[实用参考]中考数学证明题解析.doc
初三数学证明题(含答案)
1 3 2 4 ．即 OEG ODG 90 ．
GE 是⊙O 的切线．
（证法二）连接 OE，OG ．
1分
∵ AG GD，CO OD ，
OG∥ AC ．
2分
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6分 8分
10 分 12 分
1 2，3 4 ．
4分
∵OC=OE．
∵点 M 是弧 AB 的中点
∴弧 AM=弧 BM ∴∠ACM=∠BCM ∵∠ACM=∠ABM ∴∠BCM=∠ABM ∵∠BMC=∠BMN
„„„7 分
∴△MBN∽△MCB
BM MN ∴ MC BM
∴BM2=MC·MN
„„„„„„„„8 分
∵AB 是⊙O 的直径，弧 AM=弧 BM
∴∠AMB=90°,AM=BM
∴所以 P1P2 = 2 2002 1602 =240, ∴台风影响的时间 t = 240 = 8(小时).
30
（2010 陕西省）23．如图，在 RT△ABC 中∠ABC=90°，斜边 AC 的垂直 平分线交 BC 与 D 点，交 AC 与 E 点，连接 BE （1）若 BE 是△DEC 的外接圆的切线，求∠C 的大小？ （2）当 AB=1,BC=2 是求△DEC 外界圆的半径
（1）证明：AF 平分∠BAC；
A
（2）证明：BF＝FD；
（3）若 EF＝4，DE＝3，求 AD 的长．
O
D
25．(本题 10 分)证明（1）连结 OF ∵FH 是⊙O 的切线 ∴OF⊥FH „„„„„1 分 ∵FH∥BC ， ∴OF 垂直平分 BC „„„2 分
B
E
C
F
H
A 12
∴ BF FC
中考数学四边形经典证明题含答案
1．如图，正方形ABCD 和正方形A ′OB ′C ′是全等图形，则当正方形A?′OB ′C ′绕正方形ABCD 的中心O 顺时针旋转的过程中．（1）四边形OECF 的面积如何变化．（2）若正方形ABCD 的面积是4，求四边形OECF 的面积．解：在梯形ABCD 中由题设易得到：△ABD 是等腰三角形，且∠ABD=∠CBD=∠ADB=30°．过点D 作DE ⊥BC ，则DE=12BD=23，BE=6．过点A 作AF ⊥BD 于F ，则AB=AD=4．故S 梯形ABCD =12+43．2．如图，ABCD 中，O 是对角线AC 的中点，EF ⊥AC 交CD 于E ，交AB 于F ，问四边形AFCE 是菱形吗？请说明理由．解：四边形AFCE 是菱形．∵四边形ABCD 是平行四边形．∴OA=OC ，CE ∥AF ．∴∠ECO=∠FAO ，∠AFO=∠CEO ．∴△EOC ≌△FOA ，∴CE=AF ．而CE ∥AF ，∴四边形AFCE 是平行四边形．又∵EF 是垂直平分线，∴AE=CE ．∴四边形AFCE 是菱形．3．如图，在△ABC 中，∠B=∠C ，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，?垂足分别为E 、F ．求证：（1）△BDE ≌CDF ．（2）△ABC 是直角三角形时，四边形AEDF 是正方形．19．证明：（1）,90D BC BD CD DE AB DFAC BED CFD BC 是的中点△BDE ≌△CDF ．（2）由∠A=90°，DE ⊥AB ，DF ⊥AC 知：AEDF BEDCFE DE DF 四边形是矩形矩形AEDF 是正方形．4．如图，ABCD 中，E 、F 为对角线AC 上两点，且AE=CF ，问：四边形EBFD 是平行四边形吗？为什么？解：四边形EBFD 是平行四边形．在ABCD 中，连结BD 交AC 于点O ，则OB=OD ，OA=OC ．又∵AE=CF ，∴OE=OF ．∴四边形EBFD 是平行四边形．5．如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝3 cm ，BC ＝4 cm ．现将A ，C 重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF ，试求AF 的长和重叠部分△AEF 的面积．【提示】把AF 取作△AEF 的底，AF 边上的高等于AB ＝3．由折叠过程知，EF 经过矩形的对称中心，FD ＝BE ，AE ＝CE ＝AF ．由此可以在△ABE 中使用勾股定理求AE ，即求得AF 的长．【答案】如图，连结AC ，交EF 于点O ，由折叠过程可知，OA ＝OC ，∴O 点为矩形的对称中心．E 、F 关于O 点对称，B 、D 也关于O 点对称．∴BE ＝FD ，EC ＝AF ，。
中考数学几何证明题
中考数学几何证明题正文第一篇：中考数学几何证明题中考几何证明题一、证明两线段相等1、真题再现18．如图3，在梯形abcd中，ad∥bc，ea⊥ad，m是ae上一点，2．如图，在△abc中，点p是边ac上的一个动点，过点p作直线mn∥bc，设mn交∠bca的平分线于点e，交∠bca的外角平分线于点f．(1)求证：pe＝pf；(2)*当点p在边ac上运动时，四边形bcfe可能是菱形吗？说明理由；ap 3(3)*若在ac边上存在点p，使四边形aecf是正方形，且．求此时∠abc2的大小．c二、证明两角相等、三角形相似及全等1、真题再现∠bae?∠mce，∠mbe?45．（1）求证：be?me．（2）若ab?7，求mc的长．bne图321、（8分）如图11，一张矩形纸片abcd，其中ad=8cm，ab=6cm，先沿对角线bd折叠，点c落在点c′的位置，bc′交ad于点g. （1）求证：ag=c′g；（2）如图12，再折叠一次，使点d与点a重合，的折痕en，en角ad于m，求em的长.2、类题演练1、如图，分别以rt△abc的直角边ac及斜边ab向外作等边△acd、等边△abe．已知∠bac=30o，ef⊥ab，垂足为f，连结df． e （1）试说明ac=ef；（2）求证：四边形adfe是平行四边形．22、（9分）ab是⊙o的直径，点e是半圆上一动点（点e与点a、b都不重合），点c是be延长线上的一点，且cd⊥ab，垂足为d，cd与ae交于点h，点h与点a不重合。
（1）（5分）求证：△ahd∽△cbd（2）（4分）连hb，若cd=ab=2，求hd+ho的值。
ao dbe 20．如图9，四边形abcd是正方形，be⊥bf，be=bf，ef与bc交于点g。
（1）求证：△abe≌△cbf；（4分）（2）若∠abe=50o，求∠egc的大小。
（4分）cb图9第20题图如图8，△aob和△cod均为等腰直角三角形，∠aob＝∠cod＝90o，d在ab上．（1）求证：△aoc≌△bod；（4分）（2）若ad＝1，bd＝2，求cd的长．（3分）o图8 2、类题演练1、(肇庆20XX) (8分)如图，已知∠acb＝90°，ac＝bc，be⊥ce于e，ad⊥ce于d，ce与ab相交于f．(1)求证：△ceb≌△adc；e (2)若ad＝9cm，de＝6cm，求be 及ef的长．acbc、cd、da上的2、（佛山20XX）已知，在平行四边形abcd中，efgh分别是ab、点，且ae=cg，bf=dh，求证：?aeh≌?cgfb fc3、（茂名20XX）如图，已知oa⊥ob，oa＝4，ob＝3，以ab为边作矩形c abcd，使ad＝a，过点d作de垂直oa的延长线交于点e．(1)证明：△oab∽△eda；bd (2)当a为何值时，△oab≌△eda？*请说明理由，并求此时点c到oe的距离．o a e 图1三、证明两直线平行1、真题再现（20XX年）22．(10分)如图10-1，在平面直角坐标系xoy中，点m在x轴的正半轴上，⊙m交x轴于a、b两点，交y轴于c、d两点，且c为ae的中点，ae 交y轴于g点，若点a的坐标为（－2，0），ae?8 (1)(3分)求点c的坐标.(2)(3分)连结mg、bc，求证：mg∥bc图10－12、类题演练1、(湛江20XX) (10分)如图，在□abcd中，点e、f是对角线bd上的两点，且be ＝df．d求证：(1)△abe≌△cdf；(2)ae∥cf．c四、证明两直线互相垂直1、真题再现18．（７分）如图7，在梯形abcd中，ad∥bc, ab?dc?ad，?adc?120．（1）（３分）求证：bd?dcbcbd （2）（４分）若ab?4，求梯形abcd的面积图7o ae 图22、类题演练1．已知：如图，在△abc中，d是ab边上一点，⊙o过d、b、c三点，?doc?2?acd?90?．（1）求证：直线ac是⊙o的切线；（2）如果?acb?75?，⊙o的半径为2，求bd的长．2、如图，以△abc的一边ab为直径作⊙o，⊙o与bc边的交点d恰好为bc的中点.过点d作⊙o的切线交ac边于点e.（1）求证：de⊥ac；（2）若∠abc=30°，求tan∠bco的值.（第2题图）3．（20XX年深圳二模）如图所示，矩形abcd中，点e在cb的延长线上，使ce＝ac，连结ae，点f是ae 的中点，连结bf、df，求证：bf⊥dfcd于f，若⊙o的半径为r求证：ae·af＝2 r2、类题演练1．在△abc中，ac＝bc，∠acb＝90°，d、e是直线ab上两点．∠dce＝45°（１）当ce⊥ab时，点d与点a重合，显然de＝ad＋be（不必证明）（２）如图，当点d不与点a重合时，求证：de＝ad＋be（３）当点d在ba的延长线上时，（２）中的结论是否成立？画出图形，说明理由．2.（本小题满分10分）如图，已知△abc，∠acb=90o，ac=bc，点e、f在ab上，∠ecf=45o，（1）求证：△acf∽△bec（5分）（2）设△abc的面积为s，求证：af·be=2s（3）3.（2）如图，ab为⊙o的直径，bc切⊙o于b，ac交⊙o于d.①求证：ab=ad·ac. a ②当点d运动到半圆ab什么位置时，△abc为等腰直角三角形，为什么？五、证明比例式或等积式1、真题再现1．已知⊙o的直径ab、cd互相垂直，弦ae交第3题图b第3（2）题图c4、（本小题满分9分）如图，ab为⊙o的直径，劣弧bc?be，bd∥ce，连接ae并延长交bd于d．求证：（1）bd是⊙o的切线；2、类题演练1、如图5，在等腰梯形abcd中，ad∥bc．求证：∠a＋∠c＝180°·ad．（2）ab?acb第4题图??5. 如图所示，⊙o中，弦ac、bd交于e，bd?2ab。
