2021届江西省赣中南五校高三下学期2月第一次联考理科数学试卷
江西省重点中学协作体(鹰潭一中、上饶中学等)2021届高三下学期第一次联考数学(理)试题
江西省重点中学协作体2021届高三第一次联考数学(理)试卷考试时间：120分钟分值：150分一､选择题：本题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{0,1,2,3}A =，集合{}2|B x x x ==，则A B =（ ） A. {0,1,2.3} B. {1,0,1}-C. {1.2}D. {0,1}D利用集合交集的定义计算即可．{}{}2|0,1B x x x ===，则{}0,1A B =故选：D2. 已知复数511i z i-=+，z 的虚部是（ ）A. 1-B. i -C. 1D. iC利用复数的乘方和除法法则化简复数z ，利用共轭复数的概念以及复数的概念可得出复数z 的虚部.()()()25111211112i i ii z i i i i i ----=====-+++-，z i ∴=，因此，z 的虚部是1.故选：C.3. 已知1::P p a≤1，2:10q a -≥则P 是q 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件B根据题意，化简,p q ，即可利用集合之间的关系，判定得到结论.1:p a≤1，化简可得:0p a <或1a ≥， 2:10q a -≥，化简可得:1q a ≤-或1a ≥，由{|1a a ≤-或1}a ≥ {|0a a <或1}a ≥， 可知,pq q p ⇒，故p 是q 的必要不充分条件，故选：B方法点睛：判断充要条件的方法是：①若p ⇒q 为真命题且q ⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的充分不必要条件； ②若p ⇒q 为假命题且q ⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的必要不充分条件； ③若p ⇒q 为真命题且q ⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的充要条件；④若p ⇒q 为假命题且q ⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的即不充分也不必要条件． ⑤判断命题p 与命题q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p 与命题q 的关系．4. sin155sin35cos25cos35︒︒-︒︒=（ ）A. B. 12-C.12B根据诱导公式，以及两角和的余弦公式直接化简，即可得出结果.sin155sin35cos25cos35sin 25sin35cos25cos35︒︒-︒︒=︒︒-︒︒()1cos 2535cos602=-︒+︒=-︒=-.故选：B.关键点点睛：该题主要考查利用两角和的余弦公式化简求值，涉及诱导公式，正确解题的关键是熟练掌握公式.5. 在6()2x y x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中，25x y 的系数是（ ）A. 20B.152C. 12-D. 252-C将原式变形为666()()()22x x y x y x y y x y =⎛⎫-++-+ ⎪⎝⎭，再根据6()x y +的展开式的通项公式616rr r r T x y C -+=，分别令=5r ， 4r =求解.666()()()22x x y x y x y y x y =⎛⎫-++-+ ⎪⎝⎭， 6()x y +的展开式的通项公式为616rr r r T x y C -+=，令=5r 时，25x y 的系数是56123C =； 令4r =时，25x y 的系数是4615C =--，所以6()2x y x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中，25x y 的系数是3-15=-12，故选：C6. “干支纪年法”是我国历法的一种传统纪年法，甲､乙､丙､丁､戊､己､庚､辛､壬､癸被称为“十天干”；子､丑､寅､卯､辰､巳､午､未､申､酉､戌､亥叫做“十二地支”“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子､乙丑､丙寅……癸酉；甲戌､乙亥､丙子…癸未；甲申､乙酉､丙戌…癸巳；…，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽．2021年是“干支纪年法”中的辛丑年，那么2121年是“干支纪年法”中的（ ） A. 庚午年 B. 辛未年C. 庚辰年D. 辛巳年D根据“干支纪年法”的规则判断．2021年是辛丑年，则2081年是辛丑年，天干10个一循环，地支12个一循环，2082年到2121年共40年，天干正好又是辛，因为40除以12的余数为4，故地支为丑后的第四个巳，因此2021年是辛巳年．故选：D ．7. 已知|1|3()5x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则下列不等关系正确的是（ ）A. ()()20.5log 71 2.5(1)f f f <∞<B. ()()0.52log 2.5log 7(1)f f f <<C. ()()0.52(1)log 2.5log 7f f f <<D. ()()20.5(1)log 7log 2.5f f f <<B根据|1|3()5x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，分别求得()()0.52log 2.5,log 7,(1)f f f ，再利用35xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上递减求解.因为|1|3()5x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()0.50.50.50.5|log 2.51||log 2.51|og 5og 0502..3333log 2.55555l l f ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪ ⎪===⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()22|log 71|log 2 3.533log 755f -=⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，03(1)5f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又因为0.50.5222log 0.2log 0.252,1log 2log 3.5log 42>==<<=，所以0.52log 0.2log 3.50>>，又35xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上递减，所以0.52og log00.2 3.5333 555 l⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎝<⎭⎭<，即()()0.52log 2.5log7(1)f f f<<，故选：B8. 若函数sin23y xπω⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位后与函数cos2y xω=的图象重合，则ω的值可能为（）A. 1-B. 2-C.12- D.14-C写出平移的函数解析式，根据诱导公式求得ω的表达式，比较可得．函数sin23y xπω⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位后得图象的解析式为1sin2()sin2633y x xππωωωπ-⎡⎤⎛⎫=-+=-⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，它与cos2y xω=相同，则1232kωπππ--=+，16,2k k Zω=--∈，只有C满足．故选：C．9. 如图ABCDEF为五面体，其中四边形ABCD为矩形，//EF AB，3332AB EF AD===，ADE和BCF△都是正三角形，则该五面体的体积为（）A.23B.232 D.322A把该五面体分割为两个等体积的四棱锥和一个直三棱柱，结合棱锥和棱柱的体积公式，即可求解.过点F作FO⊥平面ABCD，垂足为O，取BC的中点P，连接PF，过点F作FQ AB⊥，垂足为Q，连接OQ，交CD于G，得到四棱锥F BCGQ-，同理得到四棱锥E ADMN-，可得F BCGQ E ADMNV V--=，如图所示，因为ADE 和BCF △都是边长为2的等边三角形，所以11()1,3,122OP AB EF PF OQ BC =-====，可得222OF PF OP =-=，所以112212233E ADMN F BCGQ BCGQ V V S OF --==⋅=⨯⨯⨯=，中间部分三棱柱FGQ EMN -为直三棱柱， 其体积为 122122FGQ EMN FGQV SEF -=⨯=⨯⨯⨯=， 所以该五面体的体积为22722233FGQ EMN E ADMN F BCGQ V V V V ---=+==+⨯=.故选：A.求空间几何体的表面积与体积的求法：（1）公式法：对于规则的几何体的表面积和体积，可直接利用公式进行求解；（2）割补法：把不规则的图形分割成规则的图形，然后进行体积的计算，或不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算；（3）等体积法：等体积法也称积转化或等积变形，通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决锥体的体积，特别时三棱锥的体积.10. 在三角形ABC 中，E ､F 分别为AC ､AB 上的点，BE 与CF 交于点Q 且2AE EC →→=，3AF FB →→=，AQ 交BC 于点D ，AQ QD λ→→=，则λ的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6C由题得2(1)3AQ x AB x AC →→→=+-，3(1)4AQ y AC y AB →→→=+-，求出,x y 的值，再根据1+123AD AB AC λλλλ→→→+=+，,,B D C 共线，得解.因为,,B Q E 三点共线，所以2(1)(1)3AQ x AB x AE x AB x AC →→→→→=+-=+-,因为,,C Q F 三点共线，所以3(1)(1)4AQ y AC y AF y AC y AB →→→→→=+-=+-,所以3(1)114,.223(1)3x y x y y x ⎧=-⎪⎪∴==⎨⎪=-⎪⎩， 所以11=,231AQ AB AC AD λλ→→→→=++ 所以1+123AD AB AC λλλλ→→→+=+， 因为,,B D C 共线， 所以1+11,523λλλλλ++=∴=.故选：C 结论点睛：如果,,A B C 三点共线，则1212(1)OA OB OC λλλλ→→→=++=，要根据已知条件灵活运用这个结论解题.11. 已知A ．B ．C 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的三个点，AB 经过原点O ，AC 经过右焦点F ，若BF AC ⊥且3||||AF CF =，则该双曲线的离心率是（ ）A. B.53C.D.94A根据题意，连接','AF CF ，构造矩形'FAF B ；根据双曲线定义表示出各个边长，由直角三角形勾股定理求得a c 、的关系，进而求出离心率． 设左焦点为'F ，AF m =，连接','AF CF ，则3FC m = ，'2AF a m =+ ，'23CF a m =+，'2FF c =， 因为BF AC ⊥，且AB 经过原点O ， 所以四边形'FAF B 为矩形，在Rt △'AF C 中，222'+'AF AC F C =， 将边长代入得()()()2222+4=23a m m a m ++， 化简得m a =，所以在Rt △'AF F 中，222'+'AF AF F F =，代入边长得()()()22222a a a c ++=化简得2252c a =，即10e ，故选：A.关键点点睛：该题考查的是有关双曲线的离心率的求解问题，根据题意画出草图，分析出'FAF B 为矩形是解题关键，然后根据垂直和已知边长关系及双曲线定义写出每条线段长度，最后借助勾股定理形成等式求解离心率即可.12. 设k 、b R ∈，若关于x 的不等式()ln 1x x k x b +≤++在()0,∞+上恒成立，则221k b k +--的最小值是（ ） A. 2e - B. 11e -+ C. 1e -+ D. 1e --C令()()ln 1f x x x k x =+-+，分析得出()max b f x ≥，分1k ≤、1k >两种情况讨论，可得出()()max ln 11f x k k =----，进而可得出()ln 1222111k k b k k -++-≥---，令10t k =->，利用导数求出函数()ln 21t g t t+=-的最小值，即可得解. 令()()ln 1f x x x k x =+-+，则()f x b ≤对任意的()0,x ∈+∞恒成立，所以，()max b f x ≥. ①当1k ≤时，()110f x k x'=+->，函数()f x 在()0,∞+上单调递增，函数()f x 无最大值，不合乎题意；②当1k >时，令()0f x '=，可得11x k =-. 当101x k <<-时，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增， 当11x k >-时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减， 所以，()()max 1111ln 1ln 111111f x f k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫==+-+=---- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭， 即()ln 11b k k ≥----，()()ln 11ln 12222211111k k k k b bk k k k -++-++-∴=+≥-=-----，设10t k =->，令()ln 21t g t t +=-，则()2ln 1t g t t+'=， 当10<<t e 时，()0g t '<，此时函数()g t 单调递减，当1t e>时，()0g t '>，此时函数()g t 单调递增.所以，()min 11g t g e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，因此，221k b k +--的最小值是1e -.故选：C.结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤； （2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥； （3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤； （4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥.二､填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分13. 已知实数x ，y 满足约束条件222440x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩，则3z x y =-的最大值为_____．10作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解．作出可行域，如图ABC 及其内部（含边界），其中()0,1A ，()2,0B ，()4,2C ，作直线30x y -=，由3z x y =-得3y x z =-，直线向下平移时截距减小，z 增大， 当直线l 过()4,2C 时，max 34210z =⨯-=， 故答案为：10.14. 已知函数()f x 是奇函数，当0x <时，()sin 1f x x =-，则函数() f x 在2x π=处的切线方程为_____．2y =先求出切线的斜率，再求出切线的方程.详解】当0x <时，()=cos f x x '，所以()=cos()022f ππ'--=，因为函数是奇函数，所以对称点处的导数相同，所以()()=022f f ππ''=-，所以切线的斜率为0，又因为()()[sin()1]2222f f πππ=--=---=， 所以切线方程为2y =. 故答案为：2y =结论点睛：曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-，这个结论要理解记住并熟练利用.15. 过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 的直线l 与C 相交于A.B 两点，且A.B 两点在准线上的射影分别为M.N ，AFM △的面积与BFN 的面积互为倒数，则MFN △的面积为_____． 2根据题意，画出图形，结合抛物线的定义以及三角形的面积公式，根据题中所给的条件，列出等量关系，求得结果.【详解】设,,MAF AF a BF b θ∠===，由抛物线定义可得,AM a BN b ==， 且180********AFM BFN ︒-∠+︒-∠=︒，故90AFM BFN ∠+∠=︒， 故90MFO NFO ∠+∠=︒即MF NF ⊥.设MAF θ∠=，则由余弦定理得222(1cos )MF a θ=-，222(1cos )NF b θ=+，2211sin ,sin 22MAFNBFSa Sb θθ== 因为AFM △的面积与BFN 的面积互为倒数，所以有2211sin sin 122a b θθ⋅=，即222sin 4a b θ=，所以2222221()()sin 44MFN S MF NF a b θ===，所以MFN △的面积为2， 故答案：2.关键点点睛：该题考查的是有关抛物线中的三角形的面积的求解问题，正确解题的关键是熟练掌握抛物线的定义，得到其相应的性质.16. 在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，//,AB CD AB AD ⊥，22CD AD AB ===，若动点Q 在平面P AD 内运动，使得CQD ∠与BQA ∠相等，则三棱锥- Q ACD 的体积最大时的外接球的体积为_____． 40103π 根据题意推出AB QA ⊥，CD QD ⊥，再根据CQD BQA ∠=∠推出2QD AQ =，在平面PDA 内，建立直角坐标系求出Q 点轨迹是圆22(3)8x y -+=，从而可求出点Q 到DA 的距离最大为22，即三棱锥 - Q ACD 的高的最大值为22，再寻找三棱锥的外接球球心，计算球半径，进而计算球的体积即得结果.因为PA ⊥平面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD ，因为//AB CD ，AB ⊥AD ，所以AB ⊥平面PAD ，CD ⊥平面PAD ， 因为Q 在PAD △内及边上，所以QA 、QD 在平面PAD 内， 所以AB QA ⊥，CD QD ⊥， 所以在Rt CDQ △内，tan CD CQD DQ ∠=，在Rt ABQ △内，tan ABBQA QA=，因为CQD BQA ∠=∠，所以CD AB DQ QA=，因为2,2CD AB ==， 所以2QD AQ=，在平面PDA 内，以DA 的中点为原点O ，线段DA 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系： 则(1,0)D -，(1,0)A ，设(,)P x y ，则22||(1)DQ x y =++，22||(1)QA x y =-+，由2QD AQ =得2222(1)2(1)x y x y ++=⋅-+，化简得22(3)8x y -+=， 所以动点Q 在平面P AD 内运动，Q 点轨迹是圆22(3)8x y -+=，如图所示，当Q 在过圆心的垂线时点Q 到DA 的距离最大为半径22，也就是三棱锥Q ACD -的高的最大值为22，下面的计算不妨设点Q 在x 轴上方，QAD 外接圆圆心在DA 中垂线上，即y 轴上，设外接圆圆心N ，半径r ，则2sin DQr DAQ=∠，而22,2,4QS AS DS ===，故()()222222223,42226AQ DQ =+==+=，222sin sin 233QS DAQ QAS AQ ∠=∠===，所以32266sin 2DQ r DAQ ==⨯=∠，故3AN r ==，则223122ON =-=.如图三棱锥Q ACD -，CD ⊥平面PAD ，2CD AD ==，ACD △的外接圆圆心在斜边中点M 上，过M ，N 作平面ACD 和平面QAD 的垂线，交于点I ，即是三棱锥外接球球心，因为12,222DM AC IM ON ====， 所以三棱锥Q ACD -外接球半径()()222222210R DI DM IM ==+=+=，所以三棱锥Q ACD -的外接球的体积为3344333V R ππ===.故答案为：3. 方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可. 三､解答题：共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．第T ~22为必考题，每个试题考生都必须作答，第22､23题为选做题，考生根据要求作答． (一)必考题：共60分17. 已知等差数列{}n a 为递减数列且首项15a =，等比数列{}n b 前三项依次为11a -，22a +，33a ．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b +的前n 项和n S ．（1）6n a n =-，1342n n b -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭；（2）211388222nn n n S ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭.（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题设求出d 即可求得n a ，进而求得等比数列{}n b 的首项1b 和公比q ，即可求得n b ；（2）先由（1）求得n n a b +，再利用分组求和法求得其前n 项和n S 即可. （1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得：2(7)4(156),1d d d +=⨯+∴=-，或11d =（舍）6n a n ∴=-又11254,6b a b =-==，∴公比133422n n q b -⎛⎫=∴=⋅ ⎪⎝⎭（2）13 6,42nn na n b-⎛⎫=-=⋅ ⎪⎝⎭1122n n nS a b a b a b=++++⋯⋯⋯⋯⋯⋯++()()1212n na a ab b b=++⋯⋯⋯⋯+++⋯⋯⋯211388222nnn ns⎛⎫∴=-+-+ ⎪⎝⎭．