(3)数学形态学

原点不包含在结构元素中的膨胀运算
示例:
A A B
原点不包含在结构元素中的膨胀运算
示例:
A A B
原点不包含在结构元素中的腐蚀运算
示例:
AB A
原点不包含在结构元素中的腐蚀运算
示例:
AB A
腐蚀与膨胀的关系
膨胀和腐蚀一个使图像物体增大，另一个使图像物体减 小，二者之间并非逆运算的关系。但这两种形态运算之 间存在对偶性(Duality)。
素去量度和提取图像中的对应形态以达到对图 像分析和识别的目的。 数学形态学的数学基础和所用语言是集合论。
基本集合定义
① 集合（集）：具有某种性质的、确定的、有区 别的事物的全体（它本身也是一个事物）。常用 大写字母如A，B，...表示。如果事物不存在，就 称这种事物的全体是空集。记为φ。 ② 元素：构成集合的每个事物。常用小写字母如
数学形态学(Mathematics Morphology)
• 数学形态学诞生于1964年，是由法国巴黎矿业
学院博士生赛拉(J. Serra)和导师马瑟荣，在
从事铁矿核的定量岩石学分析中提出的。在积
分几何的研究成果上，将数学形态学引入图像
处理领域，并研制了基于数学形态学的图像处 理系统，在文字识别、显微图像分析、医学图 像、工业检测、机器人视觉都有成功的应用。
在进行膨胀的运算称为开启。
闭合：先进行膨胀运算然后在进行腐蚀的运算称为闭合。
开启
开启的运算符为“◦”，A用B来开启记为A◦B。 定义如下：
A B ( AB) B
用来消除小对象物、在纤细点处分离物体、平滑较大物 体的边界的同时并不明显改变其体积。
a)输入图像A
b)结构元素B
c) AB
膨胀的结果将使这两个物体在该点连通，合并成为一个物体。
腐蚀
腐蚀的运算符为 ，A用B来腐蚀，写作A B， 定义为：
Ab x | ( B) x A
上式表明，A用B腐蚀的结果是所有满足将B平移 后，B仍旧全部包含在A中的x的集合,也就是B经 过平移后全部包含在A中的原点组成的集合。
的物体在某一处宽度少于2r+1，腐蚀的结果将使物体在该点断开，合裂
成为两个物体。在任何方向宽度不大于2r个象素的物体将被消除。因 此，腐蚀运算将一幅图像中除去小且无意义的物体，突出主要感性趣目
标。Leabharlann 原点不包含在结构元素中的运算
对膨胀运算,总有 对腐蚀运算,总有
A A B
AB A
当原点不包含在结构元素中,对膨胀运算来说 只有 A A B 对腐蚀运算来说,有两种可能, AB A 或者 AB A
A A B
• 膨胀是在结构元素的约束下，将与物体接触的部分背景点合并到该物
体之中的过程。运算结果使物体的面积增大了相应数量的点。例如，
假设结构元素是半径为r个象素的小圆，被作用的物体是一个大圆。 膨胀运算的结果是沿大圆边界向外增长了r个象素的宽度，即直径增
加2r。如果被作用的图像中有两个相临的物体在某一处相隔少于2r+1，
ˆ ( A B ) c A c B c c ˆ ( A B ) A B
一个对图像目标的操作相当于另一个运算对图像背景的 操作。
a) 原始图像
b) 腐蚀图像
c) 膨胀图像
开启和闭合
膨胀和腐蚀是两种基本的形态运算，它们可以组合成复杂 的形态运算，比如开启和闭合运算等。
开启：使用同一个结构元素对图像先进行腐蚀运算然后
A B x | x A, x B A B c
基本集合定义
⑧位移：设A是一幅数字图象， a是A的元素，b是一个 点，定义A被b平移后的结果为：
A b a b | a A
⑨ 映像（也称反射，映射）A关于原点的映像定义为：
ˆ A x | x a, a A
提取边界操作
• • • • • • • • se=strel('square',3); BW1=imread('circbw.tif'); BW2=bwperim(BW1); BW3=imerode(BW1,se); BW4=BW1-BW3; imshow(BW1); figure,imshow(BW2); figure,imshow(BW4);
d) A B
用圆盘对输入图像开运算的结果
a) 原图
b)开运算结果
开运算滤除背景噪声
闭合
闭合的运算符为“•”，A用B来闭合记为A•B。 定义如下：
A B ( A B)B
它具有填充图像物体内部细小孔洞、连接邻近的物体，
在不明显改变物体的面积和形状的情况下平滑其边界
的作用。
(a) 输入图像
基本集合定义
⑩ 结构元素：被形象的称作刷子，是膨胀和腐蚀操作 的最基本组成部分，用于测试输入图像。根据不同的
图像分析目的，常用的结构元素有方形、扁平行、圆
形等。 结构元素的大小可以变化，但结构元素的尺寸一般 要明显小于目标图像的尺寸。结构元素可携带形态、 大小、灰度、色彩等信息。
二值形态学的基本运算
闭合：
• • • • • I=imread('circles.tif'); se=strel('disk',10); closeI=imclose(I,se); imshow(I); figure,imshow(closeI);
闭合：
闭合运算把比结构元素小的缺口或孔填充上，起到连 通作用。
开启：
骨架化
• • • • BW1=imread('circbw.tif'); BW2=bwmorph(BW1,'skel',Inf); imshow(BW1); figure,imshow(BW2);
骨架化
提取边界操作
在MATLAB中，提供了专门的函数 bwperim，可以用于判断一幅二进制 图象中的哪些象素为边界象素。
腐蚀运算的图解
深色阴影部分为A Θ B（浅色为原属于A现腐蚀掉 的部分）。可见腐蚀将区域缩小了。
AB A
腐蚀是在结构元素的约束下，消除物体的部分边界点的一种过程。运算
结果使物体的面积减少了相应数量的点。例如，假设结构元素是半径为
r个象素的小圆，被作用的物体是一个大圆。膨胀运算的结果是沿大圆 边界向内减少了r个象素的宽度，即直径减少2r。如果被作用的图像中
c c
这个对偶性可根据膨胀和腐蚀的对偶性得到。 开启和闭合运算不受原点是否在结构元素之中的影响。 开与闭两种运算共有的特点是可以消除比结构元素小的特定 的图像细节，同时不会产生全局性几何失真。
形态运算举例
（1）噪声滤除
下面图像A是一幅受到噪声严重干扰的图像。内部有零散的蚀洞，外部还有一些孤岛状的干扰。

