数学文化创新题型(高三数学高考中的数学文化)

2020年4月22日高中数学作业学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．港珠澳大桥于2018年10月2刻日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长55千米．桥面为双向六车道高速公路，大桥通行限速100km /h ，现对大桥某路段上1000辆汽车的行驶速度进行抽样调查．画出频率分布直方图（如图），根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度在区间[85，90）的车辆数和行驶速度超过90km /h 的频率分别为（ ）A ．300，0.25B ．300，0.35C ．60，0.25D ．60，0.35【答案】B 【解析】 【分析】由频率分布直方图求出在此路段上汽车行驶速度在区间)[8590，的频率即可得到车辆数，同时利用频率分布直方图能求行驶速度超过90/km h 的频率． 【详解】由频率分布直方图得：在此路段上汽车行驶速度在区间)[8590，的频率为0.0650.3⨯=， ∴在此路段上汽车行驶速度在区间)[8590，的车辆数为：0.31000300⨯=， 行驶速度超过90/km h 的频率为：()0.050.0250.35+⨯=． 故选：B ． 【点睛】本题考查频数、频率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著，在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的.“九儿问甲歌”就是其中一首:一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问小儿多少岁，各儿岁数要谁推，这位公公年龄最小的儿子年龄为（）A．8岁B．11岁C．20岁D．35岁【答案】B【解析】【分析】九个儿子的年龄成等差数列，公差为3．【详解】由题意九个儿子的年龄成等差数列，公差为3．记最小的儿子年龄为a1，则S9=9a1+9×8×3=207，解得a1=11．2故选B．【点睛】本题考查等差数列的应用，解题关键正确理解题意，能用数列表示题意并求解．3．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，在鳖臑A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，且有BD⊥CD，AB＝BD＝1，CD＝2，若该鳖臑的顶点都在一个球面上，则该球的体积为（）A B C．D．24π【答案】B【解析】【分析】由题意易得鳖臑外接一个长方体,且外接球与长方体外接球为同一个球,根据长方体体对角线等于外接球直径,利用公式计算即可.【详解】易得鳖臑外接一个长方体,且外接球与长方体外接球为同一个球,故画出如图所示鳖臑.设长方体体对角线即外接球直径为D 则22221126D =++= ,故外接球体积31166V D π===.故选：B 【点睛】本题主要考查了长方体中三棱锥的外接球问题,注意体对角线等于外接球直径即可.属于基础题型.4．《九章算术》是我国古代数学名著，在《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，若某阳马”的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该“阳马”的表面积为( )A ．1B ．1+C ．2+D ．2+【答案】C 【解析】 【分析】由三视图知该几何体是侧棱垂直于底面的四棱锥，画出图形结合图形求出它的表面积。

【详解】由三视图知该几何体是侧棱垂直于底面的四棱锥，如图所示；正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，∴四棱锥的底面是正方形，且边长为1，其中一条侧棱PD ⊥底面ABCD ，且侧棱1AD =，∴四棱锥的四个侧面都为直角三角形，且PA PC ==，∴四棱锥的表面积为1122121121222SADSABABCD S S SS=++=+⨯⨯⨯+⨯⨯=底面故选C 【点睛】本题考查了利用空间几何体的三视图求几何体表面积的应用问题，是基础题． 5．《九章算术》中记载了一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），则该几何体的容积为（ ）立方寸.（ 3.14π≈）A ．12.656B ．13.667C ．11.414D ．14.354【答案】A 【解析】由三视图可得，该几何体是一个圆柱和一个长方体组成的几何体，该几何体的体积为：()21 1.6 5.4 1.63112.6562V π⎛⎫=⨯⨯+-⨯⨯= ⎪⎝⎭.6．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．某“堑堵”的三视图如图所示，则它的表面积为（ ）A ．2B ．4+C ．4+D ．6+【答案】D 【解析】 【分析】根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，由三视图求出几何元素的长度，由面积公式求出几何体的表面积． 【详解】根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，底面是一个直角三角形，两条直角,斜边是2，且侧棱与底面垂直，侧棱长是2，∴几何体的表面积12222262S =⨯+⨯⨯=+ 故选D ． 【点睛】本题考查三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．7．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的体积为（ ）A ．3BCD ．