第四章 波前变换与相因子分析
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《光学》课程教学大纲
《光学》课程教学大纲一、课程说明本课程总授课时数为学,周学时，学分分，开课学期第三学期。
.课程性质：专业必修课光学是物理学专业本科生必修的基础课程。
光学是物理学中最古老的一门基础学科，又是当前科学领域中最活跃的前沿阵地之一，具有强大的生命力和不可估量的发展前途。
学好光学，既能为物理学专业学生进一步学习原子物理学、量子力学、相对论、电动力学、现代光学、光电子技术、激光原理及应用、光电子学、光子学等课程准备必要的前提条件，又有助于进一步探讨微观和宏观世界的联系与规律。
通过本课程的教学，使学生系统地掌握基本原理和基本知识，培养分析问题、解决问题的能力，通过讲授（包括物理学的历史和前沿的讲授）帮助学生建立辩证唯物主义的观点，提高学生的科学素质。
从兰州大学物理学院课程的整体设置出发，考虑到物理基地班与普通班的各自办学特点和人才培养的要求，对光学课程的教学内容进行适当的调整，适当压缩几何光学部分，删除原课程中与其他学科相重复的部分以及相对陈旧的内容，吸收利用最新科学研究成果，着重加强现代光学部分的讲授内容，并注意介绍光学研究前沿新动态，按照物理学近代发展的要求和便于学习的原则组织课程体系。
通过本课程的教学，使学生系统地掌握基本原理和基本知识，培养分析问题、解决问题的能力，通过讲授（包括物理学的历史和前沿的讲授）帮助学生建立辩证唯物主义的观点，提高学生的科学素质。
.课程教学目的与要求()了解光学发展的基本阶段，培养科学研究的素质，加深辩证唯物主义的理解。
()了解光学所研究的内容和光学前沿研究领域的概况，培养有现代意识、有远见的新一代大学生。
()掌握光学的基本原理、基本概念和基本规律。
培养掌握科学知识的方法。
()掌握处理光学现象及问题的手段和方法。
培养科学研究的方法。
()光学是当前科学领域中较活跃的前沿学科之一，它与科学和技术结合日益加强，在教学中要展现现代光学技术的成就。
()在教学中要注意培养学生严谨的治学态度，引导学生逐步掌握物理学的研究方法和培养浓厚的学习兴趣。
钟锡华现代光学第6章前三节波前相因子分析法资料
变换相因子
15
6.2 相位衍射元件——透镜和棱镜 ▲可见
x2 y2 ~ tL ( x, y ) exp[ik ] 2F
（1） 薄透镜的相位变换函数具有“二次相因子”。 （2）在理论分析时，若存在“二次相因子”的变换函数， 则其作用等效于一个薄透镜，——对被作用的波前起聚散作 用。
例题1： 当平行光正入射于透镜，求出射光的波前函数及其特征。
第六章 波前相因子分析法
1
本章主要内容
6.1 衍射系统 波前变换 6.2 相位衍射元件——透镜和棱镜 6.3 波前相因子分析法 6.4 余弦光栅的衍射场 6.5 夫琅禾费衍射实现屏函数的傅里叶变换 6.6 超精细结构的衍射——隐失波 6.7 阿贝成像原理与空间滤波实验 6.8 光学信息处理列举 6.9 泽尼克相衬法 6.10 相位物可视化的其他光学方法； 6.11 夫琅禾费衍射的普遍定义与多种装置
2
6.1 衍射系统 波前变换
引言
处理光的衍射和干涉问题，最基本的方法是研究光的相干叠 加。这是传统光学的一般方法。
可以从另外一个角度分析这类问题。入射波场，遇到障碍物 之后，波场中各种物理量重新分布。衍射障碍物将简单的入 射场变换成了复杂的衍射场。 所以可以从障碍物对波场的变换作用，来分析衍射。