思路点睛：该题考查的是有关数列的问题，解题思路如下：（1）首先设出数列的公差，利用题中所给的条件，建立等量关系式，求得公差，根据首项，写出{}n a的通项，进而求得{}n b的首项和公比，求得其通项公式；（2）结合（1）的结论，利用分组求和法，求得其前n项和n S.18. 如图，在三棱锥A BCD-中，ABD△是等边三角形，2AC=，2BC CD==，BC CD⊥，E为空间内一点，且CDE△为以CD为斜边的等腰直角三角形．（1）证明：平面ABD⊥平面BCD；（2）若2BE=，试求平面ABD与平面ECD所成锐二面角的余弦值．（1）证明见解析；（26（1）取BD的中点O，连接OC，OA，证明二面角A BD C--的平面角AOC∠是直角，得面面垂直；（2）以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OA为z轴建立空间直角坐标系，不妨令E在平面BCD上方，取CD的中点F，连接OF，EF，可证明CD⊥平面EOF，得证平面EOF⊥平面OCD，EFOπθ∠=-，得出各点坐标，由2BE=求得cosθ，得出E点坐标，再求出两个平面的法向量，由法向量夹角得二面角．解：（1）取BD的中点O，连接OC，OA，因为ABD △是等边三角形，2BD =，所以AO BD ⊥，且3AO =，又因为2BC CD ==，所以OC BD⊥112CO BD ==，又2AC = 222AO OC AC AO OC ∴+=∴⊥ 又AO BD ⊥，因为CO BD O ⋂=，二面角A BD C --的平面角AOC ∠是直角， ∴平面ABD ⊥平面BCD ；（2）由（1）以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，OA 为z 轴建立空间直角坐标系， 不妨令E 在平面BCD 上方取CD 的中点F ，连接OF ，EF ，则,OF CD EF CD ⊥⊥．OF EF F ⋂=，,OF EF ⊂平面EOF ，∴CD ⊥平面EOF ，CD ⊂平面OCD ，∴平面EOF ⊥平面OCD ，22OF =，6EF =，设EFO πθ∠=-，则(0,0,0)O ，(1,0,0)C ，(0,1,0)D ，3)A ，(0,1,0)B -1111211132cos ,cos ,cos ,cos 22222222E BE θθθθθθ⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 13336232cos 2,cos ,sin ,,,22444BE E θθθ⎛=+=∴=∴=∴ ⎝⎭所以(1,1,0)CD =-，13,,444CE ⎛=- ⎝⎭，设平面ECD 的一个法向量为(,,)n x y z =，则0CD n CE n ⎧⋅=⎨⋅=⎩， 0136044x y x y z -+=⎧⎪∴⎨-++=⎪⎩， 令1x =，则1,1,3n ⎛=- ⎝⎭因为平面ABD 的一个法向量为(1,0,0)OC =，所以|cos ,|4OC n〈〉==，即平面ECD 与平面ECD 方法点睛：本题考查证明面面垂直，考查向量法求二面角．求二面角的方法：（1）几何法（定义法）：根据定义作出二面角的平面角并证明，然后解三角形得出结论； （2）空间向量法：建立空间直角坐标系，写出各点为坐标，求出二面角两个面的法向量，由两个平面法向量的夹角得二面角（它们相等或互补）．19. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，长轴为4，不过原点O 且不平行于坐标轴的直线l 与C有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值34-．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 过右焦点2F ，问y 轴上是否存在点D ，使得三角形ABD 为正三角形，若存在，求出点D ，若不存在，请说明理由．（1）22143x y +=；（2）不存在这样的点D ，理由见解析.（1）由题意可得2a =，设点()11,A x y ，()22B x y ，利用点差法可得22AB OMk k b a=-⋅，即可求出b ，从而得解；（2）设直线:(1)l y k x =-，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，即可表示出点M ，假设存在点D ，求出MD 的直线方程，从而得到D 点坐标，利用弦长公式求出AB 、MD ，由ABD △为等边三角形，则||||MD AB =，即可得到方程，即可判断； 解（1）由题意可知：24a =，所以2a =设点()11,A x y ，()22B x y ，A ，B 在椭圆上2211221x y a b∴+=．．．．．．．．．．．．．．① 2222221x y a b +=．．．．．．．．．．．．．．．② 因为34AB OM k k ⋅=-2112211234y y y y x x x x -+∴⋅=--+．．．．．．．．．．．．．．③ 由①-②得2222121222220x x y y a a b b -+-=，即22221212220x x y y a b--+=，所以2211222112y y y y b x x x x a -+⋅=--+ 由③得2234b a -=-23b ∴=∴椭圆C 方程为：22143x y +=（2）设直线:(1)l y k x =-联立22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得()22223484120k x k x k +-+-= 221212228412,3434k k x x x x k k-∴+==++ ()()()2121212228623112344k ky y k x x x k k k k x k k k =-+-=-∴=-+⨯++-=+ 22243,3434k k M k k ⎛⎫∴- ⎪++⎝⎭，假设存在点D ，则MD 的直线方程为：2223143434k k y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭ 20,34k D k ⎛⎫∴ ⎪+⎝⎭所以()2122121||34k AB x k +=-==+．||0MD =-=若ABD △为等边三角形则：||||MD AB =()2221214||23434k k k k+=++即223270k +=，方程无实数解， ∴不存在这样的点D(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 20. 某超市计划按月订购一种预防感冒饮品，每天进货量相同，进货成本每瓶5元，售价每瓶8元，未售出的饮品降价处理，以每瓶3元的价格当天全部处理完．根据一段时间以来的销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：C ︒)有关．如果最高气温不低于30，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[25,30)，需求量为300瓶；如果最高气温低于25，需求量为200瓶．为了确定七月份的订购计划，统计了前三年七月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率． （1）求七月份这种饮品一天的需求量x (单位：瓶)的分布列；（2）若七月份一天销售这种饮品的利润的数学期望值不低于700元，则该月份一天的进货量n (单位：瓶)应满足什么条件? （1）答案见解析；（2）267400n ≤≤.（1）根据题意，求得随机变量X 的所有可能取值为500，300，200，求得相应的概率，即可求得随机变量的分布列；（2）由题意得出200500n ≤≤，分别求得300500n ≤≤和200300n ≤<时，12(,)()E Y E Y ，再令1)(700E Y ≥和2)(700E Y ≥，即可求解.（1）依题意，可得随机变量X 的所有可能取值为500，300，200，． 由表格数据知273627(500)0.3,(300)0.4,(200)0.3909090P x P x P x =========， 因此分布列为（2）由题意可知，这种饮品一天的需求量最多为500瓶，最少为200瓶， 因此只需考虑200500n ≤≤， 当300500n ≤≤时，1(0.3[20032(200)]0.4[3003(300)2]0.339000.5)E Y n n n n =⨯⨯--+⨯--⨯+⨯=-，令1)(700E Y ≥，即9000.5700n -≥，解得400n ≤． 当200300n ≤<时，2()0.3[20032(200)]0.73 1.5n 300E Y n n =⨯⨯--+⨯=+令2)(700E Y ≥，即1.5n 300700+≥，解得 8003n ≥， 因为n Z ∈，所以267n ≥， 综上可得267400n ≤≤. 21. 已知函数ln()()ax f x ax=． （1）讨论函数()f x 的单调区间． （2）若当1a =时，()9()2()f x F x f x ex=+，求证：()0F x > （1）答案见解析；（2）证明见解析.（1）对函数()f x 求导，分0a >和0a <两种情况，结合函数的定义域得出函数的单调性；（2）要证()0F x >，由于0x >，即证ln 2ln e90x xx +>．令ln ()2ln e9(0)x xm x x x =+>，对函数求导并化简，构造()(1ln )ln h x x x x =-+二次求导，令分子为()2ln 1x x x ϕ=-+，利用导数判断出单调性和最小值，得出函数()h x 的单调性，由零点存在定理知极小值即为最小值，利用导数判断出最小值的范围，命题得证． （1）()21ln ()ax f x ax -'=， 当0a >，定义域为(0,)+∞，令()0f x '>，得0e x a <<，()0f x '<得e x a> ()f x ∴在0,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在,e a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减当0a <，定义域为(,0)-∞，令()0f x '>，得ex a <，()0f x '<得0e x a<< ()f x ∴在,e a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭单调递增，在,0e a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减（2）要证()0F x >，0x，即证ln 2ln e90x xx +>．令ln ()2ln e9(0)x xm x x x =+>，则ln ln ln 221ln 12m ()2ln 2[ln (1ln )]xxx xxxxex ex e x x x x x x-'=⋅⋅+⋅=-+， 设()(1ln )ln h x x x x =-+，则12ln 2ln 1()1x x x h x x x x'-+=-+=， 令()2ln 1x x x ϕ=-+，其中0x >，22()1x x x xϕ-'=-=． 当02x <<时，()0x ϕ'<，此时函数()ϕx 单调递减；所以，min ()(2)32ln 20x ϕϕ==->，则对任意的0x >，()0h x '>， 所以，函数()h x 在(0,)+∞上为增函数，因为11111ln ln 02222h ⎛⎫⎛⎫=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(1)10h =>，由零点存在定理可知，存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()()00001ln ln 0h x x x x =-+=，可得000ln 1ln 1x x x =-．当00x x <<时，h(x)<0，即()0F x '<，此时函数()F x 单调递减；当0x x >时，()0h x >，即()0F x '>，此时函数()F x 单调递增．()0000ln 11ln 1ln 2min 000009m()m 2ln 92ln 9ln 2ln x x x x x x e x ex x e x --⎛⎫∴==+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭， 令1121022929ln (ln 2,0),()2,()0(1)t t t x p t e p t e t t t '--=∈-=+=--<-， 则函数()p t 在(ln 2,0)t ∈-时单调递减， 所以，1ln 229()(ln 2)20ln 2p t p e -+<-=-<，所以，()min 0m()0x m x => 因此，对任意的0x >，m()0x >，即()0F x >．方法点睛：本题考查导函数在函数单调性和极值以及最值中的应用，考查导数证明不等式，考查分类讨论思想，其中利用导函数判断单调性的步骤为：1. 先求出原函数的定义域；2. 对原函数求导；3. 令导数大于零；解出自变量的范围；该范围即为该函数的增区间；同理令导数小于零，得到减区间；4. 若定义域在增区间内，则函数单增；若定义域在减区间内则函数单减，若以上都不满足，则函数不单调．(二)选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22. 在直角坐标系 xOy 中，已知曲线1C 的参数方程为44241121t x t ty t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos 43πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭． （1）写出曲线1C 的普通方程，2C 的直角坐标方程；（2）过曲线1C 上任意一点P 作与2C 夹角为60°的直线，交2C 于点A ，求||PA 的最大值与最小值．（1）221(0)x y y +=≥，80x -=；（2）最小值3，最大值3. （1）用消元法得1C 的普通方程，由公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩化极坐标方程为直角坐标方程； （2）求出P 到直线2C 的距离的最大值和最小值后可得结论．（1）曲线1C 的普通方程为221(0)x y y +=≥直线2C 的普通方程为80x -=．（2）曲线1C 上任意一点(cos ,sin )[0,]P θθθπ∈到2C 的距离为1|cos 8|cos 423d πθθθ⎛⎫=-=+- ⎪⎝⎭．则cos 4sin 603d PA πθ⎛⎫==+- ⎪︒⎝⎭，当0θ=，||PA 取得最小值，最小值为3．当23πθ=，||PA 取得最大值，最达值为3． 关键点点睛：本题考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查点到直线的距离公式．化参数方程为直角坐标方程时，注意变量的取值范围，本题中0y ≥，对圆来讲可以用参数方程cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩表示圆上的点，从而求得点到直线的距离，利用三角函数知识求得最值．这里仍然要注意θ的范围是[0,]π．23. 已知a ，b ，c 为正数．（1）证明233232332b c a a c b a b c a b c+-+-+-++≥； （2）求4444111a b c a b c ⎛⎫+++++ ⎪⎝⎭的最小值．（1）证明见解析；（2）（1）利用基本不等式可证得命题成立；（2）三次使用不等式且等号同时成立，可求得最小值．（1）证明a ，b ，c 均为正数，23322223232b a c a c b a b a c b c∴+≥+≥+≥ 以上三式相加，得233263232b a c a c b a b a c b c +++++≥ 2332111333223b c a c a b a a b b c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+-++-++-≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即233232332b c a a c b a b c a b c+-+-+-++≥．（当且仅当32a b c ==时等号成立） （2）因为0a >，0b >，0c >，444444343111813()()a b c abc a b c abc ⎛⎛⎫∴+++++≥=+ ⎪ ⎝⎭⎝≥= 当且仅当383a b c ===，即时等号成立．所以原式的最小值为。
江西五校(江西师大附中、临川一中、鹰潭一中、宜春中学、新余四中)高三数学第一次联考试题 理
五校（江西师大附中、临川一中、鹰潭一中、宜春中学、新余四中）联考高三年级数学（理）学科试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知z 是z 的共轭复数，若1z i =+（i 是虚数单位），则z z ⋅=（ ）A ．2-B ．1-C ．0D ．22．已知集合2{|20}A x x x =--…，{|ln(1)}B x y x ==-，则A B =（ ）A ．(1,2)B ．(1,2]C ．[1,1)-D ．(1,1)-3．已知命题p ：存在x R ∈，使得10lg x x ->；命题q ：对任意x R ∈，都有20x >，则（ ） A ．命题“p 或q ”是假命题 B ．命题“p 且q ”是真命题C ．命题“非q ”是假命题D ．命题“p 且‘非q ’”是真命题4．已知α为第二象限角，sin cos αα+=，则cos 2α=（ ）A ．3B ．9C ．3-D ．9-5．一只蚂蚁从正方体1111ABCD A BC D -的顶点A 处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点1C 位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（ ）A ．①②B ．①③C ．③④D ．②④6．某教研机构随机抽取某校20个班级,调查各班关注汉字听 写大赛的学生人数,根据所得数据的茎叶图，以组距为5将数据分组成[)5,0,[)10,5,[)15,10,[)20,15,[)25,20,[)30,25,[)35,30,[]40,35时,所作的频率分布直方图如图所示，则原始茎叶图可能是（ ）7．若如下框图所给的程序运行结果为35S =,那么判断框中应填入的关于k 的条件是（ ）A. 7=kB. 6k …C. 6<kD. 6>k 8．已知定义在区间[3,3]-上的函数()y f x =满足()()0f x f x -+=，对于函数()y f x =的图像上任意两点1122(,()),(,())x f x x f x 都有1212()[()()]0x x f x f x -⋅-<．若实数,a b 满足22(2)(2)0f a a f b b -+-…，则点(,)a b 所在区域的面积为（ ） A ．8 B ． 4 C ． 2 D ． 19．已知直线0x y k +-=(0)k >与圆224x y +=交于不同的两点A 、B ，O 是坐标原点，且有3||||3OA OB AB +≥，那么k 的取值范围是（ ）A. )+∞B.C. )+∞D.10．如图，半径为2的圆内有两条圆弧，一质点M 自点A 开始沿弧A B C O A D C ------做匀速运动，则其在水平方向（向右为正）的速度()v v t =的图象大致为（ ）二、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答．若两题都做，则按做的第一题评阅计分，本题共5分． 11． (1) （不等式选做题）如果存在实数x 使不等式2315x x a a +---…成立，则实数a 的取值范围为____________.(2) （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线2cos4sin ρθθ=的焦点的极坐标___________.(规定：0,02ρθπ<厔)三．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 12．设矩形区域Ω是由直线2x π=±和1y =±所围成的平面图形，区域D 是由余弦函数cos y x =、2x π=±和1y =-所围成的平面图形．在区域Ω内随机的抛掷一粒豆子，则该豆子落在区域D 内的概率是___________.13．已知曲线1()()n f x x n N +*=∈与直线1x =交于点P ，若设曲线()y f x =在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为n x ，则201412014220142013log log log x x x +++的值为___________． 14．已知平面向量,()αβαβ≠满足2α=，且α与βα-的夹角为120︒，t R ∈，则(1)t t αβ-+的最小值是________________．15．如图，12,F F 是双曲线221:13y C x -=与椭圆2C 的公共焦点，点A 是12,C C 在第一象限的公共点．若121F F F A =，则2C 的离心率是________．四、解答题：本大题共6个题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数2()2sin ()2,,442f x x x x πππ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦．设x α=时()f x 取到最大值． （1）求()f x 的最大值及α的值；（2）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，12A πα=-，且2sin sin sin B C A =，求b c -的值．17．（本小题满分12分）某学校为了增强学生对消防安全知识的了解，举行了一次消防安全知识竞赛，其中一道题是连线题，要求将4种不同的工具与它们的4种不同的用途一对一连线，规定：每连对一条得5分，连错一条得-2分．某参赛者随机用4条线把消防工具与用途一对一全部连接起来．（1）求该参赛者恰好连对一条的概率；（2）设X 为该参赛者此题的得分，求X 的分布列与数学期望．18.（本小题满分12分）已知三棱柱ABC —A1B 1C 1，A 1在底面ABC 上的射影恰为 AC 的中点O ，∠BCA=90°，AC=BC=2，又知BA 1⊥AC 1。
江西省赣中南五校高三理综下学期第一次联考(2月)试题
