集合的基本关系及运算(基础)

集合的基本关系及运算 A一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别一些给定集合的子集．在具体情境中，了解空集和全集的含义．2.理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．学习策略：数形结合思想，如常借助于数轴、维恩图解决问题；分类讨论的思想，如一元二次方程根的讨论．二、学习与应用“凡事预则立，不预则废”．科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对知识回顾——复习学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？1．集合元素的特征性、性、性.2．元素与集合的关系：(1)如果a是集合A的元素，就说a A，记作a(2)如果a不是集合A的元素，就说a A，记作a3．集合的分类(1)空集：元素的集合称为空集(empty set)，记作：.(2)有限集：元素的集合叫做有限集.(3)无限集： 元素的集合叫做无限集.4．常用数集及其表示非负整数集(或自然数集)，记作正整数集，记作 *或 +整数集，记作有理数集，记作实数集，记作要点一：集合之间的关系1.集合与集合之间的“包含”关系集合A 是集合B 的部分元素构成的集合，我们说集合B 集合A ；子集：如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集(subset).记作： ，当集合A 不包含于集合B 时，记作 ， 用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系：A B(B A)⊆⊇或要点诠释：（1）“A 是B 的子集”的含义是：A 的任何一个元素都是B 的元素，即由任意的x A ∈，能推出x B ∈．（2）当A 不是B 的子集时，我们记作“A ⊆B (或B ⊇A )”，读作：“A 不包含于B ”（或“B 不包含A ”）．真子集：若集合A B ，存在元素x B 且x A ，则称集合A 是集合B的真子集(proper subset).记作： (或 )规定：空集是任何集合的 集，是任何非空集合的 集.2.集合与集合之间的“相等”关系A B B A ⊆⊆且，则A 与B 中的元素是一样的，因此A B要点梳理——预习和课堂学习认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习．课堂笔记或者其它补充填在右栏．预习和课堂学习更多知识点解析请学习网校资源ID ：#3072#388901要点诠释：任何一个集合是它本身的 集.要点二：集合的运算1.并集一般地，由所有属于集合A 集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集，记作：A B 读作：“A 并B”，即：A ∪B={x| }Venn 图表示：要点诠释：（1）“x ∈A ，或x ∈B ”包含三种情况：“,x A x B ∈∉但”；“,x B x A ∈∉但”；“,x A x B ∈∈且”．（2）两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有元素组成的集合(重复元素只看成一个元素).2.交集一般地，由属于集合A 属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集；记作：A B ，读作：“A 交B”，即A∩B={x| }；交集的Venn 图表示：要点诠释：（1）并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A 与B 没有公共元素时，不能说A 与B没有交集，而是A B =∅I ．（2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A ∩B 中的任意元素都是A 与B 的公共元素”，同时“A 与B 的公共元素都属于A ∩B ”．（3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的公共元素组成的集合.3.补集全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.补集：对于全集U 的一个子集A ，由全集U 中所有 集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集(complementary set)，简称为集合A 的补集，记作：U UA A={x|}；即；_________痧补集的Venn图表示：要点诠释：（1）理解补集概念时，应注意补集UAð是对给定的集合A和()U A U⊆相对而言的一个概念，一个确定的集合A，对于不同的集合U，补集不同．（2）全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则Z为全集；而当问题扩展到实数集时，则R为全集，这时Z就不是全集．（3）UAð表示U为全集时A的补集，如果全集换成其他集合（如R）时，则记号中“U”也必须换成相应的集合（即RAð）．4.集合基本运算的一些结论A B A A B B A A=A A=A B=B A⋂⊆⋂⊆⋂⋂∅∅⋂⋂，，，，A AB B A B A A=A A=A A B=B A⊆⋃⊆⋃⋃⋃∅⋃⋃，，，，U U(A)A=U(A)A=⋃⋂∅，痧若A∩B=A，则A B⊆，反之也成立若A∪B=B，则A B⊆，反之也成立若x∈(A∩B)，则x∈A且x∈B若x∈(A∪B)，则x∈A，或x∈B求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法.类型一：集合间的关系例1．请判断①0{0} ；②{}∈R R；③{}∅∈∅；④∅{}∅；⑤{}0∅=；典型例题——自主学习认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三．课堂笔记或者其它补充填在右栏．更多精彩内容请学习网校资源ID：#3079#388901⑥{}0∈∅；⑦{}0∅∈；⑧∅{}0，正确的有哪些？【解析】【总结升华】举一反三：【变式1】用适当的符号填空：(1) {x||x|≤1} {x|x 2≤1}；(2){y|y=2x 2} {y|y=3x 2-1}；(3){x||x|>1} {x|x>1}；(4){(x ，y)|-2≤x≤2} {(x ，y)|-1<x≤2}。

