利用对数平均不等式巧解一类数学压轴题
对数平均数
高考又见对数平均数在历年的高考压轴题中我们总是能见到对数平均数的影子。
2018年高考理科数学全国Ⅰ卷的压轴题最后一问，实际上就是对数平均数不等式的应用。
加强对对数平均数的理解，无疑能对我们解决压轴题有很大的帮助。
对于a>b>0，我们把ba ba ln ln --称作a 与b 的对数平均数，并且有：算术平均数>对数平均数>几何平均数，即：2b a +>ba ba ln ln -->ab 证明方法Ⅰ（几何证明）：如图，分别过A(a,0)、B(b,0)、C(2b a +,0)、D(ab ,0)作x 轴的垂线，与函数y=x1交于F 、G 、E 、H 四点，过E 作函数的切线，分别与BG 、AF 交于M 、N 两点。
比较曲边四边形GBAF 的面积S 1与梯形MBAN 的面积S 2，得S 1>S 2，其中：S 1=⎰ab dx x1=ln a-ln b ，S 2=2AN BM +•AB=CE •AB=ba +2•(a-b) ∴ ln a-ln b>ba +2•(a-b)即：2b a +>ba b a ln ln --……①比较梯形GBDH 的面积S 3与曲边四边形GBDH 的面积S 4，得S 3>S 4，其中：S 3=21(GB+HD)•BD=21(b 1+ab 1)(ab -b)=abb a 2- S 4=⎰abb dx x 1=ln ab -ln b=2ln ln b a +-ln b=2ln ln ba - ∴abb a 2->2ln ln b a -即：ba ba ln ln -->ab ……②综合①②，得：2b a +>ba ba ln ln -->ab (a>b>0)证明方法Ⅱ（函数证明）： 令f(x)=2ln x +12+x -1 (x>1)，则有： f`(x)=x 21-2)1(1+x =22)1(24)1(+-+x x x x =22)1(2)1(+-x x x >0 ∴ f(x)>f(1)=0，即：2ln x +12+x -1>0， 令x=b a ，代入整理得： 2ln ln b a ->b a b a +-即：2b a +>ba b a ln ln --……①令g(x)=x-2•ln x-x1(x>1)，则有：g`(x)=1-x 2+21x=22)1(x x ->0∴ g(x)>g(1)=0，即x-2•ln x-x1>0， 令x=b a ，代入整理得：abba ->ln a-ln b即：ba ba ln ln -->ab ……②综合①②，得：2b a +>ba ba ln ln -->ab (a>b>0)经过上述证明，我们对对数平均数有了一定的了解，接下来看一看2018年高考数学理科全国Ⅰ卷第21题：已知函数f(x)=x1-x+a •ln x (1) 讨论f(x)的单调性；(2) 若f(x)存在两个极值点x 1、x 2，求证：2121)()(x x x f x f --<a-2第一问略。
对数均值不等式及变式在高考压轴题的应用
对数均值不等式及变式在高考压轴题的应用对数均值不等式及变式在高考压轴题的应用引言：数学作为高考的一门重要科目，其中不等式是数学中的一个重要概念。
在高考中，有一类不等式常常被提及，那就是对数均值不等式及其变式。
本文将对对数均值不等式及变式的应用进行探讨，并从深度和广度两个方面阐述其在高考压轴题中的实际应用。
一、对数均值不等式的定义与简单应用1.1 对数均值不等式的定义对数均值不等式是数学中的一类不等式，它是由均值不等式推导而来。
对于两个正数a和b，可以定义它们的几何平均数M和算术平均数A 为：\[ M = \sqrt{ab} \]\[ A = \frac{a+b}{2} \]而对于这两个平均数的自然对数，我们可以定义为：\[ m = \ln{M} \]\[ a = \ln{a} \]则对数均值不等式可以表示为：\[ \frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \]即：\[ \frac{a+b}{2} \geq \ln{\sqrt{ab}} \]\[ \ln{(a+b)} \geq \ln{2} + \ln{\sqrt{ab}} \]\[ \ln{(a+b)} \geq \ln{2} + \frac{1}{2} \ln{ab} \]1.2 对数均值不等式的简单应用对数均值不等式在求证过程中往往与其他的不等式相结合，从而达到简化证明的目的。
