正弦定理余弦定理知识点
正弦定理、余弦定理
1. 三角形常用公式：A ＋B ＋C ＝π；S ＝
21ab sin C ＝21bc sin A ＝＝2
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ca sin B ； 2．三角形中的边角不等关系:A>B ?a>b,a+b>c,a-b A a sin ＝ B b sin ＝C c sin ＝2R （外接圆直径）； 正弦定理的变式：?? ? ??===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2； a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ． 4．正弦定理应用范围： ①已知两角和任一边，求其他两边及一角． ②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角． ③几何作图时，存在多种情况．如已知a 、b 及A ，求作三角形时，要分类讨论，确定解的个数． 已知两边和其中一边的对角解三角形，有如下的情况： (1)A 为锐角 B A A B C a=bsin A bsin A (2)A 为锐角或钝角 当a>b 时有一解. 5．余弦定理 a 2=b 2+c 2-2bccosA ．c 2=a 2+b 2-2abcosC ．b 2=a 2+c 2-2accosB ． 若用三边表示角，余弦定理可以写为 、 6．余弦定理应用范围： （1）已知三角形的三条边长，可求出三个内角； （2）已知三角形的两边及夹角，可求出第三边． 7 . 三角形面积公式 课堂互动 知识点1 运用判断三角形形状 例题1在△ABC 中已知acosB=bcosA,试判断△ABC 的形状. 【分析】利用正弦定理或余弦定理判断三角形形状,可以将三角形中的边用角表示,也可将角用边来表示．从中找到三角形中的边角关系，判断出三角形的形状. 【答案】解法1：由扩充的正弦定理：代入已知式 2RsinAcosB=2RsinBcosA sinAcosB-cosAsinB=0 ， sin(A-B)=0 A-B=0 ∴A=B 即△ABC 为等腰三角形 解法2:由余弦定理: 2 222 2222bc a c b b a c b c a a -+?=-+? 22b a = ∴ b a = 即△ABC 为等腰三角形. 巩固练习 1．在?ABC 中，若2 2 2 2 sin sin 2cos cos b C c B b B C +=，试判断三角形的形状． 2．在ABC ?中,已知a 2tanB=b 2 tanA,试判断这个三角形的形状. 3．已知ABC ?中，有 cos 2cos sin cos 2cos sin A C B A B C +=+，判断三角形形状. 知识点2 运用正、余弦定理解三角形 解三角形问题中正、余弦定理的选择:(1)在下述情况下应首先使用余弦定理:①已知三条边(边边边),求三个角;②已知两边和它们的夹角(边角边),求其它一边和两角;(2)在下述情况下应首先使用正弦定理:①已知两边和一边的对角(边边角),求其它一边和两角;②已知两角和任一边(角角边、角边角),求其它两边和一角. 例题2 在△ABC 中，已知3= a ，2= b ，B=45? 求A 、C 及 c . 【分析】在解斜三角形应用过程中，注意要灵活地选择正弦定和余弦定理，解得其它的边和角 【答案】解法1：由正弦定理得：23 2 45sin 3sin sin = == b B a A ∵B=45?<90? 即b 当A=60?时C=75? 22 645sin 75sin 2sin sin +=== B C b c 当A=120?时C=15? 22 645sin 15sin 2sin sin -=== B C b c 解法2：设c =x 由余弦定理 B ac c a b cos 22 2 2 -+=将已知条件代入，整理：0162 =+-x x 解之：2 2 6±= x 当226+=c 时2 )13(2312 26223 )226( 22cos 2 2 2 2 1=++=+? ?-++=-+= bc a c b A 从 而A=60? ，C=75? 当2 2 6-= c 时同理可求得：A=120? C=15?. 巩固练习 1．已知在ABC ?中， ,6,45= ?=∠BC AB A 在ABC ?中，2 13, 2tan tan +=-=c b b b c B A 3．在A B C ?中，已知A 、B 、C 成等差数列，且sin 求三边a 、b 、c ． 4．在ABC ?中，已知B C A 2=+，tan tan ?A 又知顶点C 的对边C 上的高等于34 知识点3 例题3 已知A 、B 、C 为锐角，tanA=1，tanB=2 角的范围确定角．本题应先求出A+B 和C 式求出A+B+C ． 【答案】 A B C 、、为锐角 ∴<0°A tan()tan tan tan tan A B A B A B += +-?=+-=-112 123 []t a n ()t a n ()A B C A B C ++=++ = 所以A+B+C=π s i n s i n s i n s i n c o s c 22222ααββα-++- 221336-+= (cos cos sin sin )αβαβ --=-25936cos()αβ∴-= cos()αβ59 72 巩固练习 1．在?ABC 中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边,设a+c=2b,A-C= 3 π ,求sinB 的值. 2．在?ABC 中，a ，b ，c 分别是∠∠∠A B C ，，的对边长，已知a ，b ，c 成等比数列，且a c ac bc 2 2 -=-，求∠A 的大小及 b B c sin 的值． 3．在ABC ?中，若4,5==b a 且32 31)cos(= -B A ，求这个三角形的面积． 例题4 在ABC ?中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c,证明:C B A c b a sin ) sin(222-=-. 【分析】在用三角式的恒等变形证明三角形中的三角等式时，其解题的一般规律是：二项化积、倍角公式，提 取公因式，再化积.遇有三角式的平方项，则利用半角公式降次. 【答案】证法一:由正弦定理得 C A B C B A c b a 2222222sin 22cos 2cos sin sin sin -= -=-=C A B A B 2sin 2)sin()sin(2-+-=C B A C 2sin )sin(sin -=C B A sin ) sin(-. 证法二:由余弦定理得a 2 =b 2 +c 2 -2bccosA,则222c b a -=2 2cos 2c A bc c -=1-c b 2?cosA,又由正弦定理得c b =C B sin sin ,∴2 2 2c b a -=1-C B sin sin 2?cosA=C A B C sin cos sin 2sin -=C A B B A sin cos sin 2)sin(-+=C A B B A sin cos sin cos sin -=C B A sin )sin(-. 证法三: C B A sin )sin(-=C A B B A sin cos sin cos sin -. 由正弦定理得 c b C B c a C A ==s i n s i n ,s i n s i n ,∴ C B A sin ) sin(-= c A b B a cos cos -,又由余弦定理得 C B A s i n ) s i n (-=c bc a c b b ac b c a a 222 22222-+? --+? =22222222)()(c a c b b c a -+--+=222c b a -. 巩固练习 1．已知锐角三角形ABC 中，3sin()5A B += ，1 sin()5 A B -=. （1）求证tan 2tan A B =；（2）设3AB =，求AB 边上的高． 