基本初等函数小结

四中高一年级数学课前导学案基本初等函数小结（前）

编写：宁审核：美芹瑞杰班级【学习目标】

1、掌握幂的运算.对数的运算，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数和常用对数.

2、理解指数函数，对数函数的概念和意义，探索并理解两种函数的单调性与特殊点.体会函数是一类重要的函数模型.

3、知道函数y=

a y =与x y a log =互为反函数（a ＞0且a ≠1）.

4、了解幂函数的概念；结合具体的幂函数的图象，了解它们的变化情况.

【教学重点】

指数函数、对数函数的性质的运用. 【教学难点】

分类讨论的标准、抽象函数的理解. 【知识要点梳理】

【尝试解答】

1.下列函数中，与函数y=x 相同的函数是（）

A.y=

x 2 B.y=(

C.y=lg10x

D.y=x 2log 2

2.设M={x|-2≤x ≤2}，N={y|0≤y ≤2}，函数f(x)的定义域为M ，值域为N ，则f(x)的图象可以是图中的（）

????????????

????????

???????????????

???

????

?????

????????

?????????

n 次方根及其性质根式及其性质

指数分数指数幂指数与指数函数有理数指数幂的运算性质定义指数函数图象和性质定义基本初等函数对数运算性质

对数换底公式对数与对数函数定义对数函数图象和性质定义幂函数图象和性质

3.若f(x)=??

?≥<+)

6(log )

6()3(2x x

x x f ,则f(-1)的值为（）

A.1

B.2

C.3

D.4

4.已知f(22

11)11x

x x

x +-=+-，则f(x)的解析式可取为（）

1x x + B.-2

12x x + C.

12x x + D.-

1x x +

5.函数f(x)=x x -132+lg(3x+1)的定义域是（）

A.（-∞,-3

1） B.（-3

1,3

1） C.（-3

1，1） D.（-3

1,+∞）

6.定义在R 上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y ∈R ),f(1)=2,则f(-3)等于

（）

A.2

B.3

C.6

D.9

四中高一年级数学课前导学案基本初等函数小结（中）

【典型例题】

【例1】已知a=9

1,b=9.求：

（1）3

158

7·a a

a --÷；

（2）.

)

11---+ab b a

变式练习1：(1));32(log 3

2-+

(2)2;12lg )2(lg lg5·

2lg )2(lg 22

+-++

【例2】作出下列函数的图象: (1)y=x

-12

;(2)y=lg|x|;

变式练习2：(1)y=|lg(x+1)|.（2）x

y 2=

【例3】已知函数f （x ）=log 2(x 2-ax-a)在区间（-∞,1-3

］上是单调递减函数.

数a 的取值围.

变式练习3：已知函数f(x)=log 0.2(2x-3),若f(x)≥log 0.2(x-1),求x 的取值围.

【例4】已知函数f(32

+x )=log a 2

6x x -,判断f(x)的奇偶性.

【例5】求f(x)=lg2x+lg(4-x)的最大值.

【归纳总结】1、掌握指数函数、对数函数、幂函数的概念和性质.

2、分类讨论的标准.

3、会求复合函数解析式，理解抽象函数。【课堂作业】

己知f （x ）=1+log 2x （1≤x ≤4），求函数g （x ）=f 2

（x ）+f （x 2）的最大值和最小值.

【达标检测】

1.若x ∈(e -1,1),a=lnx,b=2lnx,c=ln 3x,则（）

A.a

B.c

C.b

D.b

11+=2，则A 的值是（）

A.15

C.±

D.225

3.函数f(x)=a x-b 的图象如图所示，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是（）

A.a ＞1,b ＜0

B.a ＞1,b ＞0

C.0＜a ＜1,b ＞0

D.0＜a ＜1,b ＜0

4.若f(x)=log a x 在［2，+∞）上恒有f(x)>1,则实数a 的取值围是 ( ）

A.(2

1，1）

B.（0，2

1）∪（1，2）

C.（1，2）

D.（0，2

1）∪（2，+∞）

5.函数f(x)=x 2-bx+c 满足f(1+x)=f(1-x)且f(0)=3,则f(b x )与f(c x )的大小关系是（）

A.f(b x )≤f(c x )

B.f(b x )≥f(c x )

