中考数学考点等腰三角形

专题42 等腰三角形 聚焦考点☆温习理解一、等腰三角形1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。

即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。

推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。

（2）等腰三角形的其他性质：①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。

③等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2b <a ④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A ，底角为∠B 、∠C ，则∠A=180°—2∠B ，∠B=∠C=2180A ∠-︒ 2、等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及推论：定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。

这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。

推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

二.等边三角形1.定义三条边都相等的三角形是等边三角形.2.性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°3.判定三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.三.线段垂直平分线1.定义垂直一条线段，并且平分这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线.2.性质线段垂直平分线上的一点到这条线段的两端距离相等3.判定到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.名师点睛☆典例分类考点典例一、等腰三角形的性质【例1】(2015.陕西省，第6题，3分)如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC 的角平分线，若在边AB上截取BE=BC，连接DE,则图中等腰三角形共有（）A.2个B.3个C.4个D.5个【答案】D【解析】试题分析：在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，求得∠ABC=∠C=72°，且△ABC是等腰三角形. 因为BD是△ABC的角平分线所以∠ABD=∠DBC=36°所以△ABD是等腰三角形.在△BDC中有三角形的内角和求出∠BDC=72°所以△BDC是等腰三角形.所以BD=BC=BE 所以△BDE是等腰三角形.所以∠BDE=72°, 所以∠ADE=36°, 所以△ADE是等腰三角形.共5个.故选D.考点：角平分线的定义，三角形内角和、外角和，平角的定义.【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键．【举一反三】（2014·眉山）如图，△ABC中，∠C=70°，∠B=30°，将△ABC绕点A顺时针旋转后，得到△AB´C´，且C´在边BC上，则∠B´C´B的度数为（）A ．30°B ．40°C ．46°D ．60°AB CB'C'【答案】C ．考点：1.旋转的性质2.等腰三角形的性质．考点典例二、等腰三角形的多解问题【例2】【答案】D【解析】试题分析：由等腰三角形的两边长分别是5和6，可以分情况讨论其边长为5，5，6或者5，6，6，均满足三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的条件，所以此等腰三角形的周长为5+5+6=16或5+6+6=17.故选项D 正确.考点：三角形三边关系；分情况讨论的数学思想【点睛】题考查了等腰三角形的性质；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．【举一反三】(2015·湖北荆门，5题，3分)已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（ ）A ．8或10B ．8C ．10D ．6或12【答案】C ．考点：1．等腰三角形的性质；2．三角形三边关系；3．分类讨论．考点典例三、等边三角形的性质与判定【例3】如图，直线a∥b，△ABC是等边三角形，点A在直线a上，边BC在直线b上，把△ABC沿BC方向平移BC的一半得到△A′B′C′（如图①）；继续以上的平移得到图②，再继续以上的平移得到图③，…；请问在第100个图形中等边三角形的个数是【答案】400.【解析】试题分析：先证出阴影的三角形是等边三角形，又观察图可得，第n个图形中大等边三角形有2n个，小等边三角形有2n个，据此求出第100个图形中等边三角形的个数．试题解析：如图①∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∵A′B′∥AB，BB′=B′C=12 BC，∴B′O=12AB，CO=12AC，∴△B′OC是等边三角形，同理阴影的三角形都是等边三角形．