中考数学专题测试-四边形的证明与计算(答案解析)
【考点分析】一、证明两线段相等1.两全等三角形中对应边相等。
2.同一三角形中等角对等边。
3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。
4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。
5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。
6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。
7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。
8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。
9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。
10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。
11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。
12.两圆的内（外）公切线的长相等。
二、证明两角相等1.两全等三角形的对应角相等。
2.同一三角形中等边对等角。
3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。
4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。
5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。
6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
8.相似三角形的对应角相等。
9.圆的内接四边形的外角等于内对角。
10.等于同一角的两个角相等三、证明两直线平行1.垂直于同一直线的各直线平行。
2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。
3.平行四边形的对边平行。
4.三角形的中位线平行于第三边。
5.梯形的中位线平行于两底。
6.平行于同一直线的两直线平行。
7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。
四、证明两直线互相垂直1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。
2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。
3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。
4.邻补角的平分线互相垂直。
中考数学试卷典型例题解析
例题1：一元二次方程的应用题题目：某工厂生产一批产品，若每天生产80件，则生产完这批产品需要10天；若每天生产100件，则生产完这批产品需要8天。
问：这批产品共有多少件？解析：设这批产品共有x件。
根据题意，我们可以列出以下方程：80 × 10 = x100 × 8 = x解这个方程组，我们可以得到：x = 800答案：这批产品共有800件。
例题2：几何证明题题目：已知：在三角形ABC中，AB=AC，点D是BC边上的一个点，AD⊥BC。
证明：∠B=∠C。
解析：证明：由于AB=AC，根据等腰三角形的性质，我们有∠ABC=∠ACB。
又因为AD⊥BC，所以∠ADB=∠ADC=90°。
在直角三角形ADB和ADC中，∠BAD=∠CAD，所以三角形ADB和ADC是相似的。
根据相似三角形的性质，我们有：∠B/∠A = ∠C/∠A由于∠A是公共角，可以约去，得到：∠B = ∠C答案：证明完成，∠B=∠C。
例题3：函数问题题目：已知函数f(x) = 2x - 3，求函数f(x)在x=2时的函数值。
解析：要求函数f(x)在x=2时的函数值，我们只需将x=2代入函数f(x)中。
f(2) = 2 × 2 - 3f(2) = 4 - 3f(2) = 1答案：函数f(x)在x=2时的函数值为1。
例题4：代数式求值题目：已知a+b=5，ab=6，求(a+b)^2的值。
解析：首先，我们知道(a+b)^2可以展开为a^2 + 2ab + b^2。
由题意，a+b=5，ab=6，代入上式，得：(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2(a+b)^2 = (a+b)^2 + 2ab(a+b)^2 = 5^2 + 2×6(a+b)^2 = 25 + 12(a+b)^2 = 37答案：(a+b)^2的值为37。
通过以上例题解析，我们可以看到中考数学试卷中的典型题目涉及了代数、几何、函数等多个知识点，考生需要掌握扎实的数学基础和解题技巧。
初三数学证明题(含答案)
（2010哈尔滨）5.如图，、是O 的切线，切点分别是A 、B ，如果∠P ＝60°,那么∠等于（ ） DA.60°B.90°C.120°D.150°(2010台州市)如图，正方形边长为4，以为直径的半圆O 交对角线于E ．则直线与⊙O 的位置关系是 ▲ ，阴影部分面积为(结果保留π) ▲ ．答案：相切（2分），-6π（桂林2010）25．（本题满分10分）如图，⊙O 是△的外接圆，是⊙O 的切线，切点为F ，∥，连结交于E ，∠的平分线交于D ，连结．（1）证明：平分∠；（2）证明：＝；（3）若＝4，＝3，求的长．25．(本题10 分)证明（1）连结 ∵是⊙O 的切线∴⊥ ……………1分∵∥ ，∴垂直平分 ………2分∴BF FC =∴平分∠ …………3分（2）证明：由（1）及题设条件可知∠1=∠2，∠4=∠3，∠5=∠2 ……………4分 ∴∠1+∠4=∠2+∠3∴∠1+∠4=∠5+∠3 ……………5分 ∠∠∴ ………………6分（3）解： 在△和△中∵∠5=∠2=∠1，∠∠F∴△∽△ ………………7分∴BF AFFE BF=， ……………8分 ∴2BF FE FA =⋅∴2BF FA FE= ……………………9分A B C D EOA BCDE O12345ABCD EO 12A BD OE （第15题）∴274944 FA==∴4974-214…………………10分（2010年兰州）6.已知两圆的半径R、r分别为方程0652=+-xx的两根，两圆的圆心距为1，两圆的位置关系是A．外离 B．内切 C．相交D．外切答案 B（2010年兰州）10.如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为A．2 B．3 C．3 D．23答案 D（2010年无锡）6．已知两圆内切，它们的半径分别为3和6，则这两圆的圆心距d的取值满足（▲）A．9d>B．9d=C．39d<<D．3d=答案 D（2010年无锡）27．（本题满分10分）如图，已知点(63,0),(0,6)A B，经过A、B的直线l以每秒1个单位的速度向下作匀速平移运动，与此同时，点P从点B出发,在直线l上以每秒1个单位的速度沿直线l向右下方向作匀速运动．设它们运动的时间为t秒．（1）用含t的代数式表示点P的坐标；（2）过O作⊥于C,过C作⊥x轴于D,问：t为何值时,以P为圆心、1为半径的圆与直线相切？并说明此时P与直线的位置关系．BAOPDClxy答案解：⑴作⊥于H ﹙如图1﹚，∵＝6，＝36，∴∠＝30°∵＝t ，∠＝30°，∴＝12t ，＝t 23 ; ∴＝t t t 236216-=--，∴P ﹙t 23，t 236-﹚⑵当⊙P 在左侧与直线相切时﹙如图2﹚， ∵＝t -6，∠＝30°∴＝)6(21t -t 213-= ∴t t t 233213-=--=由1233=-t ，得34=t ﹙s ﹚,此时⊙P 与直线相割．当⊙P 在左侧与直线相切时﹙如图3﹚，323)6(21-=--=t t t由1323=-t ，得38=t ﹙s ﹚，此时⊙P 与直线相割． 综上，当s t 34=或s 38时，⊙P 与直线相切，⊙P 与直线相割．（2010年兰州）26.（本题满分10分）如图，已知是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 的直线与的延长线交于点P ，，∠2∠. （1）求证：是⊙O 的切线；（2）求证：21；（3）点M 是弧的中点，交于点N ，若4，求·的值. 