全排列及其逆序数

a1 al a b b b1 bm a1 al b baBiblioteka Baidua b1 bm
a1 ala b1 bm b c1 cn a1 al b b1 bm a a c1 cn
定理2.1 一个排列中的任意两个元素对换，排 列改变奇偶性．
即经过一次对换，奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列
证明
设排列为
方法2 分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码 个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数， 这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆 序数. 例1 解 求排列32514的逆序数. 在排列32514中,
3排在首位,逆序数为0;
2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1;
5的前面没有比5大的数,其逆序数为0;
例如 排列32514 中， 逆序 3 2 5 1 4 逆序 逆序
定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的 逆序数.一个排列j1, j2,…,jn的逆序数，一般记为 (j1, j2,…,jn)
例如 排列32514 中， 1 0 0 3 2 5 1 4
1 逆序数为3
故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5.即τ（32514）=5
排列的奇偶性
逆序数为奇数的排列称为奇排列;
逆序数为偶数的排列称为偶排列.
计算排列逆序数的方法
方法1 分别计算出排在1 ,2 , , n 1 , n 前面比它大的数 码之和即分别算出 1 ,2 , , n 1 , n 这 n个元素 的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求 排列的逆序数.
思考题解答
证 设在全部 n 阶排列中有 s 个奇排列, t 个偶 排列,现来证 s t . 将s 个奇排列的前两个数对换,则这 s个奇排 列全变成偶排列,并且它们彼此不同,所以 s t . 若将 t 个偶排列的前两个数对换, 则这 t 个偶排列 全变成奇排列,并且它们彼此不同,于是有 t s . 故必有 s t .
一、概念的引入
引例 用1、2、3三个数字，可以组成多少个没 有重复数字的三位数？ 解
百位
十位 个位
1 1 1 2 1 2 3
2 2 1 3
3
3
3种放法 2种放法 1种放法
共有 3 2 1 6
种放法.
二、全排列及其逆序数
，共有几种不 问题 把 n 个不同的元素排成一列 同的排法？ 定义1 由1，2，……,n组成的一个有序数组称为 一个n 级全排列（简称排列）。
对换 a 与 b
a1 al ab b1 bm
a1 al ba ba b1 bm
除 a , b 外，其它元素的逆序数不改变.
当 a b时，
经对换后 a 的逆序数增加1 ,
当 a b时，
b 的逆序数不变;
b 的逆序数减少1. 经对换后 a 的逆序数不变 ，
因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性. 设排列为 a1 al ab1 bm bc1 cn 现来对换 a 与 b .
所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变 奇偶性.
推论
奇排列调成标准排列的对换次数为奇数， 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.
证明
由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的
变化次数, 而标准排列是偶排列(逆序数为0),因此 知推论成立.
三、小结
1 n 个不同的元素的所有排列种数为 n!. 2 排列具有奇偶性. 3 计算排列逆序数常用的方法有2 种. 4 一个排列中的任意两个元素对换，排列改 变奇偶性．
1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3;
4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1; 3 2 5 1 4 0 1 0 3 1 于是排列32514的逆序数为
t 0 1 0 3 1 5.
例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇 偶性.
1 217986354
解
2 1 7 9 8 6 3 5 4
a1 al a b1 bm b c1 cn
m 次相邻对换
a1 al ab b1 bm c1 cn
m 1 次相邻对换 a a b b b a 1 l 1 m a c1 cn
a1 al ab1 bm bc1 cn ,
2m 1次相邻对换 a a bb b ac c , 1 l 1 m 1 n
0 10 0 1 3 4 4 5
t 5 4 4 31 0 01 0
18
此排列为偶排列.
2 nn 1n 2321
解
n 1 n n 1 n 2 321 n 2
思考题
分别用两种方法求排列16352487的逆序数.
思考题解答
解 用方法1
1 6 3 5 2 4 8 7
t 0 31 21 01 0 8
用方法2 由前向后求每个数的逆序数.
t 0 0 1 1 3 2 0 1 8.
思考题
证明 在全部 n 阶排列中 n 2 ,奇偶排列各占 一半.
n 个不同的元素的所有排列的种数，通常
用 Pn表示. 由引例 P3 3 2 1 6.
同理
Pn n ( n 1) ( n 2) 3 2 1 n!.
排列的逆序数
定义2 在一个排列中，如果两个数（称为数对）的前后 位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么 称它们构成一个逆序（反序）。
t n 1 n 2 2 1
n n 1 , 2 当 n 4k ,4k 1 时为偶排列；
当 n 4k 2,4k 3 时为奇排列.
3 2k 12k 122k 232k 3k 1k
解
2k 1 2k 1 2 2k 2 3 2k 3k 1 k
0 1


1

2

2

t 0 1 1 2 2 k 1 k 1 k
2 当 k 为偶数时，排列为偶排列，

k

21 k 1k 1
2 k k ,
当 k 为奇数时，排列为奇排列.
二、对换
定义
在排列中，将任意两个元素对调，其余 元素不动，这种作出新排列的手续叫做 对换． 将相邻两个元素对调，叫做相邻对换． 例如