ，则c b a ,,大小关系是_____ __.18．设函数)32sin(ππ+=x y ，若对任意R x ∈，存在x 1，x 2使)()()(21x f x f x f ≤≤恒成立，则21x x -的最小值是_______.三、解答题：本大题共6小题，共60分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 .19．（本题8分）求下列各式的植：（Ⅰ）0323321)12(])2[(2)41(-+-⨯+-；（Ⅱ）2lg 31025lg 4lg 27log +++ . 解：20．（本题8分）设全集为R ，集合}3|{+≤≤=a x a x A ，}51|{≤≤-=x x B C R . （Ⅰ）若4=a ，求B A ；（Ⅱ）若A B A = ，求实数a 的取值范围. 解：21．（本题10分）设函数xxx f tan sin )(=. （Ⅰ）求函数)(x f 的定义域； （Ⅱ）已知)2,0(πα∈，且135)(=αf ，求)4(πα+f 的值. 解：22．（本题10分）已知函数x x x x f 22cos 32sin sin )(++=. （Ⅰ）求)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）求函数的单调减区间； （Ⅲ）当]44[ππ-∈x 时，求函数)(x f 的最小值.解：23．（本题12分）如图，点P 是以AB 为直径的圆O 上动点，P '是点P 关于AB 的对称B点，)0(2>=a a AB .（Ⅰ）当点P 是弧AB 上靠近点B 的三等分点时，求⋅的值； （Ⅱ）求P O '⋅的最大值和最小值. 解：24.（本题12分）设函数54)(2--=x x x f .（Ⅰ）在区间]6,2[-上画出函数)(x f 的图像；（Ⅱ）当2>k 时，求证：在区间]5,1[-上，k kx y 3+=的图像位于函数)(x f 图像的上方.解：延庆县2014—2015学年度第一学期期末考试参考答案 高一数学 2015.1一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）13.),1(+∞- 14.1- 15.9;1- 16.4 17.b a c >> 18.2 三、解答题：本大题共6小题，共60分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 19．（本题8分） 解：（Ⅰ）原式148121+⨯+=2=. ………………………………4分 （Ⅱ）原式2100lg 3log 33++=7223=++=. …………………8分20．（本题8分）解：（Ⅰ）当4=a 时，}74|{≤≤=x x A ，1|{-<=x x B 或}5>x ，∴}75|{≤<=x x B A . ………………………………4分 （Ⅱ）若A B A = ，则B A ⊆，∴13-<+a 或5>a ，解得4-<a 或5>a . ∴实数a 的取值范围),5()4,(+∞--∞ . …………………………………8分 21．（本题10分）解：（Ⅰ）要使函数)(x f 有意义，只要使0tan ≠x ， ∴函数)(x f 的定义域为,|{R x x ∈且},2Z k k x ∈≠π. ………………3分 （Ⅱ）由x x x cos sin tan =，得x x f cos )(=，∴135cos )(==ααf . …………5分 ∵)2,0(πα∈，∴1312cos 1sin 2=-=αα. ………………7分∴4sinsin 4coscos )4cos()4(παπαπαπα-=+=+f262722131222135-=⨯-⨯=. ………………10分 22．（本题10分）解：（Ⅰ）∵1cos 22sin )(2++=x x x fBx x 2cos 2sin +=)42sin(2π+=x ， ……………………2分∴)(x f 的最小正周期πωπ==2T . ……………………4分（Ⅱ）由πππππk x k 2234222+≤+≤+得ππππk x k +≤≤+858)(Z k ∈ ∴函数的单调减区间]85,8[ππππk k ++)(Z k ∈. …………………7分（Ⅲ）由43,4[42]2,2[24,4[πππππππ-∈+⇒-∈⇒-∈x x x . ∴当442ππ-=+x 时，即4π-=x 时，)(x f 取得最小值0. …………10分23．（本题12分）解法一：（Ⅰ）连接OP ,PB ,∵P 是弧AB 靠近点B 的三等分点，)0(2>=a a AB ∴a AP PAB 3,6==∠π. ……………………2分∴232336cosa a a AB OP =⨯⨯=⋅=⋅π………………………4分 （Ⅱ）设θ=∠PAB , 则θθcos 2,2a AP POB ==∠，此时向量与的夹角为θ3， ………………………6分 ∴)2cos(cos 23cos cos 222θθθθθ+=⋅=⋅a a P O AP )sin 2sin cos 2(cos cos 22θθθθθ-=a )cos sin 22sin cos22(cos 22θθθθθ⨯-⨯=a]2sin )12(cos 2[cos 22θθθ-+=a )12cos 2cos 2(22-+=θθa]89)412(cos 2[22-+=θa ， ………………………10分 ∴ 当412cos -=θ时，P O AP ⋅的最小值为289a -.