x 0 2 y0 2 x 2 y 2 x 0 x y0 y ik ( ) 2z 2z z
轴外电源的球面波的波前函数具有二次相因子和交叉线性相因子。
相因子告诉我们波源之所在
位相信息的重要性
26
6.3 波前相因子分析法
变换的相因子
（透镜 （2）棱镜
x2 y2 ~ tL ( x, y ) exp[ik ] 2F
第四章 透镜的位相调制和FT变换性质
理解透镜位相因子的物理意义 可通过考察透镜对垂直入射的单位振幅平面波的 效应，来理解透镜位相因子的物理意义
U 设： l x, y 为紧贴透镜前面的平面波光场分布， U lx, y 为紧贴透镜后面的平面上的光场复 振幅分布，
二者之间有关系如下：
U lx, y U l x, y tl x, y , 或 tl x, y U lx, y U l x, y
2 1 2 2
x2 y2 D 2 x, y D 02 R2 R x y D 02 R2 1 1 2 R2
2 2 2 2
x2 y2 x2 y2 Dx, y D 0 R1 1 1 2 R2 1 1 2 R1 R2 其中： D 0 D 01 D 02
在傍轴近似条件下： 考虑在透镜轴附近的那部分波前，即(x2+y2) 值足够小，则下列近似式成立。
x2 y2 x2 y2 1 1 2 R1 2 R12 x2 y2 x2 y2 1 1 2 R2 2 R22
上式相当于用抛物面来近似透镜傍轴区域的球面。 厚度函 数变成
x2 y2 x2 y2 R2 1 1 Dx, y D 0 R1 1 1 2 2 2 R1 2 R2 x2 y2 1 1 D0 2 R1 R2
A I f x f , y f f yy f dxdy
T0 u , v
2
2
二、 物体位于透镜之前
At0 x0 , y0 U l x, y U l x, y
1 P x, y 0 透镜孔径内 其他
物理光学
3.4.2光源非单色性的影响 3.4.3两相干光波振幅比的影响
3.5.1互相干函数和复相干度 3.5.2时间相干度 3.5.3空间相干度
3.6.1条纹的定域 3.6.2等倾条纹 3.6.3圆形等倾条纹 3.6.4透射光条纹
3.7.1定域面的位置及定域深度 3.7.2楔形平板产生的等厚条纹 3.7.3等厚条纹的应用
5.1惠更斯-菲 涅耳原理
2
*5.2基尔霍夫 衍射理论
3 5.3菲涅耳衍
射和夫琅禾费 衍射
4 5.4矩孔和单
缝的夫琅禾费 衍射
5
5.5圆孔的夫 琅禾费衍射
5.6光学成像系统的 衍射和分辨本领
*5.7双缝夫琅禾费 衍射
5.8多缝夫琅禾费衍 射
5.9衍射光栅
*5.11直边的菲涅 耳衍射
5.10圆孔和圆屏的 菲涅耳衍射
5.10.1菲涅耳衍射 5.10.2菲涅耳波带法 5.10.3圆孔衍射图样 5.10.4圆屏的菲涅耳衍射 5.10.5菲涅耳波带片
5.11.1菲涅耳积分及其图解 5.11.2半平面屏的菲涅耳衍射 5.11.3单缝菲涅耳衍射 5.11.4矩孔菲涅耳衍射
5.12.1什么是全息照相 5.12.2全息照相原理 5.12.3全息照相的特点和要求 5.12.4全息照相应用举例
2.1两个频率 1
相同、振动方 向相同的单色 光波的叠加
2
2.2驻波
3 2.3两个频率
相同、振动方 向互相垂直的 光波的叠加
4 2.4不同频率
的两个单色光 波的叠加
5
2.5光波的分 析
2.1.1代数加法 2.1.2复数方法 2.1.3相幅矢量加法
2.2.1驻波的形成 2.2.2驻波实验
2.3.1椭圆偏振光 2.3.2几种特殊情况 2.3.3左旋和右旋 2.3.4椭圆偏振光的强度 2.3.5利用全反射产生椭圆和圆偏振光