又观察图可得，第1个图形中大等边三角形有2个，小等边三角形有2个，第2个图形中大等边三角形有4个，小等边三角形有4个，第3个图形中大等边三角形有6个，小等边三角形有6个，…依次可得第n个图形中大等边三角形有2n个，小等边三角形有2n个．故第100个图形中等边三角形的个数是：2×100+2×100=400．故答案为：400．考点：等边三角形的判定与性质；平移的性质．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质及平移的性质，解题的关键是据图找出规律．【举一反三】(2015·湖北荆门，12题，3分)如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD，△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q，连接PQ，BM，下面结论：①△ABE≌△DBC；②∠DMA=60°；③△BPQ为等边三角形；④MB平分∠AMC，其中结论正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D．【解析】考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等边三角形的判定与性质．考点典例四、线段垂直平分线的性质运用【例3】（2015遂宁）如图，在△ABC 中，AC =4cm ，线段AB 的垂直平分线交AC 于点N ，△BCN 的周长是7cm ，则BC 的长为（ ）A ．1cmB ．2cmC ．3cmD ．4cm【答案】C ．【解析】试题分析：∵MN 是线段AB 的垂直平分线，∴AN =BN ，∵△BCN 的周长是7cm ，∴BN +NC +BC =7（cm ），∴AN +NC +BC =7（cm ），∵AN +NC =AC ，∴AC +BC =7（cm ），又∵AC =4cm ，∴BC =7﹣4=3（cm ）．故选C ．考点：线段垂直平分线的性质．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟记性质是解题的关键．【举一反三】（2015·湖北黄冈，6题，3分）如图，在△ABC 中，∠C =Rt ∠，∠B =30°，边AB 的垂直平分线DE 交AB 于点E ，交BC 于点D ，CD =3，则BC 的长为（ ）A ．6B ．36C ．9D ．33【答案】C ．考点：1．含30度角的直角三角形；2．线段垂直平分线的性质． 课时作业☆能力提升一、选择题1.（2014·江苏省盐城市）若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为（ ）A ． 40°B ． 50°C ． 60°D ． 70° 【答案】D.【解析】试题分析：因为等腰三角形的两个底角相等，又因为顶角是40°， 所以其底角为180402︒-︒=70°． 故选D ．考点：等腰三角形的性质．2. （2015眉山）如图，在Rt △ABC 中，∠B =900，∠A =300，DE 垂直平分斜边AC ，交AB 于D ，E 是垂足，连接CD ．若BD =l ，则AC 的长是（ ）A ．32B ．2C ．34D ．4【答案】A ．考点：1．含30度角的直角三角形；2．线段垂直平分线的性质；3．勾股定理．3. （2015内江）如图，在△ABC 中，AB =AC ，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，AE ∥BD 交CB 的延长线于点E ．若∠E =35°，则∠BAC 的度数为（ ）A ．40° B．45° C．60° D．70°【答案】A ．【解析】试题分析：∵AE ∥BD ，∴∠CBD =∠E =35°，∵BD 平分∠ABC ，∴∠CBA =70°，∵AB =AC ，∴∠C =∠CBA =70°，∴∠BAC =180°﹣70°×2=40°．故选A ．考点：1．等腰三角形的性质；2．平行线的性质．4. （2015广安）一个等腰三角形的两条边长分别是方程27100x x -+=的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）A ．12B ．9C ．13D ．12或9【答案】A ．【解析】试题分析：∵27100x x -+=，∴(2)(5)0x x --=，12x =，25x =，①等腰三角形的三边是2，2，5，∵2+2＜5，∴不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；②等腰三角形的三边是2，5，5，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是2+5+5=12； 即等腰三角形的周长是12．故选A ．考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．三角形三边关系；3．等腰三角形的性质．5.(2015·湖北襄阳,7题)如图，在△ABC 中，∠B =30°，BC 的垂直平分线交AB 于点E ，垂足为D ，CE 平分∠ACB ．若BE =2，则AE 的长为（ ）A ．1 C D ．2【答案】B ．考点：1．