九年级数学反比例函数知识点
九年级反比例函数知识点
九年级反比例函数知识点反比例函数是数学中的一种特殊函数类型，它的图像呈现出一条直线，并且函数的定义域和值域都不包括零。
在九年级学习数学的过程中，反比例函数是一个重要的知识点。
本文将为大家介绍九年级反比例函数的相关知识。
一、反比例函数的定义与特征反比例函数是指当自变量x变大时，函数值y变小；当自变量x变小时，函数值y变大。
可以简单地用以下形式表示：y = k/x，其中k为一个常数。
反比例函数的定义域是除了x=0之外的所有实数。
反比例函数的图像为一条直线，并且经过第一象限和第三象限的两个点：(1, k)和(-1, -k)。
这条直线的渐进线是x轴和y轴，即当x趋近于正无穷或者负无穷时，函数值y趋近于零。
二、反比例函数的性质与运算1. 曲线的平移：若y = k/x关于y轴平移h个单位，则函数变为y = k/(x - h)。
2. 曲线的伸缩：若y = k/x的k值乘以a，则函数变为y = ak/x。
当a>1时，图像在x轴方向上被压缩；当0<a<1时，图像在x轴方向上被展开。
3. 曲线的关于y轴的对称：若y = k/x关于y轴对称，则函数变为y = -k/x。
4. 曲线的关于x轴的对称：若y = k/x关于x轴对称，则函数变为y = -k/x。
三、反比例函数的应用反比例函数在实际问题中具有广泛的应用，下面以几个例子来说明：1. 比例尺：地图上的比例尺就是一个反比例函数。
比如地图上标注1cm代表的实际距离为1km，这个比例尺可以表示为y = 1/x。
2. 速度与时间：当一辆车以恒定的速度行驶时，车辆的速度与时间呈现出反比例关系。
速度越大，所用的时间越短，可以用反比例函数来表示。
3. 某商品的价格与销售数量：在市场中，某商品的价格与销售数量通常是呈反比例关系的。
价格越高，销售数量越小，可以用反比例函数来描述。
四、反比例函数的图像与解析式反比例函数的图像为一条直线，并且经过第一象限和第三象限的两个点：(1, k)和(-1, -k)。
人教版 九年级数学下册第二十六章反比例函数小结课件 (共19张PPT)
．
4．若点（－5，y1），（－3，y2），（3，y3）都在反比例函数y＝
象上，则y1，y2，y3的大小关系（从小到大）为
+
−
的图
．
5．已知正比例函数y＝k1x与反比例函数y＝ 的图象交于点A（1，2），则正比例
函数与反比例函数图象的另一个交点的坐标是
．
研究的视角及结论：
课堂练习
4－2m＜0
= ，
的解．
= +
3
2
（3）因为点A的坐标为（－4， ），
（－4， ）
点B的坐标为（1，－6），
A
x
O
所以方程组的解为:
= −4，
= 1，
3
或
= −6.
=
{
B
（1，－6）
2
{
例题讲解
例2 如图，反比例函数y＝ （k为常数，k≠0）的图象与一次函数y＝ax＋b（a，b
2
x
又S△AOE＋S四边形OEBF＋S△COF＝S矩形OABC，
1
1
得 k＋4＋ k＝2k，解得k＝4．
2
2
例题讲解
例1 如图，已知反比例函数y＝ （k＞0）的图象经过矩形OABC边AB的中点E，交
边BC于点F．若四边形OEBF的面积为4，则k＝
思路2：
y
（ ， ）
（0， ）
为常数，a≠0）的图象交于点A（－4， ），B两点，其中点B的纵坐标为－6．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式．
y
A
x
O
部编版初中九年级数学反比例函数(含中考真题解析答案)
部编版初中九年级数学反比例函数(含中考真题解析答案)反比例函数（含答案）?解读考点知识点 1.反比例函数概念反比例函数概2.反比例函数图象念、图象和性3.反比例函数的性质质 4.一次函数的解析式确定名师点晴会判断一个函数是否为反比例函数。
知道反比例函数的图象是双曲线，。
会分象限利用增减性。
能用待定系数法确定函数解析式。
会用数形结合思想解决此类问题．反比例函5.反比例函数中比例系数的几何能根据图象信息，解决相应的实际问题．数的应用意义能解决与三角形、四边形等几何图形相关的计算和证明。
?2年中考【2021年题组】y?1．（2021崇左）若反比例函数kx的图象经过点（2，－6），则k的值为（）A．－12 B．12 C．－3 D．3【答案】A．【解析】y?试题分析：∵反比例函数kx的图象经过点（2，��6），∴k?2?(?6)??12，解得k=��12．故选A．考点：反比例函数图象上点的坐标特征． 2．（2021苏州）若点A（a，b）在反比例函数A．0 B．��2 C．2 D．��6 【答案】B．【解析】y?y?2x的图象上，则代数式ab��4的值为（）试题分析：∵点（a，b）反比例函数22b?x上，∴a，即ab=2，∴原式=2��4=��2．故选B．考点：反比例函数图象上点的坐标特征． 3．（2021来宾）已知矩形的面积为10，长和宽分别为x和y，则y关于x的函数图象大致是（）- 1 -A． B． C．D．【答案】C．考点：1．反比例函数的应用；2．反比例函数的图象．4．（2021河池）反比例函数y1?mx（x?0）的图象与一次函数y2??x?b的图象交于A，B两点，其中A（1，2），当y2?y1时，x的取值范围是（）A．x＜1 B．1＜x＜2 C．x＞2 D．x＜1或x＞2 【答案】B．【解析】试题分析：根据双曲线关于直线y=x对称易求B（2，1）．依题意得：如图所示，当1＜x＜2时，y2?y1．故选B．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．- 2 -5．（2021贺州）已知k1?0?k2，则函数y?k1x和y?k2x?1的图象大致是（）A．【答案】C．B．C． D．考点：1．反比例函数的图象；2．一次函数的图象． 6．（2021宿迁）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（��3，0），（3，0），点P在y?反比例函数2x的图象上，若△PAB为直角三角形，则满足条件的点P的个数为（）A．2个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】D．【解析】y?试题分析：①当∠PAB=90°时，P点的横坐标为��3，把x=��3代入此时P点有1个；22y??x得3，所以2222222(x?3)?()(x?3)?()22x，PB=x，AB2 ②当∠APB=90°，设P（x，x），PA=222222(x?3)?()?(x?3)?()222(3?3)xxPA?PB?AB==36，因为，所以=36，整理得2x4?9x2?4?0，所以x2?9?659?65x2?22，或，所以此时P点有4个；y?22y?x得3，所以此时P点有1个；③当∠PBA=90°时，P点的横坐标为3，把x=3代入综上所述，满足条件的P点有6个．故选D．考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．圆周角定理；3．分类讨论；4．综合题．7．