极坐标误差分析
关于2秒级全站仪极坐标法用于变形观测的精度分析
一、极坐标法测量原理
如图所示，A 、B 为已知点，A 点坐标为（x A ，y A ）、B 点坐标为(x B ，y B )，p 为待定
极坐标测量法示意图
点。通过测定AB 边与Ap 边的夹角β，Ap 边垂直角ν以及Ap 边的斜距S ，可通过计算出AB 边坐标方位角αAB 和Ap 边平距D ，求得p 点的坐标y x 、。计算式如下：
A
B A B x x y y arctg --=AB α………………………………………………① βαα+=AB …………………………………….…….…………. ②
νcon S D ?= ………………………….………………….……… ③
αα
sin D D Ap A Ap A y y con x x +=+=}………………………………………………...④
二、极坐标法测量精度分析
由于S 、、νβ是独立观测值，D 、α也是相互独立的。对以上②、③微分得 βαd =d ……………………………………………………………⑤
ρν
ννd S dS con dD ??-?=sin ……………………………………...⑥
再对④微分得
ρ
αααρα
ααd o d dy d d con dx ??+?=??-?=n c D D sin sin D D }……………………………………⑦ 上式可写为
?????????????????
??-=??????ααρααραd dD con D D
con dy dx sin sin ………………………………….⑧
因此，p 点的协方差阵为
???
?????-????????????????????-=????????αραραασσσσαρααρασσσσαααcon D D con con D D con D D D y yx xy x sin sin sin sin 2222
其显式形式为
222
222
2222222
2222222sin )s co (sin sin 2s sin sin 2co α
ααααασααρσααρσαασσαρσααρ
σασσαρσααρσασ???-?-+??=??+??+?=??+??-
?=con D in n D con con D con D in D con D n D D xy D D y D D x 由以上显式，可推出P 点的方差
2222222ασρσσσσ?+
=+=D D y x p 写成中误差形式即为
2222
αρm D m m D p ?+±=……………………………………………………..⑨
三、极坐标法测量误差估算
按照仪器的标称精度，测角精度为±2″、测距精度为2+2ppm ，当已知点至待定点之间间距为100m 时，取
510222?≈±=''±==ρφα，，mm m m m S
将⑥式按照误差传播定律写成
2222222sin ρνννm S m con m S D ?
?+?=
取 2100m S 3''±==?=ννm ，，
估算Ap 边平距测量误差：
mm con m D 00.22052.02)102(23sin 1023222252
2
2522±=±≈+±≈????+??±=? 当点间高差较小时，垂直角测量误差对平距的影响可忽略不计；取ν为15°时，平距测量误差为±2.06mm 。可见垂直角大小对平距测量精度影响不大，只取决于测距本身精度，
第1章 数学建模与误差分析
第1章数学建模与误差分析 1.1 数学与科学计算 数学是科学之母，科学技术离不开数学，它通过建立数学模型与数学产生紧密联系，数学又以各种形式应用于科学技术各领域。数学擅长处理各种复杂的依赖关系，精细刻画量的变化以及可能性的评估。它可以帮助人们探讨原因、量化过程、控制风险、优化管理、合理预测。近几十年来由于计算机及科学技术的快速发展，求解各种数学问题的数值方法即计算数学也越来越多地应用于科学技术各领域，相关交叉学科分支纷纷兴起，如计算力学、计算物理、计算化学、计算生物、计算经济学等。 科学计算是指利用计算机来完成科学研究和工程技术中提出的数学问题的计算，是一种使用计算机解释和预测实验中难以验证的、复杂现象的方法。科学计算是伴随着电子计算机的出现而迅速发展并获得广泛应用的新兴交叉学科，是数学及计算机应用于高科技领域的必不可少的纽带和工具。科学计算涉及数学的各分支，研究它们适合于计算机编程的数值计算方法是计算数学的任务，它是各种计算性学科的联系纽带和共性基础，兼有基础性和应用性的数学学科。它面向的是数学问题本身而不是具体的物理模型，但它又是各计算学科共同的基础。 随着计算机技术的飞速发展，科学计算在工程技术中发挥着愈来愈大的作用,已成为继科学实验和理论研究之后科学研究的第三种方法。在实际应用中所建立的数学模型其完备形式往往不能方便地求出精确解，于是只能转化为简化模型，如将复杂的非线性模型忽略一些因素而简化为线性模型，但这样做往往不能满足精度要求。因此，目前使用数值方法来直接求解较少简化的模型，可以得到满足精度要求的结果，使科学计算发挥更大作用。了解和掌握科学计算的基本方法、数学建模方法已成为科技人才必需的技能。因此，科学计算与数学建模的基本知识和方法是工程技术人才必备的数学素质。 1.2 数学建模及其重要意义 数学，作为一门研究现实世界数量关系和空间形式的科学，在它产生和发展的历史长河中，一直是和人们生活的实际需要密切相关。用数学方法解决工程实际和科学技术中的具体问题时，首先必须将具体问题抽象为数学问题，即建立起能描述并等价代替该实际问题的数学模型，然后将建立起的数学模型，利用数学理论和计算技术进行推演、论证和计算，得到欲求解问题的解析解或数值解，最后用求得的解析解和数值解来解决实际问题。本章主要介绍数学建模基本过程和求解数学问题数值方法的误差传播分析。 1.2.1 数学建模的过程 数学建模过程就是从现实对象到数学模型，再从数学模型回到现实对象的循环，一般通过表述、求解、解释、验证几个阶段完成。数学建模过程如图1.2.1所示，数学模型求解方法可分为解析法和数值方法，如图1.2.2所示。 表述是将现实问题“翻译”成抽象的数学问题，属于归纳。数学模型的求解方法则属于演绎。归纳是依据个别现象推出一般规律；演绎是按照普遍原理考察特定对象，导出结论。演绎利用严格的逻辑推理，对解释现象做出科学预见，具有重要意义，但是它要以归纳的结论作为公理化形式的前提，只有在这个前提下