含30度角的直角三角形；2．角平分线的性质；3．线段垂直平分线的性质．6．（2015泸州）在平面直角坐标系中，点A ），B （，动点C 在x 轴上，若以A 、B 、C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C 的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B ．【解析】试题分析：如图，∵AB 所在的直线是y x =，∴设AB 的中垂线所在的直线是y x b =-+，∵点A ），B （，∴AB 的中点坐标是（），把x =y =代入y x b =-+，解得b =，∴AB 的中垂线所在的直线是y x =-+，∴1C（，0）；以点A 为圆心，以AB 的长为半径画弧，与x 轴的交点为点2C 、3C ；AB ，∵4>，∴以点B 为圆心，以AB 的长为半径画弧，与x 轴没有交点．综上，可得若以A 、B 、C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C 的个数为3．故选B ．考点：1．等腰三角形的判定；2．坐标与图形性质；3．分类讨论；4．综合题；5．压轴题．二、填空题7. （2015广元）一个等腰三角形两边的长分别为2m、5cm．则它的周长为________cm．【答案】12．考点：1．等腰三角形的性质；2．三角形三边关系．8. （2015眉山）如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，则下列结论：①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB=AC，∠BAC=1200时，四边形AEFD是正方形．其中正确的结论是________．（请写出正确结论的番号）．【答案】①②．【解析】试题分析：∵△ABE、△BCF为等边三角形，∴AB=BE=AE，BC=CF=FB，∠ABE=∠CBF=60°，∴∠ABE﹣∠ABF=∠FBC﹣∠ABF，即∠CBA=∠FBE，在△ABC和△EBF中，∵AB=EB，∠CBA=∠FBE，BC=BF，∴△ABC≌△EBF（SAS），选项①正确；∴EF =AC ，又∵△ADC 为等边三角形，∴CD =AD =AC ，∴EF =AD ，同理可得AE =DF ，∴四边形AEFD 是平行四边形，选项②正确；若AB =AC ，∠BAC =120°，则有AE =AD ，∠EAD =120°，此时AEFD 为菱形，选项③错误， 故答案为：①②．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等边三角形的性质；3．平行四边形的判定；4．正方形的判定；5．综合题．9. （2015成都）如图，直线m ∥n ，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC =90°，则∠1=________度．【答案】45°．【解析】试题分析：∵△ABC 为等腰直角三角形，∴∠ABC =45°，又∵m ∥n ，∴∠1=∠ABC =45°．故答案为：45°．考点：1．等腰三角形的性质；2．平行线的性质．10. （2015成都）如图，在半径为5的⊙O 中，弦AB =8，P 是弦AB 所对的优弧上的动点，连接AP ，过点A 作AP 的垂线交射线PB 于点C ．当△PAB 是等腰三角形时，线段BC 的长为________．【答案】8BC =或5615． 【解析】试题分析：（1）当AB =AP 时，如图（1），作OH ⊥AB 于点H ，延长AO 交PB 于点G ；∵AB =AP ，∴AP AB =，∵AO 过圆心，∴AG ⊥PB ，∴PG =BG ，∠OAH =∠PAG ，∵OH ⊥AB ，∴∠AOH =∠BOH ，AH =BH =4，∵∠AOB =2∠P ，∴∠AOH =∠P ，∵OA =5，AH =4，∴OH =3，∵∠OAH =∠PAG ，∴sin ∠OAH =sin ∠PAG ，∴358PG =，∴PG =245，∵∠AOH =∠P ，∴cos ∠AOH =cos ∠P ，AP OH PC AO =，∴54033PC AP ==，∴BC =PC －2PG =4048563515-=； （2）当PA =PB 时，如图（2），延长PO 交AB 于点K ，类似（1）可知OK =3，PK =8，∠APC =∠AOK ，∴PB =PA ==，∵∠APC =∠AOK ，∴cos ∠APC =cos ∠AOK ，∴AP OK PC AO=，∴53PC AP ==，∴BC =PC －PB ； （3）当BA =BP 时，如图（3），∵BA =BP ，∴∠P =∠BAP ，∵∠P +∠C =90°，∠CAB +∠BAP =90°，∴∠C =∠CAB ，∴BC =AB =8．故答案为：8BC =或5615．考点：1．等腰三角形的性质；2．解直角三角形；3．分类讨论；4．压轴题．11.如图，在△ABC 中，∠C=40°，CA=CB ，则△ABC 的外角∠ABD= °．【答案】110.考点：等腰三角形的性质.12. （2015甘孜州）边长为2的正三角形的面积是 ．．【解析】试题分析：过A 作AD ⊥BC ，∵AB =AB =BC =2，∴BD =CD =12BC =1，在Rt △ABD 中，根据勾股定理得：AD ，则S △ABC =12BC •AD ．考点：等边三角形的性质．13. 54．