（2021自贡）若点（的点，并且x1，y1），（x2，y2），（x3，y3y??），都是反比例函数1x图象上y1?0?y2?y3，则下列各式中正确的是（）- 3 -A．D．x1?x2?x3 B．x1?x3?x2 C．x2?x1?x3x2?x3?x1【答案】D．【解析】试题分析：由题意得，点（的点，且（x1，y1）xy，xy，（2，2）（3，3）都是反比例函数y??1x上y1?0?y2?y3，xy，xy位于第三象限，x?x3，则（2，2）（3，3）y随x的增大而增大，2 x1，y1）位于第一象限，x1最大，故x1、x2、x3的大小关系是x2?x3?x1．故选D．考点：反比例函数图象上点的坐标特征．8．（2021凉山州）以正方形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点，建立如图所示的平面y?直角坐标系，双曲线3x经过点D，则正方形ABCD的面积是（）A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C．考点：反比例函数系数k的几何意义．y?9．（2021眉山）如图，A、B是双曲线kx上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C．若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（）48A．3 B．3 C．3 D．4- 4 -【答案】B．考点：1．反比例函数系数k的几何意义；2．相似三角形的判定与性质． 10．（2021内江）如图，正方形ABCD位于第一象限，边长为3，点A在直线y=x上，点Ay?的横坐标为1，正方形ABCD的边分别平行于x轴、y轴．若双曲线有公共点，则k的取值范围为（）kx与正方形ABCDA．1＜k＜9 B．2≤k≤34 C．1≤k≤16 D．4≤k＜16 【答案】C．【解析】试题分析：点A在直线y=x上，其中A点的横坐标为1，则把x=1代入y=x解得y=1，则Ay?的坐标是（1，1），∵AB=BC=3，∴C点的坐标是（4，4），∴当双曲线kx经过点（1，1）时，k=1；当双曲线kx经过点（4，4）时，k=16，因而1≤k≤16．故选C．考点：1．反比例函数与一次函数的交点问题；2．综合题．- 5 -11．（2021孝感）如图，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，OB=2OA，点A在反比例函y?数1ky?x的图象上．若点B在反比例函数x的图象上，则k的值为（）A．��4 B．4 C．��2 D．2【答案】A．考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．相似三角形的判定与性质；3．综合题．41012．（2021宜昌）如图，市煤气公司计划在地下修建一个容积为m3的圆柱形煤气储存室，则储存室的底面积S（单位：m2）与其深度d（单位：m）的函数图象大致是（）- 6 -【答案】A．B． C． D．考点：1．反比例函数的应用；2．反比例函数的图象．y?13．（2021三明）如图，已知点A是双曲线2x在第一象限的分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，两垂线交于点C，随着点A的运动，点C的位置也随之变化．设点C的坐标为（m，n），则m，n满足的关系式为（）A．n??2m B．【答案】B．【解析】n??24n??m C．n??4m D．m2试题分析：∵点C的坐标为（m，n），∴点A的纵坐标是n，横坐标是：n，∴点A 的坐22标为（n，n），∵点C的坐标为（m，n），∴点B的横坐标是m，纵坐标是：m，∴点B2nm?2222mmn??mn，∴m2n2?4，又∵m＜0，n＞0，∴的坐标为（m，m），又∵n，∴- 7 -mn??2，∴n??2m，故选B．考点：反比例函数图象上点的坐标特征．y?14．（2021株洲）从2，3，4，5中任意选两个数，记作a和b，那么点（a，b）在函数图象上的概率是（）12x1111A．2 B．3 C．4 D．6【答案】D．考点：1．列表法与树状图法；2．反比例函数图象上点的坐标特征．OA3?OB4．15．（2021乌鲁木齐）如图，在直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴，∠y?AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数kx的图象2过点C．当以CD为边的正方形的面积为7时，k的值是（）- 8 -A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】D．考点：1．反比例函数综合题；2．综合题；3．压轴题． 16．（2021重庆市）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴y?平行，A，B两点的纵坐标分别为3，1．反比例函数ABCD的面积为（）3x的图象经过A，B两点，则菱形A．2 B．4 C．22 D．42 【答案】D．【解析】y?试题分析：过点A作x轴的垂线，与CB的延长线交于点E，∵A，B两点在反比例函数3x的图象上且纵坐标分别为3，1，∴A，B横坐标分别为1，3，∴AE=2，BE=2，∴AB=22，S菱形ABCD=底×高=22×2=42，故选D．- 9 -考点：1．菱形的性质；2．反比例函数图象上点的坐标特征；3．综合题．17．（2021临沂）在平面直角坐标系中，直线y??x?2与反比例函数1y?x的图象有2个公共点，则b的取值范围是公共点，若直线y??x?b与反比例函数（）y?1x的图象有唯一A．b＞2 B．��2＜b＜2 C．b＞2或b＜��2 D．b＜��2 【答案】C．考点：反比例函数与一次函数的交点问题． 18．（2021滨州）如图，在x轴的上方，直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转，若∠BOA12y??y?x、x的图象交于B、A两点，则∠OAB的大小的变化趋势为的两边分别与函数（）- 10 -A．逐渐变小 B．逐渐变大 C．时大时小 D．保持不变【答案】D．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．反比例函数图象上点的坐标特征；3．综合题． 19．（2021扬州）已知一个正比例函数的图象与一个反比例函数的一个交点坐标为（1，3），则另一个交点坐标是．【答案】（��1，��3）．【解析】试题分析：∵反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，∴另一个交点的坐标与点（1，3）关于原点对称，∴该点的坐标为（��1，��3）．故答案为：（��1，��3）．考点：反比例函数图象的对称性．20．（2021泰州）点（a��1，1）、（a+1，2）在反比例函数yyy?k?k?0?x的图象上，若y1?y2，- 11 -则a的范围是．