2020届高三数学上学期1月教学质量测评试题 理

2020届高三数学上学期1月教学质量测评试题 理本试题卷共4页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。

1．设i 是虚数单位，则复数20191i z =+的共轭复数对应的点在复平面内位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．设非空集合M ，N 满足M N N =U ，则（ ） A ．x N ∀∈，x M ∈ B ．x N ∀∉，有x M ∉ C ．0x M ∃∉，有0x N ∈ D ．0x N ∃∈，有0x M ∉ 3．下列说法正确的是（ ） A ．22a b>是ln ln a b >的充要条件B ．对于非零a ，b ，若0⋅>a b ，若a 与b 的夹角为锐角C ．不等式()()2230x x --≥的解集为{}3x x ≥D ．相关指数2R 越接近1，表示残差平方和越小4．黄金分割比是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，约为0.618，这一数值也可表示为2cos72a =︒，2（ ） A ．2 B ．1 C ．12D ．145．已知双曲线()22122:0,0x y C a b a b-=>>的两条渐近线所成的锐角为60︒，则双曲线的离心率为（ ） A ．233B ．2C ．233或2 D ．以上都不对6．已知0.08log 0.04a =，0.3log 0.2b =，0.040.3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．a b c >>7．“孙子定理”是中国古代求解一次同余式组的方法，是数论中一个重要的定理，又称中国余数定理，最早可见中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，讲的就是关于整除的问题．若正整数N 除以正整数m 的余数为n ，则记为()mod N n n =，例如()72mod5=．下面的问题也是关于整除的问题，执行如图所示的程序框图，则输出的x ，y 的值分别为（ ）A ．2，2B ．3，1C ．1，3D ．2，38．若3nx ⎛⎫+ ⎝的展开式中含有常数项，当n 取最小值时，常数项的值为（ ） A ．66 B ．45 C ．55 D ．369．已知()()sin cos 0,0f x m x x m ωωω=->>，()2tan g x x =，若对1x ∀∈R ，20,4x π⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x ≤成立，若()f x 在区间[]0,π，上的值域为[]1,2-，则实数ω的取值不可能是（ ）A ．12B ．23C ．1D ．4310．已知抛物线C 的方程为24x y =，过焦点F 作直线l 交抛物线于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交y 轴于点D ，若6AB =，则ED 的值为（ ） A ．2 B． C ．3 D．11．如图，某几何体的三视图如图所示，其俯视图、侧视图均为直角三角形，其外接球的表面枳为8π，则图中的边长a 的值为（ ）A ．1B 2C ．2D ．2212．已知函数()e ln 2f x x mx n x =--+，若不等式()0f x ≤对()0,x ∈+∞恒成立，则nm的最大值为（ ）A ．e4 B ．e 2C ．eD ．2e二、填空题：本题共4小题，每小题5分。

13．已知函数()sin f x x x =-，若()()2230f t f t +-≤，则实数t 的取值范围是________．14．已知点P 为不等式0,200x y x y y -⎧⎪+-⎨⎪⎩≥≤≥，所表示的可行域内任意一点，点M 的坐标为(3-，O 为坐标原点，则OM OPOP⋅u u u u r u u u r u u u r 的最大值为________．15．已知圆()22:69C x y -+=，点M 的坐标为()2,4．过点()4,0N 作直线l 交圆C 于A ，B 两点，则+u u u r u u u rMA MB 的最小值为________．16．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且ABC △的面积为23S =，且220b c kbc +-≤恒成立，则k 的最小值为________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为1，已知对任意的正整数n ，m ，当n m>时，2mn m n m S S S --=恒成立．（1）求证：数列{}n a 是等比数列．（2）设()21n n b n a =+，求数列{}n n 的前n 项和．18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA AD ⊥，底面四边形ABCD 为直角梯形，AD BC λ=，AD BC ∥，90BCD ∠=︒，M 为线段PB 上一点．（1）若13λ=，则在线段PB 上是否存在点M ，使得AM ∥平面?PCD 若存在，请确定M 点的位置；若不存在，请说明理由．（2）已知2PA =，1AD =，若异面直线PA 与CD 成90︒角，二面角B PC D --的余弦值为10，求CD 的长． 19．（12分）第7届世界军人运动会将于2019年10月18日至27日在湖北武汉举行，赛期10天，共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项，329个小项．届时，将有来自100多个国家的近万名现役军人同台竞技．为迎接军运会顺利召开，武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解军运会的相关知识，并倡议大家做文明公民．武汉市体育局为了解广大民众对军运会知识的知晓情况，在全市开展了网上问卷调查，民众参与度极高，现从大批参与者中随机抽取200名幸运参与者，他们得分（满分100分）数据，统计结果如下： 组别 [)30,40 [)40,50 [)50,60 [)60,70 [)70,80 [)80,90 [)90,100频数5304050452010（1）若此次问卷调查得分整体服从正态分布，用样本来估计总体，设μ，σ分别为这200人得分的平均值和标准差（同一组数据用该区间中点值作为代表），求μ，σ的值（μ，σ的值四舍五入取整数），并计算()5193P X <<．