反函数(二)
高中数学必修一高一数学第二章(第课时)反函数公开课教案课件课时训练练习教案课件
课 题：2.4.1 反函数（一）教学目的：掌握反函数的概念和表示法，会求一个函数的反函数教学重点：反函数的定义和求法教学难点：反函数的定义和求法授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教材分析：反函数是数学中的一个很重要的概念，它是我们以后进一步研究具体函数类即五大类基本初等函数的一个不可缺少的重要组成部分 反函数是函数中的一个特殊现象，对反函数概念的讨论研究是对函数概念和函数性质在认识上的进一步深化和提高反函数概念的建立，关键在于让学生能从两个函数关系的角度去认识它，从而深化对函数概念的认识 本节是反函数的第一节课围绕如何理解反函数概念这个重难点展开由于函数是一种对应关系，这个概念本身不好理解，而反函数又是函数中的一种特殊现象，它是两个函数之间的关系所以弄清函数与其反函数的关系，是正确理解反函数概念必不可少的重要环节教学设计中，通过对具体例子的求解，不但使学生掌握求反函数的方法步骤，并有意识地阐明函数与反函数的关系深化了对概念的理解和掌握教学过程： 一、复习引入：我们知道，物体作匀速直线运动的位移s 是时间t 的函数，即s=vt,其中速度v 是常量,定义域t ≥0,值域s ≥0；反过来，也可以由位移s 和速度v （常量）确定物体作匀速直线运动的时间，即vs t =，这时，位移s 是自变量，时间t 是位移s 的函数,定义域s ≥0,值域t ≥0.又如，在函数62+=x y 中，x 是自变量，y 是x 的函数，定义域x ∈R ，值域y ∈R. 我们从函数62+=x y 中解出x ，就可以得到式子32-=y x . 这样，对于y 在R 中任何一个值，通过式子32-=y x ，x 在R 中都有唯一的值和它对应. 因此，它也确定了一个函数：y 为自变量，x 为y 的函数，定义域是y ∈R ，值域是x ∈R.综合上述，我们由函数s=vt 得出了函数vs t =；由函数62+=x y 得出了函数32-=y x ，不难看出，这两对函数中，每一对中两函数之间都存在着必然的联系：①它们的对应法则是互逆的；②它们的定义域和值域相反：即前者的值域是后者的定义域，而前者的定义域是后者的值域. 我们称这样的每一对函数是互为反函数.二、讲解新课：反函数的定义一般地，设函数))((A x x f y ∈=的值域是C ，根据这个函数中x,y 的关系，用y 把x 表示出，得到x=ϕ(y). 若对于y 在C 中的任何一个值，通过x=ϕ(y)，x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，x=ϕ(y)就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数，这样的函数x=ϕ(y) (y ∈C)叫做函数))((A x x f y ∈=的反函数，记作)(1y f x -=,习惯上改写成)(1x f y -=开始的两个例子：s=vt 记为vt t f =)(，则它的反函数就可以写为vt t f =-)(1，同样62+=x y 记为62)(+=x x f ，则它的反函数为：32)(1-=-x x f . 探讨1：所有函数都有反函数吗？为什么？反函数也是函数，因为它符合函数的定义，从反函数的定义可知，对于任意一个函数)(x f y =来说，不一定有反函数，如2x y =,只有“一一映射”确定的函数才有反函数，2x y =,),0[+∞∈x 有反函数是x y =探讨2：互为反函数定义域、值域的关系从映射的定义可知，函数)(x f y =是定义域A 到值域C 的映射，而它的反函数)(1x f y -=是集合C 到集合A 的映射，因此，函数)(x f y =的定义域正好是它的反函数)(1x fy -=的值域；函数)(x f y =的值域正好是它的反函数)(1x fy -=的定义域x x f f x x f f ==--)]([,)]([11（如下表）：探讨3：)(1x f y -=的反函数是？