【答案】��1＜a＜1．考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．分类讨论．y?21．（2021南宁）如图，点A在双曲线23ky?x（x?0）上，x（x?0）点B在双曲线上（点B在点A的右侧），且AB∥x轴．若四边形OABC是菱形，且∠AOC=60°，则k= ．【答案】63．【解析】y?试题分析：因为点A在双曲线2323x（x?0）上，设A点坐标为（a，a），因为四23边形OABC是菱形，且∠AOC=60°，所以OA=2a，可得B点坐标为（3a，a），可得：3a?k=23a=63，故答案为：63．考点：1．菱形的性质；2．反比例函数图象上点的坐标特征；3．综合题． 22．（2021桂林）如图，以?ABCO的顶点O为原点，边OC所在直线为x轴，建立平面直y?角坐标系，顶点A、C的坐标分别是（2，4）、（3，0），过点A的反比例函数交BC于D，连接AD，则四边形AOCD的面积是．kx的图象- 12 -【答案】9．考点：1．平行四边形的性质；2．反比例函数系数k的几何意义；3．综合题；4．压轴题． 23．（2021贵港）如图，已知点A1，A2，…，An均在直线y?x?1上，点B1，B2，…，y??Bn均在双曲线1x上，并且满足：A1B1⊥x轴，B1A2⊥y轴，A2B2⊥x轴，B2A3⊥y轴，…，AnBn⊥x轴，BnAn+1⊥y轴，…，记点An的横坐标为an（n为正整数）．若则a2021= ．a1??1，【答案】2．- 13 -考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．一次函数图象上点的坐标特征；3．规律型；4．综合题．24．（2021南京）如图，过原点O的直线与反比例函数y1，y2的图象在第一象限内分别交于点A，B，且A为OB的中点，若函数y1?1x，则y2与x的函数表达式是．【答案】【解析】y2?4x．试题分析：过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，∵点A在反比例函数y1?1x上，11∴设A（a，a），∴OC=a，AC=a，∵AC⊥x轴，BD⊥x轴，∴AC∥BD，∴△OAC∽△ACOCOAACOCOA12?????OBD，∴BDODOB，∵A为OB的中点，∴BDODOB2，∴BD=2AC=a，- 14 -2k2y2?2a??4yx，∴k=aOD=2OC=2a，∴B（2a，a），设，∴2与x的函数表达式是：y2?44y2?x．故答案为：x．考点：1．反比例函数与一次函数的交点问题；2．综合题；3．压轴题．y?25．（2021攀枝花）如图，若双曲线kx（k?0）与边长为3的等边△AOB（O为坐标原点）的边OA、AB分别交于C、D两点，且OC=2BD，则k的值为．363【答案】25．- 15 -考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．等边三角形的性质；3．综合题．93(x＞0)y?x26．（2021荆门）如图，点A1，A2依次在的图象上，点B1，B2依次在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2均为等边三角形，则点B2的坐标为．【答案】（62，0）．- 16 -考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．等边三角形的性质；3．综合题；4．压轴题． 27．（2021南平）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点A在x轴正半轴上，OCy?是△OAB的中线，点B，C在反比例函数于．3x（x?0）的图象上，则△OAB的面积等9【答案】2．考点：1．反比例函数系数k的几何意义；2．综合题． 28．（2021烟台）如图，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别是（4，0）和（0，2），反比y?例函数kx（x＞0）的图象过对角线的交点P并且与AB，BC分别交于D，E两点，连接OD，OE，DE，则△ODE的面积为．- 17 -15【答案】4．考点：1．反比例函数系数k的几何意义；2．反比例函数综合题；3．综合题． 29．（2021玉林防城港）已知：一次函数y??2x?10的图象与反比例函数y?kx（k?0）的图象相交于A，B两点（A在B的右侧）．（1）当A（4，2）时，求反比例函数的解析式及B点的坐标；（2）在（1）的条件下，反比例函数图象的另一支上是否存在一点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当A（a，��2a+10），B（b，��2b+10）时，直线OA与此反比例函数图象的另一支交BC5?BD2，求△ABC的面积．于另一点C，连接BC交y轴于点D．若y?【答案】（1）81?x，B（1，8）；（2）（��4，��2）、（��16，2）；（3）10．- 18 -【解析】y?试题分析：（1）把点A的坐标代入kx，就可求出反比例函数的解析式；解一次函数与反比例函数的解析式组成的方程组，就可得到点B的坐标；（2）①若∠BAP=90°，过点A作AH⊥OE于H，设AP与x轴的交点为M，如图1，对于y=��2x+10，当y=0时，��2x+10=0，解得x=5，∴点E（5，0），OE=5．∵A（4，2），∴OH=4，AH=2，∴HE=5��4=1．∵AH⊥OE，∴∠AHM=∠AHE=90°．又∵∠BAP=90°，∴∠AME+∠AEM=90°，∠AME+∠MAH=90°，∴∠MAH=∠AEM，∴△AHM∽△EHA，∴AHMH2MH??EHAH，∴12，∴MH=4，∴M（0，0），可设直线AP的解析式为y?mx，1?y?x??2??x?4811?y??y?xy?2?x，2，则有4m?2，解得m=2，∴直线AP的解析式为解方程组?得：??x??4?y??2，∴点P的坐标为（��4，��2）或?．1②若∠ABP=90°，同理可得：点P的坐标为（��16，2）．?- 19 -1综上所述：符合条件的点P的坐标为（��4，��2）、（��16，2）；?（3）过点B作BS⊥y轴于S，过点C作CT⊥y轴于T，连接OB，如图2，则有BS∥CT，CDCTBC5CTCD3????BD2．∵A（a，��2a+10）∴△CTD∽△BSD，∴BDBS．∵BD2，∴BS，B（b，��2b+10），∴C（��a，2a��考点：1．反比例函数综合题；2．待定系数法求一次函数解析式；3．反比例函数与一次函数的交点问题；4．相似三角形的判定与性质；5．压轴题．【2021年题组】1. （2021年湖南湘潭）如图，A、B两点在双曲线线段，已知S阴影=1，则S1+S2=（）y?4x上，分别经过A、B两点向轴作垂- 20 -④若OABC是菱形，则两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称．其中正确的结论是（把所有正确的结论的序号都填上）．