【考题再现】 1．（04年全国Ⅲ）在ABC ?中，3AB =，BC =4AC =，则边AC 上的高 （A ） 3（B ）2 （C ）32（D ）2．（05年湖南卷）已知在△ABC 中，sinA （sinB ＋cosB ）－sinC ＝0，sinB ＋cos2C ＝0，求 角A 、B 、C 的大小. 3.（ 春季北京）在△ABC 中，sin A +cos A =2 2 ，AC =2，AB =3，求tan A 的值和△ABC 的面积. 4. （05年江苏卷）ABC ?中，3 A π =，3BC =，则ABC ?的周长为 （A ）33B π?? + + ?? ? （B ）36B π? ?++ ??? （C ）6sin 33B π??++ ??? （D ）6sin 36B π? ?++ ?? ? 5．（06年湖北卷）若ABC ?的内角A 满足2 sin 23 A =，则sin cos A A += A. 3 B ．3 - C ．53 D ．53- 6. （ 安徽卷）如果111A BC ?的三个内角的余弦值分别等于222A B C ?的三个内角的正弦值，则（ ） A ．111A B C ?和222A B C ?都是锐角三角形 B ．111A B C ?和222A B C ?都是钝角三角形 C ．111A B C ?是钝角三角形，222A B C ?是锐角三角形 D ．111A B C ?是锐角三角形，222A B C ?是钝角三角形 【模拟训练】 1．（ 北京市朝阳区二模题）在?ABC 中，cos 2cos 2B A >是A B >的（） （A ） 充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 2．（04年南京市二模题）在?ABC 中，A ，B ，C 为三角形的三个内角，且A B C <<，4 sin 5 B = 4 cos(2)5 A C +=-，求cos 2A 的值 3．（04年华南师大附中）在?ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且2 7 4sin cos 222 B C A +-= （1）求A ∠的度数 （2）若a =3b c +=，求b 和c 的值 4．（05年南通市基地学校联考） 在?ABC 中，边AB 为最长边，且2sin sin 4 A B ?=，则cos cos A B ?的最大值是 5.（06年湖北八校第二次联考）已知关于x 的方程2 2 cos cos 2sin 02 C x x A B -?+=的两根之和等于两根之积的一半，则ABC ?一定是 （A ）直角三角形（B ）钝角三角形（C ）等腰三角形（D ）等边三角形. 6.(06年黄岗市荆州市高三年级模拟)已知ABC ?的三个内角为A 、B 、C 所对的三边为a 、b 、c ，若ABC ?的面积为222()S a b c =--，则tan 2 A =__________． 教考链接 在证明三角形问题或者三角恒等式时，要注意正弦定理、余弦定理的适用题型与所证结论的联系，并注意特殊正、余弦关系的应用，比如互补角的正弦值相等，互补角的余弦值互为相反数等；另外，在三角恒等式的证明或者三角形形状的判断，关键是正、余弦定理的边角互换． 运用正、余弦定理求解三角形的有关问题，要非常熟悉了三角函数公式及三角形的有关性质，如三角函数的定义、勾股定理、正弦定理、余弦定理是常用的工具，同时注意三角形面积公式ah S 21= ，C ab S sin 2 1 =，还要注意三角形内角和π=++C B A 的制约关系，此外，要对常见解题方法与解题技巧的总结，这样才能不断提高三角 形问题的求解能力． 参考答案 课堂互动 例题1 巩固练习 1．【答案】[解法1]：由正弦定理 2sin sin sin a b c R A B C ===，R 为?ABC 外接圆的半径，将原式化为22228sin sin 8sin sin cos cos R B C R B C B C =， sin sin 0B C ≠ ，sin sin cos cos B C B C ∴=. 即cos()0B C +=,90B C ∴+= ，90A = . 故?ABC 为直角三角形 [解法2]：将已知等式变为2222 (1cos )(1cos )2cos cos b C c B b B C -+-=， 由余弦定理可得2 2 222222 222222a b c a c b b c b c ab ac ????+-+-+-?-? ? ????? 222222 222a c b a b c bc ac ab +-+-=??， 即22b c + 2 222222 2 ()()4a b c a c b a ??+-++-? ?= 也即222 b c a +=，故?ABC 为直角三角形． 2．【答案】解法1:由已知得 A A b B B a cos sin cos sin 22=,由正弦定理得A A B B B A cos sin sin cos sin sin 22= ,∵sinAsinB ≠0,∴sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B,∴2A=2B 或2A=1800 -2B,即A=B 或A+B=900 .∴ABC ?是等腰三角形或直角三角形. 解法2: 由已知得 A A b B B a cos sin cos sin 22=,由正弦定理得A a b b a cos cosB 22= ,即A b a cos cosB =,又由余弦定理得bc a c b b a 22ac b -c a 2 22 222 -+=+,整理得(a 2-b 2)(a 2+b 2-c 2)=0,∴a=b,或a 2+b 2=c 2 , ∴ABC ?是等腰三角形或直角三角形. 3．解：由已知得 例题2 巩固练习 1．【答案】解法1：由正弦定理，得2345sin 26sin =?= C 因32 2 6sin =?=?A AB 6,2==AB BC 由623<<，则有二解，即?=∠60C 或?=∠120C ?=?-?-?=∠754560180B 或?=?-?-?=∠1545120180B 故13sin sin +=??=AC B A BC AC 或13-=AC ，?=∠?=∠15,120B C ?=∠?=∠75,60B C 解法2：令AC=b ，则由余弦定理 222245cos 62)6(=?-+b b 1302322±=?=+-b b b 又C b b cos 222)6(222?-+=?=∠± =?60,2 1 cos C C 或?=∠120C ?=?+?-?=∠?75)6045(180B 或?=?+?-?=∠15)12045(180B . 2【答案】由已知有 b c B A 21tan tan =+，化简并利用正弦定理： B C B A B A B A sin sin 2sin cos sin cos cos sin =+ B C B A B A sin sin 2sin cos )sin(= + 0cos sin 2sin =-A C C 由0sin ≠，故?=?= 6021 cos A A 由2 13+=c b ，可设 k c k b 2,)13(=+=，由余弦定理，得 k a k k k a 6)13(24)13(22222=?+-++= 由正弦定理C c A a sin sin =得 22623 2sin sin =?==k k a A c C 由b c <则C 是锐角，故?=--?=?=75180,45C A B C 3．【答案】由已知，得2C A B += ，又由?=++180C B A ?=?60B 故4 1 60cos sin sin 2=?=C A ① 又由B c a S ABC sin 21 34??==?164 334=?=?ac ac ② 故 64)sin ()sin (sin sin 22===C c A a C A ac 8sin sin ==?C c A a 由3460sin 8sin 8sin sin =??=?==B A B a b 则2 1260cos cos 222=-+=?=ac b c a B 即964848)(3)(222=+=+?