40初中数学九年级全册 切线长定理—巩固练习(提高)
人教版数学九年级上册第24章圆 切线长定理拓展巩固与复习过关
人教版数学九年级上册第24章圆切线长定理拓展巩固与复习过关知识全面设计合理含答案教师必备切线长定理—知识讲解（基础）【学习目标】1.了解切线长定义；理解切线的判定和性质；理解三角形的内切圆及内心的定义；2.掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明.【要点梳理】要点一、切线的判定定理和性质定理1．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要点诠释：切线的判定方法：（1）定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线；（2）定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；（3）判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可）.2．切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.要点诠释：切线的性质：（1）切线和圆只有一个公共点；（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；（3）切线垂直于过切点的半径；（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点；（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心.要点二、切线长定理1．切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.3．圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边之和相等.要点三、三角形的内切圆1．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.2．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).【典型例题】类型一、切线长定理1．如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，⊙O的半径长为6 cm，PO＝10 cm，求△PDE的周长．【答案与解析】连结OA ，则OA ⊥AP ．在Rt △POA 中，PA＝＝＝8（cm ）． 由切线长定理，得EA ＝EC ，CD ＝BD ，PA ＝PB ， ∴ △PDE 的周长为PE ＋DE ＋PD ＝PE ＋EC ＋DC ＋PD ，＝PE ＋EA ＋PD ＋DB ＝PA ＋PB ＝16（cm ）．【总结升华】本题考查切线长定理、切线的性质、勾股定理．注意：在有关圆的切线长的计算中，往往利用切线长定理进行线段的转换．【高清ID 号： 356967 关联的位置名称（播放点名称）：方法总结及例题1-2】2．（2015•柳州）如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，AD 与△ABC 的外接圆△O 恰好相切于点A ，∠DAE=∠ABE,边CD 与△O 相交于点E ，连接AE ，BE ． （1）求证：AB=AC ；（2）若过点A 作AH △BE 于H ，求证：BH=CE+EH ．【思路点拨】（1）根据圆周角定理证明△ABC=△ACB ，得到答案；（2）作AF △CD 于F ，证明△AEH △△AEF ，得到EH=EF ，根据△ABH △△ACF ，得到答案． 【答案与解析】 证明：（1）∵△ABE=△DAE ，又△EAC=△EBC ， △△DAC=△ABC ， △AD △BC ，△△DAC=△ACB ， △△ABC=△ACB ， △AB=AC ；（2）作AF △CD 于F ，△四边形ABCE 是圆内接四边形， △△ABC=△AEF ，又△ABC=△ACB ，22OA OP -22610-△△AEF=△ACB，又△AEB=△ACB，△△AEH=△AEF，在△AEH和△AEF中，，△△AEH△△AEF，△EH=EF，△CE+EH=CF，在△ABH和△ACF中，，△△ABH△△ACF，△BH=CF=CE+EH．【总结升华】本题考查的是切线的性质和平行四边形的性质以及全等三角形的判定和性质，运用性质证明相关的三角形全等是解题的关键，注意圆周角定理和圆内接四边形的性质的运用．举一反三：【变式】（2015•青海）如图，在△ABC中，△B=60°，△O是△ABC的外接圆，过点A作△O的切线，交CO的延长线于点M，CM交△O于点D．（1）求证：AM=AC；（2）若AC=3，求MC的长．【答案】（1）证明：连接OA，△AM是△O的切线，△△OAM=90°，△△B=60°，△△AOC=120°，△OA=OC，△△OCA=△OAC=30°，△△AOM=60°，△△M=30°，△△OCA=△M，△AM=AC；（2）作AG△CM于G，△△OCA=30°，AC=3，△AG=，由勾股定理的，CG=，则MC=2CG=3．类型二、三角形的内切圆3．已知：如图，△ABC的三边BC=a，CA=b，AB=c，它的内切圆O的半径长为r．求△ABC的面积S．【答案与解析】设内切圆与三角形的三边AB、AC、BC分别交于D、E、F，连接OE、 OF、OD、AO、BO、CO.∴△ABC=△AO B+△AO C+△BO C=r(a+b+c).【总结升华】考虑把△ABC的面积分割成3个以圆的半径为高的三角形面积的和，从而求出△ABC的面积.举一反三：【高清ID号：356967 关联的位置名称（播放点名称）：切线长定理及例3】【变式】已知如图，△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，求△ABC的内切圆⊙O的半径r.【答案】连结OA、OB、OC，∵△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，∴AB=5.则S△AOB+S△COB+S△AOC=S△ABC，即类型三、与相切有关的计算与证明4．如图，平行四边形ABCD中，以A为圆心，AB为半径的圆交AD于F，交BC于G，延长BA交圆于E.1211115+4+3=34=12222r r r r⨯⨯⨯⨯⨯，（1）若ED 与⊙A 相切，试判断GD 与⊙A 的位置关系，并证明你的结论； （2）在（1）的条件不变的情况下，若GC ＝CD ＝5，求AD 的长.【答案与解析】（1）结论：与相切证明：连接 ∵点、在圆上， ∴∵四边形是平行四边形， ∴∴ ∵，∴，∴ 在和∴，∴∵与相切∴，∴ ∴∴与相切（2）∵，四边形是平行四边形 ∴，，∵，∴，∴∴ ，∴ ∴.【总结升华】本题虽然是圆和平行四边形的位置关系问题，但是依然考察的是如何将所有条件放在最基本的三角形中求解的能力.判断出DG 与圆相切不难，难点在于如何证明.第二问则不难，重点在于如何利用角度的倍分关系来判断直角三角形中的特殊角度，从而求解.切线长定理—巩固练习（基础）【巩固练习】 一、选择题G FEDCBAGD O AG G E AG AE =ABCD AD BC ∥123B ∠=∠∠=∠，AB AG =3B ∠=∠12∠=∠AED ∆AGD ∆12AE AGAD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AED AGD ∆∆≌AED AGD ∠=∠ED A 90AED ∠=︒90AGD ∠=︒AG DG ⊥GD A 5GC CD ==ABCD AB DC =45∠=∠5AB AG ==AD BC ∥46∠=∠1562B ∠=∠=∠226∠=∠630∠=︒10AD =654321GF EDC B A1. 下列说法中，不正确的是 ( )A ．三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点B ．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部C ．垂直于半径的直线是圆的切线D ．三角形的内心到三角形的三边的距离相等2．△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，它的内切圆的半径为r ，则△ABC 的面积为（ ） A.（a ＋b ＋c ）r B.2（a ＋b ＋c ） C.（a ＋b ＋c ）r D.（a ＋b ＋c ）r3.（2015•黔西南州）如图，点P 在⊙O 外，PA 、PB 分别与⊙O 相切于A 、B 两点，∠P=50°，则∠AOB等于（ ）A ．150°B ．130°C ．155°D ．135°4. 如图所示，⊙O 的外切梯形ABCD 中，如果AD ∥BC ，那么∠DOC 的度数为( )A.70°B.90°C.60°D.45°第4题图 第5题图5．如图，是的切线，切点为A ，PAAPO =30°，则的半径为（ ）A.16．已知如图所示，等边△ABC 的边长为2cm ，下列以A 为圆心的各圆中， 半径是3cm 的圆是( )2131PA O ⊙O ⊙二、填空题7．如图，⊙I是△ABC的内切圆，切点分别为点D、E、F，若∠DEF=52o，则∠A的度为________．第7题图第8题图第9题图8．如图，一圆内切于四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形ABCD的周长为________．9．如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，∠BAC=50o，则∠BOC为____________度．10．如图，、分别切⊙于点、，点是⊙上一点，且，则____度．第10题图第11题图11．如图，PA与⊙O相切，切点为A，PO交⊙O于点C，点B是优弧CBA上一点，若∠ABC=32°，则∠P 的度数为 .12.（2015•鄂州）已知点P是半径为1的⊙O外一点，PA切⊙O于点A，且PA=1，AB是⊙O的弦，AB=，连接PB，则PB= ．三、解答题13. 已知：如图，AB为⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC于点E．求证：DE为⊙O的切线.PA PB O A B E O60=∠AEB=∠POEDCBA14．已知：如图，点是⊙的直径延长线上一点，点 在⊙上，且求证：是⊙的切线；15.（2014秋•东城区月考）如图所示，PA 、PB 是△O 的切线，切点分别是A 、B ，Q 为△O 上一点，过Q 点作△O 的切线，交PA 、PB 于E 、F 点，已知PA=8cm ，求：△PEF 的周长．【答案与解析】一、选择题 1.【答案】C.【解析】经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 2.【答案】A.【解析】连结内心与三个顶点，则△ABC 的面积等于三个三角形的面积之和，所以△ABC 的面积为a ·r ＋b ·r ＋c ·r ＝（a ＋b ＋c ）r ． 3.【答案】B ；【解析】∵PA、PB 是⊙O 的切线， ∴PA⊥OA，PB⊥OB， ∴∠PAO=∠PBO=90°，D O CA B O .OA AB AD ==BD OC21212121∵∠P=50°， ∴∠AOB=130°． 故选B ． 4.【答案】B ；【解析】由AD ∥BC ，得∠ADC+∠BCD=180°，又AD 、DC 、BC 与⊙O 相切，所以∠ODC=∠ADC ，∠OCD=∠BCD ，所以∠ODC+∠OCD=×180°=90°，所以∠DOC=90°. 故选B.5.【答案】C ；【解析】连结OA ，则∠OAP=90°，设OA=x,则OP=2x,由勾股定理可求x=2,故选C. 6.【答案】C ；【解析】易求等边△ABC 的高为3cm 等于圆的半径，所以圆A 与BC 相切，故选C. 二、填空题 7．【答案】76°；【解析】连接ID,IF ∵∠DEF=52°， ∴∠DIF=104°，∵D 、F 是切点， ∴DI ⊥AB,IF ⊥AC ， ∴∠ADI=∠AFI=90°， ∴∠A=1800-1040=76°.8.【答案】52；【解析】提示：AB+CD=AD+BC. 9.【答案】115°；【解析】∵∠A=500 ∴∠ABC+∠ACB=130°，∵OB,OC 分别平分∠ABC,∠ACB ， ∴∠OBC+∠OCB=65°， ∴∠BOC=1800-650=115°.10．【答案】60°；【解析】连结OA 、OB ，则∠AOB=120°，在四边形OAPB 中，∠P=360°-90°-90°-120°=60°. 11．【答案】26°；【解析】连结OA ，则∠AOC=64°，∠P=90°-64°=26°. 12．【答案】1或． 【解析】连接OA ， （1）如图1，连接OA ，△PA=AO=1，OA=OB ，PA 是△的切线， △△AOP=45°△OA=OB ， △△BOP=△AOP=45°， 在△POA 与△POB 中，，△△POA △△POB ， △PB=PA=1；212121（2）如图2，连接OA ，与PB 交于C ， △PA 是△O 的切线， △OA △PA ， 而PA=AO=，1 △OP=； △AB=， 而OA=OB=1， △AO △BO ，△四边形PABO 是平行四边形， △PB ，AO 互相平分； 设AO 交PB 与点C ， 即OC=， △BC=，△PB=．故答案为：1或． 三、解答题13.【答案与解析】如图，连接OD ． ∵ D 为AC 中点， O 为AB 中点，∴ OD 为△ABC 的中位线． ∴OD∥BC． ∵ DE⊥BC， ∴∠DEC=90°.