四川省棠湖中学2017-2018学年高一下学期期末数学试题
棠湖中学高2018级(高一下)期末数学试卷2
棠湖中学高2018级（高一下）期末数学试卷2一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分）1. 给出下列结论：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥； ③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等． 其中正确结论的个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 已知直线l 过点A(1,1),B(−1,3)，则直线l 的倾斜角为( ) A. π4B. 3π4C. π4或5π4 D. π4或3π43. 在等比数列{a n }中，a n >0，若a 3⋅a 7=81且a 3=1，则a 6=( )A. 16B. 81C. 3D. 27 4. 若a ，b 为非零实数，且a <b ，则下列命题成立的是( )A. a 2<b 2B. a 2b <ab 2C. 1ab 2<1a 2bD. b a <ab5.《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.问何日相逢，各穿几何？题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半”如果墙足够厚，S n 为前n 天两只老鼠打洞长度之和，则S 5=( )A. 311516B. 321516C. 331516D. 26126. 如图，在△ABC 中，点D 是线段BC 上的动点，且AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则4x +9y的最小值为( ) A. 252 B. 18C. 9D. 257. 设x ，y 满足约束条件{x ≥1x −2y ≤22x +y ≤6，向量a ⃗ =(x,−1)，b ⃗ =(2,y −m)，则满足a ⃗ ⊥b⃗ 的实数m 的最大值( )A. −265B. −305C. 2D. −528. 直线l 1：m 2x +y +3=0和直线l 2：3mx +(m −2)y +m =0，若l 1//l 2，则m 的值为( ) A. −1 B. 0 C. 0或−1 D. 0或−1或3 9. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cosA a+cosB b=√3sinB，A =2π3，则b +c 的取值范围是( )A. (√32,1]B. (32,√3]C. [√32,1]D. [32,√3]10. 如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，H 是对角线B 1D 与平面A 1C 1B 的交点，给出下列四个结论：①平面D 1AC//平面A 1C 1B ；②B 1D ⊥平面A 1C 1B ；③B 1H =14B 1D 1；④B 1D 与平面A 1C 1B 的交点H 是△A 1C 1B 的重心，其中正确结论的序号是( )A. ①②③B. ②③④C. ①③④D. ①②④11. 在平面四边形ABCD中，AB=√2，BC=CD=DA=1，设△ABD、△BCD的面积分别为S1、S2，则当S12+S22取最大值时，BD=()A. √102B. √3C. √2D. 112.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(32−x)=f(x)，f(−2)=−3，数列{a n}是等差数列，若a2=3，a7=13，则f(a1)+f(a2)+f(a3)+⋯+f(a2018)=()A. −2B. −3C. 2D. 3二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）13. 有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图)，∠ABC=45∘，AB=AD=1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为______．14. 已知数列和{a n}满足a n+2−a n+1=a n+1−a n，n∈N∗，且a5=π2，若函数f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x2，记y n=f(a n)，则数列{y n}的前9项和为______．15. 已知动直线l1：2x+3my−2=0过定点A，动直线l2：3mx−2y−6m+2=0过定点B，直线l1与l2交于点P，则△PAB的面积的最大值是______．16. 在△ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若a、b、c依次成等比数列，则sinA(1tanA +1tanB)的取值范围是______．16.定义：关于x的两个不等式f(x)<0和g(x)<0的解集分别为(a,b)和(1b ,1a)，则称这两个不等式为对偶不等式.如果不等式x2−4√3xcos2θ+2<0与不等式2x2+4xsin2θ+1<0为对偶不等式，且θ∈(π2,π)，则θ=______．三、解答题（本题共6个小题，17题10分，其余题12分，共70分）17．设函数f(x)=mx2−mx−1．(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围；(2)对于x∈[1,3]，f(x)<−m+5恒成立，求m的取值范围．18.已知三角形的三个顶点A(−5,0)，B(3,−3)，C(0,2)．(Ⅰ)求线段AB的垂直平分线的方程；(Ⅱ)求△ABC的面积．19.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b−ca−c =sin(B+C)sinB+sinC．(1)求角B的大小；(2)求cos(A−C)−2cos2C的最大值．20.若正项数列{a n}的前n项和为S n，首项a1=1，P(√S n,S n+1)点在曲线y=(x+1)2上.(1)求数列{a n}的通项公式a n；(2)设b n=1a n⋅a n+1，T n表示数列{b n}的前n项和，若T n≥13m−1对n∈N+恒成立，求实数m的取值范围．21.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上不同于A，B的点，过点C的直线VC垂直于⊙O所在平面.D，E，F分别是VA，VB，VC的中点，且BC=1，AC=2，VC=2.求证：(Ⅰ)平面DEF⊥平面VBC；(Ⅱ)求VO与平面ABC所成角的余弦值．22. 已知数列{}n a 为公差不为0的等差数列，n S 为其前n 项和，5a 和9a 的等差中项为13，且25114a a a a ⋅=⋅.令11n n n b a a +=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T .（Ⅰ）求n T ；（Ⅱ）是否存在不同的正整数,m n ，使得2,,m n T T T 成等比数列？若存在，求出所有的,m n 的值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）若332nna n a c =+，是否存在互不相等的正整数,,m n t ，使得,,m n t 成等差数列，且,,m n t c c c 成等比数列？若存在，求出所有的,,m n t 的值；若不存在，请说明理由.棠湖中学高2018级（高一下）期末数学试卷2 参考答案一、选择题:1-5.ABDCB ； 6-10. DCCAD ； 11-12.AB填空题:13.2+√22； 14. 18； 15. 12； 16. (√5−12,√5+12)； 16.5π611.解：在△ABD 中，BD 2=AD 2+AB 2−2×AD ×AB ×cosA =1+2−2×1×√2×cosA =3−2√2cosA ．在△BCD 中，BD 2=CD 2+CB 2−2CD ⋅CBcosC =2−2cosC ，∴cosC =√2cosA −12．S 12+S 22=14AB2⋅AD2⋅sin2A +14CB2⋅CD2⋅sin2C =12sin 2A +14sin 2C =−(cosA −√28)2+58，∴当cosA =√28时，S 12+S 22取取最大值， 此时，BD =√AB2+AD2−2×AB ×AD ×cosA =√102．12.解：根据题意，f(x)为奇函数，则f(x)=−f(−x)，又由f(x)满足f(32−x)=f(x)，则f(32−x)=−f(−x)，则有f(3−x)=−f(32−x)=f(x)，即函数f(x)是周期为3的周期函数，数列{a n }是等差数列，若a 2=3，a 7=13，则d =a 7−a27−2=2，则a n =2n −1，则a 1=1，a 3=5， 则f(a 1)=f(1)=f(−2)=−3，f(a 2)=f(3)=f(0)=0，f(a 3)=f(5)=f(−1)=−f(1)=3， 则有f(a 1)+f(a 2)+f(a 3)=(−3)+0+(3)=0，f(a 1)+f(a 2)+f(a 3)+⋯+f(a 2018)=f(1)+f(3)+f(5)+f(7)+f(8)+f(9)+⋯…+f(2016)+f(2017)+f(2018)=672×[f(a 1)+f(a 2)+f(a 3)]+f(2017)+f(2018)=−3；16.解：∵△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ， ∵a ，b ，c 成等比数列，sin 2B =sinAsinC ，设a ，b ，c 分别为a ，aq ，aq 2．则有{a+aq 2>aqa+aq>aq 2aq +aq 2>a ⇒{q 2−q +1>0q 2−q−1<0q 2+q −1>0⇒√5−12<q <√5+12． sinA(1tanA +1tanB )=sinA(cosA sinA +cosB sinB )=sinA ⋅sin(A+B)sinAsinB =sinAsinC sinAsinB =cb=q ， ∴sinA(1tanA +1tanB )的取值范围是：(√5−12,√5+12).16.解：不等式x 2−4√3xcos2θ+2<0与不等式2x 2+4xsin2θ+1<0为对偶不等式， 设不等式x 2−4√3xcos2θ+2<0的对应方程两个根为a 、b ，则不等式2x 2+4xsin2θ+1<0对应方程两个根为：1a 、 1b 所以−2sin2θ=1a+1b =a+b ab=4√3cos2θ2即：tan2θ=−√3因为θ∈(π2,π)，所以θ=5π6，故答案为：5π6 三、解答题：17．解：(1)由题意，mx 2−mx −1<0对任意实数x 恒成立，若m =0，显然−1<0成立；若m ≠0，则{△=m 2+4m <0m<0，解得−4<m <0．所以−4<m ≤0．(2)由题意，f(x)<−m +5，即m(x 2−x +1)<6因为x 2−x +1>0对一切实数恒成立，所以m <6x 2−x+1在x ∈[1,3]上恒成立． 因为函数y =x 2−x +1在x ∈[1,3]上的最大值为7，所以只需m <67即可．所以m 的取值范围是{m|m <67}.18.解：(Ⅰ)k AB =−3−03−(−5)=−38，线段AB 的中点坐标为(−1,−32)．所以线段AB 的垂直平分线斜率k =83． ∴线段AB 的垂直平分线方程为：y +32=83(x +1)，化为：16x −6y +7=0．(Ⅱ)AB 所在直线方程为：3x +8y +15=0，点C 到直线AB 的距离为：d =√73|AB|=√73．∴△ABC 的面积S =12×√73×31√73=312．19.解：(1)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b−ca−c=sin(B+C)sinB+sinC．则：b−c a−c =sinAsinB+sinC ，利用正弦定理得：b−ca−c =ab+c ，整理得：a 2+c 2−b 2=ac ，所以：cosB =a 2+c 2−b 22ac=12，由于：0<B <π，所以：B =π3． (2由(1)得：A +C =2π3，所以：cos(A −C)−2cos 2C ，=cos(2π3−2C)−(cos2C +1)， =√32sin2C −32cos2C −1，=√3sin(2C −π3)−1，由于：0<C <2π3，所以−π3<2C −π3<π，当2C −π3=π2， 即C =5π12时，cos(A −C)−2cos 2C 的最大值为√3−1．20.解：(1)因为点P(√S n ,S n+1)在曲线y =(x +1)2上，所以S n+1=(√S n +1)2，从而√S n+1−√S n =1，且√S 1=√a 1=1， 所以数列{√S n }是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以√S n =√S 1+(n −1)×1=n ，即S n =n 2，当n ≥2时，a n =S n −S n−1=n 2−(n −1)2=2n −1， 当n =1时，a n =2×1−1=1也成立， 所以a n =2n −1(n ∈N ∗)；(2)因为b n =1a n ⋅a n+1=12(12n−1−12n+1)，∴T n =12(1−13+13−15+⋯+12n −1+12n +1)=12(1−12n +1)≥12(1−12×1+1)=13∵T n ≥13m −1对n ∈N +恒成立，∴13m −1≤13，∴m ≤4．21.证明：(Ⅰ)∵AB 是⊙O 的直径，∴AC ⊥BC ，…………………(1分) 又∵VC 垂直于⊙O 所在平面，AC 在平面⊙O 内， ∴AC ⊥VC ，…………………(2分)∵BC ∩VC =C ，BC ⊂平面VBC ，VC ⊂平面VBC ， ∴AC ⊥平面VBC ，…………………(4分)又∵D ，F 分别是VA ，VC 的中点，∴DF//AC ， ∴DF ⊥平面VDC ， 又∵DF ⊂平面DEF ，∴平面DEF ⊥平面VBC. …………………(6分) 解：(Ⅱ)连接CO ，∵VC 垂直于⊙O 所在平面，∴∠VOC 是VO 与平面ABC 所成角的平面角，…………………(8分) 在Rt △ACB 中，BC =1，AC =2，则AB =√5，OC =√52，在Rt △VOC 中，OC =√52，VC =2，则VO =√212，…………………(10分)则cos∠VOC =(√52)2+(√212)2−222×√52×√212=√10521，…………………(11分) 则VO 与平面ABC 所成角的余弦值为√10521.