2【答案】D 【解析】 【分析】先将三视图还原成直观图，然后利用体积公式计算即可. 【详解】的等腰直角三角形，高为2的直三棱柱，如图：故体积为1222V ==. 故选：D. 【点睛】本题考查由几何体的三视图求体积的问题，解题关键是正确将三视图还原成直观图，属于常考题.8．《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》是我国古代数学的重要文献.现拟把这4部著作分给甲、乙、丙3位同学阅读，每人至少1本，则甲没分到《周髀算经》的分配方法共有（ ） A ．18种 B ．24种C ．30种D ．36种【答案】B 【解析】分析：先不考虑限制条件，则共有2343C A 种方法，若甲分到《周髀算经》，有两种情况：甲分到一本（只有《周髀算经》），甲分到2本（包括《周髀算经》），减去即可.详解：先不考虑限制条件，则共有234336C A =种方法，若甲分到《周髀算经》，有两种情况：甲分到一本（只有《周髀算经》），此时共有22326C A =种方法；甲分到2本（包括《周髀算经》），此时共有326A =种方法，则分配方法共有366624--=种.点睛：本题考查了分组分配的问题，关键在于除去不符合条件的情况，属于基础题 9． 中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则，例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷(guǐ)影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其他节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的，下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中115.146寸表示115寸146分（1寸=10分）.已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为( )A ．72.4寸B ．81.4寸C ．82.0寸D ．91.6寸【答案】C 【解析】设晷影长为等差数列{}n a ，公差为d ，1130.0a =，1314.8a =，则130.01214.8d +=，解得9.6d =-，∴6130.09.6582.0a =-⨯=，∴《易经》中所记录的惊蛰的晷影长是82.0寸，故选C.10．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长度依次成等差数列，冬至、立春、春分这三个节气的日影长度之和为31.5尺，前九个节气日影长度之和为85.5尺，则谷雨这一天的日影长度（ ） A ．5.5尺 B ．4.5尺C ．3.5尺D ．2.5尺【答案】A 【解析】 【分析】先设等差数列{}n a ，首项为1a ，公差为d ，根据题意有14713931.5a a a a d ++=+=，9193685.5S a d =+=，然后由两式求解.【详解】设等差数列{}n a ，首项为1a ，公差为d ， 根据题意得14713931.5a a a a d ++=+=， 9193685.5S a d =+=，解得113.5,1a d ==-， 所以918 5.5a a d =+=. 故选：A 【点睛】本题主要考查了等差数列的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 11．如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（ ）种A ．120B ．260C ．340D ．420【答案】D 【解析】由题意可知上下两块区域可以相同，也可以不同， 则共有5431354322180240420⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+= 故选D12．如图，是三世纪汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的弦图.它也被2002年在北京召开的国际数学家大会选定为会徽.正方形ABCD内有四个全等的直角三角形.在正方形内随机取一点，则此点取自中间小正方形（阴影部分）的概率是（）A．14B．125C．34D．2425【答案】B【解析】【分析】根据题干可设小方格的边长为1，进而得到三角形的边长和正方形的边长，再根据几何概型的面积公式得到结果.【详解】根据条件可设小方格的边长为1，则三角形的边长为3和4，由勾股定理得到正方形的边长为5，最中间的小正方形的边长为1，面积为1，故根据几何概型中的面积型的公式得到概率为1=.25 SS小正方形大正方形故答案为：B.【点睛】本题考查了几何概型概率的求法；在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域Ω上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在Ω的区域（事实也是角）任一位置是等可能的．二、填空题13．“方锥”，在《九章算术》卷商功中解释为正四棱锥.现有“方锥”S ABCD-，其中4AB=，SA与平面ABCD所成角的正切值为4，则此“方锥”的外接球表面积为________.【答案】2899π【解析】 【分析】如图所示，连接AC ，BD 相交于O ，连接SO ，计算得到3SO =，在Rt O OA '∆中，利用勾股定理计算半径176R =，代入球的表面积公式得到答案. 【详解】如图所示：连接AC ，BD 相交于O ，连接SO ，故SO ⊥平面ABCD则tan 4SO SAO AO ∠==，解得3SO = 易知四棱锥S ABCD -的外接球球心O '在直线SO 上设外接球半径为R ，则在Rt O OA '中，222(3)R R -+=，解得176R =， 故所求外接球表面积228928944369S R πππ==⨯=. 