=-+c a ac b c a 64=+?c a ③ 把③与②联立，得 )26(2),26(2-=+=c a 或)26(2),26(2+=-=c a 4．【答案】由已知B C A 2=+，及?=+?=??=++120,60180C A B C B A 由C A C A C A tan tan 1tan tan )tan(-+= +及 32tan tan ,3)tan(+=?-=+C A C A 得33tan tan +=+C A ，以C A tan ,tan 为一元二次方程 032)33(2=+++-x x 的两个根，解方程，得 ???+==32tan 1tan C A 或???=+=1 tan 32tan C A ?? ??=?=?7545C A 或????=? =4575C A 若?=?=75,45C A ，则860sin 34=?=a ，6445sin 34=? =b ，)13(445sin 75sin 8sin sin +=? ?==A C a c 若?=?=45,75C A ，则? =60sin 34a ? = =75sin 34,8b )13(64-=)623(4-=)13(8sin sin -== B C b c 例题3 巩固练习 1．【答案】由正弦定理和已知条件a+c=2b,得sinA+sinC=2sinB.由和差化积公式,得2sin 2C A +cos 2 C A -=2sinB. 由A+B+C=π得sin 2C A +=cos 2B .又A-C=3π,得2cos 23B =sinB.∴2 cos 23B =2sin 2B cos 2B ,∵0<2B <2π,∴cos 2B ≠0,∴sin 2B =43.∴cos 2B =2 sin 12B -=413,∴sinB=2sin 2B cos 2B =2?43 ?413=839. 2．【答案】（I ） a b c ，，成等比数列 ∴=b ac 2 又a c ac bc 22-=- ∴+-=b c a bc 222 在?ABC 中，由余弦定理得 cos A b c a bc bc bc = +-==222221 2 ∴∠=?A 60 （II ）在?ABC 中，由正弦定理得sin sin B b A a = ∴=?=?= b B c b ca sin sin sin 260603 2 ． 3．【答案】解法1：由余弦定理得c c bc a c b A 892cos 2222-=-+= c c ac b c a B 1092cos 2 222+= -+= 由正弦定理得：B A B A sin 45sin sin 4sin 5=?= 32 31)cos 1(451098922 2=-++?-?B c c c c 3231])109(1[4580812224=+-+-c c c c 636323180162822 22=?=?=-?c c c c 故1694893689cos 2 = -=-=c c A 7165sin =A 4 715sin 21=??=?A c b S ABC 解法2：如图，作B A CAD -=∠，AD 交BC 于D ，令x CD = 则由5=a 知，x AD x BD -=-=5,5，在CAD ?中 由余弦定理32 31)5(84)5()cos(2 22=--+-=-x x x B A 化简得 199=?=x x ，在CAD ?中由正弦定理 )sin(4)sin(sin )sin(sin B A B A CD AD C B A C D C AD -=-?=?-=783)(cos 142=--=B A 7415 8735421sin 21=???=??= ?C BC AC S ABC 例题4 巩固练习 1．【答案】（1）证明：因为3sin()5A B += ，1 sin()5 A B -=， 所以3sin cos cos sin 51sin cos cos sin 5A B A B A B A B ?+=????-=??，2sin cos 5 1cos sin 5A B A B ? =?????= ?? ，tan 2tan A B ? =.所以tan 2tan A B = （2）因为 2A B π π<+<，3sin()5A B +=， 所以3tan()4A B +=-，即tan tan 3 1tan tan 4 A B A B +=--， 将tan 2tan A B =代入上式并整理得 2 2tan 4tan 10B B --=. 解得tan B = ，舍去负值得tan B = ，从而tan 2tan 2A B ==. 设AB 边上的高为CD. 则tan tan CD CD AB AD DB A B =+=+= AB=3，得 CD= 2+AB 边上的高等于2+考题再现 1．【答案】由余弦定理，得1cos 2A =，60A ? =，所以AC 边上的高sin BD AB A =?= 选B. 2．【答案】解法1： 由0sin )cos (sin sin =-+C B B A 得.0)sin(cos sin sin sin =+-+B A B A B A 所以.0sin cos cos sin cos sin sin sin =--+B A B A B A B A 即.0)cos (sin sin =-A A B 因为),,0(π∈B 所以0sin ≠B ，从而.sin cos A A = 由),,0(π∈A 知.4π= A 从而π4 3 =+C B . 由.0)4 3 (2cos sin 02cos sin =-+=+B B C B π得 即.0cos sin 2sin .02sin sin =-=-B B B B B 亦即 由此得.125,3,21cos ππ===C B B 所以,4π=A .12 5,3ππ==C B 解法2： 由).22 3sin(2cos sin 02cos sin C C B C B -=-==+π 得 由B <0、π 2232ππ=-=+B C C B 或 由0sin )cos (sin sin =-+C B B A 得 .0)sin(cos sin sin sin =+-+B A B A B A 所以.0sin cos cos sin cos sin sin sin =--+B A B A B A B A 即.0)cos (sin sin =-A A B 因为0sin ≠B ，所以.sin cos A A = 由.4),,0(π π= ∈A A 知从而π43=+C B ，知B+2C=23π不合要求. 再由π212=-B C ，得.125,3ππ= =C B 所以,4π=A .12 5,3π π==C B . 3．【答案】解法1：∵sin A +cos A =2cos （A －45°）= 22，∴cos （A －45°）=2 1 . 又0°＜A ＜180°，∴A －45°=60°，A =105°. ∴tan A =tan （45°+60°）= 3 131-+=－2－3. ∴sin A =sin105°=sin （45°+60°）=sin45°cos60°+cos45°sin60°=4 6 2+. ∴S △ABC = 21AC ·AB sin A =21 ·2·3·462+=4 3（2+6）. 4．【答案】在ABC ? 内，由正弦定理得 3sin sin sin sin 3 AC AB BC B C A π ==== ∴( ),3AC B AB C A B B ππ? ?===-+=+?? ???? ? ∴周长为AB AC BC + +sin sin 33B B π???=+++ ???? ?3sin 32B B ?=++??? 6sin 36B π? ?=++ ??? 5．【答案】由sin2A ＝2sinAcosA >0，可知A 这锐角，所以sinA ＋cosA >0，又25 (sin cos )1sin 23 A A A +=+=，故 选A. 6．【答案】111A B C ?的三个内角的余弦值均大于0，则111A B C ?是锐角三角形，若222A B C ?是锐角三角形，由 211211211sin cos sin()2sin cos sin()2sin cos sin()2A A A B B B C C C πππ?