当12cos =θ时，P O '⋅的最大值为22a . ………………12分解法二：（Ⅰ）以直径AB 所在直线为x 轴，以O 为坐标原点建立平面直角坐标系. ∵P 是弧AB 靠近点B 的三等分点，连接OP ，则3BOP π∠=， …………1分 ∴点P坐标为1(,)22a a .又点A 坐标是(,0)a -，点B 坐标是(,0)a ，∴3(,)22AP a =，(2,0)AB a =，∴23AP AB a ⋅=.（Ⅱ）设POB θ∠=，[0,2)θπ∈，则(cos ,sin )P a a θθ，(cos ,sin )P a a θθ'- ∴(cos ,sin )AP a a a θθ=+，(cos ,sin )OP a a θθ'=-. ………………6分 ∴22222coscos sin AP OP a a a θθθ'⋅=+- 22(2cos cos 1)a θθ=+-2221192(cos cos )2168a a θθ=++-222192(cos )48a a θ=+-. ………10分当1cos 4θ=-时，AP OP '⋅有最小值298a -，当cos 1θ=时，AP OP '⋅有最大值22a . …………………12分24.（本题12分） 解]：（Ⅰ）…………………………3分（Ⅱ）当]5,1[-∈x 时，54)(2++-=x x x f .)54()3()(2++--+=x x x k x g )53()4(2-+-+=k x k x436202422+--⎪⎭⎫ ⎝⎛--=k k k x ， ………………………5分 ∵ 2>k ，∴124<-k. ………………………6分 ① 当1241<-≤-k ，即62≤<k 时，取24kx -=， min )(x g ()[]6410414362022---=+--=k k k . ∵ ,64)10(162<-≤k ，∴064)10(2<--k 则0)(min >x g .………9分② 当124-<-k，即6>k 时，取1-=x ，min )(x g ＝02>k . 由 ①、②可知，当2>k 时，在]5,1[-∈x 上0)(>x g ，∴在区间]5,1[-上，)3(+=x k y 的图像位于函数)(x f 图像的上方.……12分。
2014-2015年北京市西城区高一上学期期末数学试卷与答案Word版
2014-2015学年北京市西城区高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（4分）已知α∈（0，2π），且sinα＜0，cosα＞0，则角α的取值范围是（）A．B．C．D．2．（4分）已知向量=（2，8），=（﹣4，2）．若=2﹣，则向量=（）A．（0，18）B．（8，14）C．（12，12）D．（﹣4，20）3．（4分）已知角α的终边经过点P（3，﹣4），那么sinα=（）A．B．C．D．4．（4分）在△ABC中，D是BC的中点，则=（）A．B．C．D．5．（4分）函数y=（sinx﹣cosx）2的最小正周期为（）A．2πB． C．πD．6．（4分）如果函数y=cos（x+φ）的一个零点是，那么φ可以是（）A．B．C．D．7．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB=2，，E是CD的中点，那么=（）A．4 B．2 C．D．18．（4分）当x∈[0，π]时，函数f（x）=cosx﹣sinx的值域是（）A．[﹣2，1]B．[﹣1，2]C．[﹣1，1]D．9．（4分）为得到函数的图象，只需将函数y=sinx的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位10．（4分）已知，为单位向量，且•=m，则|+t|（t∈R）的最小值为（）A．B．1 C．|m| D．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上. 11．（4分）若向量=（1，2）与向量=（λ，﹣1）共线，则实数λ=．12．（4分）设α是第二象限角，sinα=，则cosα=．13．（4分）若，且tanθ＞1，则θ的取值范围是．14．（4分）已知向量=（1，3），=（2，﹣1），=（1，1）．若=λ+μ（λ，μ∈R），则=．15．（4分）函数f（x）=sin2x+sinx•cosx的最大值是．16．（4分）关于函数f（x）=sin （2x﹣）（x∈R），给出下列三个结论：①对于任意的x∈R，都有f（x）=cos （2x﹣）；②对于任意的x∈in R，都有f（x+）=f（x﹣）；③对于任意的x∈R，都有f（﹣x）=f（+x）．