例：设a、b、c为正数，证明以下不等式：\[ \frac{ab+bc+ca}{a+b+c} \leq \frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8abc}\] 解：由对数均值不等式可得：\[ \ln{(a+b)} \geq \ln{2} + \frac{1}{2} \ln{ab} \]\[ \ln{(b+c)} \geq \ln{2} + \frac{1}{2} \ln{bc} \]\[ \ln{(c+a)} \geq \ln{2} + \frac{1}{2} \ln{ca} \]将上述三个不等式相加，得到：\[ \ln{(a+b)} + \ln{(b+c)} + \ln{(c+a)} \geq 3 \ln{2} +\frac{1}{2}(\ln{ab}+\ln{bc}+\ln{ca}) \]\[ \ln{(a+b)(b+c)(c+a)} \geq 3 \ln{2} +\frac{1}{2}(\ln{ab}+\ln{bc}+\ln{ca}) \]由对数的性质可得：\[ (a+b)(b+c)(c+a) \geq 8abc \cdot \sqrt{2} \]将上述不等式代入原式，即可得到所要证明的不等式。
对数平均不等式链在高考压轴题中的研究
对数平均不等式链在高考压轴题中的研究温州市瓯海区第一高级中学浙江温州 325005在高三复习课中，处理试卷存在的问题时，试卷讲评是一种常见的教学形式，过去我常常是就题评讲，笼统评讲，尽管学生能够改正错误，解决试卷中存在的问题，理解一些基本的教学方法，但并没有从根本上解决问题，学生并没有真正理解数学，掌握数学方法，具体表现为试卷中出现的问题，错误会反复出现，多次订正仍不奏效。
针对这种现象，我们认真探索，尝试将一类题型归类到一起，以基本方法为主线，以微专题的形式讲评试卷。
1.1 “微专题”复习的认识“微专题”是相对于如“函数与方程思想”“数型结合思想”这样的综合性强，涵盖知识广，研究方法活的传统大专题而言的，通常是指围绕复习重点和关键点设计的，利用具有紧密相关性的知识和方法形成的专项研究，或结合学生的疑点易错点整合的，能够在短时间内专门解决的问题集，“微专题”复习具有“因微而细”“因微而准”“因微而深”的特点。
1.2 .“微专题”形式讲评试卷的设计原理波利亚曾经指出“良好的组织使得所提供的知识容易用上，这甚至比知识广泛更为重要”。
依托主题明确，针对性强的微专题进行复习，可以促进学生深度学习，从而有利于学生获得清晰的数学知识网络，系统的数学教学方法，加深对数学的理解，提高自身的数学素养。
一、案例分析【设计意图】由于a，b是两个独立的变量，如果可以变形为一个整体，那么就可以通过构造两个变量的比值或者差值通过换元转化为一元变量，利用导数证明不等式。
通过这个不等式的证明，引入双元换元定主元这一重要方法。
请同学们尝试证明【设计意图】由不等式（1）的证明方法类比，通过不等式（2）的证明同学们尝试巩固方法。
例1：（2017云南省高三区调研）已知函数（1）讨论函数的单调性（2）当函数有两个不相等的零点时，证明：【设计意图】例2，例3的设计针对模拟考试中学生存在的共性问题，设置“微专题”，让学生通过不同层次的练习，深刻理解方法本本质，通过反复训练感悟方法的应用。
例谈题根在数学解题中的应用——以对数均值不等式为例
3_¥)故学敉学2021年第3期例谈题根在数学解题中的应用----以对数均值不等式为例张国治(新疆生产建设兵团第二中学，新疆乌鲁木齐83_2)笔者通过对近几年高考、竞赛试题的研究，有一个很有趣的发现——许多试题来源于 同一个问题.我们可以把这类不断生长的问题 称为“题根题根是一个题族、一个题系中的 源头，也是一个题群中的典例.把握住了一个 题根，叩源推委，便能寻觅到解决问题的“金钥 匙”，进而辐射到一个题族、题群.以题根方式 展开教学，旨在寻找解题思维入口，通过题根 的变式拓展探求不同的解法，帮助学生理解问 题内涵，总结归纳.那么如何寻找“题根”呢? 将源于课本、高考、竞赛的题目进行提炼与升 华形成结论，然后再将其广泛应用于解题实践 中，这便是寻找题源的不二法门.