（2015乐山）如图，在等腰三角形ABC 中，AB=AC ，DE 垂直平分AB ，已知∠ADE=40°，则∠DBC= °．【答案】15．【解析】试题分析：∵DE 垂直平分AB ，∴AD=BD ，∠AED=90°，∴∠A=∠ABD ，∵∠ADE=40°，∴∠A=90°﹣40°=50°，∴∠ABD=∠A=50°，∵AB=AC ，∴∠ABC=∠C=12（180°﹣∠A ）=65°，∴∠DBC=∠ABC ﹣∠ABD=65°﹣50°=15°，故答案为：15．考点：1．线段垂直平分线的性质；2．等腰三角形的性质．14.（2015攀枝花）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC中，A（10，0），C（0，4），D为OA的中点，P为BC边上一点．若△POD为等腰三角形，则所有满足条件的点P的坐标为．【答案】（2.5，4）或（3，4）或（2，4）或（8，4）．【解析】试题分析：∵四边形OABC是矩形，∴∠OCB=90°，OC=4，BC=OA=10，∵D为OA的中点，∴OD=AD=5，①当PO=PD时，点P在OD得垂直平分线上，∴点P的坐标为：（2.5，4）；②当OP=OD时，如图1所示：则OP=OD=5，PC，∴点P的坐标为：（3，4）；③当DP=DO时，作PE⊥OA于E，则∠PED=90°，DE=3；分两种情况：当E在D的左侧时，如图2所示：OE=5﹣3=2，∴点P的坐标为：（2，4）；当E在D的右侧时，如图3所示：OE=5+3=8，∴点P的坐标为：（8，4）；综上所述：点P的坐标为：（2.5，4），或（3，4），或（2，4），或（8，4）；故答案为：（2.5，4）或（3，4）或（2，4）或（8，4）．考点：1．矩形的性质；2．坐标与图形性质；3．等腰三角形的判定；4．勾股定理；5．分类讨论；6．综合题；7．压轴题．15.（2015攀枝花）如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE+DE的最小值为．．【解析】试题分析：作B关于AC的对称点B′，连接BB′、B′D，交AC于E，此时BE+ED=B′E+ED=B′D，根据两点之间线段最短可知B′D就是BE+ED的最小值，∵B、B′关于AC的对称，∴AC、BB′互相垂直平分，∴四边形ABCB′是平行四边形，∵三角形ABC是边长为2，∵D为BC的中点，∴AD⊥BC，∴AD，BD=CD=1，BB′=2AD=，作B′G⊥BC的延长线于G，∴B′G=AD，在Rt△B′BG中，BG=3，∴DG=BG﹣BD=3﹣1=2，在Rt△B′DG中，BD．故BE+ED．考点：1．轴对称-最短路线问题；2．等边三角形的性质；3．最值问题；4．综合题．三、解答题16. （2015南充）（8分）如图，△ABC中，AB=AC， AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求证：（1）△AEF≌△CEB；（2）AF=2CD．【答案】（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等腰三角形的性质．17. (2015.陕西省，第19题，7分)（本题满分7分）如图，在△ABC中，AB=AC，作AD⊥AB交BC的延长线于点D，作AE∥BD、CE⊥AC，且AE、CE相交于点E，求证AD=CE.【答案】考点：平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形全等的判定.18.(2015.北京市，第20题，5分)如图，在∆ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE ⊥AC于点E.求证：∠CBE=∠BAD.【答案】见试题分析【解析】试题分析：根据等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠C，根据等腰三角形三线合一得出AD⊥BC，又因为BE⊥AC，根据直角三角形的两锐角和为90°，等量代换即可得出结论.试题解析：证：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，又∵AD是BD边上的中线，∴AD⊥BC，∴∠BAD＋∠ABC＝90°.∵BE⊥AC.，∴∠CBE＝∠C＝90°∴∠CBE＝∠BAD.考点：等腰三角形的性质，三角形的内角和19.（2015.山东淄博，第19题）如图，在△ABC中，AB=4cm，AC=6cm．（1）作图：作BC边的垂直平分线分别交与AC，BC于点D，E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，连结BD，求△ABD的周长．【答案】(1)作图见解析；（2）10cm．【解析】试题分析：（1）运用作垂直平分线的方法作图;（2）运用垂直平分线的性质得出BD=DC，利用△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+AC即可求解．试题解析：：（1）如图1，（2）如图2，∵DE是BC边的垂直平分线，∴BD=DC，∵AB=4cm，AC=6cm．∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+AC=4+6=10cm．考点：用尺规作线段垂直平分线的方法；线段垂直平分线的性质.。