江西省赣中南五校2016届高三理综下学期第一次联考（2月）试题本卷中可能用到的相对原子质量有：H 1 C 12 N 14 O 16 F 19 Na 23Al 27 Si 28 S 32 Cl 35.5 Ca 40 Fe 56 Cu 64第Ⅰ卷一．选择题：本题共有13小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．掌握基本常识是学好生物的基础。
根据所学，下列阐述不正确的是A．DNA的碱基种类为4种A（腺嘌呤）、T（胸腺嘧啶）、C（胞嘧啶）、G（鸟嘌呤） B．细胞膜、核糖体、染色体、叶绿体等结构中都含有DNAC．分泌蛋白合成越旺盛的细胞，其高尔基体膜更新的速度越快D．DNA通过复制传递遗传信息，但不是生物性状的体现者2．研究发现，线粒体促凋亡蛋白Smac是细胞中一个促进细胞凋亡的关键蛋白，正常细胞中Smac存在于线粒体中，当线粒体收到释放这种蛋白质的信号时，就会将它释放到线粒体外，然后Smac与凋亡抑制蛋白（IAPs）反应，促进细胞凋亡。
下列有关叙述正确的是A．细胞凋亡时具有水分减少、代谢减慢、所有酶的活性下降等特征B．Smac从线粒体释放时不需消耗能量C．癌细胞的无限增殖，可能与细胞内IAPs基因过度表达和Smac从线粒体中释放受阻有关D．Smac与IAPs在细胞凋亡中的作用相同3．下图为某真核生物基因模型图。
人为将该基因划分为10个区间，转录生成的RNA被加工为成熟的mRNA时，d、g区间所对应的区域会被切除。
下列与该基因有关的叙述中，错误的是1A．转录的RNA在细胞核中被加工成熟B．含该基因的DNA寿命比mRNA的寿命长C．基因中含有不编码蛋白质的碱基对序列D．RNA聚合酶在终止密码对应位点脱落4．DNA分子经过诱变，某位点上的一个正常碱基（设为X）变成了尿嘧啶，该DNA连续复制两次，得到的4个DNA分子相应位点上的碱基对分别为U—A、A—T、G—C、C—G，可推测“X”可能是A．胸腺嘧啶 B．胞嘧啶 C．腺嘌呤 D．胸腺嘧啶或腺嘌呤5．研究表明，青少年型糖尿病是由免疫系统错误地破坏胰岛B细胞而导致。
江西省最新届高三数学下学期一调考试试题 理
江西省2021届高三数学下学期一调考试试题 理第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、 选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分,下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．已知全集U R =，集合{}22A y y x x R ==+∈，，集合(){}lg 1B x y x ==-，则阴影部分所示集合为（ ） A ．[]12， B ．()12， C ．(12]， D ．[12)， 2. 复数3a i z a i +=+-(其中a R ∈，i 为虚数单位)，若复数z 的共轭复数的虚部为12-，则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若2πa -=，a b a =，aa c a =，则,,abc 的大小关系为 A ．c b a >>B ．b c a >>C ．b a c >> D ．a b c >>4．函数()x ex f xcos )112(-+=图象的大致形状是 A ． B ．C ． D ．5．吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为（ ） A ．15B ．815C ．35D ．3206．已知△ABC 外接圆的圆心为O ，若AB=3，AC=5，则AO BC ⋅的值是（ ） A ．2B ．4C ．8D ．167．给出下列五个命题：①若为真命题，则为真命题； ②命题“，有”的否定为“，有”；③“平面向量与的夹角为钝角”的充分不必要条件是“”；④在锐角三角形中，必有； ⑤为等差数列，若，则其中正确命题的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．38．已知定义在(0,)+∞上的函数()f x ，恒为正数的()f x 符合()()2()f x f x f x '<<，则(1)(2)f f 的取值范围为（ ） A ．(,2)e eB ．211(,)2e eC ．(3,e e )D ．211(,)e e9．已知点(0,2)A ，抛物线C ：24y x =的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则:FM MN =（ ） A ．25B ．1:2C ．5D ．1:310.定义12nn p p p +++为n 个正数1p 、2p 、…、n p 的“均倒数”，若已知正整数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为121n +，又14n n a b +=，则12231011111b b b b b b ++⋅⋅⋅+=（ ） A ．1011B ．112C ．111D ．111211．对于任意的实数[1,e]x ∈，总存在三个不同的实数[1,5]y ∈-，使得21ln 0yy xe ax x ---=成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．24251(,]e e e- B ．4253[,)e eC ．425(0,]eD ．24253[,)e e e- 12．如图，在正方体1111ABCD A B C D ﹣中，1A H ⊥平面11AB D ，垂足为H ，给出下面结论： ①直线1A H 与该正方体各棱所成角相等； ②直线1A H 与该正方体各面所成角相等；③过直线1A H 的平面截该正方体所得截面为平行四边形； ④垂直于直线1A H 的平面截该正方体，所得截面可能为五边形， 其中正确结论的序号为（ ）A ．①③B ．②④C ．①②④D ．①②③第Ⅱ卷（共90分）二 、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分） 13.有一个底面圆的半径为1，高为2的圆柱，点分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点的距离都大于1的概率为___．14．在数列{a n }中，若函数f （x ）＝sin 2x 2cos 2x 的最大值是a 1，且a n ＝（a n +1﹣a n ﹣2）n ﹣2n 2，则a n ＝_____．15．秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之为实一为从隅，开平方得积”如果把以上这段文字写成公式就是2222221[()]42a cb S ac +-=-，共中a 、b 、c 是△ABC 的内角A ，B ，C的对边。
2021届江西省重点中学协作体(南昌二中、九江一中等)高三下学期2月第一次联考理科数学试卷及答案
2021届江西省重点中学协作体高三下学期2月第一次联考理科数学试卷★祝考试顺利★(含答案)时间:120分钟 总分:150分一､选择题:本题共12小题,每题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的｡1.已知集合A={0,1,2,3},集合2{|},B x x x ==则A∩B=()A.{0,1,2.3}B.{-1,0,1}C.{1.2}D.{0,1}2.已知复数51,1i z i-=+z 的虚部是() A.-1CB.-iC.1D.i 3.已知P:21:1,:10q p a a ≤-≥则P 是q 的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.sin155sin35cos25cos35︒︒︒︒-=().A 1.2B - 1.2C .D 5.在6()()2x y x y -+的展开式中,52x y 的系数是()A.20 215.B C.-12 25.2D - 6.“干支纪年法"是我国历法的一种传统纪年法,甲､乙､丙､丁､戊､己､庚､辛､壬､癸被称为”十天干”;子､丑､寅､卯､辰､巳､午､未､申､西､戌､亥叫做”十二地支“天干"以“甲”字开始,“地支"以“子″字开始,两者按干支顺序相配,组成了干支纪年法,其相配顺序为甲子､乙丑､丙寅……癸酉;甲戌､乙亥､丙子…癸未;甲申､乙酉､丙戌…癸巳;…,共得到60个组合,称六十甲子,周而复始,无穷无尽.2021年是干支纪年法”中的辛丑年,那么2121年是“干支纪年法中的()A.庚午年B.辛未年C.庚辰年D.辛巳年7.已知|1|3()()5x f x -=,则下列不等关系正确的是()A 20.5(log 7)(1 2.5)(1)f f f <∞< B.0.52(1 2.5)(log (1)7)f og f f <<C.0.52(1)(log 2.5)(lo 7g )f f f <<)D.20.5(1)(log 7)(log 2.5)f f f <<8.若函数sin(2)3y x πω=+的图象向右平移6π个单位后与函数y=cos2ωx 的图象重合,则ω的值可能为()A.-1B.-2 1.2C - 1.4D - 9.如图ABCDEF 为五面体,其中四边形ABCD 为矩形,EF//AB.3332AB EF AD ===,△ADE 和△BCF都是正三角形,则该五面体的体积为()72.A 42.B .2C 32.D 10.在三角形ABC 中,E ､F 分别为AC ､AB 上的点,BE 与CF 交于点Q 且2,3,AE EC AF FB ==AQ 交BC 于点D,AQ QD λ=,则λ的值为()A.3B.4C.5D.611.已知A.B.C 是双曲线22221(0,0)x y a b ba -=>>上的三个点,AB 经过原点O,AC 经过右焦点F,若BF ⊥AC 且3|AF|=|CF|,则该双曲线的离心率是().10A 5.3B .17C 9.4D 12.设k,b ∈R,若关于x 的不等式lnx+x≤k(x+1)+b 在(0,+∞)上恒成立,则221k b k +--的最小值是()A.2e - 1.1B e -+ C.-e+1 D.-e-1 二､填空题:本大题共4小题,每题5分,共20分。
2021届江西省重点中学协作体高三第一次联考数学(理)试题Word版含解析
2021届江西省重点中学协作体高三第一次联考数学（理）试题一、单选题1．已知()12i z i -=+（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】首先化简z ，得到1322z i =+，再求出1322z i =-，判断对应的点位于的象限即可. 【详解】因为()12i z i -=+，所以22(2)(1)22131(1)(1)222i i i i i i z i i i i ++++++====+--+. 所以1322z i =-，对应的点为13(,)22-，位于第四象限. 故选：D 【点睛】本题主要考查复数的运算，同时考查了共轭复数和复数对应点的象限，属于简单题. 2．设全集U =R ，(){}2lg 6A x y x x ==--，{}2,0xB y y x ==<，则() UA B =（ ）A ．{2x x <-或}1x ≥B ．{0x x ≤或}1x ≥ C ．{2x x <-或}3x > D ．{}33x x -<<【答案】B【解析】求出集合A 、B ，利用补集和并集的定义可求得集合() UA B .【详解】(){}{}{22lg 6602A x y x x x x x x x ==--=-->=<-或}3x >，{}{}2,001x B y y x y y ==<=<<，{0U B y y ∴=≤或}1y ≥，因此，(){ 0UA B x x ⋃=≤或}1x ≥.故选：B. 【点睛】本题考查补集和并集的混合运算，同时也考查了对数型复合函数定义域和指数函数值域的求解，考查计算能力，属于基础题.3．已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，35a =，若5a 是2a 和14a 的等比中项，则d =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】首先根据题意得到25214a a a =⋅，再转化为2333(2)()(11)a d a d a d +=-⋅+，计算d 即可.【详解】由题知：25214a a a =⋅，即：2333(2)()(11)a d a d a d +=-⋅+， 整理得：222233333441111a a d d a a d a d d ++=+--.因为0d ≠，所以1530d =，解得2d =. 故选：B 【点睛】本题主要考查等差，等比数列综合应用，同时考查了等比中项，属于简单题 4．函数sin xy e x =的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】分析函数sin xy e x =在0x =处的取值，以及该函数在区间(),0π-函数值符号、该函数的奇偶性，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】对于函数sin x y e x =，当0x =时，sin 0xy e x ==，即该函数图象过原点，排除B 选项； 当(),0x π∈-时，sin 0x <，则sin 0xy e x =<，排除D 选项.当()x k k Z π≠∈时，()sin sin x x e x e x -⋅-≠-，所以，函数sin x y e x =不是奇函数，排除C 选项.故选：A. 【点睛】本题考查利用函数解析式选择函数图象，一般需分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点与函数值符号，结合排除法得出正确选项，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 5．已知log 9log 9n m >，则下列结论中一定不正确的是（ ） A ．1m n >> B ．10n m >>>C ．10n m >>>D ．10m n >>>【答案】C【解析】分log 9log 90n m >>、log 90log 9n m >>和0log 9log 9n m >>，利用换底公式、不等式的性质以及对数函数的单调性可得出结论. 【详解】分以下三种情况讨论：①当log 9log 90n m >>时，由换底公式可得lg 9lg 90lg lg n m>>，lg90>，lg lg 0m n ∴>>，可得1m n >>；②当log 90log 9n m >>时，由换底公式得lg 9lg 90lg lg n m>>，lg90>，lg 0lg n m ∴>>，可得10n m >>>；③当0log 9log 9n m >>时，由换底公式可得lg 9lg 90lg lg n m>>，lg90>，lg lg 0n m ∴<<，可得01n m <<<.综上所述，不可能的是10n m >>>. 故选：C. 【点睛】本题考查利用对数的大小关系比较底数的大小关系，考查换底公式和对数函数单调性的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.6．已知()1312axdx a =>⎰，则5ax ⎫-⎪⎭的展开式中的2x 的系数为（ ）A ．80-B ．80C ．160-D ．160【答案】A【解析】首先根据微积分定理得到2a =，再求出52x⎫⎪⎭展开式的通项532215(2)rr r r T C x -++=-⋅⋅，即可得到答案. 【详解】 由题知：221113|2222aa x a xdx ==-=⎰，因为1a >，所以2a =.所以52x⎫-⎪⎭展开式的通项53522155(2)(2)r r r r r rr T C x C x -+-+=⋅⋅-=-⋅⋅.令53222r -+=，得：3r =. 故展开式中的2x 的系数为335(2)80C -⋅=-.故选：A 【点睛】本题主要考查二项式定理，同时考查了微积分定理，熟记二项式定理展开式的通项为解题的关键，属于中档题.7．有歌唱道：“江西是个好地方，山清水秀好风光.”现有甲乙两位游客慕名来到江西旅游，分别准备从庐山、三清山、龙虎山和明月山4个著名旅游景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件A ：甲和乙至少一人选择庐山，事件B ：甲和乙选择的景点不同，则条件概率()P B A =（ ） A ．716B ．78C ．37D ．67【答案】D【解析】首先根据题意分别算出()n A 和()n AB ，再利用条件概率公式计算即可. 【详解】由题知：事件A ：甲和乙至少一人选择庐山共有：1123()17n A C C =⋅+=种情况， 事件AB ：甲和乙选择的景点不同，且至少一人选择庐山，共有1123()6n AB C C =⋅=种情况，()()6=()7n AB P B A n A =. 故选：D 【点睛】本题主要考查条件概率，理解条件概率及掌握公式为解题的关键，属于中档题.8．把函数()cos cos2f x x x x =+的图像先向右平移6π个单位，得到函数()g x 的图像，再将()g x 的图像上的所有点的横坐标变成原来的12，得到函数()h x 的图像，则下列说法正确的是（ ） A ．函数的最小正周期为2π B ．5,06π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()h x 图像的一个对称中心 C ．函数()h x 图像的一条对称轴方程为6x π=D ．函数()h x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 【答案】C【解析】由三角公式可得()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再通过平移变换及周期变换得到()2sin 46x h x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再利用三角函数的性质逐一判断即可. 【详解】解：()cos cos 22cos 22sin 26f x x x x x x x π⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，则()2sin 22sin 2666g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ()2sin 46x h x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，此时242T ππ==，故A 错误； 当56x π=时，55662sin 416h πππ⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，故B 错误；当6x π=时，2sin 46626h πππ⎛⎫=⨯-= ⎛⎫⎪⎝⎪⎭⎭⎝，故C 正确；当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则574666x πππ-≤-≤， 因为函数sin y x =在57,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上不是单调函数， 则函数()h x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单不是单调函数，故D 错误. 故选：C. 【点睛】本题考查三角恒等变形，考查三角函数的性质，是基础题.9．生活中我们通常使用十进制计数法，计算机常用二进制和十六进制，其中十六进制是逢十六进一，采用数字09-和字母A F -共16个计算符号，这些符号与十进制数的对应关系如下表：例如：用十六进制表示，15A B +=，1C F B +=，则B B ⨯=（ ） A ．2B B ．79C ．4BD ．81【答案】B【解析】首先计算出B B ⨯的值，再根据十六进制的含义表示出结果. 【详解】解：∵1111121B B ⨯=⨯=，121167÷=余9， 9160÷=余9，∴用十六进制表示为79. 故选：B. 【点睛】本题考查对十六进制含义的理解，是基础题.10．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2sin f x f x x --=，当0x ≤时，()1f x '>，若()36f t f t t ππ⎛⎫⎛⎫≤-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则实数t 的取值范围为（ ）A ．,6π⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．,6π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．,3π⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．,3π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】构造函数()()sin g x f x x =-，可得出该函数为偶函数，利用导数分析出函数()y g x =在(],0-∞上单调递增，进而可得出该函数在[)0,+∞上单调递减，将所求不等式变形为()3g t g t π⎛⎫≤-⎪⎝⎭，可得()3g t g t π⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，可得出3t t π≥-，由此可解得实数t 的取值范围.【详解】由()()2sin f x f x x --=可得()()sin sin f x x f x x -=-+，构造函数()()sin g x f x x =-，则()()()()()sin sin g x f x x f x x g x -=---=-+=， 所以，函数()y g x =为偶函数，当0x ≤时，()()cos 1cos 0g x f x x x ''=->-≥，所以，函数()y g x =在(],0-∞上单调递增，则该函数在[)0,+∞上单调递减，13sin sin sin sin sin 3226t t t t t t t t ππ⎫⎛⎫⎛⎫--=--==-⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由()36f t f t t ππ⎛⎫⎛⎫≤-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得()sin sin 33f t f t t t ππ⎛⎫⎛⎫≤-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即()sin sin 33f t t f t t ππ⎛⎫⎛⎫-≤--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()3g t g t π⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，则()3g t g t π⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，由于函数()y g x =在[)0,+∞上单调递减，所以，3t t π≥-，解得6t π≥. 