其中，全部正确结论的序号是．三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知tanα=﹣2，其中．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求sin2α的值．18．（14分）已知向量=（cosα，sinα），=（﹣，），其中α是锐角．（Ⅰ）当α=30°时，求|+|；（Ⅱ）证明：向量+与﹣垂直；（Ⅲ）若向量与夹角为60°，求角α．19．（10分）已知函数f（x）=asinx+bcosx，其中a∈Z，b∈Z．设集合A={x|f（x）=0}，B={x|f（f（x））=0}，且A=B．（Ⅰ）证明：b=0；（Ⅱ）求a的最大值．一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上. 20．（4分）已知集合A={a，b}，则满足A∪B={a，b，c}的不同集合B的个数是．21．（4分）已知幂函数f（x）=xα的图象过点（4，2），则α=．22．（4分）函数f（x）=的零点是．23．（4分）设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是减函数．若f（m）＞f（2），则实数m的取值范围是．24．（4分）已知函数f（x）的定义域为D．若对于任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得=M成立，则称函数f（x）在D上的几何平均数为M．已知函数g（x）=3x+1（x∈[0，1]），则g（x）在区间[0，1]上的几何平均数为．二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.25．（10分）已知函数f（x）=（x﹣2）（x+a），其中a∈R．（Ⅰ）若f（x）的图象关于直线x=1对称，求a的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，1]上的最小值．26．（10分）已知函数f（x）=a•2x+b•3x，其中a，b为常数．（Ⅰ）若ab＞0，判断f（x）的单调性，并加以证明；（Ⅱ）若ab＜0，解不等式：f（x+1）＞f（x）．27．（10分）定义在R上的函数f（x）同时满足下列两个条件：①对任意x∈R，有f（x+2）≥f（x）+2；②对任意x∈R，有f（x+3）≤f（x）+3．设g（x）=f（x）﹣x．（Ⅰ）证明：g（x+3）≤g（x）≤g（x+2）；（Ⅱ）若f（4）=5，求f（2014）的值．2014-2015学年北京市西城区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（4分）已知α∈（0，2π），且sinα＜0，cosα＞0，则角α的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：由sinα＜0，cosα＞0，可得α为第四象限的角，又α∈（0，2π），∴α∈．故选：D．2．（4分）已知向量=（2，8），=（﹣4，2）．若=2﹣，则向量=（）A．（0，18）B．（8，14）C．（12，12）D．（﹣4，20）【解答】解：向量=（2，8），=（﹣4，2），若=2﹣，则=（4，16）﹣（﹣4，2）=（8，14）．故选：B．3．（4分）已知角α的终边经过点P（3，﹣4），那么sinα=（）A．B．C．D．【解答】解：由于角α的终边经过点P（3，﹣4），∴x=3，y=﹣4，r=|OP|=5，∴sinα==﹣，故选：B．4．（4分）在△ABC中，D是BC的中点，则=（）A．B．C．D．【解答】解：∵D是BC的中点，∴=，故选：A．5．（4分）函数y=（sinx﹣cosx）2的最小正周期为（）A．2πB． C．πD．【解答】解：化简可得y=（sinx﹣cosx）2=1﹣sin2x，∴由周期公式可得T==π，故选：C．6．（4分）如果函数y=cos（x+φ）的一个零点是，那么φ可以是（）A．B．C．D．【解答】解：若y=cos（x+φ）的一个零点是，则cos（+φ）=0，即+φ=kπ+，k∈Z即φ=kπ+，当k=0时，φ=，故选：A．7．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB=2，，E是CD的中点，那么=（）A．4 B．2 C．D．1【解答】解：=（+）•=+=+=0+==2．故选：B．8．（4分）当x∈[0，π]时，函数f（x）=cosx﹣sinx的值域是（）A．[﹣2，1]B．[﹣1，2]C．[﹣1，1]D．【解答】解：∵f（x）=cosx﹣sinx=2cos（x+），∴当x∈[0，π]时，x+∈[，]，∴由余弦函数的图象和性质可知：2cos（x+）∈[﹣2，1]．故选：A．9．