垂径定理(2)
垂径定理(2)
疑难解析1.如图，直角扇形MON中，∠MON=90°，过线段MN中点A作AB∥ON交 MN于点B，则∠BON=2.如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E，则线段DE的长为，1cm，1.如图，过A、C、D三点的圆的圆心为E，过B、E、F三点的圆的圆心为D，如果∠A=57°，那么∠θ的度数为2．⊙O内有一定点M，OM=5cm，⊙O的半径为13cm，则过M点的所有弦中长度为整数的弦共有（）条．A．2 B．3 C．4 D．无数3.如图，A、B、C是⊙O上的三个点，且BC=2AB=2，圆心角∠AOC=120°，则⊙O的半径是1.如图，半径为1的半圆O上有两个动点A，B，若AB=1，则四边形ABCD的面积的最大值是3.如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P，若CD=3，AB=8，PM=l，则l的最大值是2.如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧 AC沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD．如果∠BAC=20°，则∠BDC=3.已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB=a＜1，以AB为一边在圆O内作正△ABC，点D为圆O上不同于点A的一点，且DB=AB=a，DC的延长线交圆O于点E，则AE的长为1.如图，两圆同心，半径分别为6与8，又矩形ABCD 的边AB 和CD 分别为小大两圆的弦．则当矩形ABCD 面积最大时，求此矩形的周长2.在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为圆心的圆过点A （13，0），直线y=kx-3k+4与⊙O 交于B 、C 两点，则弦BC 的长的最小值为3.如图，在平面直角坐标系中A （6，0），B （5，3），C （0，3），D （1，3），点P 为线段OA 上一点且∠BPD=45°，则点P 坐标为。
垂径定理(2)
的同旁， （1）AC、AD在AB的同旁，如右图所示 ） 、 在 的同旁 如右图所示: 作OE⊥AC,OF⊥AD ⊥ ⊥ C E A F ∵AB=16，AC=8，AD=8 3 ， ， ∴AE=CE=4,AF=FD=4 3 ,OA=8 1 O 在Rt△AOE中，AE= OA △ 中
，
的直径， 、 是 例3.AB是⊙O的直径，AC、AD是⊙O的两 是 的直径 的两 已知AB=16，AC=8，AD=8 3 ， 弦，已知 ， ， 求∠DAC的度数 的度数
A O
C
B
解： 设OA=R，在Rt△AOC中， ， △ 中 M AC=30，CD=18 ， R2=302+（R-18)2 （
D E C（m） （ ） O 解得 连接OM，设DE=x，在Rt△MOE中，ME=16 连接 ， ， △ 中 342=162+（34-x)2 （ 162+342-68x+x2=342 x2-68x+256=0 解得x ， 解得 1=4，x2=64（不合题意舍去） （不合题意舍去） 不需采取紧急措施． ∴DE=4 ∴不需采取紧急措施．
如果一条直线来满足: 如果一条直线来满足 （1）过圆心 （2）垂直于弦 ） ） （3）平分弦（4）平分弦所对的优弧 ）平分弦（ ） （5）平分弦所对的劣弧 ） 上述五个条件中的任何两个条 件都可以推出其他三个结论
一、判断是非： 判断是非： （1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。 ）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。 r （2）平分弦的直线，必定过圆心。 ）平分弦的直线，必定过圆心。 r （3）一条直线平分弦（这条弦不是直 ）一条直线平分弦（ ），那么这 条直线垂直这条弦。 径），那么这 条直线垂直这条弦。 r A C O (1)B D A C •O (2)D B A C •O (3)D B
9下-§3.3 垂径定理(2)
3. 垂径定理逆定理的三种语言：
文字语言
图形语言
几何语言
2
深度学习离不开归纳，没有归纳的学习一定是低效的，甚者是无效的。
1.回顾（补充）学习： 轴对称图形：一个图形沿一条直线对折，两部分能够完全重合.
2. 垂径定理逆定理证明方法:构造等腰三角形,由平分弦得出垂 直于弦;由圆心角相等得出弧相等.
3.有关圆的常用辅助线: 连接圆心与弦一端点(半径),过圆心作 弦的垂线段(弦心距),再由半径、弦心距、半弦构造直角三角形， 利用勾股定理解答.
长，与条件有关的半径为 OP,OQ ,所以
若 MP NQ 14 ， AC BC 18 ，
连接 OP,OQ ,由垂径定理及有关知识说
则直径 AB 的长.