∴∠ODE=∠DEC=90°. ∴OD⊥DE 于点D. ∴ DE 为⊙O 的切线． 14.【答案与解析】 连接.∵，∴.∴是等边三角形. ∴.∵，∴. ∴. ∴ .又∵点在⊙上， ∴是⊙的切线 . 15. 【答案与解析】解：△PA 、PB 是△O 的切线，切点分别是A 、B ，Q 为△O 上一点，过Q 点作△O 的切线，交PA 、PB 于E 、F 点，△PA=PB ，EA=EQ ，FB=FQ ， △PA=8cm ，△△PEF 的周长为：PE+EF+PF=PA+PB=8+8=16（cm ）．OB ,OA AB OA OB ==OA AB OB ==ABO ∆160BAO ∠=∠=︒AB AD =230D ∠=∠=︒1290∠+∠=︒DB BO ⊥B O DB O 231FE DCBA4O切线长定理—知识讲解（提高）【学习目标】1.了解切线长定义；理解切线的判定和性质；理解三角形的内切圆及内心的定义；2.掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明.【要点梳理】要点一、切线的判定定理和性质定理1．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要点诠释：切线的判定方法：（1）定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线；（2）定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；（3）判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可）.2．切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.要点诠释：切线的性质：（1）切线和圆只有一个公共点；（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；（3）切线垂直于过切点的半径；（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点；（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心.要点二、切线长定理1．切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.3．圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边之和相等.要点三、三角形的内切圆1．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.2．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S 为三角形的面积，P 为三角形的周长，r 为内切圆的半径).【典型例题】类型一、切线长定理1. 如图，等腰三角形中，，．以为直径作⊙O 交于点，交于点，，垂足为，交的延长线于点．求证：直线是⊙O 的切线.【答案与解析】如图，连结OD 、，则．∴． ∵ ，∴． ∴是的中点． ∵是的中点， ∴． ∵于F ． ∴．ABC 6AC BC ==8AB =BC AB D ACG DF AC ⊥F CB E EF DFGCO B E ACD 90BDC ∠=︒CD AB ⊥AC BC =AD BD =D AB O BC DO AC ∥EF AC ⊥EF DO ⊥∴是⊙O 的切线． 【总结升华】连半径，证垂直.举一反三：【变式】已知：如图，在梯形 ABCD 中，AB ∥DC ，∠B=90°，AD=AB+DC ，AD 是⊙O 的直径．求证：BC 和⊙O 相切．【答案】作OE ⊥BC ，垂足为E ， ∵ AB ∥DC ，∠B=90°， ∴ OE ∥AB ∥DC ， ∵ OA=OD ， ∴ EB=EC ，∴ BC 是⊙O 的切线．2. 已知：如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，切点为B ，OC 平行于弦AD ，求证：DC 是⊙O 的切线．【答案与解析】连接OD ．∵ OA=OD ，∴∠1=∠2．∵ AD ∥OC ， ∴∠1=∠3，∠2=∠4． 因此 ∠3=∠4．又∵ OB=OD ，OC=OC ，∴ △OBC ≌△ODC ． ∴∠OBC=∠ODC ．∵BC 是⊙O 的切线，∴∠OBC=90°， ∴∠ODC=90°， ∴ DC 是⊙O 的切线．【总结升华】因为AB 是直径，BC 切⊙O 于B ，所以BC ⊥AB ．要证明DC 是⊙O 的切线，而DC 和⊙O 有公共点D ，所以可连接OD ，只要证明DC ⊥OD ．也就是只要证明∠ODC=∠OBC.而这两个角分别是△ODC 和△OBC 的内角，所以只要证△ODC ≌△OBC ．这是不难证明的．EF举一反三：【高清ID 号：356967 关联的位置名称（播放点名称）：练习题精讲】【变式】已知：∠MAN=30°，O为边AN上一点，以O 为圆心、2为半径作⊙O，交AN于D、E两点，设AD=，⑴如图⑴当取何值时，⊙O与AM相切；⑵如图⑵当为何值时，⊙O与AM相交于B、C两点，且∠BOC=90°．【答案】（1）设AM与⊙O相切于点B，并连接OB，则OB⊥AB；在△AOB中，∠A=30°，则AO=2OB=4，所以AD=AO-OD，即AD=2．x=AD=2.（2）过O点作OG⊥AM于G∵OB=OC=2，∠BOC=90°，∴BC=，∵OG⊥BC，∴BG=CG=，∴OG=，∵∠A=30°xxx2222MANED O图（1）．MA NEDBCO图（2）∴OA=，∴x=AD=2类型二、三角形的内切圆3.（2015•西青区二模）已知四边形ABCD 中，AB∥CD，⊙O 为内切圆，E 为切点． （Ⅰ）如图1，求∠AOD 的度数；（Ⅱ）如图1，若AO=8cm ，DO=6cm ，求AD 、OE 的长；（Ⅲ）如图2，若F 是AD 的中点，在（Ⅱ）中条件下，求FO 的长．【答案与解析】解：（Ⅰ）∵⊙O 为四边形ABCD 的内切圆， ∴AD、AB 、CD 为⊙O 的切线， ∴OD 平分∠ADC，OA 平分∠BAD， 即∠ODA=∠ADC，∠OAD=∠BAC， ∵AB∥CD，∴∠ADC+∠BAC=180°， ∴∠ODA+∠OAD=90°， ∴∠AOD=90°；（Ⅱ）在Rt△AOD 中，∵AO=8cm，DO=6cm ， ∴AD==10（cm ），∵AD 切⊙O 于E ，∴OE⊥AD， ∴OE•AD=OD•OA， ∴OE==（cm ）；（Ⅲ）∵F 是AD 的中点， ∴FO=AD=×10=5（cm ）．【总结升华】本题考查了三角形的内切圆与内心，也考查了切线长定理．类型三、与相切有关的计算与证明【高清ID 号： 356967 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题4】4.（2015•常德）已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，∠EAC=60°，求AD的长．【答案与解析】证明：（1）如图1，连接FO，∵F为BC的中点，AO=CO，∴OF∥AB，∵AC是⊙O的直径，∴CE⊥AE，∵OF∥AB，∴OF⊥CE，∴OF所在直线垂直平分CE，∴FC=FE，OE=OC，∴∠FEC=∠FCE，∠0EC=∠0CE，∵∠ACB=90°，即：∠0CE+∠FCE=90°，∴∠0EC+∠FEC=90°，即：∠FEO=90°，∴FE为⊙O的切线；（2）如图2，∵⊙O的半径为3，∴AO=CO=EO=3，∵∠EAC=60°，OA=OE，∴∠EOA=60°，∴∠COD=∠EOA=60°，∵在Rt△OCD中，∠COD=60°，OC=3，∴CD=，∵在Rt△ACD中，∠ACD=90°，CD=，AC=6，∴AD=．【总结升华】本题是一道综合性很强的习题，考查了切线的判定和性质，三角形的中位线的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质等，熟练掌握定理是解题的关键．切线长定理—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1.给出下列说法：①任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形．其中正确的有 ( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于 ( )A．21 B．20 C．19 D．18第2题图第3题图第4题图3. 如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，AC是⊙O的直径，连结AB、BC、OP，则与∠PAB相等的角(不包括∠PAB本身)有 ( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4. 如图，已知△ABC的内切圆⊙O与各边相切于点D、E、F，则点O是△DEF的 ( )A．三条中线的交点 B．三条高的交点C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点5．△ABC中，AB＝AC，∠A为锐角，CD为AB边上的高，I为△ACD的内切圆圆心，则∠AIB的度数是（）A．120° B．125° C．135° D．150°6．（2015•东西湖区校级模拟）如图，四边形ABCD中，AD平行BC，∠ABC=90°，AD=2，AB=6，以AB为直径的半⊙O 切CD于点E，F为弧BE上一动点，过F点的直线MN为半⊙O的切线，MN交BC于M，交CD于N，则△MCN的周长为（）A ．9B ． 10C ． 3D ． 2二、填空题 7．如图，P 是⊙O 的直径AB 延长线上的一点，PC 与⊙O 相切于点C ，若∠P＝20°，则∠A＝___________°．第7题图 第8题图8．如图，巳知AB 是⊙O 的一条直径，延长AB 至C 点，使得AC=3BC ，CD 与⊙O 相切，切点为D ．若CD=√3，则线段BC 的长度等于 ．9．如图，直径分别为CD 、CE 的两个半圆相切于点C ，大半圆M 的弦AB 与小半圆N 相切于点F ，且AB∥CD，AB=4，设、的长分别为x 、y ，线段ED 的长为z ，则z （x+y ）= .10．阅读下面材料：对于平面图形A ，如果存在一个圆，使图形A 上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A 被这个圆所覆盖.如图 (1)中的三角形被一个圆所覆盖，图 (2)中的四边形被两个圆所覆盖.回答下列问题：(1)边长为1 cm 的正方形被一个半径为r 的圆所覆盖，r 的最小值是________ cm;POCBACD CE(2)边长为1 cm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是________ cm;(3)边长为2 cm，1 cm的矩形被两个半径都为r的圆所覆盖，r的最小值是________ cm，这两个圆的圆心距是________ cm.11．（2014春•嘉鱼县校级月考）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的半圆O交BC于点D，交AC于点E，连接AD、BE交于点M，过点D作DF△AC于点F，DH△AB于点H交BE于点G，下列结论：①BD=CD，②DF是△O的切线，③△DAC=△BDH，④DG=BM，其中正确的结论的序号是．12．已知：如图，三个半圆以此相外切，它们的圆心都在x轴的正半轴上并与直线y x相切，设半圆C1、半圆C2、半圆C3的半径分别是r1、r2、r3，则当r1＝1时，r3＝ .三、解答题13. 如图，△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O，交AB于D，E为BC中点.求证：DE是⊙O切线.14. 如图（1）所示，已知AB为⊙O的直径，PA、PC是⊙O的切线，A、C分别为切点，∠BAC＝30°．(1)求∠P的大小；(2)若AB＝2，求PA的长(结果保留根号)．图（1）15. （2015•杭州模拟）联想三角形内心的概念，我们可引入如下概念．定义：到三角形的两边距离相等的点，叫做此三角形的准内心．举例：如图1，若PD=PE ，则点P 为△ABC 的准内心．应用：如图2，BF 为等边三角形的角平分线，准内心P 在BF 上，且PF=BP ，求证：点P 是△ABC 的内心．探究：已知△ABC 为直角三角形，△C=90°，准内心P 在AC 上，若PC=AP ，求△A 的度数．【答案与解析】一、选择题1．【答案】B ；【解析】②④错误.2．【答案】D ；【解析】∵AD=AF,BD=BE,CE=CF ， ∴周长=8，故选D.3.【答案】C ；【解析】∠PAB=∠PBA=∠POA=∠ACB ，有3个.4.【答案】D ；【解析】 点O 是△DEF 的外接圆的圆心（即外心），是三条边的垂直平分线的交点，故选D.5．【答案】C ；6．【答案】A ；21218⨯+⨯=【解析】解：作DH⊥BC于H，如图，∵四边形ABCD中，AD平行BC，∠ABC=90°，∴AB⊥AD，AB⊥BC，∵AB为直径，∴AD和BC为⊙O 切线，∵CD和MN为⊙O 切线，∴DE=DA=2，CE=CB，NE=NF，MB=MF，∵四边形ABHD为矩形，∴BH=AD=2，DH=AB=6，设BC=x，则CH=x﹣2，CD=x+2，在Rt△DCH中，∵CH2+DH2=DC2，∴（x﹣2）2+62=（x+2）2，解得x=4.5，∴CB=CE=4.5，∴△MCN的周长=CN+CM+MN=CN+CM+NF+MF=CN+CM+NF+MB=CE+CB=9．