【答案】①④．考点：1.反比例函数综合题；2. 反比例函数的图象和k的几何意义；3.平行四边形、矩形的性质和菱形的性质．- 26 -9. （2021年湖北荆州）如图，已知点A是双曲线y?2x在第一象限的分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边△ABC，点C在第四象限．随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线是．y?kx（k＜0）上运动，则k的值【答案】��6．考点：1.单动点问题；2.曲线上点的坐标与方程的关系；3. 等边三角形的性质；4.相似三角形的判定和性质；5.锐角三角函数定义；6.特殊角的三角函数值．- 27 -10. （2021年江苏淮安）如图，点A（1，6）和点M（m，n）都在反比例函数y?kx（x＞0）的图象上，（1）k的值为；（2）当m=3，求直线AM的解析式；（3）当m＞1时，过点M作MP⊥x轴，垂足为P，过点A作AB⊥y轴，垂足为B，试判断直线BP与直线AM的位置关系，并说明理由．【答案】（1）6；（2）y=��2x+8；（3）直线BP与直线AM的位置关系为平行，．- 28 -考点：1.反比例函数综合题；2.待定系数法的应用；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.相似三角形的判定和性质；5.平行的判定．?考点归纳归纳 1：反比例函数的概念基础知识归纳：一般地，函数（k是常数，k0）叫做反比例函数。
九年级数学下册 反比例函数知识点总结
九年级数学下册反比例函数知识点总结反比例函数是数学中常见的一种函数形式。
在反比例函数中，当自变量的值增大时，因变量的值会减小；当自变量的值减小时，因变量的值会增大。
下面是九年级数学下册关于反比例函数的知识点总结：1.反比例函数的定义：反比例函数是指一个函数，其方程形式为y = k/x，其中k是常数，x是自变量，y是因变量。
2.反比例函数的特点：当x为正数且逐渐增大，y的值会逐渐减小。
当x为正数且逐渐减小，y的值会逐渐增大。
如果x等于0，函数的值为无穷大或无穷小。
反比例函数的图像通常是一个曲线，经过原点，并且关于y轴和x轴都对称。
3.反比例函数的图像：反比例函数的图像通常是一个双曲线的一支。
当k为正数时，双曲线的开口朝上。
当k为负数时，双曲线的开口朝下。
当k的绝对值变大时，双曲线的形状越陡峭。
4.反比例函数的应用：反比例函数在实际生活中有许多应用，例如：速度与时间的关系：当行驶的时间增加时，速度会减小。
工作的时间与人数的关系：当完成工作的时间减少时，需要的人数会增加。
投资的金额与收益的关系：当投资的金额增加时，收益会减少。
5.反比例函数的求解：给定反比例函数的方程，可以通过代入不同的自变量的值来计算相应的因变量的值。
给定一组包含自变量和因变量的数值对，可以通过取自变量与因变量的乘积的比值来求解反比例函数的常数k。
以上是九年级数学下册关于反比例函数的知识点总结。
反比例函数在数学中扮演着重要的角色，并在实际生活中有许多应用。
通过理解这些知识点，可以更好地应用和解决与反比例函数相关的问题。
人教版九年级下册数学知识点总结
人教版九年级下册数学知识点总结一、反比例函数的概念反比例函数是指函数y=k/x（k≠0）的形式，其中自变量x 的指数为-1.在解决有关自变量指数问题时，应特别注意系数这一限制条件。
另外，反比例函数也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式。
反比例函数的自变量不能为0，故函数图像与x轴、y轴无交点。
二、反比例函数的图像画法反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称。
由于反比例函数中自变量x≠0，函数值y≠0，所以它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
反比例函数的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。
在作反比例函数的图像时，应注意以下几点：①列表时选取的数值宜对称选取；②列表时选取的数值越多，画的图像越精确；③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线；④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。
三、反比例函数及其图像的性质1．函数解析式：y=k/x（k≠0）2．自变量的取值范围：x≠03．图像：1）图像的形状：双曲线，曲度越大。
2）图像的位置和性质：当k>0时，图像的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图像的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大。
3）对称性：图像关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在另一支上。
图像关于直线y=x和y=-x对称。
4．k的几何意义如图1，设点P（a，b）是双曲线y=k/x的一点，在双曲线的另一支上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是|k|（三角形PAO和三角形PBO的面积都是1/2|k|）。
如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥XXX的延长线于C，则有三角形PQC的面积为2|k|。
26.1.2 反比例函数的图象和性质 课件 2024-2025学年人教版(2012)九年级下册数学
综合应用创新
解题秘方：紧扣反比例函数的系数k的几何意义，利用轴 对称、勾股定理、正方形的性质解决最小值问题，正确构 造“两点一线”型最小值的基本图形是解题的关键. 解：由题知k>0，∵正方形OABC的边长是6， ∴点M的横坐标和点N的纵坐标都为6，∠B＝90°. ∴ M(6，6k)，N(6k，6). ∴ BN＝6－6k，BM＝6－6k.
感悟新知
反比例函数 k的符号
k＞0
y＝kx(k ≠ 0)
k＜0
知2－讲
图象
图象位置 增减性
第一、第三象限
在每一个象限内，y 随x的增大而减小
第二、第四象限
在每一个象限内，y 随x的增大而增大
感悟新知
知2－练
例2
已知反比例函数y＝
m2 x
(m
≠
0)的图象过点(－3，－12)，
且反比例函数y＝mx 的图象位于第二、第四象限.
知1－练
1-1. (1)在同一平面直角坐标系中画出反比例函数y＝6x与y＝ －6x的图象．
感悟新知
解：①列表：
知1－练
x … －6 －5 －4 －3 －2 －1 …
y＝6x … －1 －1.2 －1.5 －2 －3 －6 … y＝－6x … 1 1.2 1.5 2 3 6 …
感悟新知
知1－练
x …1 2 3 4
感悟新知
知2－练
2-2.