定位误差分析
（3）定位误差的计算 由于定位误差ΔD是由基准不重合误差和基准位移误差组合而成的，因此在计算定位误差时，先分别算出Δ B和ΔY ，然后将两者组合而得ΔD。组合时可有如下情况。 1)Δ Y ≠ 0，Δ B=O时Δ D= Δ B (4.8) 2)ΔY =O，Δ B ≠ O时Δ D= Δ Y (4.9) 3)Δ Y ≠ 0, Δ B ≠ O时 如果工序基准不在定位基面上Δ D=Δ y + Δ B (4.10) 如果工序基准在定位基面上Δ D=Δ y ±Δ B (4.11) “ + ” ，“—” 的判别方法为: ①设定位基准是理想状态，当定位基面上尺寸由最大实体尺寸变为最小实体尺寸 (或由小变大)时， 判断工序基准相对于定位基准的变动方向。 ②② 设工序基准是理想状态，当定位基面上尺寸由最大实体尺寸变为最小实体尺寸 (或由小变大) 时，判断定位基准相对其规定位置的变动方向。 ③③ 若两者变动方向相同即取“ + ” ，两者变动方向相反即取“—”。 －、定位误差及其组成 图9-21a 图9-21 工件在V 形块上的定位误差分析 工序基准和定位基准不重合而引起的基准不重合误差，以表示由于定位基准和定位元件本身的 制造不准确而引起的定位基准位移误差，以表示。定位误差是这两部分的矢量和。 二、定位误差分析计算 （一）工件以外圆在v形块上定位时定位误差计算 如图9-16a所示的铣键槽工序，工件在v 形块上定位，定位基准为圆柱轴心线。如果忽略v形块的制造误差，则定位基准在垂直方向上的基准位移误差
（9-3） 对于9-16中的三种尺寸标注，下面分别计算其定位误差。当尺寸标注为B1时，工序基准和定位基准重合，故基准不重合误差ΔB=0。所以B1尺寸的定位误差为 （9-4） 当尺寸标注为B2时，工序基准为上母线。此时存在基准不重合误差 所以△D应为△B与Δy的矢量和。由于当工件轴径由最大变到最小时，和Δy都是向下变化的，所以，它们的矢量和应是相加。故 （9-5） 当尺寸标注为B3时，工序基准为下母线。此时基准不重合误差仍然是，但当Δy向下变化时，ΔB 是方向朝上的，所以，它们的矢量和应是相减。故 （9-6） 通过以上分析可以看出：工件以外圆在V形块上定位时，加工尺寸的标注方法不同，所产生的定位误差也不同。所以定位误差一定是针对具体尺寸而言的。在这三种标注中，从下母线标注的定位误差最小，从上母线标注的定位误差最大。 四．计算题：（共 10 分） 如图所示套类工件铣键槽，要求保证尺寸94－0.20，分别采用图(b)所示的定位销定位方案和图(c)所示的V形槽定位方案，分别计算定位误差。
第一章 误差分析与误差的传播习题及解答
第一章 误差分析与误差的传播 一、判断题： 1.舍入误差是模型准确值与用数值方法求得的准确值产生的误差。 ( ?) 2. 用1-2 2 x 近似表示cos x 产生舍入误差。 (? ) 3. 任给实数a 及向量x ，则||||||||x x a a =。 (?) 二、填空题： 1.设* 2.40315x =是真值 2.40194x =的近似值，则* x 有(3)位有效数字。 2. * x 的相对误差的 1 2 倍。 3. 为了使计算 3 2)1(6)1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写 为 ，为了减少舍入误差，应将表达式 1999 2001-改写为 。 （1 1 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ， 199920012+；） 4. 7 22 , 141.3,142.3分别作为π的近似值有 , , 位有效数字。（4 ,3 ,3；） 5. π的近似值3.1428是准确到 近似值。答： 2 10- 6. 取 3.142x =作为 3.141592654x =┅的近似值，则x 有 位有效数字.答：4 7. 近似值* 0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； *x 的相对误差的( 3 1)倍； 9. 计算方法主要研究( )误差和( )误差；（截断，舍入） 10.近似数x*=0.0310,有（ ）位有数数字。解：3位 11. 按四舍五入原则数 2.7182818与8.000033具有五位有效数字的近似值分别为 和 。（ 2.7183 和 8.0000） 12. 、，则A 的谱半径 ＝ ，A 的＝ （ ） 11.计算取，利用（ ）式计算误差最小。
定位误差计算解析
3.2.3 定位误差的分析与计算 在成批大量生产中，广泛使用专用夹具对工件进行装夹加工。加工工艺规程设计的工序图则是设计专用夹具的主要依据。由于在夹具设计、制造、使用中都不可能做到完美精确，故当使用夹具装夹加工一批工件时，不可避免地会使工序的加工精度参数产生误差，定位误差就是这项误差中的一部分。判断夹具的定位方案是否合理可行，夹具设计质量是否满足工序的加工要求，是计算定位误差的目的所在。 1.用夹具装夹加工时的工艺基准 用夹具装夹加工时涉及的基准可分为设计基准和工艺基准两大类。设计基准是指在设计图上确定几何要素的位置所依据的基准；工艺基准是指在工艺过程中所采用的基准。与夹具定位误差计算有关的工艺基准有以下三种： （1）工序基准 在工序图上用来确定加工表面的位置所依据的基准。工序基准可简单地理解为工序图上的设计基准。分析计算定位误差时所提到的设计基准，是指零件图上的设计基准或工序图上的工序基准。 （2）定位基准 在加工过程中使工件占据正确加工位置所依据的基准，即为工件与夹具定位元件定位工作面接触或配合的表面。为提高工件的加工精度，应尽量选设计基准作定位基准。 （3）对刀基准（即调刀基准） 由夹具定位元件的定位工作面体现的，用于调整加工刀具位置所依据的基准。必须指出，对刀基准与上述两工艺基准的本质是不同，它不是工件上的要素，它是夹具定位元件的定位工作面体现出来的要素（平面、轴线、对称平面等）。