这一过程意 义非凡，因为茫茫题海中很多题目表象不同，但实质一样（可归结于同一个题根或题源）.一 个题源加工而成的结论，其功效不亚于教材中 的一个定理，寻找“题根”需要八方联系，浑然一 体.笔者以一道竞赛题为例，探源溯流，给出一类 高考题、竞赛题命题的题根，多题归一，提供一种 高效学习数学的方法，敬请同行指正.[1]题根（2017年全国高中数学联赛湖南省 预赛第15题）[2]已知a、6 e 11且〇 > 0, i > Q，a #b.(i)求证：#(2)如果 a、6 是函数/(a:) = lnx -的两个零点，求证> e2.证法 1:如图 1，设/(*) = e*，x e [m，n]，其中双m，0)，B(n，0)，过点分别作x轴的垂线，交曲线于c、Z)两点.点)处的切线/分别交BC、于点£、f，则f c pJ f=6〒，所以/:7 1梯形从一(j£+J f)=(n-m*n^l)e ，•^曲边梯形A sa) =| g dx =e一 e , *S梯形^ m数感是《义务教育数学课程标准（2011 版)》中的十大核心概念之一，对运算结果的估 计是数感的一种重要体现.估计（估算）在三个 学段都有明确具体的目标要求，其中在第三学 段(7-9年级）的知识技能目标对运算（包括估 算）技能的要求是达到掌握层级.固然，计算的 准确性是数学学科的基本要求之一，运算能力 是典型的数学能力，但其内涵已发生了变化.运 算能力不仅指能够“正确地从事运算”，还包括 借助工具计算和手算，也包括精确计算和估算[2].作为一线的数学教师，应该充分理解课标 的价值理念,在日常的教学中应该给“估算”留一席之地.准确、标准的答案是我们数学人的追求，但“估算”是数学运算中不可或缺的组成部分估算”过程中所体现出的发散式调适与思考，正是学生创新意识形成、创新能力培养的一个有效载体.参考文献[1]中华人民共和国教育部.义务教育数 学课程标准（2011版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.[2]马复，凌晓枚.新版课程标准解析与 教学指导[M].北京：北京师范大学出版社，2012.2021年第3期故学敉学3-41n - m . 、 n — m / m …、 _ ...2 (yA + J b ) = 2 (e + e )•显然有S 梯形y l B E F < $曲边梯形/I B C D < S 梯形A f i C Z )，艮Pm +nr j一)(n - m ) e 2 < en - em < —-—(em + e n)，1_•设％> 1，则欲证不等式成立等价于证明21n % < i ---(x > 1).构造函数则e 宁<^<n - m a2，令 en = a ，可得< , , , - ^In a - lno 2证法2:(1)由对称性，不妨设a > 6 > 0,^ a - b a + b a - b a + l 先证^-----TT < —•因为^----— <In a - Ini 2 〇 In a - Ini >2(a - b )^ a ^In a - \nb 2a + ba—+设％ = T > 1，则欲证不等式成立等价于〇证明lnx > ^l l (x > 1}.X + l构造函数/(尤）=lnx - ^~~> 1)，则作)=(n因为* > 1,所以尸（*) >x(x + 1)0,/(X )在（1，+ =C )上为单调递增函数，由 f i x ) >/〇) = 0,即得lm > 1)，即<In a - In 62再证#< , a ~ f -,-.因为# <In a - Ini In a - Inia<=> In a - In 6 <y 〇b<=> In — <g 〇) = 21m -卜 一(% > 1)，则g '(x ) =- (% -J )<〇，因此g U )在（1, + 〇〇)上为单调递减函数.办）<g (l ) = 0,即得21n % < (a :---1 (x > 1),即y 〇b <a综上可知，#<In a - Inia -b In a - Ini2以上结论反映了对数平均与算术平均、几何平均的大小关系，我们知道两个正数a 、6的 对数平均定义：L (a , b ) = jlna - ln 6 () ’la(a = b ).