stolz定理证明过程
Stolz定理及其应用
Stolz 定理及其应用引理1．01>a ，02>a 。
若 n a b m <<11，n a b m <<22，则 n a a bb m <++<2121。
证明：由于 01>a ，由 n a b m <<11可得 n a b m a 111<<；类似得出 n a b m a 222<<。
将得到的这两个不等式相加，即得 ()()212121a a n b b a a m +<+<+，此式两边同除以21a a +，即得 n a a b b m <++<2121。
这一引理显然可以推广：0>i a （1=i 、2、…n ）。
若 n a b m ii<<（1=i 、2、…n ），则 n a a a b b b m nn<++++++<2121。
引理2．恒等式⎪⎭⎫ ⎝⎛---⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-≡-c n b m a b n b n c m c b a 1，其中，0≠b ，n b ≠。
Stolz 定理1：数列{}n y 有（1）+∞=∞→n n y lim ，（2）K ∃，K n >∀，有01>>+n n y y ，则：l y xl y y x x nn n n n n n n =⇒=--∞→--∞→lim lim11。
证明：0>∀ε （1）由 l y y x x n n n n n =----∞→11lim可得：1M ∃，1M n >∀，211ε<-----l y y x x n n n n。
此不等式等价于 2211εε+<--<---l y y x x l n n n n 。
令[][]{}1,max M K N =，由于（注意：11M N >+）()()()N N n n n n N n x x x x x x x x -++-+-=-+---1211 ， ()()()N N n n n n N n y y y y y y y y -++-+-=-+---1211 ，因此：N n >∀，22εε+<--<-l y y x x l N n N n （引理1），即2ε<---l y y x x N n N n 。
stolz定理上极限
stolz定理上极限
摘要：
1.Stolz 定理的概述
2.Stolz 定理的证明
3.Stolz 定理的应用
4.Stolz 定理的局限性
正文：
【1.Stolz 定理的概述】
Stolz 定理，又称为Stolz-Cesàro 定理，是由瑞士数学家Otto Stolz 和意大利数学家Ernesto Cesàro 分别于1922 年和1890 年独立发现的。
它是一种求极限的方法，特别适用于求解形如“1/x”、“1/x^2”等当x 趋近于0 时的极限。
【2.Stolz 定理的证明】
Stolz 定理的证明过程相对简单。
假设我们有一个数列{a_n}，它的极限是A，另一个数列{b_n}，它的极限是B，那么当a_n/b_n 的极限存在时，我们可以得到：
lim (a_n/b_n) = A/B
这个定理的证明可以通过将两个数列的极限定义代入，进行简单的化简和变形得到。
【3.Stolz 定理的应用】
Stolz 定理在求极限时十分实用。
比如，当x 趋近于0 时，sinx/x 和
x/sinx 的极限都可以通过Stolz 定理求解。
又如，当x 趋近于0 时，
x^2/sinx^3 的极限也可以通过Stolz 定理求解。
【4.Stolz 定理的局限性】
虽然Stolz 定理在求解某些极限问题时十分有效，但它也有局限性。
首先，它只能应用于求解正数和负数序列的极限，对于非单调的数列，Stolz 定理并不能提供有效的解决方法。
其次，Stolz 定理只能求解一类特殊的极限问题，对于其他类型的极限问题，它并不能提供帮助。
斯托尔茨定理
n
lim
ln n
xn
e
xn xn1
ln xn lim n n
e
利用Stolz定理
ln xn ln xn1 n n ( n 1) lim
en
lim (ln xn ln xn1 )
e
n
lim ln
xn 或 xn 1 lim lim n x n x n 1 n
April 4, 2011
四川大学 数学学院 徐小湛
推论 2 lim n x1 x2 ...xn lim xn(只要后者极限存在)
n n
数列前n项的几何平均值的极限等于原数列的极限。
ln x1 ln x2 ... ln xn n n lim
证 : lim n x1 x2 ...xn en
April 4, 2011
四川大学 数学学院 徐小湛
April 4, 2011
四川大学 数学学院 徐小湛
参考文献
Wikipedia: /wiki/Stolz%E2%80%93Cm 徐小湛：《高等数学学习手册》（科学出版社）， 26~27页
四川大学 数学学院 徐小湛
April 4, 2011
利用斯托尔茨定理可以计算 一些困难的数列极限
April 4, 2011
四川大学 数学学院 徐小湛
例1
ln n ! 求 lim 2 n n
解 ln n ! ln n ! ln(n 1)! ln n lim 2 lim 2 lim 0 2 n n n n ( n 1) n 2n 1
Otto Stolz 1842 - 1905 奥地利数学家
斯托尔茨定理是数列极限的洛必达法则
stolz定理证明
stolz定理证明Stolz定理是初等数学中的一个极为有用的定理，主要用来计算极限。
其名字来源于德国数学家Stolz。
本文将介绍Stolz定理的证明过程。
首先，我们需要明确Stolz定理的表述：设$\{a_n\}$和$\{b_n\}$是两个单调递增的正数数列，且$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L$，则$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L$。
现在，我们开始证明Stolz定理。
