全排列及其逆序数
排列的奇偶性
逆序数为奇数的排列称为奇排列;
逆序数为偶数的排列称为偶排列.
计算排列逆序数的方法
方法1 分别计算出排在1 ,2 , , n 1 , n 前面比它大的数 码之和即分别算出 1 ,2 , , n 1 , n 这 n个元素 的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求 排列的逆序数.
所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变 奇偶性.
推论
奇排列调成标准排列的对换次数为奇数， 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.
证明
由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的
变化次数, 而标准排列是偶排列(逆序数为0),因此 知推论成立.
三、小结
1 n 个不同的元素的所有排列种数为 n!. 2 排列具有奇偶性. 3 计算排列逆序数常用的方法有2 种. 4 一个排列中的任意两个元素对换，排列改 变奇偶性．
1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3;
4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1; 3 2 5 1 4 0 1 0 3 1 于是排列32514的逆序数为
t 0 1 0 3 1 5.
例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇 偶性.
1 217986354
解
2 1 7 9 8 6 3 5 4
t n 1 n 2 2 1
n n 1 , 2 当 n 4k ,4k 1 时为偶排列；
当 n 4k 2,4k 3 时为奇排列.
3 2k 12k 122k 232k 3k 1k
解
2k 1 2k 1 2 2k 2 3 2k 3k 1 k
0 1
1
2
2
t 0 1 1 2 2 k 1 k 1 k
2 当 k 为偶数时，排列为偶排列，
k
21 k 1k 1
2 k k ,
当 k 为奇数时，排列为奇排列.
二、对换
定义
在排列中，将任意两个元素对调，其余 元素不动，这种作出新排列的手续叫做 对换． 将相邻两个元素对调，叫做相邻对换． 例如
a1 al a b b b1 bm a1 al b ba a b1 bm
a1 ala b1 bm b c1 cn a1 al b b1 bm a a c1 cn
定理2.1 一个排列中的任意两个元素对换，排 列改变奇偶性．
即经过一次对换，奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列
证明
设排为
a1 al a b1 bm b c1 cn
m 次相邻对换
a1 al ab b1 bm c1 cn
m 1 次相邻对换 a a b b b a 1 l 1 m a c1 cn
a1 al ab1 bm bc1 cn ,
2m 1次相邻对换 a a bb b ac c , 1 l 1 m 1 n
一、概念的引入
引例 用1、2、3三个数字，可以组成多少个没 有重复数字的三位数？ 解
百位
十位 个位
1 1 1 2 1 2 3
2 2 1 3
3
3
3种放法 2种放法 1种放法
共有 3 2 1 6
种放法.
二、全排列及其逆序数
，共有几种不 问题 把 n 个不同的元素排成一列 同的排法？ 定义1 由1，2，……,n组成的一个有序数组称为 一个n 级全排列（简称排列）。
思考题解答
证 设在全部 n 阶排列中有 s 个奇排列, t 个偶 排列,现来证 s t . 将s 个奇排列的前两个数对换,则这 s个奇排 列全变成偶排列,并且它们彼此不同,所以 s t . 若将 t 个偶排列的前两个数对换, 则这 t 个偶排列 全变成奇排列,并且它们彼此不同,于是有 t s . 故必有 s t .
对换 a 与 b
a1 al ab b1 bm
a1 al ba ba b1 bm
除 a , b 外，其它元素的逆序数不改变.
当 a b时，
经对换后 a 的逆序数增加1 ,
当 a b时，
b 的逆序数不变;
b 的逆序数减少1. 经对换后 a 的逆序数不变 ，
因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性. 设排列为 a1 al ab1 bm bc1 cn 现来对换 a 与 b .
0 10 0 1 3 4 4 5
t 5 4 4 31 0 01 0
18
此排列为偶排列.
2 nn 1n 2321
解
n 1 n n 1 n 2 321 n 2
思考题
分别用两种方法求排列16352487的逆序数.
思考题解答
解 用方法1
1 6 3 5 2 4 8 7
t 0 31 21 01 0 8
用方法2 由前向后求每个数的逆序数.
t 0 0 1 1 3 2 0 1 8.
思考题
证明 在全部 n 阶排列中 n 2 ,奇偶排列各占 一半.