5-01 衍射系统的屏函数和相因子判断法
相因子判断，是会聚在透镜后距离 s ′ = 处的 1 1 球面波。 −
1
F
s
1 1 1 + = s′ s F
第五章：傅里叶变换光学 § 1 衍射系统的屏函数和相因子判断法
1.5 棱镜的位相变换函数
ϕ P ( x, y ) =
d
Δ
2π
λ
(Δ + nd )
2π
=ϕ 0 −
λ
( n − 1) d
λ nd 0 ϕ0 = 2π
⎛ x 2 + y 2 xx 0 + yy 0 ik ⎜ ⎜ 2z − z ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
轴上物点： ( 0 , 0 , − z )
e
⎛ x 2 + y 2 xx 0 + yy 0 ik ⎜ ⎜ 2z − z ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
→e
x2 + y2 ik 2z
第五章：傅里叶变换光学 § 1 衍射系统的屏函数和相因子判断法
1.2 相因子判断法
x0 o0 x
y0
z
y
o
U ( x , y ) = Ae iϕ
傍轴近似： A = 常 数
第五章：傅里叶变换光学 § 1 衍射系统的屏函数和相因子判断法
1.2 相因子判断法 平面波： q = k sin θ 1 e x + k sin θ 2 e y
U ( x , y ) = Ae ik (sin θ1 x + sin θ 2 y ) ( x, y )
Q′ Q
s ~ ~ U 2 ( x , y ) = U 1 ( x , y ) ~P ( x , y ) t
= A1 e
⎡ x2 + y2 ⎤ ik ⎢ − ( n − 1 )( α 1 x + α 2 y ) ⎥ ⎢ 2s ⎥ ⎣ ⎦
第2章 波动光学引言
在2.2的推导中利用了
r r r 2 ∇ × (∇ × A) = ∇(∇ ⋅ A) − ∇ A
2.2 2.2是标准的波动方程，表明了自由空间交变的电场和磁场的运动和变化具有 波动形式，形成电磁波，其传播速度为：
1 1 εε 0 µµ0 = → v = v εε 0 µµ0
真空中电磁波的速度：
c=
1
ε 0 µ0
美国ＵＣＳＤ的ＮＩＭ研究小组已经设计制成了具有负折射率的材料。这 种材料是由铜质方形裂环振荡器和一条细铜线嵌在玻璃纤维的底板上形成 的。铜质方形裂环振荡器（split ring resonator）和铜线分别嵌在底板 的两面。（如图所示）。将用这样的材料制成的棱镜与用聚四氟乙烯 （Teflon）制成的棱镜对比后发现，经两者折射的波偏离主轴的方向相反。 由此证明了这种材料具有负折射率的性质。
r 2r ∂ E ∇ E − εε 0 µµ0 2 = 0 ∂t r 2 r ∇ 2 H − εε µµ ∂ H = 0 0 0 ∂t 2
2
k称为波矢，其方向与等相面的正交，即为波面的法线方向，其大小为：
k=
2π
λ
（4）光波是横波。 ）光波是横波。 将平面电磁波函数代入∇⋅E=0和∇⋅H=0，得到E⊥k和H⊥k，即电磁场振荡方 向与波矢方向正交，在与波矢正交的横平面中振荡，即自由空间中光波为横波。 （5）电场和磁场之间正交和同步。 ）电场和磁场之间正交和同步。
ε 0 ≈ 8.85 ×10 −12 C 2 / N ⋅ m 2，µ 0 = 4π ×10 −7 N / A2，得到真空电磁波速度为：
c ≈ 3 ×108 m / s.