C.f(b x )>f(c x

) D.大小关系随x 的不同而不同

四中高一年级数学课前导学案

基本初等函数小结（后）

【拓展延伸】

1.设α∈{-1,1,2

1 ,3}，则使函数α

x y =的定义域为R 且为奇函数的所有的α值

为（）

A. 1，3

B.-1，1

C.-1，3

D.-1，1，3 2.已知0＜a ＜1，b ＞1,ab ＞1,则log a b

1，log a b,log b b

1的大小关系是（）

A.log a b

1＜log a b ＜log b b

B.log a b ＜log a b

1＜log b b

C.log a b ＜log b b

1＜log a b

D.log b b

1＜log a b

3. 如图所示，曲线是幂函数y=x n 在第一象限的图象，已知n 取±2、±2

1四个值，则相应的曲线4321C C C C ，，，的n 值依次为( ) A.-2,-2

1,21,2 B.2，2

1,-2

B.C.-2

1,-2,2,2

1 D.2,2

1,-2,-2

4.已知f(x)=???≥<+-)

1(log )

1(4)13(x x

x a

x a a 是（-∞,+∞）上的减函数，那么a 的取值围是（）

A.（0，1）

B.（0，3

1）

C.［7

1，3

1）

D.［7

1，1）

四中高一年级数学课前导学案

基本初等函数小结（前）

【尝试解答】CBCCCC

四中高一年级数学课前导学案

基本初等函数小结（中）

【典型例题】

【例1】解（1）原式=a ·3

127?a

???÷?

?-?-2131521)38(3123·a a =a

534(2167-

+---=a

∵a=9

1，∴原式=3.

（2）

ab b a ab b a ab b

a 1111)(1

+=+=+---=a+b.

∵a=9

1，b=9，∴a+b=9

82.

变式1：解（1）设,)32(log 3

2x =-+

则,)32(3

2132)32(1-+=+=

-=+x

∴x=-1.

方法二利用对数的运算性质求解

.1)32(log 3

log )32(log 13

2-=+=+=--+

（2）原式=|12lg |)5lg 2(lg 2lg 12g 21)2(lg )5lg 2g 21(2lg 2

-++=+-++

=.1)2lg 1(2lg =-+

【例2】略

【例3】解令g(x)=x 2-ax-a, 则g(x)=(x-2

a )2-a-4

a ,

由以上知g(x ）的图象关于直线x=2

a 对称且此抛物线开口向上.

因为函数f(x)=log 2g(x)的底数2>1, 在区间（-∞,1-3

］上是减函数，

所以g(x)=x 2

-ax-a 在区间（-∞,1-

］上也是单调减函数，且g(x)>0.

∴,0)31(231??

?>-≤

-g a 即.0)31()31(3222

???>-----≥a a a 解得2-2

≤a<2.

故a 的取值围是{a|2-23

≤a<2}.

变式练习：解:log 0.2(2x-3)≥

log 0.2(x-1)??????

≤>????-≤->-???

???-≤->->-.2,23132,032132,01,032x x x x x x x x x

∴

-3)=log a 226x x -,得2

26x x ->0????≠>-,0,062x x 即0

<6. 设t=x 2-3,则-3

t -+33

,-3

即f(x)=log a x x

-+33,-3

f(-x)=log a x

+-33,f(x)+f(-x)=log a 1=0.

∴f(-x)=-f(x),则f(x)为奇函数.

【例5】解析:由???>->,

04,

02x x 得0

∴f(x)=lg2x+lg(4-x)的定义域为(0,4).

f(x)=lg2x+lg(4-x)=lg(-2x 2+8x)=lg ［-2(x-2)2+8］. 又∵定义域x ∈(0,4),故最大值在x=2时取得f(2)=lg8.

变式解：∵f （x ）的定义域为［1，4］， ∴g （x ）的定义域为［1，2］.

∵g （x ）=f 2（x ）+f （x 2）=（1+log 2x ）2+（1+log 2x 2）=（log 2x +2）2－2，又1≤x ≤2，∴0≤log 2x ≤1， ∴当x =1时，g （x ）min =2；当x =2时，g （x ）max =7. 【达标检测】

CBDCA

四中高一年级数学课前导学案

函数的基本性质解析

1 第二讲函数的性质（一）一、函数的单调性 1．单调函数的定义增函数减函数定义设函数f (x )的定义域为I .如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2 当x 1f (x 2) ，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图象描述自左向右看图象逐渐上升自左向右看图象逐渐下降 2．单调区间的定义若函数y ＝f (x )在区间D 上是或，则称函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，叫做y ＝f (x )的单调区间． 3、单调性的判定方法（1）定义法：利用定义证明函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步骤： ○ 1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1