在反比例函数y＝
4－k x
的图象上有两点A(x1，y1)，B(x2，
y2)，当x1＜0＜x2时，有y1＜y2，则k的取值范围是( C )
A. k＜0
B. k＞0
C. k＜4
D. k＞4
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知3－讲
鲁教版初四九年级上下册数学知识点汇总
鲁教版初四知识点第一章反比例函数一、反比例函数1.定义:一般地,形如y＝k／xk为常数,k≠0的函数叫做反比例函数,其中x是自变量,y是x的函数,k是比例系数;若y=k/nx此时比例系数为:k/n,如y=2/3x的比例系数为2/3反比例函数的定义中需要注意什么1常数k称为比例系数,k是非零常数；2自变量x次数不是1,x与y的积是非零常数；3除k、x、y三项以外,不含其他项;反比例函数自变量x的取值范围是不等于0的一切实数;2.反比例函数的三种表现形式:k为常数,k≠0(1)y＝k／x2xy=k3y=kx-1即:y等于x的负一次方,此处x必须为一次方2.K的几何含义:反比例函数y＝k／xk≠0中比例系数k的几何意义,即过双曲线y＝k／xk≠0上任意一点P作x轴、y轴垂线,设垂足分别为A、B,则所得矩形OAPB的面积为|k|,所得三角形面积|k|/2;二、反比例函数的图象和性质1.图像:反比例函数的图像是双曲线,他们关于原点成中心对称;双曲线只能与坐标轴无限靠近,永远不能与坐标轴相交;因为在y=k/xk≠0中,x不能为0,y也不能为0,所以反比例函数的图象不可能与x轴相交,也不可能与y轴相交;2.性质:当k>0时,两支曲线分别位于第一、三象限内,在每一象限内,y的值随x值的增大而减小；当k<0时,两支曲线分别位于第二、四象限内,在每一象限内,y的值随x值的增大而增大;三、用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤：⑴设所求的反比例函数y＝k／x⑵将已知条件代入得到关于k的方程⑶解方程求出k的值⑷把k的值代入反比例函数y＝k／x中四、反比例函数的应用：1.建立反比例函数模型2.求出反比例函数解析式3.结合函数解析式图像性质做出解答,特别要注意自变量的取值范围;第二章解直角三角形一、锐角三角函数在直角三角形ABC中,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,∠C为;则定义以下运算方式:sin∠A=∠A的对边长/斜边长,sinA记为∠A的；sinA=a/ccos∠A=∠A的邻边长/斜边长,cosA记为∠A的；cosA=b/ctan∠A=∠A的对边长/∠A的邻边长,tanA=sinA/cosA=a/btanA记为∠A的1.sin=对/斜cos=邻/斜tan=对/邻2.sinA=cos90°-AcosA=sin90°-AtanA=sinA/cosAsin2A＋cos2A＝１3.增减性A为锐角sinA、tanA随着∠A的增大而增大,cosA、随着∠A的增大而减小4.取值范围:0<sinA<1,0<cosA<1,tanA>0;二、30°,45°,60°角的三角函数三.解直角三角形及其应用1.解直角三角形的概念:在直角三角形的六个元素中,除直角外,如果知道两个元素其中至少有一个是边,就可以求出其余三个元素; 在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程,叫解直角三角形;2.解直角三角形的依据:(2)三边之间的关系:a2+b2=c2勾股定理(3)两锐角之间的关系:∠A＋∠B＝90°(4)边角之间的关系:sinA=a/c,cosA=b/c,tanA=a/b,cot=b/a3.解直角三角形的原则1有角先求角,无角先求边2有斜用弦,无斜用切；宁乘毋除,取原避中;这两句话的意思是:当已知或求解中有斜边时,就用正弦或余弦,无斜边时,就用正切或余切；当所求的元素既可用乘法又可用除法时,则用乘法,不用除法；既可以由已知数据又可由中间数据求解时,则用已知数据,尽量避免用中间数据;4.解直角三角形的应用1把实际问题转化成数学问题,这个转化包括两个方面:一是将实际问题的图形转化为几何图形,画出正确的示意图；二是将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系；2把数学问题转化成解直角三角形问题,如果示意图不是直角三角形,可添加适当的辅助线,画出直角三角形；3仰角和俯角在进行观察或测量时,从下向上看,视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看,视线与水平线的夹角叫做俯角;第二章二次函数一.对函数的再认识定义:一般地,在一个变化过程中有两个变量,对于自变量x某一范围内的每一个确定值,y都有惟一确定的值与它对应,那么就说y是x的函数;强调:对于函数概念的理解,主要抓住以下三点①函数不是数,是指在一个变化过程中两个变量之间的关系；②自变量每一个确定值,函数有一个并且只有一个值与之对应；③自变量的取值范围;函数值的定义:对于自变量在可以取值范围内的一个确定的值函数有惟一确定的对应值,这个对应值叫做当时函数的值,简称函数值;一二次函数及其表达式1.定义:我们把形如y=ax2+bx+c其中a,b,c是常数,a≠0的函数叫做二次函数;ax2叫做二次项,a为二次项系数,bx叫做一次项,b为一次项系数,c为常数项;注意:二次函数的二次项系数不能为零;因为如果a为0,就没有二次项,也就谈不上什么二次函数2.三种表达式:1一般式:y=ax2+bx+c2顶点式:y=ax-h2+k,对称轴x=h,顶点坐标是h,k3交点式:y=x-x1x-x2,与x轴两交点坐标为x1,0、x2,03.确定函数的解析式一般地,在所给条件中已知顶点坐标时,可设顶点式y=ax-h2+k,在所给条件中已知抛物线与x轴两交点坐标或已知抛物线与x轴一交点坐标与对称轴,可设交点式y=x-x1x-x2；在所给的三个条件是任意三点时,可设一般式y=ax2+bx+c,然后组成三元一次方程组来求解;三、二次函数的图像与性质二次函数的图象是抛物线,可用描点法画出二次函数的图象,是一个轴对称图形,对称轴是直线x=-b/2a对于一般式y=ax2+bx+c其中a,b,c是常数,a≠0,当x=-b/2a时,y最大或最小;即抛物线顶点坐标为-b/2a,4ac-b2/4a(1)a决定开口方向:a>0开口向上；a<0开口向下补充:|a|还可以决定开口大小,|a|越大开口就越小,|a|越小开口就越大①当a>0时,开口向上,对称轴左侧即x<-b/2a时,y随x增大而减小；对称轴右侧x≥-b/2a,y随x增大而增大;当x=-b/2a时,有最小值y=4ac-b2/4a；②当a<0时,开口向下,对称轴左侧即x<-b/2a时,y随x增大而增大；对称轴右侧x≥-b/2a,y随x增大而减小;当x=-b/2a时,有最大值y=4ac-b2/4a;2a、b共同决定对称轴:抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=-b/2aa、b同号即ab>0,则-b/2a<0对称轴在y轴左侧a、b异号即ab<0,则-b/2a>0对称轴在y轴右侧b=0对称轴是y轴(3)c决定抛物线与y轴的交点与y轴交点的横坐标为0,即x=0,此时纵坐标y=c:c>0与y轴正半轴相交c<0与y轴负半轴相交c=0经过坐标原点即x=0时,纵坐标y=c=0(4)Δ=b2-4ac确定抛物线与x轴交点的个数联系一元二次方程:b2-4ac>0与x轴有两个交点b2-4ac=0与x轴有一个交点b2-4ac<0与x轴无交点(5)抛物线y=ax2+bx+c在x轴上方,即函数y=ax2+bx+ca≠0的值永远是正值的条件是a>0且b2-4ac<0开口向上且与x轴无交点(6)抛物线y=ax2+bx+c在x轴下方,即函数y=ax2+bx+ca≠0的值永远是负值的条件是a<0且b2-4ac<0开口向下且与x轴无交点同样自己可确定不论x取何值时,函数y=ax2+bx+ca≠0的值永远是非负数或非正数的条件四、二次函数与一元二次方程二次函数的图像与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程的根,反之也成立;第四章投影与视图一、投影：1.