和光速相同，再次证明光波就是电磁波。
根据折射率的定义：
2.2波前(NO.10)
作业：P159，1、2 、 3。
19
3、定态平面波和定态球面波 定态平面波波函数的特点： （1）振幅是常数，与场点的坐标无关； （2）位相是直角坐标的线性函数：
( P) k r 0 k x x k y y k z z 0
ˆ ˆ k ˆ k k x x k y y k z z 是波矢。 2 /
14
三、傍轴条件和远场条件（轴外物点）
物点O的坐标为（ , y,0）， x 场点P的坐标为（ ' , y' , z） x
r ( x x' ) ( y y ' ) z
2 2 2
r0
r0 '
x' y ' z
2 2
2 2
2
x y z
2
15Leabharlann a ~ U ( x' , y ' ) exp[ikr] r a ( x x' ) 2 ( y y ' ) 2 z 2
三、复振幅描述
1、复振幅
U ( P, t ) A( P) cos[t ( P)] ~ [t ( P )] U ( P, t ) A( P)e
在讨论单色波场中各点扰动的空间分布 时，时间因子总是相同的，常可以忽略不写， 为此引入复振幅：
~ i ( P) U (P) A(P)e
振幅具有平面波的特点，但位相不满 足平面波的特征（存在二次项和交叉项）。
17
2、场点满足傍轴条件、物点同时满足傍轴条 件和远场条件，
a ik ~ U ( x' , y' ) exp[ikr0 ] exp[ ( xx' yy' )] z z
19
3、定态平面波和定态球面波 定态平面波波函数的特点： （1）振幅是常数，与场点的坐标无关； （2）位相是直角坐标的线性函数：
( P) k r 0 k x x k y y k z z 0
ˆ ˆ k ˆ k k x x k y y k z z 是波矢。 2 /
14
三、傍轴条件和远场条件（轴外物点）
物点O的坐标为（ , y,0）， x 场点P的坐标为（ ' , y' , z） x
r ( x x' ) ( y y ' ) z
2 2 2
r0
r0 '
x' y ' z
2 2
2 2
2
x y z
2
15Leabharlann a ~ U ( x' , y ' ) exp[ikr] r a ( x x' ) 2 ( y y ' ) 2 z 2
三、复振幅描述
1、复振幅
U ( P, t ) A( P) cos[t ( P)] ~ [t ( P )] U ( P, t ) A( P)e
在讨论单色波场中各点扰动的空间分布 时，时间因子总是相同的，常可以忽略不写， 为此引入复振幅：
~ i ( P) U (P) A(P)e
振幅具有平面波的特点，但位相不满 足平面波的特征（存在二次项和交叉项）。
17
2、场点满足傍轴条件、物点同时满足傍轴条 件和远场条件，
a ik ~ U ( x' , y' ) exp[ikr0 ] exp[ ( xx' yy' )] z z
光学第六篇傅里叶变换光学简介
平面波和典型球面波的波前相因子
复杂波场： 分解为一系列平面波或球面波成分
波的类型和特性 波前相因子
波前相因子
方向角的余角
线性相因子
系数（cosx，cosy）或 （sin1，sin2）与平面 波的传播方向一一对应。
U2 U1
ik x2 y2
e 2fBiblioteka 凹透镜和凸透镜的情况相同，
只是焦距一个为负，一个为正。
相位型
例题：求薄透镜傍轴成像公式：
在傍轴条件下：U1 ( x,
y)
ik x2 y2
A1e 2s
ik x2 y2
透镜函数：tL (x, y) e 2 f
s
s’
ik x2 y2
ik x2 y2
U2 (x, y) tL (x, y)U1(x, y) e 2 f
二维 tP ( x, y) eik (n1（) 1x+2 y)
例题：推导棱镜傍轴成像公式：
傍轴条件：
ik x2 y2
s
U1(x, y) A1e 2s
ik x2 y2 ik (n1) x
U2 (x, y) tP (x, y) U1(x, y) A1e 2s
(n1)s 2 x(n1)s 2 y2
第六章 傅里叶变换光学简介
第六章 傅里叶变换光学简介
1、衍射系统 波前变换 2、相位衍射元件 3、波前相因子分析法 4、余弦光栅的衍射场 5、傅里叶变换 6、超精细结构的衍射 隐失波 7、阿贝成像原理与空间滤波 8、光学信息处理列举 9、泽尼克的相衬法
惠更斯-菲涅耳原理 光波衍射
菲涅耳衍射 夫琅禾费衍射
二维波前 决定 三维波场
二维波前 决定 三维波场
Double-helix Point Spread Function (DH-PSF) DH-PSF transfer function obtained from the iterative obtimization procedure, and its GL modal plane decomposition, which forms a cloud around the GL modal plane line. The DH-PSF transfer function does not have any amplitude component, and consequently is not absorptive.