…………………(12分)22. 解：（Ⅰ）因为{}n a 为等差数列，设公差为d ，则由题意得592511426a a a a a a +=⎧⎨⋅=⋅⎩， 即1111121226()(4)(13)a d a d a d a a d +=⎧⎨++=+⎩ 整理得116132a d d a +=⎧⎨=⎩，解得121d a =⎧⎨=⎩， 所以()11221n a n n =+-⨯=-，由111111(21)(21)22121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭，11111112335212121n n T n n n ⎛⎫=-+-++-= ⎪-++⎝⎭L ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅3分（Ⅱ）由（Ⅰ）得22,,52121m n m nT T T m n ===++， 因为2,,m n T T T 成等比数列，所以22m n T T T =⋅，即2221521m n m n ⎛⎫=⋅⎪++⎝⎭， 对上等式左右同时取倒数可得224411052m m n m n+++=即224152m m m n -++=，502n>Q ，22410m m m -++∴>，只需要2410m m -++>，所以(2m ∈，因为*m N ∈，所以m 可以取值1,2,3,4讨论：①当1m =时，带入224152m m m n -++=，58n =，不满足*n N ∈，所以此时不存在. ②当2m =时，带入224152m m m n-++=，2n =，满足*n N ∈，但是不满足,m n 为不同整数的条件，所以此时也不存在.③当3m =时，带入224152m m m n -++=，458n =，不满足*n N ∈，所以此时不存在. ④当4m =时，带入224152m m m n-++=，40n =，满足*n N ∈，所以存在. 综上所述，存在4,40m n ==满足2,,m n T T T 成等比数列. ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅7分 （Ⅲ）由（Ⅰ）得212121212121333,,323232m n t m n t m n t c c c ------===+++，且2n m t =+，因为,,m n t c c c 成等比数列，所以2n m t c c c =⋅，将212121212121333,,323232m n t m n t m n t c c c ------===+++带入上式可得：2212121212121333323232n m t n m t ------⎛⎫=⋅ ⎪+++⎝⎭将2n m t =+带入上式化简得：2121212333n m t ---⋅=+ 不妨设m n t <<，则2121212121212123333333n m t n m t n -------⋅=+⇔-=-，即()()21222122331331m n m n t n ----⋅-=⋅-220n m ->Q 且*22n m N -∈所以上式左端因式2231n m --不含因数3，同理上式右端因式2231t n --不含因数3. 而上式左端含有因数3的次数为21m -次，上式右端含有因数3的次数为21n -次2121m n -≠-Q ，所以()()21222122331331m n m n t n ----⋅-≠⋅-，所以方程无解综上所述，不存在互不相等的正整数,,m n t ，使得,,m n t 成等差数列，且,,m n t c c c 成等比数列.棠湖中学高2018级（高一下）期末数学试卷2一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分）1. 给出下列结论：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥； ③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等． 其中正确结论的个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A3. 已知直线l 过点A(1,1),B(−1,3)，则直线l 的倾斜角为( )A. π4 B. 3π4 C. π4或5π4 D. π4或3π4【答案】B解：设直线l 的倾斜角为θ，θ∈[0,π)．则tanθ=3−1−1−1=−1，∴θ=3π4，故选：B ． 3. 在等比数列{a n }中，a n >0，若a 3⋅a 7=81且a 3=1，则a 6=( ) A. 16 B. 81 C. 3 D. 27 【答案】D解：等比数列{a n }中，a n >0，∴q >0，∵a 3⋅a 7=81且a 3=1，∴a 7=81，q 4=a 7a 3=81, ∴q =3，则a 6=a 3q 3=33=27．故选：D ． 4. 若a ，b 为非零实数，且a <b ，则下列命题成立的是( )A. a 2<b 2B. a 2b <ab 2C. 1ab 2<1a 2bD. b a <ab 【答案】C解：A.取a =−3，b =1，则a 2<b 2不成立； B .ab >0时，则ab(a −b)>0，∴a 2b >ab 2；C.∵a ，b 为非零实数，且a <b ，∴a a 2b 2<b a 2b 2，化为1ab 2<1a 2b ． D .取a =−2，b =1，则b a >ab ． 综上可得：只有C 正确．故选：C ．5.《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.问何日相逢，各穿几何？题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半”如果墙足够厚，S n 为前n 天两只老鼠打洞长度之和，则S 5=( )A. 311516B. 321516C. 331516 D. 2612 【答案】B解：由题意可知：大老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以2为公比的等比数列，前n 天打洞之和为2n −12−1=2n −1，同理，小老鼠每天打洞的距离1−(12)n1−12=2−12n−1，∴S n =2n −1+2−12n−1，∴S 5=25+1−124=321516．故选：B ．6. 如图，在△ABC 中，点D 是线段BC 上的动点，且AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则4x +9y 的最小值为( ) A. 252 B. 18C. 9D. 25【答案】D解：在△ABC 中，点D 是线段BC 上的动点，且AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则x +y =1．所以：4x +9y =(4x +9y )(x +y)=4+9+4y x +9x y ≥13+12=25(当且仅当x =45，y =310等号成立)，故选：D ．7. 设x ，y 满足约束条件{x ≥1x −2y ≤22x +y ≤6，向量a ⃗ =(x,−1)，b ⃗ =(2,y −m)，则满足a ⃗ ⊥b ⃗ 的实数m 的最大值( )A. −265B. −305C. 2D. −52 【答案】C解：由向量a ⃗ =(x,−1)，b ⃗ =(2,y −m)，满足a ⃗ ⊥b ⃗ 得m =y −2x ，根据约束条件画出可行域，m =y −2x ，将m 最小值转化为y 轴上的截距，当直线m =y −2x 经过点B 时，m 最大，由{2x +y =6x=1，解得B(1,4)实数m 的最大值为：4−2=2．故选：C ．8. 直线l 1：m 2x +y +3=0和直线l 2：3mx +(m −2)y +m =0，若l 1//l 2，则m 的值为( ) A. −1 B. 0 C. 0或−1 D. 0或−1或3 【答案】C解：由{m 2m 2(m −2)−3m =0，解得m =0，−1，3．经过验证：m =3时，两条直线重合，舍去． ∴m =0或−1．故选：C ．9. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cosA a +cosB b =√3sinB ，A =2π3，则b +c 的取值范围是( ) A. (√32,1]B. (32,√3]C. [√32,1]D. [32,√3]【答案】A 解：∵cosA a+cosBb=2sinC √3sinB，A =2π3，∴由正弦定理，余弦定理可得：b 2+c 2−a 22abc+a 2+c 2−b 22acb=2c √3b，整理可得：a =√32， ∴由正弦定理bsinB =csinC =√32√32=1，可得b =sinB ，c =sinC =sin(π3−B)，∴b +c =sinB +sinC =sinB +sin(π3−B)=12sinB +√32cosB =sin(B +π3)，∵0<B <π3，可得：π3<B +π3<2π3，∴b +c =sin(B +π3)∈(√32,1]．故选：A ．10. 如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，H 是对角线B 1D 与平面A 1C 1B 的交点，给出下列四个结论：①平面D 1AC//平面A 1C 1B ；②B 1D ⊥平面A 1C 1B ；③B 1H =14B 1D 1；④B 1D 与平面A 1C 1B 的交点H 是△A 1C 1B 的重心，其中正确结论的序号是( ) A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④ 【答案】D【解析】解：在平面D 1AC 和平面A 1C 1B 中，由AC//A 1C 1，AC ⊄平面A 1C 1B ，A 1C 1⊂平面A 1C 1B ，可得AC//平面A 1C 1B ，同理可得D 1A//平面A 1C 1B ，AC ∩D 1A =A ，则平面D 1AC//平面A 1C 1B ，故①对；连接B 1D 1，可得B 1D 1⊥A 1C 1，A 1C 1⊥D 1D ，则A 1C 1⊥平面D 1DB 1，即有A 1C 1⊥B 1D ， 同理可得BC 1⊥B 1D ，则B 1D ⊥平面A 1C 1B ，故②对；设正方体的边长为1，面对角线长为√2，体对角线长为√3，由V A 1−B 1BC 1=13×1×12×1×1=16，且V B 1−A 1C 1B =13B 1D ⋅S △BA 1C 1=13B 1H ⋅√34⋅2=√36B 1H ，可得B 1H =√33，则B 1H ≠√24，故③错； 由三棱锥B 1−A 1C 1B 为正三棱锥，可得H 为正三角形A 1C 1B 的中心，故④对． 故选：D ．11. 在平面四边形ABCD 中，AB =√2，BC =CD =DA =1，设△ABD 、△BCD 的面积分别为S 1、S 2，则当S 12+S 22取最大值时，BD =( )A. √102B. √3C. √2D. 1【答案】A【解析】解：在△ABD 中，BD 2=AD 2+AB 2−2×AD ×AB ×cosA =1+2−2×1×√2×cosA =3−2√2cosA ．在△BCD 中，BD 2=CD 2+CB 2−2CD ⋅CBcosC =2−2cosC ，∴cosC =√2cosA −12．S 12+S 22=14AB2⋅AD2⋅sin2A +14CB2⋅CD2⋅sin2C =12sin 2A +14sin 2C =−(cosA −√28)2+58，∴当cosA =√28时，S 12+S 22取取最大值，此时，BD =√AB2+AD2−2×AB ×AD ×cosA =√102．故选：A ．12.已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(32−x)=f(x)，f(−2)=−3，数列{a n }是等差数列，若a 2=3，a 7=13，则f(a 1)+f(a 2)+f(a 3)+⋯+f(a 2018)=( ) A. −2 B. −3 C. 2 D. 3 【答案】B解：根据题意，f(x)为奇函数，则f(x)=−f(−x)，又由f(x)满足f(32−x)=f(x)，则f(32−x)=−f(−x)，则有f(3−x)=−f(32−x)=f(x)，即函数f(x)是周期为3的周期函数， 数列{a n }是等差数列，若a 2=3，a 7=13，则d =a 7−a 27−2=2，则a n =2n −1，则a 1=1，a 3=5，则f(a 1)=f(1)=f(−2)=−3，f(a 2)=f(3)=f(0)=0，f(a 3)=f(5)=f(−1)=−f(1)=3， 则有f(a 1)+f(a 2)+f(a 3)=(−3)+0+(3)=0，f(a 1)+f(a 2)+f(a 3)+⋯+f(a 2018)=f(1)+f(3)+f(5)+f(7)+f(8)+f(9)+⋯…+f(2016)+f(2017)+f(2018)=672×[f(a 1)+f(a 2)+f(a 3)]+f(2017)+f(2018)=−3； 故选：B ．二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）13. 有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图)，∠ABC =45∘，AB =AD =1，DC ⊥BC ，则这块菜地的面积为______．【答案】2+√22解：DC =ABsin 45∘=√22，BC =ABsin 45∘+AD =√22+1，S 梯形ABCD =12(AD +BC)DC =12(2+√22)√22=√22+14，S =4√2S 梯形ABCD=2+√22．故答案为：2+√2214. 已知数列和{a n }满足a n+2−a n+1=a n+1−a n ，n ∈N ∗，且a 5=π2，若函数f(x)=(sinx +cosx)2+2cos 2x2，记y n =f(a n )，则数列{y n }的前9项和为______．【答案】18解：数列和{a n }满足a n+2−a n+1=a n+1−a n ，所以：2a n+1=a n +a n+2，所以数列{a n }为等差数列．由于：a 5=π2，则：a 1+a 9=a 2+a 8=⋯=2a 5=π函数f(x)=(sinx +cosx)2+2cos 2x2=2+sin2x +cosx ，所以：f(a 5)=2， 故：f(a 2)+f(a 8)=f(a 1)+f(a 9)=⋯=2f(a 5)=4，故：数列{y n }的前9项和为：4+4+4+4+2=18．