明 OPM,OQN 三点共线，再由条件中的
HK
两个与线段有关的等式求出 OP,OQ 长.
6
学习抓关键，思维抓核心，学必须学的。
答案：连接OP 交 AC 于 H ，连接OQ 交 BC 于 K
在正方形 ACDE 中， AC// DE，AC DE
,BC ，的中点分别是 M，N，P，Q .若
在正方形 BCFG中， BC// FG，BC FG OP DE,OP 平分 DE ，OQ FG,OQ平分 FG
MP NQ 14 AC BC 18，则直径 AB 的长.
M，N 是 DE ， FG 的中点， OPM,OQN 三点共线.
二 平分弦（非直径） 联 的直径垂直于弦.
重要方法：
三 渗垂透用径代定数理方逆法定理 解 （应列方用程，法构）造解直决角
三角形.进而用勾
几股何问解题决的问思题想..
四 悟
4
学习抓关键，思维抓核心，学必须学的。
3.3 垂径定理(2)
9下-§3.3垂径定理（2）（垂径定理逆定理及推论）课题组一、不能遗忘的记忆（思维混乱源自记忆模糊，遗忘就意味着多用10倍的时间纠错.）1.垂径定理逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.2. 垂径定理逆定理解读：（1）条件：“弦”不可以是直径；因为任意两直径都被圆心平分,不一定有垂直关系.（2）结论：“平分弧”既意味着平分弦所对的劣弧，也意味着平分弦所对的优弧.3. 垂径定理逆定理的三种语言：文字语言 图形语言 几何语言是直径（AB 过圆心）二、不能忽视的归纳（深度学习离不开归纳.没有归纳的学习一定是低效的，甚者是无效的.）1.回顾（补充）学习：轴对称图形：一个图形沿一条直线对折，两部分能够完全重合.2. 垂径定理逆定理证明方法:构造等腰三角形,由平分弦得出垂直于弦;由圆心角相等得出弧相等.3.有关圆的常用辅助线: 连接圆心与弦一端点(半径),过圆心作弦的垂线段(弦心距),再由半径、弦心距、半弦构造直角三角形，利用勾股定理解答.4.定理推论：以下五个条件：“过圆心、垂直于弦、平分弦、平分劣弧、平分优弧”知二推三.三、必须分享的智慧（没有知识的活用，没有方法的迁移，就谈不上智慧.）;CD AB ⊥∴AB DM CM ,= ;AD AC =;BD BC =【典例】如图 ，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中弧CD ，点O 是弧CD 所在圆的圆心），其中m CD 600=，E 为弧CD 上一点，且OE 平分弦CD ，交CD 于F ，m EF 90=． 求这段弯路的半径．一读：关键词：点O 是圆心，OE 平分弦CD .二联：重要结论：平分弦（非直径）的直径垂直于弦.重要方法：垂径定理逆定理应用，构造直角三角形.进而用勾股解决问题.三解：解：连接.OC设,R OE OC ==则有.)90(m R OF -=OE 是半径（点O 是圆心），OE 平分弦CDCD OE CD CF ⊥==∴，30021 在OCF RT ∆中，由勾股定理得222OF CF OC +=22290300）（-+=∴R R ∴解得：545=R所以这条弯路的半径为m 545四悟：渗透用代数方法（列方程法）解决几何问题的思想.四、金题核思点拨（学习抓重点，思维抓核心，学必须学的.）1. 下列命题中，假命题是（ ）（A ）平分弧的直径必平分这条弧所对的弦.（B ）圆的任意两条弦的垂直平分线的交点是该圆的圆心.（C ）平分弦的直径垂直于弦.（D ）垂直平分一条弦的直线平分弦所对的两条弧.核思点拨: 理解“①过圆心、②垂直于弦、③平分弦、④平分劣弧、⑤平分优弧”知二推三.并能灵活应用.答案：选（C ）选项（A ）是由①④(⑤)推③,正确; 选项（B ）是②③推①,正确; 选项（C ）被平分的弦没有说明不是直径,不正确; 选项（D ）②③推④⑤,正确2. 如图，C 是以AB 为直径的半圆O 上一点，连结AC ，BC ，分别以AC ，BC 为边向外作正方形ACDE ，BCFG ，DE ，FG ， , ，的中点分别是Q P N M ，，，.若14=+NQ MP ，18=+BC AC ，则直径AB 的长.核思点拨: 垂径定理与逆定理及有关推论的综合运用,求直径AB 长，即求半径长，与条件有关的半径为OQ OP ,,所以连接OQ OP ,,由垂径定理及有关知识说明OQN OPM ,三点共线，再由条件中的两个与线段有关的等式求出OQ OP ,长.答案：连接OP 交AC 于H ，连接OQ 交BC 于KOP 为半径，点P 是 的中点. 点Q 是 的中点.OP AC OP ,⊥∴平分AC ，OQ BC OQ ,⊥∴平分BC在正方形ACDE 中，DE AC DE AC =，//在正方形BCFG 中，FG BC FG BC =，//OP DE OP ,⊥∴平分DE ，OQ FG OQ ,⊥∴平分FGN M ， 是DE ，FG 的中点，OQN OPM ,∴三点共线.18=+BC AC ，92121=+∴BC AC ，18=+NK MH 9=+∴OH OK27918=+=+++OK OH NK MH14=+NQ MP131427=-=+∴OQ OP∴直径13=+=OQ OP ABAC BC AC BC H K。
