专题分类与整合思想
高一数学 分类与整合思想方法的常见应用
分类与整合思想方法的常见应用分类是自然科学乃至社会科学研究的基本逻辑方法.在解答数学题时,有时会出现这样情形，由于被研究的问题包含了多种情况，不能以统一的方法、统一的式子进行解决，这就要求在条件所给出的总区域内，正确划分若干个子区域，然后分别在每个子区域内把问题解决，这里集中体现的是由大化小,由整体化为部分,由一般化为特殊的解决问题的思想方法.“分”与“合”既是矛盾的对立面，又是矛盾的统一体，有“分”必有“合”.当分类解决问题之后，还必须把它们综合在一起，这种先“分”后“合”的解决问题的过程，就是分类与整合的思想方法.实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略.分类讨论的基本原则是:不重不漏,科学合理.高考数学将分类与整合思想的考查放在了比较重要的位置，主要以解答题的形式出现.要求考生明确何种问题需要分类,如何分类,分类后如何研究,最后如何整合.考查的主要题型是含有字母参数的数学问题.分类讨论的渊源很多，下面以引发分类讨论的不同渊源进行分类解析.1.由数学概念引起的分类讨论.如绝对值的定义、二次函数的定义、直线与平面所成的角、直线的倾斜角等.例1 函数()243f x ax x =+-在[]0,2x ∈上有最大值()2f ，求实数a 的取值范围.分析：此函数的类型不确定，需要分类讨论. 当0a =时，)(x f 是一次函数且单调递增;当0a ≠时, )(x f 是二次函数,单调性与a 的取值有关,需要继续分类.用配方法或导数求二次函数的最值.解: (1)当0a =时，()43f x x =-在[]0,2x ∈上为单调增函数，最大值为()2f ，满足题意.(2)当0a ≠时，函数()2224433f x ax x a x a a ⎛⎫=+-=+-- ⎪⎝⎭，其对称轴为2x a =-.①当0a >时，()243f x ax x =+-在[]0,2x ∈上为单调增函数，最大值为()2f ，满足题意;②当0a <时，当22a-≥即10a -≤<时，()243f x ax x =+-在[]0,2x ∈上为单调增函数，最大值为()2f ，满足题意.综上所述：当1a ≥-时，函数()243f x ax x =+-在[]0,2x ∈上有最大值()2f .点评：在该题的分类讨论中,有两个层次,第一层是确定函数类型,即是一次函数还是二次函数.第二层是二次函数的开口方向,即开口向上还是向下.由于每一类中的a 都符合题意,所以整合时,把每一类型中a 的范围取并集,得到最终答案.变式练习1. 已知等比数列{}n a 中,432,,a a a 分别是某等差数列的第5项，第3项，第2项，且164a =，公比1q ≠；设2log n n b a =，求数列{}||n b 的前n 项和n T .2. 由数学运算要求引起的分类讨论.如除法运算中除数不为零、偶次方根为非负、对数中真数与底数的要求、不等式中两边同乘以一个正数、负数对不等号方向的影响等.例2 设函数3()31()f x ax x x R =-+∈，若对于任意的[]1,1-∈x 都有0)(≥x f 成立，求实数a 的值为.分析：对于任意的[]1,1-∈x 都有0)(≥x f 恒成立求参数的范围问题，可将参数a 分离出来.在分离a 时,需要对x 等于零, x 为正, x 为负分别进行.分离出a 之后,通过求导研究不等式右边关于x 的函数，判断其单调性并求出其最值.解：若0x =，则不论a 取何值，()f x ≥0显然成立,所以R a ∈；当0x > 即]1,0(∈x 时，()331f x ax x =-+≥0可化为：2331a x x ≥-,设()2331g x x x =-，则()()'4312x g x x-=， 所以()g x 在区间10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，因此()max 142g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，从而a ≥4；当x ＜0 即)0,1[-∈x 时，()331f x ax x =-+≥0可化为a ≤2331x x -，()()'4312x g x x-=0>,()g x 在区间[)1,0-上单调递增，因此4)1()(max =-=g x g ,从而a ≤4，综上所述得a ＝4.点评:本题是不等式恒成立问题,需要将参数分离出来，转化为研究函数的最值.在分离参数时,需要在不等式的两边同乘以式子3x .根据不等式的运算性质,需要明确所乘式子的符号,所以要对x 是否为零及其符号进行分类讨论.由于是对自变量x 展开讨论,所以在整合时,要把a 的三个范围取交集.变式练习2. 已知函数x x f a log )(=在],2[π上的最大值比最小值大1，则a 等于A ．π2B ．2πC ．π2或2πD ．不同于A 、B 、C 答案3. 由函数的性质及定理、公式的限制引起的分类讨论例3.已知数列}{n a 、 3,2,1,),(,1:}{121=⋅===+n a a b a a a a b n n n n 其中且为常数满足（Ⅰ）若{}n a 是等比数列，试求数列{}n b 的前n 项和n S ；（Ⅱ）当{}n b 是等比数列时，甲同学说：{}n a 一定是等比数列；乙同学说：{}n a 一定不是等比数列,你认为他们的说法是否正确？为什么？分析: 在（Ⅰ）中，欲求数列{}n b 的前n 项和n S ，需要研究该数列的性质.由21a b b nn =+发现该数列为等比数列,但求和时要注意前n 项和公式的选择即对公比进行讨论. 在（Ⅱ）中，需要由{}n b 的性质进一步研究{}n a 的性质，对其是否为等比数列作出判断.解：（I ）因为{}n a 是等比数列a a a ==21,1, 所以1,0-=≠n n a a a . 又211212112111,a aa a a a a a ab b a a a b a a b n n n n n n n n n n n n n ===⋅⋅==⋅=⋅=-+++++++则 即}{n b 是以a 为首项,2a 为公比的等比数列. ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧±≠---=-==∴)1(.1)1()1(,)1( ,22a a a a a n a n S n n （II ）甲、乙两个同学的说法都不正确，理由如下： 设{}n b 的公比为q ，则022211≠===+++++a q a a a a a a b b nn n n n n n n 且又1253121,,,,,,1-==n a a a a a a a …是以1为首项，q 为公比的等比数列，n a a a a 2642,,,, …是以a 为首项，q 为公比的等比数列， 即{}n a 为： 22,,,,,1aq q aq q a .当2a q =时，{}n a 是等比数列；当2a q ≠时，{}n a 不是等比数列. 注:该问亦可以用举特例的办法进行判断.点评:该题两问的解答中都对公比进行了讨论.第一问中,讨论的渊源是公比不同, 等比数列前n 项和公式形式不同.第二问中讨论的原因是, {}n b 的公比取值不同, {}n a 的性质不同. 变式练习3: 解关于x 的不等)(222R a ax x ax ∈-≥-．4. 由图形的不确定性引起的分类讨论例4 设21,F F 为椭圆14922=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的一点. 已知21,,F F P 是一个直角三角形的三个顶点，且 ||||21PF PF >，求||||21pF PF 的值. 分析:本题考查圆锥曲线的性质.因为21,,F F P 是一直角三角形的三顶点，且||||21PF PF >，则直角顶点有两种可能性：点2F 或点P ，故有两解.解:由已知得6||||21=+PF PF ,2||21=F F .①若12F PF ∠为直角，则2212221||||||F F PF PF +=,解得314||1=PF ,34||2=PF ,所以||||21pF PF =27. ②若21PF F ∠为直角，则|F 1F 2|2=|PF 1|2+|PF 2|22221221||||||PF PF F F +=，得4||1=PF，2||2=PF ，故 2||||21=pF PF . 点评:该题由直角三角形的形状不确定即直角的位置不确定,引发了两方面的讨论,解题时要注意考虑全面.变式练习 4. 设一双曲线的两条渐近线方程为052,02=-+=+-y x y x ，此双曲线的离心率为 .5. 由参数的变化引起的分类讨论.某些含参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或者由于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法.例5 设1-=x 是)()()(22R x e b ax x x f x ∈++=-的一个极值点，求a 与b 的关系式（用a 表示b ）并求)(x f 的单调区间.分析:该题是一个非基本初等函数的单调性问题，考虑用导数解决,所以先对)(x f 求导,再得a 与b 的关系式.求得导函数的零点时,注意两个零点的大小对单调区间的影响.解： x e a b x a x x f --+-+-=22/])2([)(,由0)1(/=-f 得32-=a b∴x e a ax x x f --++=22)32()( ,x x e a x x e a x a x x f ---++-=-+-+-=222/)3)(1(]3)2([)(.令0)(/=x f 得a x x -=-=3,121 .由于1-=x 是)(x f 的极值点，故21x x ≠，即4≠a . ① 当4<a 时，12x x >，故]3,1[a --为)(x f 的单调增区间；),3[]1,(+∞---∞a 和为)(x f 的单调减区间.② 当4>a 时，12x x <，故]1,3[--a 为)(x f 的单调增区间；),1[]3,(+∞---∞和a为)(x f 的单调减区间.点评:在综合问题中对参数分类讨论的考查,是分类讨论思想考查的重要形式之一.对参数的分类,要注意遵循分类讨论的基本原则:科学合理,不重不漏.变式练习5. 已知椭圆1522=+m y x 的离心率 510=e ， 则m 的值为 A ．3 B ．253或3 C ．5 D ．3155或15 6. 其它需要进行分类讨论的问题.譬如排列组合问题、实际应用问题等例6 某车间有10名工人，其中4人仅会车工，3人仅会钳工，另外 三人车工钳工都会，现需选出6人完成一件工作，需要车工、钳工各3人，问有 种选派方案？解析:如果先考虑钳工，因有6人会钳工，故有36C 种选法，但此时不清楚选出的钳工中有几个是车钳工都会的，因此也不清楚余下的七人中有多少人会车工，因此在选车工时，就无法确定是从7人中选，还是从六人、五人或四人中选.同样，如果先考虑车工也会遇到同样的问题.因此需对全能工人被选的人数进行分类：（1）选出的6人中不含全能工人,共有3433C C 种不同选法；（2）选出的6人中含有一名全能工人共有351323C C C 种不同选法；（3）选出的6人中含2名全能工人共有362313C C C 种不同选法；（4）选出的6人中含有3名全能工人共有3733C C 种不同选法.所以共有3433C C +351323C C C +362313C C C +3733C C =306种选派方案.点评:分类讨论是解决排列组合问题中最常用的思想方法之一.在进行分类时,要注意选择最恰当的标准,使得所分的类尽量少.一般选择数量较少的那一种元素进行分类.变式练习6. 在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A 、B 两种作物，每种作物种一垄，为有利于作物生长，要求A 、B 两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共 有 种．变式练习答案及解析:1. 解:依题意得()032,32344342=+--+=a a a a a a a 即,211,0132,032212131===+-∴=+-∴q q q q q a q a q a 或解得 又1111,,6422n n q q a -⎛⎫≠∴==⨯ ⎪⎝⎭故()()17227,71log 64log 27||27,7n n n n n n b n b n n --⎡⎤⎧-≤⎪⎛⎫=⨯==-∴=⎢⎥⎨ ⎪->⎝⎭⎪⎢⎥⎩⎣⎦ ()()()()()()18767137,||6,22177677,||1,2122n n n n n n n b T n n n n n b T T +--∴≤===+---->==+=+当时当时 ()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+--≤-=∴7,212767,213n n n n n n T n . 