若函数)(x f y =有反函数)(1x f y -=，那么函数)(1x f y -=的反函数就是)(x f y =，这就是说，函数)(x f y =与)(1x fy -=互为反函数三、讲解例题：例1．求下列函数的反函数： ①)(13R x x y ∈-=； ②)(13R x x y ∈+=； ③)0(1≥+=x x y ； ④)1,(132≠∈-+=x R x x x y 且. 解：①由13-=x y 解得31+=y x ∴函数)(13R x x y ∈-=的反函数是)(31R x x y ∈+=， ②由)(13R x x y ∈+=解得x=31-y , ∴函数)(13R x x y ∈+=的反函数是)(13R x x y ∈-=③由y=x +1解得x=2)1(-y , ∵x ≥0，∴y ≥1. ∴函数)0(1≥+=x x y 的反函数是x=2)1(-y (x ≥1); ④由132-+=x x y 解得23-+=y y x ∵x χ{x ∈R|x ≠1}，∴y ∈{y ∈R|y ≠2} ∴函数)1,(132≠∈-+=x R x x x y 且的反函数是)2,(23≠∈-+=x R x x x y 小结：⑴求反函数的一般步骤分三步，一解、二换、三注明 ⑵反函数的定义域由原来函数的值域得到，而不能由反函数的解析式得到 ⑶求反函数前先判断一下决定这个函数是否有反函数，即判断映射是否是一一映射例2．求函数23-=x y （R x ∈）的反函数，并画出原来的函数和它的反函数的图像解：由23-=x y 解得32+=y x∴函数)(23R x x y ∈-=的反函数是)(32R x x y ∈+=， 它们的图像为：例3求函数 211x y --=（-1<x<0）的反函数 解：∵ -1<x<0 ∴0<2x <1 ∴0<1 -2x < 1∴ 0 <21x -< 1 ∴0 < y <1 由：211x y --= 解得：22y y x --= (∵ -1< x < 0 ) ∴211x y --=(-1<x < 0)的反函数是：22x x y --=(0<x<1 )例4 已知)(x f = 2x -2x(x ≥2),求)(1x f -.解法1：⑴令y=2x -2x ，解此关于x 的方程得2442y x +±=， ∵x ≥2，∴2442y x ++=，即x=1+y +1--①, ⑵∵x ≥2，由①式知y +1≥1，∴y ≥0--②,⑶由①②得)(1x f -=1+x +1（x ≥0，x ∈R ）；解法2：⑴令y=2x -2x=2)1(-x -1，∴2)1(-x =1+y ，∵x ≥2，∴x-1≥1，∴x-1=y +1--①,即x=1+y +1,⑵∵x ≥2，由①式知y +1≥1，∴y ≥0,⑶∴函数)(x f = 2x -2x(x ≥2)的反函数是)(1x f -=1+x +1（x ≥0）；说明：二次函数在指定区间上的反函数可以用求根公式反求x ，也可以用配方法求x ，但开方时必须注意原来函数的定义域.四、课堂练习：课本P63练习：已知函数)(x f y =，求它的反函数)(1x fy -= （1） 32+-=x y （x ∈R ） （2）x y 2-= (x ∈R ，且x ≠0) （3） 4x y = （x ≥0） （4）53+=x x y (x ∈R ，且x ≠35-) 五、小结 本节课学习了以下内容：反函数的定义及其注意点、求法步骤六、课后作业：课本第64习题2.4：1七、板书设计（略）八、课后记：活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。
高二数学三角函数的反函数与解反三角函数方程
高二数学三角函数的反函数与解反三角函数方程三角函数是数学中非常重要的一门知识点，不仅在高中阶段学习，而且在大学阶段也是必不可少的。
在高二数学学习中，我们学习了三角函数的反函数以及如何解反三角函数方程。
本文将详细介绍三角函数的反函数及其性质，并提供解反三角函数方程的方法。
一、三角函数的反函数在介绍反函数之前，我们先回顾一下什么是函数。
在数学中，一个函数是指将一个集合的元素映射为另一个集合的元素的规则关系。