27.1.4圆的轴对称性 - 垂径定理 (2)
圆的轴对称性—垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对
D
的两条弧。
垂径定理的推论：
在⊙O中， ① CD是直径，AB是弦；② CD⊥AB；
③
������������ = ������������
；
④
⌒
AD
=
⌒
������
∴ ⊙O的半径为
������������ ������
C
┐
O
M
┐
N
EA
D
圆的轴对称性—垂径定理
M
┐ ┐
A
求证：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
已知：如图，在⊙O中， 弦AB∥CD。 求证： A⌒C = ⌒BD
会C 有
O
如
证明：如图（1），过点O作OM⊥AB.
图
∵在⊙O中,弦AB∥CD ∴OM⊥CD.
解：过点O作OM⊥CD, ON⊥AB.连结OB.
∵CD = DE+CE=3+4=7 AB = AE+BE = 2+6 = 8
∴
CM=
DM=
������ ������
CD=
������ ������
,
BN=Biblioteka AN=������ ������
AB
=
������
又∵AB⊥CD ∴ 四边形OMEN为矩形 ∴ ON = ME
第27章 圆
27.1.4 ----圆的轴对称性（垂径定理二）
圆的轴对称性—垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对
D
的两条弧。
垂径定理的推论：
在⊙O中， ① CD是直径，AB是弦；② CD⊥AB；
垂径定理(2)教案
课题
垂径定理（2）教案
时间
教学目标
1.进一步探索和掌握垂径定理的推论,明确理解“知二得三”的意义.
2.利用垂径定理及其推论解决相应的数学问题
教学重点
垂径定理的推论
教学难点
垂径定理及推论的应用
教
学
设
计
︵
导读
、
导思
、导研
、Байду номын сангаас
导行
︶
一、新课引入：
请两名中等生回答定理内容，并说出这个定理的题设和结论．
（2）若AC=BC，MN为直径，AB不是直径，则______，______，______；
（3）若MN⊥AB，AC=CB，则______，______，
（4）若 = ，MN为直径，则______，______，______．
例1.平分已知弧 ．教师引导学生回答已知，求作．
已知： ．
求作： 的中点．
|
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
将①和③对调，又得新命题为：
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．以上三条是垂径定理的推论1；
练习：按图7-14填空：在⊙O中，
（1）若MN⊥AB，MN为直径，则______，______，______；
练习：
1已知：如图7-15，AB为⊙O的直径，CD为弦，EC⊥CD，FD⊥CD，垂足分别为C，D．求证：AE=BF．
2、已知一段弧AB，请作出弧AB所在圆的圆心。
3.在圆柱形油槽内装有一些油。截面如图，油面宽AB为6分米，如果再注入一些油后，油面AB上升1分米，油面宽变为8分米，求圆柱形油槽直径MN
(2)垂径定理
垂 径 定 理内容提要：圆的轴对称性：过圆心的任一条直线（直径所在的直线）都是它的对称轴。
垂径定理⎩⎨⎧平分弦所对的两条弧。
）的直径垂直于弦，且推论：平分弦（非直径对的两条弧；平分弦，并且平分弦所定理：垂直于弦的直径垂径定理包含两个条件和三个结论，即条件⇒⎩⎨⎧）直线和弦垂直，（）直线过圆心，（21结论⎪⎩⎪⎨⎧弧。
）直线平分弦所对的优（弧，）直线平分弦所对的劣（）直线平分弦，（543 符号语言：⎩⎨⎧⊥ AB CD O ,O ，的弦，为圆的直径是圆AB CD ⎪⎩⎪⎨⎧===⇒BDAD BC AC BEAE 推论1：在（1）、（2）、（3）、（4）、（5）中，任意两个成立，都可以推出另外三个都成立。
推论2：平行的两弦之间所夹的两弧相等。
相关概念：弦心距：圆心到弦的距离（垂线段OE ）。
