有效数字及其与误差的关系
误差与有效数字
误差与有效数字一、误差：1．系统误差产生的原因及特点(1)来源：一是实验原理不够完善；二是实验仪器不够精确；三是实验方法粗略．例如，在验证力的平行四边形定则实验中，弹簧测力计的零点未校准；在验证牛顿第二定律的实验中，用砂和砂桶的重力代替对小车的拉力等．(2)基本特点：实验结果与真实值的偏差总是偏大或偏小．(3)减小方法：改善实验原理；提高实验仪器的测量精确度；设计更精巧的实验方法．2．偶然误差产生的原因及特点(1)来源：偶然误差是由于各种偶然因素对实验者和实验仪器的影响而产生的．例如，用刻度尺多次测量长度时估读值的差异；电源电压的波动引起的测量值微小变化．(2)基本特点：多次重复同一测量时，偶然误差有时偏大，有时偏小，且偏大和偏小的机会比较接近．(3)减小方法：多次测量取平均值可以减小偶然误差．除上述两类误差外，还有因工作疏忽而引起的过失误差。
如试剂用错，度读错，砝码认错，或者计算错误，均可引起很大的误差，这些都应力求避免。
3．绝对误差和相对误差从分析数据看，误差分为绝对误差和相对误差．绝对误差：绝对误差是测量值与真实值之差，即绝对误差=|测量值-真实值|．它反映了测量值偏离真实值的大小．相对误差：相对误差等于绝对误差与真实值之比，常用百分数表示．它反映了实验结果的精确程度．对于两个实验值的评价，必须考虑相对误差，绝对误差大者，其相对误差不一定大．【例1】指出以下误差是系统误差还是偶然误差A．测量小车质量时天平不等臂、或砝码不标准，天平底盘未调平所致的误差。
B．用有毫米刻度的尺测量物体长度，毫米以下的数值只能用眼睛估计而产生的误差C．用安培表内接法测电阻时，测量值比真实值大D．在验证共点力合成的平行四边形法则实验中，在画出两分力方向及合力方向时，画线不准所致误差【解析】A是选项是实验仪器不精确所致，是系统误差；B选项是由于测量者在估计时由于视线方向不准造成的，是偶然误差；C选项是实验原理不完善、忽略电流表内阻影响所致，是系统误差；D选项是画力方向时描点不准、直尺略有移动，或画线时铅笔倾斜程度不一致所致，是偶然误差。
第5讲 实验：误差和有效数字 长度的测量
第5讲实验：误差和有效数字长度的测量自主·夯实基础自主预习轻松过关名师点金这一部分知识的重点有：知道误差存在的客观性，以及对系统误差、偶然误差的区别；理解有效数字的物理意义，以及用有效数字表达常用仪表测量结果的方法．用游标卡尺、螺旋测微器测量长度时的读数问题在高考中出现频繁，但得分率低，要熟练地掌握好这两种常用仪器的测量方法，关键是：对于它们的设计、测量原理要变机械识记为深刻理解．知识梳理(一)误差和有效数字一、误差1．误差的定义：测量值与真实值的差异叫做误差．2．误差的公理：一切测量(实验)结果都具有误差．误差不可避免，但可减小．3．误差的分类：按来源可分为系统误差和偶然误差两大类．系统误差一般来源于实验原理的不完善、实验方法的不周密以及实验仪器的不精确，偶然误差则来源于实验者本身及一些偶然因素．4．误差的特征系统误差的特征是测量值偏离真实值的方向是确定的，即在多次重复同一实验时，误差总是同样地偏大或偏小；而偶然误差的特征是测量值偏离真实值的方向不确定，有时偏大，有时偏小，并且偏大和偏小的机会相同．正因为如此，“多次测量取平均值”才成为减小偶然误差的一种切实可行的方法．这个平均值往往比某一次测得的数值更接近于真实值．5．误差的表示方法通常有如下两种表示方法：绝对误差ΔN＝|测量值N－真实值N0|相对误差E＝×100%应该明确的是：由于测量误差的存在，在测量中，真值总是不能确切地知道，对于某一物理量进行多次测量的结果不会完全一样．在同样的测量条件下，通常用多次测量的算术平均值作为测量结果，它是真值的最好近似，一般是以多次测量的平均值代替真实值．二、有效数字1.