2019-2020学年宁夏石嘴山三中高一(上)期中数学试卷 (含答案解析)

2019-2020学年宁夏石嘴山三中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 下列式子表示正确的是( )A. ϕ⊆{0}B. {2}∈{2,3}C. ϕ∈{1,2}D. 0⊆{0,2,3}2. 在(−12)−1、2−12、(12)−12、2−1中，最大的是( )A. (−12)−1B. 2−12C. (12)−12D. 2−13. 已知全集为R ，集合A ={−3,−1,1，3}，B ={x|x 2+x −6≤0}，则A ∩(∁R B)=( )A. (−∞,−3]∪{−1，1}∪(2,+∞)B. {−3,−1,1}C. {−1,1}D. {3}4. 设集合A ={x |0≤x ≤6}，B ={y |0≤y ≤2}，则下列对应关系能构成从A 到B 的映射的是( )A. f ：x →y =13x B. f ：x →y =12x C. f ：x →y =xD. f ：x →y =3x5. 下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是( )A. y =|x|B. y =−xC. y =1x D. y =(13)x 6. 已知f(x)=ax 2+bx 是定义在[a −l,2a)上的偶函数，那么a +b 的值是( )A. −−13B. 13C. 12D. −127. 已知a =30.5，b =(12)1.1，c =log 2√2，则a 、b 、c 大小关系正确的是( )A. c <a <bB. a <b <cC. c <b <aD. b <c <a8. 已知偶函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增，则满足f(2x −1)<f(13)的x 的取值范围( )A. (13,23)B. [13,−23)C. (12,23) D. [12,23)9. 函数f(x)=log 2(4x −x 2)的单调递减区间是( )A. (−∞,0)∪(4,+∞)B. (0,4)C. (−∞,2)∪(4,+∞)D. (2,4)10. 若，则a 的取值范围是( )A. (0,23) B. (0,23)∪(23,1)C.D. (1,+∞)11. 指数函数y =(ba )x 与二次函数y =ax 2+2bx(a ∈R,b ∈R)在同一坐标系中的图象可能的是( )A.B.C.D.12. 已知函数，若关于x 的方程[f(x)]2+tf(x)+1=0有四个不同的根，则实数t 的取值范围是( )A. B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知幂函数f(x)的图象经过(−2,−8)，那么f(3)=______． 14. 已知函数f(x)={2x ,x ≤3log 2x,x >3，则f(f(3))= ______ ．15. 已知函数f(x)=a 2x−6+n(a >0且a ≠1)的图象恒过定点P(m,2)，则m −n = ______ ． 16. 已知函数f(x)=ln x +2x ，若f(x 2+2)<f(3x)，则实数x 的取值范围是________． 三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 已知集合A ={x|6x+1≥1,x ∈R}，B ={x|x 2−2x +2m <0,x ∈R}．(1)若A ∩B ={x|−1<x <4}，求m 的值； (2)若A ∪B =A ，求实数m 的取值．18. 计算下列各式：(1)(0.027)23+(27125)−13−(279)0.5；(2)lg25+23lg8+lg5⋅lg20+(lg2)2．19.已知函数f(x)=9x−3x a+2a，x∈[0,1]的最小值为g(a)(1)求g(3)的值；(2)求g(a)的最大值．20.解下列方程：(1)9x−4⋅3x+3=0；(2)log2(2−x)+log2(3−x)=log21221.已知函数f(x)=ax+bx2+1是定义域为(−1,1)的奇函数，且f(12)=5．(1)求实数a,b的值；(2)判断并证明函数f(x)在(−1,1)上单调性；(3)解关于t的不等式f(t−1)+f(t)<0．22.已知函数f(x)=x2−2ax+a．(1)当a=1时，求函数f(x)在[0,3]上的值域；(2)是否存在实数a，使函数f(x)=x2−2ax+a的定义域为[−1,1]，值域为[−2,2]？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析： 【分析】本题考查集合的子集及元素与集合的关系，逐一判断求解即可． 