复杂波场： 分解为一系列平面波或球面波成分
波的类型和特性 波前相因子
波前相因子
方向角的余角
线性相因子
系数（cosx，cosy）或 （sin1，sin2）与平面 波的传播方向一一对应。
U2 U1
ik x2 y2
e 2fBiblioteka 凹透镜和凸透镜的情况相同，
只是焦距一个为负，一个为正。
相位型
例题：求薄透镜傍轴成像公式：
在傍轴条件下：U1 ( x,
y)
ik x2 y2
A1e 2s
ik x2 y2
透镜函数：tL (x, y) e 2 f
s
s’
ik x2 y2
ik x2 y2
U2 (x, y) tL (x, y)U1(x, y) e 2 f
二维 tP ( x, y) eik (n1（) 1x+2 y)
例题：推导棱镜傍轴成像公式：
傍轴条件：
ik x2 y2
s
U1(x, y) A1e 2s
ik x2 y2 ik (n1) x
U2 (x, y) tP (x, y) U1(x, y) A1e 2s
(n1)s 2 x(n1)s 2 y2
第六章 傅里叶变换光学简介
第六章 傅里叶变换光学简介
1、衍射系统 波前变换 2、相位衍射元件 3、波前相因子分析法 4、余弦光栅的衍射场 5、傅里叶变换 6、超精细结构的衍射 隐失波 7、阿贝成像原理与空间滤波 8、光学信息处理列举 9、泽尼克的相衬法
惠更斯-菲涅耳原理 光波衍射
菲涅耳衍射 夫琅禾费衍射
二维波前 决定 三维波场
二维波前 决定 三维波场
Double-helix Point Spread Function (DH-PSF) DH-PSF transfer function obtained from the iterative obtimization procedure, and its GL modal plane decomposition, which forms a cloud around the GL modal plane line. The DH-PSF transfer function does not have any amplitude component, and consequently is not absorptive.
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Q
x
U4
U3 R
P o R
Q’
z
a0 jkr U 3 x,y e r 其中波矢量：
r x2 y2 R2 a0 jkr b) 共轭波前：U 4 x,y U 3 e r
z=R处
r x2 y2 R2
r
两种近似条件：
2
2 2 2 2 x y x y r z 2 x2 y2 z 3 2 z 8 z
2
x0
P
x
a) 傍轴条件
z ρ
zλ ρ
2
2
Q O y0 Z
r y
b) 远场条件
z
表示横向接受范围的量度
哪个对纵向距离要求更严格？
两个条件可改写成： 傍轴条件： z 2 ρ 2 远场条件： zλ ρ
2
•
•
光波波长远小于纵向距离，若远场条件能满足，则傍轴 条件必然满足；
远场条件考虑了纵向距离、横向接受范围、波长三者的 关系，更全面。
6
波前函数
• 波前：接收平面处的光场，波前函数描述该光场的分布
波前分析：
Description & recognition of wavefrontU2波前函数x P O
–
k1
z k2
k1x k sin θ k1 y 0 k1z k cos θ
U1
b) 平面波U1在ｚ＝０平面上的波前函数为：
U1 x,y Ae
c) 共轭波前函数为： U 即
j k1 sinθ x
1 -j k 2 sinθ x
角为（－）、向下的倾斜的平面波。
2 x 2 y 2
3
a) 傍轴条件
z 2 ρ 2
a0 a0 ① 波前函数中的振幅系数 可近似成： r z
② 波前函数中的相位因子 忽略r展开式中的高次项，保留 二次项，即有 x2 y 2
e
jkr
e e
kjz
x2 y2 jk 2z
jk
2z
傍轴条件下传播到接收面的波前函数可近似为：
U 2 x,y Ae
2 j k 2 sinθ x ，由此断定共轭波前是与ｚ轴夹
9
x,y U x,y Ae
问题2：轴上点光源Q位于(0,0,-R) ， 写出相应的球面波和共轭波的波 前函数。 a) 因 x0 y0 0， z0 R， 在 z 0 处的发散球面波波前函数：
7
4.1 平面与球面波的描述与识别
基元成分——球面波与平面波
– 球面波：由实际点光源产生，或由理论上波前次波源 产生，形成球面波衍射理论。 a1 U r,t cosωt kr 0 r a1 jkr jt （设0=0） U r,t e e