（2）在（1）的条件下，为感谢大家参与这次活动，市体育局还对参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励方案：得分低于μ的可以获得1次抽奖机会，得分不低于μ的可获得2次抽奖机会，在一次抽奖中，抽中价值为15元的纪念品A 的概为23；抽中价值为30元的纪念品B 的概率为13．现有市民张先生参加了此次问卷调查并成为幸运参与者，记Y 为他参加活动获得纪念品的总价值，求Y 的分布列和数学期望，并估算此次纪念品所需要的总金额． （参考数据：()0.6827P X μδμδ-<+≈≤；()220.9545P X μδμδ-<+≈≤；()330.9973P X μδμδ-<+≈≤．20．（12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>离心率为12，点1A ，2A 分别为椭圆C 的左、右顶点，点1F ，2F 分别为椭圆C 的左、右焦点．过点2F 任作一条不与y 轴垂直的直线与椭圆C 交于N ，N 两点，1MNF △的周长为8．（1）求椭圆C 的方程．（2）若直线1A M ，2A N 交于点D ，试判断点D 是否在某条定直线x t =上．若是，求出t 的值；若不是，请说明理由． 21．（12分）函数()11eex f x ax -=--（a 为常数）的图象与x 轴有唯一公共点M ．（1）求函数()f x 的单调区间．（2）若2a =-，存在不相等的实数1x ，2x ，满足()()12f x f x =-，证明：120x x +<． 请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22．（10分）选修4-4：极坐标与参数方程已知曲线1C 的直角坐标方程为2x y =，在以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=． （1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的参数方程．（2）已知射线():0,0l y kx k x =>≥与曲线1C ，2C 的交点分别为A ，B ，当OA OB ⋅为2时，求k 的值．23．（10分）选修45-：不等式选讲已知函数()2f x x x a =-+-，()6f x ≥的解集为{}06x x x ≤或≥． （1）求a 的值．（2）若()f x 的最小值为t ，且两正数m ，n 满足22m n t +=，求证：14924m n +≥．华大新高考联盟2020届高三1月教学质量测评理科数学参考答案和评分标准一、选择题 1．A 2．B 3．D 4．C 5．C 6．B 7．B 8．C 9．A 10．C 11．C 12．D 二、填空题13．{}12t t ≤≤1415．8 16．3三、解答题17．（1）令1m n =-，2n ≥，则1112n n n S S S ---=，即()111222n n n a a n --==≥，又11a =满足上式，故()1*2n n a n -=∈N ． （2）()1212n n b n -=+⋅，设12n n T b b b =++⋅⋅⋅+，则()0121325272212n n T n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯， ()1232325272212n n T n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯，两式相减得：()()1231322222212n n n T n --=++++⋅⋅⋅+-+⋅，所以()()12123221212n n n T n ---=+⨯-+⋅-，整理得：()()*2121n n T n n =-⋅+∈N ．18．（1）延长BA ，CD 交于点E ，连接PE ，则PE ⊂平面PCD ．若AM ∥平面PCD ，由平面PBE I 平面PCD PE =，AM ⊂平面PBE ，则AM PE ∥．由13AD BC =，AD BC ∥，则13PM EA PB EB ==，故点M 是线段PB 上靠近点P 的一个三等分点． （2）因为PA AD ⊥，PA CD ⊥,AD CD D =I ，AD ⊂平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，则PA ⊥平面ABCD ，以点A 为坐标原点，以AD ，AP 所在的直线分别为y 轴、z 轴， 过点A 与平面PAD 垂直的直线为x 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,2P ，()0,1,0D ，(),1,0C t ，1,1,0B t λ⎛⎫-⎪⎝⎭， 则10,2,0BC λ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，(),1,2PC t =-u u ur ，(),0,0CD t =-u u u r ．设平面PBC 和平面PCD 的法向量分别为()1111,,x y z =n ，()2222,,x y z =n ．由1BC ⊥u u u r n ，1PC ⊥u u u r n 得110,0,BC PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u rn n 即1111120,20,y tx y z λ⎧⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪+-=⎩ 令11x =，则12t z =，故11,0,2t ⎛⎫= ⎪⎝⎭n ．同理可求得()20,2,1=n ，于是1212cos θ⋅=n n n n ，即2102152t t =⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭， 解之得2t =±（负值舍去），故2t =， 所以2CD =．19．()350.025450.15550.2650.25E X =⨯+⨯+⨯+⨯750.225850.1950.0565+⨯+⨯+⨯=．()()()()22235650.02545650.1555650.2D X =-⨯+-⨯+-⨯ ()()2265650.2575650.225+-⨯+-⨯ ()()2285650.195650.05210+-⨯+-⨯=．由2196225σ<<，则1415σ<<， 而214.5210.25210=>，故14σ≈， 则X 服从正态分布()65,14N ．()()51932P X P X μσμσ<<=-<<+()()222P X P X μσμσμσμσ-<<++-<<+=0.95450.68270.81862+==．