==-???==-???==-??，得212121222A A B B C C πππ?=-?? ? =-??? =-?? ，那么，222 2A B C π++=，所以222A B C ?是钝角三角形．故选D ． 模拟训练 1．【答案】2222cos 2cos 212sin 12sin sin sin B A B A B A >?->-??> 2．【答案】∵A B C <<，A B C π++=，∴0,022 B A C π π<<<+<，由4 sin 5 B = 得3cos 5B = ，∴4sin()5A C +=，()3cos 5A C +=- 又由4cos(2)5A C +=-得3sin(2)5 A C += ∴()33447sin sin 2()555525A A C A C ????=+--=?---?=?? ? ??????? 2 527cos 212sin 625A A =-=. 3．【答案】由题意得 []2721cos()2cos 12B C A -+-+= ()2 721cos 2cos 12A θ+-+= ∴1cos 2A = 03 A π<< 2221cos 22 b c a A bc +-==()2 23b c a bc +-= 将3a b c =+=代入得2,bc =由3b c +=及2bc =，得 1,2b c ==或2,1b c ==. 4．【答案】因为cos cos sin sin cos()1A B A B A B ?+?=-≤，易得cos cos A B ? 的最大值为24 +. 5．【答案】由题意可知：211cos cos cos 2sin 222 C C A B -= ??=，从而2cos cos 1cos()1cos cos sin sin A B A B A B A B =++=+- cos cos sin sin 1A B A B +=，cos()1A B -=又因为A B ππ-<-<所以0A B -=，所以ABC ?一定是等腰三角 形选C 6．【答案】1 sin 2 S bc A =，222()S a b c =--，2222cos a b c bc A =+-， ∴1sin 22cos 2bc A bc bc A =-，∴22sin 11cos 2tan 4sin 22sin cos 22 A A A A A A -== = 正弦定理、余弦定理 命题人申占宝 正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等， 即 A a s i n = B b sin =C c sin =2R （R 为△ABC 外接圆半径） 正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题： 1．两角和任意一边，求其它两边和一角； 2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角（见图示） 已知a, b 和A, 用正弦定理求B 时的各种情况: ⑴若A 为锐角时: ??? ?? ? ?≥<<=<)( b a ) ,( b a bsinA ) ( bsinA a sin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解A b a 已知边a,b 和∠A 有两个解 仅有一个解无解 CH=bsinA 例2 在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，=== ? 解：∵21 3 60sin 1sin sin ,sin sin 0=?==∴=b B c C C c B b 00090,30,,60,==∴<∴=>B C C B C B c b 为锐角， ∴222=+= c b a 例3 C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，=== ? 解：2 3 245sin 6sin sin ,sin sin 0=?==∴=a A c C C c A a 0012060,sin 或=∴< 正弦定理和余弦定理 高考风向 1.考查正弦定理、余弦定理的推导；2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形；3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查． 学习要领 1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用；2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换，和三角函数性质相结合． 1． 正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1)a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C ；(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝ c 2R 等形式，解决不同的三角形问题． 2． 余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形： cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab . 3． S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝1 2 (a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、 r . 4． 在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下： [1．在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A >B ?a >b ?sin A >sin B ；tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC ；在锐角三角形中，cos A 正弦定理练习题 1．在△ABC 中，A ＝45°，B ＝60°，a ＝2，则b 等于( ) A.6 B. 2 C. 3 D ．2 6 2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) A ．4 2 B ．4 3 C ．4 6 D.323 3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( ) A ．1 B.12 C ．2 D.14 4．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( ) A ．45°或135° B ．135° C ．45° D ．以上答案都不对 5．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( ) A. 6 B ．2 C. 3 D. 2 6．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( ) A ．1∶5∶6 B ．6∶5∶1 C ．6∶1∶5 D ．不确定 7．在△ABC 中，若cos A cos B ＝b a ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 8．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π3 ，则A ＝________. 9．在△ABC 中，已知a ＝433 ，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________. 10．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________. 