例如 排列32514 中， 逆序 3 2 5 1 4 逆序 逆序
定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的 逆序数.一个排列j1, j2,…,jn的逆序数，一般记为 (j1, j2,…,jn)
例如 排列32514 中， 1 0 0 3 2 5 1 4
1 逆序数为3
故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5.即τ（32514）=5
n 个不同的元素的所有排列的种数，通常
用 Pn表示. 由引例 P3 3 2 1 6.
同理
Pn n ( n 1) ( n 2) 3 2 1 n!.
排列的逆序数
定义2 在一个排列中，如果两个数（称为数对）的前后 位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么 称它们构成一个逆序（反序）。
方法2 分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码 个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数， 这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆 序数. 例1 解 求排列32514的逆序数. 在排列32514中,
3排在首位,逆序数为0;
2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1;
5的前面没有比5大的数,其逆序数为0;
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行列式2
此排列当 n=4k, 4k+1 时为偶排列; 当 n=4k+2, 4k+3 时为奇排列. (3) (2k)1(2k–1)2(2k–2)3(2k–3) · (k–1)(k +1)k. · · · · 解: (2k) 1 (2k–1) 2 (2k–2) 3 (2k–3) · (k–1) (k+1) k (k–1) (k–1) k 3 0 1 1 2 2 3 于是排列(2k)1(2k–1)2(2k–2) · (k–1)(k +1)k的逆序数为: · · t = 0+1+1+2+2+ · +(k–1)+(k–1)+k · · k k 1 2 k k2. 2 此排列当 k 为偶数时为偶排列, 当 k为奇数时为 奇排列.
例2: 计算下列排列的逆序数, 并讨论其奇偶性. (1) 217986354. 解: 2 1 7 9 8 6 3 5 4 0 1 001 34 4 5 于是排列217986354的逆序数为: t = 0+1+0+0+1+3+4+4+5 = 18. 此排列为偶排列. (2) n(n–1)(n–2) · 21 · · · · 解: n (n–1) (n–2) · 2 1 2 (n–2) (n–1) 0 1 于是排列n(n–1)(n–2) · 21的逆序数为: · · nn 1 , t = 0+1+2+ · +(n–2)+(n–1) · · 2
方法2: 依次计算出排列中每个元素前面比它大的 数码个数并求和, 即算出排列中每个元素的逆序数, 则 所有元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数. 例1: 求排列32514的逆序数.
全排列与逆序数
逆序 例 312 逆序 此排列的逆序数为1+1=2.
定义:逆序数为奇数的排列叫做奇排列, 逆序数为偶数的排列叫做偶排列.
§2
全排列及其逆序数
计算排列逆序数的方法
分别计算出排列中每个元素前面比它大的数
码个数之和,即算出排列中每个元素的逆序数,这
每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.
§2
全排列及其逆序数
§2
全排列及其逆序数
定义:对于n个不同的元素,规定各元素之间有一个标准次 序(通常规定由小到大为标准次序).
例 123 是元素1,2,3的标准次序
定义: 在这n个元素的任一排列中,当某两个元素的先后次 序与标准次序不同时就说有1个逆序. 逆序 逆序 例 132 213
§2
全排列及其逆序数
定义: 一个排列中所有逆序的总数称为这个排列的逆序数.
§2
全排列及其逆序数
主要内容：
一、全排列
二、排列的逆序数
考察的对象称为元素.例如:数字1,2,3.
定义:把n个不同的元素排成一列,叫做这n个元素的全 排列(简称排列). n个元素的所有排列的种数用Pn表示.
例 123,321,132,312,213,231都是元素1,2,3的排列, P3＝3×2 ×1 ＝ 6. 由上例可推知Pn＝ n！
例 求排列3241的逆序数 解: 3排在首位,逆序数为0; 2的前面比2大的数有一个数3,故逆序为1; 4是最大数,逆序为0; 1的前面比1大的数有3个数3、2、4,故逆序数为3.
于是,这个排列的逆序数为t=0+1+0+3=4,
排列3241为偶排列.
§2
总结
全排列及其逆序数
1.n个不同的元素的所有排列种数为n!. 2.排列具有奇偶性. 3.计算排列逆序数常用的方法有1种.