如果夹具定位元件是支承板，对刀基准就是该支承板的支承工作面。在图3.3中，刀具的高度尺寸由对导块2的工作面来调整，而对刀块2工作面的位置尺寸7.85±0.02是相对夹具体 4的上工作面（相当支承板支承工作面）来确定 的。夹具体4的上工作面是对刀基准，它确定了 刀具在高度方向的位置，使刀具加工出来的槽底 位置符合设计的要求。图3.3中，槽子两侧面对 称度的设计基准是工件上大孔的轴线，对刀基准 则为夹具上定位圆柱销的轴线。再如图3.21所 示，轴套件以内孔定位，在其上加工一直径为φ d 的孔，要求保证φd 轴线到左端面的尺寸L 1及孔中心线对内孔轴线的对称度要求。尺寸L 1的 设计基准是工件左端面A ′，对刀基准是定位心 轴的台阶面A ；φd 轴线对内孔轴线的对称度的 设计基准是内孔轴线，对刀基准是夹具定位心轴 2的轴线OO 。 2.定位误差的概念 用夹具装夹加工一批工件时，由于定位不准 确引起该批工件某加工精度参数（尺寸、位置） 的加工误差，称为该加工精度参数的定位误差 （简称定位误差）。定位误差以其最大误差范围 来计算，其值为设计基准在加工精度参数方向上 的最大变动量，用dw 表示。 a) b 图3.21 钻模加工时的基准分析
定位误差的分析与计算
华北航天工业学院教案 教研室：机制工艺授课教师：陈明
第十章机床夹具的设计原理 第三节定位误差的分析与计算一批工件逐个在夹具上定位时，各个工件在夹具上所占据的位置不可能完全一致，以致使加工后各工件的加工尺寸存在误差，这种因工件定位而产生的工序基准在工序尺寸上的最大变动量，称为定位误差，用?D表示。 一、定位误差的组成 1．基准不重合误差 如前所述，当定位基准与设计基准不重合时便产生基准不重合误差。因此选择定位基准时应尽量与设计基准相重合。当被加工工件的工艺过程确定以后，各工序的工序尺寸也就随之而定，此时在工艺文件上，设计基准便转化为工序基准。 设计夹具时，应当使定位基准与工序基准重合。当定位基准与工序基准不重合时，也将产生基准不重合误差，其大小对于定位基准与工序基准之间尺寸的公差，用?B表示。工序基准与定位基准之间的尺寸就称为定位尺寸。 2．基准位移误差 工件在夹具中定位时，由于工件定位基面与夹具上定位元件限位基面的制造公差和最小配合间隙的影响，从而使各个工件的位置不一致，给加工尺寸造成误差，这个误差称为基准位移误差，用?Y表示。 基准位移误差的大小对应于因工件内孔轴线与心轴轴线不重合所造成的工序尺寸最大变动量。 当定位基准的变动方向与工序尺寸的方向相同时，基准位移误差等于定位基准的变动范围，即 ?Y = ?i 当定位基准的变动方向与工序尺寸的方向不同时，基准位移误差等于定位基准的变动范围在加工尺寸方向上的投影，即 ?Y = ?i cos a 二、各种定位方式下定位误差的计算 1．定位误差的计算方法 如上所述，定位误差由基准不重合误差与基准位移误差两项组合而成。计算时，先分别算出?B和?Y，然后将两者组合而成?D。组合方法为：如果工序基准不在定位基面上：?D =?Y + ?B 如果工序基准在定位基面上：?D = ?Y±?B 式中“+”、“-”号的确定方法如下： 1）1）分析定位基面直径由小变大（或由大变小）时，定位基准的变动方向。 2）2）当定位基面直径作同样变化时，设定位基准的位置不变动，分析工序基准的变动方向。 3）3）两者的变动方向相同时，取“+”号，两者的变动方向相反时，取“-”号。 2．工件以圆孔在心轴（或定位销）上定位 （1）（1）定位副固定单边接触 当心轴水平放置时，工件在重力作用下与心轴固定单边接触，此时
定位误差分析计算综合实例
定位误差分析计算综合实例 定位误差的分析与计算，在夹具设计中占有重要的地位，定位误差的大小是定位方案能否确定的重要依据。为了掌握定位误差计算的相关知识，本小节将给出一些计算实例，抛砖引玉，以使学习者获得触类旁通、融会贯通的学习效果。 例3-3 如图3.25所示，工件以底面定位加工孔内键槽，求尺寸h 的定位误差？ 解：（1）基准不重合误差求jb ? 设计基准为孔的下母线，定位基准为底平面，影响两者的因素有尺寸h 和h 1，故jb ?由两部分组成： φD 半径的变化产生2 D ? 尺寸h 1变化产生12h T ，所以 底平面，对刀基准（2）基准位置误差jw ? 定位基准为工件 为与定位基准接触的支承板的工作表面，不记形状误差，则有 所以槽底尺寸h 的定 位误差为 122 h dw T D +?= ? 例3-4 有一批直径为0 d T d -φ的工件如图3.27所示。外圆已加工合格，今用V 形块定位铣宽度为b 的槽。若要求保证槽底尺寸分别为1L 、2L 和3L 。试分别分析计算这三种不同尺寸要求的定位误差。 解：（1）首先计算V 形块定位外圆时的基准位置误差jw ? 在图3.26中，对刀基准是一批工件平均轴线所处的位置O 点，设定位基准为外圆的轴线，加工精度参数的方向与21O O 相同，则基准位置误差jw ?为图中O 1 点到O 2点的距离。在ΔO 1CO 2中，2 2212 α =∠= O CO T CO d ，，根据勾股定理求得 2 21sin 2α d jw T O O E = =?=? （2）分别计算图3.27三种情 况的定位误差 ①图a ）中1L 尺寸的定位误差 ②图b ）中2L 尺寸的定位误差 需要说明的是2L 尺寸定位误差dw ?的合成问即外圆直径的变化 题。由于jb ?和jw ?中都含有d T ，要判别二者合成时 同时引起jb ?和jw ?的变化，因而 的符号。当外圆直径由大变小时，设计基准相对定位基准向上偏移，而当此圆放入V 形块中定位时，因外圆直 径的变小，定位基准相对调刀基准是向下偏移的，二者变动方向相反。故设计基准相对对刀基准的位移是二者之差，即 ③图c ）中3L 尺寸的定位误差 与②类似，只是当外圆直径由大变小时jb ?和jw ?的变动方向相同，故jb ?和jw ?合成时应该相加，即 L 2 L 3 L 1 d T d -φ b 图3.27 V 形块定位外圆时定位误差的计算 图3.25 内键槽槽底尺寸定位误差计算 图3.26 V 形块定位外圆时 基准位置误差jw ?的计算 1—最大直径 2—平均直径 3—最小直径
定位误差分析与计算.