光源点光源：像手电筒、路灯、台灯都可以看成一个点光源;平行光源：太阳光可以看成是一个平行光源2.概念定义：一般地,用光线照射物体,在某个平面地面、墙壁等上得到的影子叫做物体的投影,照射光线叫做投影线,投影所在的平面叫做投影面;1平行投影：由平行光线太阳的光线是平行光线形成的投影;2中心投影：由同一点点光源发出的光线形成的投影;3两者区别与联系：区别：平行投影平行的投射线物体与原物体全等中心投影从一点出发的投射线放大位似变换相同：都是物体在光线的照射下,在某个平面内形成的影子;即都是投影3.投影知识点：测量同一时刻物体的高度和影长时：①两物体的高度之比等于影长之比时,则这两个物体的影子是平行投影;②若两物体的高度之比不等于影长之比时,则这两个物体的影子是中心投影4.投影的性质：①将两个等高物体垂直于与地面放置时,离点光源较近的物体的影子较短,反之则越长;②将两个等高物体平行于与地面放置时,离点光源较近的物体的影子较长,反之则越短;5．易错题整理：1直线的平行投影一定是直线×原因：2矩形的投影一定是矩形×原因：3一个圆在平面上的投影一定是圆;×原因：二．视图：1.概念：用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形,称为物体的视图;2.分类：视图有：主视图、左视图、俯视图3.正方体的主要视图及展开：正方体的展开图有11种：11-4-1型：6种①--⑥22-3-1型：3种⑦--⑨32-2-2型：1种⑩43-3型：1种4.看视图确定物体有多少正方体组成：在俯视图中画圈标注,在观察主视图,左视图确定有几层,每层有几个;第五章圆一、圆1.定义1几何说:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆;其中,定点称为圆心,定长称为半径的长通常也称为半径;以点O圆心的圆记作⊙O作“圆O2轨迹说:平面上一动点以一定点为中心,一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周,简称圆3集合说:到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆连接圆心和圆上的任意一点的线段叫做,用字母r表示;通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做,用字母d表示;圆心决定圆的位置,半径和直径决定圆的大小;在同一个圆或等圆中,半径都相等,直径也都相等,直径是半径的2倍,半径是直径的1/2;2.点与圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内1点在圆外,即这个点到圆心的距离大于半径；2点在圆上,即这个点到圆心的距离等于半径；3点在圆内,即这个点到圆心的距离小于半径;3.圆的有关概念和:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧;大于半圆的弧称为,小于半圆的弧称为;连接圆上任意两点的线段叫做弦;圆中最长的弦为直径;2和:顶点在圆心上的角叫做圆心角;圆心角的度数与它所对的弧的度数相等;顶点在圆周上,且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;3弦心距:过圆心作弦的垂线,圆心与垂足之间的距离4等弧:在同圆中能够重合的弧叫等弧二、圆的对称性1.圆是周对称图形,圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴;2.圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心;一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合;这是圆特有的一个性质:圆的旋转不变性3.垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧特别注意:平分弦不是直径的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧垂径定理的逆定理:平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦垂径定理的推论:圆的两条平行弦所夹的弧相等4.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等推论:在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等三、圆周角1.顶点在圆周上,且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角2.圆周角定理:同弧等弧所对的圆周角相等,都等于它所对的圆心角的一半3.在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等4.半圆或直径所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径四、确定圆的条件1.三点定圆1经过两点A、B的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上2经过三点A、B、C的圆的圆心应该这两条垂直平分线的交点O的位置3定理:不在一条直线上的三个点确定一个圆三点定圆4.三角形与圆的位置关系1三角形的三个顶点确定一个圆,这圆叫做三角形的外接圆,这个三角形叫做圆的内接三角形;外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的的交点,叫做三角形的外心2锐角三角形的外心位于三角形内,直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点,钝角三角形的外心位于三角形外5.四边形与圆的位置关系1如果四边形的四个顶点在一个圆,这圆叫做四边形的外接圆,这个四边形叫做圆的内接四边形;2重要性质:①圆内接四边形对角互补；②圆内接四边形对的一个外角等于它的内对角；③对角互补的四边形内接于圆;五、直线和圆的位置关系1.三种位置关系(1)直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交;这时直线叫做圆的割线；(2)直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切;这时直线叫做圆的切线,唯一的公共点叫做切点；(3)直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离;直线和圆的位置关系是用直线和圆的公共点的个数来定义的,即直线与圆没有公共点、只有一个公共点、有两个公共点时分别叫做直线和圆相离、相切、相交;2.