1.7导数

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导数的概念及运算 （ 2014 江苏 .11 ）在平面直角坐标系 xOy 中，若曲线 y ax2
b （ a， b 为常数）过点 x P(2 ， 5) ， 且 该 曲 线 在 点 P 处 的 切 线 与 直 线 7 x 2 y 3 0 平 行 ， 则 a b 的 值
' （2014 陕西.21）设函数 f ( x) ln(1 x), g ( x) xf ( x), x 0 ，其中 f ( x) 为 f ( x) 的导数.
'
（Ⅰ）令 g1 ( x) g ( x), gn1 ( x) g ( g n ( x)), n N ，求 g n ( x) 的表达式； （Ⅱ）若 f ( x) ag ( x) 恒成立，求实数 a 的取值范围； （Ⅲ）设 n N ，比较 g (1) g (2)
1 x 在 [1, 2] 上“ k 阶线性 x
D. [0, ) ）
3 2
B. [ 2, )
3 2
C. [1, )
极值与最值 已知 a 为常数，函数 f ( x) x(ln x ax) 有两个极值点 x1 , x2 ( x1 x2 ) ，则（
1 2 1 D. f ( x1 ) 0, f ( x2 ) 2 x e 2 （2014 山东.20）设函数 f ( x ) 2 k ( ln x ) （ k 为常数）. x x （Ⅰ）当 k 0 时，求函数 f ( x) 的单调区间； （Ⅱ）若函数 f ( x) 在区间 (0, 2) 内存在两个极值点，求 k 的取值范围.
（Ⅱ）设函数 ( x) xf ( x) tf '( x) e ，存在 x1 , x2 [0,1] ，使得成立 2 ( x1 ) ( x2 ) 成
x
ae x a
R ，x
R .已知函数 y
f x 有两个零
x2 .
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（Ⅰ）求 a 的取值范围； （Ⅱ）证明 （Ⅲ）证明
x2 随着 a 的减小而增大； x1 x1 x2 随着 a 的减小而增大.
（2014 湖南.22）已知常数 a （Ⅰ）讨论 f ( x) 在区间 (0,
0 ，函数 f ( x)
A. f ( x1 ) 0, f ( x2 ) B. f ( x1 ) 0, f ( x2 ) （2014 四川.21）设函数 f ( x) e ax bx 1 ，其中 a, b R .
x 2
1 2 1 C. f ( x1 ) 0, f ( x2 ) 2
是 ． 定 义 在 R 的 函 数 f ( x) ax3 bx 2 cx(a 0) 的 单 调 增 区 间 为 (1,1) ， 若 方 程
3af 2 ( x) 2bf ( x) c 0 有六个不同的实数根，则实数 a 的取值范围是
.
导数的应用 定义域为 [a, b] 的函数 y f ( x) 的图象的两个端点为 A, B ，点 M ( x, y) 是 f ( x ) 图象上任意 一点， 其中 x a (1 )b( R) ， 向量 ON OA (1 )OB .若不等式 | MN | k 恒 成立，则称函数 f ( x ) 在 [ a , b ] 上“ k 阶线性近似”.若函数 y 近似” ，则实数 k 的取值范围是（ A. [ 2, ) ）
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（2014 江苏.19）已知函数 f ( x) e e （Ⅰ）证明： f ( x) 是 R 上的偶函数；
x
x
.
（Ⅱ）若关于 x 的不等式 mf ( x) e
m 1 在 (0, ) 上恒成立，求实数 m 的取值范围； 3 （Ⅲ）已知正数 a 满足：存在 x0 [1, ) ，使得 f ( x0 ) a( x0 3x0 ) 成立.试比较 ea 1 与
3
4 3
4 3
124 618.3,126 631.7 ）
已知常数 a 0 ，函数 f ( x) ln(1 ax)
4 3
4 3
（Ⅰ）讨论 f ( x) 在区间 (0, ) 上的单调性；
2x . x2
（Ⅱ）若 f ( x) 存在两个极值点 x1 , x2 ，且 f ( x1 ) f ( x2 ) 0 ，求 a 的取值范围.
g (n) 与 n f (n) 的大小，并加以证明.
（2014 浙江.22）已知函数 f x x 3 x a (a R).
3
2
（Ⅰ）若 f x 在 1,1 上的最大值和最小值分别记为 M (a), m(a) ，求 M (a) m(a) ； （Ⅱ）设 b R, 若 f x b 4 对 x 1,1恒成立，求 3a b 的取值范围.
f ( x) x cos x sin x, x [0, ] ， 2