【解答】解： 因为空集是任何集合的子集，所以⌀⊆{0}，所以A 正确; {2}，{2,3}都是集合，所以不能用∈，应该为{2}⊂{2,3}，所以B 不正确; ⌀与{1,2}都是集合，所以不能用∈，应该为⌀⊂{1,2}，所以C 不正确; 0为元素，{0,2，3}是集合，不能用⊆，应该为0∈{0,2,3}，所以D 不正确． 故选A ．2.答案：C解析： 【分析】本题考查利用指数函数的性质比较大小，涉及指数幂的运算，属基础题，先判定各数的正负，然后根据指数幂的运算以及指数函数的性质进行解答． 【解答】 解：因为(−12)−1=−2<0，(12)−12=212，因为y =2x 是增函数，所以212>2−12>2−1>0， 故选C ．3.答案：D解析：解：B ={x|−3≤x ≤2}； ∴∁R B ={x|x <−3，或x >2}； ∴A ∩(∁R B)={3}． 故选：D ．可求出集合B ，然后进行补集、交集的运算即可．考查列举法、描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集、补集的运算．4.答案：A解析： 【分析】本小题主要考查映射的概念和应用，映射概念中要求对于集合A 中的任一元素，在某种对应关系下，在集合B 中有唯一的元素和它对应，要准确应用概念解题． 【解答】解：∵A ={x|1⩽x ⩽2}，B ={y |0≤y ≤2}，对于A ，集合A 中每一个元素，在集合B 中都能找到唯一元素与之对应，符合映射的定义，所以f:x →y =13x 表示从A 到B 的映射；对于B ，集合A 中元素6，在集合B 中不能找到元素与之对应，不符合映射的定义，所以f:x →y =12x 不表示从A 到B 的映射对于C ，集合A 中元素6，在集合B 中不能找到元素与之对应，不符合映射的定义，所以f:x →y =x 不表示从A 到B 的映射；对于D ，集合A 中元素6，在集合B 中不能找到元素与之对应，不符合映射的定义，所以f:x →y =3x 不表示从A 到B 的映射， 故选A ．5.答案：A解析：解：A.y =|x|={x,x ≥0−x,x <0，则函数在(0,1)上单调递增，满足条件．B .y =−x 在R 上单调递减，不满足条件．C .y =1x 在(0,1)上单调递减，不满足条件． D .y =(13)x 在(0,1)上单调递减，不满足条件．故选：A ．分别根据函数的单调性进行判断即可．本题主要考查函数单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的单调性，比较基础．6.答案：B解析： 【分析】此题考查偶函数的定义，属于中档题， 对定义域内的任意实数，f(−x)=f(x)；奇函数和偶函数的定义域必然关于原点对称，定义域区间2个端点互为相反数，可得a 、b 的值． 【解答】解：依题意得f(−x)=f(x)， 则b =0，又a −1=−2a ， a =13， a +b =13.故选B ．7.答案：D解析： 【分析】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 利用指数函数与对数函数的单调性即可得出． 【解答】解：∵a =30.5>1，b =(12)1.1<(12)1=12，c =log 2√2=12， ∴b <c <a ， 故选：D ．8.答案：A解析：解：∵偶函数f(x)在区间[0,+∞)单调递增， ∵f(2x −1)−f(13)<0，即f(2x −1)<f(13)，∴|2x −1|<13，即−13<2x −1<13， 求得13<x <23， 故选：A ．由题意可得f(2x −1)<f(13)，再利用函数的单调性和奇偶性可得|2x −1|<13，由此求得x 的取值范围．本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用，属于基础题．9.答案：D解析： 【分析】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，属于中档题． 先求原函数的定义域，再将原函数分解成两个简单函数，t =4x −x 2，因为单调递增，要求原函数的单调递减区间即要求t=4x−x2的减区间(根据同增异减的性质)，再由定义域即可得到答案．【解答】解：令t=4x−x2>0，求得0<x<4，故函数的定义域为(0,4)，为单调递增函数，∴函数的单调递减区间就是t=4x−x2的单调递减区间．函数t=4x−x2开口向下，对称轴为x=2，∴t=4x−x2的单调递减区间是(2,4)．∴函数y=log2(4x−x2)的单调递减区间是(2,4)．故选D．10.答案：C解析：【分析】利用对数函数的单调性，分类讨论，求得a的取值范围．本题主要考查对数不等式的解法，对数函数的单调性，属于基础题．【解答】解：不等式，即log a23<log a a，当a>1时，解得a>23，∴a>1；当0<a<1时，求得0<a<23．综上可得，不等式的解集为(1,+∞)∪(0,23)，故选C．11.