而反函数就是给定一个函数，找到它的逆映射的过程。
对于三角函数而言，它们的反函数如下：1. 正弦函数的反函数：反正弦函数，记作$\arcsin(x)$或$\sin^{-1}(x)$。
2. 余弦函数的反函数：反余弦函数，记作$\arccos(x)$或$\cos^{-1}(x)$。
3. 正切函数的反函数：反正切函数，记作$\arctan(x)$或$\tan^{-1}(x)$。
需要注意的是，三角函数的反函数的定义域和值域是有限制的。
例如，反正弦函数的定义域是$[-1, 1]$，值域是$[-\pi/2, \pi/2]$。
这是因为正弦函数的定义域是$[-\pi/2, \pi/2]$，而反正弦函数是正弦函数的逆映射。
二、三角函数反函数的性质了解三角函数反函数的性质对于解题非常有帮助。
下面是三角函数反函数的一些性质：1. 定义域和值域：我们已经提到，三角函数反函数的定义域和值域是有限制的。
2. 对称性：三角函数的反函数具有对称性。
例如，$\arcsin(x)$等于$\arcsin(-x)$。
3. 导数关系：三角函数反函数的导数与原函数的导数之间存在关系。
例如，$(\arcsin(x))' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$。
根据这些性质，我们可以利用三角函数反函数来解决一些具体的问题。
三、解反三角函数方程的方法解反三角函数方程是高二数学中的一个重要内容。
下面我们介绍一些常用的解法。
1. 代入法：将反三角函数方程转化为一个二次方程或三次方程，然后利用代入法求解。
高中数学 第二章第二节反函数课件 新人教A版必修1 精品
又如x log2 y( y (0, ))是函数 y 2x
y 2x x R的反函数
对数函数y log2 x( x 0,)是 x log 2 y 指数函数y 2x x R的反函数
y log 2 x
对数函数y loga x(a 0, a 1)与 指数函数y a x (a 0, a 1)是互为反函数
对数函数与指数函数的图象
观察 y log a x 与 y a x 图像特点？
5
4
4
3
y=ax (a>1) 2
1
3
y=ax 2
0<a<1 1
-4
-2
2
4
6
-4
-2
-1 y=logax (a>1)
-1
-2
-2
2
4
6
y=logax
0<a<1
由于对数函数与指数函数互为反函数，故 图象关于直线 y x对称。
x
的图象关于y轴对称，
则f（x）＝
(2)若h（x）的图象与g（x）＝
1 4
x
的图象关于y＝x对称，
则h（x）＝
2.已知
f
(x)
a2x 1 2x
1
(a
R)
是R上的奇
函数,(1)求a的值;(2)求f(x)的反函数;
例如：
1.x y 3( y [6,8])是函数y 2x 6(x [0,1])的反函数. 2
2.y x 3(x [6,8])是函数 y 2x 6(x [0,1])的反函数. 2
3.t s (s 0)是函数s 2t(t 0)的反函数. 2
2-反函数
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第二章
函数
探究3 的解析式．
注意到f－1(x)与f(x)有相同的奇偶性和单调性，
只需研究原函数f(x)的奇偶性和单调性，从而回避了求f－1(x)
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函数
思考题 3
－
1 (08·天津卷)设函数 f(x)＝ (0≤x<1)的反 1－ x )
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第二章
函数
x－5 5＋my (3)由 y＝ 得 x＝ 2x＋m 1－2y 5＋mx －mx－5 ∴f (x)＝ ＝ 1－2x 2x－1
－1
∵函数 f(x)的图象关于直线 y＝x 对称
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∴f(x)＝f 1(x) ∴m＝－1.