故选A．二、填空题7．【答案】∠A＝35°；【解析】由PC与⊙O相切于点C，得∠PCO＝90°，而∠P＝20°，所以∠POC＝70°；因为OA＝OC，所以∠A＝∠ACO；又∠A＋∠ACO＝∠POC＝70°，故∠A＝35°．8．【答案】1；【解析】连结OD，∵CD与⊙O相切，切点为D，∴∠ODC=90°，设⊙O的半径为r,则OC=2r，在Rt△ODC中，有勾股定理得r=1，BC=r=1.9．【答案】8π；【解析】过M作MG⊥AB于G，连MB，NF，如图，而AB=4，∴BG=AG=2，∴MB2﹣MG2=22=4，又∵大半圆M的弦与小半圆N相切于点F，∴NF⊥AB，∵AB∥CD，∴MG=NF，设⊙M，⊙N的半径分别为R，r，∴z（x+y）=（CD﹣CE）（π•R+π•r），=（2R﹣2r）（R+r）•π，=（R2﹣r2）•2π，= 4•2π，=8π．故答案为：8π．10．【答案】 (1)； (2)； (3)； 1． 【解析】图形被圆覆盖，圆一定大于图形的外接圆，它的最小半径就是外接圆半径.（1）正方形的外接圆半径，是对角线的一半，因此r 的最小值是 cm. （2）等边三角形的外接圆半径是其高的，故r 的最小值是 cm. （3）r 的最小值是 cm ，圆心距是1 cm. 11．【答案】 ①①①①；【解析】解：①△AB 为△O 的直径，△△BDA=90°，即AD △BC ，又△AB=AC ，△BD=DC ，△BAD=△DAE ，故①正确；②连接OD ，如图所示：△△BAD=△DAE ，△，△OD △BE ，△AB 是直径，△BE △AC又△DF △AC ，△BE △DF ，△DF △OD ，△DF 是切线．故②正确；③△Rt △ABD 中，DH △AB ，△△DAB=△BDH ，又△△BAD=△DAC ，△△DAC=△BDH ．故③正确；④△△DBE=△DAC （同弧所对的圆周角相等），△BDH=△DAC （已证），△△DBE=△BDH△DG=BG ，△△BDH+△HDA=△DBE+△DMB=90°，△△GDM=△DMG△DG=GM△DG=BM ，22332222323322故④正确． 故答案为：①②③④．12.【答案】9．【解析】由三个半圆依次与直线y ＝x 相切并且圆心都在x 轴上，∴y ＝x 倾斜角是30°， ∴得OO =2r ，OO 2=2r ，003=2r ，r 1＝1，∴r 3=9．故答案为9．三、解答题13. 【答案与解析】连接OD ，CD∵AC 是⊙O 直径∴CD ⊥AB∵E 为BC 中点∴ED=EC∴∠EDC=∠ECD又∵OD=OC∴∠ODC=∠OCD∴∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD∴∠ODE=∠OCE=90°∴DE 是⊙O 的切线.14. 【答案与解析】(1)PA 是⊙O 的切线，AB 为⊙O 的直径，∴ PA ⊥AB ．∴ ∠BAP ＝90°∴ ∠BAC ＝30°．∴ ∠CAP ＝90°-∠BAC ＝60°．又∵ PA 、PC 切⊙O 于点A 、C ，∴ PA ＝PC ，∴ △PAC 为等边三角形，∴ ∠P ＝60°．(2)连接BC ，如图（2），则∠ACB ＝90°．在Rt △ACB 中，AB ＝2，∠BAC ＝30°，图（2）∴ BC ＝1．由勾股定理又求得AC ＝， 由(1)知PA ＝PC ＝．15. 【答案与解析】解：应用：△△ABC 是等边三角形，△△ABC=60°，△BF 为角平分线，△△PBE=30°，△PE=PB ，△BF 是等边△ABC 的角平分线，33112333△BF△AC，△PF=BF，△PE=PD=PF，△P是△ABC的内心；探究：根据题意得：PD=PC=AP，在Rt△ADP中，AP=2PD，△△A是锐角，△△A=30°．。
切线长定理—巩固练习(提高)
切线长定理—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1.给出下列说法：①任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形．其中正确的有 ( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于 ( )A．21 B．20 C．19 D．18第2题图第3题图第4题图3. 如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，AC是⊙O的直径，连结AB、BC、OP，则与∠PAB相等的角(不包括∠PAB本身)有 ( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4. 如图，已知△ABC的内切圆⊙O与各边相切于点D、E、F，则点O是△DEF的 ( )A．三条中线的交点 B．三条高的交点C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点5．△ABC中，AB＝AC，∠A为锐角，CD为AB边上的高，I为△ACD的内切圆圆心，则∠AIB的度数是（）A．120° B．125° C．135° D．150°6．一个钢管放在V形架内，右图是其截面图，O为钢管的圆心．如果钢管的半径为25 cm，∠MPN = 60 ，则OP =( )A．50 cm B．253cmC．3350cm D．503cm二、填空题7．如图，P是⊙O的直径AB延长线上的一点，PC与⊙O相切于点C，若∠P＝20°，则∠A＝___________°．P OCBA第7题图第8题图8．如图，巳知AB是⊙O的一条直径，延长AB至C点，使得AC=3BC，CD与⊙O相切，切点为D．若CD=，则线段BC的长度等于．9．如图，直径分别为CD、CE的两个半圆相切于点C，大半圆M的弦AB与小半圆N相切于点F，且AB∥CD，AB=4，设»CD、»CE的长分别为x、y，线段ED的长为z，则z（x+y）= .10．阅读下面材料：对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这个圆所覆盖.如图 (1)中的三角形被一个圆所覆盖，图 (2)中的四边形被两个圆所覆盖.回答下列问题：(1)边长为1 cm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是________ cm;(2)边长为1 cm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是________ cm;(3)边长为2 cm，1 cm的矩形被两个半径都为r的圆所覆盖，r的最小值是________ cm，这两个圆的圆心距是________ cm.11．如图①，将一个量角器与一张等腰直角三角形（△ABC）纸片放置成轴对称图形，∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D，半圆（量角器）的圆心与点D重合，量得CE＝5cm，将量角器沿DC方向平移2cm，半圆（量角器）恰与△ABC的边AC、BC相切，如图②，则AB的长为 cm.（精确到0.1cm）图① （第11题）图②12．已知：如图，三个半圆以此相外切，它们的圆心都在x轴的正半轴上并与直线y＝3x相切，设半圆C1、半圆C2、半圆C3的半径分别是r1、r2、r3，则当r1＝1时，r3＝ .三、解答题13. 如图，△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O，交AB于D，E为BC中点.求证：DE是⊙O切线.14. 如图（1）所示，已知AB为⊙O的直径，PA、PC是⊙O的切线，A、C分别为切点，∠BAC＝30°．(1)求∠P的大小；(2)若AB＝2，求PA的长(结果保留根号)．图（1）15.阅读材料：如图（一），△ABC的周长为l，内切圆O的半径为r，连接OA、OB、OC，△ABC被划分为三个小三角形，用S△ABC表示△ABC的面积．∵S△ABC=S△OAB+S△OBC+S△OCA.又∵S△OAB= AB•r，S△OBC= BC•r，S△OCA= CA•r∴S△ABC= AB•r+ BC•r+ CA•r= •l•r（可作为三角形内切圆半径公式）（1）理解与应用：利用公式计算边长分为5、12、13的三角形内切圆半径；（2）类比与推理：若四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆，如图（二））且面积为S，各边长分别为a、b、c、d，试推导四边形的内切圆半径公式；（3）拓展与延伸：若一个n边形（n为不小于3的整数）存在内切圆，且面积为S，各边长分别为a1、a2、a3、…、a n，合理猜想其内切圆半径公式（不需说明理由）．【答案与解析】一、选择题1．【答案】B；【解析】②④错误.2．【答案】D；【解析】∵AD=AF,BD=BE,CE=CF ， ∴周长=821218⨯+⨯=，故选D.3.【答案】C ；【解析】∠PAB=∠PBA=∠POA=∠ACB ，有3个.4.【答案】D ；【解析】 点O 是△DEF 的外接圆的圆心（即外心），是三条边的垂直平分线的交点，故选D.5．【答案】C ；6．【答案】A ；【解析】∠MPN=60°，可得∠OPM=30°，可得OP=2OM=50.二、填空题7．【答案】∠A ＝35°；【解析】由PC 与⊙O 相切于点C ，得∠PCO ＝90°，而∠P ＝20°，所以∠POC ＝70°；因为OA ＝OC ，所以∠A ＝∠ACO ；又∠A ＋∠ACO ＝∠POC ＝70°，故∠A ＝35°．8．【答案】1；【解析】连结OD ，∵CD 与⊙O 相切，切点为D ，∴∠ODC=90°，设⊙O 的半径为r,则OC=2r ，在Rt △ODC 中，有勾股定理得r=1，BC=r=1.9．【答案】8π；【解析】过M 作MG⊥AB 于G ，连MB ，NF ，如图，而AB=4，∴BG=AG=2，∴MB 2﹣MG 2=22=4，又∵大半圆M 的弦与小半圆N 相切于点F ，∴NF⊥AB，∵AB∥CD，∴MG=NF，设⊙M，⊙N 的半径分别为R ，r ，∴z（x+y ）=（CD ﹣CE ）（π•R+π•r），=（2R ﹣2r ）（R+r ）•π，=（R 2﹣r 2）•2π，= 4•2π，=8π．故答案为：8π．10．【答案】 (1)22； (2)33； (3)22； 1． 【解析】图形被圆覆盖，圆一定大于图形的外接圆，它的最小半径就是外接圆半径.（1）正方形的外接圆半径，是对角线的一半，因此r 的最小值是22 cm. （2）等边三角形的外接圆半径是其高的32，故r 的最小值是33 cm. （3）r 的最小值是22 cm ，圆心距是1 cm. 11．【答案】24.5；【解析】如图，设图②中半圆的圆心为O ，与BC 的切点为M ，连接OM ，则OM⊥MC，∴∠OMC=90°，依题意知道∠DCB=45°，设AB 为2x ，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴CD=BD=x，而CE=5cm ，又将量角器沿DC 方向平移2cm ，∴半圆的半径为x ﹣5，OC=x ﹣2， ∴CM=OM= x ﹣5，在Rt △CMO 中，28,+（x-5）=x-2,x=32 ∴AB=2x=2×(8)+32≈24.5（cm ）．12.【答案】9．【解析】由三个半圆依次与直线y ＝3x 相切并且圆心都在x 轴上，∴y ＝3x 倾斜角是30°， ∴得OO 1=2r 1，OO 2=2r 2，003=2r 3，r 1＝1，∴r 3=9．故答案为9．三、解答题13. 【答案与解析】连接OD ，CD∵AC 是⊙O 直径∴CD ⊥AB∵E 为BC 中点∴ED=EC∴∠EDC=∠ECD又∵OD=OC∴∠ODC=∠OCD∴∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD∴∠ODE=∠OCE=90°∴DE 是⊙O 的切线.14. 【答案与解析】(1)PA 是⊙O 的切线，AB 为⊙O 的直径，∴ PA ⊥AB ．∴ ∠BAP ＝90°∴ ∠BAC ＝30°．∴ ∠CAP ＝90°-∠BAC ＝60°．又∵ PA 、PC 切⊙O 于点A 、C ，∴ PA ＝PC ，∴ △PAC 为等边三角形，∴ ∠P ＝60°．(2)连接BC ，如图（2），则∠ACB ＝90°．在Rt △ACB 中，AB ＝2，∠BAC ＝30°， 图（2）∴ BC ＝1．由勾股定理又求得AC ＝3， 由(1)知PA ＝PC ＝3．15. 【答案与解析】（1）以5，12，13为边长的三角形为直角三角形，易求11512=++22⨯⨯（51213）r，得；（2）连接OA，OB，OC，OD，并设内接圆半径为r，如图，可得S四边形ABCD=S△OAB+S△OBC+S△OCD+S△ODA=a•r+b•r+c•r+d•r=（a+b+c+d）•r．∴；（3）猜想： .。
D_2019年中考数学知识点精选提高练习：切线长定理(圆)(含参考答案)
10．如图，PA，PB 切⊙O 于 A，B 两点，CD 切⊙O 于点 E，交 PA，PB 于 C，D．若⊙O 的半径为 1，△
PCD 的周长等于 2 ，则线段 AB 的长是（ ）
A．
B．3
C．2
D．3
二．填空题 11．如图，PA、PB、DE 分别切⊙O 于 A、B、C，⊙O 的半径为 6cm，OP 的长为 10cm，则△PDE 的周长
8．解：∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠ BCD＝180°， ∵CD、BC，AB 分别与⊙O 相切于 G、F、E，
∴∠OBC＝ ∠ABC，∠OCB＝ ∠BCD，BE＝BF，CG＝CF， ∴∠OBC+∠OCB＝90°， ∴∠BOC＝90°，