2. C. 解析：研究函数的最值需考察函数的单调性，而题中对数函数的增减性与底数a 的取值有关，故应对a 进行分类讨论.⑴当1>a 时， )(x f 在[2，π]上是增函数，最大值是)(πf ，最小值是)2(f ，据题意， 1)2()(=-f f π，即12log log =-a a π，∴2π=a ⑵当10<<a时，)(x f 在[2，π]上是减函数，最大值是)2(f ，最小值是)(πf ，故1)()2(=-πf f ，即1log 2log =-πa a ，∴π2=a . 由⑴⑵知，答案为C.3. 解:原不等式可化为⇔ 02)2(2≥--+x a ax ,(1)0=a 时，x ≤－1，即x ∈(－∞,－1].(2)0≠a 时，不等式即为0)1)(2(≥+-x ax ,①0>a 时， 不等式化为0)1)(2(≥+-x ax ， 当⎪⎩⎪⎨⎧->>120a a ，即0>a 时，不等式解为),2[]1,(+∞--∞a ． 当⎪⎩⎪⎨⎧-≤>120aa ，此时a 不存在． ②0<a 时，不等式化为0)1)(2(≤+-x a x ， 当⎪⎩⎪⎨⎧-<<120aa ，即02<<-a 时，不等式解为]1,2[-a . 当⎪⎩⎪⎨⎧-><120a a ，即a <－2时，不等式解为]2,1[a -．当⎪⎩⎪⎨⎧-=<120aa ，即a ＝－2时，不等式解为x ＝－1．综上:当 a ＝0时，x ∈(－∞,－1)； a >0时，x ∈),2[]1,(+∞--∞a ；当－2<a <0时,x ∈]1,2[-a ；当a <－2时，x ∈]2,1[a-； a ＝－2时，x ∈{x |x ＝－1}． 4. 255或．解析:由双曲线的渐近线方程，不能确定其焦点位置，所以应分两种情况求解．（1）当双曲线的焦点在直线3=y 时，双曲线的方程可改为1)3()1(222=---by a x ，一条渐近线的斜率为2=a b ， ∴2=b ．∴ 555222==+==a a a b a c e ． （2）当双曲线的焦点在直线1=x 时，与（1）同理得双曲线的一条渐近线的斜率为2=b a ，此时25=e ． 综上（1）（2）可知，双曲线的离心率等于255或． 5.B. 解析：题设不能确定5与m 中哪个较大,故应将5与m 的大小分类讨论.据题意5,0≠>m m ,⑴当5>m 时，5,5,22222-=-=∴==m b a c b m a ，m m a c 522-=∴ 又510=e ,325=m . ⑵当50<<m 时，m b a c m b a -=-=∴==5,,522222m m ac -=∴522,3=m . 由⑴⑵知 325=m 或3=m .故选Ｂ. 6. 12. 解析:分类讨论：（1）先考虑作物A 种植在第一垄时，作物B 有3种种植方法；（2）再考虑作物A 种植在第二垄时，作物B 有2种种植方法；（3）又当作物A 种植在第三垄时，作物B 有1种种植方法.而作物B 种植的情况与作物A 相同，故满足条件的不同选垄方法共有（3+2+1）×2＝12种．。
分类与整合,高中数学解题中重要思想论文
分类与整合,高中数学解题中的重要思想分类与整合是解决问题的一种逻辑方法；是中学数学重要的思想方法之一。
分析近几年高考中分类与整合的试题可知：分类与整合思想在高考中占有十分重要的地位，是一个热点问题。
其原因是：分类与整合试题具有明显的逻辑性、综合性、探索性的特点，能体现“着重考察数学能力”的要求。
那么，引起分类的原因究竟有哪些？分类与整合有何标准和方法？分类能否避免？这都是我们必须从理论层面上需要弄清的问题.下面结合具体题型来回答这些问题。
一、由数学概念引起的分类例1：设且，比较与| |的大小.解: .①当时，，所以| .②当时，所以| .由①、②可知| .评：本题是由对数函数的概念内涵引发的分类，称为概念分类型，由概念内涵分类的还有很多，如：绝对值；直线的斜率；指数函数等.二、由定理、公式引起的分类例2：设等比数列的公比为，前项和（ =0，1，2，3…）（1）求的取值范围；（2）设，记的前项和为，试比较与的大小。
分析：本题的两问都需要进行分类求解，其分类的对象主要是等比数列的公比.解：（1）因为是等比数列，，可得，，当时，；当时，，即（ =1，2，3，…），上式等价于①（ =1，2，3，…）或②（ 1，2，3，…），解①式得；解②式，由于可为奇数、可为偶数，故 .综上，的取值范围是（-1，0）（0，+∞）.（2）由，得，，于是 .又因为，且或，所以，当或时，，即；当且时，，即；当或时，，即评：数列是高考必考内容之一.而等差、等比数列的通项、前项和是数列的基础，在研究一个数列的通项时，对与要分别予以研究，而涉及等比数列或用错位相减法去求解时，要对公比是否为零，进行分类。
三、由变量或参数的取值范围引起的分类例3：已知在区间［-2,2］上，恒为非负数,求实数的取值范围. 解：设，，由题意知, , ,恒成立,故只须在［-2,2］上的最小值为非负即可.⑴当- <-2,即时, 在区间［-2,2］上递增,所以 .解得，这与矛盾,故舍去.⑵当-2 ,即-4 时, ，解得:-6 ，又因为-4 ,所以 .⑶当 ,即a<-4时, 在区间［-2,2］上递减,所以 ,解得 ,又因为<-4,所以 .由⑴、⑵、⑶知: .评:首先等价转换命题,结合对称轴与区间的各种位置关系分类讨论,函数图像的对称轴为 ,由于为参数不确定,所以要分在区间［-2,2］的左、右侧和区间上三种情况.四、几何元素的形状、位置的变化引起的分类例4：如图，已知一条直线ab，它的两个端点分别在直二面角－－的两个面内移动，若和平面所成的角分别为，试讨论的范围. 解：（1）当时， .（2）与不垂直时，在平面内作，为垂足，连接 .∵平面∴ .∴是与平面所成的角，即 .在平面内作，垂足为，连结 .同理， .在中，，在和中，即。
分类与整合的思想
分类与整合的思想【知识归纳】所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答．实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略. 有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置． 分类讨论是一种重要的数学思想方法，引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种： (1)由数学概念引起的分类讨论，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论，如等比数列的前n 项和公式、函数的单调性等． (3)由数学运算引起的分类讨论，如除法运算中除数不为零、偶次方根为非负、对数运算中真数和底数的要求等．(4)由图形的不确定性引起的分类讨论，如角的终边所在象限、点、线、面的位置关系等． (5)由参数的变化引起的分类讨论，如含参数的方程不等式等．⑹较复杂或非常规的数学问题，需要采取分类讨论的解题策略来解决的．2．分类方法：（1）概念和性质是分类的依据（2）按区域（定义域或值域）进行分类是基本方法（3）不定因素（条件或结论不唯一，数值大小的不确定，图形位置的不确定）是分类的突破口（4）二分发是分类讨论的利器（4）层次分明是分类讨论的基本要求；3．简化和避免分类讨论的优化策略：（1）直接回避．如运用反证法、求补法、消参法等方法有时可以避开烦琐讨论；（2）变更主元．如分离参数、变参置换，构造以讨论对象为变量的函数得便感形式解题时可避开讨论；（3）合理运算．如利用函数奇偶性、变量的对称轮换以及公式的合理选用等有时可以简化甚至避开讨论；（4）数形结合．利用函数图象、几何图形的直观性和对称特点有时可以简化甚至避开讨论．【基础演练】1. 已知集合A ＝{1.3.}，B ＝{1，m} ，A B ＝A ，则m= ．解析：因为A B A = ,所以A B ⊆,所以3=m 或m m =.若3=m ，则}3,1{},3,3,1{==B A ,满足A B A = .若m m =，解得0=m 或1=m .若0=m ，则}0,3,1{},0,3,1{==B A ，满足A B A = .若1=m ，}1,1{},1,3,1{==B A 显然不成立，综上0=m 或3=m ．2. 已知圆x 2＋y 2＝4，则经过点P (2,4)，且与圆相切的直线方程为 ．解析：由22＋42>4得点P 在圆x 2＋y 2＝4外，由几何性质分析知过点P 且与圆相切的直线有两条，设直线斜率为k ，则切线方程为y －4＝k (x －2)，由圆心到切线的距离为2，解得k ＝34.由此可知斜率不存在时也满足题意，解得切线方程为3x －4y ＋10＝0或x ＝2.3.已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．解析：①当1－a ＜1，即a ＞0时，此时a ＋1＞1，由f (1－a )＝f (1＋a )，得2(1－a )＋a ＝－(1＋a )－2a ，计算得a ＝－32(舍去)；②当1－a ＞1，即a ＜0时，此时a ＋1＜1，由f (1－a )＝f (1＋a )，得2(1＋a )＋a ＝－(1－a )－2a ，计算得a ＝－34，符合题意．综上所述，a ＝－34.4. 若椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率e ＝105，则m 的值是________．解析：当m >5时，105＝m －5m，解得m ＝253； 当m <5时，105＝5－m 5，解得m ＝3.答案：3或253 5. 一个均匀的正四面体上分别有1,2,3,4四个数字，现随机投掷两次，正四面体面朝下的数字分别为b ，c . 若方程x 2－bx －c ＝0至少有一根x ∈{1,2,3,4}，就称该方程为“漂亮方程”，则方程为“漂亮方程”的概率是 ▲ ．①若方程一根为x ＝1，则1－b －c ＝0，即b ＋c ＝1，不成立．②若方程一根为x ＝2，则4－2b －c ＝0，即2b ＋c ＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c ＝2.③若方程一根为x ＝3，则9－3b －c ＝0，即3b ＋c ＝9.所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝3.④若方程一根为x ＝4，则16－4b －c ＝0，即4b ＋c ＝16，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c ＝4.综合①②③④知，(b ，c )的所有可能取值为(1,2)，(2,3)，(3,4)，所以，“漂亮方程”共有3个，方程为“漂亮方程”的概率为P ＝316. 6. 已知平面单位向量a ，b ，c 夹角两两相等，则|a ＋b ＋c |＝________.解析：由题意知夹角为2π3或0.当夹角为2π3时，a ＋b ＝－c ，|a ＋b ＋c |＝0；当夹角为0时，|a ＋b ＋c |＝3|a |＝3. 答案：0或3【考点例析】例题1（南京市、盐城市2013届高三期末）对于定义在区间D 上的函数()f x , 若任给0x D ∈, 均有0()f x D ∈, 则称函数()f x 在区间D 上封闭.（1）试判断()1f x x =-在区间[2,1]-上是否封闭, 并说明理由； （2）若函数3()1x ag x x +=+在区间[3,10]上封闭, 求实数a 的取值范围； （3）若函数3()3h x x x =-在区间[,](,)a b a b Z ∈上封闭, 求,a b 的值.解: (1)()1f x x =-在区间[2,1]-上单调递增,所以()f x 的值域为[-3,0]………2分 而[-1,0][2,1]⊄-,所以()f x 在区间[2,1]-上不是封闭的……………… 4分(2)因为,①当3a =时,函数()g x 的值域为{}3[3,10]⊆,适合题意……………5分 ②当3a >时,函数()g x 在区间[3,10]上单调递减,故它的值域为309[,]114a a++, 由309[,]114a a ++[3,10]⊆,得303119104aa +⎧≥⎪⎪⎨+⎪≤⎪⎩,解得,故331a <≤……………………7分③当3a <时,在区间[3,10]上有33()3311x a a g x x x +-==+<++,显然不合题意 …………………8分 综上所述, 实数a 的取值范围是331a ≤≤……………………………9分(3)因为3()3h x x x =-,所以2()333(1)(1)h x x x x '=-=+-,所以()h x 在(,1)-∞-上单调递增，在(1,1)-上递减，在(1,)+∞上递增．