概念辨析题：1．下面四个命题中正确的一个是（）A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C ．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D ．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心 2．下列命题中，正确的是（ ）．A ．过弦的中点的直线平分弦所对的弧B ．过弦的中点的直线必过圆心C ．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心D ．弦的垂线平分弦所对的弧典型例题分析：例题1、在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm ，那么油面宽度AB 是________cm.说明：本题主要考查垂径定理．易错点是忘记油面宽度AB 是DB 的2倍．例题2、在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，，如果油面宽度是48cm ，那么油的最大深度为________cm.说明：①此题的目的主要是培养学生的严密性思维和解题方法：确定图形——分析图形——数形结合——解决问题；②作辅助线的能力．例题3、已知：在⊙O 中，弦cm 12=AB ，O 点到AB 的距离等于AB 的一半，求：AOB ∠的度数和圆的半CDA BO E径.说明：作出弦)(AB 的弦心距)(OE ，构成垂径定理的基本图形是解决本题的关键.例题4、如图，已知在⊙O 中，弦CD AB =，且CD AB ⊥，垂足为H ，AB OE ⊥于E ，CD OF ⊥于F .（1）求证：四边形OEHF 是正方形. （2）若3=CH ，9=DH ，求圆心O 到弦AB 和CD 的距离.例题5、如图，已知⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=6cm ，EB=2cm ，∠BED=30°，求CD 的长.说明：此题是利用垂径定理的计算问题，要充分利用条件∠BED=30°，构造出以弦心距、半径、半弦组成的一个直角三角形，通过解直角三角形求解。
NO.3 垂径定理(2)
NO.3 垂径定理（2）（复习课）教学目标：进一步理解垂径定理及其推论，并能灵活应用垂径定理及推论解决相关的几何问题． 教学重点：垂径定理、推论及其运用教学难点：熟练添加辅助线，利用垂径定理及推论进行几何证明与计算，并掌握代数方程思想在垂径定理问题中的计算应用。
教学过程： 一、知识回顾：1、 请口述垂径定理及其推论的内容；2、 依照图形，完成垂径定理及其推论的表述；3、 如图，直径AB ，非直径的弦CD 。
（1）若AB ⊥CD ，则 ,,CE DE BCBD AC AD ===. （2）若CE ＝DE ，则 ,,AB CD ACAD BC BD ^==. （3）若弧BC ＝弧BD ，则 ,,CE DE AB CD ACAD =^=. 4、 请归纳我们所学的的圆中常用辅助线。
（①连接半径；②过圆心作弦的垂线）5、 请谈谈我们所学的与圆有关的计算技巧。
（代数方法：设出未知数，构建方程）二、例题剖析：1、已知⊙O 的半径为13xm ，弦AB ∥CD ，AB ＝10cm ，CD ＝24cm ,求AB 与CD 间的距离。
2、如图①，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，过A 、B 分别作CD 的垂线，垂足为E 、F ，求证CE ＝DF ，如图②，若CD 与AB 相交，其它不变，CE 与DF 是否仍然相等？三、变式练习： 1、如图，有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图示，正常水位下水面宽AB =60m ，水面到拱顶距离CD ＝18m ，当洪水泛滥时，水面到拱顶只有2m 时就需采取紧急措施，问当洪水到来时，水面宽MN =32m 时是否需要采取紧急措施?请说明理由．2、如图①，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，过C 、D 分别作AB 的垂线，垂足为E 、F ，求证CE ＝DF ，如图②，若CD 与AB 相交，其它不变，CE 与DF 是否仍然相等？ 3、如图，⊙O 的直径AB ＝16，P 为AB 的中点，CD 是过P 点的弦，且∠APC ＝30o ，求CD 的长。
垂径定理(2).解析
1.两条弦在圆心的同侧 2.两条弦在圆心的两侧
A
●O
B
C
D
A C
B ●O
D
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨 度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦 的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
37.4m
7.2m
C
A
E
B
O
解：用 弧AB表示主桥拱，设弧AB 所在圆的圆心为O， AB
O
A
┌E
D
B
D
600
C
通过这节课的学习， 你有哪些收获？ 能与大家一起分享吗？
·Ｏ
E
Ｄ
（4）ＯＢ平分∠ＣＢＤ
Ｂ
（５） B⌒C=B⌒D 正确的有——————
3、如图，点P是半径为5cm的⊙O内一点， 且OP=3cm, 则过P点的弦中， （1）最长的弦= cm （2）最短的弦= cm
C
5 3 OO
A
4 PP B
D
⊙O的两条平行弦的长分别是 ＡＢ＝８㎝ ，CD＝6㎝ ，半径为5㎝. 求弦AB与CD之间的距离。
注意:当具备了(1)(3)时,应对另一 条弦增加”不是直径”的限制.