导数的r 为正有理数. （Ⅰ）求函数 f ( x) (1 x) （Ⅱ）证明：
r 1
( r 1) x 1( x 1) 的最小值；
r
n
r 1
ln(1 ax)
2x x 2
) 上的单调性； （Ⅱ）若 f ( x) 存在两个极值点 x1 , x2 且 f ( x1 ) f ( x2 )
0 ，求 a 的取值范围．
习题 （2014 山西师大附中.12）定义在 R 上的函数 f ( x) 满足： f ( x) f ( x) 1, f (0) 4, 则不 等式 e f ( x) e 3 （其中 e 为自然对数的底数）的解集为（
8 3
4(1 sin x) ln(3
2x

) .证明：
（Ⅰ）存在唯一 x0 (0, （Ⅱ）存在唯一 x1 (

2
) ，使 f ( x0 ) 0 ；

2
, ) ，使 g ( x1 ) 0 ，且对（Ⅰ）中的 x0 有 x0 x1 .
（2014 天津.20）已知函数 f x 点 x1 , x2 ，且 x1
（2014 课标Ⅰ.21）设函数 f ( x) ae ln x
x
方程为 y e( x 1) 2 . （Ⅰ）求 a, b 的值； （Ⅱ）证明： f ( x) 1 .
be x 1 ，曲线 y f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线 x
（ 2014 课 标 Ⅱ .12 ） 设 函 数 f ( x )
2 ，则 m 的取值范围是（ x0 [ f ( x0 )] 2 m 2 A. (, 6) (6, ) C. (, 2) (2, )
x 3 s i n ， 若 存 在 f ( x) 的 极 值 点 x0 满 足 m
）
(4, ) D. (, 1) (1, )
2x .
B. (, 4)
（2014 课标Ⅱ.21）已知函数 f ( x) e e （Ⅰ）讨论 f ( x) 的单调性；
x
x
（Ⅱ）设 g ( x) f (2 x) 4bf ( x) ，当 x 0 时， g ( x) 0 ，求 b 的最大值； （Ⅲ）已知 1.4142
2 1.4143 ，估计 ln 2 的近似值（精确到 0.001 ）.
x （2014 福建.21） 已知函数 f x e ax （ a 为常数） 的图像与 y 轴交于点 A ， 曲线 y f x 在点 A 处的切线斜率为 1 . （Ⅰ）求 a 的值及函数 f x 的极值；
（Ⅱ）证明：当 x 0 时， x 2 e x ； ，恒有 x 2 ce x . （Ⅲ）证明：对任意给定的正数 c ，总存在 x0 ，使得当 x x0， （2014 辽宁.21） 已知函数 f ( x) (cos x x)( 2 x) (sin x 1) ， g ( x) 3( x ) cos x
x x
）
A． 0,
B． , 0
3,
x
C． , 0
x
0,
D． 3,
（2014 山西师大附中.21）已知函数 f ( x) ( x 1)e （Ⅰ）求函数 f ( x) 的单调区间； 立，求实数 t 的取值范围．
（ e 为自然对数的底数） 。
（Ⅰ）设 g ( x) 是函数 f ( x) 的导函数，求函数 g ( x) 在区间 [0,1] 上的最小值； （Ⅱ）若 f (1) 0 ，函数 f ( x) 在区间 (0,1) 内有零点，求 a 的取值范围. （2014 北京.18）已知函数 （Ⅰ）求证：
f ( x) 0 ； sin x （Ⅱ）若 a b 在 (0, ) 上恒成立，求 a 的最大值与 b 的最小值. 2 x
(n 1) r 1
r 1
(n 1) r 1 n r 1 n ； r 1
3 2
（Ⅲ）设 x R ，记 [ x] 为不小于 x 的最小整数，如 [2] 2,[ ] 4,[ ] 1 .令
S 81 82 83
3 3 3
125 ，求 [ S ] 的值． （参考数据：80 344.7,81 350.5 ，
a e1 的大小，并证明你的结论.
x
（2014 广东.21）已知函数 f ( x)
1 ( x 2 x k ) 2( x 2 2 x k ) 3
2 2
，其中 k 2 .
（Ⅰ）求函数 f ( x) 的定义域 D （用区间表示） （Ⅱ）讨论函数 f ( x) 在 D 上的单调性； （Ⅲ）若 k 6 ，求 D 上满足条件 f ( x) f (1) 的 x 的集合（用区间表示）.