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在 y
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第二章
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3．反函数的性质 (1)y＝f(x)与y＝f－1(x)具有 (2)奇函数的反函数是 的反函数是本身 ． 相同 的单调性． ．(若存在) 奇函数
(3)若函数y＝f(x)的图象关于直线y＝x对称，则y＝f(x)
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①求反函数忘记注明定义域． ②错误地将y＝f－1(x＋a)理解为y＝f(x＋a)的反函数． ③易忘原函数和反函数的单调性和奇偶性关系，从而 导致解题过程繁琐．
－
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第二章
函数
探究2 本题主要考查函数与反函数之间的关系． ①②题主要训练：若f(a)＝b，则f－1(b)＝a ③题主要训练：f(x)与f－1(x)的图象关于直线y＝x对称 以上这几种关系是常考点．
第二章 反函数教材分析 人教版 教案
第二章反函数教材分析1．本节知识结构：2．教学目的与要求：（1）使学生了解反函数的概念．（2）使学生明确求反函数的三个步骤，会求一些简单函数的反函数．（3）使学生明确互为反函数的函数图象关于直线y ＝x 对称．3． 教材分析与教学建议：（1）本小节计划三课时，可以第一课时学习反函数的概念，第二课时学习反函数的求法，第三课时学习互为反函数的图象之间的关系．（2）本小节教材的重点是反函数的概念，学生学习中可能遇上的难点是理解y ＝f －1（x ）中f －1的意义，和求出一个函数的反函数．（3）反函数在数学中十分重要，课本通过实例引入这一概念．教学时，可给学生创设以下活动情境：①设某物体在直线l 上（从点A 起）作匀速直线运动，速度是1．2（米/秒），写出位移s 用时间t 表示的关系式，并回答你写出的关系式是否表明s 是t 的函数？②由st 计算出t 取整数时对应的s 值，并将其列表；表格如下：图2－19③由t ＝2.1s 计算出位移为的整数倍时对应的时间t 的值，并将其列表； 定义解出x 交换x 与y 的位置写出反函数定义域求反函数的步骤互为反函数图象间的关系反函数表格如下：图2－20④引导学生理解图2－19的意义：由时间计算位移，并且每一个时间都有唯一的位移与其对应，反映的是位移是时间的函数；⑤让学生思考图2－20的意义：由位移计算时间，并且每一个位移都有唯一的时间与其对应，反映的也是一个函数关系：时间是位移的函数；⑥让学生思考：函数st 与函数t ＝2.1s 是相同的函数吗？它们有什么关系？ 在学生完成以上活动后，给出反函数的定义．（4）关于给定函数与它的反函数之间的关系，应明确以下几点：①反函数的定义域与值域应该正好是原来函数的值域与定义域，否则不能算是原来函数的反函数．例如“x ＝2y （y ∈Z ）不是函数y ＝2x （x ∈Z ）的反函数，因为前者的值域显然不是后者的定义域．所以求原来函数的反函数时，必须已知或先确定原来函数的值域．②对于任意一个函数y ＝f （x ）来说，不一定有反函数．如果有反函数y ＝f －1（x ），那么原来函数y ＝f （x ）也是反函数y ＝f －1（x ）的反函数，即它们互为反函数．③反函数也是函数，因为它是符合函数定义的．（5）求由解析式给出的函数y ＝f （x ）的反函数时，要强调分三个步骤进行：第一步将y ＝f （x ）看成方程，解出x ＝f －1（y ）；第二步将x ，y 互换，得到y ＝f －1（x ）；第三步写出反函数的定义域．要向学生指出：①y ＝f （x ）中的x ，y 与在x ＝f －1（y ） 中的x ，y 所表示的量相同，但是地位不同．在y ＝f （x ）中的x 是自变量，y 是函数值；在x ＝f －1（y ） 中的y 是自变量，x 是函数值．②y ＝f （x ）与在y ＝f －1（x ）中的x 都是自变量，y 是函数值，这比较符合习惯，并给研究函数带来某些方便．但是x ，y 所表示的量（指实际意义）在两式中被互换了，在y ＝f （x ）中的x ，y 所表示的量，分别是y ＝f －1（x ）中的y ，x 所表示的量．