定义:带有一位不可靠数字的近似数字,叫做有效数字．2.有效数字位数的确定(1)从左往右数，从第一个不为零的数字起，数到右边最末一位估读数字为止，包括末位为零的数字都是有效数字．如1.006 m、21.60 m 均为四位有效数字．(2)有效数字的位数与小数点的位置无关，如21.65 cm、0.2165 m 均为四位有效数字．(3)乘方不算有效数字，如3.6×103 kg是两位有效数字．5400 m与5.4×103 m所表示的有效数字位数是不同的，前者为四位有效数字，而后者为两位有效数字；所表示的意义也不相同，前者末位的“0”是估读的，后者“4”是估读的；前者所用的测量工具的最小单位为10 m，后者所用的测量工具的最小单位为1000 m．(4)注意：作为有效数字的“0”，无论是在数字的中间，还是在数字的末尾，均不能随意省略．例如：1.0 cm和1.00 cm的意义是不同的，1.0 cm为两位有效数字，1.00 cm为三位有效数字；两者的误差也不同，前者cm为准确位，mm为估读位，后者mm为准确位，mm的十分位为估读位，因此其准确度也不同．3．有效数字的读数规则(1)有些测量工具能直接读出最小分度的准确数，不需要再向下估读，也不需要在有效数字末位补“0”．如游标卡尺、机械秒表、电阻箱等(注意：同样存在读数误差)．(2)最小分度是“1”的仪器，测量误差出现在下一位，应按最小分度的估读．如最小刻度为1 mm 的刻度尺，测量误差出现在mm的十分位上，估读到十分之几毫米．(3)最小分度是“2”或“5”的仪器，测量误差出现在同一位上，应按最小分度的或估读．如：学生使用电流表的0.6A 量程时，最小分度为0.02 A，误差出现在电流的百分位上，只需读到电流的百分位，即只需估读半小格，不足半小格的舍去，超过半小格的按半小格估读．4．有效数字的运算规则许多物理量是从直接测量的结果计算出来的，测量结果既然是用有效数字表示的，在计算中就要遵守有效数字的规则．(1)不可靠的数字与别的数字相加减、相乘除，所得结果也是不可靠的．(2)计算结果只能保留一位不可靠的数字，但在计算过程中可以保留两位不可靠的数字，最后再四舍五入．(二)长度的测量一、刻度尺1．刻度尺又称米尺，常用米尺的最小刻度为1 mm，量程不等．2．用刻度尺测量物体的长度时要注意以下几点．(1)刻度线紧贴被测物，眼睛正对刻度线读数，以避免视差．(2)为防止因起点刻度线磨损而产生误差，常选择某一刻度线为测量起点，测量的长度等于被测物体的两个端点在刻度尺上的读数之差．(3)毫米以下的数值靠自测估读一位，估读到最小刻度值的．(4)测量精度要求高时，要进行多次测量后取平均值．二、游标卡尺1．构造：如图5－1所示．2．设计原理(1)游标卡尺的主尺上最小分度一般为1 mm，当游标尺上有N个分格时，往往与主尺上(N－1)个分格等长，即游标尺上的最小分度比主尺上最小分度相差K＝mm．有N＝10、20、50三种游标卡尺，精度分别为0.1 mm、0.05 mm、0.02 mm．(2)当两对测量爪的刀口合拢时游标尺上的“0”刻度线与主尺上的“0”刻度线对齐，当测量爪移开一段距离来测量某物体长度时，读数原理如图5－2所示：当游标尺上的第“0”刻度线左侧的主刻度为“a”、游标尺上“b”刻度与主尺上刻度对齐(或对齐程度最高)时．主尺上的“a”刻度与游标上的“0”刻度之间的距离可表示为：Δx＝b·mm．故此时的测量值为：x ＝a mm＋ b mm．即游标尺的作用在于确定游标上“0”刻度与左侧主尺上刻度之间的距离．3．注意事项(1)测量物不可在钳口间移动或压得太紧，以免磨损钳口或损坏工件．(2)测量物上被测距离的连线必须平行于主尺．(3)读数时，在测脚夹住被测物后适当旋紧紧固螺钉．三、螺旋测微器1．构造：如图5－3所示．