4．4 定位误差分析与计算 在机械加工过程中，使用夹具的目的是为保证工件的加工精度。那么，在设计定位方案时，工件除了正确地选择定位基准和定位元件之外，还应使选择的定位方式必须能满足工件加工精度要求。因此，需要对定位方式所产生的定位误差进行定量地分析与计算，以确定所选择的定位方式是否合理。 4．4．1 定位误差产生的原因和计算 造成定位误差Δ D的原因可分为性质不同的两个部分：一是由于基准不重合而产生的误差，称为基准不重合误差Δ B；二是由于定位副制造误差，而引起定位基准的位移，称为基准位移误差Δ Y。当定位误差Δ D≤1／3δK（δK为本工序要求保证的工序尺寸的公差）时，一般认为选定的定位方式可行。 (1 基准不重合误差的计算 由于定位基准与工序基准不重合而造成的工序基准对于定位基准在工序尺寸方向上的最大可能变化量，称为基准不重合误差，以ΔB表示。如图4.36所示的零件简图，在工件上铣一通槽，要求保证的工序尺寸为A、B、C，为保证B尺寸，工件用以K1面或以K2面来定位，都可以限制工件在B尺寸方向上的移动自由度。但两种定位方式的定位精度是不一样的。由于加工过程中，是采用夹具上定位件的定位表面为基准来对刀的。当以K1面为定位基准时， 如图 4.37（a）所示B就为确定刀具与夹具相互位置的对刀尺寸，在一批工件的加工过程中 B的位置是不变的。当以K2面为定位基准时，如图4.37（b）所示B′为确定刀具与夹具相互位置的对刀尺寸,由于工序基准是K1面，与K2面不重合。当一批工件逐个在夹具上定位时，受尺寸L±Δl的影响，工序基准K1面的位置是变动的，K1的变动影响工序尺寸B 的大小，给B造成误差。 由图 4.37(a可知ΔB=0 由图 4.37(b可知ΔB=Lmax-Lmin=2Δl （4.1）
最新定位误差计算解析
323 定位误差的分析与计算 在成批大量生产中，广泛使用专用夹具对工件进行装夹加工。加工工艺规程设计的工 序图则是设计专用夹具的主要依据。 由于在夹具设计、制造、使用中都不可能做到完美精确， 故当使用夹具装夹加工一批工件时， 不可避免地会使工序的加工精度参数产生误差， 定位误 差就是这项误差中的一部分。 判断夹具的定位方案是否合理可行， 夹具设计质量是否满足工 序的加工要求，是计算定位误差的目的所在。 1. 用夹具装夹加工时的工艺基准 用夹具装夹加工时涉及的基准可分为设计基准和工艺基准两大类。设计基准是指在设 计图上确定几何要素的位置所依据的基准； 工艺基准是指在工艺过程中所采用的基准。 与夹 具定位误差计算有关的工艺基准有以下三种： （1） 工序基准 在工序图上用来确定加工表面的位置所依据的基准。工序基准可简单 地理解为工序图上的设计基准。 分析计算定位误差时所提到的设计基准， 是指零件图上的设 计基准或工序图上的工序基准。 （2） 定位基准 在加工过程中使工件占据正确加工位置所依据的基准，即为工件与夹 具定位元件定位工作面接触或配合的表面。 为提高工件的加工精度，应尽量选设计基准作定 位基准。 （3） 对刀基准（即调刀基准） 由夹具定位元件的定位工作面体现的，用于调整加工 刀具位置所依据的基准。 必须指出，对刀基准与上述两工艺基准的本质是不同， 它不是工件 上的要素，它是夹具定位元件的定位工作面体现出来的要素（平面、轴线、对称平面等） 。 如果夹具定位元件是支承板，对刀基准就是该支承板的支承工作面。在图 3.3中，刀具的高 度尺寸由对导块 2的工作面来调整，而对刀块2工作面的位置尺寸 7.85土 0.02是相对夹具体 4的 上工作面（相当支承板支承工作面）来确定 的。夹具体 4的上工作面是对刀基准， 它确定了 刀具在高度方向的 位置，使刀具加工出来的槽底 位置符合设计的要求。图 3.3中，槽子两侧面对 称度的设计基准是工件上大孔的轴 线， 对刀基准 则为夹具上定位圆柱销的轴线。再如图 3.21所 示，轴套件以内孔定位， 在其上加工一直径为 0 d 的 孔，要求保证0 d 轴线到左端面的尺寸 L 1及 孔中心线对 内孔轴线的对称度要求。尺寸 L 1的 设计基准是工件左端面 A 对刀基准是定位心 轴的台阶面A ; 0 d 轴线对内孔轴线的对称度的 设计基准是内孔轴 线， 对刀基准是夹具定位心轴 2的轴线00。 2. 定位误差的概念 用夹具装夹加工一批工件时，由于定位不准 确引起 该批工件某加工精度参数（尺寸、位置） 的加工误差， 称为该加工精度参数的定位误差 （简称定位误差）。定位误差以其最大误差范围 来计 算，其值为设计基准在加工精度参数方向上 的最大变动 量，用."■：dw 表示。 a) b 图3.21 钻模加工时的基准分析
第1章 误差分析
第1章误差分析 利用计算机进行数值计算几乎全都是近似计算：计算机所能表示的数的个数是有限的，我们需要用到的数的个数是无限的，所以在绝大多数情况下，计算机不可能进行绝对精确的计算。 定义：设x *为某个量的真值，x为x *的近似值，称x *- x为近似值x的误差，通常记为e(x)，以表明它是与x有关的量。 与误差作斗争是时计算方法研究的永恒的主体，由于时间和经验的关系，我们仅对这方面的只是做一个最基本的介绍。1.1 误差的来源 误差的来源是多方面的，但主要来源为：描述误差，观测误差，截断误差和舍入误差。 1描述误差 为了便于数学分析和数值计算，人们对实际问题的数学描述通常只反映出主要因素之间的数量关系，而忽略次要因素的作用,由此产生的误差称为描述误差。对实际问题进行数学描述通常称为是建立数学模型，所以描述误差也称为是模型误差。 2观测误差 描述实际问题或实际系统的数学模型中的某些参数往往是通过实验观测得到的。由试验得到的数据与实际数据之间的误差称为观测误差。 比如我们用仪表测量电压、电流、压力、温度时，指针通常会落在两个刻度之间，读数的最后一位只能是估计值，从而也产生了观测误差。 3.舍入误差 几乎所有的计算工具，当然也包括电子计算机，都只能用一定数位的小数来近似地表示数位较多或无限的小数，由此产生的误差