③把反函数x ＝f －1（y ） 改写成y ＝f －1（x ）的形式，在同一个直角坐标系中，函数y ＝f （x ）的图像与它的反函数y ＝f －1（x ）的图象关于直线y ＝x 对称．这也是对换变量x ，y 的好处之一． （6）互为反函数的两个函数如果有解析式，一般是不同的，但是也有少数例外，例如函数y ＝x 的反函数仍是y ＝x ；函数y ＝x x +-11的反函数仍是y ＝xx +-11． 如果一个有反函数的函数与其反函数的解析式是相同的，则这个函数的图象是关于直线y ＝x 对称的．如函数y ＝xx +-11的图象如下：图2－21（7）研究互为反函数的函数之间的图象关系时，教材是通过例2、例3两个例题，画原来函数与它的反函数的图象，结合图象得出一般结论：函数y ＝f （x ）的图象和它的反函数y ＝f －1（x ）的图象关于直线y ＝x 对称．其实，学生以上的认识是不充分的，因此，在具体教学过程中，可让学生进行以下活动： ①对例1中四对互为反函数的函数，分四次在同一坐标系中画出它们的图象，同时画出y ＝x 的图象，得出下面图象：图2－22 图2－23图2－24 图2－25②让学生对以上图象进行观察分析，尝试得出一些结论；③学生自己找一对互为反函数的函数，在同一坐标系中画出它们的图象和y ＝x 的图象验证自己的结论；④进行例2、例3的教学；⑤得出互为反函数的函数图象之间的关系；⑥指出以上的过程，并没有证明“函数y ＝f （x ）的图象和它的反函数y ＝f －1（x ）的图象关于直线y ＝x 对称”，这个证明教材不作要求．（8）在得到互为反函数的函数图象之间的关系后，应帮助学生认识如下几点：①函数y ＝f （x ）与y ＝f －1（x ）的图象关于直线y ＝x 对称，这个结论是在坐标系中横轴为x 轴，纵轴为y 轴，而且横轴与纵轴的单位长度一致的前提下得出的．②函数y ＝f （x ）与y ＝f －1（x ）的图象关于直线y ＝x 对称，而不是函数y ＝f （x ）与x ＝f －1（y ） 的图象关于直线y ＝x 对称．③函数y ＝f （x ）和函数x ＝f －1（y ） 的图象是同一个图象．例如，函数y ＝3x －2与32+=y x 的图象是同一条直线． （9）函数y ＝f （x ）的图象和它的反函数y ＝f －1（x ）的图象关于直线y ＝x 对称这一结论教材没有证明，在学习了两点间距离公式后或直接利用勾股定理作为依据是可以证明的．现给出这一结论的证明过程，为了不提高教学要求，不要求给学生证明，仅供教师参考． 定理 函数y ＝f （x ）的图象和它的反函数y ＝f －1（x ）的图象关于直线y ＝x 对称． 证明：设M （a ，b ）是y ＝f （x ）的图象上的任意一点，那么x ＝a 时，f （x ）有唯一的值f （a ）＝b ．因为y ＝f （x ）有反函数y ＝f －1（x ），所以x ＝b 时，f －1（x ）有唯一的值f －1（b ）＝a ，即点M ˊ（b ，a ）在反函数y ＝f －1（x ）的图象上．如果a ＝b ，那么M ，M ˊ是直线y ＝x 上的同一个点，因此它们关于直线y ＝x 对称．现设a ≠b ，如图2－26，在直线y ＝x 上任意取一点P （c ，c ），连结PM ，PM ˊ，MM ˊ．由两点间距离公式，PM ＝22)()(c b c a -+-，PM ˊ＝22)()(c a c b -+-，∴PM ＝PM ˊ．由此可知，且直线y ＝x 上任意取一点到两个定点M 、M ˊ的距离相等，因此直线y ＝x 是线段MM ˊ的垂直平分线，从而点M 、M ˊ关于直线x y =对称． 图2—26因为点M 是y ＝f （x ）的图象上的任意一点，所以y ＝f （x ）图象上任意一点关于直线y ＝x 的对称点都在它的反函数y ＝f －1（x ）的图象上．由y ＝f （x ）与y ＝f －1（x ）互为反函数，可知，函数y ＝f －1（x ）图象上任意一点关于直线y ＝x 的对称点也都在它的反函数y ＝f （x ）的图象上．这就是说，函数y ＝f （x ）与y ＝f －1（x ）的图象关于直线y ＝x 对称．（10）学生对“函数y ＝f （x ）与y ＝f －1（x ）的图象关于直线y ＝x 对称，函数y ＝f （x ）与x ＝f －1（y ）的图象相同”较难理解，为解决这一难点，可多提供一些具体例子给学生在计算机或计算器上操作，如： y =x 2，y =x （x ≥0），x =y （y ≥0）． （11）借助于计算机或计算器，可以很直观地说明“对应法则是一一映射的函数一定有反函数”，而单调函数的对应法则是一一映射，从而“单调函数一定有反函数”． 但有反函数的函数不一定是单调函数，这可由函数y ＝x1加以说明． （12）本节的“数学实验”，是希望学生借助于计算机或计算器，获得结论：函数有反函数 平行于x 轴的直线（含x 轴）与函数的图象至多有一个交点．在做这个“数学实验”前，应让学生利用图形计算器或计算机，研究一两个有反函数的函数的图象与平行于x 轴的直线（含x 轴）的交点个数．。