函数的基本性质知识点归纳与题型总结

函数的基本性质知识点归纳与题型总结一、知识归纳 1．函数的奇偶性 2．函数的周期性 (1)周期函数对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．解题提醒： ①判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件． ②判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x)

＝－f (x )或f (－x )＝f (x )，而不能说存在x 0使f (－x 0)＝－f (x 0)或f (－x 0)＝f (x 0)． ③分段函数奇偶性判定时，误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性．题型一函数奇偶性的判断典型例题：判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝(x ＋1) 1－x 1＋x ； (2)f (x )＝? ???? －x 2＋2x ＋1，x ＞0， x 2＋2x －1，x ＜0； (3)f (x )＝4－x 2 x 2； (4)f (x )＝log a (x ＋x 2＋1)(a ＞0且a ≠1)．解：(1)因为f (x )有意义，则满足1－x 1＋x ≥0，所以－1＜x ≤1，所以f (x )的定义域不关于原点对称，所以f (x )为非奇非偶函数． (2)法一：(定义法) 当x ＞0时，f (x )＝－x 2＋2x ＋1，－x ＜0，f (－x )＝(－x )2＋2(－x )－1＝x 2－2x －1＝－f (x )；当x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x －1，－x ＞0，f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＋1＝－x 2－2x ＋1＝－f (x )．

锐角三角函数小结与复习(最新编写)

课题锐角三角函数小结与复习（2）课型复习教学目标知识与技能通过复习学生能掌握角直角三角形中的边角关系式、三边关系等到基本关系式；过程与方法通过复习学生学会选取适当的关系式来直角三角形，能求边和角熟记坡度和坡度两个概念情感与态度培养学生独立思考、积极探索的思维品质，善于用数学知识解决身边的数学问题，提高学习数学的热情和积极性 . 教学重点解直角三角形教学难点如何选取三角函数关系式教具准备几何画板教学过程教师活动学生活动一、知识回顾、查漏补缺（1）两锐角关系：两个锐角互余∠ A ＋∠ B ＝900；（2）三边关系：2 22c b a （3）边角关系：斜边的对边 sin 斜边的邻边 cos 的邻边的对边 tan 二、开门见山、直击焦点在直角三角形中五个元素中已知两个元素（至少有一个元素是边）就可求出其中的另外三个元素；

三、易错知识、重点巩固 1、仰角、俯角当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．仰角视线俯角视线水平线铅垂线l h 30 D d l 30 2、坡度tan l h i （坡角）四、练习巩固、规律总结： S ΔABC ＝1/2 absin α五、举例应用、当堂消化1、已知等腰三角形的两边长为4㎝和6㎝，设其底角为α，求sin α的值。分析：本题难点是分类。因没有告诉哪一条是底边，哪一条是腰，故要考虑分类，（1）一种情况：4是底边，（2）另一种情况是6是底边。 2、在ΔABC 中，∠A ＝1050，∠C ＝450，a ＝8，求 b 、 c 的长。分析：出现一般三角形时，要求边角或角均要求，作高线后可构造直角三角形，从而通过解直角三角形来解决问题； 3、如图矩形ABCD 中（AD ＞AB ）中，AB ＝a ，∠BDA ＝，作AE 交BD 于E ，且AE ＝AB ，试用a 与表示AD ，BE 。

对数性凸函数的性质及应用解读

对数性凸函数的性质及应用王传坚 (楚雄师范学院数学系2003级1班) 指导老师郎开禄摘要:在本文中，得到了对数性凸函数的四个性质，并讨论了对数性凸函数的性质的应用。关键词:凸函数;.对数性凸函数; 基本性质; 应用. The research and application on some properties of logarithmatic convex function Wang Chuanjian (Department of Math, Chu Xiong Normal University, Chu Xiong,Yun Nan ,675000) Abstract: In this paper, the author gives some properties of logarithmatic convex function by studying the fundamental properties, and give some application about the properties of logarithmatic. Key Words:Convex Function; Logarithmatic Convex Function; Fundamental Property; Application. 导师评语：凸函数是一类重要的函数,它有许多很好的性质,并有广泛的应用.在文[1]( [1] 刘芳园，田宏根. 对数性凸函数的一些性质[J].《新疆师范大学学报》，2006,25(3):22-25.)中,刘芳园，田宏根引入对数性凸函数的概念,研究获得了对数性凸函数的若干基本性质,并讨论了对数性凸函数基本性质的一些应用. 受文[1]的启发,在文[1]的基础上,王传坚同学的毕业论文<<对数性凸函数的性性质及其应用>>进一步研究了对数性凸函数性质,获得了对数性凸函数的两个性质(推论1,推论2)和四个基本结果(定理3, 定理4, 定理5, 定理6),并讨论了对数性凸函数的性质及其应用. 王传坚同学的毕业论文<<对数性凸函数的性质及其应用>>选题具有理论与实际意义,通过研究所获结果具有理论与实际意义.该论文的完成需要较好的数学分析基础,主要结果的证明有一定的技巧,论文的完成有一定的难度,是一篇创新型的毕业论文.论文语言流畅,打印行文规范.该同学在撰写论文过程中,悟性好,独立性强.