图5－3螺旋测微器也称千分尺，其各部分名称及主要用途是：①固定刻度G，用于读取固定刻度所显示的最大毫米刻度数(包括0.5 mm); ②可动刻度H, 用于读取主尺上固定刻度的水平线对应的螺旋尺上可动刻度的刻度(包括估读); ③旋钮K；④微调旋钮K′；⑤测微螺杆P; ⑥小砧A．2．设计原理螺旋测微器是利用将直线距离转化为角位移的原理制成的．主尺上的固定刻度的最小分度值为0.5 mm，螺旋尺上的可动刻度，共有50个分度，当可动刻度尺旋转一周时，它在主尺上前进或后退一个刻度0.5 mm，则可动刻度每转过一个分格时，测微螺杆前进或后退0.01 mm，所以它测量长度可达到的精度为0.01 mm．3．使用及读数方法将待测物放在A、P之间，然后用旋钮将测微螺杆靠近被测物体，再用微旋钮调整，直至发出“咔咔”声后读数．先读固定尺读数，要读出整毫米刻度，要注意有无半毫米刻度出现；再读出固定刻度上的水平线对应的可动刻度尺上的读数(要有估读数据)，将此数乘以0.01 mm后与固定刻度上的读数相加即得到最后读数．4．注意事项(1)测量时，当测微螺杆将要接触被测物体时，要停止使用K，改用K′，以避免测微螺杆和被测物体间产生过大的压力，这样既可以保护仪器又能保证测量结果的准确性．(2)读数时，要注意固定刻度上表示半毫米的刻度线是否已经露出．读数时要准确到0.01 mm，估读到0.001 mm，即测量结果若用mm为单位，则小数点后面必须保留三位．【解析】此图经过了二级放大．由一级放大图可知，工件的长度约在10～11 cm之间；再从二级放大图中仔细看游标上的零刻度线所对主尺的刻度线位置．由主尺读出测量的整毫米数：L1＝104 mm(主尺上所标数值的单位为cm)；再看游标上的哪一条刻度线与主尺上的某一刻度线对齐，由游标读出毫米以下的小数．从二级放大图中可以看出，游标上零刻度线右侧的第一条刻度线与主尺上的刻度线对得最齐，游标上共20个分度，每个分度代表0.05 mm，所以游标上的读数为：L2＝0.05 mm．故所测工件的长度L＝L1＋L2＝104.05 mm．【答案】104.05【点评】要掌握游标卡尺测量的原理和读数的方法，要知道主尺上和游标尺上所标数值的意义和单位，要能看懂多级放大图，一定要注意读数的有效数字的位数．例2图5－5所示为一螺旋测微器测某金属球直径时所得的示数，则该金属球的直径应为________mm．图5－5【解析】先由可动刻度尺的边缘所对的固定刻度线读出整毫米(含半毫米)数为2 mm；再从可动刻度尺上读出小于0.5 mm的数为0.130 mm，最后的“0”是估读来的．故该次测量的读数为2.130 mm．【答案】2.130【点评】在读数时特别要注意固定刻度尺上表示半毫米的刻度线是否已经露出．例3有一种新式游标尺，游标尺的刻度与传统的旧式游标尺明显不同，新式游标尺的刻度线看起来很“稀疏”，使得读数时显得清晰明了，方便了使用者正确读数数据．通常游标尺的刻度有10分度、20分度、50分度三种规格，新式游标卡尺也有相应的三种，但刻度却是：19 mm等分成10份，39 mm等分成20份，99 mm等分成50份．(1)以“39 mm等分成20份”的并报式游标卡尺为例，它的精确度是________ mm．(2)用新式游标卡尺测量某一物体的厚度，测量时游标卡尺的示数如图5－6所示，其读数是________ mm．【解析】所有游标卡尺的原理都相同，即：利用游标尺来确定游标上“0”刻度线与其左侧主尺刻度线的间距．由题意知这种游标尺的每分度比主尺上的两个分度相差Δx＝mm＝0.05 mm，故0.05 mm就是这种游标卡尺的精确度．由上述原理可知这种游标卡尺的读数方法为：测量值＝主尺读数＋游标上对齐刻度×0.05 mm即x＝31 mm＋10×0.05 mm＝31.50 mm．【答案】(1)0.05(2)31.50。
有效数字与绝对误差和相对误差的关系