人教版高三数学函数的单调性、反函数知识精讲
高三数学函数的单调性、反函数知识精讲一. 本周教学内容： 函数的单调性、反函数【基本知识】一. 函数的单调性1. 函数的单调性及单调区间 （1）增函数：对任意，则为上的增函数。
，，，，x x a b x x f x f x f x a b 121212∈<⇒<[]()()()[] （2）减函数：对任意，则为上的减函数。
，，，，x x a b x x f x f x f x a b 121212∈<⇒>[]()()()[] 单调区间：在某个区间M 上的递增函数或递减函数统称在区间M 上的单调函数，而这个区间M 称为单调区间。
图像特征：单增函数从左至右逐渐上升，单减函数从左至右逐渐下降。
注意：单调性必须以范围为前提，奇偶具有整体性，而单调性具有局部性。
2. 基本函数的单调性（1）一次函数y=kx+b ，当k>0时为定义域上的增函数；当k<0时为定义域上的减函数。
（2）二次函数y=ax 2+bx+c ，当a>0，在()[)-∞--+∞，，单减，在b a ba22 单增，当时，在上单增，在上单减。
，，a b a ba<-∞--+∞022()[)（）反比例函数，当，在单减，在上单减，当，上，3000y kxk =>-∞+∞()()k<0，在（－∞，0）单增，在（0，＋∞）单增。
（4）指数函数y=a x ，当a>1时，在R 上单增，当0<a<1时，在R 上单减。
（5）对数函数y=log a x ，当a>1时，在（0，＋∞）单增，当0<a<1时，在（0，＋∞）单减。
（6）幂函数y=x a ，当a<0时，在（0，＋∞）上单减，当a>0时，在（0，＋∞）上单减，x ∈（－∞，0）上的情形可借助函数的定义域和奇偶性判断。
3. 复合函数的单调性（不要求证明）4. 单调性的判断与证明：（1）范围是前提（先明确在某区域内）（2）定义即方法（用定义证明） （3）步骤：第一步：任取且，，；x x a b x x 1212∈<[] 第二步：证明（或）f x f x f x f x ()()()()1212<> 第三步：由定义得结论其中关键在于第二步证明，常用方法是作差→变形→判断符号。
高一数学函数知识点归纳
高一数学函数知识点归纳（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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三角函数反函数的推导和应用
三角函数反函数的推导和应用一、三角函数反函数的概念三角函数反函数是指将三角函数的输出值映射回其输入值的反函数。
对于正弦函数、余弦函数和正切函数，它们的反函数分别为反正弦函数、反余弦函数和反正切函数。
二、三角函数反函数的推导1.反正弦函数的推导：反正弦函数是指将正弦函数的输出值映射回其输入值的反函数。
根据反正弦函数的定义，有：sin(arcsin(x)) = x （|x|≤1）由正弦函数的性质可知，对于一个角度α，其正弦值为x时，可以表示为：α = arcsin(x) + kπ （k为整数）因此，反正弦函数可以表示为：arcsin(x) = α - kπ （|x|≤1）2.反余弦函数的推导：反余弦函数是指将余弦函数的输出值映射回其输入值的反函数。
根据反余弦函数的定义，有：cos(arccos(x)) = x （|x|≤1）由余弦函数的性质可知，对于一个角度β，其余弦值为x时，可以表示为：β = arccos(x) + kπ （k为整数）因此，反余弦函数可以表示为：arccos(x) = β - kπ （|x|≤1）3.反正切函数的推导：反正切函数是指将正切函数的输出值映射回其输入值的反函数。
根据反正切函数的定义，有：tan(arctan(x)) = x由正切函数的性质可知，对于一个角度γ，其正切值为x时，可以表示为：γ = arctan(x) + kπ （k为整数）因此，反正切函数可以表示为：arctan(x) = γ - kπ三、三角函数反函数的应用1.角度与弧度的互换：在数学和物理中，角度和弧度是常用的两种表示方式。