①当1a b <≤-时,()h x 在区间[,]a b 上递增,所以,此时无解………10分②当111a b ≤--<≤且时,因max ()(1)2h x h b =-=>,矛盾,不合题意…………11分③当11a b ≤->且时,因为(1)2,(1)2h h -==-都在函数的值域内,故22a b ≤-⎧⎨≥⎩, 又33()3()3a h a a a b h b b b⎧≤=-⎨≥=-⎩,解得202202a a b b -≤≤≥⎧⎨≤≤≤⎩或或,从而22a b =-⎧⎨=⎩ ………12分 ④当11a b -≤<≤时,()h x 在区间[,]a b 上递减,()()h b ah a b ≥⎧⎨≤⎩(*),而,a b Z ∈,经检验,均不合(*)式……………………………13分⑤当111a b -<≤≥且时,因min ()(1)2h x h a ==-<,矛盾,不合题意…………14分⑥当1b a >≥时,()h x 在区间[,]a b 上递增,所以()()h a ah b b ≥⎧⎨≤⎩,此时无解 ……………15分综上所述,所求整数,a b 的值为2,2a b =-=…………………16分变式题：设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1(x ∈R )，若对于任意的x ∈[－1,1]，都有f (x )≥0成立，则实数a 的值为________．解析：若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )＝1≥0显然成立；当x >0即x ∈(0,1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x 2－1x 3，设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3(1－2x )x 4，g (x )在区间⎝⎛⎦⎤0，12上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤12，1上单调递减，因此g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝4，从而a ≥4； 当x <0即x ∈[－1,0)时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≤3x 2－1x 3，g ′(x )＝3(1－2x )x 4>0，g (x )在区间[－1,0)上单调递增，因此g (x )min ＝g (－1)＝4，从而a ≤4.综上a ＝4.例题2 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }是首项为1，公比为b 的等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；331 a≤≤ 33 ()3 11xaa gx xx +-==+++ () () haa hbb ≥ ⎧ ⎨≤ ⎩(2)求数列{a n b n }的前n 项和T n . 解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋1－(n －1)2－1＝2n －1.所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2.(2)当b ＝1时，a n b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2.此时T n ＝2＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2＋1；当b ≠1时，a n b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，(2n －1)b n －1，n ≥2. 此时T n ＝2＋3b ＋5b 2＋…＋(2n －1)b n －1， ①两端同时乘以b 得，bT n ＝2b ＋3b 2＋5b 3＋…＋(2n －1)b n . ②①－②得，(1－b )T n ＝2＋b ＋2b 2＋2b 3＋…＋2b n －1－(2n －1)b n＝2(1＋b ＋b 2＋b 3＋…＋b n －1)－(2n －1)b n－b ＝2(1－b n )1－b－(2n －1)b n －b ，所以T n ＝2(1－b n )(1－b )2－(2n －1)b n 1－b －b1－b. 所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2＋1，b ＝1，2(1－b n )(1－b )2－(2n －1)b n 1－b －b1－b ，b ≠1.变式题：三个互不相等的实数成等差数列，适当交换这三个数的位置后，变成一个等比数列，则此等比数列的公比是________．解析：设这三个数分别为a －d ，a ，a ＋d (d ≠0)，由于d ≠0，所以a －d ，a ，a ＋d 或a ＋d ，a ，a －d 不可能成等比数列；若a －d ，a ＋d ，a 或a ，a ＋d ，a －d 成等比数列，则(a ＋d )2＝a (a －d )，即d ＝－3a ，此时q ＝a a －3a ＝－12或q ＝a －3a a ＝－2；若a ，a －d ，a ＋d 或a ＋d ，a －d ，a 成等比数列，则(a －d )2＝a (a＋d )，即d ＝3a ，此时q ＝a －3a a ＝－2或q ＝a －3a a ＋3a＝－12.故q ＝－2或－12.例题3 已知函数f (x )＝12ax 2－2x sin 2α和函数g (x )＝ln x ，记F (x )＝f (x )＋g (x )．(1)当α＝π3时，若f (x )在[1,2]上的最大值是f (2)，求实数a 的取值范围；(2)当a ＝1时，判断F (x )在其定义域内是否有极值，并予以证明；(3)对任意的α∈⎝⎛⎭⎫π6，23π，若F (x )在其定义域内既有极大值又有极小值，试求实数a 的取值范围． 解：(1)α＝π3时，f (x )＝12ax 2－32x .①当a ＝0时，f (x )＝－32x ，不合题意；②当a <0时，f (x )＝12ax 2－32x 在⎝⎛⎦⎤－∞，32a 上递增，在⎣⎡⎭⎫32a ，＋∞上递减，而[1,2]⊆⎣⎡⎭⎫32a ，＋∞，故不合题意；③当a >0时，f (x )＝12ax 2－32x 在⎝⎛⎦⎤－∞，32a 上递减，在⎣⎡⎭⎫32a ，＋∞上递增，f (x )在[1,2]上的最大值是max{f (1)，f (2)}＝f (2)，所以f (1)≤f (2)，即12a －32≤2a －3，所以a ≥1.综上所述，实数a 的取值范围是[1，＋∞)．(2)a ＝1时，F (x )＝12x 2－2x sin 2α＋ln x 的定义域为(0，＋∞)，F ′(x )＝x ＋1x－2sin 2α≥2－2sin 2α＝2cos 2 α≥0.①当cos α≠0时，F ′(x )>0，F (x )在(0，＋∞)上单调递增，从而F (x )在其定义域内没有极值； ②当cos α＝0时，F ′(x )＝x ＋1x －2＝(x －1)2x ，令F ′(x )＝0，有x ＝1，但是x ∈(0,1)时，F ′(x )>0，F (x )单调递增，x ∈(1，＋∞)时，F ′(x )>0，F (x )也单调递增，所以F (x )在其定义域内也没有极值．综上，F (x )在其定义域内没有极值．(3)据题意可知，令F ′(x )＝ax ＋1x－2sin 2α＝0，即方程ax 2－2x sin 2α＋1＝0在(0，＋∞)上恒有两个不相等的实数根．即⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4sin 4α－4a >0，a >0恒成立，因为α∈⎣⎡⎭⎫π6，23π，sin α∈⎣⎡⎦⎤12，1，所以0<a <116. 所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，116 变式题：已知F (x )＝F (x )＝x 2－mx ＋1－m 2，若|F (x )|在[0,1]上单调递增，则实数m 的取值范围是 ▲ ．[解] 由题设得F (x )＝x 2－mx ＋1－m 2，对称轴方程为x ＝m 2，Δ＝m 2－4()1－m 2＝5m 2－4.由于|F (x )|在[0,1]上单调递增，则有①当Δ≤0即－255≤m ≤255时，有⎩⎨⎧m2≤0，－255≤m ≤255，解得－255≤m ≤0.②当Δ>0即m <－255或m >255时，设方程F (x )＝0的根为x 1，x 2(x 1<x 2)，(ⅰ)若m >255，则m 2>55，有⎩⎪⎨⎪⎧m 2≥1，x 1<0⇔F (0)＝1－m 2<0.解得m ≥2；(ⅱ)若m <－255，即m 2<－55，有x 1<0，x 2≤0；∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2<0⇒m <0，x 1x 2≥0⇒1－m 2≥0⇒－1≤m ≤1，m <－255，解得－1≤m <－255.由(ⅰ)(ⅱ)得－1≤m ＜－255或m ≥2.综合①②有－1≤m ≤0或m ≥2.例题4已知动直线l 与椭圆C: 22132x y +=交于P ()11,x y 、Q ()22,x y 两不同点，且△OPQ 的面积OPQ S ∆其中O 为坐标原点.（Ⅰ）证明2212x x +和2212y y +均为定值;（Ⅱ）设线段PQ 的中点为M ，求||||OM PQ ⋅的最大值； （I ）解：（1）当直线l 的斜率不存在时，P ，Q 两点关于x 轴对称，所以2121,.x x y y ==-因为11(,)P x y 在椭圆上，因此2211132x y +=①又因为OPQ S ∆=所以11||||x y ⋅=②由①、②得11||| 1.x y ==此时222212123,2,x x y y +=+= （2）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为,y kx m =+由题意知m 0≠，将其代入22132x y +=，得222(23)63(2)0k x kmx m +++-=，其中22223612(23)(2)0,k m k m ∆=-+->即2232k m +>…………（*）又212122263(2),,2323km m x x x x k k-+=-=++所以||PQ ==因为点O 到直线l 的距离为d = 所以1||2OPQ S PQ d ∆=⋅==又OPQ S ∆=整理得22322,k m +=且符合（*）式，此时222221212122263(2)()2()23,2323km m x x x x x x k k-+=+-=--⨯=++ 222222121212222(3)(3)4() 2.333y y x x x x +=-+-=-+=综上所述，222212123;2,x x y y +=+=结论成立．（II ）解法一：（1）当直线l 的斜率不存在时，由（I ）知11|||||2||2,OM x PQ y ====因此||||22OM PQ ⋅== （2）当直线l 的斜率存在时，由（I ）知123,22x x km+= 22212122222212122222222222222332(),2222916211||()()(3),2244224(32)2(21)1||(1)2(2),(23)y y x x k k m k m m m m mx x y y k m OM m m m m k m m PQ k k m m ++-+1=+=-+==++-=+=+==-+-+=+==++所以2222111||||(3)2(2)2OM PQ m m ⋅=⨯-⨯⨯+2222211(3)(2)113225().24m mm m =-+-++≤= 所以5||||2OM PQ ⋅≤，当且仅当221132,m m m-=+=即. 综合（1）（2）得|OM|·|PQ|的最大值为5.2解法二：因为222222121221214||||()()()()OM PQ x x y y x x y y +=++++-+-222212122[()()]10.x x y y =+++=所以224||||102|||| 5.25OM PQ OM PQ +⋅≤==即5||||,2OM PQ⋅≤当且仅当2||||OM PQ == |OM|·|PQ|的最大值为5.2点评：处理直线与圆锥曲线的位置关系时，待定直线方程需要考虑斜率不存在这种情况，需分类讨论．