有效数字与绝对误差和相对误差的关系示例文章篇一：《有效数字与绝对误差和相对误差的关系》嘿，你知道吗？在数学的奇妙世界里，有一些特别有趣的东西，就像有效数字、绝对误差和相对误差。
这几个家伙呀，就像一群小伙伴，有着千丝万缕的关系呢。
我先来说说有效数字吧。
有效数字就像是一个数的身份证号码里特别重要的那几位数字。
比如说3.14，这三个数字都是有效的，它们能准确地告诉我们这个数大概是多少。
有效数字越多，这个数就被表示得越精确。
就好像我们描述一个人的长相，如果只是说“有眼睛有鼻子”，这就很模糊，但是如果说“大眼睛、高鼻梁、小嘴巴”，那就能让人更清楚地想象出这个人的样子啦。
有效数字也是这样，它让我们能更清楚地知道这个数的大小情况。
那绝对误差呢？绝对误差就像是我们猜一个东西的重量和它实际重量之间的差距。
比如说，我猜一个苹果的重量是100克，可实际上这个苹果是105克，那这个5克就是绝对误差啦。
绝对误差告诉我们我们的猜测或者测量和真实值差了多少。
这就好比我们要去一个地方，我们以为距离是100米，结果实际是105米，那多出来的5米就是我们对距离估计的绝对误差。
现在我们再来说说相对误差。
相对误差就有点像把绝对误差放在一个“放大镜”下面看。
怎么说呢？还是用刚才苹果的例子。
苹果实际重105克，我们猜100克，绝对误差是5克。
那相对误差就是这个绝对误差5克除以苹果的实际重量105克，得到的结果就是相对误差啦。
相对误差就像是在告诉我们，我们的错误在整个真实值里面占了多大的比例。
这就好比我们考试，100分的卷子，我们答错了5分，那这5分占100分的比例就是相对的错误程度啦。
我给你讲个故事吧。
我和我的小伙伴小明、小红一起做测量小实验。
我们要测量一个小盒子的长度。
我测量出来是10.5厘米，小明测量出来是10.3厘米，小红测量出来是10.6厘米。
那这个小盒子的真实长度呢，老师告诉我们是10.4厘米。
那我测量的绝对误差就是10.5 - 10.4 = 0.1厘米，小明测量的绝对误差就是10.4 - 10.3 = 0.1厘米，小红测量的绝对误差就是10.6 - 10.4 = 0.2厘米。
误差和有效数字
偶然误差
1、产生原因：由于实验者本身及各种偶然因 、产生原因： 素造成的。 素造成的。 2、特点：当多次重复同一测量时，有时偏大， 、特点：当多次重复同一测量时，有时偏大， 有时偏小， 有时偏小，并且偏大和偏小的机会相同 。 3、减少方法：多次测量求平均值。 、减少方法：多次测量求平均值。
绝对误差和相对误差
误差和有效数字
一、差
1、测量值与真实值的差异叫做误差。 、测量值与真实值的差异叫做误差。 2、误差按产生的原因可分为系统误差和偶 、 然误差两种。 然误差两种。
系统误差
1、产生原因：由于测量仪器结构缺陷、实验 、产生原因：由于测量仪器结构缺陷、 方法不完善造成的。 方法不完善造成的。 2、特点：当多次重复同一实验时，误差总是 、特点：当多次重复同一实验时， 同样地偏大或偏小。 同样地偏大或偏小。 3、减少方法：改进实验仪器，完善实验原理 、减少方法：改进实验仪器，
1、绝对误差：测量值和真实值间的差值。 、绝对误差：测量值和真实值间的差值。 2、相对误差：绝对误差与测量值的比值。 、相对误差：绝对误差与测量值的比值。 3、在相同的条件下，为了提高测量的准确程 、在相同的条件下， 应该考虑尽可能减少相对误差。 度，应该考虑尽可能减少相对误差
有效数字
1、带有一位不可靠数字的近似数字，叫做有 、带有一位不可靠数字的近似数字， 效数字。 效数字。 2、凡是用测量仪器直接测量的结果，读数一 、凡是用测量仪器直接测量的结果， 般要求在读出仪器最小刻度所在位的数值 可靠数字） 再向下估读一位（ （可靠数字）后，再向下估读一位（不可 靠数字） 靠数字） 。 3、间接测量的有效数字运算不作要求，运算 、间接测量的有效数字运算不作要求， 结果一般可用2~3位有效数字表示。 位有效数字表示。 结果一般可用 位有效数字表示