∴BC＝
＝10，
∴BE+CG＝10（cm）．
故选：D．
9．解：设 E、F 分别是⊙O 的切点，
2019 年中考数学知识点过关培优训练： 切线长定理（圆）
一．选择题 1．如图，是用一把直尺、含 60°角的直角三角板和光盘摆放而成，点 A 为 60°角与直尺交点，点
B 为光盘与直尺唯一交点，若 AB＝3，则光盘的直径是（ ）
A．6
B．3
C．6
D．3
2．如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 为⊙O 外一点，CA、CD 是⊙O 的切线，A、D数为（ ）
A．50°
B．62°
C．66°
D．70°
5．如图，AB、AC、BD 是⊙O 的切线，切点分别是 P、C、D．若 AB＝5，AC＝3，则 BD 的长是（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
6．已知⊙O 1 和⊙O2 外切于 M，AB 是⊙O1 和⊙O2 的外公切线，A，B 为切点，若 MA＝4cm，MB＝3cm， 则 M 到 AB 的距离是（ ）
九年级数学切线长定理同步练习含答案
第 2 章 对称图形 —— 圆第 4 课时 切线长定理知识点 切线长定理的应用1． 如图 2－ 5－ 32，PA ，PB 分别切⊙ O 于 A ， B 两点．若∠ P ＝60° ， PA ＝ 2，则弦 AB的长为 ()A ． 1B ．2C ． 3D ． 4图 2－ 5－32图 2－ 5－33.如图 2－5－ 33， CD 是⊙ O 的切线 ，切点为 E ， AC ， BD 分别与⊙ O 相切于点 A ， B.如果 CD ＝7， AC ＝ 4，那么 BD 等于 ()A ． 5B ．4C ． 3D ． 23． [教材习题 2.5 第 13 题变式 ]如图 2－ 5－ 34，四边形 ABCD 的边AB ， BC ，CD ， DA 和⊙ O 分别相切．若四边形ABCD 的周长为 20，则 AB ＋ CD 等于 ()A ． 5B ． 8C ． 10D ．12︵4． 已知线段 PA ， PB 分别切⊙ O 于点 A ， B ，AB120°， ⊙ O 的半径为 4，则的度数为 线段 AB 的长为 ()A ． 8B ． 43C ． 6 3D ． 83图 2－ 5－34图 2－ 5－35.如图 2－5－ 35， PA， PB 是⊙ O 的切线，A ， B 为切点， AC 是⊙ O 的直径，∠P＝ 40°，则∠ BAC 的度数为 ________．6．如图 2－ 5－ 36，PA ， PB 分别切⊙ O 于点 A ， B ，∠ AOP ＝50°，则∠PAB ＝ ________°，∠ OPB＝ ________°.图2－ 5－36图2－ 5－377．如图 2－ 5－ 37，PA ， PB， DE 分别切⊙ O 于点 A， B， C，若⊙ O 的半径为5， OP＝13，则△ PDE 的周长为 ________．图2－ 5－388．如图 2－ 5－ 38，P 是⊙ O 的直径 AB 的延长线上一点， PC， PD 分别切⊙ O 于点C，D. 若 PA ＝ 6，⊙O 的半径为 2，则∠ CPD 的度数为 ________．9．如图 2－ 5－ 39，PA ， PB 为⊙ O 的两条切线， A ， B 为切点．若是⊙ O 的半径为5，∠OPA ＝ 30°，求两条切线的夹角∠APB 的度数及切线PA 的长．图2－ 5－39图 2－ 5－40 10． [2016 ·梁溪区一模 ]AB ＝ 4， AD ＝ 5，AD ， AB ， BC 分别与⊙BC 于点 M ，切点为 N ，则 DM 的长为 (O 相切于点)如图2－5－40，在矩形ABCD 中，E，F， G，过点 D 作⊙ O 的切线交139 A. 34 13C. 39D． 2511．如图 2－ 5－ 41， PA， PB 是⊙ O 的切线， A ， B 为切点， AC 是⊙ O 的直径，∠ ACB ＝ 70°.求∠ P 的度数．图2－ 5－4112．如图 2－ 5－ 42，△ ABC 的内切圆⊙ O 与 AC ， AB ， BC 分别相切于点D， E， F，且AB ＝5 cm， BC＝ 9 cm， AC ＝ 6 cm，求 AE ， BF 和 CD 的长．图2－ 5－4213．如图 2－ 5－ 43， PA， PB 为⊙ O 的两条切线，切点分别为 A ，B ，直线 CD 切⊙ O 于点 E.(1)试试究△ PCD 的周长与线段 PA 的数量关系；(2)若∠ P＝α，求∠ COD 的度数．图2－ 5－4314．如图 2－ 5－ 44， AB 是⊙ O 的直径， AM ， BN 分别切⊙ O 于点 A ， B， CD 分别交AM ， BN 于点 D ，C， DO 均分∠ ADC.(1)求证： CD 是⊙ O 的切线；(2)若 AD ＝ 4， BC＝9，求⊙ O 的半径 R.图2－ 5－4415．如图 2－ 5－ 45， PA， PB 分别与⊙ O 相切于点 A ， B，点 M 在 PB 上，且OM ∥ AP， MN ⊥ AP，垂足为 N.(1)求证： OM ＝ AN ；(2)若⊙ O 的半径 R＝ 3， PB＝ 9，求 OM 的长．图2－ 5－ 45详解详析1． B2． C3． C4． B5． 20°[ 剖析 ]∵ PA，PB是⊙ O的切线，A，B为切点，1∴PA ＝ PB，∴∠ BAP ＝∠ ABP ＝2×(180° － 40° )＝ 70° .由 PA 是⊙ O 的切线， A 为切点，AC 是⊙ O 的直径，得∠ PAC ＝ 90°，∴∠ BAC ＝90° － 70°＝20°. 6． 50 407． 24 [ 剖析 ]∵ PA，PB，DE分别切⊙ O于A，B，C三点，∴AD ＝ CD ， CE＝ BE ， PA＝ PB，OA ⊥ PA.在Rt△ OAP 中，依照勾股定理，得 AP ＝ 12，∴△ PDE 的周长为PD＋ DE＋ PE＝ PD＋ AD ＋ BE ＋ PE＝ 2PA ＝ 24.8． 60°[ 剖析 ] 连接 OC.∵ PA＝ 6，⊙O 的半径为2，∴OP＝ PA － OA ＝4.∵PC， PD 分别切⊙ O 于点 C，D ，∴∠ OPC＝∠ OPD， OC⊥ PC.∵OP＝ 2OC，∴∠ OPC＝ 30°，∴∠ CPD＝60° .9．解：连接 OA ， OB，则 OA ⊥PA， OB ⊥ PB.∵OA ＝ OB ，OP＝ OP，∴Rt△ OAP≌ Rt△ OBP ，∴∠ OPA＝∠ OPB，∴∠ APB ＝2∠ OPA＝ 60° .在Rt△ AOP 中，可求得 OP＝ 2OA ＝ 10，∴PA＝ OP2－ OA 2＝5 3.10． A [剖析 ] 如图，连接 OE， OF，ON ， OG.在矩形 ABCD 中，∠ A ＝∠ B ＝ 90°， CD ＝ AB ＝ 4.∵ AD ， AB ，BC 分别与⊙ O 相切于点 E， F，G，∴∠ AEO ＝∠ AFO ＝∠ OFB＝∠ BGO ＝ 90°.又∵ OE＝ OF＝ OG，∴四边形AFOE ，四边形 FBGO 是正方形，∴AF ＝ BF＝ AE ＝ BG ＝2，∴DE ＝ 3.∵ DM 是⊙ O 的切线，∴DN ＝ DE ＝3， MN ＝ MG ，∴CM ＝5－ 2－ MG ＝ 3－ MN.在Rt△ DMC 中， DM 2＝ CD2＋ CM 2，∴ (3＋ MN) 2＝ 42＋ (3－ MN) 2，4 4 13∴MN ＝3，∴ DM ＝ 3＋3＝3.应选 A.11．解：连接 AB.∵AC 是⊙ O 的直径，∴∠ CBA ＝ 90°，∴∠ BAC ＝ 90° －∠ ACB ＝ 20° .∵PA ， PB 是⊙ O 的切线，∴PA ＝ PB，∠ CAP＝ 90°，∴∠ PAB ＝90° － 20°＝ 70°.∵PA ＝ PB，∴∠ PBA ＝∠ PAB ＝ 70°，∴∠ P＝180° －∠ PAB －∠ PBA ＝ 40°.12．解：∵⊙ O 与△ ABC 的三边都相切，∴AE ＝ AD ，BE ＝ BF ，CD ＝ CF.设AE ＝ x cm， BF＝ y cm， CD＝z cm，x＋ y＝ 5，x＝1，{y＋z＝9，) {y＝4，)则 z＋ x＝ 6，解得z＝ 5.即AE ＝ 1 cm， BF＝ 4 cm， CD＝5 cm.13．解： (1) △ PCD 的周长＝ 2PA. 原由以下：∵ PA ， PB 分别切⊙ O 于点 A ， B ，CD 切⊙ O 于点 E，∴PA ＝ PB， AC ＝ CE， BD ＝ DE，∴△ PCD 的周长＝ PD＋DE ＋ PC＋ CE＝ PB＋ PA＝ 2PA ，即△ PCD 的周长＝ 2PA.(2)如图，连接 OA， OE， OB.由切线的性质，得OA⊥ PA，OB⊥PB，OE⊥ CD，BD＝DE，AC＝CE.∵OA ＝ OE＝OB ，易证△ AOC ≌△ EOC ，△EOD ≌△ BOD ，∴∠ AOC ＝∠ EOC，∠ EOD＝∠ BOD ，11∴∠ COD ＝∠ EOC＋∠ EOD＝ 2(∠ AOE ＋∠ BOE) ＝ 2∠ AOB.∵∠ P＝α，OA ⊥ PA， OB⊥PB ，∴∠ AOB ＝ 180°－α，1∴∠ COD ＝ 90°－2α.14 解： (1)证明：如图，过点 O 作 OE⊥ CD 于点 E.∵ AM 切⊙ O 于点 A，∴OA ⊥ AD.又∵ DO 均分∠ ADC ，∴OE＝ OA.∵ OA 为⊙ O 的半径，∴OE 是⊙ O 的半径，∴CD 是⊙ O 的切线．(2) 过点 D 作 DF⊥ BC 于点 F.∵ AM ，BN 分别切⊙ O 于点 A， B，∴AB ⊥ AD ，AB ⊥ BC，∴四边形 ABFD 是矩形，∴AD ＝ BF ， AB ＝ DF.又∵ AD ＝4， BC ＝ 9，∴ FC＝ 9－ 4＝5.∵AM ，BN ， DC 分别切⊙ O 于点 A ， B， E，∴ AD ＝ DE ，BC＝ CE，∴CD ＝ DE ＋ CE＝AD ＋ BC ＝ 4＋9＝13. 在 Rt△ DFC 中， CD2＝ DF2＋ FC2，∴DF ＝ CD2－ FC2＝ 12，∴AB ＝ 12，∴⊙ O 的半径 R 为 6.15．解： (1) 证明：如图，连接 OA ，则 OA ⊥PA.∵MN ⊥PA ，∴ MN ∥OA.∵OM ∥PA ，∴四边形ANMO 是平行四边形．又∵ MN ⊥ AP，∴?ANMO 是矩形，∴OM ＝AN.(2)如图，连接 OB，则 OB⊥ PB，∴∠ OBM ＝∠ MNP ＝ 90° .∵四边形ANMO 是矩形，∴OA ＝ MN.又∵ OA ＝OB ，∴OB ＝ MN.∵OM ∥AP ，∴∠ OMB ＝∠ MPN ，∴△ OBM ≌△ MNP ，∴ OM ＝ MP.设OM ＝x，则 MP＝ x， AN ＝ x.∵PA ＝ PB＝ 9，∴NP ＝9－ x.在Rt△ MNP 中，有 x2＝ 32＋ (9－ x)2，解得 x＝ 5，即 OM ＝ 5.。
中考数学专项练习圆的切线长定理(含解析)
中考数学专项练习圆的切线长定理（含解析）一、单选题1.如图，△ABC是一张周长为17cm的三角形的纸片，BC=5cm，⊙O 是它的内切圆，小明预备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（）A.12cm B.7cm C.6cm D.随直线MN的变化而变化2.下列说法正确的是()A.过任意一点总能够作圆的两条切线 B.圆的切线长确实是圆的切线的长度C.过圆外一点所画的圆的两条切线长相等 D.过圆外一点所画的圆的切线长一定大于圆的半径3.如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB 于C，D．若⊙O的半径为1，△PCD的周长等于2 ，则线段AB的长是（）A.B.3C. 2D. 34.如图,圆和四边形ABCD的四条边都相切,且AB=16,CD=10,则四边形ABCD的周长为()A.5B.52C.54D.565.如图，PA，PB，CD与⊙O相切于点为A，B，E，若PA=7，则△P CD的周长为（）A.7B.14C.10.5D.106.如图，PA,PB切⊙O于点A,B，PA=8，CD切⊙O于点E，交PA,PB 于C,D两点，则△PCD的周长是（）A.8B.18C.16D.147.如图，四边形ABCD中，AD平行BC，∠ABC=90°，AD=2，AB= 6，以AB为直径的半⊙O 切CD于点E，F为弧BE上一动点，过F点的直线MN为半⊙O的切线，MN交BC于M，交CD于N，则△MCN的周长为（）A.9B.1C. 3D. 28.圆外切等腰梯形的一腰长是8，则那个等腰梯形的上底与下底长的和为（）A.4B.8C.12D.169.如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD=10cm ，小明预备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形（△AMN），则剪下的△AMN的周长为（）A.20cmB.15cmC.10cm D.随直线MN的变化而变化二、填空题10.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，若∠APB=60°，PO=2，则⊙O的半径等于________．11.PA、PB分别切⊙O于点A、B，若PA=3cm，那么PB=________cm．12.如图，一圆内切于四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形A BCD的周长为________．13.如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB=3cm，则此光盘的直径是________cm．14.如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，PA=10，CD 是⊙O的切线，交PA于点C，交PB于点D，则△PCD的周长是________．15.如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，P，C，D为切点，假如AB=5，AC=3，则BD的长为________．16.如图，一圆外切四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形的周长为________．答案解析部分一、单选题1.【答案】B【考点】切线长定理【解析】【解答】解：设E、F分别是⊙O的切点，∵△ABC是一张三角形的纸片，AB+BC+AC=17cm，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，BC=5cm，∴BD+CE=BC=5cm，则AD+AE=7cm，故DM=MF，FN=EN，AD=AE，∴AM+AN+MN=AD+AE=7（cm）．故选：B．【分析】利用切线长定理得出BC=BD+EC，DM=MF，FN=EN，AD=AE，进而得出答案．2.【答案】C【考点】切线长定理【解析】【解答】解：A、过圆外任意一点总能够作圆的两条切线，过圆上一点只能做圆的一条切线，过圆内一点不能做圆的切线；故A错误，不符合题意；B、圆的切线长确实是，过圆外一点引圆的一条切线，这点到切点之间的线段的长度确实是圆的切线长；故B错误，不符合题意；C、依照切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等；故C是正确的符合题意；D、过圆外一点所画的圆的切线长取决于点离圆的距离等，故不一定大于圆的半径；故D错误，不符合题意；故答案为：C。