则当 a >〇，i >〇,有<In a - Ini—^一，^^<[(16)<-^—（当且仅当〇=6时，等号成立).若令 lna =文！，Ini =%2,贝l j d = e*1，6 = e*2, < —z —等价于^^?J~a b <In a — Ini 2?V 2__*2 丄 ^2‘1—，利用该不等式，可x X pL e - e " e •十 ee 2 < ------- < —-xx - x 2 2以轻松获解该题的第（2)小题：证明:定义域为（〇, +〇〇 )，尸(％) 1 2017 -x2017 2黯•若p2〇17，则/，（,）= 0;若* e (0,2017),则尸〇) >0,函数/(；〇单调递 增;若;c e (2017, + 〇〇 )，则尸(无）< 0,函数3-42故学敉学2021年第3期/(幻单调递减.由对称性，不妨设 a >6> 〇,则可得〇< 6<2017 <a.由条件知，ln a= 且ln6=故 lna- ln6(a-6)，即2017由对数均值不等式得2017即a + 6 > 2 x 2017.-bIn a - Inia -bIn a - In6= 2017,<2 ，1iia;,a：2= \nxl+ \nx2= m(x l+ x2)> 2m•— = 2,所以a:丨a:2> e*12.m评注:不难发现，例1第（2)小题是题根第(2)小题的一般情况，事实上，由对数均值不等,______ 1 X] ~X22J x x x2<—=---------------，艮p<m lnxj -m x2-7,可见必有〇< m < i.m e因为lnafc= In a+ In6 =----(a+ 6) >2017 》^x 2x 2017 = 2,所以d> e2.下面举例说明此题根在高考、竞赛、模考中的应用，也进一步洞悉此类问题的编拟奥秘.类型1直接用对数均值不等式例1(2016年全国高中数学联赛湖南省预赛第15题）[3]已知函数/(幻=i l n x-(1)若m =」2时，求函数/(幻的所有零点；(2)若/(4有两个极值点心、巧,且x, < 尤2•求证:丨内> e2.解析:（1)当m =-2时，/(幻=;*111»:+；*:2-x = x( \nx + x -l) (x> 0). i^,p(x)=ln% + x -1(«：> 0)，则p'(A〇=丄+ 1> 0,于是p(a〇在X(〇, + «>)上为增函数.又P(1) = 0,所以，当m =-2时，函数/(幻有唯一的零点a; = 1.(2)若/(x)有两个极值点x,、*2,则导函数/'(*)有两个零点h h•由/'U)= In* -m*，可知例2(2018年全国高中数学联赛福建省预赛第14题）[4]已知/U)= e* -似.(1)当x > 0时，不等式Q-2)/(幻+ m*2+ 2> 0恒成立,求实数m的取值范围；(2)若力、*2是/(幻的两个零点，证明：A C, + A；2> 2.解析：（1)略.(2)证明：由题可得/U)= /U2) = 〇,即I e*' = m x., t _x x,x得。
利用对数平均不等式破解极值点偏移问题
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利用对数平均不等式破解极值点偏移问题
作者：杨瑞强
来源：《中学数学杂志(高中版)》2016年第05期
近几年的高考数学压轴题中，经常出现与函数的极值点偏移有关的问题，由于这类问题的解决往往需要构造函数，技巧性较强，考生难于切入，在短时间内难以解决.如果我们借助对数平均不等式加以放缩，那么问题难度大大降低.下面谈谈利用这个不等式破解此类高考导数的压轴题.
1极值点偏移的定义
对于函数y=f（x）在区间（a，b）内只有一个极值点x0，方程f（x）=0的解为x1，x2，且a
（1）若x1+x22>x0，则称函数y=f（x）在区间（a，b）上极值点x0左偏，简称x0左偏；（2）若x1+x22
4转化策略与步骤
极值点偏移问题中，函数中多有形如ex和lnx的式子，并且极值点偏移问题实质是双变量的问题，而双变量的问题许多都可以回归对数平均.常利用对数平均不等式放缩解决，其转化的步骤有：
第一步：根据f（x1）=f（x2）建立等式；
第二步：如果等式含有参数，则消参；有指数的则两边取对数，转化为对数式；
第三步：通过恒等变换转化为对数平均问题，利用对数平均不等式放缩求解.