误差与有效数字
如：
表1-5 铜丝电阻与温度关系测量记录表
t（oC
）
20.0
30.0
40.0
50.0
60.0
70.0
（Ω）
升 1.28 1.32 1.37 1.42 1.47 1.51 R温2 3 0 5 0 3
降 1.27 1.31 1.37 1.41 1.46 1.51 温5 8 0 5 8 0
，它的数学计算式是：
（2）标准误差σ 的意义 ① σ 反映了测量的离散性 σ 越小，离散度就越小，测量精密度越高。 ② σ 具有明确的概率意义
Xx
在置信区间[-2σ ，+2σ ] 和[-3σ ，+3σ ]内 的置信概率分别为95.4%和99.7%。
所以把Δ =3σ称为极限误差。
（3）随机误差的估算 ① 有限次测量的标准偏差 算术平均值为：
例： Sin43.43o=0.6875 Sin30o07′= Sin30.12o=0.5018
6.对其他函数运算我们给出一种简单直观的方法 ，即将自变量可疑位上下变动一个单位，观察 函数结果在哪一位上变动，结果的可疑位就取
在该位上。
如求
，因为
所以取
上面给出的各函数运算例子也可用这种方法来确 定结果的有效数字位数。
一．有效数字的概念 1．有效数字定义及其意义
先看一个例子：用米尺（最小刻度是1mm）测量
钢棒的长度:4.26cm，4.27cm，或4.28cm？
“4.2” -确切数字 6、7、8（第三位数） ——可疑数字
L=4.2 ？cm
有效数字:测量结果的第一位非零数字起到最末1 位可疑数字（误差所在位）止的全部数字。
有效数字和误差1
常见的误差有系统误差和偶然误差
1．系统误差 ． 系统误差是由某些必然的或经常的原因造 成的。 成的。 根据误差的来源可分为：方法误差、 根据误差的来源可分为：方法误差、仪器 误差、试剂误差、操作误差等。 误差、试剂误差、操作误差等。 系统误差常用做空白试验或对照实验的方 法消除。 法消除。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
在不加试样的情况下， 在不加试样的情况下，按照样品分析步骤 空白试验， 和条件进行分析试验称为空白试验 和条件进行分析试验称为空白试验，所得结果 称为空白值。 称为空白值。 空白值 从试样测定结果中扣除空白值，便可以消 从试样测定结果中扣除空白值， 除因试剂、 除因试剂、蒸馏水及实验仪器等因素引起的系 统误差。 统误差。
（三）偏差与精密度 精密度指多次重复测定的结果相互接近的程度， 精密度指多次重复测定的结果相互接近的程度， 指多次重复测定的结果相互接近的程度 是保证准确度的前提。 是保证准确度的前提。 偏差是指各次测定的结果和平均值之间的差值。 偏差是指各次测定的结果和平均值之间的差值。 是指各次测定的结果和平均值之间的差值 偏差越小，精密度越高。 偏差越小，精密度越高。
在计算中常会遇到下列两种情况： 在计算中常会遇到下列两种情况： 1、化学计量关系中的分数和倍数，这些数不是 、化学计量关系中的分数和倍数， 测量所得， 测量所得，它们的有效数字位数可视为无限多位 2、关于pH、pK和lgK等对数值，其有效数字的 、关于 、 和 等对数值， 等对数值 位数仅取决于小数部分的位数， 位数仅取决于小数部分的位数，因为整数部分只 与该真数中的10的方次有关 与该真数中的 的方次有关
11.23
cm 11 12