（4分）为得到函数的图象，只需将函数y=sinx的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位【解答】解：y=sinx=cos（x﹣），，故只需将函数y=sinx的图象向左平移个长度单位．故选：C．10．（4分）已知，为单位向量，且•=m，则|+t|（t∈R）的最小值为（）A．B．1 C．|m| D．【解答】解：，为单位向量，且•=m，则|+t|2=+t2+2t=1+t2+2tm=（t+m）2+1﹣m2，当t=﹣m时，|+t|2取得最小值1﹣m2，则|+t|（t∈R）的最小值为．故选：D．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11．（4分）若向量=（1，2）与向量=（λ，﹣1）共线，则实数λ=．【解答】解：∵∴﹣1=2λ∴故答案为：．12．（4分）设α是第二象限角，sinα=，则cosα=﹣．【解答】解：∵sinα=，α是第二象限角，∴cosα=﹣=﹣=﹣．故答案为：﹣．13．（4分）若，且tanθ＞1，则θ的取值范围是（，）．【解答】解：若，且tanθ＞1，则θ∈（，），故答案为：（，）．14．（4分）已知向量=（1，3），=（2，﹣1），=（1，1）．若=λ+μ（λ，μ∈R），则=．【解答】解：∵向量=（1，3），=（2，﹣1），=（1，1）．=λ+μ（λ，μ∈R），∴，解得，∴=．故答案为：．15．（4分）函数f（x）=sin2x+sinx•cosx的最大值是．【解答】解：化简可得f（x）=sin2x+sinx•cosx=+sin2x=sin（2x﹣）+，∴当sin（2x﹣）=1时函数取最大故答案为：16．（4分）关于函数f（x）=sin （2x﹣）（x∈R），给出下列三个结论：①对于任意的x∈R，都有f（x）=cos （2x﹣）；②对于任意的x∈in R，都有f（x+）=f（x﹣）；③对于任意的x∈R，都有f（﹣x）=f（+x）．其中，全部正确结论的序号是①②③．．【解答】解：①f（x）=cos[﹣（2x﹣）]=cos（﹣2x）=cos（2x﹣），故①正确，②f（x+）=sin[2（x+）﹣）]=﹣sin（2x﹣）]，f（x﹣）=sin[2（x ﹣）﹣）]=﹣sin（2x﹣），则f（x+）=f（x﹣）故②正确③f（）=sin（2×﹣）=sin=1为最大值，故x=是函数的对称轴，故③正确，故答案为：①②③．三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知tanα=﹣2，其中．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求sin2α的值．【解答】解：（Ⅰ）∵tanα=﹣2，∴tan（α﹣）===3；（Ⅱ）∵α∈（，π），tanα=﹣2，∴cosα=﹣=﹣，sinα==，则sin2α=2sinαcosα=﹣．18．（14分）已知向量=（cosα，sinα），=（﹣，），其中α是锐角．（Ⅰ）当α=30°时，求|+|；（Ⅱ）证明：向量+与﹣垂直；（Ⅲ）若向量与夹角为60°，求角α．【解答】（Ⅰ）解：当α=30°时，=（，），所以，+=（，），所以，|+|==．（Ⅱ）证明：由向量=（cosα，sinα），=（﹣，），得+=（cosα﹣，sinα+），﹣=（cosα+，sinα﹣），由，得向量+，﹣均为非零向量．因为（+）•（﹣）=﹣=（cos2α+sin2α）﹣（+）=0，所以向量+与向量﹣垂直．（Ⅲ）解：因为||=||=1，且向量与夹角为60°，所以=||•||•cos60°=，所以，即．因为，所以，所以，即．19．（10分）已知函数f（x）=asinx+bcosx，其中a∈Z，b∈Z．设集合A={x|f（x）=0}，B={x|f（f（x））=0}，且A=B．（Ⅰ）证明：b=0；（Ⅱ）求a的最大值．【解答】（Ⅰ）证明：显然集合A≠∅．设x0∈A，则f（x0）=0．（1分）因为A=B，所以x0∈B，即f（f（x0））=0，所以f（0）=0，（3分）所以b=0．（4分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得f（x）=asinx，a∈Z．①当a=0时，显然满足A=B．（5分）②当a≠0时，此时A={x|asinx=0}；B={x|asin（asinx）=0}，即B={x|asinx=kπ，k∈Z}．（6分）因为A=B，所以对于任意x∈A，必有asinx≠kπ（k∈Z，且k≠0）成立．（7分）所以对于任意x∈A，，所以，（8分）即|a|＜|k|•π，其中k∈Z，且k≠0．所以|a|＜π，（9分）所以整数a的最大值是3．（10分）一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上. 20．（4分）已知集合A={a，b}，则满足A∪B={a，b，c}的不同集合B的个数是4．