故答案为：1815. 已知动直线l 1：2x +3my −2=0过定点A ，动直线l 2：3mx −2y −6m +2=0过定点B ，直线l 1与l 2交于点P ，则△PAB 的面积的最大值是______．【答案】12解：根据题意，对于直线l 1：2x +3my −2=0，变形可得−2(x −1)=3my ， 若动直线l 1：2x +3my −2=0过定点A ，则A(1,0)，对于直线l 2：3mx −2y −6m +2=0，变形可得3m(x −2)=2(y −1)， 若动直线l 2：3mx −2y −6m +2=0过定点B ，则B(2,1)，动直线l 1：2x +3my −2=0，动直线l 2：3mx −2y −6m +2=0，有2×(3m)+3m ×(−2)=0， 则动直线l 1与动直线l 2互相垂直，又由直线l 1与l 2交于点P ，则P 在以AB 为直径的圆上，又由A(1,0)，B(2,1)，则P 的轨迹方程为(x −32)2+(y −12)2=12，分析可得：当PA =PB =√22×√2=1时，△PAB 的面积取得最大值，此时△PAB 的面积的最大值12×PA ×PB =12，故答案为12．16. 在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若a 、b 、c 依次成等比数列，则sinA(1tanA +1tanB )的取值范围是______． 【答案】(√5−12,√5+12)解：∵△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ， ∵a ，b ，c 成等比数列，sin 2B =sinAsinC ，设a ，b ，c 分别为a ，aq ，aq 2．则有{a +aq 2>aqa+aq>aq 2aq +aq 2>a ⇒{q 2−q +1>0q 2−q−1<0q 2+q −1>0⇒√5−12<q <√5+12． sinA(1tanA +1tanB )=sinA(cosA sinA +cosB sinB )=sinA ⋅sin(A+B)sinAsinB =sinAsinC sinAsinB =cb=q ， ∴sinA(1tanA+1tanB)的取值范围是：(√5−12,√5+12).16.定义：关于x 的两个不等式f(x)<0和g(x)<0的解集分别为(a,b)和(1b ,1a)，则称这两个不等式为对偶不等式.如果不等式x 2−4√3xcos2θ+2<0与不等式2x 2+4xsin2θ+1<0为对偶不等式，且θ∈(π2,π)，则θ=______． 【答案】5π6解：不等式x 2−4√3xcos2θ+2<0与不等式2x 2+4xsin2θ+1<0为对偶不等式， 设不等式x 2−4√3xcos2θ+2<0的对应方程两个根为a 、b ，则不等式2x 2+4xsin2θ+1<0对应方程两个根为：1a 、 1b所以−2sin2θ=1a+1b =a+b ab=4√3cos2θ2即：tan2θ=−√3因为θ∈(π2,π)，所以θ=5π6，故答案为：5π6 三、解答题（本题共6个小题，17题10分，其余题12分，共70分）17．设函数f(x)=mx 2−mx −1．(1)若对于一切实数x ，f(x)<0恒成立，求m 的取值范围； (2)对于x ∈[1,3]，f(x)<−m +5恒成立，求m 的取值范围． 解：(1)由题意，mx 2−mx −1<0对任意实数x 恒成立，若m =0，显然−1<0成立；若m ≠0，则{△=m 2+4m <0m<0，解得−4<m <0． 所以−4<m ≤0．(2)由题意，f(x)<−m +5，即m(x 2−x +1)<6 因为x 2−x +1>0对一切实数恒成立，所以m <6x 2−x+1在x ∈[1,3]上恒成立．因为函数y =x 2−x +1在x ∈[1,3]上的最大值为7，所以只需m <67即可．所以m 的取值范围是{m|m <67}.22. 已知三角形的三个顶点A(−5,0)，B(3,−3)，C(0,2)． (Ⅰ)求线段AB 的垂直平分线的方程； (Ⅱ)求△ABC 的面积．解：(Ⅰ)k AB =−3−03−(−5)=−38，线段AB 的中点坐标为(−1,−32)．所以线段AB 的垂直平分线斜率k =83． ∴线段AB 的垂直平分线方程为：y +32=83(x +1)，化为：16x −6y +7=0． (Ⅱ)AB 所在直线方程为：3x +8y +15=0，点C 到直线AB 的距离为：d =73|AB|=√73．∴△ABC 的面积S =12×√73√73=312．23. 已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b−c a−c=sin(B+C)sinB+sinC．(1)求角B 的大小；(2)求cos(A −C)−2cos 2C 的最大值．解：(1)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b−c a−c =sin(B+C)sinB+sinC ．则：b−c a−c =sinAsinB+sinC ，利用正弦定理得：b−ca−c =ab+c ，整理得：a 2+c 2−b 2=ac ，所以：cosB =a 2+c 2−b 22ac=12，由于：0<B <π，所以：B =π3． (2由(1)得：A +C =2π3，所以：cos(A −C)−2cos 2C ，=cos(2π3−2C)−(cos2C +1)， =√32sin2C −32cos2C −1，=√3sin(2C −π3)−1，由于：0<C <2π3，所以−π3<2C −π3<π，当2C −π3=π2， 即C =5π12时，cos(A −C)−2cos 2C 的最大值为√3−1．24. 若正项数列{a n }的前n 项和为S n ，首项a 1=1，P(√S n ,S n+1)点在曲线y =(x +1)2上. (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)设b n =1a n ⋅a n+1，T n 表示数列{b n }的前n 项和，若T n ≥13m −1对n ∈N +恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】解：(1)因为点P(√S n ,S n+1)在曲线y =(x +1)2上，所以S n+1=(√S n +1)2，从而√S n+1−√S n =1，且√S 1=√a 1=1， 所以数列{√S n }是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以√S n =√S 1+(n −1)×1=n ，即S n =n 2，当n ≥2时，a n =S n −S n−1=n 2−(n −1)2=2n −1， 当n =1时，a n =2×1−1=1也成立， 所以a n =2n −1(n ∈N ∗)；(2)因为b n =1a n ⋅a n+1=12(12n−1−12n+1)，∴T n =12(1−13+13−15+⋯+12n −1+12n +1)=12(1−12n +1)≥12(1−12×1+1)=13∵T n ≥13m −1对n ∈N +恒成立，∴13m −1≤13，∴m ≤4．21.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上不同于A ，B 的点，过点C 的直线VC 垂直于⊙O 所在平面.D ，E ，F 分别是VA ，VB ，VC 的中点，且BC =1，AC =2，VC =2.求证： (Ⅰ)平面DEF ⊥平面VBC ；(Ⅱ)求VO 与平面ABC 所成角的余弦值．证明：(Ⅰ)∵AB 是⊙O 的直径，∴AC ⊥BC ，…………………(1分) 又∵VC 垂直于⊙O 所在平面，AC 在平面⊙O 内， ∴AC ⊥VC ，…………………(2分)∵BC ∩VC =C ，BC ⊂平面VBC ，VC ⊂平面VBC ， ∴AC ⊥平面VBC ，…………………(4分)又∵D ，F 分别是VA ，VC 的中点，∴DF//AC ， ∴DF ⊥平面VDC ， 又∵DF ⊂平面DEF ，∴平面DEF ⊥平面VBC. …………………(6分) 解：(Ⅱ)连接CO ，∵VC 垂直于⊙O 所在平面，∴∠VOC 是VO 与平面ABC 所成角的平面角，…………………(8分)在Rt △ACB 中，BC =1，AC =2，则AB =√5，OC =√52，在Rt △VOC 中，OC =√52，VC =2，则VO =√212，…………………(10分)则cos∠VOC =(√52)2+(√212)2−222×√52×√212=√10521，…………………(11分) 则VO 与平面ABC 所成角的余弦值为√10521.…………………(12分)22. 已知数列{}n a 为公差不为0的等差数列，n S 为其前n 项和，5a 和9a 的等差中项为13，且25114a a a a ⋅=⋅.令11n n n b a a +=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T .（Ⅰ）求n T ；（Ⅱ）是否存在不同的正整数,m n ，使得2,,m n T T T 成等比数列？若存在，求出所有的,m n 的值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）若332nna n a c =+，是否存在互不相等的正整数,,m n t ，使得,,m n t 成等差数列，且,,m n t c c c 成等比数列？若存在，求出所有的,,m n t 的值；若不存在，请说明理由.解：（Ⅰ）因为{}n a 为等差数列，设公差为d ，则由题意得592511426a a a a a a +=⎧⎨⋅=⋅⎩， 即1111121226()(4)(13)a d a d a d a a d +=⎧⎨++=+⎩ 整理得116132a d d a +=⎧⎨=⎩，解得121d a =⎧⎨=⎩，所以()11221n a n n =+-⨯=-，由111111(21)(21)22121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭， 111111123352121n T n n ⎛⎫=-+-++-=⎪-+⎝⎭L 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得22,,52121m n m nT T T m n ===++， 因为2,,m n T T T 成等比数列，所以22m n T T T =⋅，即2221521m nm n ⎛⎫=⋅⎪++⎝⎭， 对上等式左右同时取倒数可得224411052m m n m n+++= 即224152m m m n -++=，502n>Q ，22410m m m-++∴>，只需要2410m m -++>， 所以(2m ∈，因为*m N ∈，所以m 可以取值1,2,3,4讨论：①当1m =时，带入224152m m m n -++=，58n =，不满足*n N ∈，所以此时不存在. ②当2m =时，带入224152m m m n-++=，2n =，满足*n N ∈，但是不满足,m n 为不同整数的条件，所以此时也不存在.③当3m =时，带入224152m m m n -++=，458n =，不满足*n N ∈，所以此时不存在. ④当4m =时，带入224152m m m n-++=，40n =，满足*n N ∈，所以存在. 综上所述，存在4,40m n ==满足2,,m n T T T 成等比数列. ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅7分 （Ⅲ）由（Ⅰ）得212121212121333,,323232m n t m n t m n t c c c ------===+++，且2n m t =+，因为,,m n t c c c 成等比数列，所以2n m t c c c =⋅，将212121212121333,,323232m n t m n t m n t c c c ------===+++带入上式可得：2212121212121333323232n m t n m t ------⎛⎫=⋅ ⎪+++⎝⎭将2n m t =+带入上式化简得：2121212333n m t ---⋅=+不妨设m n t <<，则2121212121212123333333n m t n m t n -------⋅=+⇔-=-，即()()21222122331331m n m n t n ----⋅-=⋅-220n m ->Q 且*22n m N -∈所以上式左端因式2231n m --不含因数3，同理上式右端因式2231t n --不含因数3.而上式左端含有因数3的次数为21m -次，上式右端含有因数3的次数为21n -次2121m n -≠-Q ，所以()()21222122331331m n m n t n ----⋅-≠⋅-，所以方程无解综上所述，不存在互不相等的正整数,,m n t ，使得,,m n t 成等差数列，且,,m n t c c c 成等比数列.。
四川省成都市棠湖中学2018_2019学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)
【详解】（1）证明：取PD中点G，连结
为 的中位线， 且 ，
又 且 ， 且 ，
∴EFGA是平行四边形，则 ，
又 面 ， 面 ，
面 ；
（2）解：取AD中点O，连结PO，
∵面 面 ， 为正三角形，
面 ，且 ，
，
8.若 则 ( )
A. B. C. D.
【答案】C结合诱导公式，计算出 ，结合二倍角公式，计算结果，即可。
【详解】 ，所以
，故选C。
9.已知 中， ， ， 的对边分别是 ， ， ，且 ， ， ，则 边上的中线的长为( )
A. B.
C. 或 D. 或
【答案】C【详解】解： ，
由余弦定理 ，可得 ，
整理可得： ， 解得 或3．
，
，
，
所以 的最小正周期为 .
（2）∵ ，∴ ，
当 ，即 时， ；
当 ，即 时， .
19.在 中, 为 上的点, 为 上的点,且 .
（1）求 的长;
（2）若 ,求 的余弦值.
【答案】(1) ;(2) .
试题解析：（1）由题意可得 ，
在 中，由余弦定理得
，
所以 ，
整理得 ，
解得： ．
故 的长为 。
（2）在 中，由正弦定理得 ，
如图，CD为AB边上的中线，则 ，
在 中，由余弦定理 ，可得： ，或 ，
解得AB边上的中线 或 ．
故选：C．
10.已知正四棱锥 的顶点均在球 上，且该正四棱锥的各个棱长均为 ，则球 的表面积为( )