【方法技巧】分类讨论是一种重要的数学思想，也是一种重要的解题策略，它可以将整体化为局部，将复杂问题化为单一问题，以便于“各个击破”．但由于分类讨论一般过程较为冗长，叙述较为烦琐，且极易在完备上造成失误，因此它并非一定是解决问题的上策或良策，我们提倡在熟悉和掌握分类思想的同时，要注意克服思维定势，处理好“分”与“合”，“局部”与“整体”之间的辨证统一关系，充分挖掘求解问题中潜在的特殊性与简单性，尽可能地简化或避免分类讨论．简化分类讨论的常用策略通常有：消去参数、整体换元、反客为主、补集分析、整体变形、借助图解．【专题训练】一、填空题1. 不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4< 0对于x ∈R 恒成立，那么a 的取值范围是____________．(－2,2]2. 在△ABC 中，已知A ＝30°，a ＝8，b ＝83，则S △ABC ＝__________.323或16 33. 设一双曲线的两条渐近线方程为2x －y ＝0,2x ＋y ＝0，则双曲线的离心率是________．5或524. 正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为____________．43或8335. 设常数a >0，椭圆x 2－a 2＋a 2y 2＝0的长轴长是短轴长的2倍，则a ＝________.12或26. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝32，S 3＝92，则a 1的值为__________．32或67. 若函数y ＝mx 2＋x ＋5在[－2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是__________．⎣⎡⎦⎤0，14 8. 若函数f (x )＝a |x －b |＋2在[0，＋∞)上为增函数，则实数a 、b 的取值范围为__________．a >0且b ≤0 9. 设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2.若曲线Γ上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线C 的离心率等于________．由题意可设：|PF 1|＝4m ，|F 1F 2|＝3m ，|PF 2|＝2m ，当圆锥曲线是椭圆时，长轴长为2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝4m ＋2m ＝6m ，焦距为2c ＝|F 1F 2|＝3m ， 所以离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝3m 6m ＝12；当圆锥曲线是双曲线时，实轴长为2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝4m －2m ＝2m ，焦距为2c ＝|F 1F 2|＝3m ，所以离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝3m 2m ＝32.10. 函数f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，对于任意的x ∈[－2,2]总有f (x )≥0成立，则a 的取值范围是 ．[解] 法一：设f (x )的最小值为g (a )，则只需要g (a )≥0.(1)当－a 2<－2，即a >4时，g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥0，得a ≤73，又a >4，故不存在；(2)当－a 2∈[－2,2]，即－4≤a ≤4时，g (a )＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝3－a －a 24≥0，得－6≤a ≤2，又－4≤a ≤4，故－4≤a ≤2；(3)当－a2>2，即a <－4，g (a )＝f (2)＝7＋a ≥0，得a ≥－7，又a <－4，故－7≤a <－4. 综上所述a 的取值范围为[－7,2]．法二：原题可等价转化为x 2＋3≥(1－x )a 对于任意的x ∈[－2,2]恒成立． (1)若1－x ＝0即x ＝1时，显然成立，此时a ∈R .(2)若1－x >0即－2≤x <1，不等式a ≤x 2＋31－x 恒成立，设g (x )＝x 2＋31－x ，利用求导的方法得到g (x )min ＝2，得到a ≤2，(3)若1－x <0即1<x ≤2，不等式a ≥x 2＋31－x 恒成立，设g (x )＝x 2＋31－x ，利用求导的方法得到g (x )max ＝－7，得到a ≥－7.综上所述a 的取值范围为[－7,2]． 二、解答题11. 已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1(a ∈R )，f ′(x )是f (x )的导函数．(1)若x ∈[－2，－1]，不等式f (x )≤f ′(x )恒成立，求a 的取值范围；(2)解关于x 的方程f (x )＝|f ′(x )|；(3)设函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x )，f (x )≥f ′(x )f (x )，f (x )<f ′(x )，求g (x )在x ∈[2,4]时的最小值．解：(1)因为f (x )≤f ′(x )，所以x 2－2x ＋1≤2a (1－x )．又因为－2≤x ≤－1，所以a ≥x 2－2x ＋12(1－x )在x ∈[－2，－1]时恒成立．因为x 2－2x ＋12(1－x )＝1－x 2≤32，所以a ≥32.(2)因为f (x )＝|f ′(x )|，所以x 2＋2ax ＋1＝2|x ＋a |，所以(x ＋a )2－2|x ＋a |＋1－a 2＝0， 则|x ＋a |＝1＋a 或|x ＋a |＝1－a .①当a <－1时，|x ＋a |＝1－a ，所以x ＝－1或x ＝1－2a ； ②当－1≤a ≤1时，|x ＋a |＝1－a 或|x ＋a |＝1＋a ， 所以x ＝±1或x ＝1－2a 或x ＝－(1＋2a )；③当a >1时，|x ＋a |＝1＋a ，所以x ＝1或x ＝－(1＋2a )．(3)因为f (x )－f ′(x )＝(x －1)[x －(1－2a )]，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x )，f (x )≥f ′(x )，f (x )，f (x )<f ′(x ).①若a ≥－12，则x ∈[2,4]时，f (x )≥f ′(x )，所以g (x )＝f ′(x )＝2x ＋2a .从而g (x )的最小值为g (2)＝2a ＋4；②若a <－32，则x ∈[2,4]时，f (x )<f ′(x )，所以g (x )＝f (x )＝x 2＋2ax ＋1，当－2≤a <－32时，g (x )的最小值为g (2)＝4a ＋5；当－4<a <－2时，g (x )的最小值为g (－a )＝1－a 2； 当a ≤－4时，g (x )的最小值为g (4)＝8a ＋17.③若－32≤a <－12，则x ∈[2,4]时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ＋1，x ∈[2，1－2a )，2x ＋2a ，x ∈[1－2a ，4]，当x ∈[2,1－2a )时，g (x )最小值为g (2)＝4a ＋5； 当x ∈[1－2a,4]时，g (x )最小值为g (1－2a )＝2－2a .因为－32≤a <－12，(4a ＋5)－(2－2a )＝6a ＋3<0，所以g (x )最小值为4a ＋5.综上所述，[g (x )]min＝⎩⎪⎨⎪⎧8a ＋17，a ≤－4，1－a 2，－4<a <－2，4a ＋5，－2≤a <－12，2a ＋4，a ≥－12.12. 已知函数f (x )＝2a sin 2x －2 3a sin x cos x ＋a ＋b (a ≠0)的定义域是⎣⎡⎦⎤0，π2，值域是[－5,1]，求常数a ，b 的值．解 f (x )＝2a ·12(1－cos 2x )－ 3a sin 2x ＋a ＋b＝－2a ⎝⎛⎭⎫12cos 2x ＋32sin 2x ＋2a ＋b ＝－2a sin ⎝⎛⎫2x ＋π6＋2a ＋b ， 又∵0≤x ≤π2，∴π6≤2x ＋π6≤76π，∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1. 因此，由f (x )的值域为[－5,1]可得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，－2a ×(－12)＋2a ＋b ＝1，－2a ×1＋2a ＋b ＝－5，或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－2a ×1＋2a ＋b ＝1，－2a ×(－12)＋2a ＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝－5或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝1.13. 已知椭圆C 的离心率e ＝22，一条准线方程为x ＝4，P 为准线上一动点，直线PF 1、PF 2分别与以原点为圆心、椭圆的焦距F 1F 2为直径的圆O 交于点M 、N . (1)求椭圆的标准方程；(2)探究是否存在一定点恒在直线MN 上？若存在，求出该点坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)由题意得c a ＝22，a 2c ＝4，解得c ＝2，a ＝22，则b 2＝a 2－c 2＝4，所以椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.(2)由(1)易知F 1F 2＝4，所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.设P (4，t )，则直线PF 1方程为y ＝t6(x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝t 6(x ＋2)，得(t 2＋36)x 2＋4t 2x ＋4(t 2－36)＝0， 解得x 1＝－2，x 2＝－2(t 2－36)t 2＋36，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2(t 2－36)t 2＋36，24t t 2＋36，同理可得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2(t 2－4)t 2＋4，－8t t 2＋4.①若MN ⊥x 轴，则－2(t 2－36)t 2＋36＝2(t 2－4)t 2＋4，解得t 2＝12，此时点M ，N 的横坐标都为1，故直线MN 过定点(1,0)；②若MN 与x 轴不垂直，即t 2≠12，此时k MN ＝－8t t 2＋4－24tt 2＋362(t 2－4)t 2＋4＋2(t 2－36)t 2＋36＝－8tt 2－12， 所以直线MN 的方程为y －－8t t 2＋4＝－8t t 2－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2(t 2－4)t 2＋4，即y ＝－8tt 2－12(x －1)，所以直线MN 过定点(1,0)．综上，直线MN 过定点(1,0)．14. 已知函数f (x )＝|ax 2－2x ＋1|,0≤x ≤4.(1)a <0时，求f (x )≥12的解集；(2)求f (x )的最大值．解：(1)a <0时，f (x )草图如下，由f (0)＝1，f (4)＝7－16a >1， 可令⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－2x ＋1＝12，x >0，解得x 1＝2－4－2a2a.又令⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－2x ＋1＝－12，x >0，解得x 2＝2－4－6a2a，由图可知f (x )≥12的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2－4－2a 2a ∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－4－6a 2a ，4. (2)a <0时，f (x )＝|ax 2－2x ＋1|，记g (x )＝ax 2－2x ＋1,0≤x ≤4， g (x )图象对称轴x ＝1a ，1a <0，∴g (x )在[0,4]上单调递减．