故答案为：2899π【点睛】本题考查了四棱锥的外接球问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 14．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在鳖臑P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，且1AP=AC =，过点A 分别作AE PB ⊥于点E ，AF PC ⊥于点F ，连结EF ，当AEF ∆的面积最大时，tan BPC ∠=__________.【答案】2【解析】【分析】 利用PA ⊥平面ABC ，根据线面垂直的性质定理可得PA BC ⊥，结合已知，利用线面垂直的判定定理可以证明出BC ⊥平面PAB ，进而可以证明出BC AE ⊥，再结合已知，利用线面垂直的判定定理可以证明AE ⊥平面PBC ，因此可以证明出AE PC ⊥，最后利用线面垂直定理证明出PC ⊥平面AEF ，因此得到AE EF ⊥，PC AF ⊥，且F 为PC 中点.解法1：设AB x =，BC y =，利用三角形面积公式可以求出AE 的长，在利用PFE PBC ∆∆∽，求出EF 的长，最后求出AEF ∆的面积表达式，利用换元法和配方法求出AEF ∆面积平方的最大值，最后求出tan BPC ∠的值；解法2：设BPC θ∠=，求出EF 、BC 、PB 、AB 的大小，再求出AE 的大小，最后求出 AEF S ∆表达式，利用同角三角函数的关系中商关系和基本不等式求出最大值，根据等号成立的条件求出tan BPC ∠的值.【详解】因为PA ⊥平面ABC ，所以PA BC ⊥，又AB BC ⊥，所以BC ⊥平面PAB ，所以BC AE ⊥，又PB AE ⊥，所以AE ⊥平面PBC ，所以AE PC ⊥，又AF PC ⊥，所以PC ⊥平面AEF ，综上AE EF ⊥，PC AF ⊥，且F 为PC 中点.解法1：设AB x =，BC y =，则221x y +=，又1AP=AC =，则AE =，又PFE PBC ∆∆∽，可得EF =，所以12AEF S EF AE ∆=⋅⋅=， 所以()()()22222222218181x x x y S x x -==++，令21x t +=， 则222222(1)(2)32123113118884464t t t t S t t t t t ---+-⎛⎫⎛⎫===-+-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以当134t =时即213x =，223y =，()max 18AEF S ∆=，此时tan 2BC BPC PB ∠===，故填2. 解法2.设BPC θ∠=，则tan 2EF PF θ==，所以tan 2EF θ=.又BC θ=，PB θ=，所以AB =PA AB AE PB ⋅==所以11tan 222AEF S EF AE θ∆=⋅⋅==221tan 1tan 1428θθ+-==≤⋅= 当且仅当22tan 1tan θθ=-即tan θ=. 故答案为：2【点睛】 本题考查了线面垂直的判定定理和性质定理的综合应用，考查了基本不等式的应用，考查了配方法的应用，考查了推理论证能力和数学运算能力.15．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为“鳌臑”.如图，平面四边形ABCD 中，1AB CD==，BD BD CD =⊥,将其沿对角线BD 折成一个鳌臑A BCD '-，则该鳌臑内切球的半径为__________．【答案】12【解析】【分析】 结合几何体的内切球的特点，把几何体分割为四个小几何体，小几何体的体积之和等于大几何体的体积.【详解】因'1A D CD ==，且'A CD ∆为直角三角形，所以'CD A D ⊥，又,'CD BD BD A D D ⊥⋂=，所以CD ⊥平面'A BD ，所以'CD A B ⊥.又由''1,A B A D BD ===''A B A D ⊥所以'A B ⊥平面'A CD ，所以''A B A C ⊥，易得'A C =r ，则()'''13A BC A CD A BD BCD S S S S +++'13A BD r CD S =⋅.即1111113222232r ⎛+++=⨯⨯ ⎝⎭，解得1.2r = 【点睛】 本题主要考查数学文化，空间几何体与球的相切问题，考查空间想象能力.16．如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为98、63，则输出的a =_______．【答案】 7【解析】【分析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出a 的值.【详解】由程序框图可知：9863a b =>=，359863,286335a b ∴←=-←=-，73528,21287a b ∴←=-←=-，14217,72114a b ←=-←=-，7147a ←=-，则7a b ==，因此输出的a 为7，故答案为7.【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可. 17．如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入,a b 分别为14,18，则输出的a 等于_______.【答案】2【解析】由a =14，b =18，a <b ，则b 变为18−14=4，由a >b ，则a 变为14−4=10，由a >b ，则a 变为10−4=6，由a >b ，则a 变为6−4=2，由a <b ，则b 变为4−2=2，由a =b =2，则输出的a =2.18．