r
– 平面波：任意复杂波前可分解成一系列平面波前的叠 加，形成平面波衍射理论
相位因子中的非线性项均可忽略，有：
e
jkr
e
jkz
e
x2 y 2 jk 2z
e
r
kjz
相当于相位因子与横向位置（x,y）无关的正入射平面波 a0 ② 振幅近似：仍保留二次项 a0 jkz ③ 若ｚ足够大，则有 a0 a0 ，即振幅与横向位置无关。 远场条件下传播到接收面的波前函数可近似为：
a0 U x,y e z
e jkz
傍轴条件下近似平面波的特点： 振幅为与场点位置无关的常数，具有平面波波前特点； 相位保留二次因子，不具备理想平面波的线性特点；
4
b) 远场条件（相位条件）
2 2 x y 相因子中的二次项相位增量远小于，即 k π 2z ① 相位近似：
线性系统特性
光信号与电信号都是电磁波，具有线性特性。
• 叠加性 ：系统对输入f1和f2的响应分别为g1和g2 ，即
g1 x2 , y2 L f1 x1 , y1
g2 x2 , y2 L f 2 x1 , y1
则有： L f1 x1 , y1 f 2 x1 , y1 g1 x2 , y2 g 2 x2 , y2 线性系统可以通过基元函数 进行分解、综合； • 不变性 ：光学空间不变性 • 物点的成像性质与其位置无关，如像点的形状不随物点的空 间位置而变；在一定视场范围内，若轴外像差消的得很好， 则可视为与轴上点像差一样；
r z
x y z 2z
2
2
e
a0 a0 jkz e r z
5
比较两个条件，哪个对纵向距离要求更严格？ • 远场条件是从相位角度提出的限制，更苛刻；
2 2 x y 将 k 2π/λ, x 2 y 2 2 代入 k π 2z 2 远场条件可简化为： zλ ρ
• 菲涅尔衍射：
– 衍射体出射面上的复振幅是一系列球心位置不同的简谐 球面波； – 在菲涅尔衍射面上各球面波在空间不能分离； – 衍射场是出射面上复振幅的傅立叶变换
2
球面波向平面波的转换
• •
必要性：适应傅里叶衍射理论 球面波波前函数为 U x,y a0 e jkr 其中相位项中的r可展开
U r,t A cosωt k r 0
U r,t Ae jk r e jt
（设0=0）
8
波前的描述与识别：波的特征
问题１：平面波U1传播方向与（xz）平 面平行，与z轴夹角为，写出其波 前函数及其共轭波前函数： a) 确定坐标系和波矢量的三个分量：
1
衍射与二维傅立叶变换
• 夫琅禾费衍射：
– 衍射体出射面上的复振幅是一个含有不同空间频率和复 振幅密度的三维简谐平面波； – 在远场，不同传播方向的简谐平面波在空间完全分离； – 通过凸透镜，将不同空间频率的平面波会聚于后焦面上 不同的位置——频谱 – 出射面上的复振幅与后焦面上的频谱互为傅立叶变换。
波前的描述与识别 波前的叠加与干涉 Superposition & interference of wavefront 波前的变换与分解 Transformation & resolution of wavefront
波前的纪录与再现
Holograph & reconstruction of wavefront
x
U4
U3 R
P o R
Q’
z
a0 jkr U 3 x,y e r 其中波矢量：
r x2 y2 R2 a0 jkr b) 共轭波前：U 4 x,y U 3 e r
z=R处
r x2 y2 R2
r
两种近似条件：
2
2 2 2 2 x y x y r z 2 x2 y2 z 3 2 z 8 z
2
x0
P
x
a) 傍轴条件
z ρ
zλ ρ
2
2
Q O y0 Z
r y
b) 远场条件
z
表示横向接受范围的量度
哪个对纵向距离要求更严格？
两个条件可改写成： 傍轴条件： z 2 ρ 2 远场条件： zλ ρ
2
•
•
光波波长远小于纵向距离，若远场条件能满足，则傍轴 条件必然满足；
远场条件考虑了纵向距离、横向接受范围、波长三者的 关系，更全面。
6
波前函数
• 波前：接收平面处的光场，波前函数描述该光场的分布
波前分析：
Description & recognition of wavefrontU2波前函数x P O
–
k1
z k2
k1x k sin θ k1 y 0 k1z k cos θ
U1
b) 平面波U1在ｚ＝０平面上的波前函数为：
U1 x,y Ae
c) 共轭波前函数为： U 即
j k1 sinθ x
1 -j k 2 sinθ x
角为（－）、向下的倾斜的平面波。
