高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1指数函数素材新人教A版必修1

指数函数
指数函数是数学中重要的函数。

应用到值e上的这个函数写为exp(x)。

还可以等价的写为ex，这里的e是数学常数，就是自然对数的底数，近似等于 2.718281828，还称为欧拉数。

当a>1时，指数函数对于x的负数值非常平坦，对于x的正数值迅速攀升，在 x等于0的时候，y等于1。

当0<a<1时，指数函数对于x的负数值迅速攀升，对于x的正数值非常平坦，在x等于0的时候，y等于1。

在x处的切线的斜率等于此处y的值乘上lna。

即由导数知识得：
作为实数变量x的函数，
的图像总是正的(在x轴之上)并递增(从左向右看)。

它永不触及x轴，尽管它可以无限程度地靠近x轴(所以，x轴是这个图像的水平渐近线。

它的反函数是自然对数ln(x)，它定义在所有正数x上。

有时，尤其是在科学中，术语指数函数更一般性的用于形如
（k属于R）的
指数函数
函数，这里的 a 叫做“底数”，是不等于 1 的任何正实数。

本文最初集中于带有底数为欧拉数e 的指数函数。

指数函数的一般形式为
(a>0且≠1) (x∈R)，从上面我们关于幂函数的讨论就可以知道，要想使得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得a>0且a≠1。

如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。

在函数中可以看到
：
（1）指数函数的定义域为R，这里的前提是a大于0且不等于1。

对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不连续，因此我们不予考虑，同时a等于0函数无意义一般也不考虑。

（2）指数函数的值域为
（3）函数图形都是上凹的。

（4） a>1时，则指数函数单调递增；若0<a<1，则为单调递减的。

（5）可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过
指数函数
程中（不等于0）函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。

其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。

（6）函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,并且永不相交。

（7）函数总是通过（0，1）这点,(若
,则函数定过点(0,1+b))
（8）指数函数无界。

（9）指数函数是非奇非偶函数
（10）指数函数具有反函数，其反函数是对数函数，它是一个多值函数。

公式推导
e的定义：
设a>0,a≠1
方法一：
指数函数
特殊地，当
时，。

方法二：
设
，两边取对数ln y=xln a
两边对x求导：y'/y=ln a，y'=yln a=a^xln a
特殊地，当a=e时，y'=(a^x)'=(e^x)'=e^xln e=e^x。

eº=1
函数图像
指数函数
（1）由指数函数y=a^x与直线x=1相交于点（1，a)可知：在y轴右侧，图像从下到上相应的底数由小变大。

（2）由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于点（-1，1/a）可知：在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小。

（3）指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为：在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。

（如右图）。

(4)
与
的图像关于y轴对称。

幂的比较
比较大小常用方法：（1）做差（商）法：A-B大于0即A大于B A-B等于0即A=B A-B小于
0即A小于B 步骤：做差—变形—定号—下结论；A\B大于1即A大于B A\B等于1即A 等于B A/B小于1即A小于B （A，B大于0）（2）函数单调性法；（3）中间值法：要比较A 与B的大小，先找一个中间值C，再比较A与C、B与C的大小，由不等式的传递性得到A 与B之间的大小。

比较两个幂的大小时，除了上述一般方法之外，还应注意：
（1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断。

例如：y1=34 ，y2=35 因为3大于1所以函数单调递增（即x的值越大，对应的y值越大），因为5大于4，所以y2 大于y1 。

（2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可
指数函数
以利用指数函数图像的变化规律来判断。

例如：
,
,因为1/2小于1所以函数图像在定义域上单调递减；3大于1，所以函数图像在定义域上单调递增，在x=0是两个函数图像都过（0，1）然后随着x的增大，y1图像下降，而y2上升，在x等于4时，y2大于y1.
（3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，则可以利用中间值来比较。