∴f (x )max ＝max{f (0)，f (4)}＝max{1，|16a －7|}＝7－16a ； a ＝0时，f (x )＝|－2x ＋1|，f (x )max ＝7； a >0时，如果0＜1a ≤4，即a ≥14时，f (x )max ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫f (0)，f ⎝⎛⎭⎫1a ，f (4)＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，⎪⎪⎪⎪1a －1，|16a －7|， ①14≤a ≤716，即167≤1a≤4时， f (x )max ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，1a －1，7－16a ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a －1，7－16a ，由于⎝⎛⎭⎫1a －1－(7－16a )＝1a ＋16a －8≥0， ∴f (x )max ＝1a －1.②716＜a ≤1时，f (x )max ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，1a －1，16a －7， 12＜a ≤1时，⎝⎛⎭⎫1a －1－1＝1a －2＝1－2a a<0， (16a －7)－1＝16a －8＝8(2a －1)>0，∴f (x )max ＝16a －7. 716＜a ≤12时，⎝⎛⎭⎫1a －1－1＝1a －2＝1－2a a ≥0， (16a －7)－1＝16a －8＝8(2a －1)≤0，∴f (x )max ＝1a －1.③a >1时，f (x )max ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，1－1a ，16a －7＝16a －7，又0＜a ＜14时，1a>4，f (x )max ＝{f (0)，f (4)}＝{1，|16a －7|}＝7－16a .综上所述f (x )max＝⎩⎪⎨⎪⎧7－16a ，a ≤14，1a －1，14＜a ≤12，16a －7，a >12.。
分类与整合思想例析
分类与整合思想例析1.分类与整合的思想的含义分类与整合的思想,就是当问题所给的对象因一些不确定的因素而不能进行统一研究时 (如不能用同一种标准,或同一种运算,或同一个类型,或同一个定理,或同一种方法去解决等),就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答.实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的解题策略. 分类讨论既是一种重要的数学方法，也是一种重要的数学思想．由于有关分类讨论的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，并能训练人的思维的条理性与概括性，因而在高考试题中往往占有较大的比重对问题实行分类与整合,确定分类标准后等于增加了一个已知条件,实现了有效增设,将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题),优化解题思路,降低问题难度.2.运用分类与整合思想解题的基本步骤：确定标准→合理分类→逐类讨论→归纳总结。
(1)明确讨论的对象：即对哪个参数进行讨论；(2)对所讨论的对象进行合理分类(分类时要做到不重复、不遗漏、标准要统一、分层不越级)；(3)逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决；(4)归纳总结：将各类情况总结归纳3.明确引起分类讨论的原因，有利于掌握分类整合的思想方法解决问题.分类讨论的主要原因有：(1)由数学概念引起的分类讨论：有些数学概念本身就是以分类形式定义的，如直线与平面所成的角、三角函数值所在象限的符号、绝对值等．有些数学概念本身也有一定的限制，如直线的斜率 ，二次曲线中又包括椭圆、双曲线及抛物线，如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线与平面所成的角、直线的斜率与倾斜角、两条直线所成的角，指数函数,对数函数,空集，直线的截距式等.(2)由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零、偶次方根为非负、对数中真数与底数的要求、不等式中两边同乘以一个正数、负数对不等号方向的影响，三角函数的定义域，一元二次方程解的情况是按“∆”的正负给出的等；(3)由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论:有的数学性质、定理、公式是分类给出的,在不同的条件下有不同的结论，或者在一定的条件下才成立，这时要小心，应根据题目条件确定是否分类讨论。
分类与整合的思想——数学思想方法系列讲座(4)
，
顺应核心 素养发展
从文 化基础
，
、
自
主 发 展 、 社 会 参 与 三 方 面 造 就 全 “ 面 发 展 的
人” 。
二 是采 取鼓 励 、 表 扬 和 赞美 为 主 的 交 互
方 式 努 力 培 养 人 的 积 极 心 态 、 进 取精 神 以 及 ，
博雅 情怀 。 三 是 发挥 教 师的 榜样 力 量 ， 增 强 教
其 次 “ 颂歌教 学 法 ” 在实 践上 具有 突 出 的 ，
操作 性 特征 。 它 迎 合 当 下 人才 培 养 ห้องสมุดไป่ตู้ 价值 追
求 ， 遵 循有 效 实施 的 基本 原 则 ， 同 时 也 需要 处 理好教育 过 程 中 的几 对 关 系 。
明
确
三点价值追求
：
是 一
立
足学生
的
独 立
担当 能力
时 眼 中 只 有 个 体 ， 而 无全 牛 （ 目 无 全牛 ） 。 这 个 故 事 告
诉我 们 ：
当我们掌握事物
的规 律后
，
办起事 来就 会得心
应 手 ， 运 用 自 如 。 “ 目 无 全牛 ” 对 数 学 学 习 的 启 示 是 当 我 们 对 一 个
，
问 题 的 整 体无法 下 手 时 ， 可 以 通 过 研究 问 题 的组 成结
师 的 教学 能 力 真 正 实现高 品 质 的 公 民教 育 。 ，
坚 持 四 个 基 本 原 则 ： 一 是 专 注 性 ， 即 要 求
主体 对课堂 的热 情 参 与 和 高 度专 注 ， 让教师 和
学生 沉浸其中 。
二 是 诱导 性 即 要 求 发 挥教 师 ，
高考二轮复第24讲 分类与整合思想、转化与化归思想
第24讲 分类与整合思想、转化与化归思想思想诠释分类与整合思想是当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的答案．实质上分类与整合就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想． 思想应用应用一 由概念、性质、运算引起的分类与整合[典例1] 已知函数f (x )＝a x ＋b (a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a ＋b ＝________．解析：当a ＞1时，函数f (x )＝a x ＋b 在[－1，0]上为增函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0无解．当0＜a ＜1时，函数f (x )＝a x＋b 在[－1，0]上为减函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，所以a ＋b ＝－32.答案：－32数学概念运算公式中常见的分类1．由二次函数、指数函数、对数函数的定义，直线的倾斜角、向量的夹角的范围等引起分类讨论；2．由除法运算中除数不为零，不等式两边同乘以(或除以)同一个数(或式)时的不等号等引起分类讨论；3．由数学公式、定理、性质成立的条件等引起分类讨论． [应用体验]1．在等比数列{a n }中，已知a 3＝32，S 3＝92，则a 1＝________．解析：当q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝32，S 3＝3a 1＝92，显然成立；当q ≠1时，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝a 3＝32，a 1（1－q 3）1－q ＝S 3＝92.所以⎩⎨⎧a 1q 2＝32，①a 1（1＋q ＋q 2）＝92，②由①②，得1＋q ＋q 2q 2＝3，即2q 2－q －1＝0，所以q ＝－12或q ＝1(舍去)．当q ＝－12时，a 1＝a 3q 2＝6.综上可知，a 1＝32或a 1＝6.答案：32或6应用二 由图形位置或形状引起的分类与整合[典例2] 若双曲线x 23－m ＋y 2m －1＝1的渐近线方程为y ＝±12x ，则m 的值为( )A ．－1B ．13C.113D ．－1或13解析：选B.根据题意可分以下两种情况讨论：①当焦点在x 轴上时，则有⎩⎪⎨⎪⎧3－m ＞0，m －1＜0，解得m ＜1，此时渐近线方程为y ＝±1－m3－mx ， 由题意1－m 3－m＝12，解得m ＝13. ②当焦点在y 轴上时，则有⎩⎪⎨⎪⎧3－m ＜0，m －1＞0，解得m ＞3，此时渐近线方程为y ＝±m －1m －3x ， 由题意m －1m －3＝12，解得：m ＝13；与m ＞3矛盾(舍去)． 综合以上可知m ＝13.故选B.图形位置或形状的变化中常见的分类圆锥曲线形状不确定时，常按椭圆、双曲线来分类讨论，求圆锥曲线的方程时，常按焦点的位置不同来分类讨论；相关计算中，涉及图形问题时，也常按图形的位置不同、大小差异等来分类讨论． [应用体验]2．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋2y ≤4，x －2y ≤2，如果目标函数z ＝x ＋ay 的最大值为163，则实数a 的值为( ) A ．3 B ．143C ．3或143D ．3或－113解析：选D.先画出线性约束条件所表示的可行域，目标函数化为y ＝－1a x ＋1a z ，目标函数z＝x ＋ay 的最大值只需直线的截距最大，当a ＞0时，－1a＜0，①若－12＜－1a ＜0，即a ＞2，最优解为A ⎝⎛⎭⎫43，43， z ＝43＋43a ＝163，a ＝3，符合题意； ②若－1a ＜－12，即0＜a ＜2，最优解为B ⎝⎛⎭⎫3，12， z ＝3＋12a ＝163，a ＝143，不符合题意舍去；当a ＜0时，－1a＞0，③若0＜－1a ＜1，即a ＜－1，最优解为C (－2，－2)，z ＝－2－2a ＝163，a ＝－113，符合题意；④若－1a ＞1，即－1＜a ＜0，最优解为B ⎝⎛⎭⎫3，12， z ＝3＋12a ＝163，a ＝143，不符合题意舍去；综上可知实数a 的值为3或－113.故选D.应用三 由变量或参数引起的分类与整合[典例3] 设函数f (x )＝x 3－ax －b ，x ∈R ，其中a ，b ∈R .求f (x )的单调区间． 解：由f (x )＝x 3－ax －b ，可得f ′(x )＝3x 2－a . 下面分两种情况：①当a ≤0时，f ′(x )＝3x 2－a ≥0恒成立． 所以f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)． ②当a ＞0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝3a 3或x ＝－3a 3. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表：几种常见的由参数变化引起的分类与整合1．含有参数的不等式的求解． 2．含有参数的方程的求解．3．对于解析式系数含参数的函数，求最值或单调性问题． 4．二元二次方程表示曲线类型的判定等． 5．直线与圆锥曲线位置关系的分类． [应用体验]3．函数f (x )＝ax 2＋4x －3在x ∈[0，2]上有最大值f (2)，则实数a 的取值范围是________． 解析：当a ＝0时，f (x )＝4x －3在x ∈[0，2]上为单调递增函数，最大值为f (2)，满足题意． 当a ≠0时，函数f (x )＝ax 2＋4x －3＝a⎝⎛⎭⎫x ＋2a 2－3－4a ，其对称轴为x ＝－2a.