因此，实数t 的取值范围是,6π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故选：B. 【点睛】本题考查函数不等式的求解，利用题中等式构造新函数()()sin g x f x x =-是解答的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题. 11．已知ABC 的面积为2，23A π=，P 为线段BC 上一点，2PC BP =，点P在线段AB 和AC 上的投影分别为点,M N ，则PMN 的面积为（ ） A ．29B ．13C ．49D ．59【答案】B【解析】首先利用三角形的面积公式得到833AB AC ⋅=，之后根据比值得到小三角形的面积，进而求得43PM PN ⋅=，之后应用三角形面积公式求得结果. 【详解】因为ABC 的面积为2，23A π=，所以3sin A =，所以1sin 22ABC S AB AC A ∆=⋅=，即33AB AC ⋅=， 因为2PC BP =，所以12ABP ACP S S ∆∆=， 又因为1122233ABP S AB PM ∆=⋅⋅=⨯=，所以43AB PM ⋅=， 同理可得83AC PN ⋅=，所以329AB PM AC PN ⋅⋅⋅=，因为AB AC ⋅=，所以PM PN ⋅=因为sin sin()2NPM A π∠=-=所以111sin()22923PMN S PM PN A π∆=⋅⋅⋅-=⨯=， 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关三角形的问题，涉及到的知识点有三角形的面积公式，属于中档题.12．已知双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>的焦距为4，直线l 与双曲线C 的渐近线分别交于,A B 两点，若AB 的中点在双曲线C 上，O 为坐标原点，且ABO C 的离心率为（ ）A B C ．2 D ．2【答案】C【解析】由渐近线设1122,,,b b A x x B x x a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,求出中点,代入双曲线方程可得212x x a =，设1l 的倾斜角为α，利用三角形面积公式1sin 22S OA OB α=，化简可得ab =,a b ，进而可得离心率. 【详解】由题意可知,A B 只能在双曲线的同侧，当交点,A B 在y 轴右侧时，作图如下：双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>，则渐近线方程为：b y x a =±.则1122,,,b b A x x B x x a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则AB 的中点()1212,22b x x x x M a -⎛⎫+ ⎪⎝⎭在双曲线C 上，可得:()()22121222144x x x x a a +--=,即212x x a =. 设1l 的倾斜角为α，则tan baα=， 又因为ABO 的面积1sin sin 2cos cos sin cos 2cos S OA OB OA OB OA OB ααααααα===212tan 3bx xa ab aα==⋅==， 222+=a b c ，24c =，解得：31a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩或13a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，故离心率为：23c e a ==或2. 同理可知当交点,A B 在y 轴左侧，利用对称性，可转化为在y 轴右侧情况. 故选：C.【点睛】本题考查双曲线的方程与性质，考查直线与双曲线的关系，考查运算求解能力以及转化思想，属于难题.二、填空题13．若某班40名同学某次考试数学成绩X （满分150分）近似服从正态分布()290,N σ，已知()60900.35P X <<=，则可估计该班120分以上的人数约为______.【答案】6【解析】根据考试的成绩X 服从正态分布()290,N σ，得到考试的成绩X 关于90X =对称，根据()60900.35P X <<=，得到()90120P X <<，进而可得到()120P X >，根据频率乘以样本容量得到这个分数段上的人数. 【详解】解：∵考试的成绩X 服从正态分布()290,N σ，∴考试的成绩X 关于90X =对称， ∵()60900.35P X <<=，∴()()9012060900.35P X P X <<=<<=，()()()19012060901200.152P X P X P X -<<-<<∴>==，∴该班数学成绩在120分以上的人数约为400.156⨯=. 故答案为：6. 【点睛】本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成绩X 关于90X =对称，利用对称求出要用的一段分数的频率，题目得解.14．已知实数,x y 满足不等式组1021020x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，若目标函数z x ay =+仅在点13,22⎛⎫⎪⎝⎭处取最大值，则实数a 的取值范围为______. 【答案】1,【解析】画出可行域，将目标函数z x ay =+仅在点13,22⎛⎫⎪⎝⎭处取最大值，转化为目标函数仅在过A 点时，在x 轴上的截距最大，得出直线的斜率范围，从而求得a 的取值范围. 【详解】作出可行域如图所示，目标函数z x ay =+，令0y =，则z x =，即目标函数仅在过A 点时，在x 轴上的截距 最大，如图旋转l 并观察，则l 的斜率k ∈(1,0)-，即110a-<-<，得1a >. 故答案为：(1,)+∞ 【点睛】本题考查了线性规划中目标函数仅在某点处取最值的问题，解题的关键在于画出可行域，转化为目标函数仅在过该点取最值，确定直线的斜率的范围.15．已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 在棱AD 上，且2AE DE =，则过点1B 且与平面1A BE 平行的正方体的截面面积为______.【答案】3【解析】取ED 的中点F ，取G,使11113AG A D =，取H 使13BH BC =,连接1,,GF FH GB ,根据面面平行的判定定理可证得面1//A EB 面1FHB G ,求出边长，及对角线长，根据菱形的面积公式即可求出结果. 【详解】取ED 的中点F ，取G,使11113AG A D =，取H 使13BH BC =,连接1,,GF FH GB ,由平行性质可知1//FH GB 且1FH GB =，即四边形1FHB G 为平行四边形，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 在棱AD 上，且2AE DE =，1233AE AD ==, ∴1//,//BE FH A E GF ,∴//BE 面1FHB G ,1//A E 面1FHB G ,1,A E EB E ⋂= ∴面1//A EB 面1FHB G ,FH EB ===1FG A E ===,∴四边形1FHB G 为菱形，1GH A E ==∴ 13B F ===.截面面积1112233S GH B F =⨯=⨯=【点睛】本题考查截面面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.16．已知抛物线()2:0C y ax a =>的通径长为4，点(),P x y 是抛物线C 上任意一点，则()2241xy y y x +++的最大值为______. 【答案】15【解析】由抛物线的通径公式可求得4a =，由()2241xy y y x +++取最大值可得出0y >，利用基本不等式求得11x y+≥，由()()22141411xy yx y y x x y+=+++++，设11x t y +=≥，()14f t t t =+，利用双勾函数的单调性可求得()2241xy y y x +++的最大值.【详解】已知抛物线()2:0C y ax a =>的通径长为4a =，所以，抛物线C 的方程为24y x =，当0y >时，2111142144y x y y y y y y++==+≥⋅=，当且仅当12y =时，等号成立， 所以，()()()()2222114141411x yxy yx y y x y x x y++==+++++++，当()2241xy y y x +++取最大值时，0y >，且11x y+≥， 令1x t y +=，则1t ≥，由双勾函数的单调性可知，函数()14f t t t=+在[)1,+∞上单调递增， 因此，当11x y +=时，()2241xy y y x +++取得最大值15. 故答案为：15. 【点睛】本题考查利用基本不等式和双勾函数求代数式的最值，同时也考查了抛物线方程的应用，考查计算能力，属于中等题.三、解答题17．在锐角ABC 中，内角A 、B 、C 的对应的边长分别为a 、b 、c ，若ABC 的面积2sin S a B =，且sin sin sin A B C =. （1）求角B ；（2）求22b a的值.【答案】（1）6B π=；（2）225b a=-.【解析】（1）由21sin sin 2S a B ac B ==可得出2c a =，再由sin sin sin A B C =结合正弦定理边角互化思想可求得sin B 的值，再由角B 为锐角可求得角B 的值；（2）由（1）可得2c a =，再由余弦定理可求得22b a的值.【详解】（1）因为21sin sin 2S a B ac B ==，所以2c a =， 而sin sin sin A B C =，即sin a c B =，所以1sin 2B =，又因为B 为锐角，所以6B π=；（2）由（1）知2c a =，又因为6B π=，则cos B =由余弦定理得(2222222cos 545b a c ac B a a a =+-=-=-，因此，225b a =-.【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想和三角形面积公式的应用，同时也考查了利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于基础题.18．已知椭圆()2222:10y x C a b a b+=>>的短轴长为C 经过点3,12A ⎛⎫ ⎪⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知点,P Q 是椭圆C 上关于原点的对称点，记AP AQ λ=⋅，求λ的取值范围.【答案】（1）22143y x +=（2）31,44λ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ 【解析】（1）先由短轴长求出b ，再将点3,12A ⎛⎫⎪⎝⎭的坐标代入椭圆方程可得a ，进而可得椭圆方程；（2）设()00,P x y ，则()00,Q x y --，由点,P Q 在椭圆C 上得到220334y x =-，代入点的坐标可得201144AP AQ y λ=⋅==-，由20y 的范围可得λ的取值范围.【详解】解：（1）依题意得2b =b =将点3,12A ⎛⎫⎪⎝⎭的坐标代入椭圆方程得：221914a b+=，又因为b =2a =，所以椭圆C 的方程为22143y x +=；（2）设()00,P x y ，则()00,Q x y --，有2200143y x +=，即2200334y x =-， 则000033,1,122AP AQ x y x y λ⎛⎫⎛⎫=⋅=--⋅---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22222000003991113144444y x y y y ⎛⎫=-+-=--+-=- ⎪⎝⎭， 又因为[]200,4y ∈，所以201131,4444y λ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，考查椭圆的对称性及有界性的应用，是中档题.19．如图所示，正方形ABCD 边长为2，将ABD △沿BD 翻折到PBD △的位置，使得二面角P BD A --的大小为120︒.（1）证明：平面PAC ⊥平面PBD ；（2）点M 在直线PD 上，且直线BM 与平面ABCD 3M BC P --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）57【解析】（1）根据已知可得,AE BD PE BD ⊥⊥，证明得BD ⊥平面PAC ，即可证明结论；（2）由（1）得PEA ∠即为二面角P BD A --的平面角，即120PEA ∠=︒，建立如下图直角坐标系，得出,,,D B C P 坐标，设DM DP λ=，由已知条件结合直线与平面所成角公式，求出λ，确定DM 坐标，分别求出平面MBC 和平面PBC 法向量坐标，再由空间向量的二面角公式，即可求解. 【详解】（1）证明：设AC 交BD 于点E ，连接PE ，即E 为BD 中点， 又因为AB AD =，所以AE BD ⊥，因为PD PB =，所以PE BD ⊥ 由于AE ⊂平面PAC ，PE ⊂平面PAC ，AE PE E ⋂= 所以BD ⊥平面PAC ，又因为BD ⊂平面PBD ， 所以平面PAC ⊥平面PBD .（2）因为,AE BD PE BD ⊥⊥，所以PEA ∠即为二面角P BD A --的平面角，即120PEA ∠=︒， 得60PEC ∠=︒，由2AB =，2EP EC PC ===以D 点为原点建立如图空间直角坐标系D xyz -， 则()0,0,0D ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，136,22P ⎛⎝⎭， 设136(,)22DM DP λλλ==， 所以1362,22BM BD DM λλ⎛⎫=+=--⎪⎝⎭平面ABCD 的一个法向量可为()0,0,1n =， 因为直线BM 与平面ABCD 3所以222632cos ,213622222n BM n BM n BMλλλλ⋅===⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 解得2λ=，所以(6BM =-，()2,0,0CB =，设平面MBC 的法向量为()1111,,n x y z =，则1100n BM n CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11116020x y z x ⎧-++=⎪⎨=⎪⎩，令16y =()10,6,1n =-，因为11,,222CP ⎛=- ⎝⎭，()2,0,0CB =设平面PBC 的法向量为()2222,,n x y z =，则2200n CP n CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22221102220x y z x ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，令2y =，得()20,6,1n =， 所以121265cos 77n n n n θ⋅===， 即二面角M BC P --的余弦值为57. 【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明平面与平面垂直，以及应用空间向量法求线面与面面所成的角，注意空间垂直关系相互转化，考查逻辑推理和计算求解能力，属于中档题. 20．已知函数()()1axf x x e =-（a R ∈，e 为自然对数的底数）.（1）若1a =，求函数()f x 的图像在点()()1,1f 处的切线方程； （2）()()g x f x x =+在R 上单调递增，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）e e0xy （2）(],2-∞【解析】（1）首先求导()xf x xe '=，求出切点坐标和斜率，再利用点斜式即可求出切线方程.（2）首先根据题意得到()0g x '≥恒成立，令0x =，得到()20g x a '=-≥，即2a ≤，再分类讨论a 的范围证明()g x 在R 上单调递增即可. 【详解】（1）当1a =时，()()1xf x x e =-，()xf x xe '=所以()10f =，切点为(1,0)，()1k f e '== 所以切线方程为()01y e x -=-，即e e 0x y（2）()()1axg x x e x =-+所以()()()1111axaxaxg x e a x e ax a e '=+-+=-++因为()g x 在R 上单调递增，则()0g x '≥恒成立， 令0x =，则()20g x a '=-≥，得2a ≤ 下面证当2a ≤时，()g x 在R 上单调递增. 构造函数()()1,2axF x ax a ex R a -=-++∈≤()()1ax ax F x a ae a e --'=-=-当0a <时，0x <时，()0F x '<，0x >时，()0F x '> 得()F x 在(),0-∞单调递减，在()0,∞+单调递增.()()min 020F x F a ==->，即10ax ax a e --++>恒成立，整理得：()11axax a e-+>-恒成立，即：()()110axg x ax a e '=-++>恒成立，所以()g x 在R 上单调递增. 当0a =时，()21g x x =-显然在R 上单调递增.当02a <≤时，0x <时，()0F x '<，0x >时，()0F x '> 得()F x 在(),0-∞单调递减，在()0,∞+单调递增.()()min 020F x F a ==-≥，即：10ax ax a e --++≥恒成立，整理得：()11axax a e -+≥-恒成立，从而()()110axg x ax a e '=-++≥恒成立，所以()g x 在R 上单调递增.综上，实数a 的取值范围为(],2-∞ 【点睛】本题第一问主要考查导数的几何意义中的切线问题，第二问考查利用导数研究函数的单调性，根据题意构造函数为解题的关键，属于难题.(1)求出数列{}n P 的通项公式和1n S +的表达式；(2)设该人进行一次答题活动中获得的积分记为X ，该人答对每道题的概率设为45p =，求随机变量X 的分布列和数学期望EX .（估算时请使用以下数据：540.335⎛⎫≈ ⎪⎝⎭，1040.115⎛⎫≈ ⎪⎝⎭，计算结果保留到小数点后两位.） 【答案】(1)()()211nn P n p p =+-；()()111111n n S n p p++=-++-⎡⎤⎣⎦；(2)分布列见解析；期望为2.97.【解析】(1)根据题意可知，该人共答了2n +道题，前1n +道题中答错1题且最后一题是答错的，由此列式即可求出n P ，然后利用错位相减法即可求出1n S +；(2)求出X 的所有可能取值并求出相应的概率，然后列出X 的分布列，根据数学期望公式即可求出EX . 【详解】(1)由题意知，答题过程中每次均有两题答错后离场，且最后一题一定是答错的，故()()211(1)(1)11n nn n P C p p p n p p +=-⋅-=+-，所以()()22111231n n S p p p n p +⎡⎤=-+++++⎣⎦①，()()22311123...1n n n pS p p p p np n p ++⎡⎤=-++++++⎣⎦②，①－②得：()()()()()1222311111111111n nn n n p p S p p p p p n pp n p p ++++⎡⎤-⎡⎤-=-+++++-+=--+⎢⎥⎣⎦-⎣⎦， 故()()111111n n S n p p++=-++-⎡⎤⎣⎦.(2)X 的所有可能取值为03,6,()501234540120.345P X P P P P P S ⎛⎫==++++==-⨯≈ ⎪⎝⎭，()51056789104443230.3355P X P P P P P S S ⎛⎫⎛⎫==++++=-=⨯-⨯≈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()61030.33P X P X P X ==-=-=≈，所以X 的分布列为：所以X 的数学期望00.3430.3360.33 2.97EX =⨯+⨯+⨯=.【点睛】本题主要考查二项分布，事件独立性的概率计算及数学期望的计算，同时考查错位相减法求数列的和，属于中档题.22．在极坐标系中，点P 的极坐标是()1,π，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为k 的直线l 经过点P .（1）若1k =时，写出直线l 和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 和曲线C 相交于不同的两点,A B ，求线段AB 的中点M 的在直角坐标系中的轨迹方程.【答案】（1）10x y -+=；()2211x y -+=（2）221x y +=，1,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【解析】(1)利用极坐标和直角坐标的互化公式即可得解；(2)方法一：设直线l 的参数方程为：1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数）与曲线C 的方程联立，根据参数的几何意义求得()12cos 2M A B t t t α=+=，代入直线方程求得()212cos ,2sin cos M ααα-+化简消参即可得出结果. 方法二: 由于直线l 的斜率存在，设直线():1l y k x =+，与曲线C 方程联立，根据韦达定理可得2122121M x x k x k+-==+，代入直线求得()2211M M k y k x k =+=+，化简可得221M M x y +=，即可得出结果. 【详解】解：（1）P 点的直角坐标为()1,0-，所以直线:10l x y -+=22cos ρρθ=，可得222x y x +=，即()2211x y -+=（2）如图可知，直线和圆相切时，6πα=±.