称为舍入误差。 4.截断误差 假如真值x*为近似值系列{x n}的极限,由于计算机只能执行有限步的计算过程，所以我们只能选取某个x N作为x*的近似值，由此产生的误差称为截断误差。 我们可以通过函数的泰勒展式来理解截断误差：设f(x)可以在x=x0处展开为泰勒级数，记f N(x)为前N+1项的和，R N(x)为余项，如果用f N(x)近似表示f(x)，则R N(x)就是截断误差。 提示：在我们的课程中，重点是考虑尽可能减小截断误差，尽可能消除舍入误差的副作用。 1.2 误差基本概念 1.绝对误差与相对误差 定义：设x*为某个量的真值，x为x*的近似值，我们称|x*- x|为近似值x的绝对误差；称|x *- x|/|x*|为近似值x的相对误差。 注释：我们在实际进行误差分析时，所讨论的误差几乎全都是绝对误差，所以在口语中，我们也把绝对误差简称为误差。 提示：在实际应用中，我们通常是用|x *- x|/|x|来表示x的相对误差，这样会使得有关的计算和理论分析更简单一些。 2 误差限的概念 由于在绝大多数情况下我们无法确定出真值x*，所以近似值x 的误差、相对误差、以及绝对误差也都是无法确定的，但是我们总有办法估计出它们的范围。这就是误差限的概念。 定义设x为真值x* 的近似值: 若e>0满足条件|x*-x|≤e,则称e为x的绝对误差限（或误差限）；若e r>0满足条件|x*-x|/|x|≤e r,则称e r为x的相对误差限. 提示：由绝对误差限和相对误差限的定义可知，它们满足关系
定位误差分析计算综合实例
定位误差分析计算综合实例 定位误差的分析与计算，在夹具设计中占有重要的地位，定位误差的大小是定位方案能否确定的重要依据。为了掌握定位误差计算的相关知识，本小节将给出一些计算实例，抛砖引玉，以使学习者获得触类旁通、融会贯通的学习效果。 例3-3 如图所示，工件以底面定位加工孔内键槽，求尺寸h 的定位误差 解：（1）基准不重合误差求jb ? 设计基准为孔的下母线，定位基准为底平面，影响两者的因素有尺寸h 和h 1，故jb ?由两部分组成： φD 半径的变化产生2 D ? 尺寸h 1变化产生12h T ，所以 122 h jb T D +?= ? 底平面，对刀基准（2）基准位置误差jw ? 定位基准为工件为与定位基准接触的支承板的工作表面，不记形状误差， 则有 0=?jw 所以槽底尺寸h 的定位误差为 122 h dw T D +?= ? 例3-4 有一批直径为0 d T d -φ的工件如图所示。外圆已加工合格，今用V 形块定位铣宽度为b 的槽。若要求保证槽底尺寸分别为1L 、2L 和3L 。试分别分析计算这三种不同尺寸要求的定位误差。 解：（1）首先计算V 形块定位外圆时的基准位置误差jw ? 在图中，对刀基准是一批工件平均轴线所处的位置O 点，设定位基准为外圆的轴线，加工精度参数的方向与21O O 相同，则基准位置误差jw ?为图中O 1点到O 2点的距离。在ΔO 1CO 2中，2 2212α =∠= O CO T CO d ，，根据勾股定理求得 《 2 21sin 2α d jw T O O E = =?=? （2）分别计算图三种情况的 定位误差 ①图a ）中1L 尺寸的定位误差 2 )(2 sin 2sin 20 1αα d L dw d jw jb T T E B = ?= ?=?=?=? $ L 2 L 3 L 1 0d T d -φb 图 V 形块定位外圆时定位误差的计算 图 内键槽槽底尺寸定位误差计算 @ 图 V 形块定位外圆时基准 位置误差jw ?的计算 1—最大直径 2—平均直径 3—最小直径 B A α/ 2 1 C 3 2 @ O O
数值分析第一章实验 误差分析
1. 计算1 1 n x n I e x e dx -=? (n=0,1,2,……)并估计误差。 由分部积分可得计算n I 的递推公式 1111 01,1,2,e 1.n n x I nI n I e dx e ---=-=???==-???……. （1） 若计算出0I ，代入（1）式，可逐次求出 1 2,,I I … 的值。要 算出0I 就要先算出1e -，若用泰勒多项式展开部分和 21 (1)(1)1(1),2!! k e k ---≈+-+++ … 并取k=7,用4位小数计算，则得10.3679e -≈，截断误差 14711 |0.3679|108!4 R e --=-≤
从表1中看到8I 出现负值，这与一切0n I >相矛盾。实际上，由积分估值得 111110001011 (im )(max)11 x n n n x x e e m e x dx I e x dx n n ---≤≤≤≤=<<=++?? （2） 因此，当n 较大时，用n I 近似n I 显然是不正确的。这里计算公式与每步计算都是正确的，那么是什么原因合计算结果出现错误呢？主要就 是初值0I 有误差000E I I =- ，由此引起以后各步计算的误差n n n E I I =- 满足关系 1,1,2,n n E nE n -=-=…. 由此容易推得 0(1)!n n E n E =-， 这说明0I 有误差0E ，则n I 就是0E 的n!倍误差。例如，n=8，若 4 01||102 E -= ?，则80||8!||2E E =?>。这就说明8I 完全不能近似8I 了。它表明计算公式（A ）是数值不稳定的。 我们现在换一种计算方案。由（2）式取n=9,得 1911010 e I -<<， 我们粗略取1 *9911()0.068421010 e I I -≈+==，然后将公式（1）倒过来算，即 由*9I 算出*8I ，*7I ，…，* 0I ，公式为 * 9** 10.0684()1(1),98n n I B I I n n -?=? =?=-=?? ， ，…，1； 计算结果见表1的*n I 列。我们发现* 0I 与0I 的误差不超过410-。记
第一章误差分析的基本概念