当a ＞0时，f (x )＝ax 2＋4x －3在x ∈[0，2]上为单调递增函数，最大值为f (2)，满足题意． 当a ＜0时，只有当－2a ≥2，即－1≤a ＜0时，f (x )＝ax 2＋4x －3在x ∈[0，2]上为单调递增函数，最大值为f (2)，满足题意．综上，当a ≥－1时，函数f (x )＝ax 2＋4x －3在x ∈[0，2]上有最大值f (2)． 答案：[－1，＋∞)思想诠释转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而解决问题的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为易解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题． 思想应用应用四 特殊与一般的转化[典例4] 已知函数f (x )＝(a －3)x －ax 3在[－1，1]上的最小值为－3，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．[12，＋∞)C ．[－1，12]D ．⎣⎡⎦⎤－32，12 解析：当a ＝0时，函数f (x )＝－3x ，x ∈[－1，1]，显然满足条件，故排除选项A ，B ； 当a ＝－32时，函数f (x )＝32x 3－92x ，f ′(x )＝92x 2－92＝92(x 2－1)，当－1≤x ≤1时，f ′(x )≤0，所以f (x )在[－1，1]上单调递减， 所以f (x )min ＝f (1)＝32－92＝－3，满足条件，故排除C.综上，选D.答案：D常用的“特殊元素”有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．对于选择题，在题设条件都成立的情况下，用特殊值探求正确选项，即通过对特殊情况的研究来判断一般规律；对于填空题，当结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以用特殊值代替变化的不定量． [应用体验]4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等差数列，则cos A ＋cos C1＋cos A cos C＝________．解析：令a ＝b ＝c ，则△ABC 为等边三角形， 且cos A ＝cos C ＝12，代入所求式子，得cos A ＋cos C 1＋cos A cos C ＝12＋121＋12×12＝45.答案：45应用五 正与反的转化[典例5] 若对于任意t ∈[1，2]，函数g (x )＝x 3＋⎝⎛⎭⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t ，3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是________． 解析：g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2， 若g (x )在区间(t ，3)上总为单调函数， 则①g ′(x )≥0在(t ，3)上恒成立， 或②g ′(x )≤0在(t ，3)上恒成立．由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x－3x ，当x ∈(t ，3)时恒成立，∴m ＋4≥2t －3t ，t ∈[1，2]恒成立，则m ＋4≥－1，即m ≥－5；由②得3x 2＋(m ＋4)x －2≤0，即m ＋4≤2x －3x ，当x ∈(t ，3)时恒成立， 则m ＋4≤23－9，即m ≤－373.∴函数g (x )在区间(t ，3)上总不为单调函数的m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－373，－5. 答案：⎝⎛⎭⎫－373，－51．本题是正与反的转化，由于不为单调函数有多种情况，先求出其反面，体现“正难则反”的原则．2．题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”“至少”及否定性命题情形的问题中． [应用体验]5．由命题“存在x 0∈R ，使e|x 0－1|－m ≤0”是假命题，得m 的取值范围是(－∞，a )，则实数a 的取值是( ) A ．(－∞，1) B ．(－∞，2) C ．1D ．2解析：选C.命题“存在x 0∈R ，使e|x 0－1|－m ≤0”是假命题，可知它的否定形式“任意x ∈R ，使e |x －1|－m ＞0”是真命题，可得m 的取值范围是(－∞，1)，而(－∞，a )与(－∞，1)为同一区间，故a ＝1.应用六 主与次的转化[典例6] 已知函数f (x )＝x 3＋3ax －1，g (x )＝f ′(x )－ax －5，其中f ′(x )是f (x )的导函数．对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )＜0，则实数x 的取值范围为________． 解析：由题意，知g (x )＝3x 2－ax ＋3a －5， 令φ(a )＝(3－x )a ＋3x 2－5，－1≤a ≤1.(主次转化) 对－1≤a ≤1，恒有g (x )＜0，即φ(a )＜0，∴⎩⎪⎨⎪⎧φ（1）＜0，φ（－1）＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－x －2＜0，3x 2＋x －8＜0，解得－23＜x ＜1.故当x ∈⎝⎛⎭⎫－23，1时，对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )＜0. 答案：⎝⎛⎭⎫－23，1函数、方程与不等式相互转化的应用函数、方程与不等式就象“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系问题转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围． [应用体验]6．对于满足0≤p ≤4的所有实数p ，使不等式x 2＋px ＞4x ＋p －3成立的x 的取值范围是________．解析：设f (p )＝(x －1)p ＋x 2－4x ＋3， 则当x ＝1时，f (p )＝0.所以x ≠1.f (p )在0≤p ≤4上恒为正，等价于⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＞0，f （4）＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧（x －3）（x －1）＞0，x 2－1＞0，解得x ＞3或x ＜－1.答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)限时规范训练(二十四)建议用时45分钟，实际用时________一、选择题(本题共6小题，每题5分，共30分)． 1．“(m －1)(a －1)＞0”是“log a m ＞0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选 B.(m －1)(a －1)＞0等价于⎩⎪⎨⎪⎧m ＞1，a ＞1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜1，a ＜1，而log a m ＞0等价于⎩⎪⎨⎪⎧m ＞1，a ＞1或⎩⎪⎨⎪⎧0＜m ＜1，0＜a ＜1，所以条件具有必要性，但不具有充分性，比如m ＝0，a ＝0时，不能得出log a m ＞0.2．若关于x 的不等式(a －2)x 2＋2(a －2)·x －4＜0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．[－2，2] C ．(－2，2]D ．(－∞，－2)解析：选C.当a －2＝0即a ＝2时，不等式为－4＜0，恒成立，所以a ＝2；当a －2≠0时，则a 满足⎩⎪⎨⎪⎧a －2＜0，Δ＜0，解得－2＜a ＜2，所以a 的取值范围是{a |－2＜a ≤2}．3．已知中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，则该双曲线的离心率为( ) A.54 B ．53C.54或53D ．35或45解析：选C.当焦点在x 轴上时，b a ＝34，此时离心率e ＝c a ＝54；当焦点在y 轴上时，a b ＝34，此时离心率e ＝c a ＝53，故选C.4．若正数x ，y 满足x 2＋3xy －1＝0，则x ＋y 的最小值是( ) A.23 B ．2 23C.33D ．2 33解析：选B.由x 2＋3xy －1＝0可得y ＝13⎝⎛⎭⎫1x －x ， 所以x ＋y ＝x ＋13⎝⎛⎭⎫1x －x ＝2x 3＋13x ≥2 23⎝⎛⎭⎫当且仅当x ＝22时等号成立. 5．过抛物线y ＝ax 2(a ＞0)的焦点F ，作一直线交抛物线于P ，Q 两点．若线段PF 与FQ 的长度分别为p ，q ，则1p ＋1q 等于( )A ．2aB ．12aC ．4aD ．4a解析：选C.抛物线y ＝ax 2(a ＞0)的标准方程为x 2＝1a y (a ＞0)，焦点F ⎝⎛⎭⎫0，14a . 过焦点F 作直线垂直于y 轴，则|PF |＝|QF |＝12a， ∴1p ＋1q＝4a . 6．已知AB 为圆O ：(x －1)2＋y 2＝1的直径，点P 为直线x －y ＋1＝0上任意一点，则P A →·PB →的最小值为( ) A ．1 B ． 2 C ．2D ．2 2 解析：选A.由P A →·PB →＝(PO →＋OA →)·(PO →＋OB →)＝PO →2＋PO →·(OA →＋OB →)＋OA →·OB →＝PO →2－r 2，即为d 2－r 2，其中d 为点P 与圆心O 之间的距离，r 为圆的半径，因此当d 取最小值时，P A →·PB →取值最小，可知d 的最小值为|1－0＋1|2＝2，故P A →·PB →的最小值为1，故选A.二、填空题(本题共2小题，每小题5分，共10分)7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin （πx 2），－1＜x ＜0，e x －1，x ≥0，若f (1)＋f (a )＝2，则a 的所有可能值为________．解析：f (1)＝e 0＝1，即f (1)＝1. 由f (1)＋f (a )＝2，得f (a )＝1.当a ≥0时，f (a )＝1＝e a －1，所以a ＝1. 当－1＜a ＜0时，f (a )＝sin(πa 2)＝1， 所以πa 2＝2k π＋π2(k ∈Z )． 所以a 2＝2k ＋12(k ∈Z )，k 只能取0，此时a 2＝12.因为－1＜a ＜0，所以a ＝－22.故a ＝1或－22. 答案：1或－228．已知变量x ，y 满足的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k ＝________．解析：当k ＝0时，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的可行域如图①(阴影部分)所示，由图②可知，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的平面区域是直角三角形，只有直线y ＝kx ＋1与直线x＝0或y ＝2x 垂直时平面区域才是直角三角形．结合图形可知斜率k 的值为0或－12.答案：0或－12三、解答题(本题共2小题，每小题12分，共24分)9．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ； (2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求A 的值． 解：(1)因为c ＝2，C ＝π3，所以由余弦定理得4＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab ，因为△ABC 的面积等于3， 所以12ab sin C ＝ 3，所以ab ＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(2)因为sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ， 所以sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ， 所以sin B cos A ＝2sin A cos A ， ①当cos A ＝0时，A ＝π2；②当cos A ≠0时，sin B ＝2sin A ， 由正弦定理得b ＝2a ，联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得a ＝2 33，b ＝4 33，所以b 2＝a 2＋c 2，因为C ＝π3，所以A ＝π6.