11．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解． 12 . 判断满足下列条件的三角形个数 （1）b=39,c=54,? =120C 有________组解 （2）a=20,b=11,?=30B 有________组解 （3）b=26,c=15,?=30C 有________组解 （4）a=2,b=6,?=30A 有________组解 正弦定理 1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( ) A.6 B. 2 C. 3 D ．2 6 解析：选A.应用正弦定理得：a sin A ＝b sin B ，求得b ＝a sin B sin A ＝ 6. 2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) A ．4 2 B ．4 3 C ．4 6 D.323 解析：选C.A ＝45°，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝4 6. 3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( ) 04—正弦定理和余弦定理 利用正弦定理解三角形 (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角．由于三角形的形状不能唯一确定，会出现两解、一解和无解三种情况. [例1] (1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝1 2 b ，且 a > b ，则B ＝( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π 6 (2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π 6，则b ＝________. [解析] (1)利用正弦定理的变形，得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，代入a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b 中，得2R sin A ·sin B cos C ＋2R sin C sin B cos A ＝12×2R sin B ，所以sin A cos C ＋sin C cos A ＝12，即sin(A ＋C )＝12，所以sin B ＝12.已知a >b ，所以B 不是最大角，所以B ＝π6 . (2)在△ABC 中，∵sin B ＝12，0b .又a ＋c ＝2b ，所以c ＝a －8，所以a 大于c ，则A ＝120°. 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(a －4)2＋(a －8)2－2(a －4)·(a －8)·????－12，所以a 2－18a ＋56＝0. 所以a ＝14或a ＝4(舍去)．故选B. (2)由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，将其代入a cos C ＋32c ＝b 中得，a ×a 2＋b 2－c 22ab ＋3 2 c ＝b ，化简 整理得b 2＋c 2－a 2＝3bc ，于是cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，所以A ＝π6.[答案] (1)B (2)π 6 利用正、余弦定理解三角形 [例3] 设△ABC 1，A ＝2B . (1)求a 的值；(2)求sin ??? ?A ＋π 4的值． [解] (1)因为A ＝2B ，所以sin A ＝sin 2B ＝2sin B cos B .由正、余弦定理，得a ＝2b ·a 2＋c 2－b 2 2ac .因为b ＝3，c ＝1，所以a 2＝12，a ＝2 3. (2)由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋1－126＝－1 3 .因为0 第三章第6讲《正弦定理和余弦定理》学案 班别：姓名：座位号： 考纲要求： 1. 利用正弦定理、余弦定理进行边角转化，进而进行恒等变换解决问题 2. 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 要点梳理: 2.三角形面积公式： 1 1 1 S A ABC=2ah=2absin C = 2acsin B= _ 思考：在厶ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.判断一下结论是否正确，说明理由 ⑴ a:b:c sin A:sin B:sinC a —L b + c ⑵sin A+sin B+sin C= 2R (R为三角形的外接圆半径) (3) a>b ? sin A>sin B ? A>B ； (4) sin A=sin B ? A=B?三角形为等腰三角形 (5) sin 2A= sin 2B? A = B?三角形为等腰三角形； 题组一：直接用正、余弦定理解三角形及求面积 1. （知两角和一边）在厶ABC中，A=30 °，B=45°, a 2求b 2. （知两边和一边对角）在厶ABC中，求B （1） b 10,c 5.6,C 60o （2） a 10,b 20, A 60o （3） a 2 3,b 6, A 30o 3. （知三边）在厶ABC中，a 3,b 3,c 3.3，求C 4. （知两边和夹角）在厶ABC中，b 3,c .、3,A 30°，求a 5. （求面积）在厶ABC 中，a 5,b 7,C 120°，求S ABC 6. （综合应用）（2011天津高考题改编）在厶ABC中，D为边AC上的一点，满足 BD=1, AB=AD= sinC 《解三角形》 一、 正弦定理：sin sin sin a b c A B C ===2R 推论：(1) ::sin :sin :sin a b c A B C = (2) a=2RsinA b=2RsinB c=2RsinC (3) sin =,sin =,sin = 222a b c A B C R R R 1. 在△中，若，则= 2. 在△中，a =b=6, A=300 ,则B= 3. 【2013山东文】在中，若满足，，，则 4.【2010山东高考填空15题】在△ABC 中a ，b=2，sinB+cosB ，则A=？ 5.【2017全国文11】△ABC 中，sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c ，则C =？ 6. 在△ABC 中, C =90o , 角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c.则 a b c +的取值范围是？ 二、余弦定理：222222 2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ?=+-?=+-??=+-? 推论 222 222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ?+-=?? +-?=???+-= ?? 1. 在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，求cos C 的值 2. 在△ABC 中，若则A= 3. 【2012上海高考】在中，若，则的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定 4.【2016山东文科】ABC △中角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ，,b c = 22 2(1sin )a b A =-, 则A =? （A ）3π4 （B ）π3 （C ）π4 （D ）π6 正弦定理与余弦定理的综合应用 (本课时对应学生用书第页 ) 自主学习回归教材 1.