第五讲波动率 PPT
/ 2)T
d1
T
VIX指数 VIX指数是S&P500指数的波动率指数
VIX指数
VIX 是芝加哥期权期货交易所 使用的市场波动性指数。通过该指数，可以了解 到市场对未来30天市场波动性的预期。
VIX由CBOT（芝加哥期权期货交易所）编制，以S&P500指数期权的隐含波动 率计算得来（1993年从8只成分股为基础计算，现在覆盖了标普500所有成分 股）。若隐含波动率高，则VIX指数也越高。该指数反映出投资者愿意付出多少 成本去对冲投资风险（用股票期权对冲风险的成本）。因此，VIX广泛用于反映 投资者对后市的恐慌程度，又称“恐慌指数”。指数愈高，意味着投资者对股市 状况感到不安；指数愈低，表示股票指数变动将趋缓。
爆发：大数据时代预见未来的新思维 以及如下的文章可以作为参考
对应于汇率增量的log-log图
估计波动率的标准方法
定义 n 为第n-1天所估计的市场变量在第n天的波动率
定义 Si 为市场变量在第 i 天末的价格
定义 ui= ln(Si/Si-1)
2 n
1 m 1
m i 1
(uni
u)
u
该类指数有三种：VIX 跟踪S&P500；VXN跟踪Nasdaq 100成分股；VXD则跟 踪道琼斯工业指数
GVIX，周昆教授等提出，认为波动率计算的3阶项也不能省略，所以得出结果与 VIX有不同，似更精确——实际上，我们可以有更精确的计算方法去估算波动率
汇率的日变化量是否服从正态分布
肥尾分布
证券的收益率。 从图形上说，较正态分布图的尾部要厚，峰处要 尖。是大概率的小规模事件与小概率的大规模事件并存的一种状态。
肥尾分布的随机变量，不能简单的用正态分布去拟合这些数据的分 布，从而做一些统计推断。一般来说，通过实证分析发现，自由度 为5或6的t分布拟合的较好。
认识肥尾分布对于投资而言有着极为重要的意义，菲利普安德森说， 绝大多数事件取决于分布的尾部（极限状态），而不是均值；取决 于例外时间，而不是均值。众多的小概率的大规模事件的存在（如 崩盘）也印证了对投资者的影响更为巨大。
我们可以回忆VaR值，分布不同对于结果影响很大。
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
正态分布和肥尾分布
幂律：正态分布的代替
在分析很多市场变量的收益行为时，幂律似乎要比正态分布更 好（Prob(v > x) = Kx-a）
幂律分布在自然界和人类社会中广泛存在，到目前为止仍然是 一个相当神奇的话题，人们似乎可以发现很多符合幂律分布的 事实，但人们却很难解释为什么分布会是这个样子。
EWMA的诱人之处
需要的数据相对较少 仅需记忆对当前波动率的估计以及市场变量的最新观察值 对波动率进行跟踪监测 RiskMetrics 采用λ=0.94来更新每天波动率的估计
CWMA与GARCH
运用EWMA估计的市场波动率并不是常数，这正是广义自回归条件异方差模型 （GARCH模型）族的核心思想。
隐含波动率
期权公式中唯一不能直接观察到的一个参数就是股票价格的波 动率
隐含波动率是将市场上的期权价格代入BSM公式后反推计算出
的波动率
c S0N(d1) KerTN(d2)
p KerTN(d2) S0N(d1)
d1
ln(S0
/
K)
(r
T
2
/
2)T
d2
ln(S0
/ K) (r 2 T
在指数加权移动平均模型中， u2 的权重αi 随着回望时间加长而按指数速度 递减
n 2 n 2 1(1)un 2 1
许多风险管理者在计算日收益波动率时使用λ=0.94，而在计算月波动率时 则使用λ=0.97。JP摩根在1996年公布的RiskMetricsTM技术文档中就是把这 两个λ值作为研究成果用于实证检验
第五讲 波动率
波动率的定义
某个变量的波动率ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ定义为这一变量在单位时间内连续复利收 益率的标准差