综上所述，A ＝π2或A ＝π6.10．设a ＞0，函数f (x )＝12x 2－(a ＋1)x ＋a (1＋ln x )．(1)求曲线y ＝f (x )在(2，f (2))处与直线y ＝－x ＋1垂直的切线方程； (2)求函数f (x )的极值． 解：(1)由已知，得x ＞0， f ′(x )＝x －(a ＋1)＋ax，又因为y ＝f (x )在(2，f (2))处切线的斜率为1， 所以f ′(2)＝1，即2－(a ＋1)＋a2＝1，所以a ＝0，此时f (2)＝2－2＝0， 故所求的切线方程为y ＝x －2.(2)f ′(x )＝x －(a ＋1)＋a x ＝x 2－（a ＋1）x ＋ax＝（x －1）（x －a ）x.①当0＜a ＜1时，若x ∈(0，a )，则f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增； 若x ∈(a ，1)，则f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减； 若x ∈(1，＋∞)，则f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增． 此时x ＝a 是f (x )的极大值点，x ＝1是f (x )的极小值点， 函数f (x )的极大值是f (a )＝－12a 2＋a ln a ，极小值是f (1)＝－12.②当a ＝1时，f ′(x )＝（x －1）2x ≥0，所以函数f (x )在定义域(0，＋∞)内单调递增， 此时f (x )没有极值点，故无极值．③当a ＞1时，若x ∈(0，1)，则f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增； 若x ∈(1，a )，则f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减； 若x ∈(a ，＋∞)，则f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增． 此时x ＝1是f (x )的极大值点，x ＝a 是f (x )的极小值点， 函数f (x )的极大值是f (1)＝－12，极小值是f (a )＝－12a 2＋a ln a .综上，当0＜a ＜1时，f (x )的极大值是－12a 2＋a ln a ，极小值是－12；当a ＝1时，f (x )没有极值；当a ＞1时，f (x )的极大值是－12，极小值是－12a 2＋a ln a .。
高中数学“分类与整合思想”专题及专项训练
“分类与整合思想”专题及专项训练一、大纲解读分类与整合思想是数学中的一种重要思想,是历年高考考查的重点之一,此类试题具有明显的逻辑性、综合性、探索性的特点,在考试中的难度属中高档.高考对分类与整合思想的考查,主要有四个方面:一是考查有没有分类意识,遇到应该分类的情况,是否想到要分类,什么样的问题需要分类;二是如何分类,即要科学地分类,分类标准要统一,不重不漏;三是分类之后解题如何展开;四是如何整合.纵观近几年高考试题,通常是由参数的变化及变化过程需要一些条件限制而引起的分类讨论.归纳起来引起分类讨论的原因大致有五种:一是涉及的数学概念是分类定义的;二是运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的;三是求解的数学问题的结论有多种可能性;四是数学问题中含有参变量,这些参变量的不同取值会导致不同的结果;五是对较复杂或非常规的数学问题,需要采取分类讨论的解题策略来解决.二、高考预测预计2009年高考对分类与整合思想的考查可能会呈现以下趋势:试题将会在求解函数、数列、不等式、解析几何、立体几何、排列组合、概率等数学问题中出现,在解决含参数问题、绝对值问题、导数问题、最值问题上运用较多,在高考中所占的比重较大,且对理科要求较高,而对文科在这方面的要求可能相对较低.三、重点剖析重点1 对等比数列公比q 的分类讨论；对n 奇偶性的讨论；解分式不等式时分类讨论各因式的符号；运用比较法时对式子符号的讨论等等．例1 设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和),2,1( 0 =>n S n ．(Ⅰ)求q 的取值范围；(Ⅱ)设1223++-=n n n a a b ，记{}n b 的前n 项和为n T ，试比较n S 与n T 的大小． 分析：由于涉及等比数列的前n 项和公式的应用，须分1q =和1q ≠讨论．欲比较n S 与n T 的大小，只须求出n S 与n T 后，再用作差法比较．解：(Ⅰ)因为}{n a 是等比数列，.0,0,011≠>=>q S a S n 可得 当;0,11>==na S q n 时1(1)11,0,0,(1,2,)11n nn a q q q S n q q--≠=>>=--当时即上式等价于不等式组：),2,1(,01,01 =⎩⎨⎧<-<-n q q n① 或),2,1(,01,01 =⎩⎨⎧>->-n q q n② 解①式得q >1；解②，由于n 可为奇数、可为偶数，得－1<q <1． 综上，q 的取值范围是).,0()0,1(+∞⋃-(Ⅱ)由2132n a n b a a ++=-得.)23(),23(22n n n n S q q T q q a b -=-=于是)123(2--=-q q S S T n n n ).2)(21(-+=q q S n又∵n S >0且－1<q <0或q >0．①当112q -<<-或2q >时0n n T S ->即n n T S >； ②当122q -<<且q ≠0时，0n n T S -<即n n T S <； ③当12q =-或q =2时，0n n T S -=即n n T S =．点评：该例中在使用等比数列的前n 项和公式n S ，须分1q =和1q ≠讨论，不要忽视1q =的情况．在第二小问中，抓住2132n a n b a a ++=-，利用等比数列的通项公式，巧妙的把n b 转化成.)23(),23(22n n n n S q q T q q a b -=-=最后，作差比较n S 与n T ，即)123(2--=-q q S S T n n n ).2)(21(-+=q q S n ，为确定差的符号，故对q 进行分类讨论．重点2 指数函数(01)xy a a a =>≠且和对数函数log (0,1)a y x a a =>≠且的单调性研究时对底数进行分类讨论例2如果函数22()(31)(01)x x f x a a a a a =-+>≠且在区间[)0+，∞上是增函数，那么实数a 的取值范围是( )Ａ．203⎛⎤ ⎥⎝⎦，Ｂ．1⎫⎪⎪⎣⎭Ｃ．(Ｄ．32⎡⎫+⎪⎢⎣⎭，∞ 分析：本题在用复合函数单调性判断时，需要对底数a 进行分类讨论． 解：令xu a =，则外层函数为22(31)y u a u =-+．①若a >1，则内层函数xu a =在[)0+，∞上是增函数，其值域是{|1}u u ≥，要使函数22()(31)x x f x a a a =-+在区间[)0+，∞上是增函数，所以需要外层函数22(31)y u a u =-+在[1,)u ∈+∞上是增函数，所以对称轴23112a u +=≤，213a ∴≤，这与a >1矛盾；②若0<a <1，则xu a =在[)0+，∞上是减函数，其值域是{|01}u u <≤．要使函数22()(31)x x f x a a a =-+在区间[)0+，∞上是增函数，所以需要外层函数22(31)y u a u =-+在(0,1]u ∈上是减函数，所以对称轴23112a u +=≥，∴213a ≥，∴实数a 的取值范围是，选B ． 点拔：复合函数单调性判断要注意四点：①内层函数xu a =的值域是外层函数22(31)y u a u =-+的定义域．②内层函数xu a =与复合函数22()(31)x x f x a a a =-+定义域相同，都是[)0+，∞；③分类与整合的思想方法的运用；④一元二次函数单调性要依其图象对称轴的位置来判断．重点3 对于含有参数函数问题，在研究导函数时往往要运用分类与整合的思想例3求函数323()(1)3(1)2f x ax a x x a x R =+-->-∈，取极小值时x 的值． 分析：首先确定2'()33(1)3f x ax a x =+--是否为二次函数，故分0a =和0a ≠讨论，若0a ≠时，求f ′(x )=0的实根，进而划分其单调区间，确定极小值．解：2'()33(1)3f x ax a x =+--.(1)当0a =时，'()f x = 33x --.令'()f x =0，得1x =-，下面列出x ，'()f x ，()f x 的对应值表如下：(2)当0a ≠时，'()f x = 13(1)(1)3()(1)ax x a x x a-+=-+， 令'()f x =0，得1x a=或1x =-，则 ①当a >0时，11>-，下面列出x ，'()f x ，f (x )的对应值表如下： 所以，函数f (x )在x a =处取得极小值()f a ． ②当1-<a <0时，因11(1)0a a a+--=>，所以1< —1，则下面列出x ，'()f x ，f (x )的对应值表如下：此时，函数f (x )在x a =处取得极小值()f a． 综上所述：当a >0或1-<a <0时，函数f (x )在1x a=处取得极小值． 点拔：结合函数、导数内容考查分类与整合思想是近几年高考热点．本题首先弄清导函数是否为二次函数，分0a =与0a ≠讨论，做第一层面讨论；当0a ≠时，f ′(x )为二次函数，其图象为抛物线，但开口方向不确定，所以做第二层面的讨论；为了划分单调区间，应该比较'()f x =0的两根的大小．重点4 整体观察，化繁为简例4 (08年高考四川卷理11)设定义在R 上的函数()f x 满足()()213f x f x ⋅+=，若()12f =，则()99f =( )（Ａ）13 （Ｂ）2 （Ｃ）132 （Ｄ）213解析：∵函数()f x 满()()213f x f x ⋅+=， ∴ ()()1342=+⋅+x f x f ， ∴()()()()1313242=+⋅+⋅+x f x f x f x f ，∴()()x f x f =+4， ∴函数()x f 为周期是4的周期函数.∴()()()21244197==⨯+=f f f ， ∴()()139799=⋅f f ,故()21399=f . 点评：该题主要考察学生的整体观察能力，即不要()()213f x f x ⋅+=将割裂来求，否则加大了运算难度.如: ∵()()213f x f x ⋅+=且()12f =，∴()12f =，()()1313312f f ==，()()13523f f ==，()()1313752f f ==，()()13925f f ==，，∴()221132n f n n ⎧⎪-=⎨⎪⎩为奇数为偶数 ，∴()()1399210012f f =⨯-= ，故选C. 重点5 整体构造（式或形），化难为易例5(07年高考陕西卷理5)已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项的和，且14,23==n n S S ，则n S 4=( ).A.80B.30C.26D.16解析：此题若考虑用求和公式，不仅计算量较大，而且对公比q 还要考虑1,1≠=q q 进行分类讨论，若注意到n S ，n S 2，n S 3,n S 4依次相差n 项，以此构造四个整体：n n n n n S S S S S 232,,--，n n S S 34-通过分析可知这三个数构成等比数列。
第3讲 分类与整合思想
解析
热点 3 含参数问题的分类整合法 例 3 (2020·海南省高三三模)已知函数 f(x)＝ln (x＋1)－x＋12x2＋ax3，a ∈R. (1)若 a＝0，证明：当－1<x<0 时，f(x)<0，当 x>0 时，f(x)>0； (2)若 x＝0 是 f(x)的极大值点，求 a 的值．
解
(2)若 a≥0，由(1)知，当 x>0 时，f(x)≥ln (x＋1)－x＋12x2>0＝f(0)．
这与 x＝0 是 f(x)的极大值点矛盾．
若 a<0，f′(x)＝x＋1 1－1＋x＋3ax2＝3ax3＋x＋3a1＋1x2
＝x3＋ax12x＋3a3＋a 1，x>－1.