先对B做关于原点的映射，在将其映射平移x,这 里A与 B映射的交集不为空集。也就是B的映射的 位移与A至少有1个非零元素相交时B的原点位置 的集合。 ˆ A b x | [(B) x A] A

膨胀运算的图解
图（a）中阴影部分为集合A，图B中阴影 部分为结构元素B（标有”+”处为原点）。
(b) 闭运算的结果
利用闭运算去除前景噪声
A AB
A B A
A
B
A AB
A B A
A B AB
用腐蚀和膨胀运算得出的三种图像边界
三种形态学边界实例
开启和闭合的关系
开启和闭合也具有对偶性:
ˆ ( A B) A B c c ˆ ( A B) A B
说明：
• • • • • • • • • SE=strel('rectangle',[40,30]); BW1=imread('circbw.tif'); BW2=imerode(BW1,SE); BW3=imdilate(BW2,SE); BW4=imopen(BW1,SE); subplot(2,2,1),imshow(BW1); subplot(2,2,2),imshow(BW2); subplot(2,2,3),imshow(BW3); subplot(2,2,4),imshow(BW4);
数学形态学
• 数学形态学是一门建立在严格数学理论基础上， 分析研究空间结构的形状、框架的学科。它主
要以积分几何、集合代数及拓扑论为理论基础，
此外还涉及随即集论、尽世代数和图论等数学
分支，理论很复杂，被称为“惊人的数学”。
但它的基本思想简单完美。
数学形态学的概念
基本思想： 用具有一定形态结构的结构元
a, b, ...表示.
③ 子集：当且仅当集合A的元素都属于集合B时， 称A为B的子集。
基本集合定义
④并集：由A和B的所有元素组成的集合称为A和B的并集。
⑤交集：由A和B的公共元素组成的集合称为A和B的交集。
⑥ 补集： A的补集记为AC。定义为：
Ac x | x A
⑦ 差集：两个集合A和B的差，定义为：
用结构元素B对其进行如下的一组形态运算：
{[( AB) B] B}B ( A B) B
它的整个运算等价于先开后闭。具体的过程是，结构元素B对图像A先腐蚀。物体周围整
个小了一圈，孤岛小于结构元素，因而被消除。但是图像A内部的蚀洞却被扩大了。紧接 着再用同一个结构元素对上述结果进行膨胀，缩小的边缘得到些恢复，蚀洞恢复近于原 状。与初始的图像相比，图像A的四角变得圆滑。再对结果图像膨胀，内部的蚀洞消失。 最后再进行一次腐蚀，得到噪声全部去除但有些圆角的图像，实现噪声滤除的效果。
说明：
MATLAB中数学形态学的4个基本元算： 膨胀： imdilate 腐蚀： imerode、 开启： imopen、 闭合：imclose