答案（本题满分10分）解：（1）∵,∴∠∠∵∠2∠A ,∠2∠∴∠∠∠ ……………………………………………………1分∵是⊙O 的直径∴∠∠90° …………………………………………………2分∴∠∠90°,即⊥ …………………………………………3分∵是⊙O 的半径∴是⊙O 的切线 …………………………………………………4分（2）∵ ∴∠∠P ∴∠∠∠∠P ∵∠∠∠,∠∠∠∴∠∠ ……………………………………………5分∴∴21………………………………………………………6分(3)连接 ∵点M 是弧的中点∴弧弧 ∴∠∠ ………7分 ∵∠∠ ∴∠∠∵∠∠∴△∽△∴BM MNMC BM =∴2· ……………………8分∵是⊙O 的直径，弧弧 ∴∠90°∵4 ∴22 ………………………………………………………9分∴·2=8 ……………………………………………………10分（2010宁波市）6．两圆的半径分别为3和5，圆心距为7，则两圆的位置关系是 A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．外离13. （2010年金华） 如果半径为3的⊙O 1与半径为4的⊙O 2内切，那么两圆的圆心距O 1O 2＝ ▲ . 答案：1；6．（2010年长沙）已知⊙O 1、⊙O 2的半径分别是12r =、24r =，若两圆相交，则圆心距O 1O 2可能取的值是 B A ．2 B ．4C ．6D ．8（2010年成都）8．已知两圆的半径分别是4和6，圆心距为7，则这两圆的位置关系是（ ） （A ）相交 （B ）外切 （C ）外离 （D ）内含 答案：A（2010年眉山）4．⊙O 1的半径为3，⊙O 2的半径为5，圆心距O 1O 2=2，这两圆的位置关系是A ．外切B ．相交C ．内切D ．内含 答案：C 毕节24．（本题12分）如图，已知是△中边上的高，以为直径的⊙O 分别交、于点E 、F ，点G 是的中点．求证：是⊙O 的切线．24．证明：（证法一）连接OE DE ，． 1分 ∵CD 是⊙O 的直径，∴90AED CED ∠=∠=．2分∵G 是AD 的中点，∴12EG AD DG ==． 4分∴12∠=∠． 6分 ∵34OE OD =∴∠=∠，． 8分 ∴1324∠+∠=∠+∠．即90OEG ODG ∠=∠=． 10分 ∴GE 是⊙O 的切线．12分（证法二）连接OE OG ，． 1分 ∵AG GD CO OD ==，， ∴OG AC ∥．2分 ∴1234∠=∠∠=∠，． 4分∵．∴∠2=∠4． ∴∠1=∠3．6分又OE OD OG OG ==，，∴OEG ODG △≌△． 8分 ∴90OEG ODG ∠=∠=． 10分 ∴GE 是⊙O 的切线．12分15．(10重庆潼南县)如图，在矩形中，6 ，4，⊙O 是以为直径的圆，则直线与⊙O 的位置关系是．相离1、（2010年杭州市）如图，台风中心位于点P ，并沿东北方向移动，已知台风移 动的速度为30千米/时，受影响区域的半径为200千米，B 市位 于点P 的北偏东75°方向上，距离点P 320千米处. (1) 说明本次台风会影响B 市；（2）求这次台风影响B 市的时间.答案：(1) 作⊥于点H , 在△中,由条件知, = 320, ∠ = 30°, 得 = 32030° = 160 < 200,∴ 本次台风会影响B 市. (2) 如图, 若台风中心移动到P 1时, 台风开始影响B 市, 台风中心移动到P 2时, 台风影响结束.由（1）得 = 160, 由条件得12 = 200,∴所以P 1P 2 = 222160200 =240, ∴台风影响的时间t =30240= 8(小时). （2010陕西省）23．如图，在△中∠90°，斜边的垂直平分线交与D点，交与E 点，连接（1）若是△的外接圆的切线，求∠C 的大小？ （2）当12是求△外界圆的半径解：（1）∵ 垂直平分∴∠90°∴ 为△外接圆的直径 ∴的中点 O 即为圆心 连结又知是圆O 的切线 ∴∠∠90°在△ 中 E 斜边 的中点 ∴ ∴∠∠C 又∵∠2∠C ∴∠2∠90°∴∠30°（2）在△中= ∴12 ∵∠∠90° ∴△∽△ ∴AC BC DC EC =∴54△ 外接圆半径为58（2010年天津市）（22）（本小题8分）已知AB 是⊙O 的直径，AP 是⊙O 的切线，A 是切点，BP 与⊙O 交于点C . （Ⅰ）如图①，若2AB =，30P ∠=︒，求AP 的长（结果保留根号）； （Ⅱ）如图②，若D 为AP 的中点，求证直线CD 是⊙O 的切线.解：（Ⅰ）∵ AB 是⊙O 的直径，AP 是切线，∴ 90BAP ∠=︒.在△PAB 中，2AB =，30P ∠=︒， ∴ 2224BP AB ==⨯=.由勾股定理，得AP ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 (Ⅱ)如图，连接OC 、AC ，∵ AB 是⊙O 的直径， ∴ 90BCA ∠=︒，有90ACP ∠=︒. 在△APC 中，D 为AP 的中点， ∴ 12CD AP AD ==. ∴ DAC DCA ∠=∠. 又 ∵OC OA =， ∴OAC OCA ∠=∠.A图①AD图②第（22）题AD∵ 90OAC DAC PAB ∠+∠=∠=︒， ∴ 90OCA DCA OCD ∠+∠=∠=︒. 即 OC CD ⊥.∴ 直线CD 是⊙O 的切线. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分（2010山西22．（本题8分）如图，四边形是平行四边形，以为直径的⊙O 经过点D ，E 是⊙O 上一点，且∠＝45º．（1）试判断与⊙O 的关系，并说明理由．（2）若⊙O 的半径为3，＝5 cm ．求∠的正弦值．1.（2010宁德）．如图，在8×4的方格（每个方格的边长为1个单位长）中，⊙A 的 半径为1，⊙B 的半径为2，将⊙A 由图示位置向右平移1个单位长后， ⊙A 与静止的⊙B 的位置关系是（ ）．DA.内含B.内切C.相交D.外切2.（2010黄冈）6分）如图，点P 为△的内心，延长交△的外接圆于D ，在延长线上有一点E ，满足2＝·，求证：是⊙O 的切线.ABE（第22题）O第9题图 ABO 第22题图x yA B P C D第20题图证明：连结，并延长交⊙O 于F ，连结.∵2＝·，∠＝∠，∴△∽△，∴∠＝∠E. 又∵∠＝∠，∴∠＝∠E ，∥，∴∠＝∠＝∠＝∠，又∵∠＝∠，∴∠＝∠∠＝∠∠＝∠＝90°，故是⊙O 的切线1．（2010山东济南）如图所示，菱形的顶点A 、B 在x 轴上，点A 在点B 的左侧，点D 在y 轴的正半轴上，∠60°，点A 的坐标为(－2，0)．⑴求线段所在直线的函数表达式．⑵动点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度，按照A →D →C →B →A 的顺序在菱形的边上匀速运动一周，设运动时间为t 秒．求t 为何值时，以点P 为圆心、以1为半径的圆与对角线相切？答案：1 解：⑴∵点A 的坐标为(－2，0)，∠60°，∠90°，∴·60°=23∴点D 的坐标为（0，3， ················································ 1分 设直线的函数表达式为y kx b =+，2023k b b -+=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得323k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ∴直线的函数表达式为323y x +. ····································· 3分 ⑵∵四边形是菱形， ∴∠∠60°，∴∠1=∠2=∠3=∠4=30°， 4， ················································································· 5分第22题图 如图所示：①点P 在上与相切时， 1=22， ∴t 1=2. ·············································································· 6分②点P 在上与相切时，2=22，∴2=6，∴t 2=6. ······························ 7分③点P 在上与相切时，3=22， ∴3=10，∴t 3=10. ······························ 8分④点P 在上与相切时， 4=22， ∴4=14， ∴t 4=14，∴当2、6、10、14时，以点P 为圆心、以1为半径的圆与对角线相切. ···············································9分1．（2010四川宜宾）若⊙O 的半径为4cm ，点A 到圆心O 的距离为3cm ，那么点A 与⊙O 的位置关系是( )A ．点A 在圆内B ．点A 在圆上C ．点A 在圆外D ．不能确定 2．（2010山东德州）已知三角形的三边长分别为3,4,5，则它的边与半径为1的圆的公共点个数所有可能的情 况是(A)0，1，2，3 (B)0，1，2，4 (C)0，1，2，3，4 (D)0，1，2，4，53．（2010山东德州）如图，在△中，，D 是中点，平分∠交于点E ，点O 是上一点，⊙O 过A 、E 两点, 交于点G ，交于点F ． （1）求证：与⊙O 相切； （2）当∠120°时，求∠的度数．第20题图答案：1．A 2、C 3．（1）证明：连接，1分∵且D 是中点， ∴⊥． ∵平分∠， ∴∠∠．