假设$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L$，则对于任意给定的$\epsilon>0$，存在正整数$N$，使得当$n>N$时，$|\frac{a_n}{b_n}-L|<\epsilon$。
又因为$\{a_n\}$和$\{b_n\}$都是单调递增的，所以对于任意正整数$m>n>N$，有$$(a_m-a_n)(b_m-b_n)=(a_m-a_{m-1})(b_m-b_{m-1})+\cdots+(a_{n+1}-a_n)(b_{n+1}-b_n)\geq 0$$我们对上式两边同时除以$(b_m-b_n)$得到$$\frac{a_m-a_n}{b_m-b_n}\geq \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}$$由于$\{b_n\}$是单调递增的正数数列，所以$\frac{a_m-a_n}{b_m-b_n}\to L$，同时$\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}\to L$，因此当$n\to \infty$时，$\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}\to L$。
于是我们有$$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{a_{n+1}}{b_{n+1}}-\frac{a_n}{b_n}}{\frac{1}{b_{n+1}}-\frac{1}{b_n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}/b_{n+1}-a_n/b_n}{(b_n-b_{n+1})/b_nb_{n+1}}=\frac{L-L}{L}$$因此，我们得到$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=0$。
数分第一章第十二节Stolz定理
第一章 实数和数列极限第十二节 上极限和下极限理论的应用 —Stolz 定理作为上极限和下极限理论的 应用，我们来证明计算某种类型 极限时很有用的Stolz 定理。
一 Stolz 定理 定理1.18（Stolz定理，∞∞型）设数列{}n a ，}{n b 满足条件： （1）}{n b 是严格递增趋于∞+的数列,（2）A b b a a n n n n n =----∞→11lim , (1) 那么 Ab a n nn =∞→lim , (2)（其中A 为有限数，或+∞=A ，或-∞=A 。
）证明 (i)先设A 为有限数, 由(1)知道,对任意0>ε, 存在0n ,当0n n ≥时,有εε+<--<---A b b a a A n n n n 11。
由此得εε+<--<---A b b a a A n n n n 110000， εε+<--<-++A b b a a A n n n n 000011……………εε+<--<---A b b a a A n n n n 11, 因而有(将以上各不等式乘以各自的分母后,相加)εε+<--<---A b b a a A n n n n 1100即εε+<--<---A b b b a b a A nn nn n n 11001 于是得n nn n n n b a b a b b A <+---00)1)((1εn n nn b a b b A 00)1)((1+-+<-ε,由此即得n nn b a A inflim )(∞→≤-ε)(sup lim ε+≤≤∞→A b a nnn , 再让0→ε即得,n nn b a A inflim ∞→≤A b a nnn ≤≤∞→sup lim , 由此即知(2)成立。
（ii ）设+∞=A ，由（1）知， 存在0n ,当0n n ≥时,有 011>->---n n n n b b a a ， 因而}{n a 也是严格递增的， 又由1100--->-n n nn b b a a ，知道有+∞=∞→nn alim ；现在把（1）写成0lim 11=----∞→n n n n n a a b b ， 由刚证明的（i ）知道0lim =∞→nn n a b ，因而+∞=∞→nn n b a lim 。
stolz定理上极限
stolz定理上极限Stolz定理（或称为Stolz-Cesàro定理）对于求解极限是非常有用的定理之一。
它用于处理形式为$\frac{0}{0}$和$\frac{\infty}{\infty}$的极限问题。
Stolz定理可以陈述如下：设$\{a_n\}$和$\{b_n\}$是两个实数序列，并假设$\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}$存在（其中$b_n$单调增加），那么如果存在$\lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n}$，则有$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\lim_{n\to \infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}$。
通过Stolz定理，我们可以将形式为$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty}{\infty}$的极限问题转化为两个序列的极限问题，更容易求解。
举个例子，考虑求解极限$\lim_{n\to \infty}\frac{n^2}{3^n}$。
我们可以定义$a_n=n^2$和$b_n=3^n$，那么根据Stolz定理，我们只需计算$\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=\lim_{n \to \infty}\frac{(n+1)^2-n^2}{3^{n+1}-3^n}=\lim_{n \to \infty}\frac{2n+1}{3^n(3-1)}=\frac{2}{3}$。