【解答】解：因为集合A={a，b}，满足A∪B={a，b，c}，所以B={c}、{a，c}、{b，c}、{a，b，c}共4个，故答案为：4．21．（4分）已知幂函数f（x）=xα的图象过点（4，2），则α=．【解答】解：∵4α=2，解得，故答案为：22．（4分）函数f（x）=的零点是﹣2或1．【解答】解：∵函数f（x）=∴或解得：x=1，或x=﹣2故答案：﹣2，1；23．（4分）设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是减函数．若f（m）＞f（2），则实数m的取值范围是（﹣2，2）．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是减函数，∴不等式f（m）＞f（2），等价为f（|m|）＞f（2），即|m|＜2，解得﹣2＜m＜2，故答案为：（﹣2，2）；24．（4分）已知函数f（x）的定义域为D．若对于任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得=M成立，则称函数f（x）在D上的几何平均数为M．已知函数g（x）=3x+1（x∈[0，1]），则g（x）在区间[0，1]上的几何平均数为2．【解答】解：根据已知中关于函数g（x）在D上的几何平均数为C的定义，结合g（x）=3x+1在区间[0，1]单调递增则x1=0时，存在唯一的x2=1与之对应C==2，故答案为：2．二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.25．（10分）已知函数f（x）=（x﹣2）（x+a），其中a∈R．（Ⅰ）若f（x）的图象关于直线x=1对称，求a的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，1]上的最小值．【解答】（Ⅰ）解法一：因为f（x）=（x﹣2）（x+a）=x2+（a﹣2）x﹣2a，所以，f（x）的图象的对称轴方程为．由，得a=0．解法二：因为函数f（x）的图象关于直线x=1对称，所以必有f（0）=f（2）成立，所以﹣2a=0，得a=0．（Ⅱ）解：函数f（x）的图象的对称轴方程为．①当，即a≥2时，因为f（x）在区间（0，1）上单调递增，所以f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（0）=﹣2a．②当，即0＜a＜2时，因为f（x）在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以f（x）在区间[0，1]上的最小值为．③当，即a≤0时，因为f（x）在区间（0，1）上单调递减，所以f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（1）=﹣（1+a）．26．（10分）已知函数f（x）=a•2x+b•3x，其中a，b为常数．（Ⅰ）若ab＞0，判断f（x）的单调性，并加以证明；（Ⅱ）若ab＜0，解不等式：f（x+1）＞f（x）．【解答】（Ⅰ）解：当a＞0，b＞0时，f（x）在R上是增函数；当a＜0，b＜0时，f（x）在R上是减函数．证明如下：当a＞0，b＞0时，任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则△x=x2﹣x1＞0，则．因为；又，所以△y=f（x2）﹣f（x1）＞0，所以，当a＞0，b＞0时，f（x）在R上是增函数．当a＜0，b＜0时，同理可得，f（x）在R上是减函数．（Ⅱ）解：由f（x+1）﹣f（x）=a•2x+2b•3x＞0，得．（*）①当a＜0，b＞0时，（*）式化为，解得．②当a＞0，b＜0时，（*）式化为，解得．27．（10分）定义在R上的函数f（x）同时满足下列两个条件：①对任意x∈R，有f（x+2）≥f（x）+2；②对任意x∈R，有f（x+3）≤f（x）+3．设g（x）=f（x）﹣x．（Ⅰ）证明：g（x+3）≤g（x）≤g（x+2）；（Ⅱ）若f（4）=5，求f（2014）的值．【解答】（本小题满分10分）（Ⅰ）证明：因为g（x）=f（x）﹣x，所以g（x+2）=f（x+2）﹣x﹣2，g（x+3）=f（x+3）﹣x﹣3．由条件①，②可得g（x+2）=f（x+2）﹣x﹣2≥f（x）+2﹣x﹣2=f（x）﹣x=g（x）；【（2分）】③g（x+3）=f（x+3）﹣x﹣3≤f（x）+3﹣x﹣3=f（x）﹣x=g（x）．④【（4分）】所以g （x +3）≤g （x ）≤g （x +2）． （Ⅱ）解：由③得 g （x +2）≥g （x ），所以g （x +6）≥g （x +4）≥g （x +2）≥g （x ）．【（6分）】 由④得 g （x +3）≤g （x ），所以g （x +6）≤g （x +3）≤g （x ）．【（7分）】 所以必有g （x +6）=g （x ），即g （x ）是以6为周期的周期函数．