3分 ∵， ∴∠∠． ∴∠∠． ∴∥． ∴⊥．∴是⊙O 的切线．6分 （2）∵，∠120°，∴∠∠30°．7分 ∴∠ =60°．8分 ∴∠ =∠ =30°．9分 ∴∠ =30°．10分（2010年常州）6.若两圆的半径分别为2和3，圆心距为5，则两圆的位置关系为A.外离B.外切C.相交D.内切 （2010株洲市）15．两圆的圆心距5d =，它们的半径分别是一元二次方程2540x x -+=（2010河北省）23．（本小题满分10分）观察思考某种在同一平面进行传动的机械装置如图14-1，图14-2 是它的示意图．其工作原理是：滑块Q 在平直滑道l 上可以 左右滑动，在Q 滑动的过程中，连杆也随之运动，并且 带动连杆绕固定点O 摆动．在摆动过程中，两连杆的接点P 在以为半径的⊙O 上运动．数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴含的数学知识，过点O 作 ⊥l 于点H ，并测得 =4分米， = 3分米， = 2分米．解决问题图14-1（1）点Q 与点O 间的最小距离是 分米；点Q 与点O 间的最大距离是 分米；点Q 在l 上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间 的距离是 分米． （2）如图14-3，小明同学说：“当点Q 滑动到点H 的位置时，与⊙O 是相切的．”你认为他的判断对吗？ 为什么？（3）①小丽同学发现：“当点P 运动到上时，点P 到l的距离最小．”事实上，还存在着点P 到l 距离最大 的位置，此时，点P 到l 的距离是 分米；②当绕点O 左右摆动时，所扫过的区域为扇形， 求这个扇形面积最大时圆心角的度数．解：（1）4 5 6；（2）不对．∵ = 2， = 3， = 4，且42≠32 + 22，即2≠2 + 2， ∴与不垂直．∴与⊙O 不相切． （3）① 3；②由①知，在⊙O 上存在点P ，P '到l 的距离为3，此时，将不能再向下转动，如图3．在绕点O 左右摆动过程中所扫过的最大扇形就是P '．连结P 'P ，交于点D ．∵，P 'Q '均与l 垂直，且 =P '3Q '=，∴四边形Q 'P '是矩形．∴⊥P P '， P '． 由 = 2， = - = 1，得∠ = 60°．∴∠P ' = 120°．∴°．（2010河南）11．如图，切⊙O 于点A ，交⊙O 于点C ，点D 是⌒CmA 上异于点C 、A 的一点，若∠32°，则∠的度数是． 29°OmDCBA（第11题）l图14-3lQ图14-2l图3（2010广东中山）14．如图，与⊙O 相切于A点，弦⊥，垂足为C ，与⊙O 相交于D 点，已知2，4。
中考数学证明题解析
（2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论。
9.如图：在□ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC=，对角线AC、BD交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别脚BC、AD于点E、F。
（1）证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形。
（2）试说明在旋转过程中，线段AF于EC总保持相等。
又∵BF=CE
∴△DEF≌△ABC（ASA）
∴AB=DE，AC=DF
类型二、如图：四边形ABCD中，AB=AD，AC平分∠BCD，AE⊥BC于E，AF⊥CD，垂足为F，图中有没有和△ABE全等的三角形？并说明理由。
解析：大家一般只对角平分线平分两个角这个定理比较熟悉。因为角平分线到两边的距离相等这个定理少考，因此容易遗忘。
∵△ABD是等边三角形
∴BD=AB=10
∵DH⊥AB
∴∠DHB=90°，BH=AB=5
∴DH==5
∵∠EAH=∠CAB，∠AHE=ABC=90°
∴△AEH～△ACB
∴△AEH为等腰三角形
∴EH=AH=AB=5
∴DE=DH-EH=5-5
因此，DE=5-5
（2）∵DH⊥AB
∴∠DHB=90°
∵tan∠HDB==
（1）求证：AE=CD
（2）若AC=12㎝，求BD的长。
解析：如果遇到这类题，有时在图形中隐藏着一些不明显的条件，你就先试试一个角加公共角等于90°，再试其它角加这个公共角是否能等于90°，能说明它俩相等。
证明：（1）∵BD⊥BC，CF⊥AE
∴∠DBC=∠ACB=∠EFC=90°
∵∠D+∠BCD=90°
∴AC=EF
∵△BDF为等边三角形
2024四川省广安市中考数学试题及答案(Word解析版)
四川省广安市2024年中考数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）（2024•广安）4的算术平方根是（）A．±2 B．C．2D．﹣2考点：算术平方根．分析：依据算术平方根的定义即可得出答案．解答：解：4的算术平方根是2，故选C．点评：本题主要考查了算术平方根，留意算术平方根与平方根的区分．2．（3分）（2024•广安）将来三年，国家将投入8450亿元用于缓解群众“看病难、看病贵”的问题．将8450亿元用科学记数法表示为（）A．0.845×104亿元B．8.45×103亿元C．8.45×104亿元D．84.5×102亿元考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的肯定值与小数点移动的位数相同．当原数肯定值＞1时，n是正数；当原数的肯定值＜1时，n是负数．解答：解：将8450亿元用科学记数法表示为8.45×103亿元．故选B．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（3分）（2024•广安）下列运算正确的是（）A．a2•a4=a8B．2a2+a2=3a4C．a6÷a2=a3D．（ab2）3=a3b6考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．分析：分别利用合并同类项法则、同底数幂的除法、同底数幂的乘法、积的乘方法则分的推断得出即可．解答：解：A、a2•a4=a6，故此选项错误；B、2a2+a2=3a2，故此选项错误；C、a6÷a2=a4，故此选项错误；D、（ab2）3=a3b6，故此选项正确．故选：D．点评：本题考查了合并同类项法则、同底数幂的除法、同底数幂的乘法、积的乘方，解题的关键是驾驭相关运算的法则．4．（3分）（2024•广安）有五个相同的小正方体堆成的物体如图所示，它的主视图是（）A．B．C．D．考点：简洁组合体的三视图．分析：找到从正面看所得到的图形即可，留意全部的看到的棱都应表现在主视图中．解答：解：从正面看易得第一层有3个正方形，其次层最左边有一个正方形．故选B．点评：本题考查了三视图的学问，主视图是从物体的正面看得到的视图．5．（3分）（2024•广安）数据21、12、18、16、20、21的众数和中位数分别是（）A．21和19 B．21和17 C．20和19 D．20和18考点：众数；中位数．分析：依据众数和中位数的定义求解即可．解答：解：在这一组数据中21是出现次数最多的，故众数是21；数据按从小到大排列：12、16、18、20、21、21，中位数是（18+20）÷2=19，故中位数为19．故选A．点评：本题考查了中位数，众数的意义．找中位数的时候肯定要先排好依次，然后再依据奇数和偶数个来确定中位数．假如数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；假如是偶数个，则找中间两位数的平均数．众数是一组数据中出现次数最多的数据，留意众数可以不止一个．6．（3分）（2024•广安）假如a3x b y与﹣a2y b x+1是同类项，则（）A．B．C．D．考点：解二元一次方程组；同类项．专题：计算题分析：依据同类项的定义列出方程组，然后利用代入消元法求解即可．解答：解：∵a3x b y与﹣a2y b x+1是同类项，∴，②代入①得，3x=2（x+1），解得x=2，把x=2代入②得，y=2+1=3，所以，方程组的解是．故选D．点评：本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简洁，依据同类项的“两同”列出方程组是解题的关键．7．（3分）（2024•广安）等腰三角形的一条边长为6，另一边长为13，则它的周长为（）A．25 B．25或32 C．32 D．19考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．分析：因为已知长度为6和13两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种状况，须要分类探讨．解答：解：①当6为底时，其它两边都为13，6、13、13可以构成三角形，周长为32；②当6为腰时，其它两边为6和13，∵6+6＜13，∴不能构成三角形，故舍去，∴答案只有32．故选C．点评：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目肯定要想到两种状况，分类进行探讨，还应验证各种状况是否能构成三角形进行解答，这点特别重要，也是解题的关键．8．（3分）（2024•广安）下列命题中正确的是（）A．函数y=的自变量x的取值范围是x＞3B．菱形是中心对称图形，但不是轴对称图形C．