A. B. C. D.
【答案】C
四川省棠湖中学2017-2018学年高一数学下学期期末试题(含解析)
四川省棠湖中学2017-2018学年度高一下期末教学质量检测数学试题一.选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. ，集合【答案】B【解析】B．【答案】A【解析】分析：利用诱导公式和特殊角的三角函数化简求值即可.详解：故选A.点睛：本题考查利用诱导公式和特殊角的三角函数化简求值，属基础题.3. 已知函数A. -3B. 0C. 1D. -1【答案】C4.C. D.【答案】A．故选：A．点睛：本题考查了平面向量的模长公式，二倍角公式，属于基础题．5.B. C. D.【答案】B..................6. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的命题是【答案】D【解析】A：m⊥α，n?β，m⊥n时，α、β可能平行，也可能相交，不一定垂直，故A不正确C：α⊥β，m⊥α，n∥β时，m与n可能平行、相交或异面，不一定垂直，故C错误D：α∥β，m⊥α，n∥β时，m与n一定垂直，故D正确故选D．7.A. -4B. -2C. 2D. 4【答案】D之后应用向量的投影的定义求得结果.在方向上的投影为 A.点睛：该题考查的是向量在另一向量方向上的投影问题，涉及到的知识点有向量垂直的条件是向量的数量积等于零，再者就是向量在另一向量方向上的投影的公式要正确使用.8.D.【答案】B因为故选B.9.【答案】C当且仅当m=n时取等号。
本题选择C选项.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误10.A.C.【答案】C【解析】A.A错误B B错误；C C正确D D错误故选C11. 在△ABC P是BN m的值为A. 3B. 1C.D.【答案】C【解析】分析：根据向量的加减运算法则，的值．详解：，．故选C.．点睛：本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量加法法则的合理运用．12.B. C.【答案】D进而求得当且仅当恒成立，则使恒成立，，求得故选：D．点睛：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力，属于基础题．二．填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.．【答案】4公式将不同底化为同底数即可通过约分求出值，对对数式求值问题，常先用对数运算进行化简，若底数不同用换底公式化为同底在运算.原式考点：1.对数运算法则；2.对数换底公式.14. __________．【解析】表示的区域如图，结合图形可知当动直线经过点时，轴上的截距最大，。
四川省棠湖中学2017_2018学年高一数学下学期期末模拟试题2018070503101
四川省棠湖中学学年高一数学下学期期末模拟试题一．选择题：本大题共小题，每小题分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的..如果0a b <<,那么下列不等式成立的是．11a b < ．2ab b < ．2ab a -<- ．11a b-<- . 若数列{}n a 的前项和22n S n n =-,则8a =.60 . 29.在ABC ∆中，已知2sin cos sin A B C =， 那么ABC ∆一定是 ．直角三角形 ．等腰三角形 .等腰直角三角形 ．正三角形.已知1cos sin ,36cos sin =-=+βαβα，则=-)sin(βα ．121-．61- .61 ．121 ．要得到函数sin3y x =的图象，只需将函数()sin 33y x =-的图象上的所有点沿x 轴 ．向右平移个单位长度 ．向左平移个单位长度 ．向左平移个单位长度 ．向右平移个单位长度 ．已知ABC ∆的角C B A ,,分别所对的边为c b a ,,；17,2,43===∠a b A π；则=c ．6 ．3 ．4 ．5．已知01α<<，log log a a x =1log 52a y =，log log a a z =，则下列关系正确的是．x y z >> ．z y x >> ． y x z >> ．z x y >>．函数2()cos cos f x x x x =的图像的一条对称轴为．12x π=．6x π=． 56x π=．712x x = ．设D 为ABC ∆所在平面内一点，若4BC CD =，则下列关系中正确的是．1443AD AB AC =-+ ．1544AD AB AC =- ． 1544AD AB AC =-+ ．5144AD AB AC =-．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是．2+．1+．1+．.在ABC ∆中，若⋅=⋅=⋅，且A b B a c o s c o s =，4=c ，则=⋅ ． ． .2- ．8- .已知定义在R 上的函数)(x f 满足：)4()(x f x f --=；函数)12sin(2)(-+-=xx x x g 的图象与函数)(x f 的交点为),)(,(),)(,(),,(11332221n n n n y x y x y x y x y x --⋅⋅⋅；则=∑=ni ix1．n 2 ．n 3 .n 4 ．n第二部分（非选择题 共分）二．填空题：本大题共个小题，每小题分，满分分． ．=-112sin22π．．已知36)6sin(=+πα，则=-)232cos(απ ． ．若半径为的球O 中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积为32π时，圆柱的体积为 ．．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且1cos cos 2a Bb Ac -=，当()tan A B -取最大值时，角B 的值为 ．三、解答题：共分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤． ．（本大题满分分）若集合{}0211A x x =≤-≤，{}lg(7)B x y x ==-，集合{}2{(21)(1)0C x xa x a a =-+++≤．（Ⅰ）求AB ；（Ⅱ）若A C ⊆，求实数a 的取值范围．.（本大题满分分）已知函数2()2(1)4f x mx m x =+++.（Ⅰ）若2m =，解不等式()0f x <；（Ⅱ）若关于x 的不等式()9f x m <-的解集为R ，求实数m 的取值范围.．（本大题满分分）已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且满足：22n n S a =-，*N n ∈.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若2log n n b a =，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .．（本大题满分分）在ABC ∆中，已知B A tan ,tan 是关于x 的方程0132=+++p px x 的两个实根.（Ⅰ）求C ∠；（Ⅱ）若8,7=+=b a c ，求ABC ∆的面积S .．（本大题满分分）如图，DC ⊥平面ABC ， //EB DC ，22AC BC EB DC ====，120ACB ∠=︒，Q 为AB 的中点．（Ⅰ）证明：CQ ⊥平面ABE ； （Ⅱ）求多面体ACED 的体积； （Ⅲ）求二面角A DE B --的正切值．．（本题满分分）已知二次函数)()(2R x m mx x x f ∈-+=同时满足：①在定义域内存在210x x <<，使得)()(21x f x f >成立；②不等式0)(≤x f 的解集有且只有一个元素；数列{}n a 的前n 项和为n S ，)(n f S n =，1≥n ，N n ∈。
四川省棠湖中学2017_2018学年高一数学下学期开学考试试题-附答案 师生通用
2018年春四川省棠湖中学高一开学考试数学试题第一部分（选择题共60分）一．选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{1,2,3,4}A =，集合{2,1,2}B =-，则AB =（ ）A ．φB ．{1,2}C ．{2,2}-D ．{2,1,2,3}- 2.sin 390︒的值为（ ）A ．12 C ．．12-3.已知函数2lg ,0()6,0x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩，则((4))f f -=（ ）A ．-3B ．0C ．1D ．-1 4.角α终边落在直线x y 2-=上，则tan 2α=（ ） A ．2 B ．12 C.43- D ．435.函数2()xf x x e =-的零点个数为（ ）A ．0B ．1 C.2 D ．3 6.已知函数()sin 1f x x x =++，若()3f a =-，则()f a -的值为（ ） A ．0 B ．3 C.4 D ．57．已知21tan -=α，则αααα22cos sin cos sin 2-的值是 （ ） A ．34- B ．3 C ．34D ．3-8．已知 1.20.8612,(),2log 22a b c -===，则,,a b c 的大小关系为 （ ）A ． c b a <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．b a c << 9.已知3cos()5αβ+=， 1sin()63πβ-=，且,αβ均为锐角，则sin()6πα+=（ ）A B D10.已知函数(26)1,1()log ,1a a x x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩，对12,(,)x x ∀∈-∞+∞，总有1212()()0f x f x x x -<-12()x x ≠成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1(,1)3B ．1(0,)3 C. 11(,]32 D ．1[,1)211.在平面直角坐标系中，点O (0，0)，P (6，8)，将向量OP →绕点O 按逆时针方向旋转3π4后得向量OQ →，则点Q 的坐标是( )A ．(－72，－2)B ．(－72，2)C ．(－46，－2)D ．(－46，2)12.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<=3,l o g130,l o g )(33x x x x x f ，若)()()(c f b f a f ==且c b a <<，则ca bc ab ++的取值范围为 （ ）A ．)4,1( B ．)5,1(C ．)7,4(D ．)7,5( 第二部分（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.13.已知幂函数()y f x =的图像过点(8,2)，则(64)f -= ．14.已知集合{|25}A x x =-≤≤，{|121}B x m x m =+<<-，若B A ⊆，则实数m 的取值范围是 ．15.已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，1cos ,[0,]2()121,(,)2x x f x x x π⎧∈⎪⎪=⎨⎪-∈+∞⎪⎩，则不等式1(1)2f x -≤的解集为 ．16．若函数()x f 同时满足：①对于定义域上的任意，恒有()()0=-+x f x f ； ②对于定义域上的任意21,x x ，当21x x ≠时，恒有()()02121<--x x x f x f ；则称函数()x f 为“理想函数”．下列四个函数中：① ()x x f 1=；②()2x x f = ； ③()1212+-=x x x f ；④()⎩⎨⎧<≥-=022x xx x x f ，能被称为“理想函数”的有 （填相应的序号）．三、解答题 ：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本题满分10分）已知全集R U =，集合{}42A ≤=x x ,}{41B ≤<=x x ． （1）求)C (A U B ；（2）若集合}4|{a x a x C <<-=，且B C ⊆，求实数a 的取值范围．18.（本题满分12分）已知2sin ()cos(2)tan()()sin()tan(3)f παπαπααπααπ-⋅-⋅-+=-+⋅-+.（1）化简()f α； （2）若1()8f α=，且42ππα<<，求cos sin αα-的值．19.（本题满分12分）已知函数21()cos cos 2f x x x x =-+. （1）求()4f π的值；（2）求()f x 的单调递增区间；（3）当5[,]412x ππ∈时，求()f x 的值域.20.（本题满分12分） 函数f (x )＝6cos2ωx2＋3sin ωx －3(ω>0)在一个周期内的图象如图所示，A 为图象的最高点，B ，C 为图象与x 轴的交点，且△ABC 为正三角形．(1)求ω的值及函数f (x )的值域；(2)若f (x 0)＝8 35，且x 0∈)32,310(-，求f (x 0＋1)的值．21.（本题满分12分）近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司“Mobike ”计划在甲、乙两座城市共投资120万元，根据行业规定，每个城市至少要投资40万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P 与投入a （单位：万元）满足623-=a P ，乙城市收益Q 与投入a （单位：万元）满足241Q +=a ，设甲城市的投入为x （单位：万元），两个城市的总收益为)(x f （单位：万元）．（1）当甲城市投资50万元时，求此时公司总收益；（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？22.（本题满分12分） 已知函数4()lg4xf x x-=+，其中(4,4)x ∈-. （1）判断并证明函数()f x 的奇偶性；（2）判断并证明函数()f x 在(4,4)-上的单调性；（3）是否存在这样的负实数k ，使22(cos )(cos )0f k f k θθ-+-≥对一切R θ∈恒成立，若存在，试求出k 取值的集合；若不存在，说明理由.2018年春四川省棠湖中学高一开学考试数学参考答案一、选择题（每小题3分，共36分．）二、填空题（每小题3分，共12分．）13．-4 14．2 15．[,3]-∞ 16.④17．解：(1) {}{2}42A ≤=≤=x x x x }{41C U >≤=x x x B 或）（……… {} 1)(≤=x x B C A U ………………（2）①当φ=C 时，即a a 4≥-，所以2a ≤，此时B C ⊆满足题意 2≤∴a②当φ≠C 时，a a 4<-，即2a >时，所以⎪⎩⎪⎨⎧≤≥->4142a a a ，解得：32≤<a综上，实数a 的取值范围是}{3≤a a18．解：(1)f (α)＝sin 2α·cos α·tan α（－sin α）（－tan α）＝sin α·cos α.---------5分(2)由f (α)＝sin α·cos α＝18可知，(cos α－sin α)2＝cos 2α－2sin α·cos α＋sin 2α＝1－2sin α·cos α＝1－2×18＝34又∵π4＜α＜π2， ∴cos α＜sin α，即cos α－sin α＜0.∴cos α－sin α＝－32.19.解：（1）∵21()cos cos 2f x x x x =-+，∴21()coscos 44442f ππππ=-+，1122=-+=（2）由21()cos cos 2f x x x x =-+112(cos 21)22x x =-++ sin(2)6x π=-，当222262k x k πππππ-≤-≤+，k z ∈时，函数单调递增，解得函数的单调增区间为[,]()63k k k z ππππ-+∈（3）∵5[,]412x ππ∈，∴22363x πππ≤-≤，∴sin(2)126x π≤-≤，故函数的值域为. 20.解：(1)由已知可得，f (x )＝3cos ωx ＋3sin ωx ＝2 3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3. 易知正三角形ABC 的高为2 3，从而BC ＝4.所以函数f (x )的最小正周期T ＝4×2＝8，即2πω＝8，则ω＝π4.所以函数f (x )的值域为[－23，23]． (2)已知f (x 0)＝8 35，由(1)得f (x 0)＝2 3sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＝8 35，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＝45.由x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，23，知πx 04＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35.故f (x 0＋1)＝2 3sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 04＋π4＋π3＝2 3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＋π4 ＝2 3⎣⎢⎡sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3cos π4＋⎦⎥⎤cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3sin π4＝2 3⎝ ⎛⎭⎪⎫45×22＋35×22＝7 65.21.解：（1）当50=x 时，此时甲城市投资50万元，乙城市投资70万元 所以总收益 2704165023)50(+⨯+-⨯=f =43.5（万元）… （2）由题知，甲城市投资x 万元，乙城市投资)120(x -万元所以2)120(41623)(+-+-=x x x f 262341++-=x x 依题意得⎩⎨⎧≥-≥4012040x x ，解得8040≤≤x故262341)(++-=x x x f )8040(≤≤x 令x t =，则]54,102[∈t （评分细则说明：1.函数)(x f 定义域没写扣1分）所以4426(4126234122+--=++-=）t t t y 当26=t ，即72=x 万元时，y 的最大值为44万元，所以当甲城市投资72万元，乙城市投资48万元时，总收益最大，且最大收益为44万元22.解：（1）∵44()lg lg ()44x xf x f x x x+--==-=--+， ∴()f x 是奇函数.（2）()f x 在(4,4)-上为减函数. 证明：任取12,(4,4)x x ∈-且12x x <， 则12121244()()lglg44x x f x f x x x ---=-++ 121244lg44x x x x -+=⨯+-21121212164()lg164()x x x x x x x x +--=+--， ∵2112164()x x x x +--2112164()0x x x x >--->， ∴21121212164()1164()x x x x x x x x +-->+--，得12()()0f x f x ->，得到12()()f x f x >，∴()f x 在(4,4)-上为减函数；（3）∵22(cos )(cos )f k f k θθ-≥--22(cos )f k θ=-， ∵()f x 在(4,4)-上为减函数，∴222204cos 44cos 4cos cos k k k k k θθθθ<⎧⎪-<-<⎪⎨-<-<⎪⎪-≤-⎩对R θ∈恒成立 由22cos cos k k θθ-≤-对R θ∈恒成立得：22cos cos k k θθ-≤-对R θ∈恒成立， 令2211cos cos (cos )42y θθθ=-=--， ∵cos [1,1]θ∈-，∴1[2,]4y ∈-，∴22k k -≤-，得1k ≤-，由4cos 4k θ-<-<对R θ∈恒成立得：33k -<<，由224cos 4k θ-<-<对R θ∈恒成立得：22k -<<，即综上所得：21k -<≤-，所以存在这样的k ，其范围为21k -<≤-.。