在确定有效数字位数时， 在确定有效数字位数时，特别需要指出的是 数字“ 来表示实际测量结果时 来表示实际测量结果时， 数字“0”来表示实际测量结果时，它便是有效 数字 例如：分析天平称得的物体质量为 例如：分析天平称得的物体质量为7.1560g 滴定时滴定管读数为20.05mL 滴定时滴定管读数为 这两个数值中的“ 都是有效数字 这两个数值中的“0”都是有效数字 中的“ 只起到定位作用 只起到定位作用， 在0.006g中的“0”只起到定位作用，不是 中的 有效数字
误差和有效数字
一、误差和有效数字1.误差测量值与真实值的差异叫做误差。
误差可分为系统误差和偶然误差两种。
⑴系统误差的特点是在多次重复同一实验时，误差总是同样地偏大或偏小。
⑵偶然误差总是有时偏大，有时偏小，并且偏大和偏小的机会相同。
减小偶然误差的方法，可以多进行几次测量，求出几次测量的数值的平均值。
这个平均值比某一次测得的数值更接近于真实值。
2.有效数字带有一位不可靠数字的近似数字，叫做有效数字。
⑴有效数字是指近似数字而言。
⑵只能带有一位不可靠数字，不是位数越多越好。
凡是用测量仪器直接测量的结果，读数一般要求在读出仪器最小刻度所在位的数值（可靠数字）后，再向下估读一位（不可靠数字），这里不受有效数字位数的限制。
间接测量的有效数字运算不作要求，运算结果一般可用2~3位有效数字表示。
二、基本测量仪器及读数高考要求会正确使用的仪器主要有：刻度尺、游标卡尺、螺旋测微器、天平、秒表、打点计时器、弹簧秤、温度表、电流表、电压表、多用电表、滑动变阻器、电阻箱等等。
1.刻度尺、秒表、弹簧秤、温度表、电流表、电压表的读数使用以上仪器时，凡是最小刻度是10分度的，要求读到最小刻度后再往下估读一位（估读的这位是不可靠数字，但是是有效数字的不可缺少的组成部分）。
凡是最小刻度不是10分度的，只要求读到最小刻度所在的这一位，不再往下估读。
例如⑴读出下图中被测物体的长度。
(6.50cm)⑵下图用3V量程时电压表读数为多少？用15V量程时电压表度数又为多少？1.14V; 5.7V1 23V5 10150 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1⑶右图中秒表的示数是多少分多少秒？3分48.75秒凡仪器的最小刻度是10分度的，在读到最小刻度后还要再往下估读一位。
⑴6.50cm 。
⑵1.14V 。
15V 量程时最小刻度为0.5V ，只读到0.1V 这一位，应为5.7V 。
⑶秒表的读数分两部分：小圈内表示分，每小格表示0.5分钟；大圈内表示秒，最小刻度为0.1秒。
鲁科高中物理必修第1册 第2章 第3节 实验中的误差和有效数字
D.测量结果中,小数点后面的0都是有效数字
解析 系统误差总是偏大或总是偏小,所以B错误。有效数字的位数与单位
和小数点的位置无关,从左边第一个不为0的数开始是有效数字。
答案 AC
3.某同学用毫米刻度尺测量一物体的长度,如图所示,下述记录结果正确的
第2章
第3节 实验中的误差和有效数字
内
容
索
引
01
课前篇 自主预习
02
课堂篇 探究学习
学习目标
1.知道绝对误差和相对误差,知道在
绝对误差相同的情况下,被测量的数
值越大,测量结果的相对误差越小。
(物理观念)
2.能判断系统误差和偶然误差,并针
对误差提出解决途径。(科学思维)
3.能熟练使用有效数字来准确表达
)
答案 √
3.刻度尺刻度不均匀造成的测量误差属于系统误差。(
答案 √
)
4.从某个数的左边第一个数字到最后一个数字的个数即有效数字的位数。
(
)
答案 ×
5.测量结果后面可以任意增加数字0,不影响其大小。(
答案 ×
6.2.30 mm、2.300 mm均为2位有效数字。(
答案 ×
)
)
课堂篇 探究学习
问题
测量值-真实值
δ=
真实值
答案 ACD
×100%,D 正确。
6.某同学测量两个物体质量,测量结果分别为1.00 g和100.0 g,两测量值的
绝对误差都为0.01 g,问哪个测量可靠性更大?