第一章 误差分析的基本概念 § 1误差的来源 1. 误差概念:精确值与近似值之差称为误差，也叫绝对误差。 2. 产生误差的主要原因 ① 模型误差：在解决实际问题时，在一定条件下抓住主要因素将现实系统理想化的数学描述称为实 际问题的数学模型，这种数学描述常常是近似的，数学模型与实际系统之间存在误差，这种误差称为模 型误差。 ② 观测误差：数学模型中往往含有一些由观测得到的物理量（如温度、电阻、长度）或由物理量估 算出的模型参数，这些观测物理量或模型参数常常与实际数据存在误差。这种由观察产生的误差称为观 测误差。 ③ 截断误差：数值计算中用有限运算近似代替无穷过程产生的误差。例如计算一个无穷次可微函数 的函数值时，理论上只要能算出这个函数的泰勒级数值即可，但是实际工程上仅用泰勒级数中前面有限 项来近似计算函数值，而舍去高阶无穷小量。这个被舍的高阶无穷小量正是截断误差。 ④ 舍入误差：计算中按四舍五入进行舍入而引起的误差或因计算机字长有限，数据在内存中存放时 进行了舍入而引起的误差。 3. 举例说明 例1设一根铝棒在温度t 时的实际长度为L t ,在t=0 C 时的实际长度为 L o ,用i t 来表示铝棒在温度为 t 时的长度计算值，并建立一个数学模型： I t L °（1「.t ）,其中a 是由实验观察得到的 常数:-二 （0.0000238 ± 0.0000001 ） 1/ C,称L t —I t 为模型误差，0.0000001/ C 是a 的观测误差。这个问题中模型 误差产生的原因是：实际上 L t 与t 2有微弱关系，也就是说模型未能完全反映物理过程。 为了计算近似值，可取前面有限项计算?如取前面五项计算，计算过程中与计算结果都取五位小数得 e ~ 1+1 + 1/2+1/6+1/24疋2.7083, e 取五位小数时的准确值为 ~ =2.71828，于是截断误差为： □0 ' —:2.71828 -2.7083 = 0.00995 n 总 n ! 这表明：只要在计算中采用了有限步运算近似代替无限步运算的方法，截断误差就一定存在。 例3. n =3.1415926, ; 、2 =1.41421356,，在计算机上运算时只能用有限位小数，如果我们取小数 点后四位小数则： 几=n -3.1416 =-0.0000074 , ; ?2 2 -1.4142=0.00001 3 ,就是舍入误差。另外值得 一提的是十进制数转化为二进制数时有时也引起循环小数，因计算机上浮点数存储位数限制而舍弃尾部部 分小数，如 0.1 10 = 0.0001100110 011……2存储时会引起舍入误差。这个数制转化问题表明：只要计 算机内部采用二进制运算，无论计算机发展的多完善，这个舍入误差理论问题永远存在。 总的来说，误差一般有：模型误差；观测误差；截断误差；舍入误差。在计算方法这门课程中，截断 误差和舍入误差是误差的主要研究对象，讨论它们在计算过程中的传播和对计算结果的影响，并找出误差 的上下界，对分析和改进算法都有重大的实际意义。 § 2 绝对误差相对误差有效数字 定义1:设x 为准确数，x *为x 的近似值，记e * =x-x *称e *为x 与x *的误差，也叫x 与x *的绝对 误差。显然，x= x * + e *即近似值加误差就是准确值，因此把 e *也叫做近似值 x *的修正值，或者说近 似值加上修正值就是准确值。 误差可正可负，且有量纲单位，当误差为负时，近似值偏大，叫做“强近似” ，当误差为正时，近似 值偏小，叫做 “弱近似” 例2已知e x 在x=0处展开的泰勒级数为: QO n -0 n X n!
第一章 试验数据的误差分析.
第一章试验数据的误差分析 （I）教学内容与要求 （1）了解真值的基本概念，理解平均值的表示方法； （2）理解误差的基本概念及表示方法； （3）理解试验数据误差的来源及分类； （4）理解描述试验数据的精准度的三个术语：精密度、正确度和准确度； （5）理解随机误差的估计方法，理解秩和检验法在系统误差检验中的应用，掌握可疑数据的取舍规则； （6）理解有效数字的含义、有效数字的运算； （7）掌握误差的传递的基本原理； （8）了解Excel在误差分析中的应用。 （II）教学重点 可疑数据的取舍规则，误差的传递。 （III）教学难点 误差的传递。 通过实验测量所得的大批数据是实验的初步结果，但在实验中由于测量仪表和人的观察等方面的原因，实验数据总存在一些误差，即误差的存在是必然的，具有普遍性的。因此，研究误差的来源及其规律性，尽可能地减小误差，以得到准确的实验结果，对于寻找事物的规律，发现可能存在的新现象是非常重要的。 误差估算与分析的目的就是评定实验数据的准确性，通过误差估算与分析，可以认清误差的来源及其影响，确定导致实验总误差的最大组成因数，从而在准备实验方案和研究过程中，有的放矢地集中精力消除或减小产生误差的来源，提高实验的质量。 目前对误差应用和理论发展日益深入和扩展，涉及内容非常广泛，本章只就化工基础实验中常遇到的一些误差基本概念与估算方法作一扼要介绍。 1.1 实验数据的真值和平均值 1.1.1真值 真值是指某物理量客观存在的确定值。对它进行测量时，由于测量仪器、测量方法、环境、人员及测量程序等都不可能完美无缺，实验误差难于避免，故真值是无法测得的，是一个理想值。在分析实验测定误差时，一般用如下方法替代真值： (1)实际值是现实中可以知道的一个量值，用它可以替代真值。如理论上证实的值，像平面三角形内角之和为180°；又如计量学中经国际计量大会决议的值，像热力学温度单位—绝对零度等于－273.15K；或将准确度高一级的测量仪器所测得的值视为真值。 (2)平均值是指对某物理量经多次测量算出的平均结果，用它替代真值。当然测量次数无限多时，算出的平均值应该是很接近真值的，实际上测量次数是有限的（比如10次），所得的平均值只能说是近似地接近真值。 1.1.2 平均值 在化工领域中，常用的平均值有下面几种： (1)算术平均值 这种平均值最常用。设、、…、代表各次的测量值，代表测量次数，则算术平均值为
定位误差分析与计算(一)