(必修5P16练习1改编)在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C=7∶8∶13，则cos C=. 【答案】-1 2 【解析】由正弦定理知a∶b∶c=7∶8∶13，再由余弦定理得cos C= 222 78-13 278 + ??=- 1 2. 2.(必修5P24复习题1改编)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a2-b23bc，sin C3B，则角A=. 【答案】π6 【解析】由sin C 3B得c3b，代入a2-b23得a2-b2=6b2，所以a2=7b2，a7b， 所以cos A= 222 - 2 b c a bc + = 3 ，所以角A= π 6. 3.(必修5P20练习3改编)如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°方向、距塔68 n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度 为n mile/h. (第3题) 【答案】 176 4.(必修5P26本章测试7改编)设△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a sin A+c sin C2sin C=b sin B，则角B=. 【答案】45° 【解析】由正弦定理得a2+c22ac=b2，再由余弦定理得b2=a2+c2-2ac cos B，故cos B=2 ， 因此B=45°. 5.(必修5P19例4改编)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，则角B的取值围为. 【答案】 π0 3?? ???， 《正弦定理和余弦定理》典型例题透析 类型一：正弦定理的应用： 例1．已知在ABC ?中，10c =，45A =，30C =，解三角形. 思路点拨:先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出边a ，然后用三角形内角和求出角B ，最后用正弦定理求出边b . 解析：sin sin a c A C =， ∴sin 10sin 45102sin sin 30c A a C ?= == ∴ 180()105B A C =-+=， 又sin sin b c B C =， ∴sin 10sin1056220sin 75205652sin sin 304c B b C ?= ===?= 总结升华： 1. 正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题； 2. 数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式. 举一反三： 【变式1】在?ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9a cm =，解三角形。 【答案】根据三角形内角和定理，0180()=-+C A B 000180(32.081.8)=-+066.2=； 根据正弦定理，0 sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ； 根据正弦定理，0 sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A 【变式2】在?ABC 中，已知075B =，0 60C =，5c =，求a 、A . 【答案】00000180()180(7560)45A B C =-+=-+=， 根据正弦定理5sin 45sin 60 o o a =，∴56a =【变式3】在?ABC 中，已知sin :sin :sin 1:2:3A B C =，求::a b c 【答案】根据正弦定理sin sin sin a b c A B C ==，得::sin :sin :sin 1:2:3a b c A B C ==. 例2．在3,60,1ABC b B c ?= ==中，，求：a 和A ，C ． 思路点拨: 先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出角C ，然后用三角形内角和求出角A ，最后用正弦定理求出边a . 高考风向 1.考查正弦定理、余弦定理的推导； 2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形； 3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查． 学习要领 1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用； 2.通 过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换，和三角函数性质相结合． 基础知识梳理 1． 正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可 以变形：(1)a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin _B ∶sin _C ；(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R 等形式，解决不同的三角形问题． 2． 余弦定理：a 2 ＝b 2 ＋c 2 －2bc cos_A ，b 2 ＝a 2 ＋c 2 －2ac cos_B ，c 2 ＝a 2 ＋b 2 －2ab cos_C ．余弦 定理可以变形：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab . 3． S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝1 2 (a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半 径)，并可由此计算R 、r . 4． 在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下： A 为锐角 A 为钝角或直角 图形 关系式 a ＝b sin A b sin A b 解的个数 一解 两解 一解 一解 [难点正本 疑点清源] 1．在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A >B ?a >b ?sin A >sin B ；tanA+tanB+tanC=tanA ·tanB ·tanC ；在锐角三角形中，cos A 正弦定理和余弦定理的应用举例 考点梳理 1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．2．实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫仰角，目标视线在水平视线下方的角叫俯角(如图①)． (2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏北60°等； (3)方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数． 【助学·微博】 解三角形应用题的一般步骤 (1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．侧重考查从实际问题中提炼数学问题的能力． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解． (4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等． 