解析 尽管两个结果的绝对误差都为0.01 g,但前者误差是测量值的1%,后者
误差是测量值的0.01%,故后者比前者可靠性更大。
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另一种情况，例如x 0.1524, x* 0.154，这时x*的误差
是 (x) 0.0016，其绝对值超过了0.000（5 1 103,即第三位
2 小数的半个单位），但却没有超过0.00（5 1 102,即第二位
2 小数的半个单位），即0.0005 x x* 0.005。
显然x*虽有三位小数，其中1 1,2 5都是准确数 字，而第三位小数3 4就不再是准确数字了，我们就称
1 10mn，又因为 x* 2
1 10m1，其相对误
差有：
* r
(
x)
(x)
x*
1 10mn1
21
故相对误差限为： 1 10n1。 21
上式表达了有效数字与相对误差之间的关系，由此
可见，有效数字的位数反映了近似值的相对精确度。
上述关系的逆也是成立的，即当用x* 0.12 n 10m 表
§3 有效数字及其与误差的关系
一、有效数字
例如：对无穷小数或着循环小数，可用四舍五入的办法来取其
近似值
3.1415926
若按四舍五入取四位小数，则可得其近似值3.1416 若取五位小数则得到其近似值为3.14159 这种近似值取法的特点是误差限为其末位的半个单位。
3.1416 0.002 1 104 3.14159 0.000008 1 105
正整数，m 是整数。 若x*的绝对误差限为：e x* x 1 10mn，则称 2
x*为具有n位有效数字，或称它精确到10mn，其中每一个
数字1,2 ,
都是
n
x*的有效数字。
3.1416 五位有效数字，精确到0.0001
203和0.0203都是具有三位有效数字的有效数. 0.0203和0.020300: 其中0.0203具有三位有效数字,精确到0.0001, 0.020300具有五位有效数字,精确到0.000001. 可见,两者的精确程度大不相同,后者比前者精确.注: 有效数字尾部的零不可随意省去,以免损失精度.
解：3.1416具有五位有效数字，1 3，那么有：
* r
(
x)
1 1051 23
1 104 6
例2、为了使积分I 1ex2 dx的近似值I *的相对误差不超过 0
0.1%，问至少需要几位有效数字。
解：可以知道I 0.7467 ，这样，1 7，有：
* r
(
x)
1 10n1 27
0.1%
可以解出：n 3,即I *只要取三位有效数字，I * 0.747就能
示近似值x*，如想其相对误差
* r
(
x)能满足：
* r
(
x)
1
2(! 1)
10n1
则x*至少具有n位有效数字。
证明如下：由
* r
(
x)
1 10n1及
2(! 1)
x*
(1 1) 10m1，
(x)
x*
* r
(
x)
(1
1)
10m1
1
2(1
1)
10
n
1
1 10mn 2
即表示x*至少具有n位有效数字。
例1、当用3.1416来表示的近似值时，它的相对误差是多少？
它为存疑数字。
二、有效数字与误差的关系
1、有效数字与绝对误差的关系 由 e x x* 1 10mn，可知从有效数字可以算出 2
近似数的绝对误差限；有效数字的位数越多，其绝对误 差限也就越小。
2、有效数字与相对误差的关系
若x* 0.12 n 10m 有n位有效数字时，显然有
(x)
x x*
保证I *的相对误差不超过0.1%。
三.计算机舍入误差
设计算机的数系为F ,t, L,U ,某数
x c 0.a1a2 at
其中ai 0,1, , 1i 1, 2, , a1 0, x F ,t, L,U 且满足m x M , m及M 是F ,t, L,U 中的最小正数和
最大正数。
计算机经舍入处理后以fl x 接收，即fl x c a,
其中：
a
0.a01a.a2 1a2 at
at
t
当0 at1 / 2 当 / 2 at1
计算机对x的舍入绝对误差满足：
e x fl x 0.5 ct
舍入相对误差满足：
er
x
fl x
x
0.5 ct 0.1 c
0.5 1t
注意：
计算机对任何实数的舍入相对误差与实数本身无关，只 与计算机字长t有关，通常定义数eps=0.5×β1-t为计算 机精度。
由于计算机的精度只与字长有关，计算机字长t越大， 其精度越高，有些数值要用双字长处理，双字长数据也 称双精度数。
2
2
定义：当近似值x*的误差限是其某一位上的半个单位
时，我们就称其“准确”到这一位，且从该位起直到 前
面第一一般位说非，零设数有字一为个止数的x,所其有近数似字值都x*的称规为格 有化 效形 数式 字。：
x* 0.12 n 10m 1,2 , n都是0，1, , 9中的一个数字，1 0，n 是