一组对边平行，另一组对边相等四边形是平行四边形D．三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等考点：命题与定理．分析：依据菱形、等腰梯形的性质以及外心的性质和二次根式的性质分别推断得出即可．解答：解：A、函数y=的自变量x的取值范围是x≥3，故此选项错误；B、菱形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项错误；C、一组对边平行，另一组对边相等四边形是也可能是等腰梯形，故此选项错误；D、依据外心的性质，三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，故此选项正确．故选：D．点评：此题主要考查了菱形、等腰梯形的性质以及外心的性质和二次根式的性质，娴熟驾驭相关定理和性质是解题关键．9．（3分）（2024•广安）如图，已知半径OD与弦AB相互垂直，垂足为点C，若AB=8cm，CD=3cm，则圆O的半径为（）A．cm B．5cm C．4cm D．cm考点：垂径定理；勾股定理．分析：连接AO，依据垂径定理可知AC=AB=4cm，设半径为x，则OC=x﹣3，依据勾股定理即可求得x 的值．解答：解：连接AO，∵半径OD与弦AB相互垂直，∴AC=AB=4cm，设半径为x，则OC=x﹣3，在Rt△ACO中，AO2=AC2+OC2，即x2=42+（x﹣3）2，解得：x=，故半径为cm．故选A．点评：本题考查了垂径定理及勾股定理的学问，解答本题的关键是娴熟驾驭垂径定理、勾股定理的内容，难度一般．10．（3分）（2024•广安）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=1．下列结论：①abc＞O，②2a+b=O，③b2﹣4ac＜O，④4a+2b+c＞O其中正确的是（）A．①③B．只有②C．②④D．③④考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由抛物线开口向下，得到a小于0，再由对称轴在y轴右侧，得到a与b异号，可得出b大于0，又抛物线与y轴交于正半轴，得到c大于0，可得出abc小于0，选项①错误；由抛物线与x轴有2个交点，得到根的判别式b2﹣4ac大于0，选项②错误；由x=﹣2时对应的函数值小于0，将x=﹣2代入抛物线解析式可得出4a﹣2b+c小于0，最终由对称轴为直线x=1，利用对称轴公式得到b=﹣2a，得到选项④正确，即可得到正确结论的序号．解答：解：∵抛物线的开口向上，∴a＞0，∵﹣＞0，∴b＜0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，①错误；∵对称轴为直线x=1，∴﹣=1，即2a+b=0，②正确，∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2﹣4ac＞0，③错误；∵对称轴为直线x=1，∴x=2与x=0时的函数值相等，而x=0时对应的函数值为正数，∴4a+2b+c＞0，④正确；则其中正确的有②④．故选C．点评：此题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），a的符号由抛物线开口方向确定；b的符号由对称轴的位置及a的符号确定；c的符号由抛物线与y轴交点的位置确定；抛物线与x轴的交点个数，确定了b2﹣4ac的符号，此外还要留意x=1，﹣1，2及﹣2对应函数值的正负来推断其式子的正确与否．二、填空题：请将最简答案干脆填写在题目后的横线上（本大题共6个小题，每小题3分．共18分）11．（3分）（2024•广安）方程x2﹣3x+2=0的根是1或2．考点：解一元二次方程-因式分解法．专题：因式分解．分析：由题已知的方程进行因式分解，将原式化为两式相乘的形式，再依据两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0，求出方程的解．解答：解：因式分解得，（x﹣1）（x﹣2）=0，解得x1=1，x2=2．点评：本题考查了因式分解法解一元二次方程，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般状况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根，因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会敏捷运用．12．（3分）（2024•广安）将点A（﹣1，2）沿x轴向右平移3个单位长度，再沿y轴向下平移4个长度单位后得到点A′的坐标为（2，﹣2）．考点：坐标与图形变更-平移．分析：依据点的平移规律，左右移，横坐标减加，纵坐标不变；上下移，纵坐标加减，横坐标不变即可解的答案．解答：解：∵点A（﹣1，2）沿x轴向右平移3个单位长度，再沿y轴向下平移4个长度单位后得到点A′，∴A′的坐标是（﹣1+3，2﹣4），即：（2，﹣2）．故答案为：（2，﹣2）．点评：此题主要考查了点的平移规律，正确驾驭规律是解题的关键．13．（3分）（2024•广安）如图，若∠1=40°，∠2=40°，∠3=116°30′，则∠4=63°30′．考点：平行线的判定与性质．分析：依据∠1=∠2可以判定a∥b，再依据平行线的性质可得∠3=∠5，再依据邻补角互补可得答案．解答：解：∵∠1=40°，∠2=40°，∴a∥b，∴∠3=∠5=116°30′，∴∠4=180°﹣116°30′=63°30′，故答案为：63°30′．点评：此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是驾驭同位角相等，两直线平行．14．（3分）（2024•广安）解方程：﹣1=，则方程的解是x=﹣．考点：解分式方程．专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：4x﹣x+2=﹣3，解得：x=﹣，经检验是分式方程的解．故答案为：x=﹣点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程肯定留意要验根．15．（3分）（2024•广安）如图，假如从半径为5cm的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高是3cm．考点：圆锥的计算．分析：因为圆锥的高，底面半径，母线构成直角三角形，则留下的扇形的弧长==8π，所以圆锥的底面半径r==4cm，利用勾股定理求圆锥的高即可；解答：解：∵从半径为5cm的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，∴留下的扇形的弧长==8π，依据底面圆的周长等于扇形弧长，∴圆锥的底面半径r==4cm，∴圆锥的高为=3cm故答案为：3．点评：此题主要考查了主要考查了圆锥的性质，要知道（1）圆锥的高，底面半径，母线构成直角三角形，（2）此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．解此类题目要依据所构成的直角三角形的勾股定理作为等量关系求解．16．（3分）（2024•广安）已知直线y=x+（n为正整数）与坐标轴围成的三角形的面积为S n，则S1+S2+S3+…+S2024=．考点：一次函数图象上点的坐标特征．专题：规律型．分析：令x=0，y=0分别求出与y轴、x轴的交点，然后利用三角形面积公式列式表示出S n，再利用拆项法整理求解即可．解答：解：令x=0，则y=，令y=0，则﹣x+=0，解得x=，所以，S n=••=（﹣），所以，S1+S2+S3+…+S2024=（﹣+﹣+﹣+…+﹣）=（﹣）=．故答案为：．点评：本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，表示出S n，再利用拆项法写成两个数的差是解题的关键，也是本题的难点．三、解答题（本大题共4个小题，第17小题5分，第18、19、20小题各6分，共23分）17．（6分）（2024•广安）计算：（）﹣1+|1﹣|﹣﹣2sin60°．考点：实数的运算；负整数指数幂；特别角的三角函数值．分析：分别进行负整数指数幂、肯定值、开立方、特别角的三角函数值等运算，然后依据实数的运算法则计算即可．解答：解：原式=2+﹣1+2﹣2×=3．点评：本题考查了实数的运算，涉及了负整数指数幂、肯定值、开立方、特别角的三角函数值等学问，属于基础题．18．（6分）（2024•广安）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x=4．考点：分式的化简求值．分析：先依据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．解答：解：原式=（﹣）÷=×=﹣，当x=4时，原式=﹣=﹣．点评：本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．19．（6分）（2024•广安）如图，在平行四边形ABCD中，AE∥CF，求证：△ABE≌△CDF．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定．专题：证明题．分析：首先证明四边形AECF是平行四边形，即可得到AE=CF，AF=CF，再依据由三对边相等的两个三角形全等即可证明：△ABE≌△CDF．