定位误差分析与计算（一） 在机械加工过程中，使用夹具的目的是为保证工件的加工精度。那么，在设计定位方案时，工件除了正确地选择定位基准和定位元件之外，还应使选择的定位方式必须能满足工件加工精度要求。因此，需要对定位方式所产生的定位误差进行定量地分析与计算，以确定所选择的定位方式是否合理。 1 定位误差产生的原因和计算 造成定位误差ΔD的原因可分为性质不同的两个部分：一是由于基准不重合而产生的误差，称为基准不重合误差Δ B；二是由于定位副制造误差，而引起定位基准的位移，称为基准位移误差Δ Y。当定位误差Δ D≤1／3δK（δK为本工序要求保证的工序尺寸的公差）时，一般认为选定的定位方式可行。 (1) 基准不重合误差的计算 由于定位基准与工序基准不重合而造成的工序基准对于定位基准在工序尺寸方向上的最大可能变化量，称为基准不重合误差，以ΔB表示。如图4.36所示的零件简图，在工件上铣一通槽，要求保证的工序尺寸为A、B、C，为保证B尺寸，工件用以K1面或以K2面来定位，都可以限制工件在B尺寸方向上的移动自由度。但两种定位方式的定位精度是不一样的。由于加工过程中，是采用夹具上定位件的定位表面为基准来对刀的。当以K1面为定位基准时， 如图 4.37（a）所示B就为确定刀具与夹具相互位置的对刀尺寸，在一批工件的加工过程中 B的位置是不变的。当以K2面为定位基准时，如图4.37（b）所示B′为确定刀具与夹具相互位置的对刀尺寸,由于工序基准是K1面，与K2面不重合。当一批工件逐个在夹具上定位时，受尺寸L±Δl的影响，工序基准K1面的位置是变动的，K1的变动影响工序尺寸B的大小，给B造成误差。 由图 4.37(a)可知ΔB=0 由图 4.37(b)可知ΔB=Lmax-Lmin=2Δl （4.1）
第一章_误差与范数
第一章数值计算中的误差分析 数值计算方法(也称计算方法，数值方法)：是研究科学与工程技术中数学问题的数值解及其理论的一个数学分支，它的涉及面很广，涉及代数、微积分、微分方程数值解等问题。 ●数值计算方法的主要任务：研究适合于在计算机上使 用的数值计算方法及与此相关的理论，如方法的收敛性、稳定性以及误差分析等，此外，还要根据计算机的特点研究计算时间最短、需要计算机内存最少等计算方法问题． ●数值计算主要过程：实际问题→建立数学模型→设计 高效、可靠的数值计算方法→程序设计→上机计算求出结果。 ●数值计算方法不同于纯数学：它既具有数学的抽象性 与严格性，又具有应用的广泛性与实际试验的技术性，它是一门与计算机紧密结合的实用性很强的有着自身研究方法与理论系统的计算数学课程。 ●数值计算方法的特点：应提供能让计算机直接处理的， 包括加减乘除运算和逻辑运算及具有完整解题步骤的，切实可行的有效算法与程序，它可用框图、算法语言、数学语言或自然语言来描述，并有可靠的理论分析，能逼近且达到精度要求，对近似算法应保证收敛性和数值稳定性、进行必要的误差分析。此外，还要注意算法能否在计算机上实现，应避免因数值方法选用不当、程序设计不合理而导致
超过计算机的存贮能力，或导致计算结果精度不高等． 根据“数值计算”的特点，首先应注意掌握数值计算方法的基本原理和思想，注意方法处理的技巧及其与计算机的密切结合，重视误差分析、收敛性及稳定性的基本理论；其次还要注意方法的使用条件，通过各种方法的比较，了解各种方法的异同及优缺点。
§1.1 误差的来源 在数值计算过程中，估计计算结果的精确度是十分重要的工作，而影响精确度的因素是各种各样的误差，它们可分为两大类：一类称为“过失误差”，它一般是由人为造成的，这是可以避免的，故在数值计算中我们不讨论它；而另一类称为“非过失误差”，这在“数值计算”中往往是无法避免的，也是我们要研究的。 按照它们的来源，误差可分为以下四种：模型误差、观测误差、截断误差、舍入误差。 1．模型误差 用数值计算方法解决实际问题时，首先必须建立数学模型。由于实际问题的复杂性，在对实际问题进行抽象与简化时，往往为了抓住主要因素而忽略了次要因素，这就会使得建立起来的数学模型只是复杂客观现象的一种近似描述，它与实际问题之间总会存在一定的误差．我们把数学模型与实际问题之间出现的这种误差称为模型误差。 2．观测误差 在数学模型中往往包含一些由观测或实验得来的物理量，由于工具精度和测量手段的限制，它们与实际量大小之间必然存在误差，即称为观测误差。 3．截断误差 由实际问题建立起来的数学模型，在很多情况下要得到准确解是困难的，通常要用数值方法求出它的近似解。例如常用有限过程逼近无限过程，用能计算的问题代替不能计算的问题。这种
定位误差分析计算
定位误差分析计算 所谓定位误差，是指由于工件定位造成的加工面相对工序基准的位置误差。因为对一批工件来说， 刀具经调整后位置是不动的，即被加工表面的位置相对于定位基准是不变的，所以定位误差就是工序 基准在加工尺寸方向上的最大变动量。 ㈠引言 ①△总≤δ其中△总为多种原因产生的误差总和，δ是工件被加工尺寸的公差，△总包括夹具在机床上的装夹误差，工件在夹具中的定位误差和夹紧误差，机床调整误差，工艺系统的弹性变形和热变形误差，机床和刀具的制造误差及磨损误差等。 ②△定+ω≤δ 其中，ω除定位误差外，其他因素引起的误差总和，可按加工经济精度查表确定。 所以由①和②知道：△定≤δ-ω（是验算加工工件合格与否的公式） 或者：△定≤1/3δ（也是验算加工工件合格与否的公式） ㈡定位误差的组成 1、定义：定位误差是工件在夹具中定位，由于定位不准造成的加工面相对于工序基准沿加工要求方向上的最大位置变动量。 2、定位误差的组成： 1) 定位基准与工序基准不一致所引起的定位误差，称基准不重合误差，即工序基准相对定位基准在加工尺寸方向上的最大变动量，以△不表示。图示零件，设e面已加工好，今在铣床上用调整法加工f面和g面。在加工f面时若选e面为定位基准，则f面的设计基准和定位基准都是e面，基准重合，没有基准不重合误差，尺寸A的制造公差为TA。加工g 面时，定位基准有两种不同的选择方案，一种方案（方案Ⅰ）加工时选用f面作为定位基准，定位基准与设计基准重合，没有基准不重合误差，尺寸B的制造公差为TB；但这种定位方式的夹具结构复杂，夹紧力的作用方向与铣削力方向相反，不够合理，操作也不方便。另一种方案（方案Ⅱ）是选用e面作为定位基准来加工g面，此时，工序尺寸C是直接得到的，尺寸B是间接得到的，由于定位基准e与设计基准f不重合而给g面加工带来的基准不重合误差等于设计基准f面相对于定位基准e面在尺寸B方向上的最大变动量TA。 定位基准与设计基准不重合时所产生的基准不重合误差，只有在采用调整法加工时才会产生，在试切法加工中不会产生。 基准不重合误差分析示例 2)定位基准面和定位元件本身的制造误差所引起的定位误差，称基准位置误差，即定位基准的相对位置在加工尺寸方向上的最大变动量，以△基表示。故有：