《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖儒，在如图所示的鳖儒ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，且1AB BD CD ===，则此鳖儒的外接球的表面积为__________．【答案】3π【解析】【分析】利用四个面都是直角三角形，AB ⊥平面BCD ，且1AB BD CD ===，将三棱锥补成以,,AB BD CD 为棱的正方体，则此鳖儒的外接球即为边长为1的正方体的外接球，即可求解.【详解】根据题意，将鳖儒ABCD 补成以,,AB BD CD 为棱的正方体，边长为1的正方体的外接球半径为2，其表面积为3π. 故答案为:3π【点睛】 本题考查三棱锥外接球的表面积，运用割补法转化为特殊图形的外接球的表面积，属于基础题.19．中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则.例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其他节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的.下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中4115.16寸表示115寸416分(1寸=10分).已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为_________寸.【答案】82【解析】设《易经》中二十四节气晷影长为等差数列{a n}，公差为d，a1=130，a13=14.8,则d=14.81309.6131-=--，所以惊蛰晷影长为a6=a1+5d=82.20．如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为_______.【答案】420【解析】【分析】分成1,2,3号区间用2种颜色和3种颜色两种情况，分别计算涂色方案种数，再根据加法原理求得结果.【详解】将区域标注数字序号如下图：当1,2,3号区间共用2种颜色，即1,3同色且与2异色时共有涂色方法：211533180A C C =种当1,2,3共用3种颜色时，共有涂色方法：311522240A C C =种则不同的涂色方案总数为：180240420+=种本题正确结果：420【点睛】本题考查排列组合问题中的涂色问题，解决涂色问题的关键是能够找到“中轴线”，根据“中轴线”的颜色数量确定剩余区域的可选颜色数量；也可以根据对称区间同异色来进行讨论.21．《周髀算经》是我国最古老的天文学与数学著作，书中讨论了测量“日高”（太阳高度）的方法.大意为：“在,A B 两处立表（古代测望用的杆子，即“髀”），设表高均为h ，测得表距为d ，两表日影长度差为()0εε>，则可测算出日高”由所学知识知，日高H =__________．（用,h d 表示）【答案】()h d εε+【解析】【分析】 如图，由题意可知AD BC h ==，AB d =，设EF H =，AE x =，1AA y =则1BB y ε=+，由题可知11A AD A EF ∆∆∽且11B BC B EF ∆∆∽，利用三角形相似得到边的比例关系，再化简即可得到.【详解】解：如图，由题意可知AD BC h ==，AB d =，设EF H =，AE x =，1AA y =则1BB y ε=+由题可知11A AD A EF ∆∆∽且11B BC B EF ∆∆∽11A E EF AD A A ∴=，11B E EF BC B B= 即H x y h y +=，H x y d h y εε+++=+ 即()Hy h x y =+①，()()()()H y h x y d h x y h d εεε+=+++=+++②， ②减①得()H h d εε=+()h d H εε+∴=故答案为：()h d εε+【点睛】本题考查解三角形的应用，题目新颖，属于难题.三、解答题22．《九章算术》中，将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB =，1AC AA ==60ABC ∠=︒．(1)证明：三棱柱111ABC A B C -是堑堵；(2)求二面角1A A C B --的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）5. 【解析】【分析】(1)根据条件由正弦定理可求30ACB ︒∠=，从而可证明90BAC ︒∠=，可得证.（2）建立空间坐标系，用向量法求解二面角的余弦值即可.【详解】(1)在ABC ∆中，1AB =，AC =60ABC ︒∠=， 由正弦定理得sin sin AC AB ABC ACB =∠∠ ,即1sin 2ACB ∠== , 因为在ABC 中，AB AC <则ABC ACB ∠>∠,30ACB ︒∠=，所以90BAC ︒∠=，即BA AC ⊥．又三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱.所以三棱柱111ABC A B C -是堑堵．(2)以点A 为坐标原点，以AB ，AC ，1AA 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则(0,0,0)A ，(1,0,0)B，C，1A ．于是(1,0,0)AB =，1(0,AC =，(BC =-． 设平面1A BC 的一个法向量是(,,)n x y z =，则由10,0,n AC n BC ⎧⋅=⎨⋅=⎩得0,0.x =-+=⎪⎩ 所以可取(3,1,1)n =．又可取(1,0,0)m AB ==为平面1AA C 的一个法向量， 所以15cos ,||||5n m n m n m ⋅〈〉==．所以二面角1A A C B --． 【点睛】本题主要考查二面角的求法，同时考查数学文化．本题还可以由二面角的平面角的定义作出平面角直接求解,属于中档题.。