用圆心到直线的距离和圆半径的数量关系来揭示圆和直线的位置关系1回忆:直线外一点到这条直线垂线段的长度叫点到直线的距离；连结直线外一点与直线所有点的线段中,最短的是垂线段2设⊙O的圆心O到直线l的距离为d,⊙O的半径为r,则①直线l和⊙O相离d>r②直线l和⊙O相切d=r③直线l和⊙O相交d<r经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线3.切线定理:圆的切线垂直于过切点的半径4.切线长定理1切线长:在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点间的线段的长,叫做切线长2切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角; 5.内切圆和内心的定义:与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心六、圆和圆的位置关系1.圆心距:两圆圆心之间的距离叫做圆心距2.连心线:通过两圆圆心的直线叫做连心线3.圆和圆的位置关系设圆心距为d,R和r分别为两圆半径且R≥r:1外离d>R+r,公共点0两个圆没有公共点,并且每个圆上的点都在另一个圆的外部2外切d=R+r,公共点1两个圆有唯一公共点,并且除这公共点外,每个圆上的点都在另一个圆的外部3相交R-r<d<R+r公共点2两个圆有两个公共点4内切d=R-r公共点1两个圆有唯一公共点,并且除这公共点外,每个圆上的点都在另一个圆的内部5内含d<R-r公共点0两个圆没有公共点,并且每个圆上的点都在另一个圆的内部注:①两圆同心是两圆内含的一种特例；②当两个圆有唯一公共点时,叫做两圆相切包括外切和内切;4.性质1相切两圆的性质:如果两圆相切,切点一定在连心线上；2相交两圆的性质:相交两圆的连心线垂直平分公共弦；证明:经过相交两圆的一个交点,作两圆的公共弦的垂线,则这条直线上被两圆所截得的线段等于圆心距的2倍;在解决相交两圆的问题时,注意其公共弦和连心线的作用是探求思路的重要手段;七、弧长与扇形的面积1.把圆周等分成360份,每一份的弧叫做1°的弧；1°的弧所对的圆心角叫做1°的角;2.在半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长的计算公式为:l=nπR/180=nR3.如果扇形的半径为R,圆心角为n°,那么扇形的面积的计算公式为:S扇形=nπR2/360=n·nR/2=1/2lR4.比较扇形面积S公式和弧长l公式,用弧长来表示扇形的面积S=1/2lR八、圆锥的侧面积1.概念:圆锥可以看成是直角三角形以它的一条直角边所在的直线为轴,其余各边旋转一周而成的面所围成的几何体;斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面;无论转到什么位置,这条斜边都叫做圆锥的母线;另一条直角边旋转而成的面叫做圆锥的底面;圆锥有一个顶点和一个底面,底面是一个圆;连结圆锥顶点和底面圆心的线段和圆锥底面垂直,这条线段叫做圆锥的高线;2.圆锥的基本特征:1圆锥的高通过底面的圆心,并且垂直于底面；2圆锥的母线长都相等；3经过圆锥的高的平面被圆锥截得的图形是等腰三角形；4圆锥的侧面展开图是半径等于母线长、弧长等于圆锥底面周长的扇形;3.圆锥体展开图由一个扇形圆锥的侧面和一个圆圆锥的底面组成;此扇形的半径R是圆锥的母线,扇形的弧长是圆锥底面圆的周长一个圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的体积的1/34.圆锥的侧面积=1/2×母线长×圆锥底面的周长=π×圆锥底面半径×母线长即πrl5.高h,底半径r,母线l之间的关系:h2+r2=l2勾股定理得出6.圆锥的全面积:圆锥的侧面积与底面积的和叫做圆锥的全面积或表面积第六章对概率的进一步认识一、列表法求概率1、列表法：用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法;2、列表法的应用场合：当一次试验要设计两个因素,并且可能出现的结果数目较多时,为不重不漏地列出所有可能的结果,通常采用列表法;二、树状图法求概率1、树状图法：就是通过列树状图列出某事件的所有可能的结果,求出其概率的方法叫做树状图法;2、运用树状图法求概率的条件：当一次试验要设计三个或更多的因素时,用列表法就不方便了,为了不重不漏地列出所有可能的结果,通常采用树状图法求概率;三、利用频率估计概率1、利用频率估计概率：在同样条件下,做大量的重复试验,利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数,可以估计这个事件发生的概率;2、模拟实验：在统计学中,常用较为简单的试验方法代替实际操作中复杂的试验来完成概率估计,这样的试验称为模拟实验;3、随机数：在随机事件中,需要用大量重复试验产生一串随机的数据来开展统计工作;把这些随机产生的数据称为随机数;四、用频率估计概率1.概率：一个事件发生的可能性的大小可以用一个数来表示,我们把这个数叫做这个事件发生的概率,一般用P 事件表示;事件A发生的概率也记为PA,事件B发生的概率记为PB,依此类推2.三种事件的概率:必然事件发生的概率为1或100%,记作P必然事件=1;不可能事件发生的概率为0,记作P不可能事件=0随机事件不确定事件发生的概率介于0到1之间,即0<P不确定事件<1如果A为随机事件不确定事件,那么0<PA<13.用频率估计概率当试验次数很大时,一个事件发生频率也稳定在相应的概率附近;因此,我们可以通过多次试验,用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率;二、用列举法计算概率用列举法求概率的条件:1实验的所有结果是有限个n；2各种结果的可能性相等;一般地,如果在一次试验中,有n种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等,事件A包含其中的m种结果,那么事件A发生的概率为PA=m/n;。
九年级下册数学知识点汇总(人教版)
九年级下册（人教版数学）知识点汇总目录反比例函数 (1)26.1反比例函数 (1)● 反比例函数的定义 (1)● 反比例函数的图像 (1)● 反比例函数图像的对称性 (1)● 反比例函数的性质 (2)● 反比例函数系数k的几何意义 (2)● 反比例函数图像上点的坐标特征 (2)● 待定系数法求反比例函数解析式 (2)● 反比例函数与一次函数的交点问题 (3)26.2实际问题与反比例函数 (3)● 根据实际问题列反比例函数关系式 (3)● 反比例函数的应用 (4)相似 (5)27.1图形的相似 (5)● 相似图形 (5)27.2相似三角形 (5)● 相似三角形的判定 (5)● 相似三角形的应用 (5)● 相似多边形的性质 (5)● 相似三角形的性质 (6)● 相似三角形的判定与性质 (6)● 作图--相似变换 (6)● 射影定理 (6)27.3位似 (7)● 位似变换 (7)● 作图-位似变换 (7)锐角三角函数 (8)28.1锐角三角函数 (8)● 锐角三角函数的定义 (8)● 锐角三角函数的增减性 (8)● 同角三角函数的关系 (8)● 互余两角三角函数的关系 (9)● 特殊角的三角函数值 (9)28.2解直角三角形及其应用 (9)● 解直角三角形 (9)● 解直角三角形的应用 (10)● 解直角三角形的应用--坡度坡角问题 (10)● 解直角三角形的应用--仰角俯角问题 (10)● 解直角三角形的应用--方向角问题 (10)投影与视图 (11)29.1投影 (11)● 平行投影 (11)● 中心投影 (11)● 视点、视角和盲区 (11)29.2三视图 (11)● 简单几何体的三视图 (11)● 简单组合体的三视图 (12)● 由三视图判定几何体 (12)● 作图--三视图 (12)29.3课题学习、制作立体模型 (12)● 课题学习制作立体模型 (12)反比例函数26.1反比例函数●反比例函数的定义【反比例函数的概念】形如的函数称为反比例函数．