【（8分）】所以g （2014）=g （335×6+4）=g （4）=f （4）﹣4=1．【（9分）】赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值 （1）函数的单调性 ①定义及判定方法函数的 性 质定义图象判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)<f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函．．数．．x 1x 2y=f(X)xy f(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象上升为增） （4）利用复合函数 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)yx ox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义 （2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为yxo增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法函数的 性 质定义图象 判定方法 函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x ．．．)．,那么函数f(x)叫做奇函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于原点对称） 如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于y 轴对称）②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．所以f（2014）=g（2014）+2014=2015．【（10分）】。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2014-2015学年北京市延庆县高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知全集I={0，1，2，3，4}，集合M={1，2，3}，N={0，3]，则（∁I M）∪N=（）
2．（5分）已知α∈[0，2π），与角终边相同的角是（）
B
3．（5
分）若sinα＞0，且cosα＜0，则角α是（）
B
5．（5分）函数的定义域为（）
0），那么向量的坐标是（）
6．（5分）已知向量=（﹣1，2），=（1，
7．（5分）函数y=log a
8．（5分）若f（cosx）=cos3x，则f（sin）的值为（）
9．（5分）设A、B、C 是三角形的三个内角，下列关系恒成立的是（）
||=1，||=4且•=﹣2，则与的夹角为（）
11．（5分）（2012•江西模拟）要得到函数y=sin（2x+）的图象，只要将函数y=sin2x的
图象（）
向左平移单位向右平移单位向右平移单位向左平移单位
12．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数a满足f（log2a）+f（a）≤2f（1），则a的取值范围是（）
B
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.
13．（5分）（2014•湛江一模）不等式的解集是_________．
14．（5分）已知，则sin2α=_________．
15．（5分）已知向量=（﹣1，3），=（﹣3，x），若∥，则x=_________；若，则x=_________．
16．（5分）已知A，B是圆O上两点，∠AOB=2弧度，OA=2，则劣弧AB长度是_________．17．（5分）已知，则a，b，c大小关系是_________．18．（5分）设函数y=sin（x+），若对任意x∈R，存在x1，x2使f（x1）≤f（x）≤f（x2）恒成立，则|x1﹣x2|的最小值是_________．
三、解答题：本大题共6小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 19．（8分）求下列各式的植：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）log327+lg4+lg25+10lg2．
20．（8分）设全集为R，集合A={x|a≤x≤a+3}，∁R B={x|﹣1≤x≤5}．
（Ⅰ）若a=4，求A∩B；
（Ⅱ）若A∩B=A，求实数a的取值范围．
21．（10分）设函数f（x）=．
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）已知，且f（α）=，求的值．