2 x 2 y 2
3
a) 傍轴条件
z 2 ρ 2
a0 a0 ① 波前函数中的振幅系数 可近似成： r z
② 波前函数中的相位因子 忽略r展开式中的高次项，保留 二次项，即有 x2 y 2
e
jkr
e e
kjz
x2 y2 jk 2z
jk
2z
傍轴条件下传播到接收面的波前函数可近似为：
U 2 x,y Ae
2 j k 2 sinθ x ，由此断定共轭波前是与ｚ轴夹
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x,y U x,y Ae
问题2：轴上点光源Q位于(0,0,-R) ， 写出相应的球面波和共轭波的波 前函数。 a) 因 x0 y0 0， z0 R， 在 z 0 处的发散球面波波前函数：
7
4.1 平面与球面波的描述与识别
基元成分——球面波与平面波
– 球面波：由实际点光源产生，或由理论上波前次波源 产生，形成球面波衍射理论。 a1 U r,t cosωt kr 0 r a1 jkr jt （设0=0） U r,t e e
r
– 平面波：任意复杂波前可分解成一系列平面波前的叠 加，形成平面波衍射理论
相位因子中的非线性项均可忽略，有：
e
jkr
e
jkz
e
x2 y 2 jk 2z
e
r
kjz
相当于相位因子与横向位置（x,y）无关的正入射平面波 a0 ② 振幅近似：仍保留二次项 a0 jkz ③ 若ｚ足够大，则有 a0 a0 ，即振幅与横向位置无关。 远场条件下传播到接收面的波前函数可近似为：
a0 U x,y e z
e jkz
傍轴条件下近似平面波的特点： 振幅为与场点位置无关的常数，具有平面波波前特点； 相位保留二次因子，不具备理想平面波的线性特点；
4
b) 远场条件（相位条件）
2 2 x y 相因子中的二次项相位增量远小于，即 k π 2z ① 相位近似：
线性系统特性
光信号与电信号都是电磁波，具有线性特性。
• 叠加性 ：系统对输入f1和f2的响应分别为g1和g2 ，即
g1 x2 , y2 L f1 x1 , y1
g2 x2 , y2 L f 2 x1 , y1
则有： L f1 x1 , y1 f 2 x1 , y1 g1 x2 , y2 g 2 x2 , y2 线性系统可以通过基元函数 进行分解、综合； • 不变性 ：光学空间不变性 • 物点的成像性质与其位置无关，如像点的形状不随物点的空 间位置而变；在一定视场范围内，若轴外像差消的得很好， 则可视为与轴上点像差一样；
r z
x y z 2z
2
2
e
a0 a0 jkz e r z
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比较两个条件，哪个对纵向距离要求更严格？ • 远场条件是从相位角度提出的限制，更苛刻；
2 2 x y 将 k 2π/λ, x 2 y 2 2 代入 k π 2z 2 远场条件可简化为： zλ ρ
• 菲涅尔衍射：
– 衍射体出射面上的复振幅是一系列球心位置不同的简谐 球面波； – 在菲涅尔衍射面上各球面波在空间不能分离； – 衍射场是出射面上复振幅的傅立叶变换
2
球面波向平面波的转换
• •
必要性：适应傅里叶衍射理论 球面波波前函数为 U x,y a0 e jkr 其中相位项中的r可展开
U r,t A cosωt k r 0
U r,t Ae jk r e jt
（设0=0）
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波前的描述与识别：波的特征
问题１：平面波U1传播方向与（xz）平 面平行，与z轴夹角为，写出其波 前函数及其共轭波前函数： a) 确定坐标系和波矢量的三个分量：
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衍射与二维傅立叶变换
• 夫琅禾费衍射：
– 衍射体出射面上的复振幅是一个含有不同空间频率和复 振幅密度的三维简谐平面波； – 在远场，不同传播方向的简谐平面波在空间完全分离； – 通过凸透镜，将不同空间频率的平面波会聚于后焦面上 不同的位置——频谱 – 出射面上的复振幅与后焦面上的频谱互为傅立叶变换。
波前的描述与识别 波前的叠加与干涉 Superposition & interference of wavefront 波前的变换与分解 Transformation & resolution of wavefront
波前的纪录与再现
Holograph & reconstruction of wavefront