2007动力学1-2

可用以下方法递推地计 算出 & & r ( t + ∆ t ) = r ( t ) + &&( t ) ∆ t r & & = r ( t ) + f ( r ( t ), r ( t )) ∆ t 1 & ( t ) ∆ t + &&( t )( ∆ t ) 2 r (t + ∆t ) = r (t ) + r r 2 1 &( t ) ∆ t + f ( r ( t ), r ( t ))( ∆ t ) 2 & = r (t ) + r 2
θ
m = F +m a g
m
& s2
n s u
F
t
ρ
= ∑F n
& & & s = lθ, at = & = lθ, an = = lθ2 s & ρ & 切向： & 切向：mlθ = −mgsinθ 运动微
法向： 法向：mlθ 2 && s2mg源自θ = F −mgcosθ
分方程
5
& & & dθ dθ dθ & dθ & Q& = = =θ θ dt dθ dt dθ
数值方法给出质点位 置、速度和切向加速 度随时间的变化规律
f = 0.2
θ
o
r
θ (t ) θ&(t )
& θ&(t )
mg
t(s)
& θ0 = 0rad,θ0 = 0rad/s,
13
作 业
1-10, 1-11
14
n d(mv) G第二定律： 第二定律： 第二定律 = ma = ∑F = F i R dt i=1 i=1
G第三定律：两物体间的作用与反作用力大 第三定律： 第三定律 小相等、方向相反、 小相等、方向相反、沿同一直线分别作用在 两物体上。 两物体上。 第一、二定律： 第一、二定律：惯性系 适用条件： 适用条件： 定律： 第 三 定律：任意系
2
动力学问题的提法
G正运动学问题：已知力，求运动。 正运动学问题：已知力，求运动。 正运动学问题 难点：求运动时要积分。 难点：求运动时要积分。 无法用解析法求积分时要用数值积分 G逆动力学问题：已知运动，求力。 逆动力学问题：已知运动，求力。 逆动力学问题 G混合问题：已知部分运动和部分力，求其 混合问题：已知部分运动和部分力， 混合问题 余部分未知的运动和力。 余部分未知的运动和力。
3
质点运动微分方程
一、矢量形式： 矢量形式：
n d2r m 2 = ∑ i 条件： F 条件： dt i= 1 质量不变 m =F a R
z
F R
o x
r
a
y
直角坐标形式： 二、 直角坐标形式：
自然坐标形式： 三、 自然坐标形式：
& m& = ∑F x x & m& = ∑F y y & m& = ∑F z z
§1-2 质点运动微分方程
当研究飞行器轨道动 力学问题时， 力学问题时，可将飞行器 视为质点。 视为质点。
当研究飞行器姿态动力 学时， 学时，可将其视为刚体系或 质点系。 质点系。
1
动力学的理论基础： 动力学的理论基础：牛顿三定律
G第一定律：不受力的质点，将保持静止或 第一定律：不受力的质点， 第一定律 匀速直线运动。 匀速直线运动。
t:
mg
由（2）式解得： ）式解得： 代入（ ）式得： 代入（1）式得：
FN = mrθ& 2 + mg sin θ
Q F = f FN
&& & mrθ = mgcosθ − f (mrθ2 +mgsinθ) && & mrθ = mgcosθ + f (mrθ2 +mgsinθ)
12
& 同理， 同理，当：θ < 0
R h o
运动微分方程
ma = mg +(−cvv)
v mg x
2、建立直角坐标形式的 、 运动微分方程
& & v = x2 + y2
m& = −cx x2 + y2 & & & x & & & & y m& = −mg −cy x2 + y2 &
10
运动微分方程的数值解
速 度 随 时 间 的 变 化
7
& +ω2θ = 0 & θ
（2）大幅摆动 ） 计算机数值解见下图
& +ω2 sinθ = 0 & θ
u越大，周期越长。 越大，周期越长。 越大
大 幅 摆 动 不 具 有 等 时 性
θ / rad
t /s
8
最简单的数值积分方法 & & r 已知 &&(t ) = f ( r (t ), r (t )) 和初始条件 r (0), r (0)
最精确的数值积分方法可采用各阶 Runge-Kutta法 法
9
分析空投物体的速度随时间的变化。 例2: 分析空投物体的速度随时间的变化。
其中
R = cv2N,m= 5kg c = 0.02Nm2/s2, h = 2000m v0 = 200m , , /s,
解：1、取物体为研究对象 、
y
v
0
m =m + R a g
故切向方程可写为 & θ = − g sin θdθ θd & l 积分上式得 1 &2 g θ = − cosθ +C (C为 分 数 积 常 ) 2 l
& 初 条 由 始 件 t = 0 θ = 0,θ = u / l 可 时 得 u2 g C= 2 − 2l l u2 2g u2 &2 = (cosθ −1 + F = mg(3cosθ −2) + m ∴ θ ) 2 l l l
6
分析小球的运动
（1）微幅摆动 ）
微分方程的通解
θ = Asin( ωt +ϕ)
初始条件： 初始条件：
& & lθ + gsinθ = 0
si θ ≈θ n & + gθ = 0 & θ l
g 记ω = l
2
& =u θ0 = 0, θ0 l
确定积分常数
线性化方程
u A= , ϕ =0 lω
运动特点： 运动特点：等时性 （周期与初始条件无关） 周期与初始条件无关）
11
例3: 质点与圆柱面间的动滑动摩擦因数为 f，圆柱半径为 r ， 。（1）建立质点的运动微分方程；（ ；（2） 析其运动。 为1m。（ ）建立质点的运动微分方程；（ ）分析其运动。 。（
F
FN
o θ n
t
解：取质点为研究对象
当：
r
& θ >0
(1 ) (2)
ma = mg + F + FN
&& mrθ = mgcosθ −F & n: mrθ 2 = −mgsinθ + F N
& m& = ∑F s t m & s2
ρ
= ∑F n
0 = ∑F b
4
的摆在铅垂面内摆动。 例1：质量为 m 长为 l 的摆在铅垂面内摆动。初始时小球的 ： 速度为u 。求绳作用在小球上的力F( 速度为 , θ = 0。求绳作用在小球上的力 θ ), 并分析小球的 运动。 运动。
解：1、取研究对象，画受力图 、取研究对象， 2、确定坐标系 、 3、建立微分方程 、 4、求解 、 & m& = ∑F s t 5、分析小球运动 、