其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于的一切实数．【反比例函数的判断】判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为或.●反比例函数的图像【反比例函数的图象】反比例函数的图象是由两条曲线组成的，这两条曲线通常称为双曲线当k>0时，两个分支分别位于第一、三象限内；当k<0时，两个分支分别位于第二、四象限①k>0②K<0●反比例函数图像的对称性【反比例函数图象的对称性】1、反比例函数图象本身既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线y=-x ；一、三象限的角平分线y=x ；对称中心是：坐标原点．2、若经过原点的直线与反比例函数交于两点，则这两点关于原点对称；3、反比例函数与的图象关于x轴，y轴对称.●反比例函数的性质●反比例函数系数k的几何意义【反比例系数的几何意义】1.在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．2.在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．●反比例函数图像上点的坐标特征【反比例函数图象上的点的坐标特征】1. 若点在反比例函数图象上，则点的横纵坐标满足反比例函数解析式2. 若点在反比例函数图象上，则也一定在反比例函数图象上3. 若点A（x,y）在反比例函数的图像上，则xy=k●待定系数法求反比例函数解析式【待定系数求反比例函数解析式的一般步骤】(1)设出含有待定系数的反比例函数解析式；(2)把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；(3)解方程，求出待定系数；(4)写出解析式．●反比例函数与一次函数的交点问题【反比例函数与一次函数的交点】1.(1)求反比例函数与一次函数的交点坐标时，先把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解，则两者有交点，方程组无解，则两者无交点；(2)已知反比例函数与一次函数的交点坐标，把点的坐标带入函数解析式可求得函数关系式或系数间的等量关系.2.判断正比例函数和反比例函数在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：(1)当k1与k2同号时，正比例函数和反比例函数在同一直角坐标系中有2个交点；(2)当k1与k2异号时，正比例函数和反比例函数在同一直角坐标系中有0个交点．26.2实际问题与反比例函数●根据实际问题列反比例函数关系式【列反比例函数关系式的一般解题思路】根据实际问题列反比例函数关系式，注意分析问题中变量之间的联系，建立反比例函数的数学模型，在实际问题中，往往要结合题目的实际意义去分析．首先弄清题意，找出等量关系，再进行等式变形即可得到反比例函数关系式．根据图象去求反比例函数的解析式，或是知道一组自变量与函数值去求解析式，都是利用待定系数法去完成的．注意：要根据实际意义确定自变量的取值范围．【根据实际问题列反比例函数的步骤】步骤1：审：审清题意,找出题目中的常量、变量,并理清常量与变量之间的关系。
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九年级数学反比例函数知识点
数学属于形式科学，而不是自然科学。
不同的数学家和哲学家对数学的确切范围和定义有一系列的看法。
下面是整理的九年级数学反比例函数知识点，仅供参考希望能够帮助到大家。
九年级数学反比例函数知识点
(1)反比例函数：如果(k是常数，k≠0)，那么y叫做x的反比例函数。
(2)反比例函数的图象：反比例函数的图象是双曲线。
(3)反比例函数的性质
①当k0时，图象的两个分支分别在第一、三象限内，在各自的象限内，y随x的增大而减小。
②当k0时，图象的两个分支分别在第二、四象限内，在各自的象限内，y随x的增大而增大。
③反比例函数图象关于直线y=±x对称，关于原点对称。
(4)k的两种求法
①若点(x0，y0)在双曲线上，则k=x0y0。
②k的几何意义：若双曲线上任一点A(x，y)，AB⊥x轴于B，则S⊥AOB。
(5)正比例函数和反比例函数的交点问题
若正比例函数y=k1x(k1≠0)，反比例函数，则
当k1k20时，两函数图象无交点;
当k1k20时，两函数图象有两个交点，由此可知，正反比例函数的图象若有交点，两交点一定关于原点对称。
初中数学有理数知识点
1、正整数、负整数和零统称整数;正分数和负分数统称分数;整数和分数统称有理数。
2、规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
在数轴上的数，左边的比右边的大，从左到右分别为负数、零、正数。
3、正负号不同，值相同的数叫相反数，零的相反数是零。
4、数轴上表示的数a到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。
正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值零。
5、两个负数比较，绝对值大的反而小。
6、有理数加减法法则：
①同号两数相加，取相同符号，绝对值相加。
②绝对值不同的异号两数相加，取绝对值大的数的符号，并用较大数绝对值减去较小数绝对值。
③互为相反数的两个数相加得零。
④一个数与零相加，仍得这个数。
7、有理数加法运算律：
①交换律：a+b=b+a
②结合律：(a+b)+c=a+(b+c)
8、有理数减法法则：
减去一个数等于加上这个数的相反数。
9、有理数乘法法则：
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
任何数与零相乘，都得零。
10、有理数乘法法则：
①乘法交换律：ab=ba
②乘法结合律：(ab)c=a(bc)
③乘法分配律：a(b+c)=ab+ac
④几个不为零的数相乘，积的正负号由负因数个数决定，当负因数个数为奇数时，积为负。
当负因数个数为偶数时，积为正，
⑤几个数为零，有一个因数为零，积为零。
11、有理数除法法则：
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
零除以任何一个不为零的数都得零。
初中数学一元二次方程的解法
①、直接开平方法
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，，，当b0时，方程没有实数根。
②、配方法
配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。
配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有。
③、公式法
公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。