第二章 自动控制原理(傅里叶变换到拉普拉斯变换)
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自动控制原理B2讲解
s0
t
有存在的条件f(t)及其导数是可拉氏变换的，且要sF(s)在虚轴（除原点） 和右半平面上没有极点。
初值定理： lim sF (s) lim f (t)
s
t 0
卷积定理：
已知函数f(t)和g(t)，其卷积定义为
f (t) g(t) 0 f (t )g( )d 0 f ( )g(t )d
0
f
(t )e st
dt
------F (s)为f (t)的拉氏变换,也称F (s)为f (t)像函数
f (t) 1
2 j
j j
F
(s)est
ds----f
(t )为F
(s)的拉氏反变换,也称f
(t )为F
(s)的原函数
自动控制原理
第二章 线性系统的数学模型
其中，
a1,..., an1, an , b0, b1,..., bm1, bm是实常数，m, n是正整数，通常m n
实行分母因式分解
F(s) B(s) b0sm b1sm1 ...... bm1s bm A(s) (s s1)(s s2)....(s sn )
2.出现r个重根及n个非重根时，象函数因式分解结果的表达式为：
F (s) B(s) b0sm b1sm1 ...... bm1s bm
A(s)
(s s1)(s s2 )....(s sn )
=
cr (s s1)r
+
(s
cr 1 s1)r1
+...+
s1
1) 2
s(s
s2 1)2 (s
自动控制原理(第二章)
F ( s ) = L[ f (t )] =
∫
∞ 0
f (t )e st dt
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Basis of Control Engineering ——Basic Concept of Automatic Control ——Bas与象函数之间的对应 关系列成对照表的形式.通过查表, 关系列成对照表的形式.通过查表,就能 够知道原函数的象函数, 够知道原函数的象函数,或象函数的原函 常用函数的拉氏变换的对照表如表2 数,常用函数的拉氏变换的对照表如表2-3 所示. 所示.
Basis of Control Engineering ——Basic Concept of Automatic Control ——Basic
拉氏变换的基本定理
(3)积分定理. )积分定理. (4)位移定理. )位移定理.
L[ ∫
t 0
1 f ( t ) dt ] = F ( s ) s
L[ f (t τ0 )1(t τ0 )] = eτ0s F(s)
静态数学模型:静态条件下, 静态数学模型:静态条件下,描述各变量间关系的 代数方程; 代数方程; 动态数学模型: 动态数学模型:描述变量各阶导数之间关系的微分 方程. 方程.
建立控制系统数学模型的方法:分析法和 建立控制系统数学模型的方法:分析法和实验 法.
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Basis of Control Engineering ——Basic Concept of Automatic Control ——Basic
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∫
∞ 0
f (t )e st dt
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Basis of Control Engineering ——Basic Concept of Automatic Control ——Bas与象函数之间的对应 关系列成对照表的形式.通过查表, 关系列成对照表的形式.通过查表,就能 够知道原函数的象函数, 够知道原函数的象函数,或象函数的原函 常用函数的拉氏变换的对照表如表2 数,常用函数的拉氏变换的对照表如表2-3 所示. 所示.
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拉氏变换的基本定理
(3)积分定理. )积分定理. (4)位移定理. )位移定理.
L[ ∫
t 0
1 f ( t ) dt ] = F ( s ) s
L[ f (t τ0 )1(t τ0 )] = eτ0s F(s)
静态数学模型:静态条件下, 静态数学模型:静态条件下,描述各变量间关系的 代数方程; 代数方程; 动态数学模型: 动态数学模型:描述变量各阶导数之间关系的微分 方程. 方程.
建立控制系统数学模型的方法:分析法和 建立控制系统数学模型的方法:分析法和实验 法.