方法一：设直线l 的参数方程为：1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数）由于直线l 和曲线C 相交，所以,66ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭联立直线l 和曲线C 的方程可得24cos 30t t α-+=()12cos 2M A B t t t α=+= 所以()212cos ,2sin cos M ααα-+，即()cos2,sin 2M αα因此221M M x y +=，其中1cos 2,12M x α⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦即点M 的轨迹方程为221x y +=，1,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦方法二：显然直线l 的斜率存在，不妨设为k ，即直线():1l y kx =+， 与()2211x y -+=联立可得：()()22221220k x k x k ++-+=，()()222222410k k k =--+>△，可以解得213k <，即：k << 设()11,A x y ，()22,B x y ，所以2122221k x x k-+=+，所以2122121M x x k x k +-==+， 可得()2211M M k y k x k =+=+ 所以()()2222422422222222121241211111M M k k k k k k k x y k k k k ⎛⎫--++++⎛⎫+=+=== ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭++ 另一方面，由于213k <，所以2221211,1112M k x k k -⎛⎤==-∈ ⎥++⎝⎦ 综上，点M 的轨迹方程为211x y +=，1,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【点睛】本题考查极坐标和直角坐标的互化，考查利用参数方程和韦达定理解决直线和圆的关系中的轨迹法问题，属于中档题.23．设函数()x x =，()21g x x =-.（1）解不等式()()2f x g x +≤；（2）若()()22f x g x ax +>-对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）113x x ⎧-≤≤⎫⎨⎬⎩⎭（2）[]4,4- 【解析】(1) 零点分区间，去掉绝对值，()()f x g x +写成分段函数的形式，分段解不等式即可；(2)()()2f x g x +零点区间讨论写成分段函数，分别讨论在每一个区间()()22f x g x ax +>-恒成立时，参数满足的情况即可得解.【详解】解：（1）()()131,21211,0213,0x x f x g x x x x x x x ⎧-≥⎪⎪⎪+=+-=-<<⎨⎪-≤⎪⎪⎩当12x ≥时，312x -≤，即33x ≤，即1x ≤，即1x ≤，即112x ≤≤ 当102x <<时，12-≤x ，即1x ≥-，即102x << 当0x ≤时，312x -+≤，即13x ≥，即103x -≤≤ 综上所述，不等式的解集为113x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭（2）()()141,2122211,0214,0x x f x g x x x x x x ⎧-≥⎪⎪⎪+=+-=<<⎨⎪-≤⎪⎪⎩当12x ≥时，412x ax ->-，即()410a x -+> 所以()4014102a a -≥⎧⎪⎨-+>⎪⎩，得4a ≤ 当102x <<时，12ax >-，即30ax -<，所以132a ≤，即6a ≤ 当0x ≤时，142x ax ->-，即()430a x +-<，40a +≥即可，即4a ≥-综上所述，44a -≤≤，即a 的取值范围为[]4,4-【点睛】本题考查零点区间讨论法在解绝对值不等式中的应用，考查绝对值不等式恒成立时求解参数问题，属于中档题.。
江西省五市九校协作体2021届高三第一次联考数学试题及答案
江西省五市九校协作体2021届高三第一次联考数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}2430A x x x =-+>，{}0B x x a =-≤，若B A R ⋃=，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()3,+∞B ．[)3,+∞C ．(),1-∞D ．(],1-∞ 2．已知复数z 满足121i i z+=-（i 为虚数单位），则z （z 为z 的共轭复数）在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．“()()3322a b ->-”是“lg lg a b >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心．某市将垃圾分为四类可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾．某班按此四类由9位同学组成四个宣传小组，其中可回收物宣传小组有3位同学，餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾宣传小组各有2位同学．现从这9位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派1人的概率为（ ）A ．27B ．514C ．37D ．1021 5．函数()()cos 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，为了得到sin y x ω=的图象，只需把()y f x =的图象上所有点（ ）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个长度单位 D ．向左平移12π个长度单位6．若x ，y 满足约束条件40240220x y x y x y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪--≥⎩，则4z x y =+的最小值为（ ）A ．26B ．4C ．265D ．26-7．蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率x （每分钟鸣叫的次数）与气温y （单位：C ）存在着较强的线性相关关系．某地观测人员根据下表的观测数据，建立了y 关于x 的线性回归方程0.25y x k =+则当蟋蟀每分钟鸣叫52次时，该地当时的气温预报值为（ ）A ．33CB ．34C C ．35CD ．35.5C8．已知双曲线C：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 是C 的右支上一点，连接1PF 与y 轴交于点M ，若12FO OM =（O 为坐标原点），12PF PF ⊥，则双曲线C 的离心率为（ ）A B ．2 C D ．39．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意两个不相等的正数12,x x ，都有()()2112120x f x x f x x x-<-，记()33f a =，()1b f =--，()22f c -=-，则（ ） A ．a c b << B ．a b c << C ．c b a << D ．b c a << 10．如图，小方格是边长为1的小正方形，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球表面积为（ ）A ．32πB ．C ．41πD ． 11．设()2,0A -，()2,0B ，O 为坐标原点，点P 满足2216PA PB +≤，若直线60kx y -+=上存在点Q 使得6PQO π∠=，则实数k 的取值范围为（ ）A ．⎡-⎣B ．(),⎡-∞-⋃+∞⎣C ．,⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭D ．⎡⎢⎣⎦ 12．已知函数()x f x ax e =-与函数()ln 1g x x x =+的图像上恰有两对关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()1,e -+∞B ．1,2e -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．1,2e -⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．(),1e -∞-二、填空题13．在ABCD 中，AD 与DC 的夹角为23π，1AD =，2DC =，DE EC =，则AE DB ⋅=________14．若正实数,a b ，满足1a b +=，则33b a b+的最小值为________. 15．数列{}n a 中，11a =，121n n a a +=+（*n N ∈），则012345515253545556C a C a C a C a C a C a +++++=________16．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F ，M 分别为棱AB ，11A D ，11D C 的中点，过点M 与平面CEF 平行的平面与AB 交于点N ，则四面体NCEF 的体积为________三、解答题17．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()()sin sin a A B C c B C +-=+．（1）求角C 的大小（2）若28a b +=，且ABC 的面积为ABC 的周长．18．如图，已知四边形ABCD 为菱形，对角线AC 与BD 相交于O ，60BAD ∠=︒，平面ADEF 平面BCEF =直线EF ，FO ⊥平面ABCD ，22BC CE DE EF ====（1）求证：//EF DA ；（2）求二面角A EF B --的余弦值．19．学校趣味运动会上增加了一项射击比赛，比赛规则如下：向A 、B 两个靶子进行射击，先向A 靶射击一次，命中得1分，没有命中得0分；再向B 靶连续射击两次，如果只命中一次得2分，一次也没有命中得0分，如果连续命中两次则得5分．甲同学准备参赛，经过一定的训练，甲同学的射击水平显著提高，目前的水平是：向A 靶射击，命中的概率是23；向B 靶射击，命中的概率为34．假设甲同学每次射击结果相互独立． （1）求甲同学恰好命中一次的概率；（2）求甲同学获得的总分X 的分布列及数学期望．20．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）过点E ⎛ ⎝⎭，1A ，2A 为椭圆的左右顶点，且直线1A E ，2A E 的斜率的乘积为12-．（1）求椭圆C 的方程；（2）过右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，线段MN 的垂直平分线交直线l于点P ，交直线2x =-于点Q ，求PQ MN的最小值．21．已知函数211()4ln 22f x x ax a x a =-+++，其中a R ∈. （1）当1a =时，求函数()f x 在1x =处的切线方程；（2）记函数()f x 的导函数是()'f x ，若不等式()()f x xf x '<对任意的实数(1,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围；（3）设函数()()2g x f x a =+，()'g x 是函数()g x 的导函数，若函数()g x 存在两个极值点1x ，2x ，且()()()1212g x g x g x x '+≥，求实数a 的取值范围.22．在直角坐标系xOy 中，曲线221:194x y C +=，曲线233cos :3sin x C y φφ=+⎧⎨=⎩（φ为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求12,C C 的极坐标方程；（2）射线l 的极坐标方程为()0θαρ=≥，若l 分别与12,C C 交于异于极点的,A B 两点，求OB OA 的最大值.23．已知函数()21f x x m x =+--．（1）若2m =，求不等式()30f x +<的解集；（2）若()f x 的图象与直线1y =有且仅有1个公共点，求m 的值．参考答案1．B【分析】先解出集合A 、B ，然后利用B A R ⋃=，求解a 的取值范围.【详解】 集合{}{2430>3A x x x x x =-+>=或}1x <，{}{}0=|B x x a x x a =-≤≤， 若B A R ⋃=，则3a ≥.故选：B.2．C【分析】结合复数的除法性质可求出z ，进而可求出z ，即可明确z 在复平面内对应的点，从而可选出正确答案.【详解】 解：因为121i i z+=-，所以()()()()121121313111222i i i i z i i i i +++-+====-+--+， 所以1322z i =-- 在复平面内对应的点为13,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭，在第三象限. 故选:C.3．B【分析】分别证明充分性和必要性即可得出正确选项.【详解】充分性证明：取()()332222a b a b ->-⇒->-，明显地有，a b >，由于对数的真数大于0，所以，无法推导出lg lg a b >，所以，充分性不成立；必要性证明：lg lg a b >0a b ⇒>>，可得()()332222a b a b ->-⇒->-， 所以，必要性成立；故选：B.4．D【分析】利用组合计数原理计算出基本事件的总数以及事件“从这9位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派1人”所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.【详解】某市将垃圾分为四类：可回收物、餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾.某班按此四类由9位同学组成四个宣传小组，其中可回收物宣传小组有3位同学，餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾宣传小组各有2位同学. 现从这9位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，基本事件总数59126n C ==， 每个宣传小组至少选派1人包含的基本事件个数为()()3221112132332260m CC C C C C =+=， 则每个宣传小组至少选派1人的概率为601012621m P n ===. 故选：D.【点睛】本题考查古典概型概率的计算，涉及组合计数原理的应用，考查计算能力，采用“先分类，再分组”的思想即可.5．A【分析】利用图象先求出周期，用周期公式求出ω，利用特殊点求出ϕ，从而确定解析式，再利用诱导公式与平移变换法则求解即可.【详解】 由图可知周期满足7πππ41234T =-=， 故πT =，∴2π2T ω==， 2,32ππk k Z ϕπ⨯+=+∈， 2πϕ<，∴π6ϕ=-， 即()ππcos 2sin 263f x x x ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以将()πsin 26f x x ⎡⎤⎛⎫=+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦向右平移π6个单位，得到sin 2y x =. 故选：A .【点睛】 由图象求三角函数解析的方法：利用最值求出A ,利用图象先求出周期，用周期公式求出ω，利用特殊点求出ϕ，正确求ωϕ，是解题的关键.求解析时求参数ϕ是确定函数解析式的关键，由特殊点求ϕ时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点.6．B【分析】求目标函数的最值，先准确地作出可行域，再确定目标函数的几何意义，根据题意确定取得最优解的点进而求出目标函数的最值.【详解】由题意可知，如上图，不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示（包含边界）， 目标函数4z x y =+变为1144y x z =-+， 当直线1144y x z =-+经过点()4,0时， z 值最小，114z =，故min 4z =. 故选：B.【点睛】 易错点睛：本题由于三条直线能够围成一个三角形，很自然的会将其看作是可行域，实际上，在判断可行域时，一定要验证一下原点是否在可行域内再确定.7．A【分析】求出x 的平均数x ，y 的平均数y ，将(),x y 代入0.25y x k =+可求得k 的值，在即将52x =代入即可求解.【详解】2030405060405x ++++==，2527.52932.536305y ++++==， 因为样本中心点(),x y 在回归直线上，所以将()40,30代入0.25y x k =+得：300.2540k =⨯+，解得：20k =，所以0.2520y x =+，当52x =时，0.25522033y =⨯+=，故选：A【点睛】易错点点睛：本题的关键是利用回归直线过样本中心点求出k 的值，易犯错误是随意选择一个数据点代入解析式求k .8．C【分析】 首先利用相似三角形，可知1122OF PF OM PF ==，再结合双曲线的定义，求1PF 和2PF ，最后根据勾股定理求双曲线的离心率.【详解】如图，由条件可知112OMF F F P ，则1122OF PF OM PF ==，得122PF PF =，又因为122PF PF a -=， 则14PF a =，22PF a =，根据勾股定理可知2221644a a c +=，解得：ce a==. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用三角形相似1122OF PF OM PF ==，求得122PF PF =，后面利用双曲线的定义和勾股定理就比较简单了. 9．A 【分析】对任意两个不相等的正数12,x x ，都有()()2112120x f x x f x x x -<-，判断()f x x在()0,∞+单调递减，再证明()f x x是()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数，根据单调性判断即可 【详解】解：不妨设120x x <<，则120x x -<，因为()()2112120x f x x f x x x -<-，所以()()21120x f x x f x ->，即()()1212f x f x x x >()f x x在()0,∞+单调递减， 因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()()()f x f x f x x x x --==--， ()f x x是()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数 ()()()11111f f b f -=--==-，()()()222222f f f c --=-==-，()33f a = 所以a c b << 故选：A 【点睛】考查根据式子的结构构造新函数的能力，同时利用单调性比较大小，基础题. 10．C 【分析】还原后的几何体如图所示，确定出球心的位置可求外接球的体积. 【详解】根据三视图可得原几何体如图所示，且PH ⊥平面ABCD ，4PH =，H 为AB 的中点，四边形ABCD 为正方形，其边长为4.设1O 为正方形ABCD 的中心，2O 为PAB △的外心，则外接球的球心O 满足1OO ⊥平面ABCD ，2OO ⊥平面PAB ，所以21//HO OO ，又2HO ⊂平面PAB ，故22OO HO ⊥，同理11OO HO ⊥ 所以四边形21HO O O 为矩形. 在正方形ABCD 中，12HO =，在PAB △中，()222244PO PO -+=，故252PO =，2=，故外接球的表面积为414414ππ⨯=， 故选：C. 【点睛】思路点睛：几何体外接球的半径的求法，关键是球心位置的确定，可用球心与各面的外接圆的圆心的连线与此面垂直来确定，如果球心的位置不确定，那么可用补体的方法来确定球心的位置. 11．C 【分析】由2216PA PB +≤可得2OP ≤，由正弦定理得出2sin 4OQ OP QPO =∠≤，再根据原点到直线的距离小于等于4即可求出k 的范围. 【详解】设(),P x y ，则()()2222222216PA PB x y x y +=+++-+≤，整理可得224x y +≤，故2OP ≤，在PQO 中，sin sin OQ OPQPO PQO=∠∠，则sin 2sin 2214sin OP QPOOQ OP QPO PQO∠==∠≤⨯⨯=∠，设原点到直线的距离为d ，则需满足4d ≤，4d ∴=≤，解得k ≤或≥k . 故选：C.【点睛】本题考查直线中参数范围的求解，解题的关键是得出2sin 4OQ OP QPO =∠≤，利用原点到直线的距离小于等于4求解. 12．A 【分析】根据题意将函数()f x 与()g x 的图像上恰有两对关于x 轴对称的点转化为ln 1x e x x a x--=有两解，令新的函数ln 1()x e x x h x x --=，求导，然后判断函数的单调性与极值，则可得a 的取值范围. 【详解】因为函数()f x 与()g x 的图像上恰有两对关于x 轴对称的点，所以()()f x g x -=，即ln 1xe ax x x -=+有两解，则ln 1x e x x a x--=有两解，令ln 1()x e x x h x x --=，则()21()1x x h x e x-'=-，所以当()0,1x ∈时，()0h x '<；当()1,x ∈+∞时，()0h x '>；所以函数()h x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增；所以()h x 在1x =处取得极小值，所以(1)1h e =-，所以1a e >-，a 的取值范围为()1,e -+∞. 故选：A. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题；（4）考查数形结合思想的应用． 13．12【分析】画出图形，以,AD AB 为基底表示AE DB ,，结合已知条件和平面向量的数量积公式即可求出正确答案. 【详解】解：()()()12AE DB AD DE DA DC AD AB AD AB ⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅-+ ⎪⎝⎭22222111112112cos 22222232AD AD AB AB AD AB AD AB AD AB π=-+⋅-⋅+=-+⋅+=-+⨯⨯+⨯12=. 故答案为:12.14．5 【分析】 将所求式子变形为333b aa b++，结合基本不等式即可求出最小值. 【详解】解：因为1a b +=，所以()3333333a b b b b aa b a b a b++=+=++，因为0,0a b >>，所以333=53b a a b ++≥，当且仅当33b a a b =，即13,44a b ==时等号成立， 即33b a b+的最小值为5. 故答案为:5. 【点睛】本题考查了利用基本不等式求最小值，属于基础题.本题的关键是将所求式子中的3换成()3a b +.15．