解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥CF，AD=BC，AB=CD，∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∴AE=CF，AF=CF，∴BE=DE，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SSS）．点评：此题主要考查学生对平行四边形的判定与性质和全等三角形的判定的理解和驾驭，难度不大，属于基础题．20．（6分）（2024•广安）已知反比例函数y=（k≠0）和一次函数y=x﹣6．（1）若一次函数与反比例函数的图象交于点P（2，m），求m和k的值．（2）当k满意什么条件时，两函数的图象没有交点？考点：反比例函数与一次函数的交点问题．分析：（1）两个函数交点的坐标满意这两个函数关系式，因此将交点的坐标分别代入反比例函数关系式和一次函数关系式即可求得待定的系数；（2）函数的图象没有交点，即无解，用二次函数根的判别式可解．解答：解：（1）∵一次函数和反比例函数的图象交于点（2，m），∴m=2﹣6，解得m=﹣4，即点P（2，﹣4），则k=2×（﹣4）=﹣8．∴m=﹣4，k=﹣8；（2）由联立方程y=（k≠0）和一次函数y=x﹣6，有=x﹣6，即x2﹣6x﹣k=0．∵要使两函数的图象没有交点，须使方程x2﹣6x﹣k=0无解．∴△=（﹣6）2﹣4×（﹣k）=36+4k＜0，解得k＜﹣9．∴当k＜﹣9时，两函数的图象没有交点．点评：本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，留意先代入一次函数解析式，求得两个函数的交点坐标．四、实践应用：（本大题共4个小题，其中第21小题6分，地22、23、24小题各8分，共30分）21．（6分）（2024•广安）6月5日是“世界环境日”，广安市某校实行了“洁美家园”的演讲竞赛，赛后整理参赛同学的成果，将学生的成果分成A、B、C、D四个等级，并制成了如下的条形统计图和扇形图（如图1、图2）．（1）补全条形统计图．（2）学校确定从本次竞赛中获得A和B的学生中各选出一名去参与市中学生环保演讲竞赛．已知A等中男生有2名，B等中女生有3 名，请你用“列表法”或“树形图法”的方法求出所选两位同学恰好是一名男生和一名女生的概率．考点：条形统计图；扇形统计图；列表法与树状图法．专题：计算题分析：（1）依据等级为A的人数除以所占的百分比求出总人数，进而求出等级B的人数，补全条形统计图即可；（2）列表得出全部等可能的状况数，找出一男一女的状况数，即可求出所求的概率．解答：解：（1）依据题意得：3÷15%=20（人），故等级B的人数为20﹣（3+8+4）=5（人），补全统计图，如图所示；（2）列表如下：男男女女女男（男，男）（男，男）（女，男）（女，男）（女，男）男（男，男）（男，男）（女，男）（女，男）（女，男）女（男，女）（男，女）（女，女）（女，女）（女，女）全部等可能的结果有15种，其中恰好是一名男生和一名女生的状况有8种，则P恰好是一名男生和一名女生=．点评：此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及列表法与树状图法，弄清题意是解本题的关键．22．（8分）（2024•广安）某商场筹集资金12.8万元，一次性购进空调、彩电共30台．依据市场须要，这些空调、彩电可以全部销售，全部销售后利润不少于1.5万元，其中空调、彩电的进价和售价见表格．空调彩电进价（元/台）5400 3500售价（元/台）6100 3900设商场安排购进空调x台，空调和彩电全部销售后商场获得的利润为y元．（1）试写出y与x的函数关系式；（2）商场有哪几种进货方案可供选择？（3）选择哪种进货方案，商场获利最大？最大利润是多少元？考点：一次函数的应用．分析：（1）y=（空调售价﹣空调进价）x+（彩电售价﹣彩电进价）×（30﹣x）；（2）依据用于一次性购进空调、彩电共30台，总资金为12.8万元，全部销售后利润不少于1.5万元．得到一元一次不等式组，求出满意题意的x的正整数值即可；（3）利用y与x的函数关系式y=150x+6000的增减性来选择哪种方案获利最大，并求此时的最大利润即可．解答：解：（1）设商场安排购进空调x台，则安排购进彩电（30﹣x）台，由题意，得y=（6100﹣5400）x+（3900﹣3500）（30﹣x）=300x+12000；（2）依题意，有，解得10≤x≤12．∵x为整数，∴x=10，11，12．即商场有三种方案可供选择：方案1：购空调10台，购彩电20台；方案2：购空调11台，购彩电19台；方案3：购空调12台，购彩电18台；（3）∵y=300x+12000，k=300＞0，∴y随x的增大而增大，即当x=12时，y有最大值，y最大=300×12+12000=15600元．故选择方案3：购空调12台，购彩电18台时，商场获利最大，最大利润是15600元．点评：本题主要考查了一次函数和一元一次不等式组的实际应用，难度适中，得出商场获得的利润y与购进空调x的函数关系式是解题的关键．在解答一次函数的应用问题中，要留意自变量的取值范围还必需使实际问题有意义．23．（8分）（2024•广安）如图，广安市防洪指挥部发觉渠江边一处长400米，高8米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横截面为梯形ABCD）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽2米，加固后，背水坡EF的坡比i=1：2．（1）求加固后坝底增加的宽度AF的长；（2）求完成这项工程须要土石多少立方米？考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．专题：应用题．分析：（1）分别过E、D作AB的垂线，设垂足为G、H．在Rt△EFG中，依据坡面的铅直高度（即坝高）及坡比，即可求出FG的长，同理可在Rt△ADH中求出AH的长；由AF=FG+GH﹣AH求出AF的长．（2）已知了梯形AFED的上下底和高，易求得其面积．梯形AFED的面积乘以坝长即为所需的土石的体积．解答：解：（1）分别过点E、D作EG⊥AB、DH⊥AB交AB于G、H，∵四边形ABCD是梯形，且AB∥CD，∴DH平行且等于EG，故四边形EGHD是矩形，∴ED=GH，在Rt△ADH中，AH=DH÷tan∠DAH=8÷tan45°=8（米），在Rt△FGE中，i=1：2=，∴FG=2EG=16（米），∴AF=FG+GH﹣AH=16+2﹣8=10（米）；（2）加宽部分的体积V=S梯形AFED×坝长=×（2+10）×8×400=19200（立方米）．答：（1）加固后坝底增加的宽度AF为10米；（2）完成这项工程须要土石19200立方米．点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是理解坡度、坡比的含义，构造直角三角形，利用三角函数表示相关线段的长度，难度一般．24．（8分）（2024•广安）雅安芦山发生7.0级地震后，某校师生打算了一些等腰直角三角形纸片，从每张纸片中剪出一个半圆制作玩具，寄给灾区的小挚友．已知如图，是腰长为4的等腰直角三角形ABC，要求剪出的半圆的直径在△ABC的边上，且半圆的弧与△ABC的其他两边相切，请作出全部不同方案的示意图，并求出相应半圆的半径（结果保留根号）．考点：作图—应用与设计作图．专题：作图题．分析：分直径在直角边AC、BC上和在斜边AB上三种状况分别求出半圆的半径，然后作出图形即可．解答：解：依据勾股定理，斜边AB==4，①如图1、图2，直径在直角边BC或AC上时，∵半圆的弧与△ABC的其它两边相切，∴=，解得r=4﹣4，②如图3，直径在斜边AB上时，∵半圆的弧与△ABC的其它两边相切，∴=，解得r=2，作出图形如图所示：点评：本题考查了应用与设计作图，主要利用了直线与圆相切，相像三角形对应边成比例的性质，分别求出半圆的半径是解题的关键．五、理论与论证（9分）25．（9分）（2024•广安）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作半圆⊙0，交BC于点D，连接AD，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙0的切线．（2）假如⊙0的半径为5，sin∠ADE=，求BF的长．考点：切线的判定；等腰三角形的性质；圆周角定理；解直角三角形．分析：（1）连结OD，AB为⊙0的直径得∠ADB=90°，由AB=AC，依据等腰三角形性质得AD平分BC，即DB=DC，则OD为△ABC的中位线，所以OD∥AC，而DE⊥AC，则OD⊥DE，然后依据切线的判定方法即可得到结论；（2）由∠DAC=∠DAB，依据等角的余角相等得∠ADE=∠ABD，在Rt△ADB中，利用解直角三角形的方法可计算出AD=8，在Rt△ADE中可计算出AE=，然后由OD∥AE，得△FDO∽△FEA，再利用相像比可计算出BF．解答：（1）证明：连结OD，如图，∵AB为⊙0的直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴AD平分BC，即DB=DC，∵OA=OB，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴EF是⊙0的切线；（2）解：∵∠DAC=∠DAB，∴∠ADE=∠ABD，在Rt△ADB中，sin∠ADE=sin∠ABD==，而AB=10，∴AD=8，在Rt△ADE中，sin∠ADE==，∴AE=，∵OD∥AE，∴△FDO∽△FEA，∴=，即=，∴BF=．