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自动控制原理拉普拉斯变换
控
(1)查表法
制
工
(2)部分分式法
程
基 础
(3)有理分式法
page 25
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第二章 拉普拉斯变换
一般象函数可以表示成如下的有理分式
F(s) B(s) b0sm b1sm1 bm1s bm
控 制
A(s) a0sn a1sn1 an1s an
推论 若 L[ f (t)] F(s)
L
t 0
t 0
t 0
f
(t )(dt ) n
1 sn
F (s)
1 sn
f
( 1)
(0)
1 s n 1
f (2) (0)
控 制
1 f (n) (0)
工
s
程
基 础
特别地，当 f (1) (0) f (2) (0) f (n) (0) 0
dt
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第二章 拉普拉斯变换
推论 若 L[ f (t)] F(s)
L
d
nf dt
(t
n
)
s
n
F
(s)
s n 1
f
(0)
s
n2
f
(0)
f (n1) (0)
控
制
工
特别地，当 f (0) f (0) f (n1) (0) 0
控
制 工
时域位移定理 L[ f (t a)] easF(s)
程
基
础
复数域位移定理 L[eat f (t)] F(s a)
自动控制原理 第2章第1讲 复习拉普拉斯
L[ f ′(t )] = s ⋅ F (s ) − f (0 )
L[a f1(t) ± b f 2(t)] = a F1(s) ± b F2(s)
1 1 L ∫ f (t )dt = ⋅ F (s ) + f ( -1) (0 ) s s
[
]
L [ f ( t − τ )] = e − τ ⋅ s ⋅ F ( s )
L e A⋅t f ( t ) = F ( s − A)
lim f ( t ) = lim s ⋅ F ( s )
t →0 s→∞
[
]
lim f ( t ) = lim s ⋅ F ( s )
t →∞ s→0
举例2 §2. 1 非线性系统微分方程的线性化（举例2） 例6 某容器的液位高度 h 与液体流入量 Qr 满足方程
例3 求 解 .
L[cos(ω t )] = ?
1
cos ω t =
s ω = 2 L[cos ω t ] = L[sin′ ω t ] = ⋅ s ⋅ 2 2 s +ω2 ω s +ω ω 1 1
ω
[sin′ ω t ]
复习拉普拉斯变换有关内容（6）
[∫ f (t )dt ] = 1 ⋅ F (s ) + 1 f ( （3）积分定理 L s s 1 零初始条件下有： 零初始条件下有： L[∫ f (t )dt ] = ⋅ F (s ) s
F (s )
1 1s
1s 3 1s
2
δ (t )
1( t ) t t2 2
e − at sin ω t cos ω t
1 ( s + a)
ω (s2 + ω 2 ) s (s2 + ω 2 )
(完整版)拉普拉斯变换
t
Re(s) 0
4)卷积特性（convolution）
若 则有
f1 (t) L F1 (s) f 2 (t) L F2 (s)
Re( s) s 1 Re( s) s 2
f1 (t) f 2 (t) L F1 (s)F2 (s) Re( s) max( s 1,s 2 )
L[ f1(t) f2 (t)] 0
F
(
s)
1 s2
e - s 1
Re(s) -
例：单边周期信号的Laplace变换。 f(t)
单边周期信号的定义：
f(t)=f(t+nT); t0, n=0,1,2,...
0 T 2T 3T
t
定义：f1
(t)
f 0
(t
)
0t T 其它
单边周期信号
f (t)
k 0
f1(t - kT)u(t - kT)
L[ f (t)]
k 0
e-skT F1(s)
F1(s) 1- e-sT
Re(s) 0
例：求如图所示周期方波的Laplace变换。
f(t) 1
01
2345 周期方波信号
L[u(t) - u(t -1)] 1- e-s s
F(s) 1- e-s s
1 1- e-2s
1 s(1 e-s )
若
f (t) L F (s) Re( s) s 0
则有 f (at) L 1 F ( s ) aa
a 0, Re( s) as 0
L[ f (t)]
0-
f (at)e-st dt
1 a 0-
f
-st
(t)e a dt
1
F(
拉普拉斯变换(推荐完整)
f
-st
(t)e a dt
1
F(
s
)
aa
收敛域：
Re(s/a) s0 Re(s) as0
3)时移特性（Time Shifting）
若 f (t) L F (s) Re( s) s 0
则有 f (t - t0 )u(t - t0 ) L e-st0 F (s) t0 0, Re(s) s 0
例：求信号f
(t)
sin 0
t
0 t 其它
的Laplace变换。
f (t) sin(t)u(t) sin(t - )u(t - )
F
(
s)
1 s2
e - s 1
Re(s) -
例：单边周期信号的Laplace变换。 f(t)
单边周期信号的定义：
f(t)=f(t+nT); t0, n=0,1,2,...