九年级数学 切线长定理 专题练习(含解析)
∴梯形对边和为：8+8=16， 则这个等腰梯形的上底与下底长的和为 16． 故选：D． 分析：直接利用圆外切四边形对边和相等，进而求出即可． 6.如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，点 D、E 分别为边 AB、AC 上的点，且 DE 为⊙O 的切 线，若△ABC 的周长为 25，BC 的长是 9，则△ADE 的周长是（ ） A．7 B．8 C．9 D．16
答案：C
解析：解答： ∵AB、AC 是⊙O 的两条切线，B、C 是切点， ∴∠B=∠C=90°，∠BOC=180°-∠A=110°． 故选 C． 分析：利用切线的性质可得，∠B=∠C=90°，再用四边形的内角和为 360 度可解． 10.如图，PA、PB 是⊙O 的两条切线，切点是 A、B．如果 OP=4，PA= 2 3 ，那么∠AOB 等于（ ） A．90° B．100° C．110° D．120°
答案：B 解析：解答：∵PA、PB 都是⊙O 的切线， ∴PA=PB， 又∵∠P=60°， ∴△PAB 是等边三角形，即 AB=PA=8， 故选 B． 分析： 根据切线长定理知 PA=PB，而∠P=60°，所以△PAB 是等边三角形，由此求得弦 AB 的长． 8.如图，PA、PB 分别是⊙O 的切线，A、B 为切点，AC 是⊙O 的直径，已知∠BAC=35°， ∠P 的度数为（ ） A．35° B．45° C．60° D．70°
答案：D 解析：解答： 根据切线的性质定理得∠PAC=90°， ∴∠PAB=90°-∠BAC=90°-35°=55°． 根据切线长定理得 PA=PB， 所以∠PBA=∠PAB=55°， 所以∠P=70°． 故选 D． 分析： 根据切线长定理得等腰△PAB，运用内角和定理求解． 9.如 图 ， AB、 AC 是 ⊙O 的 两 条 切 线 ， B、 C 是 切 点 ， 若 ∠A=70°， 则 ∠BOC 的 度 数 为 （ ） A．130° B．120° C．110° D．100°
切线长定理-三角形的内切圆(巩固篇)-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练(浙教版)
专题2.9 切线长定理 三角形的内切圆（巩固篇）（专项练习）一、单选题1．直角三角形的外接圆半径为3，内切圆半径为1，则该直角三角形的周长是（ ） A ．12B ．14C ．16D ．182．如图，C 与AOB ∠的两边分别相切，其中OA 边与⊙C 相切于点P ．若90AOB ∠=︒，4OP =，则OC 的长为（ ）A ．8B ．2C ．42D ．23．如图，在ABC ∆中，52AB AC BC +=,AD BC ⊥于D ，⊙O 为ABC ∆的内切圆，设⊙O 的半径为R ，AD 的长为h ，则Rh的值为（ ）A ．12B ．27C ．13D ．344．如图，O 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，⊙O 与边AB ，BC 都相切，点E ，F 分别在AD ，DC 上，现将⊙DEF 沿着EF 对折，折痕EF 与⊙O 相切，此时点D 恰好落在圆心O 处．若DE =2，则正方形ABCD 的边长是（ ）A ．3B ．4C ．22D ．225．如图，点E 是ABC 的内心，AE 的延长线和ABC 的外接圆相交于点D ，与BC 相交于点G ，则下列结论：⊙BAD CAD ∠=∠；⊙若60BAC ∠=︒，则120∠=︒BEC ；⊙若点G 为BC 的中点，则90BGD ∠=︒；⊙BD DE =．其中一定正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．如图，已知△ABC 内接于⊙O ，∠ABC ＝45°，∠C ＝65°，点D 是BC 的中点，则∠OAD 的大小为（ ）A ．5°B ．10°C ．15°D ．20°7．如图，点A ，B ，C ，D 都在半径为2的O 上，若直径,30AD BC D ⊥∠=︒，则弦BC 的长为（ ）A ．4B ．22C 3D ．38．如图，已知AT 切O 于点T ，点B 在O 上，且60BOT ∠=︒，连结AB 并延长交O 于点C ，O 的半径为2，设AT m =，⊙当m 23BOC ∆是等腰直角三角形； ⊙若2m =，则62AC ⊙当23m =AB 与O 相切．以上列选项正确的有（ ） A ．⊙B ．⊙C ．⊙⊙D ．⊙⊙9．如图，经过A 、C 两点的⊙O 与△ABC 的边BC 相切，与边AB 交于点D ，若⊙ADC ＝105°，BC ＝CD ＝3，则AD 的值为（ ）A ．2B ．2C 52D 7210．如图，在⊙O 中，点C 在优弧AB 上，将弧BC 沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ．若⊙O 5AB ＝4，则BC 的长是（ ）A ．3B ．2C ．2D ．3二、填空题11．如图，P A ，PB 是O 的切线，A ，B 为切点．若60APB ∠=︒，则AOP ∠的大小为______．12．如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，与AB ，BC ，CA 的切点分别为D ，E ，F ，若⊙BDE +⊙CFE =110°，则⊙A 的度数是________︒．13．如图，矩形ABCO 的顶点A ，C 分别在x 轴、y 轴上，点B 的坐标为()4,3，⊙M 是AOC △的内切圆，点N ，点P 分别是⊙M ，x 轴上的动点，则BP PN +的最小值是______．14．如图，圆O 是四边形ABCD 的内切圆，若⊙BOC ＝118°，则⊙AOD ＝__．15．如图，在平面直角坐标系中，点()0,6A ，点()8,0B ，I 是OAB 的内心，则（1）AB=______；（2）点I关于x轴对称的点的坐标是______．16．如图，点I是⊙ABC的内心，连接AI并延长交⊙ABC的外接圆于点D，若⊙ACB＝70°，则⊙DBI＝_____°．17．如图，已知O的半径为m，点C为直径AB延长线上一点，BC m=．过点C任作一直线l，若l上总存在点P，使过P所作的O的两切线互相垂直，则ACP∠的最大值等于__．18．如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，若⊙O的面积为2π，MN＝1，则AMN周长的最小值为________．三、解答题19．已知ABC 的三边长分别为,,BC a AC b AB c ===，⊙为ABC 的内心，且⊙在ABC的边 BC AC AB 、、上的射影分别为D E F 、、． （1）若5,4,3a b c ===，求ABC 内切圆半径r ； （2）求证：2b c aAE AF +-==．20．已知关于x 的方程x 2﹣（k ＋1）x ＋14k 2＋1＝0的两根是一个直角三角形两直角边的长．（1）k 取何值时，方程有两个实数根；（2）若直角三角形的内切圆半径为12，求k 值．21．如图，四边形ABCD 内接于O ，AB 是O 的直径，过点D 作O 的切线交BC 的延长线于点E ，交BA 的延长线于点F ，且DE BE ⊥，过点A 作O 的切线交EF 于点G ，连接AC ．(1) 求证：AD 平分GAC ∠；(2) 若AD =5，AB =9，求线段DE 的长．22．如图，在Rt △ABC 中，⊙ABC =90°，以AB 的中点O 为圆心，AB 为直径的圆交AC 于D ，E 是BC 的中点，DE 交BA 的延长线于F ．(1) 求证：FD 是圆O 的切线； (2) 若BC =4，FB =8，求AB 的长．23．在O 中，弦CD 与直径AB 相交于点P ，16ABC ∠=︒． (1)如图⊙，若52BAD =︒∠，求APC ∠和CDB ∠的大小；(2)如图⊙，若CD AB ⊥，过点D 作O 的切线，与AB 的延长线相交于点E ，求E ∠的大小．24．定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的“好角”．(1)如图1，⊙E 是ABC 中⊙A 的“好角”，若A α∠=，则E ∠=______；（用含α的代数式表示）(2)如图2，四边形ABCD 内接于O ，点D 是优弧ACB 的中点，直径BF ⊥弦AC ，BF 、CD 的延长线于点G ，延长BC 到点E ．求证：⊙BGC 是ABC 中⊙BAC 的“好角”．(3)如图3，ABC 内接于O ，⊙BGC 是ABC 中⊙A 的“好角”，BG 过圆心O 交O 于点F ，O 的直径为8，45A ∠=︒，求FG ．参考答案1．B 【分析】⊙I 切AB 于E ，切BC 于F ，切AC 于D ，连接IE ，IF ，ID ，得出正方形CDIF 推出CD=CF =1，根据切线长定理得出AD=AE ，BE=BF ，CF=CD ，求出AD+BF=AE+BE=AB =6，即可求出答案．解：如图，⊙I 切AB 于E ，切BC 于F ，切AC 于D ，连接IE ，IF ，ID ，则⊙CDI =⊙C =⊙CFI =90°，ID=IF =1，⊙四边形CDIF是正方形，⊙CD=CF=1，由切线长定理得：AD=AE，BE=BF，CF=CD，⊙直角三角形的外接圆半径为3，内切圆半径为1，⊙AB=6=AE+BE=BF+AD，即⊙ABC的周长是AC+BC+AB=AD+CD+CF+BF+AB=6+1+1+6=14，故选：B．【点拨】本题考查了直角三角形的外接圆与内切圆，正方形的性质和判定，切线的性质，切线长定理等知识点的综合运用．2．C【分析】如图所示，连接CP，由切线的性质和切线长定理得到⊙CPO=90°，⊙COP=45°，由此推出CP=OP=4，再根据勾股定理求解即可．解：如图所示，连接CP，⊙OA，OB都是圆C的切线，⊙AOB=90°，P为切点，⊙⊙CPO=90°，⊙COP=45°，⊙⊙PCO=⊙COP=45°，⊙CP=OP=4，⊙2242=+=，OC CP OP故选C．【点拨】本题主要考查了切线的性质，切线长定理，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，熟知切线长定理是解题的关键．3．B【分析】O 分别与ABC ∆的三边切于P ，Q ，T ，连接OA OB OC OP OQ OT ,,,,,，利用ABC OAB OAC OBC S S S S ∆∆∆∆=++求出7142R h =，进一步得出结论． 解：如图，令O 分别与ABC ∆的三边切于P ，Q ，T ，连接OA OB OC OP OQ OT ,,,,,⊙,,OP AB OQ AC OT BC ⊥⊥⊥⊙ABC OAB OAC OBC S S S S ∆∆∆∆=++=111222AB OP AC OQ BC OT ⋅+⋅⋅+⋅⋅ =111222AB R AC R BC R ⋅+⋅⋅+⋅⋅ 1()2R AB AC BC =++ 又⊙52AB AC BC +=⊙17()2524ABC S R BC BC R BC ∆=+=⋅ 又⊙,AD BC AD h ⊥=⊙1122ABC S BC AD h BC ∆=⋅⋅=⋅⋅ ⊙7142R BC h BC ⋅=⋅⋅ ⊙7142R h = ⊙122774Rh == 故选：B ．【点拨】此题主要考查了三角形的内切圆与内心，解答的关键是，充分利用已知条件将问题转化为求几个三角形面积的和．4．C【分析】延长FO 交AB 于点G ，根据折叠对称可以知道OF ⊙CD ，所以OG ⊙AB ，即点G 是切点，OD 交EF 于点H ，点H 是切点．结合图形可知OG =OH =HD =EH ，等于⊙O 的半径，先求出半径，然后求出正方形的边长．解：如图：延长FO 交AB 于点G ，则点G 是切点，OD 交EF 于点H ，则点H 是切点，⊙ABCD 是正方形，点O 在对角线BD 上，⊙DF =DE ，OF ⊙DC ，⊙GF ⊙DC ，⊙OG ⊙AB ，⊙OG =OH =HD =HE =AE ，且都等于圆的半径．