第1章量子力学基础-07
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第一章 量子力学基础
氧化锆晶体的X射线衍射图 (Debye-Scherrer图)
de Broglie还利用他的关系式为Bohr的轨道角动 量量子化条件
h mvr n 2
作了一个解释：由这一条件导出的
nh h S 2r n n mv p
表明圆轨道周长S是波长的整数倍，这正是在圆周上形 成稳定的驻波所需要的，如同琴弦上形成驻波的条件是 自由振动的弦长为半波长的整数倍一样. 尽管这种轨迹确定的轨道被不确定原理否定了， 但“定态与驻波相联系”的思想还是富有启发性的.
测物理量. 波函数应具有品优性 , 包括单值性、连续性 、平方可积性.
波函数的概率解释
例如, 坐标与相应的动量分量、方位角与动量矩等.
不确定原理可以用不同的方式来阐述, 最容易理解也 最常用的是电子的单缝衍射实验:
波是不确定性的表现
单 缝 衍 射
这个象征着科学 的标志, 迄今仍被有 些人认为是原子模型 的真实图像. 实际上, 它只是照耀过科学历 程的星光:
由于坐标与相应 的动量分量不可能同 时精确测定, 所以， 原子中的电子不可能 具有这种轨迹确切的 轨道.
(photoelectric effect), 后来导致了光的粒子学说. 1889年, 斯托列托夫提出获得光电流的电池方案(下图G为电 流表, V为电压表; C为阴极, A为阳极):
1898年，P.勒纳特确认放电粒子为电子, 并于1902年指出: 1.入射光线的频率低于一定值就不会放出光电子; 2.光电子的动能与光强度无关而与光的频率成正比; 3.光电流强度与光强成正比。
de Broglie波不仅对建立量子
力学和原子、分子结构理论有重要
意义，而且在技术上有重要应用.
使用de Broglie波的电子显微镜分辨率
第一章量子力学基础知识总结
第一章量子力学基础知识总结微观粒子的运动特征1.黑体辐射和能量量子化●黑体是一种能全部吸收照射到它上面的各种波长辐射的物体。
●黑体辐射的能量量子化公式:●普朗克常数(h=6.626×10-34 J·s)2.光电效应和光子学说●只有当照射光的频率超过某个最小频率（即临阈频率）时，金属才能发射光电子。
●不同金属的临阈频率不同。
●随着光强的增加，发射的电子数也增加，但不影响光电子的动能。
●增加光的频率，光电子的动能也随之增加●式中h为Planck常数，ν为光子的频率●m = h ／c2所以不同频率的光子有不同的质量。
●光子具有一定的动量(p)P = mc = h /c = h／λ●光的强度取决于单位体积内光子的数目，即光子密度。
Ek = h －W3.实物微粒的波力二项性● E = h v , p = h / λ●光（各种波长的电磁辐射）和微观实物粒子（静止质量不为0的电子、原子和分子等）都有波动性（波性）和微粒性（粒性）的两重性质，称为波粒二象性4.不确定度关系●具有波动性的粒子其位置偏差(△x )和动量偏差(△p )的积恒定.，有以下关系:量子力学基本假设1、波函数和微观粒子的状态●波函数ψ和微观粒子的状态●合格波函数的条件2、物理量和算符●算符：对某一函数进行运算,规定运算操作性质的符号。
如：sin，log等。
线性算符：Â( 1＋ 2)＝Â 1＋Â 2自轭算符：∫ 1*Â 1 d ＝∫ 1(Â 1 )*d 或∫ 1*Â 2 d ＝∫2(Â 1 )*d3、本征态、本征值和Schrödinger方程●A的本征方程Aψ= aψa 称为力学量算符 A 的本征值，ψ称为A的本征态或本征波函数，4、态叠加原理●若 1， 2… n为某一微观体系的可能状态，由它们线性组合所得的 也是该体系可能的状态。
5、Pauli(泡利)原理●在同一原子轨道或分子轨道上，至多只能容纳两个自旋相反的电子。
第一章量子力学基础知识.doc
第一章 量子力学基础知识1.1 微观粒子的运动特征基本内容一、微观子的能量量子化1. 黑体辐射黑体:是理想的吸收体和发射体.Plank 假设:黑体中原子或分子辐射能量时作简谐振动,它只能发射或吸收频率为ν,数值为ε=hν整数倍的电磁波,及频率为ν的振子发射的能量可以等于:0hν,1 hν,2 hν,3 hν,…..,n hν.由此可见，黑体辐射的频率为ν的能量，其数值是不连续的，只能为hν的倍数，称为能量量子化。
2. 光电效应和光子光电效应:是光照射在金属样品表面上,使金属发射出电子的现象。
金属中的电子从光获得足够的能量而逸出金属，称为光电子。
光电效应的实验结果:(1) 只有当照射光的频率超过某个最小频率ν时金属才能发射光电子，不同金属的ν值也不同。
(2) 随着光强的增加，发射的电子数也增加，但不影响光电子的动能。
(3) 增加光的频率，光电子的动能也随之增加。
光子学说的内容如下：(1) 光是一束光子流，每一种频率的光的能量都有一个最小单位称为光子，光子的能量与光子的频率成正比即：νεh =0(2) 光子不但有能量，还有质量（m ），但光子的静止质量为零。
按相对论质能联系定律，20mc =ε,光子的质量为:c h c m νε==2，所以不同频率的光子有不同的质量。
(3) 光子具有一定的动量(p) p=mc=c h ν=λh(4) 光子的强度取决于单位体积内光子的数目即光子密度:ττρτd dNN =∆∆=→∆0lim将频率为ν的光照射到金属上,当金属中的一个电子受到一个光子撞击时,产生光电效应,并把能量hν转移给电子。
电子吸收的能量，一部分用于克服金属对它的束缚力，其余部分则表现为光电子动能。
2021mv h E w h k +=+=νν 当νh <w 时,光子没有足够的能量,使电子逸出金属,不发生光电效应,当νh =w 时,这时的频率时产生光电效应的临阈频率0ν,当νh >w 时从金属中发射的电子具有一定的动能,它随ν的增加而增加,阈光强无关。
第1章 量子力学基础
2
A B ( Axi Ay j Azk) (Bxi By j Bzk) Ax Bx Ay By Az Bz
A A | A |2
| A | (Ax2 Ay2 Az2 )1/2