拉普拉斯变换 (the Laplace Transform)
1、从傅里叶变换到拉普拉斯变换
傅里叶分析具有清晰的物理意义，但某些信号的傅里 叶变换不存在 (t<0,无意义的函数)。引入拉普拉斯变换， 从而也可以对这些信号进行分析。拉普拉斯变换实质 是将信号f(t)乘以衰减因子e-s t的傅里叶分析。
L[cos(w0t)u(t)]
s
s2
w
2 0
Re(s) 0
L[sin(w0t)u(t)]
w0
s2
w
2 0
Re(s) 0
单边拉普拉斯的基本性质 (properties of Laplace Transform)
1 ) 线性特性(linearity)
自动控制原理-第二章 控制系统的数学模型
dn dtn f ( t )
t
f (t)dt 0
t
f ( )d
n
ki .L[ f (t )]
i 1
sF (s) f (0 )
s2F (s) sf (0 ) f (0 )
snF (s) sn1 f (0 ) sn2 f (0 ) f (n1) (0 )
电枢回路方程为
La
dia (t) dt
Raia (t)
Ea (t)
ua (t)
电磁转矩方程 M m Cmia (t)
电动机轴上转矩平衡方程
Jm
dm (t)
dt
fmm (t)
Mm
MC
(t)
若以角速度 m 为输出量、电枢电压 ua 为输入量，
消去中间变量，直流电动机的微分方程为
(s2+s+1)Uc(s)= Ur(s)+0.1(s+2)
即 U S 1 U S 0.1S 2
C
S2 S 1 r
S2 S 1
通电瞬间, ur(t)=1 或 Ur(s)=L[ur(t)]=1/S
故 U S 1 1 0.1S 2
C
S2 S 1 S S2 S 1
再对上式两边求反拉氏变换：
u c
t
L1 U C
S
L1
S
2
1 S
1
1 S
S
2
1 S
1
=1+1.15e-0.5tSin(0.866t-120°)+ 0.2e-0.5tSin(0.866t+30°)
t
f (t)dt 0
t
f ( )d
n
ki .L[ f (t )]
i 1
sF (s) f (0 )
s2F (s) sf (0 ) f (0 )
snF (s) sn1 f (0 ) sn2 f (0 ) f (n1) (0 )
电枢回路方程为
La
dia (t) dt
Raia (t)
Ea (t)
ua (t)
电磁转矩方程 M m Cmia (t)
电动机轴上转矩平衡方程
Jm
dm (t)
dt
fmm (t)
Mm
MC
(t)
若以角速度 m 为输出量、电枢电压 ua 为输入量，
消去中间变量，直流电动机的微分方程为
(s2+s+1)Uc(s)= Ur(s)+0.1(s+2)
即 U S 1 U S 0.1S 2
C
S2 S 1 r
S2 S 1
通电瞬间, ur(t)=1 或 Ur(s)=L[ur(t)]=1/S
故 U S 1 1 0.1S 2
C
S2 S 1 S S2 S 1
再对上式两边求反拉氏变换：
u c
t
L1 U C
S
L1
S
2
1 S
1
1 S
S
2
1 S
1
=1+1.15e-0.5tSin(0.866t-120°)+ 0.2e-0.5tSin(0.866t+30°)
控制系统第二章 拉普拉斯变换
At 2 f (t ) 0 t0 t0
（2.27）
式中，A为常数。 其拉氏变换为
A L[ At ] At e dt t 2e st 0 s 1 2A 3 s
2 2 st 0
2 te st dt 0
（2.28）
当 A 时的加速度函数称为单位加速度函数，如图2.6(a) 2 所示，用
脉动输入量值很大，而持续时间与系统的时间常数相比较非 常小时，可以用脉冲函数去近似地表示脉动输入。
第二章 拉普拉斯变换 当描述脉冲输入时，脉冲的面积大小是非常重要的，而脉 冲的精确形状通常并不重要。脉冲输入量在一个无限小的时 间内向系统提供能量。 单位脉冲函数 (t t0 ) 可以看作是单位阶跃函数 u(t t0 ) 在间 断点 t t0上的导数，即
(β＞0)
（2.1）
只要β值选得适当，式（2.1）就能满足傅立叶变换的条件， 即时间函数 (t ) 的傅立叶变换存在。
第二章 拉普拉斯变换 对式（2.1）取傅立叶变换，得
G ( ) (t )u (t )e t e jt dt
(t )u (t )e
第二章 拉普拉斯变换 上绝对收敛而且一致收敛，并且在 为解析函数。 即：如果拉氏积分收敛，则时间函数 f (t ) 的拉氏变换存在。 1. 常用函数的拉氏变换
R e ( s) c
F ( s) 半平面内，
(1) 指数函数
0 f (t ) t Ae
t 0 t 0
（2.6）
式中，A和α为常数。 其拉氏变换为
a(t ) 表示。发生在t＝t