解三角形应用题常有以下两种情形 (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有 时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解． 考点自测 1．(2012·江苏金陵中学)已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则三角形的面积等于________． 解析 记三角形三边长为a －4，a ，a ＋4，则(a ＋4)2＝(a －4)2＋a 2－2a (a －4)cos 120°，解得a ＝10，故S ＝12×10×6×sin 120°＝15 3. 答案 15 3 2．若海上有A ，B ，C 三个小岛，测得A ，B 两岛相距10海里，∠BAC ＝60°，∠ABC ＝75°，则B ，C 间的距离是________海里． 解析 由正弦定理，知BC sin 60°＝AB sin (180°－60°－75°) .解得BC ＝56(海里)． 答案 5 6 3．(2013·日照调研)如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为________海里/时． 解析 由正弦定理，得MN ＝68sin 120°sin 45°＝346(海里)，船的航行速度为3464＝ 176 2(海里/时)． 答案 176 2 4．在△ABC 中，若23ab sin C ＝a 2＋b 2＋c 2，则△ABC 的形状是________． 解析 由23ab sin C ＝a 2＋b 2＋c 2，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C 相加，得a 2＋b 2＝ 2ab sin ? ????C ＋π6.又a 2＋b 2≥2ab ，所以 sin ? ????C ＋π6≥1，从而sin ? ????C ＋π6＝1，且a ＝b ，C ＝π3时等号成立，所以△ABC 是等边三角形． 答案 等边三角形 正弦定理 教学重点：正弦定理 教学难点：正弦定理的正确理解和熟练运用,边角转化。多解问题 1.正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等， 即 A a s i n = B b sin =C c sin 2. 三角形面积公式 在任意斜△ABC 当中S △ABC =A bc B ac C ab sin 2 1sin 2 1sin 2 1== 3.正弦定理的推论： A a sin = B b sin =C c sin =2R （R 为△ABC 外接圆半径） 4.正弦定理解三角形 1）已知两角和任意一边，求其它两边和一角； 2）已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。 3）已知a, b 和A, 用正弦定理求B 时的各种情况:（多解情况） ○ 1若A 为锐角时: ??? ?? ? ?≥<<=<)( b a ) ,( b a bsinA )( bsinA a sin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解A b a 已知边a,b 和∠A 有两个解 仅有一个解无解 CH=bsinA 2、ΔABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若sin A=，b=sin B，则a等于 ( D ) A．3B．C． D． 1. 在ABC ?中，若sin 2sin 2A B =，则ABC ?一定是( ) 3.在Rt △ABC 中，C= 2 π ，则B A sin sin 的最大值是_______________. [解析] ∵在Rt △ABC 中，C= 2 π ，∴sin sin sin sin( )2 A B A A π =-sin cos A A = 1sin 22A = ，∵0,2A π<<∴02,A π<<∴4A π=时，B A sin sin 取得最大值12 。 4. 若ABC ?中，10 10 3B cos ,21A tan == ，则角C 的大小是__________ 解析 11 tan ,cos ,sin tan 23A B O B B B π==<<∴=∴= tan tan 3tan tan()tan()1,tan tan 14 A B C A B A B O C C A B π ππ+∴=--=-+= =-<<∴=- 7.在△ABC 中，已知2a b c =+，2 sin sin sin A B C =，试判断△ABC 的形状。 解：由正弦定理 2sin sin sin a b c R A B C ===得：sin 2a A R =，sin 2b B R =， sin 2c C R = 。 所以由2sin sin sin A B C =可得：2()222a b c R R R =?，即：2 a bc =。 又已知2a b c =+，所以224()a b c =+，所以24()bc b c =+，即2()0b c -=， 因而b c =。故由2a b c =+得：22a b b b =+=，a b =。所以a b c ==，△ABC 为等边三角形。 ６．在ABC ?中， b A a B sin sin <是B A >成立的 ( C ) Ａ．必要不充分条件 Ｂ．充分不必要条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 1.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c =2，b =6，B =120°,则 a 等于 （ ） A.6 B.2 C.3 D.2 答案 D 3.下列判断中正确的是 （ ） 正弦定理与余弦定理 1．已知△ABC 中，a=4，ο 30,34==A b ，则B 等于（ ） A ．30° B．30° 或150° C．60° D．60°或120° 2．已知锐角△ABC 的面积为33，BC=4，CA=3，则角C 的大小为（ ） A ．75° B．60° C．45° D．30° 3．已知ABC ?中，c b a ,,分别是角C B A ,,所对的边，若0cos cos )2(=++C b B c a ，则角B 的大小为（ ） A ． 6 π B ． 3 π C ． 32π D ．6 5π 4．在?ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边.若 sin sin C A =2，ac a b 322=-，则B ∠=( ) A. 030 B. 060 C. 0120 D. 0150 5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．已知a=5，c=10，A=30°，则B 等于（ ） A ．105° B．60° C．15° D．105° 或 15° 6．已知ABC ?中，75 6,8,cos 96 BC AC C ===，则ABC ?的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．钝角三角形 7．在ABC ?中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2B C =，2cos 2cos b C c B a -=，则角A 的大小为（ ） A ． 2π B ．3π C ．4π D ．6 π 8．在△ABC 中，若sin 2 A ＋sin 2 B ＜sin 2 C ，则△ABC 的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定 9．在ABC ?中，sin :sin :sin 3:2:4A B C =，那么cos C =（ ） A. 14 B.23 C.23- D.14 - 10．在ABC ?中，a b c ，，分别为角A B C ，，所对边，若2cos a b C =，则此三角形一定是（ ） A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰或直角三角形 11．