在等腰直角三角形DEH 中，DE =2，⊙EH =DH 2AE ．⊙AD =AE +DE 2+2．故选C ．【点拨】本题考查的是切线的性质，利用切线的性质，结合正方形的特点求出正方形的边长．5．D【分析】根据点E 是ABC 的内心，可得BAD CAD ∠=∠，故⊙正确；连接BE ，CE ，可得⊙ABC +⊙ACB =2（⊙CBE +⊙BCE ），从而得到⊙CBE +⊙BCE =60°，进而得到⊙BEC =120°，故⊙正确； BAD CAD ∠=∠，得出BD CD =，再由点G 为BC 的中点，则90BGD ∠=︒成立，故⊙正确；根据点E 是ABC 的内心和三角形的外角的性质，可得()12BED BAC ABC ∠=∠+∠，再由圆周角定理可得()12DBE BAC ABC ∠=∠+∠，从而得到⊙DBE =⊙BED ，故⊙正确；即可求解．解：⊙点E 是ABC 的内心，⊙BAD CAD ∠=∠，故⊙正确；如图，连接BE ，CE ，⊙点E 是ABC 的内心，⊙⊙ABC =2⊙CBE ，⊙ACB =2⊙BCE ，⊙⊙ABC +⊙ACB =2（⊙CBE +⊙BCE ），⊙⊙BAC =60°，⊙⊙ABC +⊙ACB =120°，⊙⊙CBE +⊙BCE =60°，⊙⊙BEC =120°，故⊙正确；⊙点E 是ABC 的内心，⊙BAD CAD ∠=∠，⊙BD CD =,⊙点G 为BC 的中点，⊙线段AD 经过圆心O ，⊙90BGD ∠=︒成立，故⊙正确；⊙点E 是ABC 的内心，⊙11,22BAD CAD BAC ABE CBE ABC ∠=∠=∠∠=∠=∠， ⊙⊙BED =⊙BAD +⊙ABE ，⊙()12BED BAC ABC ∠=∠+∠， ⊙⊙CBD =⊙CAD ，⊙⊙DBE =⊙CBE +⊙CBD =⊙CBE +⊙CAD ，⊙()12DBE BAC ABC ∠=∠+∠， ⊙⊙DBE =⊙BED ，⊙BD DE =，故⊙正确；⊙正确的有4个．故选：D【点拨】本题主要考查了三角形的内心问题，圆周角定理，三角形的内角和等知识，熟练掌握三角形的内心问题，圆周角定理，三角形的内角和等知识是解题的关键．6．B【分析】连接OB ，根据圆周角定理求出⊙AOB ，得到⊙OAB 的度数，根据三角形内角和定理求出⊙BAC ，根据圆周角定理求出⊙BAD ，结合图形计算，得到答案．解：连接OB ，由圆周角定理得，⊙AOB=2⊙C=130°，⊙OA=OB ，⊙⊙OAB=12×（180°-130°）=25°，⊙⊙ABC=45°，⊙C=65°，⊙⊙BAC=180°-45°-65°=70°，⊙点D 是BC 的中点，⊙⊙BAD=⊙CAD=35°，⊙⊙OAD=⊙BAD -⊙OAB=10°，故选：B ．【点拨】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、三角形内角和定理是解题的关键．7．D【分析】AD BC ⊥交BC 于点E ，连接OC ，由题意得==30DCO D ∠∠︒，根据三角形内角和定理得120COD ∠=︒，即60COE ∠=︒，可得30OCE ∠=︒，根据直角三角形的性质得112EO OC ==，在Rt CEO 中，根据勾股定理得3CE 解：如图所示，令AD BC ⊥交BC 于点E ，连接OC ，⊙=2OC OD =，=30D ∠︒，⊙==30DCO D ∠∠︒，⊙180=1803030=120COD DCO D ∠=︒-∠-∠︒-︒-︒︒，即180=180120=60COE COD ∠=︒-∠︒-︒︒，⊙180=180609030OCE COE OEC ∠=︒-∠-∠︒-︒-︒=︒,⊙112EO OC ==， 在Rt CEO 中，根据勾股定理得，2222213CE CO OE -=-=⊙直径AD BC ⊥，⊙BE CE =，即223BC CE ==故选：D ．【点拨】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，垂径定理，解题的关键是掌握这些知识点．8．C【分析】根据题目所给条件，结合圆的性质，证明90∠=︒ABO 即可判断⊙⊙，根据等腰直角三角形的性质并结合圆的性质，应用勾股定理即可判断⊙解：如图，连接TB 、OA ，TB 、OA 相较于点G当23AT m ==2333tan 2AT AOT OT ∠===⊙30AOT ∠=︒⊙OA 垂直平分TB⊙30AOT AOB OAT OAB ∠=∠=︒∠=∠，又⊙AT 与O 相切⊙90ATO ∠=︒⊙60BOT ∠=︒⊙30ATB ∠=︒⊙60OAT OAB ∠=∠=︒⊙90AOB OAB ∠+∠=︒⊙90∠=︒ABO⊙AB 与O 相切则⊙错误；⊙正确；当2AT m ==时，OT AT =⊙AB 与O 相切45AOT OAT ∠=∠=︒∴60BOT ∠=︒∵604515AOB BOT AOT ∠=∠-∠=︒-︒=︒∴30ATB AT BT ∠=︒=∵，()1180752BAT ATB ∠=︒-∠=︒∴ 754530OAB BAT TAO ∠=∠-∠=︒-︒=︒∴153045OBC AOB OAB ∠=∠+∠=︒+︒=︒∴22222222BC OC OB =+=+∴作OE BC ⊥，则122OE CE BE BC ====22222222OA AT OT ++=∵()22222226AE OA OE --∴62AC AE CE =+=∴故⊙正确；故选：C【点拨】本题主要考查圆的性质，等边三角形的性质，以及勾股定理，掌握以上知识，并正确做出辅助线是解题的关键．9．A【分析】连接OC 、OD ，作OE AB ⊥于点E ．易求出75CBD CDB ∠=∠=︒，30BCD ∠=︒．再由切线的性质，即可求出60OCD ∠=︒，即三角形OCD 为等边三角形．得出结论60ODC ∠=︒，3OC OD CD ===．从而即可求出45ADO ∠=︒，即三角形OED 为等腰直角三角形，由此即可求出DE 的长，最后根据垂径定理即可求出AD 的长．解：如图，连接OC 、OD ，作OE AB ⊥于点E ．⊙BC CD =，⊙CBD CDB ∠=∠，⊙105ADC ∠=︒，⊙75CBD CDB ∠=∠=︒，⊙18027530BCD ∠=︒-⨯︒=︒．由题意可知OC BC ⊥，即90OCB ∠=︒，⊙903060OCD OCB BCD ∠=∠-∠=︒-︒=︒，⊙OD =OC ，⊙三角形OCD 为等边三角形．⊙60ODC ∠=︒，3OC OD CD ===．⊙1056045ADO ADC ODC ∠=∠-∠=︒-︒=︒，⊙三角形OED 为等腰直角三角形， ⊙22323DE === ⊙322232AD DE ===故选：A ．【点拨】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，等腰直角三角形与等边三角形的判定和性质以及垂径定理，综合性强．正确的连接辅助线是解答本题的关键．10．B【分析】连接OD 、AC 、DC 、OB 、OC ，作CE ⊙AB 于E ，OF ⊙CE 于F ，利用垂径定理得到OD ⊙AB ，则AD ＝BD ＝2，于是根据勾股定理可计算出OD ＝1，再利用折叠的性质可判断AC 和CD 所在的圆为等圆，则根据圆周角定理得到AC CD =，所以AC ＝DC ，利用等腰三角形的性质得AE ＝DE ＝1，接着证明四边形ODEF 为正方形得到OF ＝EF ＝1，然后计算出CF 后得到CE ＝BE ＝3，于是可得到BC 的长．解：如图，连接OD 、AC 、DC 、OB 、OC ，作CE ⊙AB 于E ，OF ⊙CE 于F ，⊙D 为AB 的中点，⊙OD ⊙AB ，⊙AD ＝BD ＝12AB ＝2，在Rt △OBD 中，OD 22541OB BD --=，⊙将BC 沿BC 折叠，⊙AC 和CD 所在的圆为等圆，⊙AC CD =，⊙AC ＝DC ，⊙AE ＝DE ＝1，⊙⊙ODE ＝⊙OFE ＝⊙DEF ＝90°，⊙四边形ODEF 是矩形，⊙DE ＝OD ＝1，⊙四边形ODEF 是正方形，⊙OF ＝EF ＝1，在Rt △OCF 中，CF 22512OC OF ，⊙CE ＝CF ＋EF ＝2＋1＝3，而BE ＝BD ＋DE ＝2＋1＝3，⊙BC 223332+=故选：B ．【点拨】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理及正方形的判定和性质等．11．60°##60度【分析】先由切线的性质及切线长定理求出90,30PAO APO ∠=︒∠=︒，再根据直角三角形两锐角互余求解即可． 解： P A ，PB 是O 的切线，A ，B 为切点190,2PAO APO PAB ∴∠=︒∠=∠ 90APO AOP ∴∠+∠=︒60APB ∠=︒30APO ∴∠=︒60AOP ∴∠=︒故答案为：60°．【点拨】本题考查了切线的性质及切线长定理、直角三角形两锐角互余，熟练掌握知识点是解题的关键．12．40【分析】根据切线长定理，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理推出⊙BDE +⊙BED +⊙B =180°，⊙CFE +⊙CEF +⊙C =180°，得到2(⊙BDE +⊙CFE )+⊙B +⊙C =360°，据此求解即可．解：⊙⊙O 是△ABC 的内切圆，与AB ，BC ，CA 的切点分别为D ，E ，F ，⊙BD =BE ，CE =CF ，⊙⊙BDE =⊙BED ，⊙CFE =⊙CEF ，⊙⊙BDE +⊙BED +⊙B =180°，⊙CFE +⊙CEF +⊙C =180°，即2⊙BDE +⊙B =180°，2⊙CFE +⊙C =180°，⊙2(⊙BDE +⊙CFE )+⊙B +⊙C =360°，⊙⊙BDE +⊙CFE =110°，⊙2×110°+⊙B +⊙C =360°，⊙⊙B +⊙C =140°，⊙⊙A =180°-(⊙B +⊙C )= 40°．故答案为：40．【点拨】本题考查了切线长定理，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．13．4【分析】作点B 关于x 轴的对称点B ′，连接MB ′，交⊙M 于点N ，交x 轴于点P ，此时BP +PN 取得最小值，然后结合勾股定理及三角形的面积公式分析计算．解：作点B关于x轴的对称点B′，连接MB′，交⊙M于点N，交x轴于点P，过点M作MQ⊙x轴，交x轴于点E，过点B′作B′Q⊙MQ，⊙点B与点B′关于x轴对称，⊙PB+PN=PB′+PN，当N、P、B’在同一直线上且经过点M时取最小值．在Rt△ABC中，AC22OA OC，由⊙M是△AOC的内切圆，设⊙M的半径为r，⊙S△AOC=12（3r+4r+5r）=12×3×4，解得r=1，⊙ME=MN=1，⊙QB′=4-1=3，QM=3+1=4，⊙MB′=5，⊙PB′+PN=5-1=4，即PB+PN最小值为4，故答案为：4．【点拨】本题考查轴对称—最短路线问题，三角形内切圆，理解“两点之间，线段最短”，掌握轴对称的性质，通过添加辅助线构建直角三角形是解题关键．14．62°【分析】先根据切线长定理得到⊙1＝12⊙ABC，⊙2＝12⊙BCD，⊙3＝12⊙ADC，⊙4＝12⊙BAD，再利用三角形内角和计算出⊙1+⊙2＝62°，则⊙ABC +⊙BCD ＝124°，然后利用四边形内角和得出⊙BAD +⊙ADC ＝236°，再求⊙3+⊙4＝118°即可．解：⊙圆O 是四边形ABCD 的内切圆，⊙OA 平分ABC ，OC 平分⊙BCD ，OD 平分⊙ADC ，OA 平分⊙BAD ，⊙⊙1＝12⊙ABC ，⊙2＝12⊙BCD ，⊙3＝12⊙ADC ，⊙4＝12⊙BAD ，⊙⊙1+⊙2＝180°﹣⊙BOC ＝180°﹣118°＝62°，⊙⊙ABC +⊙BCD ＝2（⊙1+⊙2）＝2×62°＝124°，⊙⊙BAD +⊙ADC ＝360°﹣（⊙ABC +⊙BCD ）＝360°﹣124°＝236°，⊙⊙3+⊙4＝12（⊙BAD +⊙ADC ）＝12×236°＝118°， ⊙⊙AOD ＝180°﹣（⊙3+⊙4）＝180°﹣118°＝62°．故答案为：62°．【点拨】本题考查了四边形的内切圆．切线的性质和切线长定理，三角形内角和，掌握四边形的内切圆性质．切线的性质和切线长定理，三角形内角和是解题关键．15． 10 （2，-2）【分析】（1）利用勾股定理解答即可；（2）根据I 是OAB 的内心，利用OM =ON ，BM =BE ，AE =AN ，得出AE +BE =6-x +8-x =10，求解即可．解：（1）⊙点()0,6A ，点()8,0B ，⊙OA =6，OB =8，在Rt △OAB 中，AB 22226810OA OB ++；（2）连接OI ，BI ，AI ，过I 作IM ⊙OB ，IN ⊙OA ，IE ⊙AB ，⊙I 是OAB 的内心，⊙OM=ON，BM=BE，AE=AN，设OM=ON=x，则BM=BE=8-x，AN=AE=6-x，⊙AE+BE=6-x+8-x=10，解得：x=OM=ON=2，⊙I的坐标为（2，2），⊙点I关于x轴对称的点的坐标是（2，-2）．【点拨】本题考查了勾股定理及三角形的内心，解题的关键是灵活运用性质解决实际问题．16．55【分析】由三角形的内心的性质可得⊙BAD＝⊙CAD，⊙ABI＝⊙CBI，由外角的性质和圆周角的性质可得⊙BID＝⊙DBI，由三角形内角和定理可求解．解：⊙点I是⊙ABC的内心，⊙⊙BAD＝⊙CAD，⊙ABI＝⊙CBI，⊙⊙CAD＝⊙CBD，⊙⊙BAD＝⊙CBD，⊙⊙BID＝⊙BAD+⊙ABI，⊙IBD＝⊙CBI+⊙CBD，⊙⊙BID＝⊙DBI，⊙⊙ACB＝70°，⊙⊙ADB＝70°，⊙⊙BID＝⊙DBI＝180702︒︒-＝55°故答案为：55．【点拨】本题考查了三角形的内切圆与圆心，圆周角的定理，等腰三角形的性质等知识，证明⊙BID=⊙DBI是本题的关键．