定义Si 为变量在时间 i 的值，则日波动率为ln(Si /Si-1) 的标准差 如果我们假设，每日收益率相互独立且具有相同的方差，则T
天回报的方差为T乘以每日收益率的积。这意味着，T天收益率 的标准差是日收益率标准差的 T 倍 这和“不确定性随时间长度的平方根增长”这一法则是一致的
i 1
m
ai1
i1
ARCH（m）模型
在 ARCH（m）模型中，我们也给长期平均方差VL一个权重γ
m
n2 VL
au2 i ni
i1
m
ai 1 i 1
指数加权移动平均模型 （EWMA）
要避免由于简单移动平均导致的缺陷，最简单的方法是对近期的数据赋予 更高的权重。这是指数加权移动平均法（EWMA）背后的基本思想
交易天数与日历天数
研究表明，交易所开盘交易时的波动率比关闭时的波动率要大 很多，因此，当由历史数据估计波动率时，分析员常常忽略交 易所关闭的天数，计算时通常假定每年有252个交易日
假设连续交易日的收益率是独立的，并有相同的标准差
year day 252
day
year
252
日波动率大约为年波动率的6%
EWMA属于GARCH模型的一个特例。GARCH模型族假设收益率的条件方差不 是常数，因此在不同的时间段里，资产收益率的波动性可能会更高或者更低（即 波动聚集性）。εi是在时刻i的预测误差，即估计值和实际值之间的差距（因此， 估计条件方差同样要求估计一个条件均值，条件均值是通过自回归模型AR(1)推 导出来的yt+1=α+ρyt+ε式中,yt+1和yt分别代表在t+1和t时刻上的资产收益率；α和ρ 是需要通过回归进行估计的常数；ε是回归方程的误差项。并且有α>0、 α1,α2,…,αp≥0。从上式可知：显著的预测误差会导致所估计的方差变大；当然， 同时还受到α参数值大小的影响。博勒斯洛夫通过将时刻t的条件方差用t-1，t-2 ，…，t-n时刻的方差来表示，将恩格尔的ARCH模型进行了扩展。
1 m
m
uni
i 1
这个公式其实就是一个样本方差的计算公式，那么为什么是样
本方差呢？（关于总体和样本的思辨）
简化形式
定义 ui = (Si−Si-1)/Si-1
假设 ui 期望为0
用 m 代替 m-1
2 n
1 m
m
u2 ni
i 1
加权权重的格式
对等权重进行改进
m
2 n
a
u2
i ni
合集下载
随机波动率模型PPT课件
:
( 1
,
2 1
2
)=(h
,
2 h
)
则有以下：
但是，也正是因为SV 模型中包含着潜在变量，涉及的似然函 数和无条件矩要通过高维积分来计算，极大似然法不能直接求 解。
7
2.SV模型的矩条件
❖ 之所以要先介绍矩条件，是因为模型估计方法要用
❖ 原点矩
E[XP]= x p f (x)dx
性质1：GMM估计量是相合的，即ˆT P
性质2：1
T
T t i
ft ( ) d (0, S), S是N * N正定矩阵
则ˆT 渐进服从正态分布，渐进方差 — 协方差矩阵为：
A
var(ˆT
)
(GWG)
1GTWSWG(G
WG)1
,
其中G
E[
ft (
s 1 s2 2
e 2 ,s ¡
它们在计算SV模型的矩条件时使用。
9
SV模型（ =0 ）
对于 SV 模型（t =0， =0）
rhtt
eht
/2 zt , zt : iidN (0,1)
ht1 vt , 0
1, vt
:
iidN (0,1)
8)
11
❖ （3）其他矩条件（Jacquier、Polson、Rossi(1994)）：
E[rt2rt
2 i
]
exp(2h
2 h
(1
i ))
E[
rt rti
]
2
exp(h
2 h
不可错过的期权核心！波动率的分类及特征
不可错过的期权核心！波动率的分类及特征导读：波动率，是期权衍生品中最为重要的概念。