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2019/9/15
1.1 数学准备—矢量
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2019/9/15
1.1 数学准备—矢量
若矢量的每个分量都是某参数t的函数，即：
Ax Ax (t), Ay Ay (t), Az Az (t)
定义矢量对t的导数为：
dA i dAx j dAy k dAz dt dt dt dt
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另外, 和c 表示的是相同的状态。所以，对于
没有归一化的波函数, 乘上一个常数后, 它所描述的粒 子的状态并不改变。
若
（C为常数），
则
为归一化波函数，
表示相同的状态。
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2019/9/15
1.2 基本假设—假设1
（2） 状态函数的条件 连续性: Ψ在变数变化的全部区域内是连续的,且有连续
归一性: W (q,t) *(q,t) (q,t)d 1
几率密度: (q,t)=dW (q,t) / d *(q, t) (q, t)
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2019/9/15
1.2 基本假设—假设1
波函数可用来描述微观粒子的状态。但是波函数 所做出的种种预言, 只对在同一条件下大量的、同种 粒子的集合或者单个粒子的多次重复行为才有直接意 义; 而对个别粒子的一次行为, 一般来说只有间接的即 是几率性的意义。
A B ( Axi Ay j Azk) (Bxi By j Bzk) Ax Bx Ay By Az Bz
A A | A |2
| A | (Ax2 Ay2 Az2 )1/2
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1.1 数学准备—矢量
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1.1 数学准备—矢量
若矢量的每个分量都是某参数t的函数，即：
Ax Ax (t), Ay Ay (t), Az Az (t)
定义矢量对t的导数为：
dA i dAx j dAy k dAz dt dt dt dt
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另外, 和c 表示的是相同的状态。所以，对于
没有归一化的波函数, 乘上一个常数后, 它所描述的粒 子的状态并不改变。
若
（C为常数），
则
为归一化波函数，
表示相同的状态。
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1.2 基本假设—假设1
（2） 状态函数的条件 连续性: Ψ在变数变化的全部区域内是连续的,且有连续
归一性: W (q,t) *(q,t) (q,t)d 1
几率密度: (q,t)=dW (q,t) / d *(q, t) (q, t)
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1.2 基本假设—假设1
波函数可用来描述微观粒子的状态。但是波函数 所做出的种种预言, 只对在同一条件下大量的、同种 粒子的集合或者单个粒子的多次重复行为才有直接意 义; 而对个别粒子的一次行为, 一般来说只有间接的即 是几率性的意义。
第1章 量子力学基础知识
d 8 m E 2 2 dx h
2 2
8 m E 8 m E c1 cos( ) x c2 sin( ) x 2 2 h h
2 1 2 2 1 2
边界条件： x 0 , 0
2
x l , 2 0
8 m E 8 m E c1 cos( ) x c sin( ) x 2 h2 h2
1927年，美国, C. J. Davisson L. H. Germer 单晶 体电子衍射实验 G.P.Thomson 多晶金属箔电子衍射实验 质子、中子、氦原子、氢原子等粒子流也同样观 察到衍射现象，充分证实了实物微粒具有波动性， 而不限于电子。
22
氧化锆晶体的X射线衍射图
金晶体的电子衍射图
23
n h E 2 8m l
2
n 1,2,3,
nx ( x) c2 sin( ) l
nx ( x) c2 sin( ) l
nx c sin ( )dx 1 l 0
l 2 2 2
* d 1
nx 2 c sin ( ) 1 l 0
l 2 2 2
2 c2 l
25
波粒两相性是微观粒子运动 的本质特性，为微观世界的 普遍现象。
26
-1.1.4- 不确定关系(测不准原理)
x D A e O P
y
Q
A
O C
P psin
电子单缝衍射实验示意图
单 缝 衍 射
1.2 量子力学基本假设
量子力学是描述微观粒子运动规律 的科学。 电子和微观粒子不仅表现出粒性， 而且表现出波性，它不服从经典力 学的规律。
31
-1- 波函数和微观粒子的运动状态
01第一章量子力学基础
2
sin
n
x
a
(
x)
均所 值以
， 只 能 求 位 置 的 平
x
* ( x )x ( x )dx
0
2
0
x
sin
2
n
xdx
2
0
x
1
cos
2n
2
x dx
1
(
0
x
x
cos
2n
x )dx
1
[
x2 2
0
2n
0
xd
sin
2n
x]
1
[
2 2
2n
1
2n
( x sin 2
x
1 2n
cos 4
x) ]
E h
E E2 E1
h
h
实物粒子的波粒二象性
de Broglie关系式为: ν= E / h λ= h / p λ= h / mv
λ h/ 2mT
不确定原理
量子力学公设
公设1
微观体系的状态可用一个状态函数或波函 数Ψ（q, t）描述，Ψ（q, t）决定了体系的全部 可测物理量.