在△ABC 中，cos 2 =，则△ABC 为（ ）三角形． A ．正 B ．直角 C ．等腰直角 D ．等腰 12．在△ABC 中，A=60°，a=4，b=4 ，则B 等于（ ） A ．B=45°或135° B ．B=135° C ．B=45° D ．以上答案都不对 13．在ABC ?,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1 sin cos sin cos ,2 a B C c B A b += 且a b >,则B ∠=（ ） 第28讲 正弦定理与余弦定理 1．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则角A 等于(C) A ．60° B ．45° C ．120° D ．30° 因为cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12， 又因为0° 正弦定理 【基础知识点】 1. 三角形常用公式：A ＋B ＋C ＝π；S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝＝2 1ca sin B ； sin(A+B)=sinC, cos(A+B)=-cosC, sin(A+B)/2=cosC/2, cos(A+B)/2=sinC/2 2．三角形中的边角不等关系: A>B ?a>b,a+b>c,a-b 解三角形 1.内角和定理：在ABC ?中，A B C ++= π；sin()A B +=sin C ；cos()A B +=cos C -，cos 2A B +=sin 2C 2.面积公式: ①ABC S ?=21aha ＝21bhb ＝2 1chc （ha 、hb 、hc 分别表示a 、b 、c 上的高）； ②ABC S ?＝21absinC ＝21bcsinA ＝2 1acsinB ； ③ABC S ?＝2R 2sinAsinBsinC.（R 为外接圆半径） ④ABC S ?＝R abc 4； ⑤ABC S ?＝))()((c s b s a s s ---,?? ? ??++=)(21c b a s ； ⑥ABC S ?＝r ·s ,( r 为△ABC 内切圆的半径) 3.三角形中常见的不等式： ①B A B A sin sin ,>>则若(任意三角形) ②锐角三角形中，B A cos sin > 4．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等. 形式一：R C c B b A a 2sin sin sin === (解三角形的重要工具) 形式二：?? ???===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2 (边角转化的重要工具) 4.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.. 形式一：222 2cos a b c bc A =+- 2222cos b c a ca B =+- (解三角形的重要工具) 2222cos c a b ab C =+- 形式二：cos A =bc a c b 2222-+ ； cos B =ca b a c 2222-+ ； cosC=ab c b a 22 22-+ 考点1: 运用正、余弦定理求角或边 题型1.求三角形中的某些元素 例1.已知：A.B.C 是ABC ?的内角，c b a ,,分别是其对边长，向量()()1cos ,3--=A m π，??? ? ????? ??-=1,2cos A n π，n m ⊥. （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若,3 3cos ,2==B a 求b 的长. 高频考点一 利用正弦定理、余弦定理解三角形 例1、(1)在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝6，A ＝45°，则满足条件的三角形有( ) A ．1个 B ．2个 C ．0个 D ．无法确定 (2)在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ＝2∶1，c 2 ＝b 2 ＋2bc ，则三内角A ，B ，C 的度数依次是________． (3)(2015·广东)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝1 2 ， C ＝π6 ，则b ＝________. 答案 (1)B (2)45°，30°，105° (3)1 解析 (1)∵b sin A ＝6× 2 2 ＝3，∴b sin A 【变式探究】(1)已知在△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，B ＝45°，若三角形有两解，则x 的取值范围是( ) A ．x ＞2 B ．x ＜2 C ．2＜x ＜2 2 D ．2＜x ＜23 (2)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，则AB ＝________. 答案 (1)C (2)1 解析 (1)若三角形有两解，则必有a ＞b ，∴x ＞2， 又由sin A ＝a b sin B ＝x 2×2 2 ＜1， 可得x ＜22， ∴x 的取值范围是2＜x ＜2 2. (2)∵A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3， 设AB ＝x ，由余弦定理，得 BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A ， 化简得x 2 －2x ＋1＝0， ∴x ＝1，即AB ＝1. 高频考点二 和三角形面积有关的问题 例2、(2015·浙江)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知A ＝π 4 ， b 2－a 2＝12 c 2. (1)求tan C 的值； (2)若△ABC 的面积为3，求b 的值． 解 (1)由b 2－a 2 ＝12 c 2及正弦定理得 正弦定理和余弦定理知识点与题型归纳 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT- ●高考明方向 掌握正弦定理、余弦定理， 并能解决一些简单的三角形度量问题． ★备考知考情 1.利用正、余弦定理求三角形中的边、角问题是高考 考查的热点． 2.常与三角恒等变换、平面向量相结合出现在解答题 中，综合考查三角形中的边角关系、三角形形状的 判断等问题． 3.三种题型都有可能出现，属中低档题. 一、知识梳理《名师一号》P62 知识点一 正弦定理 (其中R 为△ABC 外接圆的半径) 变形1:2sin ,2sin ,2sin ,===a R A b R B c R C 变形2：sin ,sin ,sin ,222= ==a b c A B C R R R 变形3：∶∶∶∶sinA sinB sinC=a b c 注意：(补充) 关于边的齐次式或关于角的正弦的齐次式 均可利用正弦定理进行边角互化。 知识点二 余弦定理 222 222222222222222cos ,22cos ,2cos ,cos ,22cos .cos .2?+-=??=+-?+-??=+-?=??=+-???+-?=?? b c a A bc a b c bc A a c b b a c ac B B ac c a b ab C a b c C ab 注意：(补充) （1）关于边的二次式或关于角的余弦 均可考虑利用余弦定理进行边角互化。 （2）勾股定理是余弦定理的特例 （3）在?ABC 中，222090?? <+?<正弦定理、余弦定理复习学案
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