答案：C解析：【分析】本题考查了同一坐标系中指数函数图象与二次函数图象的关系，根据指数函数确定出ba >0且ba≠1是求解的关键，根据二次函数的对称轴首先排除B选项，再根据ba与1关系，结合二次函数和指数函数的性质逐个检验即可得出答案．【解答】解：根据指数函数的解析式为y=(ba)x，∴ba >0且ba≠1，∴−ba <0且ba≠1，故二次函数y=ax2+2bx的对称轴x=−ba位于y轴的左侧，故排除B．对于选项A，由二次函数的图象可得a>0，二次函数y=ax2+2bx的对称轴x=−ba=−1，∴ba =1，与ba≠1矛盾，故A不正确．对于选项C，由二次函数的图象可得a<0，二次函数y=ax2+2bx的对称轴x=−ba<−1，∴ba>1，则指数函数应该单调递增，故C正确．对于选项D，由二次函数的图象可得a>0，二次函数y=ax2+2bx的对称轴x=−ba<−1，∴ba>1，则指数函数应该单调递增，故D不正确．故选C．12.答案：B解析：【分析】本题考查函数的零点与方程的根的关系，难度一般．通过分析f(x)的图像，假设m=f(x)，则方程m2+tm+1=0的两个根分别在区间(0,1e)和，设g(m)=m2+tm+1，求g(1e)<0时t的取值范围即可．【解答】解：对函数求导，得，由ℎ′(x)=0得x=e，可知ℎ(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，由函数，设，可作出f(x)的图象如下图：如图，在x=e时，f(x)取得极大值1e，由图知关于m的方程m2+tm+1=0有两根m1，m2，且m 1∈(0,1e )，，设g(m)=m 2+tm +1，则g(1e )<0， 求得t <−e −e −1． 故选B ．13.答案：27解析： 【分析】利用待定系数法求出幂函数f(x)的解析式，再计算f(x)的值． 本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题． 【解答】解：设幂函数f(x)=x α，其图象过点(−2,−8)， ∴(−2)α=−8， 解得α=3； ∴f(x)=x 3， ∴f(3)=33=27． 故答案为：27．14.答案：3解析：解：∵函数f(x)={2x ,x ≤3log 2x,x >3，∴f(3)=23=8，f(f(3))=f(8)=log 28=3． 故答案为：3．由已知得f(3)=23=8，从而f(f(3))=f(8)，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．15.答案：2解析： 【分析】本题考查指数函数的图象与性质，由指数函数y =a x 图象的性质，我们知道y =a x 的图象恒过(0,1)点． 函数y =a x +m 的图象恒过点(0,1+m)，常见恒成立有0x =0；a 0=1(a ≠0)． 【解答】解：由函数f(x)=a 2x−6+n(a >0且a ≠1)且图象恒过定点P(m,2)知，{2m −6=01+n =2解得：{m =3n =1， 则m −n =2．故答案为：2．16.答案：(1,2)解析：【分析】本题考查指数函数与对数函数的单调性，考查不等式求解，属于中档题，先研究f(x)=ln x +2x 是增函数，注意定义域的范围，再由f(x 2+2)<f(3x)去掉“f ”即可．【解答】解：由对数和指数函数的单调性知，函数f(x)=ln x +2x 是增函数，定义域为(0,+∞)，∴f(x 2+2)<f(3x)等价于{x 2+2<3x x 2+2>03x >0解得1<x <2，故实数x 的取值范围是(1,2)．故答案为(1,2)．17.答案：解：(1)∵A ={x|−1<x ≤5}，∵当x 2−2x +2m =0中△≤0时，B =⌀，A ∩B =⌀，不符合题意，∴方程x 2−2x +2m =0有两个不相等实数根，则△>0，即4−8m >0，即m <12．设x 1,x 2(x 1<x 2)是x 2−2x +2m =0的两根，则B ={x|x 1<x <x 2}.∵A ∩B ={x|−1<x <4}，故x 2=4.由42−8+2m =0，解得m =−4.(2)不妨设x 1,x 2(x 1<x 2)是x 2−2x +2m =0的两根∵A ={x|−1<x ≤5}，A ∪B =A ，∴B ⊆A .(1)当B =Ø时，即△≤0，解得m ≥12；(2)当B≠Ø时，即△>0，解得m<12，{x1=1−√1−2m≥−1x2=1+√1−2m≤5，即√1−2m≤2，解得m≥−32，∴−32≤m<12.综上所述，m≥−32．解析：(1)根据A={x|−1<x≤5}，A∩B={x|−1<x<4}可知集合B中所对应的方程有一根4，代入即可求出m的值．(2)由A∪B=A得B⊆A，对B进行分类讨论得出m的取值范围．18.答案：解：(1)原式=0.09+53−53=0.09；(2)原式=2lg5+2lg2+lg5(2lg2+lg5)+(lg2)2=2+lg2⋅lg5+(lg5)2+lg2⋅lg5+(lg2)2=2+lg5⋅(lg2+lg5)+lg2⋅(lg5+lg2)=2+lg5+lg2=2+1=3．