高中数学-函数的基本性质小结

函数的基本性质【教学目标】【教学重点】

函数的基本性质及应用【教学难点】函数关系的建立、用函数的性质解决简单的实际问题与领悟数学思想方法。【教学过程】：一．知识整理 1．基本思想（1）函数主要研究两个变量的相互联系，故涉及到两个变量的相互作用、相互影响的问题，大多可用函数的观点来解决。（2）研究函数的主要途径是函数的图象和基本性质（以图象说明性质）。 2.主要问题：（1）函数图象的基本作法：a.分段 b.平移 c.对称 d.伸缩（2）函数单调性的求法：a.图象 b.单调运算 c.复合函数 d.定义（3）函数最值（或范围）的求法：a.图象 b.单调性 c.不等式 d.复合函数 e.换元 f.数形结合（4）反函数求法：①解出x =φ(y)，②调换x,y, ③写出反函数定义域 3.函数的基本性质函数定义：在某个变化过程中有两个变量x,y，如果对于x在某个实数集合D内的每一个确定的值，按照某个对应法则f，y都有唯一确定的实数值与之对应，那么y就是x函数，记作y = f (x)，x∈D，x叫做自变量，x的取值范围D叫做函数的定义域，和x 的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。函数的相等：定义域相同，对应法则相同函数图象：以自变量x的值为横坐标，与x的值对应的y的值为纵坐标所构成的点集，即{(x,y)|y = f (x), x∈D} a.定义域：自变量x的取值范围；亦为函数图象上点的横坐标的集合 b.值域：因变量y的取值范围；亦为函数图象上点的纵坐标的集合 c.奇偶性：如果对于函数f(x)的定义域D内的任意实数a，都有f(-a)= f(a)，则称函数 f(x)为偶函数；如果对于函数f(x)的定义域D内的任意实数a，都有f(-a)=-f(a)，则称函数f(x) 为奇函数；

函数的基本性质(考点加经典例题分析)

函数的基本性质函数的三个基本性质：单调性，奇偶性，周期性一、单调性 1、定义：对于函数)(x f y =，对于定义域内的自变量的任意两个值21,x x ，当21x x <时，都有))()()(()(2121x f x f x f x f ><或，那么就说函数)(x f y =在这个区间上是增（或减）函数。 2、图像特点：在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的。（提示：判断函数单调性一般都使用图像法，尤其是分段函数的单调性。） 3．二次函数的单调性：对函数c bx ax x f ++=2 )()0(≠a ，当0>a 时函数)(x f 在对称轴a b x 2- =的左侧单调减小，右侧单调增加；当0-x f x f x f x f 或； ⑸根据定义下结论。例2、判断函数1 2)(-+= x x x f 在)0,(-∞上的单调性并加以证明.

5．复合函数的单调性：复合函数))((x g f y =在区间),(b a 具有单调性的规律见下表：以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”。例3：函数322-+=x x y 的单调减区间是（） A.]3,(--∞ B.),1[+∞- C.]1,(--∞ D.),1[+∞ 6．函数的单调性的应用：判断函数)(x f y =的单调性；比较大小；解不等式；求最值（值域）。例4：求函数1 2-= x y 在区间]6,2[上的最大值和最小值. 二、奇偶性 1．定义：如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有)()(x f x f =-，那么函数f(x)就叫偶函数；（等价于：0)()()()(=--?=-x f x f x f x f ）如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有)()(x f x f -=-，那么函数f(x)就叫奇函数。（等价于：0)()()()(=+-?-=-x f x f x f x f ）注意：当0)(≠x f 时，也可用1) ()(±=-x f x f 来判断。 2．奇、偶函数的必要条件：函数的定义域在数轴上所示的区间关于原点对称。若函数)(x f 为奇函数，且在x=0处有定义，则0)0(=f ； 3．判断一个函数的奇偶性的步骤 ⑴先求定义域，看是否关于原点对称; ⑵再判断)()(x f x f -=-或)()(x f x f =- 是否恒成立。