令
f′(x)＝0，可得
x＝0
)
A．5
B．10
C．15
D．20
答案
解析 (x＋y)5 展开式的通项公式为 Tr＋1＝C5rx5－ryr(r∈N 且 r≤5)，所以 x＋yx2与(x＋y)5 展开式的乘积可表示为 xTr＋1＝xCr5x5－ryr＝C5rx6－ryr 或yx2Tr＋1 ＝yx2Cr5x5－ryr＝Cr5x4－ryr＋2.在 xTr＋1＝Cr5x6－ryr 中，令 r＝3，可得 xT4＝C35x3y3 ＝10x3y3，该项中 x3y3 的系数为 10，在yx2Tr＋1＝Cr5x4－ryr＋2 中，令 r＝1，可得 yx2T2＝C15x3y3＝5x3y3，该项中 x3y3 的系数为 5，所以 x3y3 的系数为 10＋5＝15. 故选 C．
解 (1)证明：当 a＝0 时，f(x)＝ln (x＋1)－x＋12x2， 定义域为(－1，＋∞)． f′(x)＝x＋1 1－1＋x＝x＋x21. 当 x>－1 时，f′(x)>0， 所以 f(x)在(－1，＋∞)上单调递增． 又因为 f(0)＝0， 所以当－1<x<0 时，f(x)<0，当 x>0 时，f(x)>0.
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专题 分类与整合思想
适用学科 高中数学 适用年级
高中三年级 适用区域 苏教版
课时时长（分钟）
120
知识点
由数学概念而引起的分类讨论 由数学运算要求而引起的分类讨论
由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论 由图形的不确定性而引起的分类讨论 由参数的变化而引起的分类讨论
教学目标 掌握分类与整合思想，学会应用 教学重点 利用分类与整合思想求解问题 教学难点
利用分类与整合思想求解问题
教学过程
一、复习预习
在解答某些数学问题时，有时需要对各种情况进行分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类与整合的思想．分类讨论体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法．
二、知识讲解
考点1 由数学概念、运算引起的分类讨论 考点2 由图形或图象引起的分类讨论 考点3 由参数引起的分类讨论
三、例题精析
【例题1】
【题干】函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
sin (πx 2
)，－1<x <0，
e x －1
，x ≥0，若f (1)＋f (a )＝2，则a 的所有可能值为
________
【例题2】
【题干】 设F 1、F 2为椭圆x 29＋y 2
4＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点，已知P 、F 1、F 2是一
个直角三角形的三个顶点，且||PF 1＞||PF 2.求||
PF 1||
PF 2的值．
【例题3】
【题干】 已知函数f (x )＝(a ＋1)ln x ＋ax 2＋1.讨论函数f (x )的单调性．
四、课堂运用
【基础】 1.
【题干】已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n －1(p 是常数)，则数列{a n }是
( )
A ．等差数列
B ．等比数列
C ．等差数列或等比数列
D ．以上都不对 2.
【题干】若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的值的集合是 __________
【题干】 已知m ∈R ，求函数f (x )＝(4－3m )x 2－2x ＋m 在区间[0,1]上的最大值．
4.
【题干】 是否存在非零实数a ，使函数f (x )＝ax 2＋(a －2)x ＋1在[－2,3]上的最大值为3
4？若
存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由． 5.
【题干】(2013·安徽)“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【巩固】 1.
【题干】(2011·课标全国)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直
线y ＝2x 上，则cos 2θ等于
________
【题干】(2012·四川)函数y ＝a x －1
a
(a >0，且a ≠1)的图象可能是
( )
3.
【题干】(2013·天津)已知函数f (x )＝x (1＋a |x |)．设关于x 的不等式f (x ＋a )<f (x )的解集为A 若
⎣⎡⎦⎤－12，12⊆A ，则实数a 的取值范围是_________ 【拔高】 1.
【题干】(2012·北京)已知函数f (x )＝ax 2＋1(a >0)，g (x )＝x 3＋bx .
(1)若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值； (2)当a 2＝4b 时，求函数f (x )＋g (x )的单调区间，并求其在区间(－∞，－1]上的最大值．
【题干】函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是 ( )
A ．[0,1]
B ．(0,4)
C ．[4，＋∞)
D ．[0,4
3.
【题干】中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1都相切，
则双曲线C 的离心率是
( )
A.3或6
2
B ．2或 3 C.233
或2
D.233或62
课程小结
1． 分类的原则是：(1)分类的对象确定，标准统一；(2)不重复，不遗漏；(3)分层次，不越
级讨论．
2． 中学数学中可能引起分类讨论的因素：
(1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线与平面所成的角、直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等．
(2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列{a n }的前n 项和公式等．
(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等． (4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等．
(5)由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等． 总之，分类讨论要明确讨论的原因和对象，确定讨论标准，最后要对讨论进行总结；可以不分类的就不要分类讨论．
课后作业
【基础】 1.
【题干】直线l 1：kx ＋(1－k )y －3＝0和l 2：(k －1)x ＋(2k ＋3)y －2＝0互相垂直，则k ＝________.
【题干】若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n －1，则它的通项公式a n ＝________ 3.
【题干】 若函数f (x )＝a |x －b |＋2在[0，＋∞)上为增函数，则实数a 、b 的取值范围为________________． 4.
【题干】 若A ＝{x |x 2＋(p ＋2)x ＋1＝0，x ∈R }，B ＝{x |x >0}，且A ∩B ＝∅，则实数p 的取值范围是
( )
A ．p >－4
B ．－4<p <0
C ．p ≥0
D ．R
【巩固】 1.
【题干】抛物线y 2＝4px (p >0)的焦点为F ，P 为其上的一点，O 为坐标原点，若△OPF 为等
腰三角形，则这样的点P 的个数为
( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．6
2.
【题干】(2012·湖北)函数f (x )＝x cos x 2在区间[0,4]上的零点个数为
( )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
3.
【题干】若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是( )
A ．(－∞，2]
B ．[－2,2]
C ．(－2,2]
D ．(－∞，－2)
4.
【题干】正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为 ( )
A.89 3 B ．4 3 C.29 3 D ．43或83 3 5.
【题干】已知双曲线的渐近线方程为y ＝±3
4
x ，则双曲线的离心率为
( ) A.53 B.52 C.52或153 D.53或54
6.
【题干】函数f (x )的图象如图所示，f (x )为奇函数，其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，则不等式x [f (x )－f (－x )]<0的解集为
( )
A ．(－3,0)∪(0,3)
B ．(－∞，－3)∪(0,3)
C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
D ．(－3,0)∪(3，＋∞) 【拔高】 1.
【题干】(2012·山东)若函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________. 2.
【题干】已知数列{a n }满足：a 1＝m (m 为正整数)，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧
a n 2，当a n 为偶数时，3a n ＋1，当a n 为奇数时.若a 6＝1，
则m 所有可能的取值为________． 3.
【题干】有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a 的取值范围是____________． ． 4.
【题干】已知a >0，命题p ：函数y ＝a x (a ≠1)在R 上单调递减，命题q ：不等式|x －2a |＋x >1
的解集为R ，若p 和q 有且只有一个是真命题，则a 的取值范围是________．
5.
【题干】已知函数f (x )＝－a ln x ＋2a 2
x
＋x (a ≠0)．
(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线x －2y ＝0垂直，求实数a 的值； (2)讨论函数f (x )的单调性． 6.
【题干】已知函数f (x )＝2a sin 2x －2 3a sin x cos x ＋a ＋b (a ≠0)的定义域是⎣⎡⎦
⎤0，π2， 值域是[－5,1]，求常数a ，b 的值．。