波动率交易，也是期权特有交易方式之一，是指基于对波动率的分析和预测而进行的交易。
它削弱了标的资产价格变动对策略的影响，主要依赖波动率本身或波动率背后所蕴含的标的资产波动形式来获取利润，有其独特吸引力。
一、波动率的分类首先需要明确，波动率是一个统计概念，是指资产在某一时间段内收益率的年化标准差。
波动率刻画了资产价格的波动程度，是对资产收益率不确定性的衡量，用于反映资产的风险水平。
波动率越高，资产价格的波动越剧烈，资产收益率的不确定性就越强；波动率越低，资产价格的波动越平缓，资产收益率的确定性就越强。
为讨论方便，人们通常将波动率分为以下四种类型，每一种波动率对应了不同的计算方法与作用。
历史波动率指资产在过去一段时间内所表现出的波动率，它是通过统计方法，利用资产历史价格数据计算而得，也可以称其为已实现波动率，是确定性的。
历史波动率非常重要，它的大小不仅体现了金融资产在统计期内的波动状况，更是分析和预测其他几类波动率的基础。
其计算方法可总结如下：1.从市场上获得资产在固定时间间隔（如每天、每周或每月等）上的价格。
2.对于每个时间段，求出该时间段期末与期初的资产价格之比的自然对数。
3.求出这些对数值的标准差，再乘以一年中包含的时段数量的平方根，例如，若选取时间间隔为每天，则扣除闭市每年中有250个交易日，应乘以√250即得到历史波动率。
隐含波动率从期权价格中引申出来的概念。
由期权定价理论可知，有五个因素影响期权价格：标的资产价格、到期时间、波动率、无风险利率和执行价格。
其中波动率是唯一一个不可观测的量，而期权价格也是可观测的，那么将期权实际价格带入期权定价公式中，便可以反推出一个波动率数值，这就是隐含波动率。
它是由期权市场价格决定的，是市场价格的真实映射，而有效市场价格是供求关系平衡下的产物，是买卖双方博弈后的结果。
因此隐含波动率反映的是市场对标的资产未来波动率的预期。
第05章 市场风险：波动率
Real World (%)
>1 SD >2 SD >3 SD 25.04 5.27 1.34
Normal Model (%)
31.73 4.55 0.27
>4 SD
>5 SD >6 SD
0.29
0.08 0.03
0.01
0.00 0.00
注：表中，SD表示价格变化的标准差。 资料来源：Hull J, White A. Journal of Derivatives, 1998, 5(3): 9-19.
图6-4 基于表6-1的双对数图
18/56
5.3 收益率是否服从正态分布
图6-4表明，价格变化大于x个标准差的概率 的对数与ln x呈线性关系，这说明了幂律的 正确性。 利用x＝3，4，5，6的数据，可以得出最优 拟合曲线为：
ln Pr v x 1.06 5.51ln x
因此，股票价格每周变化的标准差为 50×0.0416，即2.08美元。
4/56
5.1 波动率的定义
方差变化率
方差：波动率的平方 波动率与时间的平方根成正比 方差与时间本身成正比
5/56
5.1 波动率的定义
交易天数与日历天数
计算波动率时，应该采用交易天数 or 日历天 数？ 研究人员证明：价格在交易时间内的波动比无 交易时间的波动大得多，所以采用历史数据估 计波动率时，应该忽略无交易的天数
2 i 1 2 t2 1 rt 2 1 rt i 1 t 1 n
由此出发，波动率估计模型可以表示为：
26/56
i 1
5.5 指数加权移动平均模型
>1 SD >2 SD >3 SD 25.04 5.27 1.34
Normal Model (%)
31.73 4.55 0.27
>4 SD
>5 SD >6 SD
0.29
0.08 0.03
0.01
0.00 0.00
注：表中，SD表示价格变化的标准差。 资料来源：Hull J, White A. Journal of Derivatives, 1998, 5(3): 9-19.