解析：考查分数指数幂和对数的运算，为基础题．(1)进行分数指数幂的运算即可；(2)进行对数式的运算即可．19.答案：解：(1)令t=3x∈[1,3]，则y=t2−at+2a，对称轴t=a2，当a≤2时，此函数在[1,3]单调递增，y min=a+1，当2<a<6时，此函数在[1,3]先减后增，当t=a2时，y min=−a24+2a，当a≥6时，此函数在[1,3]单调递减，y min=9−a，所以g(a)={a+1,a≤2−a24+2a,2<a<6 9−a,a≥6,g (3)=154; (2)由方程式得到：当a ⩽2时，g(a)单调递增； 当2<a <6时，g(a)先增后减，因为对称轴a =4∈(2,6)，由二次函数的性质得到当a =4时，取得最大值g(4)，当a ⩾6时，g(a)单调递减； 故总体来看g(a)在R 上先增后减，在a =4时，取得最大值g(4)， 即g(a)max =g(4)=4．解析：本题考查指数函数的性质，函数的最值．(1)令t =3x ∈[1,3]，则y =t 2−at +2a ，对称轴t =a2，分a ≤2;2<a <6;a ≥6三种情况讨论其最小值，即可得出;(2)结合函数g(a)的图象可得其最大值． 20.答案：解： (1)∵9x −4⋅3x +3=0，∴(3x −1)(3x −3)=0，∴3x =1或3x =3，∴x =0或x =1，(2)∵方程log 2(2−x)+log 2(3−x)=log 212，解得．解析：本题考查指数、对数方程的解法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数的性质、运算法则的合理运用．(1)解出3x 即可求解；(2)利用对数的性质、运算法则直接求解．21.答案：解：(1)由f(x)是定义域为(−1,1)的奇函数，所以f(0)=b =0，得b =0，此时f(x)=ax x +1，可取f(12)=a 21+14=5，得a =252，经检验，满足f(−x)=−f(x)，符合题意．(2)由(1)可得f(x)=252⋅x 1+x 2;任取−1<x 1<x 2<1， f(x 2)−f(x 1)=252·(x 21+x 2−x 11+x 1) =252·(x 2−x 1)(1−x 1x 2)(1+x 22)(1+x 12)，因为−1<x 1<x 2<1，所以x 2−x 1>0,1−x 1x 2>0，得f(x 2)−f(x 1)>0，即f(x 1)<f(x 2)，所以f(x)在(−1,1)上单调递增；(3)因为f(t −1)+f(t)<0，则f(t −1)<−f(t)，又f(x)是(−1,1)上的奇函数，故f(t −1)<f(−t)，因为f(x)在(−1,1)单调递增，所以{−1<t −1<1−1<−t <1t −1<−t，解得0<t <12，故关于t 的不等式的解集为(0,12)．解析：本题主要考查函数奇偶性的应用和函数单调性的判断和证明，要求熟练掌握函数奇偶性和单调性的定义和应用，属于中档题．(1)根据函数奇偶性的定义建立方程，求实数a ，b 的值;(2)根据函数单调性的定义判断并证明函数f (x )在(−1,1)上单调性;(3)根据函数的单调性和奇偶性解不等式即可．22.答案：解：(1)∵函数f(x)=x 2−2ax +a ，a =1，∴f(x)=(x −1)2，∵x ∈[0,3]，∴f(x)在[0,1)上单调递减，在(1,3]上单调递增，∴最小值为f(1)=0，而f(0)=1，f(3)=4，∴函数的值域为[0,4]．(2)当a ≥1时，由于f(x)在[−1,1]上是减函数，可得{f(−1)=2f(1)=−2，故有{a =13a =3(舍去)． 当0≤a <1时，由{f(−1)=2f(a)=−2，即{1+2a +a =2a −a 2=−2(舍去)． 当−1≤a <0时，由{f(1)=2f(a)=−2，即{1−2a +a =2a −a 2=−2，求得a =−1． 当a <−1时，由{f(−1)=−2f(1)=2，求得{1+2a +a =−21−2a +a =2，解得a =−1(舍去)． 综上所述：a =−1．解析：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，函数的定义域和单调性的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．(1)由题意可得，f(x)=(x−1)2，根据定义域为[0,3]，f(x)在[0,1)上单调减，在(1,3]上单调增，求得函数的值域．(2)由条件可得二次函数的对称轴为x=a，分当a≥1时、当0≤a<1时、当−1≤a<0时，当a<−1时四种情况，根据定义域为[−1,1]，值域为[−2,2]，分别利用二次函数的性质求得a的值．。