17．45︒【分析】根据切线的性质和已知条件先证得四边形PMON是正方形，从而求得2=，以OOP m为圆心，2m长为半径作大圆⊙O，然后过C点作大⊙O的切线，切点即为P点，此时⊙ACP 有最大值，作出图形，根据切线的性质得出OP⊙PC，根据勾股定理求得PC的长，从而证得⊙OPC是等腰直角三角形，即可证得⊙ACP的最大值为45°．解：PM、PN是过P所作的O的两切线且互相垂直，∴∠=︒，MON90∴四边形PMON是正方形，根据勾股定理求得2OP m=，∴点在以O2m长为半径作大圆O上，P以O为圆心，2m长为半径作大圆O，然后过C点作大O的切线，切点即为∠有最大值，如图所示，P点，此时ACPPC是大圆O的切线，∴⊥，OP PC2=，2OC m=，OP m222PC OC OP m∴-，∴=，OP PC∴，∠=︒45ACP∴∠的最大值等于45︒，ACP故答案为45︒．【点拨】本题考查了切线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理的应用，解题的关键是求得P点的位置．18．4【分析】由正方形的性质，知点C 是点A 关于BD 的对称点，过点C 作CA ′⊙BD ，且使CA ′＝1，连接AA ′交BD 于点N ，取NM ＝1，连接AM 、CM ，则点M 、N 为所求点，进而求解．解：⊙O 的面积为2π222BD =，则＝AC ，由正方形的性质，知点C 是点A 关于BD 的对称点，过点C 作CA ′⊙BD ，且使CA ′＝1，连接AA ′交BD 于点N ，取NM ＝1，连接AM 、CM ，则点M 、N 为所求点，理由：⊙A ′C ⊙MN ，且A ′C ＝MN ，则四边形MCA ′N 为平行四边形，则A ′N ＝CM ＝AM ，故⊙AMN 的周长＝AM +AN +MN ＝AA ′+1为最小，则A ′A 22(22)1=+=3，则⊙AMN 的周长的最小值为3+1＝4，故答案为：4．【点拨】本题考查了圆的性质、点的对称性、平行四边形的性质等，确定点M 、N 的位置是本题解题的关键．19．（1）1；（2）见分析【分析】（1）先得到⊙ABC 为直角三角形，再根据面积相等求出⊙ABC 内切圆的半径；（2）利用切线的判定与性质以及切线长定理得出AF=AE ，BF=BD ，CD=EC ，进而求出即可．解：（1）⊙5,4,3a b c ===，⊙⊙ABC 是直角三角形， 设⊙ABC 内切圆的半径为r ，由⊙ABC 的面积可得：()12AB BC AC r ⨯++=12AC AB ⨯⨯， 即()13452r ⨯++=1342⨯⨯， 解得：r=1，⊙⊙ABC 的内切圆半径为1；（2）⊙I 为⊙ABC 的内心，且I 在⊙ABC 的边BC ，AC ，AB 上的射影分别为D ，E ，F ，⊙D 、E 、F 分别是⊙I 的三边切点，⊙AF=AE ，BF=BD ，CD=EC ，设AE=AF=x ，则EC=b -x ，BF=c -x ，故BC=a=b -x+c -x ，整理得出：x=2b c a +-， 即AE=AF=2b c a +-． 【点拨】此题主要考查了三角形的内切圆与内心，利用切线长定理得出是解题关键．20．（1）k ≥32；（2）22+ 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，方程有两个正实数根，则判别式⊙0，且两根的和与积都是正数，得出关于k 的不等式组，求出k 的取值范围．（2）根据切线性质得出直角三角形的内切圆半径与直角三角形三边的关系：2a b c r +-=，再结合勾股定理和根与系数的关系可求k 的值． 解：（1）设方程的两根为1x ，2x ，则⊙221(1)4(1)234k k k =+-+=-，方程有两个实数根，∴⊙0，即230k -，∴综上可知32k ， ∴当32k ，方程有两个实数根； （2）如图，设直角三角形两直角边为BC =a ，AC =b ，斜边为AB =c ，其内切圆半径r ，⊙AB 、AC 、BC 是圆的切线，⊙90OEC OFC ∠=∠=︒，又⊙OE OF r ==，90C ∠=︒，⊙四边形OECF 是正方形，⊙==CE CF r ，又⊙AG AF =，BG BE =，⊙AC BC AB CE CF +=++，即2b a c r +=+，⊙12r =， ⊙1c a b =+-，即：又⊙222=c a b +，⊙222(-1)a b a b ++=，化简得：22()10ab a b -++=，又121a b x x k +=+=+，2121(1)4ab x x k ==+，⊙212(1)2(1)104k k +-++=，解得22=k 3222k =（舍去）， k ∴的值为22【点拨】本题考查了三角形的内切圆与内心，根的判别式，根与系数的关系，解决本题的关键是首先利用判别式是非负数确定k 的取值范围，然后利用一元二次方程根与系数的关系和勾股定理以及内切圆的半径公式，把问题转化为解方程求得k 的值．21．(1)见分析1014【分析】（1）根据切线长定理得到GA ＝GD ，则⊙GAD ＝⊙GDA ，根据圆周角定理推出AC ⊙DE ，则⊙CAD ＝⊙GDA ，进而得到⊙GAD ＝⊙CAD ，据此即可得解；（2）连接OD，交AC于点H，根据切线的性质、平行线的性质推出OH是△ABC的中位线，AH＝CH＝12AC，则OH＝12BC，设OH＝x，则DH＝92−x，BC＝2x，解直角三角形得到AH1014(1)证明：⊙GA、GD是⊙O的切线，⊙GA＝GD，⊙⊙GAD＝⊙GDA，⊙AB是⊙O的直径，⊙⊙ACB＝90°，⊙AC⊙BE，⊙DE⊙BE，⊙AC⊙DE，⊙⊙CAD＝⊙GDA，⊙⊙GAD＝⊙CAD，⊙AD平分⊙GAC；(2)解：连接OD，交AC于点H，⊙DE是⊙O的切线，⊙OD⊙DE，⊙⊙ODE＝90°，由（1）知，AC⊙DE，⊙OD⊙AC，⊙AH＝CH＝12AC，⊙AHD＝⊙CHD＝90°，⊙OA＝OB，⊙OH是△ABC的中位线，⊙OH ＝12BC ， ⊙AB ＝9，⊙OD ＝92， 设OH ＝x ，则DH ＝92−x ，BC ＝2x ， ⊙2222814AC AB BC x --＝＝，⊙222814AH x -（）＝，⊙22814AH x -＝， ⊙222AH AD DH -＝，AD ＝5，⊙222819542x x ⎛⎫ -⎝--⎪⎭＝， ⊙x ＝3118， ⊙AH 28110144x -= ⊙⊙HCE ＝180°−⊙ACB ＝90°＝⊙ODE ＝⊙CHD ，⊙四边形CHDE 是矩形，⊙DE ＝CH ＝AH 1014 【点拨】此题考查了切线长定理、切线的判定与性质，熟记切线的判定定理与性质定理并作出合理的辅助线是解题的关键．22．(1)见分析171【分析】（1）连接OD ，BD ，根据直径所对的圆周角是直角，可得90ADB ∠=︒根据直角三角形斜边上的中线可得BE ED =，进而根据,OBD ODB EBD EDB ∠=∠∠=∠，等量代换可得90ODE ∠=︒，即可证明FD 是圆O 的切线；（2）利用勾股定理求得EF 的长，进而根据切线长定理求得ED ，即可求得FD ，在Rt ODF 中，勾股定理建立方程求得半径，进而求得AB 的长．解：(1)连接OD ，BD ，AB 是O 的直径，∴90ADB ∠=︒．OB OD =． OBD ODB ∴∠=∠． E 是BC 的中点，BE ED ∴=．EBD EDB ∴∠=∠．90ABC ∠=︒，90OBD EBD ∴∠+∠=︒． 90ODB EDB ∴∠+∠=． 即90ODE ∠=︒．OD 是半径，FD ∴是圆O 的切线；(2)如图，连接OD ，90,ABC E ∠=︒为BC 的中点，BC =4，FB =8， 2BE ∴=，BC 是O 的切线， ,EF BC 是O 的切线， 2ED EB ∴==．在Rt FBE △中，2,8BE FB ==，2282217EF ∴+=2172FD EF ED ∴=-=，设O 的半径为r ，则OA OD r ==，在Rt OFD 中，8,,172OF BF OB r OD r DF =-=-==，222OF OD DF ∴=+，即()()22282172r r -=+，解得171r -= 171AB ∴=．【点拨】本题考查了切线的性质与判定，勾股定理解直角三角形，切线长定理，掌握切线的性质与判定是解题的关键．23．(1)68APC ∠=︒；74CDB ∠=︒(2)58°【分析】（1）由同弧所对圆周角相等求得C ∠，进而求得APC ∠；连接AC ，求得BAC ∠，进而由同弧所对的圆周角相等求得CDB ∠．（2）连接OD ，求得PCB ∠，进而求得其所对圆心角BOD ∠，再由三角心外角和内角的关系求得E ∠．(1)解：⊙=BD BD⊙52C BAD ∠=∠=︒⊙68APC C ABC ∠=∠+∠=︒如图，连接AC ，⊙AB 为O 直径⊙90ACB ∠=︒⊙18074BAC ACB ABC ∠=︒-∠-∠=︒⊙=BC BC⊙74CDB BAC ∠=∠=︒(2)解：如图，连接OD⊙CD AB ⊥⊙90CPB ∠=︒⊙9074PCB PBC ∠=︒-∠=︒⊙在O 中，2BOD BCD ∠=∠⊙148BOD ∠=︒⊙DE 是O 的切线⊙OD DE ⊥即90ODE ∠=︒⊙90=58E BOD ∠=∠-︒︒.【点拨】本题考查圆与三角形的综合问题，熟练掌握三角形和圆的相关性质定理是解题的关键．24．(1)12α(2)见分析(3)FG ＝2 【分析】（1）根据角平分线的性质以及三角形外角定理，可知⊙A =⊙ACD -⊙ABC ，⊙E =⊙ECD -⊙EBC =12ACD ∠-12ABC ∠，由此可知⊙E =12A ∠=12α； （2）根据圆内接四边形的性质可知⊙DCB ＋⊙BAD ＝180°，可知⊙BAD ＝⊙DCE ，根据圆周角的定理可知⊙ACD ＝⊙DCE ，进而证得⊙ABF ＝⊙CBF ，根据“好角”的定义即可得出结论；（3）连接CF，根据“好角”的定义可知⊙G＝12⊙A，即⊙G＝12⊙BFC，由外角定理可知⊙G＝⊙GCF，可知FG＝CF，利用三角函数求得CF即可求得结果．(1)解：由题意得，⊙ABE=⊙CBE=12ABC∠，⊙ACE=⊙ECD=12ACD∠，⊙⊙ACD=⊙A+⊙ABC，⊙ECD=⊙E+⊙EBC，⊙⊙A=⊙ACD-⊙ABC，⊙E=⊙ECD-⊙EBC=12ACD∠-12ABC∠，⊙⊙E=12A∠=12α；(2)如图，⊙四边形ABCD内接于⊙O，⊙⊙DCB＋⊙BAD＝180°，又⊙⊙DCB＋⊙DCE＝180°，⊙⊙BAD＝⊙DCE，⊙点D是优弧ACB的中点，⊙AD BD=，⊙⊙ACD＝⊙BAD，⊙⊙ACD＝⊙DCE，⊙CG是⊙ABC的外角平分线，⊙直径BF⊙弦AC⊙⊙AF CF=，⊙⊙ABF＝⊙CBF，⊙BG是⊙ABC的平分线，⊙⊙BGC是⊙ABC中⊙BAC的“好角”；(3)如图3，连接CF⊙⊙⊙A＝45°，⊙⊙BFC＝45°．⊙BG过圆心O⊙⊙⊙BCF＝90°．⊙⊙BGC是⊙ABC中⊙A的“好角”，⊙⊙G＝12⊙A⊙⊙ ⊙A＝⊙BFC；⊙⊙G＝12⊙BFC⊙⊙⊙G＝⊙GCF ⊙⊙FG＝CF⊙⊙cos⊙BFC＝CF BF，⊙CF＝cos45°×BF2＝2，⊙FG＝2【点拨】本题考查的是圆的有关知识、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握圆周角定理、三角形外角性质、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．。
九年级数学-切线长定理—知识讲解-提高
切线长定理—知识讲解（提高）审稿：【学习目标】1.了解切线长定义；理解切线的判定和性质；理解三角形的内切圆及内心的定义；2.掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明.【要点梳理】要点一、切线的判定定理和性质定理1．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要点诠释：切线的判定方法：（1）定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线；（2）定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；（3）判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可）.2．切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.要点诠释：切线的性质：（1）切线和圆只有一个公共点；（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；（3）切线垂直于过切点的半径；（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点；（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心.要点二、切线长定理1．切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.3．圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边之和相等.要点三、三角形的内切圆1．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.2．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).【典型例题】类型一、切线长定理1.如图，等腰三角形ABC中，6AC BC==，8AB=．以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF AC⊥，垂足为F，交CB的延长线于点E．