图6-4 基于表6-1的双对数图
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5.3 收益率是否服从正态分布
图6-4表明，价格变化大于x个标准差的概率 的对数与ln x呈线性关系，这说明了幂律的 正确性。 利用x＝3，4，5，6的数据，可以得出最优 拟合曲线为：
ln Pr v x 1.06 5.51ln x
因此，股票价格每周变化的标准差为 50×0.0416，即2.08美元。
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5.1 波动率的定义
方差变化率
方差：波动率的平方 波动率与时间的平方根成正比 方差与时间本身成正比
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5.1 波动率的定义
交易天数与日历天数
计算波动率时，应该采用交易天数 or 日历天 数？ 研究人员证明：价格在交易时间内的波动比无 交易时间的波动大得多，所以采用历史数据估 计波动率时，应该忽略无交易的天数
2 i 1 2 t2 1 rt 2 1 rt i 1 t 1 n
由此出发，波动率估计模型可以表示为：
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i 1
5.5 指数加权移动平均模型
波动率PPT课件
2020/1/10
不同的标准下，波动率可以进行不同的分类，这里按照 波动率的计算方法与应用不同，将波动率分为：隐含波动 率、历史波动率和已实现波动率(高频波动率/日内波动率) 等几类。
隐含波动率 历史波动率 1预2 测波动率 已实现波动率 其他高频波动率
2020/1/10
隐含波动率
S
T
r
其中： 2
—期权价格；
—期权执行价格N(d；),N(— d ) 标的资产即
1
2
期率价；格—；年—度期化权方有差效，期隐；含— 波率连；续21 复X利eX2计2d— x无标风准险正利态
2020/1/10
21
2020/1/10
历史波动率的估计
也是一种静态波动率的估计，假定一定时期内波动 率保持不变。
目前，最常用的条件异方差模型是GARCH(1,1)模型， 基本能反映金融时间序列方差(或波动率)的特征。
2020/1/10
ARCH模型法：
在模型中，我们也可以给长期方差率指定权重，VL为长期
平均方差
2 n
VL
u m
2
i1 i ni
三个8 层次
波动率估计（方法研究）
波动率特征（自相关、长记忆、杠杆效应）
波动率预测（参数估计、模型评价）
2020/1/10
波动率研究发展的三个阶段
从纵向看，波动率模型经历了三个发展阶段： 第一个阶段：经典的金融分析模型中的波动率，如Black-Scholes的期权定价模型，这些模型假定市场收益率呈正 态分布，波动率是恒定的，遵从随机游走过程。 第二个阶段：Engle(1982)提出了ARCH模型，Bollerslev(1986)把这个模型一般化，得到GARCH，由此产生出 一个新的条件波动率研究领域，条件波动率模型层出不穷，它们大多是对GARCH的拓展，以更好的模拟某种特定 的市场效应。与此同时，Taylor(1986)、Hull和White(1987)以及Chesney和Scott(1989)提出了随机波动率模 型。随机波动率模型更易于写成连续形式，往往用于对衍生工具的理论分析（例如期权定价）。 第三阶段：近十年来，用高频分时数据估计波动率的方法开始流行，Andersen、Bollerslev、Diebold、Labys等 （1998、1999、2000、2001）对此方法进行了一系列的研究。以往的波动率都是无法观测到的，它们隐含在价 格曲线或收益率曲线中，人们只能通过收益曲线的时间序列来估计随机波动率模型的参数，继而预测波动率以及评 价各种波动率模型。高频估计能得到准确的波动率估计值，因而可以把波动率的高频估计当做一个观测到的时间序 列，以此为基础，波动率的实证检验和预测研究将能大大拓展。
不同的标准下，波动率可以进行不同的分类，这里按照 波动率的计算方法与应用不同，将波动率分为：隐含波动 率、历史波动率和已实现波动率(高频波动率/日内波动率) 等几类。
隐含波动率 历史波动率 1预2 测波动率 已实现波动率 其他高频波动率
2020/1/10
隐含波动率
S
T
r
其中： 2
—期权价格；
—期权执行价格N(d；),N(— d ) 标的资产即
1
2
期率价；格—；年—度期化权方有差效，期隐；含— 波率连；续21 复X利eX2计2d— x无标风准险正利态