22．（10分）已知函数f（x）=sin2x+sin2x+3cos2x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数的单调减区间；
（Ⅲ）当x∈[﹣，]时，求函数f（x）的最小值．
23．（12分）如图，点P是以AB为直径的圆O上动点，P'是点P关于AB的对称点，AB=2a （a＞0）．
（Ⅰ）当点P是弧上靠近B的三等分点时，求的值；
（Ⅱ）求的最大值和最小值．
24．（12分）设函数f（x）=|x2﹣4x﹣5|．
（1）在区间[﹣2，6]上画出函数f（x）的图象；
（2）当k＞2时，求证：在区间[﹣1，5]上，y=kx+3k的图象位于函数f（x）图象的上方．
2014-2015学年北京市延庆县高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知全集I={0，1，2，3，4}，集合M={1，2，3}，N={0，3]，则（∁I M）∪N=（）
2．（5分）已知α∈[0，2π），与角终边相同的角是（）
B C D
终边相同的角的集合
终边相同的角的集合为+2kπ
α=
3．（5分）若sinα＞0，且cosα＜0，则角α是（）
4．（5分）若角α的终边经过点P（﹣3，4），则tanα=（）
B C D
tanα=
tanα==
tanα=，利用公式求值题．
5．（5分）函数的定义域为（）
，
==
坐标运算公式，可求出向量
解：∵==
向量
7．（5分）函数y=log a（x+2）+1的图象过定点（）
8．（5分）若f（cosx）=cos3x，则f（sin）的值为（）
C
cosx=sin求出
cosx=sin，则，
sin cos）=0
9．（5分）设A、B、C是三角形的三个内角，下列关系恒成立的是（）
sin=cos
10．（5分）已知向量，满足||=1，||=4且•=﹣2，则与的夹角为（）
，＞，再由夹角的范围即可得到．||•
，＞==，
＜，
11．（5分）（2012•江西模拟）要得到函数y=sin（2x+）的图象，只要将函数y=sin2x的图象（）
向左平移向右平移向右平移向左平移
2x+）的图象相左平移
2x+x+）
的图象相左平移个单位，即可得到函数2x+
12．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数a满足f（log2a）+f（a）≤2f（1），则a的取值范围是（）
B D
（
a
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 13．（5分）（2014•湛江一模）不等式的解集是{x|x＞﹣1}．
=2
14．（5分）已知，则sin2α=﹣1．
cosα=
15．（5分）已知向量=（﹣1，3），=（﹣3，x），若∥，则x=9；若，则x=﹣1．
解：向量，若∥
16．（5分）已知A，B是圆O上两点，∠AOB=2弧度，OA=2，则劣弧AB长度是4．
17．（5分）已知，则a，b，c大小关系是c＞a＞b．
18．（5分）设函数y=sin（x+），若对任意x∈R，存在x1，x2使f（x1）≤f（x）≤f（x2）恒成立，则|x1﹣x2|的最小值是2．
T==4
三、解答题：本大题共6小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 19．（8分）求下列各式的植：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）log327+lg4+lg25+10lg2．
20．（8分）设全集为R，集合A={x|a≤x≤a+3}，∁R B={x|﹣1≤x≤5}．
（Ⅰ）若a=4，求A∩B；
（Ⅱ）若A∩B=A，求实数a的取值范围．
21．（10分）设函数f（x）=．
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）已知，且f（α）=，求的值．
，从而可求
，得
∴
∵
∴
∴=
22．（10分）已知函数f（x）=sin2x+sin2x+3cos2x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数的单调减区间；
（Ⅲ）当x∈[﹣，]时，求函数f（x）的最小值．
，即可求出
即可求得函数的单调减区间．
的范围，即可求出函数
x+1=sin2x+cos2x=，
得
函数的单调减区间
当时，即
23．（12分）如图，点P是以AB为直径的圆O上动点，P'是点P关于AB的对称点，AB=2a （a＞0）．
（Ⅰ）当点P是弧上靠近B的三等分点时，求的值；
（Ⅱ）求的最大值和最小值．
的坐标，求出
，则
坐标为．
∴
∴
∴．
∴
时，有最小值
24．（12分）设函数f（x）=|x2﹣4x﹣5|．
（1）在区间[﹣2，6]上画出函数f（x）的图象；
（2）当k＞2时，求证：在区间[﹣1，5]上，y=kx+3k的图象位于函数f（x）图象的上方．
，∴
当时，取，
当
得。