作者简介杨瑞强（1979—），男，湖北黄冈人，中学一级教师，黄石市优秀班主任，黄石市优秀数学教师，主要从事数学教育与中学教学研究.近几年，在数学专业杂志上发表文章80余篇.。
对数均值不等式及变式在高考压轴题的应用
对数均值不等式及变式在高考压轴题的应用一、引言在高中数学的学习过程中，对数均值不等式是一个重要且常见的概念。
它不仅在数学理论中有着广泛的应用，更是在高考压轴题中经常出现的考点之一。
本文将深入探讨对数均值不等式及其变式在高考压轴题中的应用，希望能够帮助读者更深入地理解这一概念，并为高考做好充分的准备。
二、基本概念所谓对数均值不等式，即指若a>0，b>0，则有ln(a) + ln(b) ≥2ln(√ab)，这是对数均值不等式的基本形式。
对数均值不等式的变式有很多种，常见的有加权形式、n元形式等。
在高中数学的学习中，对数均值不等式主要被用来证明不等式或者进行估值。
三、应用举例1. 高考压轴题一题目：已知a，b，c为正实数，求证：(a^3 + b^3 + c^3)/3 ≥(a^2b + b^2c + c^2a)/3。
解析：根据对数均值不等式，可知ln(a^3) + ln(b^3) + ln(c^3) ≥3ln(abc)，即3ln(abc) ≤ ln(a^3) + ln(b^3) + ln(c^3)。
两边同时除以3，得ln(abc) ≤ (ln(a^3) + ln(b^3) + ln(c^3))/3。
由于ln是增函数，故ln(a^3) + ln(b^3) + ln(c^3) ≥ ln(a^2b) +ln(b^2c) + ln(c^2a)。
代回，得ln(abc) ≤ ln(a^2b) + ln(b^2c) +ln(c^2a)/3，即abc ≤ (a^2b + b^2c + c^2a)/3。
又由于a，b，c为正实数，所以(a^3 + b^3 + c^3)/3 ≥ (a^2b + b^2c + c^2a)/3。
2. 高考压轴题二题目：证明当x，y > 0时，有x/y + y/x ≥ 2。
解析：根据对数均值不等式，可知ln(x) + ln(y) ≥ 2ln(√xy)，即ln(x) + ln(y) ≥ ln(x) + ln(y)。
导数压轴题分类(2)---极值点偏移问题(含答案)
导数压轴题分类(2)---极值点偏移问题(含答案)极值点偏移问题是在求解函数的极值点时，由于函数表达式的特殊性质，导致极值点位置发生偏移，需要采用特殊的解决方法。
常见的处理方法有以下几种：1.构造一元差函数F(x)=f(x)-f(2x-x)或F(x)=f(x+x)-f(x-x)，其中x为函数y=f(x)的极值点。
2.利用对数平均不等式ab<a-b+a+b。
3.变换主元等方法lna-lnb^2<ln(a-b^2)。
接下来，我们以一个具体的例子来说明极值点偏移问题的解决方法。
题目：设函数f(x)=-alnx+x-ax(a∈R)，试讨论函数f(x)的单调性；若f(x)=m有两解x1,x2(x12a。
解析：1.讨论函数f(x)的单调性由f(x)=-alnx+x-ax可知：f'(x)=-a/x+1-a=-(a/x+a-1)因为函数f(x)的定义域为(0,+∞)，所以：①若a>0时，当x∈(0,a)时，f'(x)0，函数f(x)单调递增。
②若a=0时，当f'(x)=1/x>0在x∈(0,+∞)XXX成立，函数f(x)单调递增。
③若a0，函数f(x)单调递增。
