1.1.2 旋转体与简单组合体的结构特征(课件)

2．圆锥的侧面展开图是( )
A．三角形
B．长方形
C．正方形
D．扇形
D [圆锥的侧面展开图是扇形．选 D.]
3．图 1-1-15 所表示的简单组合体可由下面某个图形绕对称轴旋转而成， 这个图形是( )
图 1-1-15
C [该组合体上方是圆锥，下方是圆柱，故应选 C.]
[合 作 探 究·攻 重 难]
[自 主 预 习·探 新 知]
1．圆柱、圆锥、圆台、球
分类
定义
图形及表示
以___矩__形__的__一__边__所__在__直__线__为旋转轴，其 余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫 做圆柱．旋转轴叫做圆柱的轴；___垂__直__ 圆柱 于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底 面；___平__行____于轴的边旋转而成的曲面 我们用表示圆柱轴的 叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置， 字母表示圆柱，左图 __不__垂__直_于轴的边都叫做圆柱侧面的母线 可表示为_圆___柱__O_O_′__
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人教A版 必修二
第一章 空间几何体
1.1 空间几何体ຫໍສະໝຸດ Baidu结构
1.1.2 旋转体与简单组合体的结构特 征
学习目标：1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义. 2.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征．(重点) 3.认 识 简 单 组 合 体 的 结 构 特 征 ， 了 解 简 单 组 合 体 的 两 种 基 本 构 成 形 式．(重点、易混点)
2．如图 1-1-17 所示的简单组合体的组成是( )
A．棱柱、棱台 B．棱柱、棱锥 C．棱锥、棱台 D．棱柱、棱柱
图 1-1-17
B [由图知，简单组合体是由棱锥、棱柱组合而成．]
3．如图 1-1-18，AB 为圆弧 BC 所在圆的直径，∠BAC＝45°.将这个平面图 形绕直线 AB 旋转一周，得到一个组合体，试说明这个组合体的结构特征．
[基础自测] 1．思考辨析 (1)直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥．( ) (2)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是圆柱．( ) (3)圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台．( ) (4)半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球．( )
[提示] (1)× 应绕直角三角形的直角边旋转，才得到圆锥． (2)× 截面需与底面平行． (3)√ (4)× 半圆面绕其直径所在直线旋转一周才是球．
以直___角__三__角__形__的__一__条__直__角__边
所在直线为旋转轴，其余两 圆锥
边旋转形成的面所围成的旋
转体叫做圆锥
我们用表示圆锥轴的字母表示圆
锥，左图可表示为___圆__锥__S_O___
用平行于_圆__锥__底__面__
的平面去截圆锥，底 圆台
面与截面之间的部
分叫做圆台
我们用表示圆台轴的字母表示圆台，左图
例 3、如图 1-1-19 所示，用一个平行于圆锥 SO 底面的平面截这个圆锥，截 得圆台上、下底面的面积之比为 1∶16，截去的圆锥的母线长是 3 cm，求圆 台 O′O 的母线长.
图 1-1-19 思路探究：过圆锥的轴作截面图，利用三角形相似解决．
[解] 设圆台的母线长为 l cm，由截得的圆台上、 下底面面积之比为 1∶16，可设截得的圆台的上、下底 面的半径分别为 r,4r，过轴 SO 作截面，如图所示．
则△SO′A′∽△SOA，SA′＝3 cm. 所以SSAA′＝O′OAA′.所以3＋3 l＝4rr＝14. 解得 l＝9(cm)，即圆台的母线长为 9 cm.
母题探究：1．把本例的条件换为“圆台两底面半径分别是 2cm 和 5cm，母 线长是 3 10 cm”，则它的轴截面的面积是________．
2．（2019 年东湖区校级月考）正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，
所得几何体是( )
A．圆柱
B．圆锥
C．圆台
D．两个圆锥
【答案】D [易知是两个圆锥．选 D.]
3．如图 1-1-20 所示的几何体是由简单几何体________构成的．
【答案】四棱台和球
图 1-1-20
4．（2019 年九江模拟）一个圆锥的母线长为 20 cm，母线与轴的夹角为 30°，则圆锥的高为________cm.
【答案】10 3 [h＝20cos 30°＝10 3 cm.]
5．（2019 年梅州月考）一个有 30°角的直角三角板绕其各条边所在直线 旋转所得几何体是圆锥吗？如果以斜边上的高所在的直线为轴旋转 180°得到 什么图形？旋转 360°又得到什么图形？
【答案】图①、②旋转一周得到的几何体是圆锥； 图③旋转一周所得几何体是两个圆锥拼接而成的几何体； 图④旋转 180°是两个半圆锥的组合体，旋转 360°，旋转轴左侧的直角三 角形旋转得到的圆锥隐藏于右侧直角三角形旋转得到的圆锥内，为一个圆锥．
[提示] 它们的相同点是：它们都是由平面图形旋转得到的；不同点是： 圆柱和圆台有两个底面，圆锥只有一个底面，圆柱的两个底面是半径相等的 圆，圆台的两个底面是半径不相等的圆，圆锥只有一个底面；当底面发生变 化时，它们能相互转化，即圆台的上底面扩大，使上下底面全等，就是圆柱； 圆台的上底面缩为一个点就是圆锥．
思考 2：球与球面有何区别？ [提示] 球与球面是两个完全不同的概念，球是指球面所围成的空间， 而球面只指球的表面部分．
2．组合体的结构特征 (1)定义：由__简__单__几___何__体___组合而成的几何体． (2)基本形式： 简单组合体由 由简 简单 单几 几何 何体 体__截__拼__去__接__或____挖_而_去_成__；__一部分而成.