（2）显然，()()12P X P X μμ<==≥， 所有Y 的取值为：15，30，45，60．()12115233P Y ==⨯=，()111227302323318P Y ==⨯+⨯⨯=，()1211122452332339P Y ==⨯⨯+⨯⨯=，()11116023318P Y ==⨯⨯=．Y 的分布列为()11530456030318918E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=．总费用为：200306000⨯=．20．由1MNF △的周长为8得：48a =，即2a =．由离心率12c e a ==知2234b a =，故23b =．所以椭圆的方程为22143x y +=． （3）设():1MN x y λλ=+∈R ，与椭圆22:143x y C +=联立得：()2234690y y λλ++-=， 由韦达定理得：122634y y λλ+=-+，122934y y λ⋅=-+， 直线()111:22y A M y x x =++与()222:22y A N y x x =-- 联立得：()()122121*********y x y x y y x y x y x y y ++-⎡⎤⎣⎦=-++， 将111x y λ=+，221x y λ=+代入整理得：()()1212212212121242846232y y y y y y y y y x y y y y y λλ-+++-==+++ 即()()()()()2222492683446234y x y λλλλλ---++==-++，即直线1A M 与2A N 的交点D 的横坐标为4，故点D 在直线4x =上，所以4t =．21．函数()f x 的定义域为R ，且()00f =，由题意可知，曲线()f x 与x 轴存在公共点()0,0M ，又()1e x f x a -'=-，若0a ≤，()0f x '>，()f x 单调递增；若0a >，由()0f x '=得1ln x a =+，当(),1ln x a ∈-∞+时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()1ln ,x a ∈++∞时，()0f x '>，()f x 单调递增．①当1ln 0a +=，即1ea =时， ()f x 的极小值为()00f =，曲线()f x 与x 轴只有一个公共点，符合题意；②当1ln 0a +>，即1ea >时，由基本结论“0x >时，2e x x >”，21ln a a a +>>+知()()()21212e 21210ea f a a a a a a ++=-+->+---=． 又()()1ln 00f a f +<=．由零点存在定理知，此时的函数()f x 在区间()1ln ,2a a ++有一个零点，则()f x 与x 轴有两个公共点，与条件不符，舍去；③当1ln 0a +<，即10ea <<时， 设()11ln e m a a a =++，()2e 10e a m a a -'=<， 则()110e m a m ⎛⎫>=> ⎪⎝⎭， 即11ln e a a +>-，1111e e 11e e 0e e e a a a f a a ----⎛⎫⎛⎫-=---=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 又()()1ln 00f a f +<=．由零点存在定理知，此时函数()f x 在区间1,1ln e a a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭有一个零点， 则()f x 与x 轴有两个公共点，与条件不符，舍去； 综上所述，1ea =时，()f x 的单调递增区间为()0,+∞， 单调递减区间为(),0-∞．当0a ≤时，()f x 单调递增区间为(),-∞+∞，无单调递减区间．（2）2a =-时，()11e2ex f x x -=+-， 由()()12f x f x =-得 12111211e 2e 2e e x x x x --⎛⎫+-=-+- ⎪⎝⎭，所以()121112222e e 0ex x x x --+++-=，由基本不等式知()12220e x x ++<， 即()1212121e 0ex x x x +-++-<， 即1202x x f +⎛⎫< ⎪⎝⎭，即()1202x x f f +⎛⎫< ⎪⎝⎭， 而()f x 在(),-∞+∞单调递增，故1202x x +<，所以120x x +<． 22．（1）由2x y =得()2cos sin ρθρθ=，即2cos sin ρθθ=，所以曲线1C 的极坐标方程为2cos sin ρθθ=；由2cos ρθ=得22cos ρρθ=，即2220x y x +-=，即()2211x y -+=， 令1cos x θ-=，则sin y θ=，故曲线2C 的参数方程为：1cos ,sin .x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）（2）设射线l 的倾斜角为α，则射线l 的参数方程为cos ,sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（α为锐角，t 为参数），将l 的参数方程代入曲线1C 的普通方程得：()22cos sin t t αα=， 解得10t =，22sin cos t αα=， 所以222sin sin cos cos OA t αααα===， 将l 的参数方程代入曲线2C 的普通方程得22cos 0t t α-=，解得10t =，22cos t α=， 所以22cos 2cos OB t αα===， 所以2sin 2cos 2tan 2cos OA OB k αααα⋅=⋅==，所以22k =，即1k =．23．（1）由()6f x ≥得26x x a -+-≥， 因其解集为{}06x x x ≤或≥， 则必要条件是：0206,6266,a a ⎧-+-=⎪⎨-+-=⎪⎩即26,466,a a ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩解之得：4a =，经检验，当4a =时，()24f x x x =-+-，由绝对值的几何意义易知()6f x ≥解集为{}06x x x ≤或≥， 故4a =符合题意．（2）()()()24242f x x x x x =-+----=≥，所以2t =， 故24m n +=，则()1411418925242424m n m n m n m n n m ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥．。