如：
<1> 对于三个（或三个以上）的数的大小比较，则应该先根据值的大小（特别是与0、1的大小）进行分组，再比较各组数的大小即可。

<2> 在比较两个幂的大小时，如果能充分利用“1”来搭“桥”（即比较它们与“1”的大小），就可以快速的得到答案。

那么如何判断一个幂与“1”大小呢？由指数函数的图像和性质可知“同大异小”。

即当底数a和1与指数x与0之间的不等号同向（例如： a 〉1且x 〉0，或0〈 a〈 1且 x〈 0）时，
大于1，异向时
小于1.
〈3〉例：下列函数在R上是增函数还是减函数？说明理由.
⑴
因为4>1，所以
在R上是增函数；
⑵
因为0<1/4<1,所以
在R上是减函数。

定义域
R，即实数集。

值域
对于一切指数函数
来讲，当a满足a>0且a≠1时，值域为(0, +∞)。

化简技巧
（1）把分子、分母分解因式，可约分的先约分；
（2）利用公式的基本性质，化繁分式为简分式，化异分母为同分母；
（3）把其中适当的几个分式先化简，重点突破；
指数函数
（4）可考虑整体思想，用换元法使分式简化；
（5）参考图像来进行化简。

（6）1.当函数为奇函数时，指数a相反
2.当函数为偶函数时，指数b相反
根式的概念
一般地，如果
，那么x叫做a的n次方根(n th root)，其中n>1，且。

当n是奇数时，正数的实的n次方根是一个正数，负数的实的n次方根是一个负数。

此时，x的n次方根用符号
表示.式子
叫做根式(radical)，这里n叫做根指数(radicalexponent)，
叫做被开方数(radicand)。

当n是偶数时，正数的实的n次方根有两个，这两个数互为相反数。

此时，正数的正的n次方根用符号
表示，负的n次方根用符号-
表示。

正的n次方根与负的n次方根可以合并成±
(
>0)。

由此可得：负数的偶次方根为虚数；0的任何次方根都是0，记作。

分数指数幂、零指数和负指数幂
分数指数幂
非负数的分数指数幂的意义，规定：
（其中x≥0，m、n都是正整数）
显然，当x=0时结果恒为0。

x<0时，不考虑其定义。

零指数
规定：任何非0实数的零次幂等于1，即
，x≠0。

负指数幂
非0实数的负指数幂的意义，规定：
（其中x≠0，a是正数）
特别地，当a是分数时，限定x>0。

指出：规定了分数指数幂、零指数和负指数幂的意义后，指数的概念就从正整数指数推广到了有理数指数，那么正整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂。

无理数指数幂
对于中学阶段，“幂”的概念可以理解为乘方及开方运算，如
，
等等。

但对于指数是无理数时，如
，则显然不能用乘方或开方的概念去定义。

此时，应当为指数函数给出新的定义。

给定实数a>0，a≠1。

设x为无理数，定义：
，当a>1时；
，当0<a<1时。

注：上面的sup和inf符号指代上确界和下确界。

就第一条定义而言，解释如下：
取所有比x小的有理数r，作指数函数ar。

对于给定的x，必定存在一个有理数r0>x>r。

当a>1时，根据指数运算的性质可知
，因此{ar}是一个有上界的非空数集。

根据确界原理可知，{ar}有唯一的上确界，我们把这个上确界定义为ax。

当指数推广到无理数后，指数函数y=ax（a>0，a≠1）对任意一个x∈R都有定义，这样就把指数函数扩充到整个实数集中，从而保证了指数函数的连续性。

指数函数 - 对应关系
（1）曲线沿x轴方向向左无限延展〈=〉函数的定义域为（-∞，+∞）。

（2）曲线在x轴上方，而且向左或向右随着x值的减小或增大无限靠
近X轴（x轴是曲线的渐近线）〈=〉函数的值域为（0，+∞）
（3）曲线过定点（0，1）〈=〉x=0时，函数值y=a^0（零次方）=1（a>0且a≠1）
（4）a>1时，曲线由左向右逐渐上升即a>1时，函数在（-∞，+∞）上是增函数；0<a<1时，曲线逐渐下降即0<1时，函数在（-∞，+∞）上是减函数。