[解] 如下图所示，这个组合体是由一个圆 锥和一个半球体拼接而成的．
图 1-1-18
几何体中的计算问题
[探究问题] 1．圆柱、圆锥、圆台平行于底面的截面是什么样的图形？ [提示] 圆面． 2．圆柱、圆锥、圆台过轴的截面是什么样的图形？ [提示] 分别为矩形、等腰三角形、等腰梯形．
3．经过圆台的任意两条母线作截面，截面是什么图形？ [提示] 因为圆台可以看成是圆锥被平行于底面的平面所截得到的几何 体，所以任意两条母线长度均相等，且延长后相交，故经过这两条母线的截 面是以这两条母线为腰的等腰梯形．
可表示为__圆__台__O__O_′____
以半圆的直径所在直线为旋转轴，_半__球__面_
旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称
球 球．半圆的圆心叫做球的_球__心__，半圆的
半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的 球常用球心字母进行
直径
表示，左图可表示为
___球__O____
思考 1：圆柱、圆锥、圆台都是旋转体，它们在结构上有哪些相同点和 不同点？三者的关系如何？当底面发生变化时，它们能否互相转化？
C．①③
D．②④
(2)下列命题中正确的是 ( ) ①过球面上任意两点只能作一个经过球心的圆； ②以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做 球体，半圆的直径叫做球的直径； ③用不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面； ④球面上任意三点可能在一条直线上； ⑤球的半径是连接球面上任意一点和球心的线段． A．①②③ B．②③④ C．②③⑤ D．①④⑤
63 cm2 [画出轴截面，如图，过 A 作 AM⊥BC 于 M，
则 BM＝5－2＝3(cm)，AM＝ AB2－BM2＝9(cm)，
4＋10×9
所以 S 四边形 ABCD＝
2
＝63(cm2)．]
2．把本例的条件换为“一圆锥的母线长为 6，底面半径为 3，把该圆锥 截一圆台，截得圆台的母线长为 4”，则圆台的另一底面半径为________．
①② [①正确，圆柱的底面是圆面； ②正确，如图所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一
个矩形面； ③不正确，圆台的母线延长相交于一点； ④不正确，圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．]
简单组合体的结构特征 例 2、如图 1-1-16①②所示的图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分 别是由哪些简单几何体组成的？
1 [作轴截面如图，则
3r＝6－6 4＝13，所以 r＝1.]
[规律方法] 1．简单旋转体的轴截面及其应用 (1)简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构 特征的关键量． (2)在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转 化思想．
2．与圆锥有关的截面问题的解决策略 (1)画出圆锥的轴截面． (2)在轴截面中借助直角三角形或三角形的相似关系建立高、母线长、底 面圆的半径长的等量关系，求解便可．
旋转体的结构特征 例 1、(1)下列结论： ①在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的 母线； ②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线； ③在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母 线；
④圆柱的任意两条母线相互平行．
其中正确的是 ( )
A．①② B．②③
图 1-1-16
思路探究：先将平面图形割补成三角形、梯形、矩形，再旋转识别几何体．
[解] 旋转后的图形如图所示．其中图①是由一个圆柱 O1O2 和两个圆台 O2O3，O3O4 组成的；图②是由一个圆锥 O5O4，一个圆柱 O3O4 及一个圆台 O1O3 中挖去圆锥 O2O1 组成的．
[规律方法] 旋转体形状的判断方法 1判断旋转体形状的关键是轴的确定，看是由平面图形绕哪条直线旋转 所得，同一个平面图形绕不同的轴旋转，所得的旋转体一般是不同的. 2在旋转过程中观察平面图形的各边所形成的轨迹，应利用空间想象能 力，或亲自动手做出平面图形的模型来分析旋转体的形状. 3要熟练掌握各类旋转体的结构特征.
提醒：圆柱、圆锥、圆台、球都是常见的旋转体，关于它们的结构特征， 要正确把握它们概念的本质，多考虑几种可能的情形.同时，要注意旋转 体的特征.
[跟踪训练] 1．给出下列说法：①圆柱的底面是圆面；②经过圆柱任意两条母线的截 面是一个矩形面；③圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交； ④夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体．其中说法正确的是 ________．
(1)D (2)C [(1)①所取的两点与圆柱的轴 OO′的连线所构成的四边形 不一定是矩形，若不是矩形，则与圆柱母线定义不符．③若所取两点连线的 延长线不一定与轴交于一点，则不符合圆台母线的定义．②④符合圆锥、圆 柱母线的定义及性质．
(2)由球的结构特征可知②③⑤正确，故选 C.]
[规律方法] 简单旋转体判断问题的解题策略 1准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的生成过程及其特征性质是解决此类 概念问题的关键. 2解题时要注意明确两点： ①明确由哪个平面图形旋转而成. ②明确旋转轴是哪条直线.
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．（2019 年南昌期中）下列关于圆柱的说法中不正确的是 ( ) A．圆柱的所有母线长都相等 B．用平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是与底面全等的圆面 C．用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个圆面 D．一个矩形以其对边中点的连线为旋转轴，旋转 180°所形成的几何体 是圆柱 【答案】C [根据圆柱的定义和结构特征，易知 C 不正确．选 C.]