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历史波动率的估计
也是一种静态波动率的估计，假定一定时期内波动 率保持不变。
目前，最常用的条件异方差模型是GARCH(1,1)模型， 基本能反映金融时间序列方差(或波动率)的特征。
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ARCH模型法：
在模型中，我们也可以给长期方差率指定权重，VL为长期
平均方差
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u m
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三个8 层次
波动率估计（方法研究）
波动率特征（自相关、长记忆、杠杆效应）
波动率预测（参数估计、模型评价）
2020/1/10
波动率研究发展的三个阶段
从纵向看，波动率模型经历了三个发展阶段： 第一个阶段：经典的金融分析模型中的波动率，如Black-Scholes的期权定价模型，这些模型假定市场收益率呈正 态分布，波动率是恒定的，遵从随机游走过程。 第二个阶段：Engle(1982)提出了ARCH模型，Bollerslev(1986)把这个模型一般化，得到GARCH，由此产生出 一个新的条件波动率研究领域，条件波动率模型层出不穷，它们大多是对GARCH的拓展，以更好的模拟某种特定 的市场效应。与此同时，Taylor(1986)、Hull和White(1987)以及Chesney和Scott(1989)提出了随机波动率模 型。随机波动率模型更易于写成连续形式，往往用于对衍生工具的理论分析（例如期权定价）。 第三阶段：近十年来，用高频分时数据估计波动率的方法开始流行，Andersen、Bollerslev、Diebold、Labys等 （1998、1999、2000、2001）对此方法进行了一系列的研究。以往的波动率都是无法观测到的，它们隐含在价 格曲线或收益率曲线中，人们只能通过收益曲线的时间序列来估计随机波动率模型的参数，继而预测波动率以及评 价各种波动率模型。高频估计能得到准确的波动率估计值，因而可以把波动率的高频估计当做一个观测到的时间序 列，以此为基础，波动率的实证检验和预测研究将能大大拓展。
Ch波动率PPT课件
可编辑
9.15
实际波动率（Realized Volatility）
Andersen等（1998,2001）提出了一种度量波动率的新方法，称之 为实际波动率（Realized Volatility），是通过加总某一频率下的日 内分时数据的收益平方来得到真实波动率的一个估计。
理论证明：在日内频率选取适当的情形下，该估计量是真实波动率的 无偏一致且有效的估计量。因此，近期国外大量的文献致力于利用高 频样本数据来研究非参数的实际波动率。而对于最优样本频率的选取， 则成为计算实际波动率过程中最为关键的问题。若样本频率过小，则 不会得到真实波动率的一个一致的估计量；若样本频率过大，由于收 益受到市场微观结构噪声的影响，度量结果会有较大的误差。因此， 最优的样本频率一定存在且是某个中间值，它可以对这两方面的制约 进行平衡。
的自相关系数来检验
GARCH模型的正确性。
在最大似然估计方法中，我们选择合适 的参数以使得观测值发生的概率最大。
可编辑
9.34
例1
观察一个实验，在进行的十次实验中假设 某个事件为随机事件，那么这个事件发生 一次的概率是多少呢？ 计算的结果是： p(1 p)9
使得表达式取得最大值的极大似然估计值:
p=0.1
可编辑
9.35
例2
估计一组服从正态分布的，均值为零的观 测值得方差
金融风险管理
第九章 波动率
可编辑
9.1
本章主要内容
波动率定义 波动率估计
历史波动率 隐含波动率 已实现波动率估计 指数加权移动平均模型 条件方差模型（ARCH，GARCH）
可编辑
9.2
波动率研究的发展
三个阶段
✓ 金融分析模型中的波动率。假设市场收益正态分布， 波动率常数。
第五章波动率的估计(GARCH模型)
求garch12的向前一步和向前两步预测公式vararmagarch性质白噪声armagarcharmagarch条件均值条件方差条件分布边际均值和方差边际分布常数常数非常数常数非常数非常数实际例子52实际例子53arch与garch模型一些共同的缺点约束强要求系数非负如果要求高阶矩存在还有更多的约束不能解释为什么存在异方差只是描述了条件异方差的行为gjr模型1是虚拟变量如果t11取值为1如果t11取值为0