点评：本题考查了切线的判定定理：过半径的外端点且与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了等腰三角形的性质、圆周角定理和解直角三角形．六、拓展探究（10分）26．（9分）（2024•广安）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点，已知点A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0）．（1）求此抛物线的解析式．（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．①动点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标；②连接PA，以AP为边作图示一侧的正方形APMN，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之变更．当顶点M或N恰好落在抛物线对称轴上时，求出对应的P点的坐标．（结果保留根号）考点：二次函数综合题．专题：代数几何综合题．分析：（1）把点A、B、C的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；（2）①依据点A、B的坐标求出OA=OB，从而得到△AOB是等腰直角三角形，依据等腰直角三角形的性质可得∠BAO=45°，然后求出△PED是等腰直角三角形，依据等腰直角三角形的性质，PD越大，△PDE的周长最大，再推断出当与直线AB平行的直线与抛物线只有一个交点时，PD最大，再求出直线AB的解析式为y=x+3，设与AB平行的直线解析式为y=x+m，与抛物线解析式联立消掉y，得到关于x的一元二次方程，利用根的判别式△=0列式求出m的值，再求出x、y的值，从而得到点P的坐标；②先确定出抛物线的对称轴，然后（i）分点M在对称轴上时，过点P作PQ⊥对称轴于Q，依据同角的余角相等求出∠APF=∠QPM，再利用“角角边”证明△APF和△MPQ全等，依据全等三角形对应边相等可得PF=PQ，设点P的横坐标为n，表示出PQ的长，即PF，然后代入抛物线解析式计算即可得解；（ii）点N在对称轴上时，同理求出△APF和△ANQ全等，依据全等三角形对应边相等可得PF=AQ，依据点A的坐标求出点P的纵坐标，再代入抛物线解析式求出横坐标，即可得到点P的坐标．解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0），∴，解得，所以，抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；（2）①∵A（﹣3，0），B（0，3），∴OA=OB=3，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAO=45°，∵PF⊥x轴，∴∠AEF=90°﹣45°=45°，又∵PD⊥AB，∴△PDE是等腰直角三角形，∴PD越大，△PDE的周长越大，易得直线AB的解析式为y=x+3，设与AB平行的直线解析式为y=x+m，联立，消掉y得，x2+3x+m﹣3=0，当△=32﹣4×1×（m﹣3）=0，即m=时，直线与抛物线只有一个交点，PD最长，此时x=﹣，y=﹣+=，∴点P（﹣，）时，△PDE的周长最大；②抛物线y=﹣x2﹣2x+3的对称轴为直线x=﹣=﹣1，（i）如图1，点M在对称轴上时，过点P作PQ⊥对称轴于Q，在正方形APMN中，AP=PM，∠APM=90°，∴∠APF+∠FPM=90°，∠QPM+∠FPM=90°，∴∠APF=∠QPM，∵在△APF和△MPQ中，，∴△APF≌△MPQ（AAS），∴PF=PQ，设点P的横坐标为n（n＜0），则PQ=﹣1﹣n，即PF=﹣1﹣n，∴点P的坐标为（n，﹣1﹣n），∵点P在抛物线y=﹣x2﹣2x+3上，∴﹣n2﹣2n+3=﹣1﹣n，整理得，n2+n﹣4=0，解得n1=（舍去），n2=，﹣1﹣n=﹣1﹣=，所以，点P的坐标为（，）；（ii）如图2，点N在对称轴上时，设抛物线对称轴与x轴交于点Q，∵∠PAF+∠FPA=90°，∠PAF+∠QAN=90°，∴∠FPA=∠QAN，又∵∠PFA=∠AQN=90°，PA=AN，∴△APF≌△NAQ，∴PF=AQ，设点P坐标为P（x，﹣x2﹣2x+3），则有﹣x2﹣2x+3=﹣1﹣（﹣3）=2，解得x=﹣1（不合题意，舍去）或x=﹣﹣1，此时点P坐标为（﹣﹣1，2）．综上所述，当顶点M恰好落在抛物线对称轴上时，点P坐标为（，），当顶点N恰好落在抛物线对称轴上时，点P的坐标为（﹣﹣1，2）．点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，抛物线上点的坐标特征，（2）确定出△PDE是等腰直角三角形，从而推断出点P为平行于AB的直线与抛物线只有一个交点时的位置是解题的关键，（3）依据全等三角形的性质用点P的横坐标表示出纵坐标或用纵坐标求出横坐标是解题的关键．。
初中数学证明题汇总(含参考答案)(K12教育文档)
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证明（一）一、选择题1。
下列句子中，不是命题的是（ ）（A)三角形的内角和等于180度 (B ）对顶角相等（C ）过一点作已知直线的平行线 （D ）两点确定一条直线 2. 下列说法中正确的是( ）（A)两腰对应相等的两个等腰三角形全等 （B)两锐角对应相等的两个直角三角形全等 （C)两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 (D ）面积相等的两个三角形全等 3. 下列命题是假命题的是（ ）（A)如果a b ∥,b c ∥，那么a c ∥ （B ）锐角三角形中最大的角一定大于或等于60° （C ）两条直线被第三条直线所截，内错角相等 （D ）矩形的对角线相等且互相平分 4。
ABC △中，120A B +=∠∠,C A =∠∠，则ABC △是（ ）． （A ）钝角三角形（B)等腰直角三角形（C ）直角三角形（D)等边三角形5。
在ABC △中，A ∠，B ∠的外角分别是120°、150°，则C =∠（ ）． （A ）120°(B ）150°(C ）60°（D)90°6．如图1,l 1∥l 2，∠1=50°， 则∠2的度数是( ） （A)135° （B ）130° （C ）50° （D ）40° 7．如图2所示，不能推出AD BC ∥的是（ ） （A ）180DAB ABC +=∠∠ （B ）24=∠∠ （C ）13=∠∠ （D)CBE DAE =∠∠8. 如图3，a b ∥，c a ⊥，1130=∠，则2∠等于（ ） （A ）30°（B ）40° （C ）50° (D ）60°图1 图29。
中考数学几何证明题参考答案
中考数学几何证明题参考答案几何证明题在中考数学中一直占据着重要的地位，它不仅考查学生对几何概念、定理的理解和掌握，还考验学生的逻辑推理能力和空间想象能力。
以下是一些常见中考数学几何证明题的参考答案及解题思路。
例 1：已知在△ABC 中，AB ＝ AC，∠A ＝ 36°，BD 是∠ABC 的平分线，求证：AD ＝ BD ＝ BC。
证明：因为 AB ＝ AC，∠A ＝ 36°，所以∠ABC ＝∠C ＝（180°36°）÷ 2 ＝ 72°。
因为 BD 是∠ABC 的平分线，所以∠ABD ＝∠CBD ＝ 72°÷ 2 ＝36°。
所以∠BDC ＝ 180° 36° 72°＝ 72°。
所以 AD ＝ BD，BC ＝ BD。
综上，AD ＝ BD ＝ BC。
这道题主要利用了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，通过角度的计算来证明线段相等。
例 2：如图，在正方形 ABCD 中，E 是 BC 边上的一点，F 是 CD 的中点，且 AE ＝ DC ＋ CE，求证：AF 平分∠DAE。
证明：延长 AF 交 BC 的延长线于点 G。
因为四边形 ABCD 是正方形，所以 AD ＝ DC，AD ／／ BC。
所以∠DAF ＝∠G，∠D ＝∠FCG。
又因为 F 是 CD 的中点，所以 DF ＝ CF。
所以△ADF ≌△GCF（AAS）。
所以 AD ＝ CG，AF ＝ FG。
因为 AE ＝ DC ＋ CE，AD ＝ DC，所以 AE ＝ CG ＋ CE ＝ EG。
所以∠EAG ＝∠G。
又因为∠DAF ＝∠G，所以∠DAF ＝∠EAG。
即 AF 平分∠DAE。
这道题通过构造全等三角形，利用全等三角形的性质和等腰三角形的判定来证明角平分线。
例 3：已知，在菱形 ABCD 中，∠B ＝ 60°，点 E、F 分别在边 BC、CD 上，且∠AEF ＝ 60°，求证：AE ＝ EF。
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引导题类型一、已知：如图，点B、F、C、E在同一直线上，BF=CE，AB∥ED，AC∥FD，证明AB=DE，AC=DF。
解析：本题比较简单，难点在BF+CF=CE+CF这，一般刚接触三角形证明的人会在这失手。