小华画圆时忘了点圆心，现在找 不到圆心在哪？你能帮他找出圆 心吗
练习
如图，点A是⊙O上的点，OB是⊙O的半径，
与弦CD相交于CD的中点E，连结BC、BD、
AC、AD。
Ａ
下列结论：（1）OB⊥CD （2）BC=BD（3）AC=ADＣ
半径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足， OC与AB 相交于点D，根据前面的结论，D 是AB 的中点， C是弧AB的中点，CD 就是拱高．
3.3垂径定理(2)
m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.23m,求
桥拱的半径(精确到0.01m).
AB表示桥拱，设AB所在的圆的圆心为O， 解：
半径为R，C为AB的中点，连结OC，交AB
于点D.
⌒ ∵C是AB的中点, ∴OC⊥AB.
∴CD就是拱高. A
C
D O
∴AD=1/2AB=0.5×37.02=18.51, R OD=OC-DC=（R-7.23）.
B
O
垂径定理的逆定理1
平分弦 （不是直径）的直径垂直于弦, 并且平分弦所对的两条弧.
① CD是直径 ③ AM=BM
可推得
D
②CD⊥AB, ⌒ ⌒ ④AC=BC,
⌒ 或AD=BD.
⌒
C
A
┗M
●
B
O
垂径定理的逆定理2
D
平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。
① CD是直径
④AC=BC,
⌒ ⌒
可推得
②CD⊥AB,
⌒ ⌒ 或（ AD=BD. ）
③ AM=BM
如图, 对于一个圆中一条直径、一条弦来说,如果在下列四个条件中:
① CD是直径,
② CD⊥AB,
③ AM=BM,
⌒ ⌒ ④AC=BC,
C
⌒ ⌒ AD=BD .
只要具备其中两个条件,就可推出其余二个结论.
A
M└
●
B O
知二推二
D
辨一辨
（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过 圆心.
在Rt△OAD中，OA2=OD2+AD2 ∴R2=18.512+(R-7.23)2, 解得R≈27.31.
答:赵州桥的桥拱半径约为27.31m.
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A
B
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D
问 题 ？
赵州桥的主桥拱是 圆弧形，它的跨度（弧 所对的弦的长）为37.4 米，拱高（弧的中点到 弦的距离）为7.2米，你 能求出赵州桥主桥拱的 半径吗？
A
B O
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• 圆是轴对称图形吗？ 如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴？ 你是用什么方法解决上述问题的?
C
O
A C A O B D E D B
不是直径
CD是直径 CD AB AE BE ( AB不是直径)
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• 例1．已知：如图，弦AB是⊙O中一条非直径弦， D为弦AB 的中点，连接OD ，AB=6cm ，OD=４ cm. 求⊙O 的半径.
解：连接OA ∵D为 弦AB 的中点
1 ∴OD⊥A B,AD= 2 AB=3cm
在Rt △ AOD 中, AO2=OD2+AD2
O A D B
设⊙O 的半径为r,则 r2=４2+32 得r = 5 答： ⊙O 的半径OA为5cm.
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注意书写格式 例2.如图,弦AB的长为 8 cm,圆心O到 AB 的 距离为 3 cm,求⊙O的半径.
⌒ =BC, ⌒ AC
B O
A
M└
●
D
(3)平分弦 (1)过圆心 (4)平分弦所对的一条弧 (2)垂直于弦 (5)平分弦所对的另一条弧
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⌒ ⌒ AD=BD.