1-2线性代数
n( n 1 ) , = 2 时为偶排列； 当 n = 4k ,4k + 1 时为偶排列；
t = ( n 1) + ( n 2 ) + L + 2 + 1
时为奇排列. 当 n = 4k + 2,4k + 3 时为奇排列
(4) (2k )1(2k 1)2(2k 2)3(2k 3)L (k + 1)k
于是排列32514的逆序数为 t = 0 + 1 + 0 + 3 + 1 = 5. 的逆序数为 于是排列
计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性. 例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性
(1)
4132
(2) 3712456
（2） ）
解（1）4 1 3 2 ）
3 7 1 2 4 5 6
0 0 2 2 1 1 1
第二节 全排列及其逆序数
一、排列
定义 由自然数 2, , n 组成的不重复的每一 由自然数1, 种有确定次序的排列, 称为一个n 种有确定次序的排列 称为一个 阶排列 (简称排列 简称排列). 简称排列 都是4 例如 1234 和4312都是 阶排列 都是 阶排列, 24315是一个 阶排列 是一个5 阶排列. 是一个
t = 0 +0 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1
0 1 1 2
t = 0+1+1+ 2 = 4
此排列为偶排列 此排列为偶排列. 偶排列
=7
此排列为奇排列 此排列为奇排列. 奇排列
(3)
解
n(n 1)(n 2 )L 321
n 6444 74444 4 1 8 n(n 1)2 2 )L 321 1 4(n443 44 4 (n 2)
1-2全排列及逆序数
n 个不同的元素的所有排列的种数,通常 个不同的元素的所有排列的种数,
用 P 表示 n表示. 由引例 P3 = 3 2 1 = 6. 同理
Pn = n ( n 1) ( n 2) L 3 2 1 = n!.
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第一章 行列式
排列的逆序数 我们规定各元素之间有一个标准次序, 我们规定各元素之间有一个标准次序 n 个 不同的自然数,规定由小到大为标准次序 标准次序. 不同的自然数,规定由小到大为标准次序 定义 在一个排列 (i1 i 2 L i t L i s L i n ) 中,若数 it > i s 则称这两个数组成一个逆序 则称这两个数组成一个逆序.
t = ( n 1) + ( n 2 ) + L + 2 + 1
时为奇排列. 当 n = 4k + 2,4k + 3 时为奇排列
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第一章 行列式
(3) (2k )1(2k 1)2(2k 2)3(2k 3 )L(k + 1)k
解
(2k ) 1 (2k 1) 2 (2k 2) 3 (2k 3)L(k + 1) k
t = 0 + 1 + 0 + 3 + 1 = 5.
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第一章 行列式
计算下列排列的逆序数, 例2 计算下列排列的逆序数,并讨论它们的奇 偶性. 偶性
(1) 217986354
解
2 1 7 9 8 6 3 5 4
0 10 0 1 3 4 4 5
t = 5 + 4 + 4+ 3+1+ 0+ 0+1+ 0
全排列及其逆系数
a1 al a b1 bm b c1 cn
m 次相邻对换
a1 al ab b1 bm c1 cn
m 1 次相邻对换 a a b b b a 1 l 1 m a c1 cn
a1 al ab1 bm bc1 cn ,
2m 1次相邻对换 a a bb b ac c , 1 l 1 m 1 n
0 10 0 1 3 4 4 5
t 5 4 4 31 0 01 0
18
此排列为偶排列.
2 nn 1n 2321
解
n 1 n n 1 n 2 321 n 2
a1 al a b b b1 bm a1 al b ba a b1 bm
a1 ala b1 bm b c1 cn a1 al b b1 bm a a c1 cn
对换与排列的奇偶性的关系
定理1 一个排列中的任意两个元素对换，排列 改变奇偶性． 证明 设排列为
对换 a 与 b
a1 al ab b1 bm
a1 al ba ba b1 bm
除 a , b 外，其它元素的逆序数不改变.
当 a b时，
经对换后 a 的逆序数增加1 ,
当 a b时，
b 的逆序数不变;
b 的逆序数减少1. 经对换后 a 的逆序数不变 ，
因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性. 设排列为 a1 al ab1 bm bc1 cn 现来对换 a 与 b .
n 个不同的元素的所有排列的种数，通常
用 Pn表示. 由引例 P3 3 2 1 6.