2.求证x1+x2>2a因为f(x)=m有两解x1,x2(x1<x2)，所以：alnx1+x1-ax=m，-alnx2+x2-ax=m将两式相减，整理得：lnx1-lnx2+ln(x1-x2)=a根据对数平均不等式，有：ln(x1-x2)<(lnx1-lnx2)/2代入上式得：a>-[(lnx1-lnx2)/2]化XXX：x1-x2<2e^-2a因为x1+x2>2x2>a，所以：x1+x2>2a综上所述，极值点偏移问题的解决方法包括构造一元差函数、利用对数平均不等式和变换主元等方法。
在具体求解中，需要根据函数表达式的特殊性质，选择合适的方法进行处理。
2(t-1)x2-1)/(4(t-1)2+1)为减函数，且在(1,∞)上递增，所以原不等式得证。
例谈对数平均不等式在高考中的应用_邓军民
式 a－b lna－lnb
＞ 姨ab
，将 ln（x＋1）＋ 姨x＋1
－1＜
9x x＋6
这个不等式，巧
妙地转化为证明：
9x －（ x x＋6 姨x＋1
＋ 姨x＋1 －1）＞0 成 立 即 可．达
到了化繁为简、化难为易的目的．
n
Σ 例 4． 当 n∈N*时，求证： 1 ＞ln（n＋1）＋ n ．
i＝1 i
b
构 造 函 数 f（x）＝lnx－ 2（x－1） （x＞1），则 f ′（x）＝ （x－1）2 ，∵x＞
x＋1
x（x＋1）
1，∴f ′（x）＞0，∴f（x）在 （1，＋∞）单 调 递 增 ，∴f（x）＞f（1）＝0，所 以 可
11． 阅读下面材料， 根据要求作文。 有一个信者在屋檐下躲雨， 看见一位禅师正撑伞走过， 于是就喊道： “禅师！ 普度一下众生吧！ 带我一程如何？” 禅师道： “我在雨里， 你在檐下， 而檐下无雨， 你不需要 我度。” 信者立刻走出檐下， 站在雨中， 说道： “现在我也在雨 中， 该度我了吧！” 禅师： “我也在雨中， 你也在雨中， 我不被雨淋， 因为有 伞； 你被雨淋， 因为无伞。 所以不是我度你， 而是伞度我， 你要被度， 不必找我， 请自找伞！” 说完便走了！ 要求全面理解材料， 但可以选择一个侧面、 一个角度构 思作文。 自主确定立意， 确定文体， 确定标题； 不要脱离材 料的含意作文， 不要套作， 不得抄袭。 【写作指导】 这是一个禅学故事， 立意时， 对事件进行深 入分析， 抓关键词， 度、 伞是材料的关键词。 中心论点构成 可以采用： 使用材料中的关键词＋材料的中心。 自伞自度， 面 对人生的凄风苦雨， 伞是比喻， 指的是自己的动作行为或是 心态精神， 有着这样的动作行为或是心态精神能都让自己面 对物质或是心灵困境， 度过风雨， 迎来生命的晴天。 具体写 作时从 “为什么度、 怎么度” 这两个维度切入， 可以形成不 同的思路， 行文过程中时时巧妙回扣关键词。 这个材料贴近 当 下 学 生 的 生 活 实 际— ——多 少 学 子 长 期 依 赖 父 母 、 他 人 ， 缺 乏积极独自面对物质或是心灵困境的心态精神和动作行为。
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利用对数平均不等式巧解一类数学压轴题作者：行凯歌
来源：《新高考·高一数学》2018年第05期
基本不等式是高中数学中的重要内容，它往往和函数、导数、最值等聯系紧密，对学生的逻辑思维能力要求很高，倍受高考命题者的青睐.几何平均、算术平均是我们熟知的两个概念，对数平均虽然在教材中未提及，但是却在高考压轴题和各地模拟题中频频m现，因此，同学们要高度重视.如果以函数思想为指导，把一类双变量齐次函数问题转化为一元函数问题，再用导数为T具就能有效解决，而这个转化的思想就蕴含在对数平均不等式的证明之中.
一、知识介绍——对数平均不等式及证明
二、推广变形——对数平均不等式的常见变形形式
总之，与“对数平均”有关的证明题，常以压轴题的最后一问出现，综合性强，难度较高.同学们在解题时应简化思路与计算，领悟构造函数法在高考数学证明题中的无穷魅力，。