令 wt = ε t2 − ht 合并同类项有
j > q 时α j
=0
l > p 时 βl = 0
而
wt = ε t2 − ht 满足：
E ( wt ) = 0
cov( wt , wt − j ) = 0,
j ≥1
但 wt 一般不是独立同分布的
GARCH(1,1)过程的峰度公式
GARCH(1,1)过程的峰度刻画波动率的厚尾性 峰度=4阶原点矩/标准差的四次方 4 正态分布的峰度=3意味着 E (v t ) = 3
反映波动率的非对称性 ε t = htν t
S-1是虚拟变量，如果εt-1<0，则S-1取值为1， 如果εt-1≥0则S-1取值为0。 通过画出响应曲线，看到市场利空和利好 消息对波动率的不同影响
GJR模型
响应曲线
20
15
SIG2
10
5
0 -10
-5
0 Z
5
EGARCH 指数广义条件异方差模型
ln ht = k 0 + β 1 ln ht −1 + L + β r ln ht − r +
EGARCH模型
1）重要特征是引入不对称性 2）参数没有大于0的约束，因为对求对数后 的条件方差建模，，可以保证方差为对数。 3）可以假设νt~广义误差分布 4）假设vt是正态分布时E(|vt|)= (2/π)1/2
令 wt = ε t2 − ht 合并同类项有
j > q 时α j
=0
l > p 时 βl = 0
而
wt = ε t2 − ht 满足：
E ( wt ) = 0
cov( wt , wt − j ) = 0,
j ≥1
但 wt 一般不是独立同分布的
GARCH(1,1)过程的峰度公式
GARCH(1,1)过程的峰度刻画波动率的厚尾性 峰度=4阶原点矩/标准差的四次方 4 正态分布的峰度=3意味着 E (v t ) = 3
反映波动率的非对称性 ε t = htν t
S-1是虚拟变量，如果εt-1<0，则S-1取值为1， 如果εt-1≥0则S-1取值为0。 通过画出响应曲线，看到市场利空和利好 消息对波动率的不同影响
GJR模型
响应曲线
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SIG2
10
5
0 -10
-5
0 Z
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EGARCH 指数广义条件异方差模型
ln ht = k 0 + β 1 ln ht −1 + L + β r ln ht − r +
EGARCH模型
1）重要特征是引入不对称性 2）参数没有大于0的约束，因为对求对数后 的条件方差建模，，可以保证方差为对数。 3）可以假设νt~广义误差分布 4）假设vt是正态分布时E(|vt|)= (2/π)1/2
波动率
波动率是金融资产价格的波动程度，是对资产收益率不确定性的衡量，用于反映金融资产的风险水平。
波动率越高，金融资产价格的波动越剧烈，资产收益率的不确定性就越强；波动率越低，金融资产价格的波动越平缓，资产收益率的确定性就越强。
产生的原因从经济意义上解释，产生波动率的主要原因来自以下三个方面：1、宏观经济因素对某个产业部门的影响，即所谓的系统风险；2、特定的事件对某个企业的冲击，即所谓的非系统风险；3、投资者心理状态或预期的变化对股票价格所产生的作用。
波动率的分类1、实际波动率实际波动率又称作未来波动率，它是指对期权有效期内投资回报率波动程度的度量，由于投资回报率是一个随机过程，实际波动率永远是一个未知数。
或者说，实际波动率是无法事先精确计算的，人们只能通过各种办法得到它的估计值。
2、历史波动率历史波动率是指投资回报率在过去一段时间内所表现出的波动率，它由标的资产市场价格过去一段时间的历史数据（即St的时间序列资料）反映。
这就是说，可以根据{St}的时间序列数据，计算出相应的波动率数据，然后运用统计推断方法估算回报率的标准差，从而得到历史波动率的估计值。
显然，如果实际波动率是一个常数，它不随时间的推移而变化，则历史波动率就有可能是实际波动率的一个很好的近似。
3、预测波动率预测波动率又称为预期波动率，它是指运用统计推断方法对实际波动率进行预测得到的结果，并将其用于期权定价模型，确定出期权的理论价值。
因此，预测波动率是人们对期权进行理论定价时实际使用的波动率。
这就是说，在讨论期权定价问题时所用的波动率一般均是指预测波动率。
需要说明的是，预测波动率并不等于历史波动率，因为前者是人们对实际波动率的理解和认识，当然，历史波动率往往是这种理论和认识的基础。