454 【分析】由()1121n n a a ++=+，结合等比数列的定义和通项公式可求出21nn a =-，结合二项式定理可求出012345515253545556C a C a C a C a C a C a +++++的值.【详解】解：因为()112221n n n a a a ++=+=+，所以{}1n a +以2为首项，2为公比的等比数列，所以11222n n n a -+=⨯=，所以21n n a =-，则012345515253545556C a C a C a C a C a C a +++++()01223344556012345555555555555222222C C C C C C C C C C C C =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++++⨯-++又01223344556555555222222C C C C C C ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯()0011223344555555552222222C C C C C C =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯()5212486=⨯+=，0123455555555232C C C C C C +++++==，所以原式48632454=-=，故答案为：454. 【点睛】关键点睛：本题的关键是求出数列通项公式后，结合二项式定理对所求式子进行合理变形，减少计算量. 16．124【分析】取1MD 的中点H ，证明平面CEFH 为平面图形，设Q 为EB 中点，证明平面//CEFH 平面1A QM ，Q 点即是N 点，然后利用N CEF F CEN V V --=可得答案.【详解】取1MD 的中点H ，连接CH FH 、，因为F H 、是11A D 、1MD 的中点，所以1//MA FH ， 取CD 中点P ，连接AP MP 、，因为11,//=AA MP AA MP ，四边形1AA MP 是平行四边形，所以1//MA AP ， 所以//FH AP ，又因为,//=AE CP AE CP ，所以四边形AECP 是平行四边形， 所以//CE AP ，所以//CE FH ，即四边形CEFH 为平面图形， 且1MA ⊄平面CEFH ，FH⊂平面CEFH ，1//MA FH ，所以1//MA 平面CEFH ，设Q 为EB 中点，连接1AQ MQ EH 、、，所以//QE MH QE MH =，， 所以四边形QEHM 是平行四边形，所以//HE MQ ，且MQ ⊄平面CEFH ，HE ⊂平面CEFH ，所以//MQ 平面CEFH ，又1MQ A M M =，所以平面//CEFH 平面1A QM ，所以过M 点且与平面EFC 平行的平面就是1A QM ，Q 点即是N 点，11112248CENSEQ CB =⨯⨯=⨯=，所以1111111332424N CEF F CEN CEN V V SAA --==⨯⨯=⨯⨯⨯=. 故答案为：124. 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、线面平行及面面平行的判定，关键点是取1MD 的中点H ，证明平面CEFH 为平面图形，设Q 为EB 中点，证明平面//CEFH 平面1A QM ，Q 点即是N 点，考查了学生的空间想象力.17．（1）3C π=；（2）6+．【分析】（1）根据sin()sin()a A B C c B C +-=+，利用正弦定理和内角和以及诱导公式得到2sin sin cos sin sin A C C C A =求解.（2）由ABC 的面积为8ab =，再与28a b +=求得a ，b ，然后利用余弦定理求解. 【详解】 （1）sin()sin()a A B C c B C +-=+，sin sin(2)sin sin A C C A π∴-=，2sin sin cos sin sin A C C C A ∴=， sin sin 0A C ≠， 1cos ,02C C π∴=<<，3C π∴=.（2）由题意可得，12= 8ab ∴=，28a b +=联立可得，2,4a b ==，由余弦定理可得，212,c c ==此时周长为6+. 18．（1）证明见解析；（2）35． 【分析】（1）根据四边形ABCD 为菱形，得到//AD BC ，利用线面平行的判定定理得到//AD 平面BCEF ，然后利用线面平行的性质定理证明.（2）以O 为坐标原点、OA ，OB ，OF 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，取CD 中点M ，连EM ，OM ，分别求得平面ADEF 一个法向量为(,,)m x y z =，平面BCEF 一个法向量为(,,)n x y z =，然后由cos ,|||,|m nm n m n ⋅<>=求解.【详解】（1）因为四边形ABCD 为菱形，所以//AD BC ，AD ⊄平面BCEF ，BC ⊂平面BCEF //AD ∴平面BCEF ，因为平面ADEF 平面BCEF =直线,EF AD ⊂平面ADEF ，所以//EF AD ；（2）因为四边形ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，因为OF ⊥平面ABCD ，所以以O 为坐标原点、OA ，OB ，OF 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，取CD 中点M ，连EM ，OM ，60BAD ︒∠=，21BC OA OC OB OD =∴====，2BC CD CE DE CDE ====∴为正三角形，EM =，11//,=,//,=22OM BC OM BC EF BC EF BC ，//,=//,=EF OM EF OM OF EM OF EM ∴∴，从而1(0,1,0),((0,1,0),(2A B C D E--，设平面ADEF一个法向量为(,,)m x y z=，则m DAm DE⎧⋅=⎨⋅=⎩，即122yx y⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，令11,(1,x y z m=∴=-==-，设平面BCEF一个法向量为(,,)n x y z=，则n BCn EC⎧⋅=⎨⋅=⎩，即122yx y⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，令11,(1,3,1)x y z n=∴=-=-=--，3cos,5|||,|m nm nm n⋅∴<>==，因此二面角A EF B--的余弦值为35.【点睛】方法点睛：求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．19．（1）16；（2）分布列见解析；期望为20348．【分析】（1）记“甲同学恰好命中一次”为事件C，“甲射击命中A靶”为事件D，“甲第一次射击B靶命中”为事件E，“甲第二次射击B靶命中”为事件F，然后利用互斥事件概率的求解方法求解即可.（2）随机变量X的可能取值为：0，1，2，3，5，6，求出概率，列出分布列，然后求解期望.【详解】（1）记“甲同学恰好命中一次”为事件C，“甲射击命中A靶”为事件D，“甲第一次射击B 靶命中”为事件E ，“甲第二次射击B 靶命中”为事件F ，由题意可知()23P D =，()()34P E P F ==．由于C DEF DEF DEF =++，()()21111313134434413446P C P DEF DEF DEF =++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．（2）随机变量X 的可能取值为：0，1，2，3，5，6．()1111034448P X ==⨯⨯=()2111134424P X ==⨯⨯=()12113123448P X C ==⨯⨯⨯=()12231334144P X C ==⨯⨯⨯=()1333534416P X ==⨯⨯=()233363448P X ==⨯⨯=()20348E X =． 【点睛】关键点点睛：古典概型及其概率计算公式的应用，求离散型随机变量的分布列及其期望的求法，解题的关键为正确求出X =0，1，2，3，5，6，所对应的概率.20．（1）2212x y +=；（2）2．【分析】（1）由题意可得：221112a b+=，122112a a ⋅=-+-即可求得,ab 的值，进而可得椭圆C 的方程；（2）设直线l 的方程为1x my =+，点()11,M x y ，()22,N x y ，联立直线与2212x y +=消去x 可得关于y 的一元二次方程，可求得12y y +，12y y ，计算P 点坐标，利用弦长公式求得弦长MN 、PQ ，将PQMN化简整理，利用基本不等式求最值即可求解. 【详解】 （1）依题意有，221112a b +=①， 因为()1,0A a -，()2,0A a所以121A Ek a =+，221A E k a=+，所以122112a a ⋅=-+-②，由①②解得：22a =，21b =，故椭圆的方程为2212x y +=；（2）由题意知直线l 的斜率不为0，设其方程为1x my =+， 设点()11,M x y ，()22,N x y ，联立方程()22221221021x y m y my x my ⎧+=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩， 得到12222m y y m -+=+，12212y y m -=+ 由弦长公式MN ===又12222P y y m y m +-==+，22221122P p m x my m m =+=-+=++，2P PQ x =-=，24PQMN =，令t =，1t ≥，上式22422422t t t t +⎛⎫=⋅=+≥= ⎪⎝⎭， 当2t t=，即1m =±时，PQ MN 取得最小值2．【点睛】思路点睛：解决圆锥曲线中的范围或最值问题时，若题目的条件和结论能体现出明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系； ③利用基本不等式求出参数的取值范围； ④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．圆锥曲线中求直线过定点的问题，通常需要联立方程，得到二次方程后利用韦达定理、结合题中条件（比如斜率关系，向量关系，距离关系，面积等）直接计算，即可求出结果，运算量较大.21．（1）20x y += （2）1a ≤ （3）114a <≤ 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求切线方程；（2）先求导，则不等式()()f x xf x <'对任意的实数(1,)x ∈+∞恒成立，转化为2210x alnx -->对任意实数(1,)x ∈+∞恒成立，构造函数2()21t x x alnx =--，1x >，分类讨论，即可求出a 的范围；（3）先求导，根据函数()g x 存在两个极值点1x ，2x 可得14a >，且124x x a +=，12x x a =，再化简1212()()()g x g x g x x +'可得到880a lna --，构造()88h a a lna =--，14a >，求出函数的最值即可． 【详解】解：（1）当1a =时，213()4ln 22f x x x x =-++，其中0x >，故13(1)4222f =-+=-. 1()4f x x x'=-+，故(1)1412f '=-+=-. 所以函数()f x 在1x =处的切线方程为22(1)y x +=--，即20x y +=. （2）由211()4ln 22f x x ax a x a =-+++，可得()4a f x x a x'=-+. 由题知，不等式2114ln 422a x ax a x a x x a x ⎛⎫-+++<-+ ⎪⎝⎭对任意实数(1,)x ∈+∞恒成立， 即22ln 10x a x -->对任意实数(1,)x ∈+∞恒成立，令2()2ln 1t x x a x =--，1x >.故22()22a x at x x x x-'=-=⋅. ①若1a ≤，则()0t x '>，()t x 在(1,)+∞上单调递增，()(1)0t x t >=，故1a ≤符合题意. ②若1a >，令()0t x '=，得x =.当(x ∈时，()0t x '<，()t x在(上单调递减，故(1)0tt <=，与题意矛盾，所以1a >不符题意.综上所述，实数a 的取值范围1a ≤. （3）据题意211()()24ln 322g x f x a x ax a x a =+=-+++，其中0x >. 则24()4a x ax ag x x a x x-+'=-+=.因为函数()g x 存在两个极值点1x ，2x ， 所以1x ，2x 是方程240x ax a -+=的两个不等的正根，故220,(4)40,0,a a a a >⎧⎪∆=-->⎨⎪>⎩得14a >，且12124,.x x a x x a +=⎧⎨=⎩所以()()221211122211114ln 34ln 32222g x g x x ax a x a x ax a x a +=-++++-+++ ()()()2212121214ln ln 612x x a x x a x x a =+-+++++ ()()()212121212124ln 612x x x x a x x a x x a =+--++++ ()21(4)244ln 612a a a a a a a =--⨯+++28ln 51a a a a =-+++； ()1212124431a ag x x x x a a a a x x a'=-+=-+=-+， 据()()()1212g x g x g x x '+≥可得，28ln 5131a a a a a -+++≥-+， 即288ln 0a a a a --≤，又14a >，故不等式可简化为88ln 0a a --≤， 令()88ln a a a ϕ=--，14a >，则1()840a aϕ'=->>，所以()a ϕ在1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，又(1)0ϕ=， 所以不等式88ln 0a a --≤的解为114a <≤.所以实数a 的取值范围是114a <≤. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，极值，最值的关系，以及函数恒成立的问题，还运用导数的几何意义求切线方程，同时培养学生的转化能力，运算能力，属于难题．22．（1）1C 的极坐标方程是2245sin 36ρθ+=（），的极坐标方程是6cos ρθ=. （2）95【分析】（1）利用cos ,sin x y ρθρθ==将1C 的直角坐标方程化为极坐标方程；先把2C 的参数方程化为普通方程,再化为极坐标方程；（2）分别联立曲线1C 与2C 的极坐标方程与()0θαρ=≥,即可求得221OA ρ=,222OB ρ=,再利用二次函数的性质求得22OB OA的最大值,进而求解.【详解】解:（1）因为cos ,sin x y ρθρθ==,所以221:194x y C +=可化为22221cos sin :194C ρθρθ+=,整理得()2245sin 36ρθ+=,233cos :3sin x C y φφ=+⎧⎨=⎩（φ为参数）,则33cos 3sin x y φφ-=⎧⎨=⎩（φ为参数）,化为普通方程为2260x y x +-=,则极坐标方程为26cos 0ρρθ-=,即6cos ρθ=.所以1C 的极坐标方程是()2245sin 36ρθ+=,2C的极坐标方程是6cos ρθ=.（2）由（1）知,联立2245sin 36ρθθα⎧+=⎨=⎩（）可得22123645sin OA ρθ==+, 联立6cos ρθθα=⎧⎨=⎩可得2222=36cos OB ρθ=,所以22OB OA=224222981cos (45sin )5cos 9cos 5(cos )1020θθθθθ+=-+=--+, 当29cos 10θ=时,22OB OA 最大值为8120,所以OB OA的最大值为10. 【点睛】本题考查直角坐标方程与极坐标方程的转化,考查利用极坐标方程求弦长. 23．（1）{|1x x <-或7}x >；（2）2m =-或0m =． 【分析】（1）将2m =代入，按照零点分段法对x 分类去绝对值，求解后取并集得答案； （2）()f x 的图象与直线1y =有且仅有1个公共点，转化为()()1g x f x =-=有1个零点，对m 分类求最大值，令最大值为0求得m 值. 【详解】解：（1）22130x x +--+<，当2x <-时，22230x x --+-+<，解得1x <，故2x <-；当21x -时，22230x x ++-+<，解得1x <-，故21x -<-； 当1x >时，22230x x +-++<，解得7x >． 综上所述，不等式的解集为{|1x x <-或7}x >；（2）令()()1211g x f x x m x =-=+---，问题转化为函数()g x 有1个零点．若1m >-，则3,()33,11,1x m x m g x x m m x x m x --<-⎧⎪=+--⎨⎪-++>⎩，此时()g x 的最大值为g （1）m =，此时0m =满足题设；若1m <-，则3,1()31,11,x m x g x x m x m x m x m --<⎧⎪=--+-⎨⎪-++>-⎩，此时()g x 的最大值为g （1）2m =--，令20m --=，得2m =-，满足题设； 若1m =-，则()110g x x =---<，故1m =-不合题意，舍去． 综上所述，2m =-或0m =． 【点睛】 方法点睛：（1）利用“零点分段法”分类讨论解绝对值不等式； （2）将两函数图象的交点问题与函数零点问题之间的互化.。
2021年高三下学期第一次联考(2月)理数试题 含解析
2021年高三下学期第一次联考（2月）理数试题含解析一.选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一是符合题目要求的.1.已知集合，，则为A. (0，＋)B. (1，＋)C. [2，＋)D.［1，＋)【答案】B【解析】试题分析：因为，，所以；故选B．考点：集合的交并运算．2.已知一个几何体的三视图是三个全等的边长为1的正方形，如图所示，则它的体积为A. B.C. D.【答案】C【解析】试题分析：该三视图对应的空间几何体为边长为1的正方体去掉一个三棱锥如下图所示：所以它的体积为；故选C ． 考点：三视图的应用．3.已知倾斜角为的直线l 与直线垂直，则的值为A .B .C .D .【答案】A 【解析】 试题分析：由题意可得：，所以541tan tan 2cos sin cos sin 22sin 222015cos 222=+=+==⎪⎭⎫⎝⎛-ααααααααπ；故选A ． 考点：1.两直线的位置关系；2.诱导公式．4.已知是两条不同．．的直线，是三个不同．．的平面，则下列命题中正确的是 A . 若 B . 若 C . 若 D . 若【答案】C 【解析】试题分析：A . 若 或相交；B . 若或相交；D . 若或在平面内；故选C ．考点：空间几何元素的位置关系．5.如图所示，点是函数图象的最高点，M 、N 是图象与轴的交点，若，则等于【答案】B【解析】试题分析：由题意可得：，,所以；所以函数的周期为16即故选B．考点：1.三角函数的性质；2.向量运算．6.外接圆圆心O，半径为1，且，则向量在向量方向的投影为A. B. C. D.【答案】A考点：平面向量数量积的含义及其物理意义．7.若非零向量满足，且，则与的夹角为A.B .C. D.【答案】D【解析】试题分析：由可得，所以，所以与的夹角为；故选D．考点：向量的运算及夹角．8.不等式组表示的点集记为M，不等式组表示的点集记为N，在M中任取一点P，则P∈N的概率为A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：列出相应的区域如下所示：区域M是正方形区域，区域N是阴影区域，，所以P∈N的概率为；故选B．考点：几何概型的应用．9.一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，若该球的体积是，则这个三棱柱的体积是A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由球的体积是，可得，所以正三棱柱的高为4，底面是边长为的正三角形，所以三棱柱的体积是；故选D．考点：空间几何体的体积．10.已知函数,n∈N*的图象与直线交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标，则＋＋…＋的值为A. 1B. 1－log xxC. -log xxD. －1 【答案】D【解析】试题分析：由题意可得：点，，所以点P处的切线切线的斜率为故可得切线的方程为，所以与x轴交点的横坐标，则＋＋…＋；故选D．考点：1.导数的几何意义；2.对数运算．11.已知函数,若函数有且只有两个零点,则k 的取值范围为A .B .C .D .【答案】C 【解析】试题分析：由题意可得当时为双曲线在第一象限的部分，渐近线方程为，当时有可得，所以即在出的切线方程为此时函数有且只有一个交点若；故选．若函数有且只有两个零点,则k 的取值范围为. 考点：函数零点与方程根的关系． 12.已知函数对任意的满足 (其中是函数 的导函数)，则下列不等式成立的是A . B. C. D.【答案】A 【解析】试题分析：令()()()()()()()()xx x f x x f x x x f x x f x g x x f x g 2'2'''cos sin cos cos cos cos ,cos -=-==则，由对任意的满足可得，即函数在上为增函数，则即即；故选A ． 考点：导数与函数单调性的关系．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知数列为等差数列，，，则 . 【答案】2 【解析】试题分析：因为数列为等差数列且，，所以；故填2． 考点：等差数列的性质．14.设，若的最小值为 . 【答案】9 【解析】试题分析：由题意可得：，令则，所以在上为减函数，在上为增函数，所以；故填9． 考点：函数的性质及其导数的应用． 15.已知数列满足,且，则 . 【答案】【解析】试题分析：①，②， ②—①，得，即，又，所以数列是以为首项、公差为2的等差数列，则，即； 则， ， ， ， ，上述式子相加，得]3)1(2353433[21321-⋅++⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=-n n n a a ，则]3)1(232353433[21432n n n n ⋅++⋅+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯-，两式相减除以2，得nn n n a a 2)1()3333(914321⋅+-+⋅⋅⋅++++=--，即293)21(2)1(31)31(3921-⋅+=⋅+---+=--n n n n n n a a ； 则；故填.