同理
Pn n ( n 1) ( n 2) 3 2 1 n!.
排列的逆序数 我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个 不同的自然数，规定由小到大为标准次序.
1-2全排列及其逆序数
0 1
1
2
2
0 1 1 2 2 k 1 k 1 k
2 当 k 为偶数时，排列为偶排列，
k
21 k 1k 1
2 k k ,
当 k 为奇数时，排列为奇排列.
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结 n ( n 1) ( n 2) 3 2 1 n!.
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排列的逆序数 我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个 不同的自然数，规定由小到大为标准次序.
定义 在一个排列 i1 i 2 i t i s i n 中，若数 i t i s 则称这两个数组成一个逆序. 例如 排列32514 中， 逆序 3 2 5 1 4
1 n 个不同的元素的所有排列种数为 n!. 2 排列具有奇偶性.
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思考题
求排列16352487的逆序数. 解 1 6 3 5 2 4 8 7
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0 0 1 1 3 2 0 1 8.
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LOGO 2012年秋
计算排列逆序数的方法
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分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码 个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数， 这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆 序数.
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例1
解
求排列32514的逆序数.
在排列32514中,
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1
2
2
0 1 1 2 2 k 1 k 1 k
2 当 k 为偶数时，排列为偶排列，
k
21 k 1k 1
2 k k ,
当 k 为奇数时，排列为奇排列.
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结 n ( n 1) ( n 2) 3 2 1 n!.
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排列的逆序数 我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个 不同的自然数，规定由小到大为标准次序.
定义 在一个排列 i1 i 2 i t i s i n 中，若数 i t i s 则称这两个数组成一个逆序. 例如 排列32514 中， 逆序 3 2 5 1 4
1 n 个不同的元素的所有排列种数为 n!. 2 排列具有奇偶性.
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思考题
求排列16352487的逆序数. 解 1 6 3 5 2 4 8 7
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计算排列逆序数的方法
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分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码 个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数， 这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆 序数.
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例1
解
求排列32514的逆序数.
在排列32514中,
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§1-2 全排列及其逆序数
1,2,3 ；1,3,2 ； 2,1,3 ； 2,3,1 ；3,1,2 ； 3,2,1
（2）逆序：在一个排列里，如果某一个较大的数排在某一 个 较小的数前面，则称这两个数码构成一个逆序； 例3 ：5 阶排列 4,3,5,2,1 中 4,3 、4,2 、4,1 及 3,2 、 3,1
5,2 、5,1 、2,1 等均构成反序，且共8 个反序；
（3）逆序数：在一个排列 i1 , i2 , , in 里，出现的逆序 总个数称为这个排列的逆序数；并记作 i1 , i2 , , in 例4 ：例 3 中 5 阶排列 4,3,5,2,1 中，逆序数为 8 即： 4,3,5,2,1 8
逆序数的计算：在一个排列 i1 , i2 , , in 里，先看有多少
特别，称 1,2, , n 为这
例1 ：1,2,3,4,5 ； 5,4,3,2,1 ； 3,2,1,5,4 ； 3,4,5,1,2 等等，均为 1,2,3,4,5 这5 个数码的不同排列； 结论： n 个数码 1,2, , n 的所有排列共 n! 个。
例2： 3个数码的不同排列共 3! 6 个，分别为
4,7,5,1,3,6,2 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7
3 5 3 0 11 0 13
（4）奇偶排列：若 i1 , i2 , , in 是奇数，则称 排列 i1 , i2 , , in 为奇排列； 排列 i1 , i2 , , in 为偶排列； 例6： 3 阶排列中 若 i1 , i2 , , in 是偶数，则称
个数排在 1 的前面，设有 m1 个，即有 m1 个数与1 构成反序； 将 1 划去；再看有多少个数排在 2 的前面，设有 m2 个，将 2 划去；‥ ‥ ‥ ，如此下去，设有 mn1 个数排在 n 1 的 前面，将 n 1 划去，最后只剩下数 n ，即 mn 0 则 i1 , i2 , , in m1 m2 mn1 mn 例5 ：7 阶排列 4,7,5,1,3,6,2 中，
线性代数 1.1 全排列及其逆序数
三、排列的奇偶性
逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列. 定义 把排列中两个元素位置进行对调， 称为对排列作一次对换。 定理：对换改变排列的奇偶性. 证明：先证明是相邻对换的情况，再证非 相邻对换的情况。 推论 将奇（偶）排列变成标准排列需用奇（偶）数 次对换。
第一章
行列式
§1.1 全排列及其对换
一、全排列的定义 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n
个元素的全排列，简称排列。 例 123456 是 6 个数的全排列， 53421 是 5 个数的全排列。
二排列的逆序数
对于n 个不同的元素，规定各元素之间由小 到大为标准次序. 定义 当某两个元素的先后次序与标准次序不同 时，就说有一个逆序，一个排列中所有逆序的总 数叫做这个排列的逆序数。 求逆序数的方法： t ( p1 p2 pn ) t1 t2 tn 其中 ti 是排列中与元素 pi 相关的逆序数，即位于 pi前且比 pi 大的的元素个数。
例 (1) 求排列3412中逆序数 .