0时的单位加速度函数通常写
1
第二章 拉普拉斯变换 成 a(t t0 ) ，如图2.6(b)所示。
（2.27）
式中，A为常数。 其拉氏变换为
A L[ At ] At e dt t 2e st 0 s 1 2A 3 s
2 2 st 0
2 te st dt 0
（2.28）
当 A 时的加速度函数称为单位加速度函数，如图2.6(a) 2 所示，用
脉动输入量值很大，而持续时间与系统的时间常数相比较非 常小时，可以用脉冲函数去近似地表示脉动输入。
第二章 拉普拉斯变换 当描述脉冲输入时，脉冲的面积大小是非常重要的，而脉 冲的精确形状通常并不重要。脉冲输入量在一个无限小的时 间内向系统提供能量。 单位脉冲函数 (t t0 ) 可以看作是单位阶跃函数 u(t t0 ) 在间 断点 t t0上的导数，即
(β＞0)
（2.1）
只要β值选得适当，式（2.1）就能满足傅立叶变换的条件， 即时间函数 (t ) 的傅立叶变换存在。
第二章 拉普拉斯变换 对式（2.1）取傅立叶变换，得
G ( ) (t )u (t )e t e jt dt
(t )u (t )e
第二章 拉普拉斯变换 上绝对收敛而且一致收敛，并且在 为解析函数。 即：如果拉氏积分收敛，则时间函数 f (t ) 的拉氏变换存在。 1. 常用函数的拉氏变换
R e ( s) c
F ( s) 半平面内，
(1) 指数函数
0 f (t ) t Ae
t 0 t 0
（2.6）
式中，A和α为常数。 其拉氏变换为
a(t ) 表示。发生在t＝t
0时的单位加速度函数通常写
1
第二章 拉普拉斯变换 成 a(t t0 ) ，如图2.6(b)所示。
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fT ( )ein d
f ( )ei d F ()
T
由定积分定义 f (t) 1 F ()eitd（注：积分限对称）.
2
即 f (t) 1
2
f
(
)ei
d
eit
d
f t 付氏积分公式
➢Fourier变换的定义
已知：f (t) 1
2
f
( )
1）控制系统的时域数学模型的建立； 2）复习傅里叶变换拉普拉斯变换； 3）控制系统的传递函数，典型元部件的传递函数； 4）控制系统的结构图及等效变换； 5）信号流图（梅逊公式）及控制系统的传递函数。
基本要求：
1）掌握系统微分方程建立的方法； 2）熟练掌握传递函数的概念、定义、性质及局限性； 3）熟悉常用元部件（典型环节）的传递函数及常用的传递函数形式； 4）学会由系统微分方程建立系统结构图，熟练掌握用拉氏变换方法求 解线性常微分方程的方法； 5）熟练掌握利用结构图等效变换和梅逊公式求系统传递函数的方法。
f
(t)
lim
T
1 T
n
T 2 T 2
fT
(
)e jn
d
e
jnt
lim 1
2 n 0
n
T 2 T 2
fT
(
)e
jn
d
e jnt n
令
FT
(n )
T 2 T 2
fT
(
)e
jn
d
f
(t )
lim
n 0
1
2
FT (n )e jnt n
n
FT (n )
T2 T 2
数学基础：傅里叶变换与拉普拉斯变换
数学模型的形式
➢时间域： 微分方程 差分方程 状态方程
➢复数域： 传递函数 结构图
➢频率域： 频率特性
“三域”模型及其相互关系
微分方程 t
（时域）
L
1
L
传递函数
s
（复域）
系统
F F 1
s j j s
频率特性
（频域）
建立数学模型的基础
微分方程
（连续系统）
y(t),
t = 0时的值。
如f (0) f ' (0) f (n1) (0) 0，则有
dn
L
dt
n
f
(t )
sn
F
(s)
3）积分定理
若F (s) L f (t)，则有
L
f
(t
)dt
F (s) s
f
1 (0) s
L
f (t)dt2
F (s) s2
f
1 (0) s2
f 2 (0) s
eint
eint 2
bn
eint
eint 2i
a0 2
n1
an
ibn 2
eint
an
ibn 2
eint
令 c0
a0 2
, cn
an
ibn 2
,dn
an
ibn 2
,则
c0
1 T
T2
T 2 fT (t)dt
cn
1 T
T2 T 2
fT (t)
cos nt i sin nt
dt
1 T
T2 T 2
f
(t )T
e int dt
dn
1 T
T2 T 2
fT (t)
cos nt isin nt
dt 1 T
T2 T 2
f
(t )T
eint dt
cn
n 1,2, (cn cn )
合并为：cn
1 T
T 2
T 2
fT
(t)eint dt
n 0, 1, 2,
级数化为(指数形式)：
t0
s