2017-2018学年高一(下)期末数学试卷(文科)带答案
2017-2018学年高一（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|（x﹣1）（x+2）＜0}，则A ∩B=（）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{﹣1，0，1}D．{0，1，2}2．（5分）下列说法正确的是（）A．零向量没有方向 B．单位向量都相等C．任何向量的模都是正实数D．共线向量又叫平行向量3．（5分）若a，b，c为实数，则下列结论正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＜b＜0，则a2＞abC．若a＜b，则D．若a＞b＞0，则4．（5分）若两平行直线l1：x﹣2y+m=0（m＞0）与l2：2x+ny﹣6=0之间的距离是，则m+n=（）A．0 B．1 C．﹣2 D．﹣15．（5分）已知{a n}为等差数列，其公差为﹣2，且a7是a3与a9的等比中项，S n 为{a n}的前n项和，n∈N*，则S10的值为（）A．﹣110 B．﹣90 C．90 D．1106．（5分）如图，D，C，B三点在地面同一直线上，从地面上C，D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知CD=200米，点C位于BD上，则山高AB等于（）A．100米B．50（+1）米C．米D．200米7．（5分）设变量x，y满足约束条件目标函数z=x+2y的最大值是（）A．4 B．2 C．D．8．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为（）A．尺B．尺C．尺D．尺9．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，）的图象如图所示，为了得到g（x）=2sin2x的图象，则只需将f（x）的图象（）A．向右平移个长度单位 B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向左平移个长度单位10．（5分）若圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上至少有三个不同的点，到直线l：y=x+b 的距离为2，则b取值范围为（）A．（﹣2，2）B．[﹣2，2]C．[0，2]D．[﹣2，2）11．（5分）若偶函数f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递减，且f（3）=0，则不等式（x﹣1）f（x）＞0的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣3，1）∪（3，+∞） C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） D．（﹣3，1]∪（3，+∞）12．（5分）若a，b是函数f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，c＜0且a，b，c这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则﹣2c的最小值等于（）A．9 B．10 C．3 D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）sin（﹣300°）=．14．（5分）平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+2|=．15．（5分）两圆相交于点A（1，3）、B（m，﹣1），两圆的圆心均在直线x﹣y+c=0上，则m+c=．16．（5分）若不等式x2＜|x﹣1|+a在区间（﹣3，3）上恒成立，则实数a的取值范围为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知公差不为零的等差数列{a n}中，a1=1，且a1，a3，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=2+n，求数列{b n}的前n项和S n．18．（12分）已知函数f（x）=，其中=（2cosx，sin2x），=（cosx，1），x∈R（1）求函数y=f（x）的最小正周期和单调递增区间：（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f（A）=2，a=且sinB=2sinC，求△ABC的面积．19．（12分）已知直线l：ax﹣y+1=0与x轴，y轴分别交于点A，B．（1）若a＞0，点M（1，﹣1），点N（1，4），且以MN为直径的圆过点A，求以AN为直径的圆的方程；（2）以线段AB为边在第一象限作等边三角形ABC，若a=﹣，且点P（m，）（m＞0）满足△ABC与△ABP的面积相等，求m的值．20．（12分）某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．（1）用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润W（元）；（2）怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？21．（12分）已知圆C的圆心在直线3x+y﹣1=0上，且x轴，y轴被圆C截得的弦长分别为2，4，若圆心C位于第四象限（1）求圆C的方程；（2）设x轴被圆C截得的弦AB的中心为N，动点P在圆C内且P的坐标满足关系式（x﹣1）2﹣y2=，求的取值范围．22．（12分）已知数列{a n}满足a n=n2+n，设b n=++…+．（1）求{b n}的通项公式；（2）若对任意的正整数n，当m∈[﹣1，1]时，不等式t2﹣2mt+＞b n恒成立，求实数t的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|（x﹣1）（x+2）＜0}，则A ∩B=（）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{﹣1，0，1}D．{0，1，2}【分析】解一元二次不等式，求出集合B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：B={x|﹣2＜x＜1}，A={﹣2，﹣1，0，1，2}；∴A∩B={﹣1，0}．故选：A．【点评】考查列举法、描述法表示集合，解一元二次不等式，以及交集的运算．2．（5分）下列说法正确的是（）A．零向量没有方向 B．单位向量都相等C．任何向量的模都是正实数D．共线向量又叫平行向量【分析】根据零向量，单位向量、共线向量、平行向量的定义即可判断出结论．【解答】解：零向量的方向是任意的；单位向量的模为1，但是不一定相等；零向量的模是0；共线向量又叫平行向量．因此只有D正确．故选：D．【点评】本题考查了零向量，单位向量、共线向量、平行向量的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）若a，b，c为实数，则下列结论正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＜b＜0，则a2＞abC．若a＜b，则D．若a＞b＞0，则【分析】根据特殊值法判断A，C、D，根据不等式的性质判断B．【解答】解：对于A，若c=0，不成立，对于B，若a＜b＜0，两边同乘以a，得a2＞ab，故B正确，对于C，令a=﹣1，b=1，显然不成立，对于D，令a=2，b=1，显然不成立，故选：B．【点评】本题考查了不等式的性质，考查特殊值法的应用，是一道基础题．4．（5分）若两平行直线l1：x﹣2y+m=0（m＞0）与l2：2x+ny﹣6=0之间的距离是，则m+n=（）A．0 B．1 C．﹣2 D．﹣1【分析】化简直线l2，利用两直线之间的距离为d=，求出m，即可得出结论．【解答】解：由题意，解得n=﹣4，即直线l2：x﹣2y﹣3=0，所以两直线之间的距离为d=，解得m=2，所以m+n=﹣2，故选C．【点评】本题考查两条平行线间的距离，考查学生的计算能力，属于中档题．5．（5分）已知{a n}为等差数列，其公差为﹣2，且a7是a3与a9的等比中项，S n 为{a n}的前n项和，n∈N*，则S10的值为（）A．﹣110 B．﹣90 C．90 D．110【分析】通过a7是a3与a9的等比中项，公差为﹣2，求出【解答】解：a7是a3与a9的等比中项，公差为﹣2，所以a72=a3•a9，∵{a n}公差为﹣2，∴a3=a7﹣4d=a7+8，a9=a7+2d=a7﹣4，所以a72=（a7+8）（a7﹣4），所以a7=8，所以a1=20，所以S10==110故选D【点评】本题是基础题，考查等差数列的前n项和，等比数列的应用，考查计算能力，常考题型．6．（5分）如图，D，C，B三点在地面同一直线上，从地面上C，D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知CD=200米，点C位于BD上，则山高AB等于（）A．100米B．50（+1）米C．米D．200米【分析】直角△ABC与直角△ABD有公共边AB，若设AB=x，则在直角△ABC与直角△ABD就满足解直角三角形的条件，可以用x表示出BC与BD的长，根据BD﹣BC=CD，即可列方程求解．【解答】解：设AB=x米，在直角△ACB中，∠ACB=45°，∴BC=AB=x米．在直角△ABD中，∠D=30°，BD=x，∵BD﹣BC=CD，∴x﹣x=200，解得：x=100（+1）．故选C．【点评】本题主要考查了解直角三角形的方法，解决的关键是注意到两个直角三角形有公共的边，利用公共边表示其它的量，从而把问题转化为方程问题．7．（5分）设变量x，y满足约束条件目标函数z=x+2y的最大值是（）A．4 B．2 C．D．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图：化目标函数z=x+2y为，由图可知，当直线过点A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为4．故选：A．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．8．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为（）A．尺B．尺C．尺D．尺【分析】设该女子每天比前一天多织d尺布，利用等差数列前n项和公式列出方程，能出结果．【解答】解：设该女子每天比前一天多织d尺布，由题意得：，解得d=．故选：C．【点评】本题考查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．9．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，）的图象如图所示，为了得到g（x）=2sin2x的图象，则只需将f（x）的图象（）A．向右平移个长度单位 B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向左平移个长度单位【分析】求出函数的解析式，利用坐标变换求解即可．【解答】解：由函数的图象可知：T=4×=π．ω==2．x=时，函数的最大值为：2．A=2，2=2sin（+φ），由函数的图象可得φ=．为了得到g（x）=2sin2x的图象，则只需将f（x）=2sin[2（x+）]的图象向右平移个长度单位．故选：B．【点评】本题考查三角函数的解析式的求法，函数的图象的平移，考查计算能力．10．（5分）若圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上至少有三个不同的点，到直线l：y=x+b的距离为2，则b取值范围为（）A．（﹣2，2）B．[﹣2，2]C．[0，2]D．[﹣2，2）【分析】先求出圆心和半径，比较半径和2，要求圆上至少有三个不同的点到直线l：y=x+b的距离为2，则圆心到直线的距离应小于等于，用圆心到直线的距离公式，可求得结果．【解答】解：圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0整理为（x﹣2）2+（y﹣2）2=18，∴圆心坐标为（2，2），半径为3，要求圆上至少有三个不同的点到直线l：y=x+b的距离为2则圆心到直线的距离d=≤，∴﹣2≤c≤2故选：B．【点评】本题考查直线和圆的位置关系，圆心到直线的距离等知识，是中档题．11．（5分）若偶函数f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递减，且f（3）=0，则不等式（x﹣1）f（x）＞0的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣3，1）∪（3，+∞） C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） D．（﹣3，1]∪（3，+∞）【分析】根据题意，由函数的奇偶性与单调性分析可得当x＜﹣3或x＞3时，f （x）＞0；当﹣3＜x＜3时，f（x）＜0，则分x＜﹣3或x＞3与﹣3＜x＜3两种情况讨论（x﹣1）f（x）＞0的解集，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，偶函数f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递减，则其在[0，+∞）上为增函数，又由f（3）=0，则f（﹣3）=0，则有当x＜﹣3或x＞3时，f（x）＞0；当﹣3＜x＜3时，f（x）＜0，当x＜﹣3或x＞3时，若（x﹣1）f（x）＞0，必有x﹣1＞0，解可得x＞3，当﹣3＜x＜3时，若（x﹣1）f（x）＞0，必有x﹣1＜0，解可得﹣3＜x＜1，综合可得：不等式（x﹣1）f（x）＞0的解集是（﹣3，1）∪（3，+∞）；故选：B．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意结合函数的奇偶性、单调性，对不等式进行分类讨论．12．（5分）若a，b是函数f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，c＜0且a，b，c这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则﹣2c的最小值等于（）A．9 B．10 C．3 D．【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=p，ab=q，再由a，b，c这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a，b的方程组，求得a，b的关系，代入化简，再由基本不等式得答案．【解答】解：∵a，b是函数f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，即a，b是一元二次方程x2﹣px+q=0（p＞0，q＞0）的两个根，∴根据一元二次方程的韦达定理可得a+b=p，ab=q，（a＞0，b＞0，a≠b），由题意可得ab=c2，b+c=2a，消去c可得ab=（2a﹣b）2=4a2﹣4ab+b2，即为（a﹣b）（4a﹣b）=0，解得b=4a（b=a舍去），则﹣2c=+﹣2（2a﹣b）=8a+≥2=，当且仅当8a=，即a=时，取得等号．