考点：1.由数列的递推式求通项；2.累加法；3.错位相减法. 16.有下列4个命题:①若函数定义域为R ,则是奇函数;②若函数是定义在R 上的奇函数,,,则图像关于x =1对称;③已知x 1和x 2是函数定义域内的两个值(x 1<x 2),若,则在定义域内单调递减; ④若是定义在R 上的奇函数, 也是奇函数,则是以4为周期的周期函数. 其中,正确命题是 （把所有正确结论的序号都填上）. 【答案】 (1)(4)考点：命题真假的判断．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（本小题满分12分）设数列{a n}满足：a1=1，a n+1=3a n，n∈N*．设S n为数列{b n}的前n项和，已知b1≠0，2b n–b1=S1•S n，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{c n}的前n项和T n；（Ⅲ）证明：对任意n∈N*且n≥2，有++…+＜．【答案】（Ⅰ）a n=3n–1 b n=2n–1；（Ⅱ）T n=(n–2)2n+2；（Ⅲ）略．【解析】试题分析：（1）给出与的关系，求，常用思路：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与的关系，再求；由推时，别漏掉这种情况，大部分学生好遗忘;(2)一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项的和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后做差求解；（3）利用不等式放缩时掌握好规律，怎样从条件证明出结论．试题解析：（Ⅰ）∵a n+1=3a n，∴{a n}是公比为3，首项a1=1的等比数列，∴通项公式为a n=3n–1．∵2b n–b1=S1•S n，∴当n=1时，2b1–b1=S1•S1，∵S1=b1，b1≠0，∴b1=1．∴当n＞1时，b n=S n–S n–1=2b n–2b n–1，∴b n=2b n–1，∴{b n}是公比为2，首项a1=1的等比数列，∴通项公式为b n=2n–1．…………4分（Ⅱ）c n=b n•log3a n=2n–1log33n–1=(n–1)2n–1，T n=0•20+1•21+2•22+…+(n–2)2n–2+(n–1)2n–1 ……①2T n= 0•21+1•22+2•23+……+(n–2)2n–1+(n–1) 2n ……②①–②得：–T n=0•20+21+22+23+……+2n–1–(n–1)2n=2n–2–(n–1)2n =–2–(n–2)2n∴T n=(n–2)2n+2．………… 8分（Ⅲ）===≤++…+＜++…+==(1–)＜．…………12分考点：(1)求数列的通项公式；（2）错位相减求数列的和；（3）证明恒成立的问题．18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，AD‖BC，，平面⊥底面，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=AD=2，BC=1，CD=．（Ⅰ）求证：平面PQB⊥平面PAD；（Ⅱ）若二面角M-BQ-C为，设PM=tMC，试确定t的值．【答案】（Ⅰ）略；（Ⅱ）3．【解析】试题分析：(1)利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.(2)证明面面垂直，需证线线垂直，只需要证明直线的方向向量垂直；（3)把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;(4）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化.同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备.．试题解析：（Ⅰ）∵AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ．∵∠ADC=90°，∴∠AQB=90°，即QB⊥AD．又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴BQ⊥平面PAD．∵BQ⊂平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．（Ⅱ）∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．∵面PAD⊥面ABCD，且面PAD∩面ABCD=AD，∴PQ⊥面ABCD．如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．则平面BQC的法向量为；，，，．设，则，1(1)3(3)13()31txtx t xty t y ytz t zzt⎧=-⎪+=--⎧⎪⎪⎪=-⇒=⎨⎨+⎪⎪-=-⎩⎪=⎪+⎩,∴，在平面MBQ中，，，∴平面MBQ法向量为.∵二面角为30°，∴，得………………………………………………………………12分考点：（1）证明平面与平面垂直；（2）利用空间向量解决二面角问题.．19.（本小题满分12分）心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表：（单位：人）（Ⅰ）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（Ⅱ）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5—7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6—8分钟，现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率．（Ⅲ）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）．附表及公式【答案】（Ⅰ）有的把握认为视觉和空间能力与性别有关.；（Ⅱ）；(Ⅲ)0.5．【解析】试题分析：(1)独立性检验是考察两个分类变量是否有关系，根据表中的数据计算随机变量的观测值，越大说明两个分类变量有关系的可能性越大.（2）注意判断是古典概型还是几何概型，基本事件前者是有限的，后者是无限的，两者都是等可能性.(3)在几何概型中注意区域是线段，平面图形，立体图形.（4）求解离散随机变量分布列和方差，首先要理解问题的关键，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相对应的概率，写成随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算.．试题解析：(Ⅰ)由表中数据得的观测值()2250221288505.556 5.024302030209K⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯所以根据统计有的把握认为视觉和空间能力与性别有关.(Ⅱ)设甲、乙解答一道几何题的时间分别为分钟，则基本事件满足的区域为(如图所示)y1O设事件为“乙比甲先做完此道题” 则满足的区域为由几何概型即乙比甲先解答完的概率为.(Ⅲ)由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有种；恰有一人被抽到有种；两人都被抽到有种可能取值为，，，的分布列为：1.考点：1.检验；2.几何概型，超几何分布 20.（本小题满分12分）已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形， 直线与以椭圆C 的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 为椭圆C 上一点，若过点的直线与椭圆C 相交于不同的两点S 和T ， 满足（O 为坐标原点），求实数的取值范围. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）． 【解析】试题分析：（1）设椭圆的方程，用待定系数法求出的值；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论.．试题解析：（Ⅰ）由题意，以椭圆的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为， ∴圆心到直线的距离（*）………………………………1分 ∵椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形， ∴,， 代入（*）式得， ∴，故所求椭圆方程为……………………………………………………4分（Ⅱ）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为，设， 将直线方程代入椭圆方程得：， ∴()()081628214642224>+-=-+-=∆k kk k ，∴.设,，则， 由，当,直线为轴，点在椭圆上适合题意； 当，得∴.将上式代入椭圆方程得：， 整理得：，由知，，所以，综上可得. ………………………………………………………12分 考点：(1)椭圆的方程； （2）直线与椭圆的综合问题．21.（本小题满分12分）已知函数f（x）=，曲线在点（0,2）处的切线与轴交点的横坐标为-2.（Ⅰ）求a；（Ⅱ）当时，曲线与直线只有一个交点,求x的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】试题分析：利用导数的几何意义求曲线在点处的斜率，然后根据直线过两点再次得到直线的斜率，列出方程得到的值.(2)根据曲线与直线只有一个交点,可以得到方程有唯一解,构造函数，然后利用函数的性质得到x的取值范围(3)分类讨论是学生在学习过程中的难点，要找好临界条件进行讨论.．试题解析：（I）由,知,而曲线在点处的切线过点, ，……………6分（II）法一时，曲线与直线只有一个交点,时方程有唯一解,即有唯一解.当x=0时，显然无解.当时，变形为，……………………………………①令，由，知时，为增函数，时，为减函数，故时，.而，故方程①无解.若,，为减函数,且,即时，故时，方程①有唯一解，综上知，所求x的取值范围是.………………………………………………12分法二时，曲线与直线只有一个交点,时方程 ()有唯一解,当x=0时，显然无解.当时，变形为，解32232 34(2)(1)34100 x x x x x x xx x x-++-+-+<⇔<⇔<得.令,知,当，时，在，单调递减，故，，有唯一解.综上知，所求x的取植范围是 .…………………………………………12分考点：函数与导数性质的应用．四．请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22.（本小题满分10分）选修4—1: 几何证明选讲的延长线于P，已知.证明（Ⅰ）；（Ⅱ）．【答案】（Ⅰ）略；（Ⅱ）略．【解析】试题分析：（1）根据圆的切线性质可得：又由已知进而可得所以可以得出；（2）由内接圆的性质可得三角形相似故可以得出所以得到．试题解析：（Ⅰ）∵与⊙相切于点，∴. …………………2分又，∴，∴. …………………………5分（Ⅱ）∵四边形内接于⊙，∴，又，∴∽.∴，即，∴. ………………………10分考点：圆的性质的综合应用.23.（本小题满分10分）选修4-4: 坐标系与参数方程已知平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线方程为．的参数方程为（为参数）．（Ⅰ）写出曲线的直角坐标方程和的普通方程；（Ⅱ）设点为曲线上的任意一点，求点到曲线距离的取值范围．【答案】（Ⅰ）：，：；（Ⅱ）．【解析】试题分析：(1)掌握常见的参数方程与普通方程相互转化的方法；（2）根据圆的性质得到点到曲线的最大值和最小值即可得到点到曲线距离的取值范围．试题解析：（I ）的直角坐标方程：， 的普通方程：．5分 （II ）由（I ）知，为以为圆心，为半径的圆，的圆心到的距离为，则与相交，到曲线距离最小值为0，最大值为，则点到曲线距离的取值范围为 ．………………………………………………………10分考点：(1)参数方程的应用；（2）两点间的距离公式. 24.（本小题满分10分） 选修4—5:不等式选讲 已知关于的不等式，其解集为. （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，均为正实数，且满足，求的最小值. 【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）． 【解析】试题分析：（Ⅰ）将不等式转化为，脱去绝对值即可得到，然后根据解集为得到的值；（Ⅱ）利用不等式的性质或构造二次函数的性质即可得到的取值范围． 试题解析：（Ⅰ）不等式可化为， ………1分 ∴，即,∵其解集为，∴ ，. ………………………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，（方法一：利用基本不等式） ∵ ，∴ ，∴当且仅当时，取最小值为.……………10分 .（方法二：利用柯西不等式）∵ 222222()(11)(11)()9a b a b a b +⋅+≥⨯+⨯=+=， ∴ ，∴当且仅当时，取最小值为.……………10分 （方法三：消元法求二次函数的最值） ∵，∴，∴222222399(3)2692()222a b a a a a a +=+-=-+=-+≥， ∴当且仅当时，取最小值为.………………………………10分考点：（1）含绝对值不等式的解法；（2）不等式的性质.*39583 9A9F 骟34841 8819 蠙25464 6378 捸B38859 97CB 韋I32693 7FB5 羵22785 5901 夁'Q27612 6BDC 毜21808 5530 唰。
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2021年江西省赣中南五校高三下学期2月第一次联考理科数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}2,0x M y y x ==>，{}lg N x y x ==，则MN 为A ．（0，＋∞）B ．（1，＋∞）C ．[2，＋∞）D ．［1，＋∞）2．已知一个几何体的三视图是三个全等的边长为1的正方形，如图所示，则它的体积为A ．16 B ．13 C ．23D ．56 3．已知倾斜角为α的直线l 与直线230x y +-=垂直，则2015cos(2)2πα-的值为 A ．45 B ．45- C ．2 D ．12- 4．已知,m n 是两条不同．．的直线，,,αβγ是三个不同．．的平面，则下列命题中正确的是 A ．若,,//αγαβγβ⊥⊥则 B ．若//,,,//m n m n αβαβ⊂⊂则 C ．若//,,,//m n m n αβαβ⊥⊥则 D ．若//,//,//m n m n αα则5．如图所示，点P 是函数2sin()(,0)y x x R ωϕω=+∈>图象的最高点，M 、N 是图象与x 轴的交点，若0PM PN ⋅=，则ω等于（ ）A ．8B ．8π C ．4π D ．2π 6．ABC ∆外接圆圆心O ，半径为1，2AO AB AC =+且OA AB =，则向量BA 在向量BC方向的投影为A ．21B ．23C ．21-D ．23-7．若非零向量,a b 满足223a b =，且()(32)a b a b -⊥+，则a 与b 的夹角为 A ．π B ．2πC ．34π D ．4π 8．不等式组2204x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的点集记为M ，不等式组220x y y x -+≥⎧⎨≥⎩表示的点集记为N ，在M 中任取一点P ，则P ∈N 的概率为 A ．732 B ．932 C ．916D ．7169．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，如果这个球的体积是323π，那么这个三棱柱的体积是（） A ．B ．C ．D ．10．已知函数1()n n f x x +=,n ∈N *的图象与直线1x =交于点P ，若图象在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标n x ，则12013log x ＋22013log x ＋…＋20122013log x 的值为A ．1B ．1－log 20132012C ．-log 20132012D ．－111．已知函数0()ln(1),0x f x x x ≥=⎪--<⎩,若函数()()F xf x kx =-有且只有两个零点,则k 的取值范围为A ．(0,1)B ．1(0,)2C ．1(,1)2D ．(1,)+∞12．已知函数()y f x =对任意的(,)22x ππ∈-满足()cos ()sin 0f x x f x x '+>（其中()'f x 是函数()f x 的导函数），则下列不等式成立的是（ ）A ．(0)()4f π>B ()()34f ππ<C ．(0)2()3f f π>D ()()34f ππ-<-二、填空题13．已知数列{}n a 为等差数列，1233a a a ++=，5679a a a ++=，则4a = ．14．设01a b >>，，若2a b +=，则411a b +-的最小值为______ ． 15．已知数列{}n a 满足1331(*,2)n n n a a n N n -=+-∈≥,且15a =，则n a = ．16．有下列4个命题:①若函数()f x 定义域为R,则()()()g x f x f x =--是奇函数;②若函数()f x 是定义在R 上的奇函数,R x ∈∀,()(2)0f x f x +-=,则()f x 图像关于x=1对称;③已知x 1和x 2是函数定义域内的两个值（x 1<x 2）,若12()()f x f x >,则()f x 在定义域内单调递减;④若()f x 是定义在R 上的奇函数, (2)f x +也是奇函数,则()f x 是以4为周期的周期函数．其中,正确命题是 （把所有正确结论的序号都填上）．三、解答题17．设数列{a n }满足：a 1=1，a n+1=3a n ，n ∈N *．设S n 为数列{b n }的前n 项和，已知b 1≠0， 2b n –b 1=S 1•S n ，n ∈N *．（Ⅰ）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（Ⅱ）设3n n n c b lon a =⋅，求数列{c n }的前n 项和T n ； （Ⅲ）证明：对任意n ∈N *且n ≥2，有221b a -+331b a -+…+nn b a -1＜23．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AD‖BC， 90ADC ∠=，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，PA=PD=AD=2，BC=1，CD=3．（Ⅰ）求证：平面PQB ⊥平面PAD ；（Ⅱ）若二面角M-BQ-C 为30，设PM=t ⋅MC ，试确定t 的值．19．心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关， 某数学兴趣小组为了 验 证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学 （男30女20）， 给所有同学几何题和代数题各一题， 让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如下表：（单位： 人）（Ⅰ）能否据此判断有97．5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（Ⅱ）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5—7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6—8分钟，现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率． （Ⅲ）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、 乙两女生被抽到的人数为X ， 求X 的分布列及数学期望E （X ） ． 附表及公式20．已知椭圆22 22:1(0)x yC a ba b+=>>的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线10x y++=与以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P为椭圆C上一点，若过点(2,0)M的直线l与椭圆C相交于不同的两点S和T，满足OS OT tOP+=（O为坐标原点），求实数t的取值范围．21．已知函数f（x）=323ln2x x x a-++，曲线()y f x=在点（0,2）处的切线与x轴交点的横坐标为-2．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）当1k<时，曲线()y f x=与直线2y kx=-只有一个交点,求x的取值范围．22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点A作⊙O的切线EP交CB的延长线于P，已知EAD PCA∠=∠．证明（Ⅰ）AD AB=；（Ⅱ）2DA DC BP=⋅．23．已知平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C方程为2sinρθ=．2C的参数方程为11232x ty⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数）．（Ⅰ）写出曲线1C 的直角坐标方程和2C 的普通方程；（Ⅱ）设点P 为曲线1C 上的任意一点，求点P 到曲线2C 距离的取值范围． 24．已知关于x 的不等式m －|x －2|≥1，其解集为[0，4]． (1)求m 的值；(2)若a ，b 均为正实数，且满足a ＋b ＝m ，求a 2＋b 2的最小值．参考答案1．B 【解析】试题分析：因为{}{}1|0,2|>=>==y y x y y M x，{}{}0|lg |>===x x x y x N ，所以{}1|>=x x N M ；故选B ． 考点：集合的交并运算． 2．C 【解析】试题分析：该三视图对应的空间几何体为边长为1的正方体去掉一个三棱锥如下图所示：所以它的体积为321131111=⨯⨯-⨯⨯；故选C ． 考点：三视图的应用． 3．A 【解析】 试题分析：由题意可得：2tan =α，所以541tan tan 2cos sin cos sin 22sin 222015cos 222=+=+==⎪⎭⎫⎝⎛-ααααααααπ；故选A ． 考点：1．两直线的位置关系；2．