证明：∵BF=CE又∵BF+CF=BCCE+CF=EF∴BC=EF∵AB∥DE，AC∥FD∴∠B=∠E，∠DFE=∠BCA又∵BF=CE∴△DEF≌△ABC（ASA）∴AB=DE，AC=DF类型二、如图：四边形ABCD中，AB=AD，AC平分∠BCD，AE⊥BC于E，AF ⊥CD，垂足为F，图中有没有和△ABE全等的三角形？并说明理由。
解析：大家一般只对角平分线平分两个角这个定理比较熟悉。
因为角平分线到两边的距离相等这个定理少考，因此容易遗忘。
解：△ABE≌ADF 理由如下：∵AE⊥BC，AF⊥CD∴∠AEB=∠AFD=90°∵AC平分∠BCD又∵∠AEB=∠AFD=90°∴AF=AE∵AB=AD∴△ABE≌△ADF（HL）类型三、△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，且点C在AD上，AE的延长线与BD交于F，∠ACB=90°，请在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们的全过程。
解析：遇到这类信息看似很少的题，首先从题目中找出条件，个三角形全等。
解：△ACE≌△BCD 理由如下：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形∴AC=BC，CD=CE又∵∠ACB=∠BCD=90°∴△ACE≌△BCD（SAS）类型四、如图：△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过C 作CF⊥AE，垂足是F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D。
（1）求证：AE=CD（2）若AC=12㎝，求BD的长。
角加公共角等于90°，再试其它角加这个公共角是否能等于90°，能说明它俩相等。
证明：（1）∵BD⊥BC，CF⊥AE∴∠DBC=∠ACB=∠EFC=90°∵∠D+∠BCD=90°∠FEC+∠BCD=90°∴∠D=∠FEC又∵∠DBC=∠ACE=90°，AC=BC∴△DBC≌△ACE（HL）∴AE=CD（2）由（1）可知△BDC≌△ACE∴BC=AC=12㎝，BD=CE∵AE是BC边上的中线∴BE=EC=12BC=6㎝∵BD=CE∴BD=6㎝类型五、已知：如图，△ABC是等腰三角形，∠ABC=90°，AB=10，D为△ABC 外一点，连接AD、BD，过D作DH⊥AB，垂足为H，交AC于E。
（1）若△ABD是等边三角形，求DE的长。
（2）若BD=AB，且tan∠HDB=34,求DE的长。
解析：不要以为证明题中不会用到方程，中一边的长，又知道另外两边的比例，角函数的解法）解：（1）∵△ABC 是等腰直角三角形 ∴∠ABC=90°，BC=AB=10 ∵△ABD 是等边三角形 ∴BD=AB=10 ∵DH ⊥AB∴∠DHB=90°，BH=12AB=5∴DH=102-52=53∵∠EAH=∠CAB ，∠AHE=ABC=90° ∴△AEH ～△ACB ∴△AEH 为等腰三角形∴EH=AH=12 AB=5∴DE=DH-EH=53-5因此，DE=53-5（2）∵DH ⊥AB∴∠DHB=90°∵tan ∠HDB=BH DH =34又∵BD=AB=10设BH 为3G ，则DH 为4G （3G ）2+（4G ）2=102 解得G=2 ∴BH=3G=6 DH=4G=8∵∠EAH=∠CAB ，∠AHD=∠ABC=90° ∴△AEH ～△ABC∴△AEH为等腰三角形∴EH=AH=AB-BH=10-6=4∴DE=DH-HE=8-4=4因此，DE=4类型六、如图，在△ABC中，∠C=2∠B，AD是△ABC的角平分线，∠1=∠B，求证：AB=AC+CD。
CD这两条线段与AB这条线段平分的两条线段AE、BE来。
证明：∵∠AED是△EDB的一个外角又∵∠1=∠B∴∠AED=2∠B∴∠AED=∠C=2∠B∵AD是△ABC的角平分线∴∠CAD=∠DAE又∵∠AED=∠C，AD=DA∴△ACD≌△AED（AAS）∴AC=AE，CD=DE∵∠1=∠B∴DE=BE∴CD=BE∵AB=AE+BE又∵AC=AE，CD=BE∴AB=AC+CD类型七、已知□ABCD 中,AE 交BD 于G,交DC 于F,交BC 的延长线于E.求证:(1)AG GF =GBGD ；（2）AG GF =GEAG。
解析：（1点难度，如果你能根据我的提示做出来，证GE AG =GB GD ，新手请跳过（2）问。
证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AB ∥CD∴∠BAE=∠DFG ，∠ABD=∠CDB ∴△ABG ～△DFG∴AG GF =GBGD（2）由（1）可知AB ∥CD ，AG GF =GBGD∴∠GAD=∠BEA ，∠ADB=∠DBE ∴△ADG ～△GBE∴GB GD =GEAG∵AG GF =GBGD∴AG GF =GEAG类型八、如图：在□ABCD 中，点E 是AD 中点，BE 的延长线与CD 的延长线相交于点F ，连接BD 、AF 。
试判断四边形ABDF 的形状，并证明。
但有时图会不准确，这就需要从题中所给的所有条件分析，从而判断出正确的形状。
解：四边形ABDF是平行四边形理由如下：∵点E是AD的中点∴AE=ED∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥FD∴∠BAD=∠FDA，∠ABC=∠BFD又∵AE=ED∴△ABE≌△FDE（AAS）∴AB=DF又∵AB∥DF∴四边形ABDF是平行四边形类型九、一艘小船从码头A出发，沿北偏东53°方向航行，航行一段时间到达小岛B处后，又沿着北偏西22°方向航行了10海里到达C处，这时从码头测得小船在码头北偏东23°的方向上，求此时小船与码头之间的距离。
（2≈1.4，3≈1.7，结果保留整数）解析：三角函数在中考经常出现，如果不考三角函数，就会考到方程。
所以，大家不管利用什么方法，反正你只要求出角的度数关系就很容易解决了。
解：如图所示作AC的垂线BD，作EA的平行线CG∵EA∥CG∥FB∴∠ACG=∠EAC=23°，∠GCB=∠CBF=22°∴∠ACB=45°∵AC⊥BD ∴∠CDB=90°∴cos∠DCB=CDBC=22∴CD=2BC2=1022=52海里∵∠CDB=90°，∠ACB=45°∴∠DBC=∠ACB=45°∴BD=CD=52海里∵∠EAC=23°，∠EAB=53°∴∠DAB=30°∵∠ADB=90°∴tan∠DAB=BDAD=33海里∴AD=3BD3=3·523=5 6 海里∴AC=AD+CD=56+52≈19海里因此，此时小船月码头之间的距离为19海里。
类型十、如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8厘米，点D在AC 上，CD=3厘米。
点P，Q分别由A，C两点同时出发，点P沿AC方向向点C匀速移动，速度为每秒K厘米，行完AC全程用时8秒；点Q烟BC方向向点B匀速移动，速度为每秒1厘米。
设运动的时间为G秒（0＜G＜8），△DCQ的面积为P1平方厘米，△PCQ的面积为P2平方厘米。
（1）求P1与G的函数关系，并在图②中画出P1的图象；（2）如图②，P2图象是抛物线的一部分，其顶点坐标是（4，12），求点P的速度及AC的长；（3）在图②中，点G是G轴上一点（0＜O G＜6），过G作EF垂直于G 轴，分别P 1，P 2于点E ，F 。
① 说出线段EF 的长在图①中所表示的实际意义； ② 当0＜G ＜6时，求线段EF 长的最大值。
解析:象这类二次函数和三角形或圆等结合的图形题,一般都会是这张试卷的压轴题.第一:这类题难度较大第二:带有点创新的味道;第三:要综合多种知识才能求解.解:(1)如下图所示依题意,得P 1=12×3×1×G因此,P 1与G 的函数关系式为P 1=32G(2)依题意,得P 2=12(8k-kG)G=- 12kG 2+4kG设抛物线的解析式为P=aG 2+bG+c∵点(0,0),(8,0),(4,12) ∴2220000881244a b c a c b c ⎧=∙+∙+⎪=++⎨⎪=++⎩解得3460a b c ⎧=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩∴抛物线的解析式为P=- 34G 2+6G∵－12kG 2+4kG=－34G 2+6G∴k=32AC=32×8=12㎝因此，P 的速度为32㎝/s ，AC 的长为12㎝（3）①线段EF 的长在图①中所表示的实际意义是△PDQ 的面积②由（1），（2）可知 P 1=32G ，P 2=－34G 2+GG∴P 2-P 1=－34G 2+6G －32G设P2-P1的值为P3∴P3=－34G2+6G－32G∴P3=－34(G-3)2+274因此，当G=3时，P3的最大值为274，即EF长的最大值为274㎝类型难、如图，已知△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE=BD，连接CE，DE。
求证：EC=ED解析：此题难度极大，这种题了解下就可以了，解：如图所示过点D作AC的平行线DF，交BE于点∵DF∥AC ∴∠BFD=∠BAC，∠ACB=∠FDB∴△BDF～△ABC∵△ABC为等边三角形∴△BDF为等边三角形∴BF=DF=BD又∵AE=BD∴BF=AE∵BF=AB+AFAE=EF+AF∴AB=EF∵△ABC为等边三角形∴AB=AC，∠BAC=60°∴AC=EF。