【答案】【总结升华】例2. 写出集合{a ，b ，c}的所有不同的子集.【解析】【总结升华】举一反三：【变式1】已知{},⊆a b A{},,,,a b c d e ，则这样的集合A 有个.【答案】【变式2】同时满足：①{}1,2,3,4,5⊆M ；②∈a M ，则6-∈a M 的非空集合M 有（ ）A. 16个B. 15个C. 7个D. 6个【答案】【解析】【变式3】已知集合A={1，3，a}， B={a 2}，并且B 是A 的真子集，求实数a 的取值.【解析】注意：根据集合元素的互异性，需分类讨论.例3．设M={x|x=a 2+1，a ∈N +}，N={x|x=b 2-4b+5，b ∈N +}，则M 与N 满足( )A. M=NB. M NC. N MD. M∩N=∅【解析】例4．已知{,,},{0,,},=-=M x xy x y N x y 若M =N ，则2()(+++x y x 2100100)()+++L y x y = ．A ．－200B ．200C ．－100D ．0【思路点拨】解答本题应从集合元素的三大特征入手，本题应侧重考虑集合中元素的互异性．【答案】【解析】【总结升华】举一反三：【变式1】设a ，b ∈R ，集合b {1,a+b,a}={0,,b}a，则b-a=( )【答案】【解析】类型二：集合的运算例5. （1）已知集合M={y|y=x 2-4x+3，x ∈R }，N={y|y=-x 2+2x+8，x ∈R }，则M∩N 等于( )。

A. ∅B. RC. {-1，9}D. [-1，9]（2）设集合M={3，a}，N={x|x 2-2x<0，x ∈Z}，M∩N={1}，则M ∪N 为( )。

A. {1，2，a}B. {1，2，3，a}C. {1，2，3}D. {1，3}【思路点拨】（1）先把集合M 、N 进行化简，在利用数轴进行相应的集合运算．（2）先把集合N 化简，然后再利用集合中元素的互异性解题．【答案】【解析】举一反三：【变式1】设A、B分别是一元二次方程2x2+px+q=0与6x2+(2-p)x+5+q=0的解集，且A∩B={12}，求A∪B.【答案】【解析】【变式2】设集合A={2，a2-2a，6}，B={2，2a2，3a-6}，若A∩B={2，3}，求A∪B. 【答案】【解析】例6. 设全集U={x ∈N +|x≤8}，若A∩(C u B)={1，8}，(C u A)∩B={2，6}，(C u A)∩(C u B)={4，7}，求集合A ，B.【答案】【解析】类型三：集合运算综合应用例7．已知全集A={x|-2≤x≤4}， B={x|x>a}.（1）若A∩B≠∅，求实数 a 的取值范围；（2）若A∩B≠A ，求实数a 的取值范围；（3）若A∩B≠∅且A∩B≠A ，求实数a 的取值范围；【思路点拨】（1）画数轴；（2）注意是否包含端点.【答案】【解析】【总结升华】举一反三：【变式1】已知集合P=｛x ︱x 2≤1｝,M=｛a ｝.若P ∪M=P,则a 的取值范围是（ ）A ．(-∞, -1]B ．[1, +∞）C ．[-1，1]D ．（-∞，-1] ∪[1，+∞） 【答案】【解析】例8. 设集合{}{}222|40,|2(1)10,=+==+++-=∈A x x x B x x a x a a R .（1）若=I A B B ，求a 的值；（2）若=U A B B ，求a 的值.【思路点拨】明确A B I 、A B U 的含义，根据的需要，将其转化为等价的关系式B A ⊆和A B ⊆，是解决本题的关键.同时，在包含关系式B A ⊆中，不要漏掉B =∅的情况.【答案】【解析】【总结升华】举一反三：【变式1】已知集合{}{}222,|120=-=++-=A B x x ax a ，若=I A B B ,求 实数a 的取值范围.【答案】【解析】三、测评与总结要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力．成果测评现在来检测一下学习的成果吧！请到网校测评系统和模拟考试系统进行相关知识点的测试．知识点：集合的基本关系及运算测评系统分数：模拟考试系统分数：如果你的分数在85分以下，请进入网校资源ID：#3118#388901 进行巩固练习，如果你的分数在85分以上，请进入网校资源ID：#3159#388905 进行能力提升．自我反馈学完本节知识，你有哪些新收获？总结本节的有关习题，将其中的好题及错题分类整理．如有问题，请到北京四中网校的“名师答疑”或“互帮互学”交流．我的收获注：本表格为建议样式，请同学们单独建立错题本，或者使用四中网校错题本进行记录．○网○校○重○要○资○源知识导学：集合的基本关系及运算（基础）（#388901）若想知道北京四中的同学们在学什么，请去“四中同步”看看吧！和四中的学生同步学习，同步提高！更多资源，请使用网校的学习引领或搜索功能来查看使用．对本知识的学案导学的使用率：□ 好（基本按照学案导学的资源、例题进行复习、预习和进行课堂笔记等，使用率达到80%以上）□ 中（使用本学案导学提供的资源、例题和笔记，使用率在50%-80%左右）□ 弱（仅作一般参考，使用率在50%以下）学生：_______________ 家长：______________ 指导教师：_________________请联系北京四中网校当地分校以获得更多知识点学案导学．。