诱导公式． 4．C 【解析】试题分析：A ．若,,//αγαβγβ⊥⊥则 或相交；B ．若//,,,//m n m n αβαβ⊂⊂则或相交；D ．若//,//,//m n m n αα则或在平面内；故选C ．考点：空间几何元素的位置关系． 5．B 【解析】试题分析：由题意可得：，,所以；所以函数的周期为16即故选B ．考点：1．三角函数的性质；2．向量运算． 6．A 【解析】试题分析：因为-+-=⇒+=22所以-=，所以C B O ,,三点共线即AC AB ⊥；又因为1==，所以2=BC ，所以()1BA BC BA AC AB ⋅=⋅-=故向量BA 在向量BC 上的投影为21选A ．考点：平面向量数量积的含义及其物理意义． 7．D 【解析】 试题分析：由()(32)a b a b -⊥+可得223a b b⋅=，所以22223cos ,222ba b a b a b b ⋅===⋅，所以a 与b 的夹角为4π；故选D ．考点：向量的运算及夹角． 8．B 【解析】试题分析：列出相应的区域如下所示：区域M 是正方形区域，区域N 是阴影区域，()292212=-+=⎰-dx x x s 阴影，所以P ∈N 的概率为932；故选B ． 考点：几何概型的应用． 9．D 【分析】根据球体体积求得球半径，结合球半径和棱柱高的倍数关系，以及球半径和底面三角形棱长之间的关系，求得棱柱的高和底面三角形棱长，再由棱柱的体积公式即可求得结果. 【详解】不妨设该正三棱柱的底面棱长为a ，高为h ，内切球半径为R ， 由题可知343233R ππ=，解得2R =； 又24R h ==，故可得该棱柱的高4h =， 又因为该球体与棱柱三个侧面都相切，故半径为2R =的圆是边长为a 的正三角形的内切圆， 231332a R a =⨯⨯=， 解得3a =故该正三棱柱的体积23483V Sh h ==⨯=故选：D. 【点睛】本题考查棱柱的内切球，涉及球体体积的计算，属中档题.10．D 【解析】试题分析：由题意可得：点()1,1P ，()()nn x n x f 1'+=，所以点P 处的切线切线的斜率为1+n 故可得切线的方程为()()111-+=-x n y ，所以与x 轴交点的横坐标1+=n nx n ，则12013log x ＋22013log x ＋…＋20122013log x 120131log log 20132013212013-===x x x ；故选D ． 考点：1．导数的几何意义；2．对数运算． 11．C 【解析】试题分析：由题意可得当0≥x 时()1212+=x x f 为双曲线在第一象限的部分，渐近线方程为x y 21±=， 当1=k 时有()x y --=1ln 可得111'=-=xy ，所以0=x 即()x y --=1ln 在0=x 出的切线方程为x y =此时函数()()F x f x kx =-有且只有一个交点若；故选．若函数()()F x f x kx =-有且只有两个零点,则k 的取值范围为1(,1)2．考点：函数零点与方程根的关系． 12．D 【分析】 构造函数()()cos f x F x x=，利用函数()'F x 导数判断函数()F x 的单调性，将ππππ0,,,,3434x =--代入函数()F x ，根据单调性选出正确的选项.【详解】 构造函数()()cos f x F x x=，依题意()()()2cos sin 0cos f x x f x xF x x+='>'，故函数在定义域上为增函数，由()π04F F ⎛⎫< ⎪⎝⎭得()π04πcos 0cos4f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭<，即()π04f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，排除A 选项. 由ππ34F F ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得ππ34ππcos cos34f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>ππ34f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，排除B 选项.由()π03F F ⎛⎫< ⎪⎝⎭得()π03πcos 0cos3f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭<，即()π023f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，排除C ，选项. 由ππ34F F ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得ππ34ππcos cos 34f f ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即ππ34f ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，D 选项正确，故选D. 【点睛】本小题主要考查构造函数法比较大小，考查函数导数的概念，考查函数导数运算，属于基础题. 13．2 【解析】试题分析：因为数列{}n a 为等差数列且1233a a a ++=，5679a a a ++=，所以212644=⇒=a a ；故填2．考点：等差数列的性质． 14．9 【分析】注意到11a b +-=，可把411a b +-变形为()4111a b a b ⎛⎫⎡⎤++- ⎪⎣⎦-⎝⎭，展开后可用基本不等式求最小值． 【详解】因为11a b +-=，所以()4141111a b a b a b ⎛⎫⎡⎤+=++- ⎪⎣⎦--⎝⎭()4151b aab -=++-，因1b >，故10b ->，又0a >，由基本不等式得()41591b aab -++≥-，当且仅当24,33a b ==时等号成立，故411a b +-的最小值为9，填9． 【点睛】应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证. 15．n a =11322n n ⎛⎫++ ⎪⎝⎭ 【解析】试题分析：)2(1331≥-+=-n a a n n n ①，13311-+=∴++n n n a a ②，②—①，得)2(32)(311≥⨯+-=--+n a a a a nn n n n ，即233111+-=---+n n n n n n a a a a ， 又63,2313531222=-=-+⨯=a a a ，所以数列{}1--n n a a 是以6312=-aa 为首项、公差为2的等差数列，则22)2(26311+=-+=---n n a a n n n ，即113)22(--⋅+=-n n n n a a ；则112332⨯⨯=-a a ，223342⨯⨯=-a a ， 334352⨯⨯=-a a ，⋅⋅⋅，113)1(2--⋅+=-n n n n a a ，上述式子相加，得]3)1(2353433[21321-⋅++⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=-n n n a a ，则=-)(31a a n ]3)1(232353433[21432n n n n ⋅++⋅+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯-，两式相减除以2，得nn n n a a 2)1()3333(914321⋅+-+⋅⋅⋅++++=--，即293)21(2)1(31)31(3921-⋅+=⋅+---+=--n n n n n n a a ；则21321+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n a ；故填21321+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n ．考点：1．由数列的递推式求通项；2．累加法；3．错位相减法． 16．①④ 【解析】试题分析：①()()()()()[]()x g x f x f x f x f x g -=---=--=-所以函数是是奇函数，②若()f x 图像关于1=x 对称则应有()()20f f =，由()(2)0f x f x +-=可得()()020=+f f 所以不一定成立，③21,x x 值的取法应该是任意的，④因为()f x 是定义在R上的奇函数, (2)f x +也是奇函数,所以()()()()()(),222,1 +-=+--=-x f x f x f x f 由()1可得()()22--=+-x f x f ，将()3代入()2可得()()22--=+-x f x f 即()()22-=+x f x f ，所以()f x 是以4为周期的周期函数；故填①④． 考点：命题真假的判断． 17．（Ⅰ）a n =3n –1b n =2n –1；（Ⅱ）T n =（n –2）2n+2；（Ⅲ）见解析．【解析】试题分析：（1）给出n S 与n a 的关系，求n a ，常用思路：一是利用()21≥=--n a S S n n n 转化为n a 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S 的递推关系，先求出n S 与n 的关系，再求n a ；由n S 推n a 时，别漏掉1=n 这种情况，大部分学生好遗忘;（2）一般地，如果数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求数列{}n n b a ⋅的前n 项的和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{}n b 的公比，然后做差求解；（3）利用不等式放缩时掌握好规律，怎样从条件证明出结论． 试题解析：（Ⅰ）∵a n+1=3a n ，∴{a n }是公比为3，首项a 1=1的等比数列， ∴通项公式为a n =3n –1．∵2b n –b 1=S 1•S n ，∴当n=1时，2b 1–b 1=S 1•S 1， ∵S 1=b 1，b 1≠0，∴b 1=1． ∴当n ＞1时，b n =S n –S n –1=2b n –2b n –1，∴b n =2b n –1，∴{b n }是公比为2，首项a 1=1的等比数列， ∴通项公式为b n =2n –1．（Ⅱ）c n =b n •log 3a n =2n –1log 33n –1=（n –1）2n –1，T n =0•20+1•21+2•22+…+（n –2）2n –2+（n –1）2n –1……①2T n = 0•21+1•22+2•23+……+（n –2）2n –1+（n –1） 2n……②①–②得：–T n =0•20+21+22+23+……+2n –1–（n –1）2n=2n–2–（n –1）2n =–2–（n –2）2n∴T n =（n –2）2n+2． （Ⅲ）n n b a -1=11231---n n =122331---⋅n n =)23(231222----+n n n ≤231-n 221b a -+331b a -+…+n n b a -1＜031+131+…+231-n =311)31(11---n=23（1–131-n ）＜23． 考点：（1）求数列的通项公式；（2）错位相减求数列的和；（3）证明恒成立的问题． 18．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）3． 【解析】试题分析：（1）利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算．其中灵活建系是解题的关键．（2）证明面面垂直，需证线线垂直，只需要证明直线的方向向量垂直；（3）把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;（4）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化．同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备．．试题解析：（Ⅰ）∵AD ∥BC ，BC=12AD ，Q为AD 的中点，∴四边形BCDQ 为平行四边形，∴CD ∥BQ ． ∵∠ADC=90°，∴∠AQB=90°，即QB ⊥AD ． 又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD∩平面ABCD=AD ， ∴BQ ⊥平面PAD ．∵BQ ⊂平面PQB ，∴平面PQB ⊥平面PAD ． （Ⅱ）∵PA=PD ，Q 为AD 的中点，∴PQ ⊥AD ．∵面PAD ⊥面ABCD ，且面PAD∩面ABCD=AD ，∴PQ ⊥面ABCD ． 如图，以Q 为原点建立空间直角坐标系．则平面BQC 的法向量为 (0,0,1)n =；(0,0,0)Q ，3)P ，3,0)B ，(3,0)C -．设(,,)M x y z ，则(,,3)PM x y z =，(13,)MC x y z =---1(1)3(3)3()3t x t x t x t y t y y z t z z ⎧=-⎪+=--⎧⎪⎪⎪=⇒⎨⎨⎪⎪=-⎩⎪=⎪⎩ PM t MC =⋅,∴，在平面MBQ 中，(0,3,0)QB =，331t t QM t ⎛=- +⎝， ∴平面MBQ 法向量为(3,0,)m t =．∵二面角M BQ C --为30°，∴23cos3030n m n mt ⋅︒===⋅++，得3t =考点：（1）证明平面与平面垂直；（2）利用空间向量解决二面角问题．． 19．（Ⅰ）有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关．；（Ⅱ）18；（Ⅲ）0．5．【解析】试题分析：（1）独立性检验是考察两个分类变量是否有关系，根据表中的数据计算随机变量的观测值k ，k 越大说明两个分类变量有关系的可能性越大．（2）注意判断是古典概型还是几何概型，基本事件前者是有限的，后者是无限的，两者都是等可能性．（3）在几何概型中注意区域是线段，平面图形，立体图形．（4）求解离散随机变量分布列和方差，首先要理解问题的关键，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相对应的概率，写成随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算．． 试题解析：（Ⅰ）由表中数据得2K 的观测值()225022128850 5.556 5.024*********K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯所以根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关．（Ⅱ）设甲、乙解答一道几何题的时间分别为x y 、分钟，则基本事件满足的区域为5768x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩（如图所示）yx11O设事件A 为“乙比甲先做完此道题” 则满足的区域为x y >∴由几何概型11112()228P A ⨯⨯==⨯ 即乙比甲先解答完的概率为18． （Ⅲ）由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有2828C =种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有2615C =种；恰有一人被抽到有1126=12C C ⋅种；两人都被抽到有221C =种X ∴可能取值为0,1,2，15(0)28P X ==，123(1)287P X ===，1(2)28P X == X 的分布列为：151211()0+1+22828282E X ∴=⨯⨯⨯=．考点：1．2K 检验；2．几何概型，超几何分布20．（Ⅰ）.1222=+y x ；（Ⅱ）()2,2-． 【解析】试题分析：（1）设椭圆的方程，用待定系数法求出22,b a 的值；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程．第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程．第三步：求解判别式∆：计算一元二次方程根．第四步：写出根与系数的关系．第五步：根据题设条件求解问题中结论．． 试题解析：（Ⅰ）由题意，以椭圆C 的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为222)(a y c x =+-，∴圆心到直线01=++y x 的距离12c d a +==（*）∵椭圆C 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形， ∴b c =,c b a 22==， 代入（*）式得1b c ==， ∴22==b a ，故所求椭圆方程为.1222=+y x（Ⅱ）由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 方程为)2(-=x k y ，设()00,P x y ， 将直线方程代入椭圆方程得：()0288212222=-+-+k x k xk ，∴()()081628214642224>+-=-+-=∆k kkk ，∴212<k ． 设()11,y x S ,()22,y x T ，则222122212128,218k k x x k k x x +-=+=+，由OS OT tOP +=，当0t =,直线l 为x 轴，P 点在椭圆上适合题意；当0≠t ，得201220121228124(4)12k tx x x k k ty y y k x x k =+=+-=+=⎧⎪⎪⎨+-=+⎪⎪⎩∴20218,12k x t k =⋅+021412k y t k -=⋅+． 将上式代入椭圆方程得：1)21(16)21(3222222224=+++k t k k t k ， 整理得：2222116kk t +=，由212<k 知，402<<t ，所以()2,0(0,2)t ∈-， 综上可得(2,,2)t ∈-．考点：（1）椭圆的方程； （2）直线与椭圆的综合问题． 21．（Ⅰ）e ；（Ⅱ）()0,1-． 【解析】试题分析：利用导数的几何意义求曲线在点()2,0处的斜率，然后根据直线过两点再次得到直线的斜率，列出方程得到a 的值．（2）根据曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点,可以得到方程32322x x x kx -++=-有唯一解,构造函数24()31(0)h x x x x x=-++≠，然后利用函数的性质得到x 的取值范围（3）分类讨论是学生在学习过程中的难点，要找好临界条件进行讨论．．试题解析：（I ）由2()36ln f x x x a '=-+,知(0)ln f a '=, 而曲线()y f x =在点(0,2)处的切线过点(2,0)-,20ln 02a -=+ ， a e =（II ）法一 1k <时，曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点,⇔1k <时方程32322x x x kx -++=-有唯一解,即3234(1)x x x kx k -++=<有唯一解． 当x=0时，显然无解．当0x ≠时，变形为2431(1)x x k k x-++=<， 令24()31(0)h x x x x x=-++≠，由2224(2)(22)()23x x x h x x x x -++'=--=，知2x >时()0h x '>，()h x 为增函数，02x <<时()0h x '<，()h x 为减函数， 故(0,)x ∈+∞时，()(2)1h x h ≥=．而1k <，故方程①无解． 若0x <,()0h x '<，()h x 为减函数,且(1)1h -=,即10x -<<时()1h x <，故10x -<<时，方程①有唯一解， 综上知，所求x 的取值范围是(1,0)x ∈-．法二 1k <时，曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点,⇔时方程32322x x x kx -++=- （1k <）有唯一解,当x=0时，显然无解．当0x ≠时，变形为3234(1)x x x k k x-++=<，解3223234(2)(1)34100x x x x x x x x x x-++-+-+<⇔<⇔<得1x 0．令3234()x x h x x -+=,知22(2)(22)()x x x h x x -++'=,当1x 0，时()0h x '<，()h x 在(1,0)，单调递减，故1x0，3234(1)x x x k k x-++=<，有唯一解．综上知，所求x 的取植范围是x (1,0)考点：函数与导数性质的应用．22．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析． 【解析】试题分析：（1）根据圆的切线性质可得：EAD DCA ∠=∠又由已知EAD PCA ∠=∠进而可得DCA PCA ∠=∠所以可以得出AD AB =；（2）由内接圆的性质可得三角形相似故可DCBA=所以得到2DA DC BP =⋅． 试题解析：（Ⅰ）∵EP 与⊙O 相切于点A ， ∴EAD DCA ∠=∠． 又EAD PCA ∠=∠，∴DCA PCA ∠=∠， ∴AD AB =．（Ⅱ）∵四边形ABCD 内接于⊙O ， ∴D PBA ∠=∠， 又DCA PCA PAB ∠=∠=∠， ∴ADC ∆∽PBA ∆． ∴DA DC BP BA =，即DA DCBP DA=，∴2DA DC BP =⋅． 考点：圆的性质的综合应用．23．（Ⅰ）1C ：()2211x y +-=，2C 0y -+=；（Ⅱ）⎡⎢⎣⎦． 【解析】试题分析：（1）掌握常见的参数方程与普通方程相互转化的方法；（2）根据圆的性质得到点到曲线的最大值和最小值即可得到点P 到曲线2C 距离的取值范围． 试题解析：（Ⅰ）1C 的直角坐标方程：()2211x y +-=，2C 0y -=． 5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，1C 为以()0,1为圆心，1r =为半径的圆，1C 的圆心()0,1到2C 的距离为1d ==<，则1C 与2C 相交，P 到曲线2C 距离最小值为0，最大值为12d r +=，则点P 到曲线2C 距离的取值范围为⎡⎢⎣⎦．考点：（1）参数方程的应用；（2）两点间的距离公式． 24．（1）3；（2）92【解析】试题分析:（1）根据不等式解集为对应方程的解得0,4为m－|x－2|=1两根，解得m的值；（2）由柯西不等式得(a2＋b2)(12＋12)≥(a×1＋b×1)2，代入条件a＋b＝3，即得a2＋b2的最小值．试题解析：(1)不等式m－|x－2|≥1可化为|x－2|≤m－1，∴1－m≤x－2≤m－1，即3－m≤x≤m＋1.∵其解集为[0，4]，∴∴m＝3.(2)由(1)知a＋b＝3，∵(a2＋b2)(12＋12)≥(a×1＋b×1)2＝(a＋b)2＝9，∴a2＋b2≥，∴a2＋b2的最小值为.。