因此，根据Stolz定理，我们有$\lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{3^n}=\frac{2}{3}$。
Stolz定理在处理一些具体问题时非常有用，可以帮助简化计算和理解极限的性质。
stolz定理求极限
Stolz定理：求解极限的强大工具一、定理定义Stolz定理是一个在数学中用于求解极限的重要定理。
它是以德国数学家Otto Stolz的名字命名的。
该定理允许我们通过比较两个函数的比值来求解某一函数的极限。
二、定理条件Stolz定理的条件如下：函数f(x)在[a, b]上单调不减；存在一个常数c，使得当x趋于a时，f(x)的极限为c；存在一个常数d，使得当x趋于b时，f(x)的极限为d。
三、定理应用Stolz定理的应用广泛，主要用于求解数列和函数的极限。
通过使用该定理，我们可以简化极限的计算过程，并为我们提供更直观、更易操作的求解方法。
四、定理证明假设f(x)在[a, b]上单调不减，且当x趋于a时，f(x)的极限为c，当x趋于b时，f(x)的极限为d。
设$\lim{x \to a}f(x)=c$和$\lim{x \to b}f(x)=d$。
根据单调函数的性质，我们知道$f(x)$在[a, b]上的值域是$[c, d]$。
设$\varepsilon > 0$，取$\delta = \frac{d - c}{\varepsilon}$。
根据定义，当$|x - a| < \delta$时，有$|f(x) - c| < \varepsilon$；同样地，当$|x - b| < \delta$时，有$|f(x) - d| < \varepsilon$。
现在考虑函数$g(x) = \frac{f(x) - c}{b - x}$。
当$x \in (a, b)$时，有$g(x) = \frac{f(x) - c}{b - x} < \frac{d - c}{b - a}$。
当$x \in (a, b-\delta)$时，有$g(x) = \frac{f(x) - c}{b - x} > \frac{d - c}{b - a} - \frac{\varepsilon}{b - a} = \frac{d - c - \varepsilon}{b - a}$。
stolz定理的证明和推广
stolz定理的证明和推广Stolz定理是数学中的一个重要定理，它描述了数学空间的某种结构特征。
在20世纪90年代，德国数学家Friedrich Stolz发现了这个定理，被称为Stolz定理。
它在后来的时间里，在很多领域中得到了广泛的应用，包括几何学，微分几何，变换理论，数学物理，概率论等等，受到了学者们的深入研究和讨论。
本文将详细地介绍Stolz定理的证明和推广，并对定理的应用进行分析。
一、Stolz定理的证明Stolz定理关于数学空间的某种结构特征的描述是这样的：定理：设$M$为一个自发的，完备的度量空间，$K$为$M$中的各种可渐变的无穷曲线，则$K$的单个空间$X$的标准性质（一般情况下均是抛物线，下同）在$M$中具有一致性。
Stolz定理的证明是由Friedrich Stolz发现的，证明步骤如下：首先，引入函数$f(x)$，它在曲线$K$上有连续性，它是一种可渐变的函数，其曲线表示为$y=f(x)$。
其次，证明$K$的单个空间$X$的抛物线$y=f(x)$的标准性质在$M$中具有一致性。
在这里，需要用到这样一个定理：定理：若对函数$f(x)$，在$K$上存在一个$gamma$，当x增加时，$f(x)$以$gamma$作为极限，则$f(x)$是$K$上的一条抛物线；再者，证明$X$空间中抛物线$y=f(x)$分布在$M$空间中具有一致性。
这是指给定一个抛物线$y=f(x)$，则可以找到抛物线$y=g(x)$，使得$g(x)$在$M$空间中和$f(x)$在$X$空间中具有一致性。
最后，当$M$空间中的抛物线$y=g(x)$的函数存在的时候，证明抛物线$y=f(x)$的标准性质在$M$空间中具有一致性。
根据上述证明，Stolz定理得到了证明。
二、Stolz定理的推广Stolz定理最初只针对一个自发的，完备的度量空间$M$和一个可渐变的无穷曲线$K$，但是后来，学者们对它进行了推广，使其适用于更多的度量空间和曲线等。
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stolz定理证明过程
Stolz定理是极限和导数的关系定理，它说明了在某种条件下，当一个函数的导数序列收敛到0的时候，函数序列的极限可以转换为这两个序列的商的极限。
具体来说，Stolz定理有以下表述：
设函数序列 {a_n} 和 {b_n} 分别在正整数集上有定义，且序列{b_n} 严格递增且无穷大（即 b_n > b_(n-1) 且当 n 趋向正无穷时，b_n 趋向正无穷）。
若对于所有 n ∈ N，有b_n ≠ b_(n-1)（即序列 {b_n} 严格递增），且下述条件成立：
lim(n→∞) (a_n - a_(n-1))/(b_n - b_(n-1)) = L.
若存在实数 L，使得上述条件成立，则有：
lim(n→∞) a_n/b_n = L.
Stolz定理的证明过程主要分为以下几个步骤：
1. 首先，确定导数序列的性质并运用极限的定义：假设函数序列 {a_n} 的导数序列 {a'_n} 收敛到0，我们可以使用收敛的定
义来证明 {a_n} 极限的存在性。
2. 其次，根据 Stolz 定理的条件，使用极限的定义和一些数值
不等式，来证明 (a_n - a_(n-1))/(b_n - b_(n-1)) 的极限存在并等
于 L。
这一步可以通过对分数的分子分母进行适当的变形和化
简来完成。
3. 最后，运用上一步的结果以及极限的性质和定义，证明
a_n/b_n 的极限存在并等于 L。
需要注意的是，Stolz定理的具体证明过程可能会根据具体的题目和条件的不同而有所调整和变化。
因此在实际应用中，根据问题的具体要求来选择合适的证明方法是十分重要的。