2 nn 1n 2 321
(1) t (3412) 0 0 2 2 4; 解：
(2) t (n n 1 n 2 321) 0 1 2 (n 1) 1 n(n 1) 2
全排列及其逆序数
全排列及其逆序数
一、概念的引入引例用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？解1 2 3123百位3种放法十位1231个位1 232种放法1种放法种放法.共有二、全排列及其逆序数问题定义由引例同理例如排列32514 中，定义我们规
定各元素之间有一个标准次序, n 个不同的自然数，规定由小到大为标准次序.排列的逆序数3 2 5 1 4定义
一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.例如排列32514 中， 3 2 5 1 4逆序数为31故
此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5.计算排列逆序数的方法方法1逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆序数为偶数的排列称为偶排列.排列的奇偶性分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序
数.方法2例1 求排列32514的逆序数.解在排列32514中,3排在首位,逆序数为0;2的前面比2大的数只有一个3,故逆
序数为1;3 2 5 1 4于是排列32514的逆序数为5的前面没有比5大的数,其逆序数为0;1的前面比1大的数有3个,故
逆序数为3;4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1;例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.解此排列为偶排列.解解
2 排列具有奇偶性.
3 计算排列逆序数常用的方法有2 种.三、小结思考题分别用两种方法求排列16352487的逆序数.思考
题解答解用方法11 6 3 5 2 4 8 7 用方法2由前向后求每个数的逆序数.。
线性代数1-2
al a bb1
bm
对换 a 与 b
a1
al b ab1
bm
除a,b外，其它元素的逆序数不改变. 逆序数加1或减1，奇偶性改变.
2)
一般情形
对换a与b
a1 al a b1 bm b b c1 cn
a1 al ab1 bm bc1 cn
a1
al bb1
bm ac1
cn ,
m 次相邻对换 a 1
若将t 个偶排列的前两个数对换, 则这t 个偶排列 全变成奇排列,并且它们彼此不同,于是有 t s . 故必有 s t .
本节小结
1. n元排列 2. 逆序 3. 逆序数 4. 奇偶排列 5. 对换 结论1 任一排列经过一次对换奇偶性改变. 结论2 全部n元排列中,奇偶排列各占一半.
t 18
例2 讨论排列 n n 1 n 2 解
nn 1n 2321
n1 n2
321的奇偶性.
t n 1 n 2 2 1 n n 1 , 2 当n 4k ,4k 1 时为偶排列；
当n 4k 2,4k 3 时为奇排列.
例3 选择i和j,使1i25j4869成为奇排列、偶排列.
1
4.对换
n元排列中, 任意对调两个元素的位置,其余元素 不动,这种变换叫做对换．
奇 偶
25143
偶
25413
奇
这些排列的
奇偶性呢？
2 1 6 排列经过一次对换必改变奇偶性. 证明 1) 特殊情形：相邻对换 设排列为 a1
2.逆序
n元排列中,若较大的元素排在较小的元素 前面，称为一个逆序. 比如 3 2 5 1 4
3.逆序数
排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.