除此之外，人们对实际波动率的预测还可能来自经验判断等其他方面。
4、隐含波动率隐含波动率是制期权市场投资者在进行期权交易时对实际波动率的认识，而且这种认识已反映在期权的定价过程中。
第九章 波动率
i i i 1
利用有关 ui 的 m 天观测数据（从第n天开始往前 推），得出：
m 1 n2 ( un i u ) 2 m 1 i 1
1 m u un i m i 1
当时间间隔很小时，对数收益率可以用百分比收益 率替代 定义： ui （Si -Si 1）Si 1 假定 ui 的均值 u 为0 m-1被m代替 于是方差公式简化为
ui 的波动率用其标准差 衡量。
假设日对数收益率 ui 服从正态分布，则可以根据日 波动率 计算该资产的T日波动率：
T
提问：年波动率如何计算？
假设Si为金融资产在第i日的价格，该资产的对数收 益率为：
ui ln( Si Si 1 )
ui 的波动率用其标准差 衡量。
假设日对数收益率 ui 服从正态分布，则可以根据日 波动率 计算该资产的T日波动率：
2 n 由最近的u的观测值以及最
令 VL
，可以将GARCH（1,1）模型写成
2 2 2 n a un 1 n 1
其中
VL 1a
2 2 2 n a i un j n j i i 1 j 1
p
q
许多其它的GARCH模型已被提出 如，我们可以设计一个GARCH模型，使其赋予 ui 的权重依赖于 ui2 的正负值
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
波动率的定义 金融资产的收益率是否服从正态分布 从期权价格反推波动率：隐含波动率 采用历史数据来估算波动率 检测日波动率 波动率模型的参数估计 波动率预测
在分析很多市场变量的收益行为时，利用幂律似乎 要比利用正态分布更好。
利用有关 ui 的 m 天观测数据（从第n天开始往前 推），得出：
m 1 n2 ( un i u ) 2 m 1 i 1
1 m u un i m i 1
当时间间隔很小时，对数收益率可以用百分比收益 率替代 定义： ui （Si -Si 1）Si 1 假定 ui 的均值 u 为0 m-1被m代替 于是方差公式简化为
ui 的波动率用其标准差 衡量。
假设日对数收益率 ui 服从正态分布，则可以根据日 波动率 计算该资产的T日波动率：
T
提问：年波动率如何计算？
假设Si为金融资产在第i日的价格，该资产的对数收 益率为：
ui ln( Si Si 1 )
ui 的波动率用其标准差 衡量。
假设日对数收益率 ui 服从正态分布，则可以根据日 波动率 计算该资产的T日波动率：
2 n 由最近的u的观测值以及最
令 VL
，可以将GARCH（1,1）模型写成
2 2 2 n a un 1 n 1
其中
VL 1a
2 2 2 n a i un j n j i i 1 j 1
p
q
许多其它的GARCH模型已被提出 如，我们可以设计一个GARCH模型，使其赋予 ui 的权重依赖于 ui2 的正负值
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
波动率的定义 金融资产的收益率是否服从正态分布 从期权价格反推波动率：隐含波动率 采用历史数据来估算波动率 检测日波动率 波动率模型的参数估计 波动率预测
在分析很多市场变量的收益行为时，利用幂律似乎 要比利用正态分布更好。
随机波动率ppt课件
波动聚集性的原因：一种解释是自相关 的信息过程产生的，即信息传导观。
另一种解释是Stock（1988）提出的时间 扭曲观，这种观点认为是因为经济事件 的发生时间与日历时间不一致。
.
波动性的特征
（3）波动非对称性：不同种类的信息对股价 波动的影响不对称，下跌引起的波动比上升引 起的波动大
一种解释是杠杆效应：指股价运动与波动呈现 出负相关的关系。即下降的股价将提高资产负 债比（财务杠杆），因此提高了公司的风险， 从而导致未来波动的上升。
dxadb t dz
其中，a和b均为常数，dz遵循标准布朗运动。
.
Markov过程
Markov过程是一种重要的随机过程，它 有如下性质：
当随机过程在时刻ti所处的状态已知时， 过程在时刻t(t>ti)所处的状态仅与过程在 ti时刻的状态有关，而与过程在ti时刻以 前所处的状态无关。此特性称为随机过 程的无后效性或马尔可夫性。
考察变量z在一段较长时间T中的变化情
形，我们可得：
N
z(T)z(0)i
t
i1
当 t0时，我们就可以得到极限的标准
布朗运动：
dz dt
.