利用三角函数反函数，可以方便地进行角度与弧度的互换。
例如，将一个给定的弧度值转换为角度值，可以使用反正弦函数：角度 = arcsin(弧度)2.计算三角形的边长和角度：在三角形中，已知一个角的度数和其对边的长度，可以利用反余弦函数求解邻边的长度：邻边 = arccos(已知角的余弦值)已知一个角的度数和其邻边的长度，可以利用反正弦函数求解对边的长度：对边 = arcsin(已知角的正弦值)3.求解三角方程：利用三角函数反函数，可以求解包含三角函数的方程。
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§2.4反函数（二）
【复习目标】
1． 能熟练利用互为反函数的函数图象关系解题；
2． 灵活地运用“1()()f a b f b a -=⇔=”和互为反函数的两个函数在定义域、值域、图象方面的关系，提高解题速度。
【重点难点】
对称问题
【课前预习】
1．设函数()[]()242,4f x x x =-∈，则()1f x -的定义域为
（ ）
A ．[)4,-+∞
B ．[)0,+∞
C ．[]0,4
D ．[]0,12
2．若函数()y f x =的反函数是()y g x =，(),0f a b ab =≠，则()g b 等于
（ ） A ．a B ．1a - C ．b D ．1b -
3．已知函数()13
ax f x x +=-的反函数就是()f x 本身，则a 的值为 （ ）
A ．3-
B ．1
C ．3
D ．1-
4．若函数()f x 存在反函数，则方程()()f x c c =为常数 （ ）
A ．有且只有一个实数根
B ．至少有一个实数根
C ．至多有一个实数根
D ．没有实数根
【典型例题】
例1 给定实数a ，0a ≠且1a ≠，设函数11x y ax -=
-（x R ∈且1x a ≠）。
证明：这个函数的图象关于直线y x =成轴对称图形。
例2 已知函数2(1)2(0)f x x x x +=+>，
求：（1）1()f x -及其1(1)f x -+；（2）求(1)y f x =+的反函数。
（3）函数
(1)y f x =+与1(1)y f x -=+的图象有什么关系？
例3 已知函数()f x 是函数)(11102R x y x ∈-+=
的反函数，函数()g x 的图象与函数1
34--=x x y 的图象关于直线y=x －1成轴对称图形，记F(x)= ()f x +()g x （1） 求函数F(x)的解析式及定义域；
（2） 试问在函数F(x)的图象上是否存在两个不同的点A 、B ，使直线AB 恰好与
y 轴垂直？若存在，求出A 、B 两点的坐标；若不存在，说明理由。
【巩固练习】
1． 下列四个命题：①函数()1y f x -=的反函数是()y f x =；②若点(),M a b 在
()y f x =的图像上，则点(),M b a '一定在其反函数的图像上；③关于直线y x =成轴对称的两个图形是互为反函数的一对函数的图像；④因为函数()y f x =与其反函数()1y f x -=的图像关于直线y x =成轴对称，所以()y f x =与()1y f x -=的图像不能相交。
其中错误的命题有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
2．定义域R 上的函数(1)y f x =-是单凋递减函数（如图），给出
四个结 论：①(0)0f >；②1()12f <；③1(1)0f -=；④11()02
f -> 其
中正确结论的个数是
（ ） A.1 B.2 C.3 D.4
【本课小结】
【课后作业】
1． 已知函数65()(,1
x f x x R x +=∈-且1)x ≠有反函数1()y f x -=，则1(7)f -= 。
2． 已知函数()y f x =在定义域(],0-∞内存在反函数，且()2
12f x x x -=-，求112f -⎛⎫- ⎪⎝⎭
. 3． 己知()2
11x f x x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭
(x ≥1)， （1）求()f x 的反函数1()f x -，并求出反函数的定义域；（2）求11()()g x x f x -=
+
的最值。