• 温馨提示: • 垂径定理是圆 中一个重要的 结论,三种语言 要相互转化,形 成整体,才能运 用自如.
圆是轴对称图形. O 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线, 它有无数条对称轴. 利用对折的方法即可解决上述问题.
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●
圆是中心对称图形吗？ 如果是,它的对称中心是什么? 你又是用什么方法解决这个问题的?
圆也是中心对称图形. 它的对称中心就是圆心. 用旋转的方法即可解决这个 问题.
即r 18.7 (r 7.2) , 解得r 27.9(m)
2 2 2
表示主桥拱，设 所在圆的圆心为O，半径为r.经过 圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足， OC与 相交于点C,根据前面的结 论，D是AB的中点，C是 的中点， CD就是拱高. 在图中, 赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所
③AM=BM,
可推得
Байду номын сангаас
⌒ ⌒ ④AC=BC,
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⌒ ⌒ ⑤AD=BD.
由 ① CD是直径 ② CD⊥AB
③AM=BM,
可推得
⌒ ⌒ ④AC=BC,
⌒ ⌒ ⑤AD=BD.
• 如图理由是:
C
连接OA,OB, 则OA=OB. ∵OA=OB，OM⊥ＡＢ， ∴AM=BM. ∴点A和点B关于直径CD对称. ∵⊙O关于直径CD对称, ∴当圆沿着直径CD对折时, 点A与点B重合,
下列图形是否具备垂径定理的条件？
C
c
C
C
A
O A D E B
D O
B
O
O A E B
A E D B
是
不是
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是
不是
直径垂直弦,才能平分弦 ,平分弦所对的弧. - 新世纪教育网
垂径定理的几个基本图形：
C
A E
O A D E B
B
A
O E D B
O
A
O
E B
D
CD过圆心
求圆中有关线段的长度时 ,OE 常借助垂径定理转化 解：作 ⊥AB于E点，连接OA. 为直角三角形,从而利用勾股定理来解决问题.
A E O
AO OE AE 的距离为 3 cm, 则弦 AB 的长为 8cm . AO OE 2 AE 2 = 32 +42 =5cm 圆的半径为R,弦长为 a,弦心距为d,则 R 、a、d满 1 2 2 新世纪教育网 O 的半径为5cm. ( a )2 d 答：⊙ R 版权所有 足关系式＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 2
·
M A
O
B D
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AC和BC重合, AD和BD重合
.⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴AC 新世纪教育网 =BC, AD =BD.
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垂径定理
• 定理
C
垂直于弦的直径，平分弦,并且平分弦所对的两条弧. B 如图∵CD是直径,
A
M└
●
O
CD⊥AB, ∴AM=BM,
D C
2 2 2
1 1 cm,弦 AB的长 变1.在⊙O中,直径为 10 AE AB 8 4 3cm B 为 8 cm, 则圆心 2 O到AB的距离 2 在Rt △ AOE 中 . 变2.在⊙O中,直径为 10 cm,圆心O到AB
OE AB
7.2m
解 C 决 A B 1 对的弦的长）为 37.4 米，拱高（弧的中点到弦 E 7.2, AD 2 AB 18.7, AB 37.4, CD 问 的距离）为7.2米，你能求出赵州桥主桥拱的半 题 径吗？ OD OC CD r 7.2
●
O
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• AB是⊙O的一条弦.
作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M. 下图还是轴对称图形吗? 如果是,其对称轴是什么?
说出图中的弦和弧（优弧．劣弧）
C
• 你能发现图中有哪些相等的线段和弧？
发现图中有:
·
A D M
O
由 ① CD是直径 B ② CD⊥AB
CD⊥AB于E
AE=BE AC=BC
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AD=BD
推论：平分弦（不是直径）的直径垂 （不是直径）
直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
(2)垂直于弦 (1)过圆心 (4)平分弦所对的一条弧 (3)平分弦 (5)平分弦所对的另一条弧
37.4m 如图用
在Rt OAD中,由勾股定理, 得OA2 AD 2 OD 2 ,
答：赵州桥的主桥拱半径约为 27.9m. 版权所有 O
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O A C D B
如图，已知两个同心圆， 大圆的弦ＡＢ与小圆交 于Ｃ，Ｄ 求证：ＡＣ＝ＢＤ