则所求的最小值为．故选：D．【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，考查韦达定理和等差数列、等比数列中项的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）sin（﹣300°）=．【分析】由sin（α+2π）=sinα及特殊角三角函数值解之．【解答】解：sin（﹣300°）=sin（360°﹣300°）=sin60°=，故答案为．【点评】本题考查诱导公式及特殊角三角函数值．14．（5分）平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+2|=2．【分析】根据平面向量数量积的定义，求出•的值，再求向量的模长即可．【解答】解：由题意得，||=2，||=1，向量与的夹角为60°，∴•=2×1×cos60°=1，∴|+2|===2．故答案为：2．【点评】本题考查了平面向量数量积的定义以及向量模长的计算问题，是基础题目．15．（5分）两圆相交于点A（1，3）、B（m，﹣1），两圆的圆心均在直线x﹣y+c=0上，则m+c=3．【分析】由已知中两圆相交于点A（1，3）、B（m，﹣1），两圆的圆心均在直线x﹣y+c=0上，我们易得到直线x﹣y+c=0为线段AB的垂直平分线，即直线AB与直线x﹣y+c=0的斜率乘积为﹣1，且AB的中点落在直线x﹣y+c=0上，求出m，c后，即可得到答案．【解答】解：∵两圆的圆心均在直线x﹣y+c=0上，则直线x﹣y+c=0为线段AB的垂直平分线即K AB=﹣1=解得m=5则AB的中点（3，1）在直线x﹣y+c=0上，即3﹣1+c=0解得c=﹣2∴m+c=3故答案为：3【点评】本题考查的知识点圆与圆的位置关系，直线与直线垂直的斜率关系，其中根据已知判断出直线x﹣y+c=0为线段AB的垂直平分线，是解答本题的关键．16．（5分）若不等式x2＜|x﹣1|+a在区间（﹣3，3）上恒成立，则实数a的取值范围为[7，+∞）．【分析】分离参数得a＞x2﹣|x﹣1|，求出右侧分段函数在（﹣3，3）上的最值即可得出a的范围．【解答】解：由x2＜|x﹣1|+a得a＞x2﹣|x﹣1|，令f（x）=x2﹣|x﹣1|=，∴f（x）在（﹣3，﹣]上单调递减，在（﹣，3）上单调递增，∵f（﹣3）=5，f（3）=7，∴f（x）＜7，∴a的取值范围是[7，+∞）．故答案为[7，+∞）．【点评】本题考查了函数的单调性与最值的计算，属于中档题．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知公差不为零的等差数列{a n}中，a1=1，且a1，a3，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=2+n，求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．（2）利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）设数列{a n}公差为d，∵a1，a3，a9成等比数列，∴，∴（1+2d）2=1×（1+8d）．∴d=0（舍）或d=1，∴a n=n．（2）令；S n=b1+b2+b3+…+b n=（21+1）+（22+2）+（23+3）+…+（2n+n）=（21+22+…+2n）+（1+2+3+…+n）==，．【点评】本题考査了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）已知函数f（x）=，其中=（2cosx，sin2x），=（cosx，1），x∈R（1）求函数y=f（x）的最小正周期和单调递增区间：（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f（A）=2，a=且sinB=2sinC，求△ABC的面积．【分析】（1）求出f（x）=2sin（2x+）+1，由此能求出函数y=f（x）的最小正周期和函数y=f（x）的单调增区间．（2）由f（A）=2，求出A=，由，利用余弦定理得b=2c．由此能求出△ABC的面积．【解答】解：（1）∵=（2cosx，sin2x），=（cosx，1），x∈R，∴f（x）====2sin（2x+）+1，∴函数y=f（x）的最小正周期为T=π，单调递增区间满足﹣+2kπ+2kπ，k∈Z．解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z．∴函数y=f（x）的单调增区间是[﹣+kπ，]，k∈Z．（2）∵f（A）=2，∴2sin（2A+）+1=2，即sin（2A+）=，又∵0＜A＜π，∴A=，∵，由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣3bc=7，①∵sinB=2sinC，∴b=2c．②由①②得c2=，∴．【点评】本题考查三角函数的最小正周期、单调递增区间的求法，考查三角形面积的求法，考查同角三角函数、三角函数的最小正周期、三角函数的增区间、作弦定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．19．（12分）已知直线l：ax﹣y+1=0与x轴，y轴分别交于点A，B．（1）若a＞0，点M（1，﹣1），点N（1，4），且以MN为直径的圆过点A，求以AN为直径的圆的方程；（2）以线段AB为边在第一象限作等边三角形ABC，若a=﹣，且点P（m，）（m＞0）满足△ABC与△ABP的面积相等，求m的值．【分析】（1）求出A的坐标，即可求以AN为直径的圆的方程；（2）根据题意画出图形，令直线方程中x与y分别为0，求出相应的y与x的值，确定出点A与B的坐标，进而求出AB的长即为等边三角形的边长，求出等边三角形的高即为点C到直线AB的距离，由△ABP和△ABC的面积相等，得到点C 与点P到直线AB的距离相等，利用点到直线的距离公式表示出点P到直线AB 的距离d，让d等于求出的高列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．【解答】解：（1）由题意A（﹣，0），AM⊥AN，∴=﹣1，∵a＞0，∴a=1，∴A（﹣1，0），∵N（1，4），∴AN的中点坐标为D（0，2），|AD|=，∴以AN为直径的圆的方程是x2+（y﹣2）2=5；（2）根据题意画出图形，如图所示：由直线y=﹣x+1，令x=0，解得y=1，故点B（0，1），令y=0，解得x=，故点A（，0），∵△ABC为等边三角形，且OA=，OB=1，根据勾股定理得：AB=2，即等边三角形的边长为2，故过C作AB边上的高为，即点C到直线AB的距离为，由题意△ABP和△ABC的面积相等，则P到直线AB的距离d=|﹣m+|=，∵m＞0，∴m=．【点评】此题考查圆的方程，考查了一次函数的性质，等边三角形的性质以及点到直线的距离公式．20．（12分）某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．（1）用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润W（元）；（2）怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？【分析】（1）依题意，每天生产的伞兵的个数为100﹣x﹣y，根据题意即可得出每天的利润；（2）先根据题意列出约束条件，再根据约束条件画出可行域，设W=2x+3y+300，再利用T的几何意义求最值，只需求出直线0=2x+3y过可行域内的点A时，从而得到W值即可．【解答】解：（1）依题意每天生产的伞兵个数为100﹣x﹣y，所以利润W=5x+6y+3（100﹣x﹣y）=2x+3y+300（x，y∈N）．（2）约束条件为整理得目标函数为W=2x+3y+300，如图所示，作出可行域．初始直线l0：2x+3y=0，平移初始直线经过点A时，W有最大值．由得最优解为A（50，50），所以W max=550（元）．答：每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，为550（元）【点评】本题考查简单线性规划的应用，在解决线性规划的应用题时，其步骤为：①分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件，②由约束条件画出可行域，③分析目标函数Z与直线截距之间的关系，④使用平移直线法求出最优解，⑤还原到现实问题中．21．（12分）已知圆C的圆心在直线3x+y﹣1=0上，且x轴，y轴被圆C截得的弦长分别为2，4，若圆心C位于第四象限（1）求圆C的方程；（2）设x轴被圆C截得的弦AB的中心为N，动点P在圆C内且P的坐标满足关系式（x﹣1）2﹣y2=，求的取值范围．【分析】（1）设圆C的方程为：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，根据题意，有由①②③得a=1，⇒b=1﹣3a=﹣2，r2=9，即可得圆的方程；（2）在圆C的方程：（x﹣1）2+（y+2）2=9中令y=0，得A（1﹣，0），B（1+），N（1，0）．将x﹣1）2+（y+2）2＜9．（x﹣1）2﹣y2=代入=（1﹣﹣x，﹣y）（1+﹣x，﹣y）=（x﹣1）2+y2﹣5即可求解．【解答】解：（1）设圆C的方程为：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，根据题意，有①﹣②得b2=a2+3，…④由③④得4a2﹣3a﹣1=0，∵a＞0，解得a=1，⇒b=1﹣3a=﹣2，r2=9，∴圆C的方程为：（x﹣1）2+（y+2）2=9，（2）在圆C的方程：（x﹣1）2+（y+2）2=9中令y=0，得A（1﹣，0），B（1+），∴N（1，0）．∵动点P（x，y）在圆C内，∴（x﹣1）2+（y+2）2＜9…①将①代入（x﹣1）2﹣y2=得﹣，0=（1﹣﹣x，﹣y）（1+﹣x，﹣y）=（x﹣1）2+y2﹣5…②将（x﹣1）2﹣y2=代入②得=2y2﹣．【点评】本题考查圆的方程，与圆有关的最值问题，属于中档题．22．（12分）已知数列{a n}满足a n=n2+n，设b n=++…+．（1）求{b n}的通项公式；（2）若对任意的正整数n，当m∈[﹣1，1]时，不等式t2﹣2mt+＞b n恒成立，求实数t的取值范围．【分析】（1）b n=++…+=，由此利用裂项求和法能求出{b n}的通项公式．（2）由b n=，n∈N*，得到n=1时，b n取最大值，推导出当m∈[﹣1，1]时，t2﹣2mt＞0恒成立，令g（m）=t2﹣2mt，由，能求出实数t的取值范围．【解答】解：（1）∵数列{a n}满足a n=n2+n，∴b n=++…+=====．（2）∵b n=，n∈N*，令f（n）=2n+，n∈N*，则，由f′（n）＞0，得﹣＜n＜；由f′（n）＜0，得n＜﹣或n＞，∵n∈N*，∴n=1时，b n取最大值，∵对任意的正整数n，当m∈[﹣1，1]时，不等式t2﹣2mt+＞b n恒成立，∴当m∈[﹣1，1]时，不等式＞恒成立，即当m∈[﹣1，1]时，t2﹣2mt＞0恒成立，令g（m）=t2﹣2mt，则，解得t＞2或t＜﹣2．∴实数t的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查实数值的取值范围的求法，考查构造法、裂项求法、数列的单调性等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．。
【全国市级联考】四川省2017-2018学年高一下学期期末考试数学试题+答案
2018年春期高一期末教学质量监测试题数学一、选择题：共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知向量若，则实数A. 3B.C. 5D. 62. 在等差数列中，已知,则公差=A. B. C. 4 D.3. 在中，所对的边分别为，若则A. B. C. D.4. 在长方体中，底面为正方形，则异面直线与所成角是A. B. C. D.5. 已知正方形的边长为，为的中点, 则A. B. C. D.6. 设是空间中不同的直线，是不同的平面，则下列说法正确的是A. B.C. D.7. 四棱锥的三视图如图所示，则四棱锥的体积为A. B. C. D.8. 设，且，则A. B. C. D.9. 在中，点是上的点,且满足,,则的值分别是A. B. C. D.10. 在数列中，若，，则的值A. B. C. D.11. 如图，在四边形中，已知，，则的最小值为A. 1B. 2C. 3D. 412. 已知数列是公差不为零的等差数列，且，为其前项和，等比数列的前三项分别为，设向量()，则的最大值是A. B. C. D.二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
13. 不等式解集是__________．14. 已知满足约束条件，则的最小值是__________．15. 若互不相等的实数成等差数列，成等比数列，且则____．16. 在正四棱锥中,,若一个正方体在该正四棱锥内部可以任意转动，则正方体的最大棱长为________．三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. 已知向量,.（1）若与的夹角是，求；（2）若，求与的夹角.18. 在公差不为零的等差数列中，若首项，是与的等比中项.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.19. 如图，在四边形中，已知，,,.（1）求的大小；（2）若，求的面积.20. 如图所示，在四棱锥中，已知底面是矩形，是的中点，. （1）在线段上找一点,使得,并说明理由；（2）在（1）的条件下，求证.21. 已知二次函数,且不等式的解集为，对任意的都有恒成立. （1）求的解析式；（2）若不等式在上有解，求实数的取值范围.22. 设数列的前项和为，已知（），且.（1）证明为等比数列，并求数列的通项公式；（2）设，且证明；（3）在（2）小问的条件下，若对任意的，不等式恒成立，试求实数的取值范围.一、选择题：共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知向量若，则实数A. 3B.C. 5D. 6【答案】D【解析】分析：利用向量共线的条件，即可求解.详解：由题意向量，因为，所以，解得，故选D.点睛：本题主要考查了向量的共线定理及其应用，其中熟记向量的共线定理和向量的坐标运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2. 在等差数列中，已知,则公差=A. B. C. 4 D.【答案】A【解析】分析：由题意，利用等差数列的通项公式，列出方程组，即可得到答案.详解：由题意，等差数列中，，则，解得，故选A.点睛：本题主要考查了等差数列的通项公式的应用，其中熟记等差数列的通项公式，列出方程组求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力属于基础题.3. 在中，所对的边分别为，若则A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据三角形的正弦定理，得，即，即可求解.详解：在中，由正弦定理可得，即，又由，且，所以，故选B.点睛：本题主要考查了利用正弦定理解三角形问题，其中认真分析题设条件，恰当的选择正弦定理求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.4. 在长方体中，底面为正方形，则异面直线与所成角是A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据长方体的性质，把异面直线与所成的角，转化为与所成的角，在直角三角形中，即可求解.详解：由题意，在长方体中，，所以异面直线与所成的角，即为与所成的角，在直角中，因为底面为正方形，所以为等腰直角三角形，所以，即异面直线与所成的角为，故选A.点睛：本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中根据几何体的结构特征，把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角，利用解三角形的知识求解是解答的关键，着重考查了转化思想方法，以及推理与计算能力.5. 已知正方形的边长为，为的中点, 则A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据向量的加法法则，可得，再根据向量的数量积的运算性质，即可求解.详解：由题意，因为为的中点，根据向量的加法法则，可得，所以，故选A.点睛：本题主要考查了平面向量的基本定理和平面向量的数量积的运算，其中熟记平面向量的基本定理和数量积的运算公式是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6. 设是空间中不同的直线，是不同的平面，则下列说法正确的是A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：利用线面位置关系的判定定理和性质定理，逐一判，定即可得到答案.详解：由题意，由于是空间不同的直线，是不同的平面，A中，或，所以不正确；B中，，则是平行直线或异面直线，所以不正确；C中，或相交，所以不正确；D中，，由面面平行的性质定理得，所以是正确的，故选D.点睛：本题主要考查了空间中点、线、面的位置关系的判定，其中熟记空间中点、线、面位置的判定定理和性质定理是解答此类问题的关键，着重考查了推理与论证能力，属于中档试题.7. 