普通布朗运动
我们先引入两个概念：漂移率和方差率。 标准布朗运动的漂移率为0，方差率为1。
我们令漂移率的期望值为a,方差率的期望值 为b2，就可得到变量x的普通布朗运动
另一种解释是如果投资者在趋势十分明 显前忽略了信息，然后以累积的方式对 所有以前被忽略的信息作出反应，就会 得到厚尾。
因此，许多文献提出把资产收益作为厚 尾分布抽取的独立同分布序列建模。假 定误差项服从t分布或广义误差分布等非 正态的厚尾分布，以较好刻画尖峰厚尾 的特征。
.
波动性的特征
另一种解释是Stock（1988）提出的时间 扭曲观，这种观点认为是因为经济事件 的发生时间与日历时间不一致。
.
波动性的特征
（3）波动非对称性：不同种类的信息对股价 波动的影响不对称，下跌引起的波动比上升引 起的波动大
一种解释是杠杆效应：指股价运动与波动呈现 出负相关的关系。即下降的股价将提高资产负 债比（财务杠杆），因此提高了公司的风险， 从而导致未来波动的上升。
dxadb t dz
其中，a和b均为常数，dz遵循标准布朗运动。
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Markov过程
Markov过程是一种重要的随机过程，它 有如下性质：
当随机过程在时刻ti所处的状态已知时， 过程在时刻t(t>ti)所处的状态仅与过程在 ti时刻的状态有关，而与过程在ti时刻以 前所处的状态无关。此特性称为随机过 程的无后效性或马尔可夫性。
考察变量z在一段较长时间T中的变化情
形，我们可得：
N
z(T)z(0)i
t
i1
当 t0时，我们就可以得到极限的标准
布朗运动：
dz dt
.
普通布朗运动
我们先引入两个概念：漂移率和方差率。 标准布朗运动的漂移率为0，方差率为1。
我们令漂移率的期望值为a,方差率的期望值 为b2，就可得到变量x的普通布朗运动
另一种解释是如果投资者在趋势十分明 显前忽略了信息，然后以累积的方式对 所有以前被忽略的信息作出反应，就会 得到厚尾。
因此，许多文献提出把资产收益作为厚 尾分布抽取的独立同分布序列建模。假 定误差项服从t分布或广义误差分布等非 正态的厚尾分布，以较好刻画尖峰厚尾 的特征。
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波动性的特征
波动率的估计(ARCH模型)课件
ARCH(自回归条件异方差)模型的基本思想
ARCH模型的基本思想是指在以前信息集下， 某一时刻一个噪声的发生是服从正态分布。该 正态分布的均值为零，方差是一个随时间变化 的量(即为条件异方差)。并且这个随时间变化 的方差是过去有限项噪声值平方的线性组合 (即为自回归)。这样就构成了自回归条件异方 差模型。
等价于如下形式
ˆt2 t2 1(1)ˆt2 1
指数滑动平均
可以选择的范围是0.25~0.02之间。 如果使用EWMA模型进行短期预测选择较
大的，否则选择较小的 。
指数滑动平均计算结果
140
120
100
80
60
40
20
0 1400 1450 1500 1550 1600 1650 1700 1750 1800 1850
数学表达： Yt = βXt＋εt (1)
其中， Yt为被解释变量， Xt为解释变量， εt为误差项。
2 t
的特点
令 t t2Et1(t2) 即t t2 ht
重新表述ARC2
对金融资产的收益率作折线图： P14 图1.3.3
波动率的重要性
股票(期权)定价 P193,公式(5.1) 货币政策制定 证券管理 风险分析
估计波动率的几种方法
历史波动率Historical Volatility 滑动平均moving average 指数加权滑动平均Exponentially
n越大，曲线越平滑，n越小曲线越不平滑； 如果市场没有什么异常变换，n的选择对波
动率预测影响不大； n大时如果在某个时刻收益率出现异常，那
么计算的波动率就会在今后一段时间都 大，持续的时间长度是n的大小；
指数滑动平均(EWMA)