求证：直线EF是⊙O的切线.【答案与解析】如图，连结OD、CD，则90BDC∠=︒．∴CD AB⊥．∵ AC BC=，∴AD BD=．∴D是AB的中点．∵O是BC的中点，∴DO AC∥．∵EF AC⊥于F．∴EF DO⊥．∴EF是⊙O的切线．【总结升华】连半径，证垂直.举一反三：【变式】已知：如图，在梯形 ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AD=AB+DC，AD是⊙O的直径．求证：BC和⊙O相切．【答案】作OE⊥BC，垂足为E，∵ AB∥DC，∠B=90°，∴ OE∥AB∥DC，∵ OA=OD，∴ EB=EC，∴ BC是⊙O的切线．2.已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，求证：DC是⊙O的切线．【答案与解析】连接OD．∵ OA=OD，∴∠1=∠2．∵ AD∥OC，∴∠1=∠3，∠2=∠4．因此∠3=∠4．又∵ OB=OD，OC=OC，∴△OBC≌△ODC．∴∠OBC=∠ODC．∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°，∴ DC是⊙O的切线．【总结升华】因为AB是直径，BC切⊙O于B，所以BC⊥AB．要证明DC是⊙O的切线，而DC和⊙O有公共点D，所以可连接OD，只要证明DC⊥OD．也就是只要证明∠ODC=∠OBC.而这两个角分别是△ODC和△OBC的内角，所以只要证△ODC≌△OBC．这是不难证明的．举一反三：【高清ID号：356967 关联的位置名称（播放点名称）：练习题精讲】【变式】已知：∠MAN=30°，O为边AN上一点，以O为圆心、2为半径作⊙O，交AN于D、E两点，设AD=x，⑴如图⑴当x取何值时，⊙O与AM相切；⑵如图⑵当x为何值时，⊙O与AM相交于B、C两点，且∠BOC=90°．【答案】（1）设AM与⊙O相切于点B，并连接OB，则OB⊥AB；在△AOB中，∠A=30°，则AO=2OB=4，所以AD=AO-OD，即AD=2．x=AD=2.（2）过O点作OG⊥AM于G∵OB=OC=2，∠BOC=90°，∴BC=，，∵∠A=30°∴OA=图（2）∴x=AD= 2类型二、三角形的内切圆3.如图，点I 为△ABC 的内心，点O 为△ABC 的外心，∠O ＝140°，则∠I 为（ ） （A ）140° （B ）125° （C ）130° （D ）110°【答案】B ．【解析】因点O 为△ABC 的外心，则∠BOC 、∠A 分别是BC 所对的圆心角、圆周角，所以∠O ＝2∠A ，故∠A ＝21×140°＝70°．又因为I 为△ABC 的内心， 所以∠I ＝90°＋21∠A ＝90°＋21×70°＝125°．【总结升华】本题考查圆心角与圆周角的关系，内心、外心的概念．注意三角形的内心与两顶点组成的角与另一角的关系式．类型三、与相切有关的计算与证明【高清ID 号： 356967 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题4】4. 如图，已知直径与等边△ABC 的高相等的圆O 分别与边AB 、BC 相切于点D 、E ，边AC 过圆心O与圆O 相交于点F 、G. (1) 求证：DE ∥AC.(2) 若△ABC 的边长为a ，求△ECG 的面积.【答案与解析】（1）∵△ABC 是等边三角形,∴∠B=∠A=60°∵AB 、BC 是圆O 的切线，D 、E 是切点，∴BD=BE.∴∠BDE=60°=∠A, ∴DE//AC.（2）分别连接OD 、OE ，作EH ⊥AC 于点H ．∵AB 、BC 是圆O 的切线，D 、E 是切点，O 是圆心， ∴∠ADO=∠OEC=90°，OD=OE ，AD=EC.∴△ADO ≌△CEO,有AO=OC=12a . ∵圆O 直径等于△ABC 的高,∴半径 ,∴CG=OC+OG=2a ． ∵EH ⊥OC ，∠C ＝60°,可推知EH =8a . ∴【总结升华】本题是一道综合性很强的习题，考查到切线的性质，全等三角形的判断，等边三角形的性质等，是一道很不错的题．。
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初中数学九年级全册切线长定理—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1.给出下列说法：①任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形．其中正确的有 ( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于 ( )A．21 B．20 C．19 D．18第2题图第3题图第4题图3. 如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，AC是⊙O的直径，连结AB、BC、OP，则与∠PAB相等的角(不包括∠PAB本身)有 ( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4. 如图，已知△ABC的内切圆⊙O与各边相切于点D、E、F，则点O是△DEF的 ( )A．三条中线的交点 B．三条高的交点C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点5．△ABC中，AB＝AC，∠A为锐角，CD为AB边上的高，I为△ACD的内切圆圆心，则∠AIB的度数是（）A．120° B．125° C．135° D．150°6．（2015•东西湖区校级模拟）如图，四边形ABCD中，AD平行BC，∠ABC=90°，AD=2，AB=6，以AB为直径的半⊙O 切CD于点E，F为弧BE上一动点，过F点的直线MN为半⊙O的切线，MN交BC于M，交CD于N，则△MCN的周长为（）A ．9B ． 10C ．3 D ． 2二、填空题7．如图，P 是⊙O 的直径AB 延长线上的一点，PC 与⊙O 相切于点C ，若∠P＝20°，则∠A＝___________°．PO CB A第7题图 第8题图 8．如图，巳知AB 是⊙O 的一条直径，延长AB 至C 点，使得AC=3BC ，CD 与⊙O 相切，切点为D ．若CD=，则线段BC 的长度等于 ． 9．如图，直径分别为CD 、CE 的两个半圆相切于点C ，大半圆M 的弦AB 与小半圆N 相切于点F ，且AB∥CD，AB=4，设CD 、CE 的长分别为x 、y ，线段ED 的长为z ，则z （x+y ）= .10．阅读下面材料：对于平面图形A ，如果存在一个圆，使图形A 上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A 被这个圆所覆盖.如图 (1)中的三角形被一个圆所覆盖，图 (2)中的四边形被两个圆所覆盖.回答下列问题：(1)边长为1 cm 的正方形被一个半径为r 的圆所覆盖，r 的最小值是________ cm;(2)边长为1 cm 的等边三角形被一个半径为r 的圆所覆盖，r 的最小值是________ cm;(3)边长为2 cm，1 cm的矩形被两个半径都为r的圆所覆盖，r的最小值是________ cm，这两个圆的圆心距是________ cm.11．（2014春•嘉鱼县校级月考）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的半圆O交BC于点D，交AC于点E，连接AD、BE交于点M，过点D作DF⊥AC于点F，DH⊥AB于点H交BE于点G，下列结论：①BD=CD，②DF 是⊙O的切线，③∠DAC=∠BDH，④DG=BM，其中正确的结论的序号是．12．已知：如图，三个半圆以此相外切，它们的圆心都在x轴的正半轴上并与直线y＝3x相切，设半圆C1、半圆C2、半圆C3的半径分别是r1、r2、r3，则当r1＝1时，r3＝ .三、解答题13. 如图，△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O，交AB于D，E为BC中点.求证：DE是⊙O切线.14. 如图（1）所示，已知AB为⊙O的直径，PA、PC是⊙O的切线，A、C分别为切点，∠BAC＝30°．(1)求∠P的大小；(2)若AB＝2，求PA的长(结果保留根号)．图（1）15.（2015•杭州模拟）联想三角形内心的概念，我们可引入如下概念．定义：到三角形的两边距离相等的点，叫做此三角形的准内心．举例：如图1，若PD=PE，则点P为△ABC的准内心．应用：如图2，BF为等边三角形的角平分线，准内心P在BF上，且PF=BP，求证：点P是△ABC的内心．探究：已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，准内心P在AC上，若PC=AP，求∠A的度数．【答案与解析】一、选择题1．【答案】B；【解析】②④错误.2．【答案】D；⨯+⨯=，故选D.【解析】∵AD=AF,BD=BE,CE=CF，∴周长=8212183.【答案】C；【解析】∠PAB=∠PBA=∠POA=∠ACB，有3个.4.【答案】D；【解析】点O是△DEF的外接圆的圆心（即外心），是三条边的垂直平分线的交点，故选D. 5．【答案】C；6．【答案】A；【解析】解：作DH⊥BC于H，如图，∵四边形ABCD中，AD平行BC，∠ABC=90°，∴AB⊥AD，AB⊥BC，∵AB为直径，∴AD和BC为⊙O 切线，∵CD和MN为⊙O 切线，∴DE=DA=2，CE=CB，NE=NF，MB=MF，∵四边形ABHD为矩形，∴BH=AD=2，DH=AB=6，设BC=x，则CH=x﹣2，CD=x+2，在Rt△DCH中，∵CH2+DH2=DC2，∴（x﹣2）2+62=（x+2）2，解得x=4.5，∴CB=CE=4.5，∴△MCN的周长=CN+CM+MN=CN+CM+NF+MF=CN+CM+NF+MB=CE+CB=9．故选A．二、填空题7．【答案】∠A＝35°；【解析】由PC与⊙O相切于点C，得∠PCO＝90°，而∠P＝20°，所以∠POC＝70°；因为OA＝OC，所以∠A＝∠ACO；又∠A＋∠ACO＝∠POC＝70°，故∠A＝35°．8．【答案】1；【解析】连结OD，∵CD与⊙O相切，切点为D，∴∠ODC=90°，设⊙O的半径为r,则OC=2r，在Rt△ODC中，有勾股定理得r=1，BC=r=1.9．【答案】8π；【解析】过M作MG⊥AB于G，连MB，NF，如图，而AB=4， ∴BG=AG=2， ∴MB 2﹣MG 2=22=4，又∵大半圆M 的弦与小半圆N 相切于点F ，∴NF⊥AB，∵AB∥CD，∴MG=NF，设⊙M，⊙N 的半径分别为R ，r ，∴z（x+y ）=（CD ﹣CE ）（π•R+π•r），=（2R ﹣2r ）（R+r ）•π，=（R 2﹣r 2）•2π，= 4•2π，=8π．故答案为：8π．10．【答案】 (1)22； (2)33； (3)22； 1． 【解析】图形被圆覆盖，圆一定大于图形的外接圆，它的最小半径就是外接圆半径.（1）正方形的外接圆半径，是对角线的一半，因此r 的最小值是22 cm. （2）等边三角形的外接圆半径是其高的32，故r 的最小值是33 cm. （3）r 的最小值是22 cm ，圆心距是1 cm. 11．【答案】 ①②③④；【解析】解：①∵AB 为⊙O 的直径，∴∠BDA=90°，即AD ⊥BC ，又∵AB=AC ，∴BD=DC ，∠BAD=∠DAE ，故①正确；②连接OD ，如图所示：∵∠BAD=∠DAE ，∴，∴OD ⊥BE ，∵AB 是直径，∴BE ⊥AC又∵DF ⊥AC ，∴BE ∥DF ，∴DF ⊥OD ，∴DF 是切线．故②正确；③∵Rt △ABD 中，DH ⊥AB ，∴∠DAB=∠BDH ，又∵∠BAD=∠DAC ，∴∠DAC=∠BDH ．故③正确；④∵∠DBE=∠DAC（同弧所对的圆周角相等），∠BDH=∠DAC（已证），∴∠DBE=∠BDH∴DG=BG，∵∠BDH+∠HDA=∠DBE+∠DMB=90°，∴∠GDM=∠DMG∴DG=GM∴DG=BM，故④正确．故答案为：①②③④．12.【答案】9．【解析】由三个半圆依次与直线y＝3x相切并且圆心都在x轴上，∴y＝3x倾斜角是30°，∴得OO1=2r1，OO2=2r2，003=2r3，r1＝1，∴r3=9．故答案为9．三、解答题13. 【答案与解析】连接OD，CD∵AC是⊙O直径∴CD⊥AB∵E为BC中点∴ED=EC∴∠EDC=∠ECD又∵OD=OC∴∠ODC=∠OCD∴∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD∴∠ODE=∠OCE=90°∴DE是⊙O的切线.14. 【答案与解析】(1)PA是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，∴ PA⊥AB．∴∠BAP＝90°∴∠BAC＝30°．∴∠CAP＝90°-∠BAC＝60°．又∵ PA、PC切⊙O于点A、C，∴ PA＝PC，∴△PAC为等边三角形，∴∠P＝60°．(2)连接BC，如图（2），则∠ACB＝90°．在Rt△ACB中，AB＝2，∠BAC＝30°，图（2）∴ BC＝1．由勾股定理又求得AC＝3，由(1)知PA＝PC＝3．15. 【答案与解析】解：应用：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∵BF为角平分线，∴∠PBE=30°，∴PE=PB，∵BF是等边△ABC的角平分线，∴BF⊥AC，∵PF=BF，∴PE=PD=PF，∴P是△ABC的内心；探究：根据题意得：PD=PC=AP，在Rt△ADP中，AP=2PD，∴∠A是锐角，∴∠A=30°．。