四棱锥的三视图如图所示，则四棱锥的体积为A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由已知中的几何体的三视图可知，该几何体表示一个底面为边长为1的正方形，高为1的四棱锥，利用椎体的体积公式，即可求解其体积.详解：由题意，根据给定的几何体的三视图可知，该几何体表示一个底面为边长为1的正方形，高为1的四棱锥，所以几何体的体积为，故选B.点睛：在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑.求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解.8. 设，且，则A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据不等式的性质及指数函数的单调性，即可得到答案.详解：由题意，，且，A中，如，所以，所以不正确；B中，如，所以，所以不正确；C中，由，符号不能确定，所以不正确；D中，由指数函数为单调递增函数，且，所以是正确的，故选D.点睛：本题主要考查了不等式的性质，以及指数函数的单调性的应用，其中熟记不等式的基本性质和函数的单调性的应用是解答的关键，着重考查了推理，与论证能力，以及分析问题和解答问题的能力.9. 在中，点是上的点,且满足,,则的值分别是A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：利用平面向量的三角形法则和向量的共线定理，即可得出结论.详解：由题意，在中，为上的点，且满足，则，又由，所以，所以，故选C.点睛：本题主要考查平面向量的三角形法则的运算，以及平面向量的基本定理的应用，其中熟记平面向量的运算法则和平面向量的基本定理的应用是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.10. 在数列中，若，，则的值A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由叠加法求得数列的通项公式，进而即可求解的和.详解：由题意，数列中，，则，所以所以，故选A.点睛：本题主要考查了数列的综合问题，其中解答中涉及到利用叠加法求解数列的通项公式和利用裂项法求解数列的和，正确选择方法和准确运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.11. 如图，在四边形中，已知，，则的最小值为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】分析：建立平面直角坐标系，设出点的坐标，利用不等式求解，即可得到答案.详解：建立如图所示的平面直角坐标系，设点，因为，所以，则，所以，又由，所以，即的最大值为，所以，即的最小值为3，故选C.点睛：本题主要考查了平面向量的基本定理的应用，以及平面向量的数量积的运算和不等式的应用，其中建立直角坐标系转化为向量的坐标运算，合理利用不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.12. 已知数列是公差不为零的等差数列，且，为其前项和，等比数列的前三项分别为，设向量()，则的最大值是A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据题意利用等比中项公式求解，进而得到等差数列的通项公式和前n项和，求解向量的坐标，利用向量模的运算公式，转化为二次函数求解最值，即可求解.详解：由题意构成等比数列，所以，即，解得，又由，所以，所以，所以，所以，由二次函数的性质，可得当取得最大值，此时最大值为，故选B.点睛：本题主要考查了等差数列的通项公式和等差数列的前项和公式，以及向量的模的计算等知识点的综合应用，其中熟记等差、等比数列的通项公式和前项和公式，以及向量的基本运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
2017-2018学年四川省成都市高一下学期期末数学试卷(文科)Word版含解析
2017-2018学年四川省成都市高一下学期期末数学试卷(文科)Word版含解析2017-2018学年四川省成都市高一下学期期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1.已知集合 $A=\{x\in R|2x-3\geq0\}$，集合 $B=\{x\inR|(x-2)(x-1)<0\}$，则 $A\cap B=$（）A。
$\{x|x\geq\frac{3}{2}\}$ B。
$\{x|1\leq x<2\}$ C。
$\{x|\frac{3}{2}\leq x<2\}$ D。
$\{x|1<x<2\}$2.若 $a<b<c$，则下列不等式不能成立的是（）A。
$|a|>|b|$ B。
$a^2>ab$ C。
$b^2>ac$ D。
$c^2>bc$3.已知直线 $ 与直线 $l_2:(3-a)x-y+a=0$，若 $l_1\perpl_2$，则实数 $a$ 的值为（）A。
1 B。
2 C。
6 D。
1或24.若正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为4.已知底面边长为1，侧棱长为（）A。
$\frac{\pi}{2}$ B。
$4\pi$ C。
$2\pi$ D。
$\frac{4}{3}\pi$5.$\sin20^\circ\cos10^\circ-\cos160^\circ\sin10^\circ=$（）A。
$-\frac{1}{2}$ B。
$-\frac{\sqrt{3}}{2}$ C。
$\frac{1}{2}$ D。
$\frac{\sqrt{3}}{2}$6.已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），那么可得这个几何体的体积是（）A。
30cm$^3$ B。
40cm$^3$ C。
50cm$^3$ D。
60cm$^3$7.已知实数 $x$，$y$ 满足不等式组$\begin{cases}x+y\geq1\\x-y\leq3\end{cases}$，则 $2x-y$ 的取值范围是（）A。
四川省棠湖中学2017-2018学年高一数学下学期开学考试试题
2018年春四川省棠湖中学高一开学考试数学试题第一部分（选择题共60分）一．选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{1,2,3,4}A =，集合{2,1,2}B =-，则AB =（ ）A ．φB ．{1,2}C ．{2,2}-D ．{2,1,2,3}- 2.sin390︒的值为（ ）A ．2 B ．12 C ．2- D ．12- 3.已知函数2lg ,0()6,0x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩，则((4))f f -=（ ）A ．-3B ．0C ．1D ．-1 4.角α终边落在直线x y 2-=上，则tan 2α=（ ） A ．2 B ．12 C.43- D ．435.函数2()xf x x e =-的零点个数为（ ）A ．0B ．1 C.2 D ．3 6.已知函数()sin 1f x x x =++，若()3f a =-，则()f a -的值为（ ） A ．0 B ．3 C.4 D ．57．已知21tan -=α，则αααα22cos sin cos sin 2-的值是 （ ） A ．34- B ．3 C ．34D ．3-8．已知 1.20.8612,(),2log 22a b c -===，则,,a b c 的大小关系为 （ ）A ． c b a <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．b a c << 9.已知3cos()5αβ+=， 1sin()63πβ-=，且,αβ均为锐角，则sin()6πα+=（ ）A ．315 B ．415 C. 815- D ．815-10.已知函数(26)1,1()log ,1a a x x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩，对12,(,)x x ∀∈-∞+∞，总有1212()()0f x f x x x -<-12()x x ≠成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1(,1)3B ．1(0,)3 C. 11(,]32 D ．1[,1)211.在平面直角坐标系中，点O (0，0)，P (6，8)，将向量OP →绕点O 按逆时针方向旋转3π4后得向量OQ →，则点Q 的坐标是( )A ．(－72，－2)B ．(－72，2)C ．(－46，－2)D ．(－46，2)12.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<=3,lo g 130,lo g )(33x x x x x f ，若)()()(c f b f a f ==且c b a <<，则ca bc ab ++的取值范围为 （ ）A ．)4,1(B ．)5,1(C ．)7,4(D ．)7,5(第二部分（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.13.已知幂函数()y f x =的图像过点(8,2)，则(64)f -= ．14.已知集合{|25}A x x =-≤≤，{|121}B x m x m =+<<-，若B A ⊆，则实数m 的取值范围是 ．15.已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，1cos ,[0,]2()121,(,)2x x f x x x π⎧∈⎪⎪=⎨⎪-∈+∞⎪⎩，则不等式1(1)2f x -≤的解集为 ．16．若函数()x f 同时满足：①对于定义域上的任意，恒有()()0=-+x f x f ； ②对于定义域上的任意21,x x ，当21x x ≠时，恒有()()02121<--x x x f x f ；则称函数()x f 为“理想函数”．下列四个函数中：① ()x x f 1=；②()2x x f = ； ③()1212+-=x x x f ；④()⎩⎨⎧<≥-=022x xx x x f ，能被称为“理想函数”的有 （填相应的序号）．三、解答题 ：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本题满分10分）已知全集R U =，集合{}42A ≤=xx ,}{41B ≤<=x x ． （1）求)C (A U B ；（2）若集合}4|{a x a x C <<-=，且B C ⊆，求实数a 的取值范围．18.（本题满分12分）已知2sin ()cos(2)tan()()sin()tan(3)f παπαπααπααπ-⋅-⋅-+=-+⋅-+.（1）化简()f α； （2）若1()8f α=，且42ππα<<，求cos sin αα-的值．19.（本题满分12分）已知函数21()cos cos 2f x x x x =-+. （1）求()4f π的值；（2）求()f x 的单调递增区间；（3）当5[,]412x ππ∈时，求()f x 的值域.20.（本题满分12分） 函数f (x )＝6cos2ωx2＋3sin ωx －3(ω>0)在一个周期内的图象如图所示，A 为图象的最高点，B ，C 为图象与x 轴的交点，且△ABC 为正三角形．(1)求ω的值及函数f (x )的值域；(2)若f (x 0)＝8 35，且x 0∈)32,310(-，求f (x 0＋1)的值．21.（本题满分12分）近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司“Mobike ”计划在甲、乙两座城市共投资120万元，根据行业规定，每个城市至少要投资40万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P 与投入a （单位：万元）满足623-=a P ，乙城市收益Q 与投入a （单位：万元）满足241Q +=a ，设甲城市的投入为x （单位：万元），两个城市的总收益为)(x f （单位：万元）．（1）当甲城市投资50万元时，求此时公司总收益；（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？22.（本题满分12分） 已知函数4()lg4xf x x-=+，其中(4,4)x ∈-. （1）判断并证明函数()f x 的奇偶性；（2）判断并证明函数()f x 在(4,4)-上的单调性；（3）是否存在这样的负实数k ，使22(cos )(cos )0f k f k θθ-+-≥对一切R θ∈恒成立，若存在，试求出k 取值的集合；若不存在，说明理由.2018年春四川省棠湖中学高一开学考试数学参考答案一、选择题（每小题3分，共36分．）二、填空题（每小题3分，共12分．）13．-4 14．2 15．[,3]-∞ 16.④17．解：(1){}{2}42A ≤=≤=x x x x }{41C U >≤=x x x B 或）（……… {} 1)(≤=x x B C A U ………………（2）①当φ=C 时，即a a 4≥-，所以2a ≤，此时B C ⊆满足题意 2≤∴a②当φ≠C 时，a a 4<-，即2a >时，所以⎪⎩⎪⎨⎧≤≥->4142a a a ，解得：32≤<a综上，实数a 的取值范围是}{3≤a a18．解：(1)f (α)＝sin 2α·cos α·tan α（－sin α）（－tan α）＝sin α·cos α.---------5分(2)由f (α)＝sin α·cos α＝18可知，(cos α－sin α)2＝cos 2α－2sin α·cos α＋sin 2α＝1－2sin α·cos α＝1－2×18＝34又∵π4＜α＜π2， ∴cos α＜sin α，即cos α－sin α＜0.∴cos α－sin α＝－32.19.解：（1）∵21()cos cos 2f x x x x =-+，∴21()coscos 44442f ππππ=-+，112222=-+=.（2）由21()cos cos 2f x x x x =-+112(cos 21)222x x =-++ sin(2)6x π=-，当222262k x k πππππ-≤-≤+，k z ∈时，函数单调递增，解得函数的单调增区间为[,]()63k k k z ππππ-+∈（3）∵5[,]412x ππ∈，∴22363x πππ≤-≤sin(2)16x π≤-≤，故函数的值域为,1]2. 20.解：(1)由已知可得，f (x )＝3cos ωx ＋3sin ωx ＝2 3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3. 易知正三角形ABC 的高为2 3，从而BC ＝4.所以函数f (x )的最小正周期T ＝4×2＝8，即2πω＝8，则ω＝π4.所以函数f (x )的值域为[－23，23]． (2)已知f (x 0)＝8 35，由(1)得f (x 0)＝2 3sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＝8 35，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＝45.由x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，23，知πx 04＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35.故f (x 0＋1)＝2 3sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 04＋π4＋π3＝2 3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＋π4 ＝2 3⎣⎢⎡sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3cos π4＋⎦⎥⎤cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3sin π4＝2 3⎝ ⎛⎭⎪⎫45×22＋35×22＝7 65.21.解：（1）当50=x 时，此时甲城市投资50万元，乙城市投资70万元 所以总收益 2704165023)50(+⨯+-⨯=f =43.5（万元）… （2）由题知，甲城市投资x 万元，乙城市投资)120(x -万元所以2)120(41623)(+-+-=x x x f 262341++-=x x 依题意得⎩⎨⎧≥-≥4012040x x ，解得8040≤≤x故262341)(++-=x x x f )8040(≤≤x 令x t =，则]54,102[∈t （评分细则说明：1.函数)(x f 定义域没写扣1分）所以4426(4126234122+--=++-=）t t t y 当26=t ，即72=x 万元时，y 的最大值为44万元，所以当甲城市投资72万元，乙城市投资48万元时，总收益最大，且最大收益为44万元22.解：（1）∵44()lg lg ()44x xf x f x x x+--==-=--+， ∴()f x 是奇函数.（2）()f x 在(4,4)-上为减函数. 证明：任取12,(4,4)x x ∈-且12x x <， 则12121244()()lglg 44x x f x f x x x ---=-++ 121244lg44x x x x -+=⨯+-21121212164()lg 164()x x x x x x x x +--=+--， ∵2112164()x x x x +--2112164()0x x x x >--->， ∴21121212164()1164()x x x x x x x x +-->+--，得12()()0f x f x ->，得到12()()f x f x >，∴()f x 在(4,4)-上为减函数；（3）∵22(cos )(cos )f k f k θθ-≥--22(cos )f k θ=-， ∵()f x 在(4,4)-上为减函数，∴222204cos 44cos 4cos cos k k k k k θθθθ<⎧⎪-<-<⎪⎨-<-<⎪⎪-≤-⎩对R θ∈恒成立 由22cos cos k k θθ-≤-对R θ∈恒成立得：22cos cos k k θθ-≤-对R θ∈恒成立，令2211cos cos(cos )42y θθθ=-=--，∵cos [1,1]θ∈-，∴1[2,]4y ∈-， ∴22k k -≤-，得1k ≤-，由4cos 4k θ-<-<对R θ∈恒成立得：33k -<<，由224cos 4k θ-<-<对R θ∈恒成立得：22k -<<，即综上所得：21k -<≤-，所以存在这样的k ，其范围为21k -<≤-.。