定位误差分析计算综合实例
定位误差分析计算综合实例 定位误差的分析与计算， 在夹具设计中占有重要的地位， 定位误差的大小是定位方案能否确定的重要依据。 为了掌握定位误差计算的相关知识，本小节将给出一些计算实例，抛砖引玉，以使学习者获得触类旁通、融会 贯通的学习效果。 例3-3 如图3.25所示，工件以底面定位加工孔内键槽，求尺寸 解: ( 1) 和h i ，故厶j b h 的定位误差？ 基准不重合误差求.jb 设计基准为孔的下母线，定位基准为底平面，影响两者的因素有尺寸 由两部分组成： 0 D 半径的变化产生卫 2 尺寸h 1变化产生2T h 1，所以 D —2T h 1 (2)基准位置误差 3 O a / 2 2 ■"■=jw 定位基准为工件 为与定位基准接触 面，不记形状误差， 也 jw =0 底平面，对刀基准 的支承板的工作表 则有 所以槽底尺寸h 的定位误差为 例3-4 有一批直径为 d ； A iD --dw 2T h, 2 的工件如图3.27所示。外圆已加工合格，今用 V 形块定位铳宽度为 b 的槽。若要求保证槽底尺寸分别为 L 1、L 2和L 3。试分别分析 计算这三种不同尺寸要求的定位误差。 解：(1)首先计算V 形块定位外圆时的基准位置误差 图3.26 V 形块定位外圆时 基准位置误差一的计算 -■ jw 1—最大直径2 —平均直径 3—最小直径 八jw 在图3.26中，对刀基准是一批工件平均轴线所处的位置 O 点，设定位基准为 外圆的轴线，加工精度参数的方向与 O 1O 2相同，则基准位置误差 jw 为图中 O 1 点到02点的距离。在 △ O 1CO 2中，CO 2 Ct —C0102 ，根据勾股定理求 2 T d 2sinf (2)分别计算图3.27三种情 ①图a )中L i 尺寸的定位误 ■\w =.E Td . 2s in 号 T d Ct 2 图3.27 V 形块定位外圆时定位误差的计算 况的定位误差 ②图b )中L 2尺寸的定位误差
第一章误差分析的基本概念
第一章 误差分析的基本概念 §1 误差的来源 1． 误差概念 ：精确值与近似值之差称为误差，也叫绝对误差。 2． 产生误差的主要原因 ① 模型误差：在解决实际问题时，在一定条件下抓住主要因素将现实系统理想化的数学描述称为实际问题的数学模型，这种数学描述常常是近似的，数学模型与实际系统之间存在误差，这种误差称为模型误差。 ② 观测误差：数学模型中往往含有一些由观测得到的物理量（如温度、电阻、长度）或由物理量估算出的模型参数，这些观测物理量或模型参数常常与实际数据存在误差。这种由观察产生的误差称为观测误差。 ③ 截断误差：数值计算中用有限运算近似代替无穷过程产生的误差。例如计算一个无穷次可微函数的函数值时，理论上只要能算出这个函数的泰勒级数值即可，但是实际工程上仅用泰勒级数中前面有限项来近似计算函数值，而舍去高阶无穷小量。这个被舍的高阶无穷小量正是截断误差。 ④ 舍入误差：计算中按四舍五入进行舍入而引起的误差或因计算机字长有限，数据在内存中存放时进行了舍入而引起的误差。 3.举例说明 例1 设一根铝棒在温度t 时的实际长度为L t ,在 t=0℃时的实际长度为L 0,用t l 来表示铝棒在温度为t 时的长度计算值，并建立一个数学模型：)t (L l t α+=10,其中α是由实验观察得到的常数 =α（0.0000238±0.0000001）1/℃，称t t l L -为模型误差，0.0000001/℃是α的观测误差。这个问题中模型误差产生的原因是：实际上t L 与t 2 有微弱关系，也就是说模型未能完全反映物理过程。 例2 已知x e 在 x=0 处展开的泰勒级数为：∑ ∞ == n n x ! n x e 为了计算近似值,可取前面有限项计算.如取前面五项计算,计算过程中与计算结果都取五位小数得e ≈ 1+1+1/2+1/6+1/24≈2.7083，e 取五位小数时的准确值为e ~ =2.71828，于是截断误差为: 0099507083271828 21 5 ...!=-≈∑∞ =n n 这表明：只要在计算中采用了有限步运算近似代替无限步运算的方法，截断误差就一定存在。 例3.π=3.1415926…；2=1.41421356…，在计算机上运算时只能用有限位小数，如果我们取小数点后四位小数则：1ρ=π-3.1416 =-0.0000074…；2ρ=2-1.4142=0.000013…就是舍入误差。另外值得一提的是十进制数转化为二进制数时有时也引起循环小数，因计算机上浮点数存储位数限制而舍弃尾部部分小数，如 ()()2100110001100110.01.0??????=存储时会引起舍入误差。这个数制转化问题表明：只要计算机内部采用二进制运算，无论计算机发展的多完善，这个舍入误差理论问题永远存在。 总的来说，误差一般有：模型误差；观测误差；截断误差；舍入误差。在计算方法这门课程中，截断误差和舍入误差是误差的主要研究对象，讨论它们在计算过程中的传播和对计算结果的影响，并找出误差的上下界，对分析和改进算法都有重大的实际意义。 §2 绝对误差 相对误差 有效数字 定义1：设x 为准确数，*x 为x 的近似值，记e *=x-x * 称e *为x 与x * 的误差，也叫x 与x *的绝对误差。显然，x= x *+ e * 即近似值加误差就是准确值，因此把e *也叫做近似值x *的修正值，或者说近似值加上修正值就是准确值。 误差可正可负，且有量纲单位，当误差为负时，近似值偏大，叫做“强近似”，当误差为正时，近似值偏小，叫做“弱近似”。