7）终值定理 若F
( s)
L
li m t
f
f (t
(t ) ，则有
)
li m s 0
sF ( s )
若F (s) L f (t)，则有
0
j
一般函数有：
F ( j) f (t)e jt dt
f (t) 1 F ( j )e j t d
2
引入衰减因子 e t 得
F1( j)
[ f (t)e t ]e j t d t
f (t)e( j) t d t
令s j
F (s) L[ f (t)] f (t)es t d t ——f (t)的双边拉普拉斯变换
本章概述 2.1拉氏变换和反变换 2.2 控制系统的时域数学模型 2.3 控制系统的复数域数学模型 2.4 典型环节的传递函数 2.5 系统方框图 2.6系统信号流图 2.7闭环系统传递函数的求取
数学模型：
描述系统内部物理量（变量）之间关系的数学表达式。
建模的基本方法: (1) 机理建模法(解析法)； (2) 实验辩识法。
0
0
显然无法计算出来，因 f (t) dt不存在。
因此引入函数et1(t)代替1(t)，因当 0时，et1(t) 1(t)。则
e
t1(t)=
e t，t
0，
t
> <
0( 0
> 0)
其他傅里叶变换为：
F ( ) F [et1(t)] et1(t)e jtdt e( j )tdt 1
➢拉普拉斯变换的定义
设函数 f (t) 满足: ① t 0 时 f (t) 0 ，
②t 0时
f
(t) 分段连续，且
0 |
f
(t )e st
|
dt
则拉普
拉斯变换的定义为：
F (s) L[ f (t)] f (t)estdt 0
t 0
拉普拉斯反变换：f (t) L1[F (s)] 1 j F (s)estds
F(s) L[ f (t)] L1(t) est dt 1
0
s
1(t) 1 构成一变换对 s
4）单位速度函数
t t 0 f (t) 0 t 0
F(s) L[ f (t)]
test dt
0
1 s2
1 t
s2
构成一变换对
5）单位加速度函数
f
(t)
1 2
t
2
t0
0 t 0
2 T
T2 T 2
fT
(t ) sin
ntdt
n
1, 2,
在间断点t处成立：
fT (t
0) 2
fT (t
0)
a0 2
an cos nt
n1
bn sin nt
cos nt eint eint , sin nt eint eint
2
2i
级数化为：
fT (t)
a0 2
an
n1
2）微分定理
若F (s) L f (t)，则有
L
d dt
f (t) sF (s)
f (0)
d2
L
dt
2
f
(t)
s
2
F
(s)
sf
(0)
f ' (0)
L
dn dt n
f
(t)
sn
F
(s)
s n 1
f
(0)
sn2
f
'
(0)
sf (n2) (0) f (n1) (0)
式中f (0)、f ' (0)、 f (n1) (0)为f (t)及其各阶导数在
工程控制中常用的数学模型形式： 时域描述——微分方程、差分方程、状态方程 复域描述——传递函数、方块图（结构图）、信号流程图 频域描述——频率特性 模型各有特点，使用时可灵活掌握。若分析研究系统的动
态特性，取其数学模型比较方便；若分析研究系统的内部结构 情况，取其物理模型比较直观；若两者皆有，则取其图模型比 较合理。
i
2.1.3 拉普拉斯变换
拉氏变换的优点：
1）求解简化； 2）把微分、积分方程转化为代数方程； 3）将复杂函数转化为简单的初等函数； 4）将卷积转化为乘法运算。
➢从傅里叶变换到拉普拉斯变换
例：求单位阶跃函数
f
(t)
1(t)
0，t 1，t
0的傅里叶变换。 0
F () F[f (t)] f (t)e jtdt e jtdt 1 (sint cont)
2）fT (t)仅有有限个极值点；
3）积分
T/2 -T/2
fT (t)dt存在；
则 fT (t)可展开为Fourier级数，且在连续点t处成立：
fT (t)
a0 2
an cos nt
n1
bn sin nt
其中 2 T ,
an
2 T
T2 T 2
fT
(t)cos ntdt
n
0,1, 2,
bn
F () f (t)eitdt (实自变量的复值函数)
称为f (t)的Fourier变换，记为F[ f (t)]。
f (t) 1 F ()eitd
2 称为F ( )的Fourier逆变换，记为F 1[F ()] .
f (t) F () 称为一组Fourier变换对。 f (t)称为原像函数，F ()称为像函数。
eat 1
构成一变换对
sa
2）单位脉冲函数
f
(t)
(t)
lim 0
1
0t
0 t 0 t
F(s) L (t) lim (t)est dt lim 1est dt 1