四川省2017—2018学年高一数学下学期期末考试试卷(一)
四川省2017—2018学年高一数学下学期期末考试试卷（一）（考试时间90分钟满分100分）一、单项选择题（每小题6分，满分36分）1.在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定2．已知||=1，||=6，（﹣）=2，则向量在方向上的投影为（）A．B．C．3 D．3．如图所示为一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．24π﹣16 B．24π+16 C．24π﹣18 D．24π+484．如图所示为函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象，其中A，B两点之间的距离为5，那么f（﹣1）=（）A．2 B．C．D．﹣25．若实数x，y满足且z=2x+y的最小值为4，则实数b的值为（）A．0 B．2 C．D．3=a m+a n．数列{a n}的前n 6．已知数列{ a n}满足a1=，且对任意的正整数m，n，都有a m+n项和为S n，若恒有＜T（n∈N*），则T的最小整数值为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（每题6分，共24分）7.已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的最大值为．8．已知=1，tan（β﹣α）=﹣，则tan（β﹣2α）=．9．若数列{a n}满足﹣=d（n∈N+，d诶常数），则称数列{a n}为“调和数列”，已知正项数列{}为“调和数列”，且b1+b2+…b9=90，则b4b6的最大值是．10．不等式++＞0对满足a＞b＞c恒成立，则λ的取值范围．三、解答题（11题12分，12题13分，13题15分，共40分，解答应写出文字文明、证明过程或推演步骤）．11．已知f（x）=，其中=（2cosx，﹣sin2x），=（cosx，1）（x∈R）．（1）求f（x）的周期和单调递减区间；（2）在△ABC 中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，f（A）=﹣1，a=，=3，求边长b和c的值（b＞c）．12．解关于x的不等式＞﹣1（a∈R）．13．已知数列{a n}的前n项和S n=﹣a n﹣（）n﹣1+2（n为正整数）．=a n+（）n﹣1，并求数列{a n}的通项公式；（1）证明：a n+1（2）若=，T n=c1+c2+…+c n，求T n．参考答案一、单项选择题1．C 2．D．3．A．4．A．5．D 6．C．二、填空题7．答案为：18．答案为：﹣19．答案为：10010．答案为λ＜4．三、解答题11．解：（Ⅰ）由题意知：f（x）==，∴f（x）的最小正周期T=π．…由2kπ≤2x+≤2kπ+π，k∈z，求得，k∈z．∴f（x）的单调递减区间[，k∈z．…（2）∵f （A）==﹣1，∴，…又＜2A+＜，∴2A+=π，A=．…∵即bc=6，由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣3bc，7=（b+c）2﹣18，b+c=5，…又b＞c，∴b=3，c=2．…12．解：不等式＞﹣1可化为＞0①a＞1时，解集为（﹣∞，）∪（2a，+∞）；②a=1时，解集为（﹣∞，2）∪（2，+∞）；③a ＜1时，解集为（﹣∞，2a ）∪（，+∞）．13．解：（1）∵数列{a n }的前n 项和（n 为正整数），∴当n=1时，S 1=a 1=﹣a 1﹣1+2，∴a 1=．当n ≥2时，S n ﹣1=﹣a n ﹣1﹣（）n ﹣2+2，∴S n ﹣S n ﹣1=a n =﹣a n +a n ﹣1﹣（）n ﹣1+（）n ﹣2，∴2a n =a n ﹣1+（）n ﹣1，∴2a n +1=a n +（）n ，∴．设b n =2n a n ，∴b n ﹣b n ﹣1=1，即当n ≥2时b n ﹣b n ﹣1=1又∵b 1=2a 1=1∴数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列． ∴b n =1+（n ﹣1）×1=n=2na n ，∴a n =．（2）∵，∴=（n +1）（）n ，∴T n =2×+3×（）2+4×（）3+…+（n +1）（）n ，①T n =2×（）2+3×（）3+4×（）4+…+（n +1）（）n +1，②由①﹣②得T n =1+（）2+（）3+…+（）n ﹣（n +1）（）n +1=﹣，∴T n =3﹣．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
四川省棠湖中学2017-2018学年度高一下期末教学质量检测数学试题第一部分（选择题共60分）一.选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{1,2,3}A =，集合{2,2}B =-，则A B =A ．φB ．{2}C ．{2,2}-D ．{2,1,2,3}-2.=0750cosA ．12 C ．．12- 3.已知函数lg ,0()12,0x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩，则((2))f f -=A ．-3B ．0C ．1D ．-14．设单位向量)sin ,322(α=a ，则cos 2α的值为A ．79B ．12-C ． 79-D 5．设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1tan 7α=，1tan 3β=，则2αβ+= A ． 6π B ．4π C ． 3π D ．2π 6．设m n 、是两条不同的直线，αβ、是两个不同的平面，下列命题中正确的命题是A ．,,m m n αβαβ⊥⊂⊥⇒⊥nB ．,,m n m n αβαββ⊥=⊥⇒⊥IC ．,,//m n m n αβαβ⊥⊥⇒⊥D ．//,,//m n m n αβαβ⊥⇒⊥7.已知||2a = ，(2)a b a -⊥ ，则b 在a 方向上的投影为A ． -4B ． -2 C. 2 D ．48.设00sin14cos14a =+，00sin16cos16b =+，c =,,a b c 的大小关系是 A ．a b c << B ．a c b << C. b c a << D ．b a c <<9. 已知正实数n m ,满足222=+++n m n m ，则mn 的最大值为A ．236-B ．2 C.246- D ．310.对于非零向量c b a ,,，下列命题正确的是A ．若),(02121R b a ∈=+λλλλ，则021==λλB ．若b a //，则a 在b 上的投影为||aC. 若⊥，则⋅2)(⋅= D ．若⋅=⋅，则=11．在△ABC 中，，P 是BN 上的一点，若，则实数m 的值为A ．3B ．1C ．D ． 12.已知0,0>>y x .若m m yx x y 2822+>+恒成立，则实数的取值范围是 A.24-≤≥m m 或 B.42-≤≥m m 或 C.42<<-m D.24<<-m第二部分（非选择题 共90分）二．填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.13.23(log 9)(log 4)= ．14．若变量,x y 满足约束条件010210x y y x x -≤⎧⎪≤-⎨⎪-≥⎩，则2z x y =-的最小值为 ．15.过长方体的一个顶点的三条棱长分别是1、2、5，且它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是 ．16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，BC 边上的高与BC 边长相等，则bc a b c c b 2++的最大值是 ．三．解答题 ：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知(,)2παπ∈，且4sin 5α=. （I ）求tan()4πα-的值； （II ）求2sin 2cos 1cos 2ααα-+的值.18. （本小题满分12分）已知向量(cos ,sin )a αα= ，(cos ,sin )b ββ=，||a b -= （I ）求cos()αβ-的值；（II ）若02πα<<，02πβ-<<，且4sin 5β=-，求sin α的值.19.（本小题满分12分）已知等差数列}{n a 的前项和为n S ，且28,373==S a ，在等比数列}{n b 中，8,443==b b .（I ）求n a 及n b ；（II ）设数列}{n n b a 的前项和为n T ，求n T .20.（本小题满分12分） 已知函数()2sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><的图像与直线2y =两相邻交点之间的距离为，且图像关于3x π=对称.（I ）求()y f x =的解析式；（II ） 先将函数()f x 的图象向左平移6π个单位，再将图像上所有横坐标伸长到原来的倍，得到函数()g x的图象.求()g x 的单调递增区间以及()g x ≥.21.（本小题满分12分）如图1所示，在等腰梯形ABCD 中， ,3,15,BE AD BC AD BE ⊥===.把ABE ∆沿BE 折起，使得AC =A BCDE -.如图2所示.（I ）求证：面ACE ⊥面ABD ；（II ）求平面ABE 与平面ACD 所成锐二面角的余弦值.22.（本小题满分12分） 已知函数4()lg 4x f x x-=+，其中(4,4)x ∈-. （I ）判断并证明函数()f x 的奇偶性；（II ）判断并证明函数()f x 在(4,4)-上的单调性；（III ）是否存在这样的负实数k ，使22(cos )(cos )0f k f k θθ-+-≥对一切R θ∈恒成立，若存在，试求出k 取值的集合；若不存在，说明理由.四川省棠湖中学2017-2018学年度高一下期末教学质量检测数学试题答案一．选择题1-5:BACAB 6-10:DDBCC 11-12:CD二．填空题13.4 14． 6- 15.π10 16.2217.解：（1）∵(,)2παπ∈，4sin 5α=， ∴3cos 5α=-，则4tan 3α=-， ∴41tan 13tan()7441tan 13πααα----===+-. （2）由222sin 2cos 2sin cos cos 1cos 22cos 11ααααααα--=+-+2sin cos 2cos ααα-=，2tan 11126α-==-.18.解：（1()βα-=∙==cos ,1131621313422=+∙-∴=- ()135cos =-∴βα （2）由πβαβππα<-<∴<<-<<002,20又()()53cos ,1312sin 54sin ,135cos ==-∴-==-ββαββα ()[]651654135531312sin sin =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⨯=+-=∴ββαα19解：（1）设}{n a 的公差为d ，则由题有12821732111==⇒⎩⎨⎧=+=+d a d a d a ，∴n a n =. ∵在等比数列}{n b 中， 8,443==b b ，∴}{n b 的公比为234==b b q ，∴1332--==n n n q b b ，即12-=n n b . （2）由（1）知n a n =，12-=n n b ，∴12-⋅=n n n n b a .∴132********-⨯++⨯+⨯+⨯+=n n n T ， n n n n n T 22)1(2322212132⨯+⨯-++⨯+⨯+⨯=- ， ∴12)1(12122)2221(212+⋅-=---⨯=++++-⨯=-n n nn n n n n n T ，即12)1(+⋅-=n n n T 20.解：解析（1）由已知可得T π=,2ππω=，∴2ω= 又()f x 的图象关于3x π=对称， ∴232k ππϕπ⋅+=+，∴6k πϕπ=-，k Z ∈ ∵22ππϕ-<<，∴6πϕ=-.所以，()2sin(2)6f x x π=-（2）由（1）可得()2sin(2)6f x x π=-，∴()2sin()6g x x π=+， 由22262k x k πππππ-≤+≤+得，22233k x k ππππ-≤≤+， ()g x 的单调递增区间为2[2,2]33k k ππππ-+，k Z ∈.∵2sin()6x π+≥sin()62x π+≥222363k x k πππππ+≤+≤+， ∴22,62x k x k k ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ，.21解：（1）证明：在等腰梯形ABCD 中3,15,BC AD BE AD ==⊥，可知6,9AE DE ==.因为3,BC BE BE AD==⊥，可得6CE =.又因为6,AE AC ==222AC CE AE =+，则AE EC ⊥.又,BE AE BE EC E ⊥⋂=，可得AE ⊥面BCDE ，故AE BD ⊥.又因为tanDE DBE BE ∠===060DBE ∠=，tanBC BEC BE ∠===，则030BEC ∠=， 所以CE BD ⊥，又AE EC E ⋂=，所以BD ⊥面ACE ，又BD ⊂面ABD ，所以面ABD ⊥面ACE ；（2）设EC BD O ⋂=，过点O 作//OF AE 交AC 于点，以点O 为原点，以,,OB OC OF 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O BCF -.在BCE ∆中，∵030BEO ∠=， BO EO ⊥，∴93,,22EO CO BO ===39,0,,0,0,,022B C E ⎫⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∵1//,,62FO AE FO AE AE ==， ∴3FO =，则()90,0,3,0,,62F A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∵//,9DE BC DE =，∴3ED BC = ，∴D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，∴()()93,0,0,0,6,0,6,6,,022BE AE CA CD ⎫⎛⎫===-=-⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设平面ABE 的法向量为()1111,,n x y z = ，由11·0{·0n AE n BE ==，得11160902z x y =+=，取1x ABE的法向量为)11,0n =- ， 设平面ACD 的一个法向量为()2222,,n x y z = ，由22·0{·0n CA n CD ==，得1111660{3022y z x y -+=--=， 取11x =，可得平面ABE的一个法向量为(21,n =-- . 设平面ABE 与平面ACD 所成锐二面角为θ，则1212·cos 55n n n n θ=== ， 所以平面ABE 与平面ACD. 22.解：（1）∵44()lglg ()44x x f x f x x x +--==-=--+， ∴()f x 是奇函数.（2）()f x 在(4,4)-上为减函数.证明：任取12,(4,4)x x ∈-且12x x <， 则12121244()()lg lg 44x x f x f x x x ---=-++ 121244lg 44x x x x -+=⨯+-21121212164()lg 164()x x x x x x x x +--=+--， ∵2112164()x x x x +--2112164()0x x x x >--->， ∴21121212164()1164()x x x x x x x x +-->+--，得12()()0f x f x ->，得到12()()f x f x >，∴()f x 在(4,4)-上为减函数；（3）∵22(cos )(cos )f k f k θθ-≥--22(cos )f k θ=-， ∵()f x 在(4,4)-上为减函数，∴222204cos 44cos 4cos cos k k k k k θθθθ<⎧⎪-<-<⎪⎨-<-<⎪⎪-≤-⎩对R θ∈恒成立 由22cos cos k k θθ-≤-对R θ∈恒成立得： 22cos cos k k θθ-≤-对R θ∈恒成立， 令2211cos cos (cos )42y θθθ=-=--， ∵cos [1,1]θ∈-，∴1[2,]4y ∈-，∴22k k -≤-，得1k ≤-，由4cos 4k θ-<-<对R θ∈恒成立得：33k -<<，由224cos 4k θ-<-<对R θ∈恒成立得：22k -<<， 即综上所得：21k -<≤-，所以存在这样的k ，其范围为21k -<≤-.。