波函数应具有品优性: 单值性、 连续性、 平方可积性.
n=4
n=3 n=2 n=1
波函数
概率密度
1.3.2 三维无限深势阱中的粒子
1.3.2 三维无限深势阱中的粒子
能量本征方程为：
本 征 函 数 与 本 征 值
三维无限深正方体势阱中粒子的简并态
三维无限深正方体势阱中粒子的波函数
定理：
简并本征函数的任意线性组合仍是原算符的具有同样 本征值的本征函数.
第一章 量子力学基础
1.1.3 氢原子光谱与轨道角动量量子化
1913年, Bohr提出一个新模型: 原子中的电子在确定的分 立轨道上运行时并不辐射能量; 只有在分立轨道之间跃迁时才有 不连续的能量辐射; 分立轨道由“轨道角动量量子化”条件确定:
m、v、r分别是电子的质量、线速度和轨道半径，n是一系列正 整数. 由此解释了氢原子的不连续线状光谱. 1922年, Bohr获诺 贝尔物理学奖.
假设 1
微观体系的状态可用一个状态函数或波函数Ψ（x, y, z, t） 描述， Ψ（x, y, z, t）决定了体系的全部可测物理量. 波函数应具有品优性, 包括单值性、连续性、平方可积性.
z 定态波函数 不含时间的波函数ψ(x,y,z)称为定态波函数。 （定态：概率密 度与能量不随时间改变的状态） z 波函数的具体表示形式 用量子力学处理微观体系时，要设法求出波函数的具体表示形 式。而波函数的具体表达式是由解Schrödinger方程得到的。 例如氢原子的1s态的波函数为： ψ 1s =
n=5 n=4 n=3 n=2
n=1
1.1.3 氢原子光谱与轨道角动量量子化
Bohr模型对于单电子原子在多方面应用得很有成效，也 能解释原子的稳定性. 但它竟不能解释 He 原子的光谱，更不 必说较复杂的原子；也不能计算谱线强度。 量子化条件是对的，半径有问题，角动量是错的； 仍属于经典力学，只是认为附加了一些量子化条件——称 为旧量子论
E = hv
λ= h / p
1.1.4 实物微粒的波粒二象性
1927年，戴维逊、革末用电子束单晶衍射法，G.P.汤姆逊用 多晶透射法证实了物质波的存在. 1929年, de Broglie获诺贝尔物 理学奖；1937年，戴维逊、革末、G.P.汤姆逊也获得诺贝尔奖.
第一章量子力学基础
m
h
c2
h
c
光子的质量与光的频率或波长有关，但光子没有静止质 量，因为根据相对论原理：
m
m0
1 (v / c)2
2020/3/17
13
④光子有动量P
P mc mc2 h h c c
⑤光子与电子碰撞时服从能量守恒和动量守恒。
h
W
Ek
h 0
1 m 2
2
——光电方程或爱因斯坦关系式
③光电效应产生的电子
ν
的初动能随光的频率增 大而增加而与光的强度
无关。
④入射光照射到金属表 面立即有电子逸出，二 者几乎无时间差。
11
根据光波的经典图象，光波的能量与它的强度 （振幅的平方）成正比，而与频率无关。因此 只要有足够的强度，任何频率的光都能产生光 电效应，而电子的动能将随着光强的增加而增 加，与光的频率无关，这些经典物理学家的推 测与实验事实不符。
5
E( v,T)10-9J.m-2
5 4 3 2 1
0
max
2000K
1500k
1000K
1
2
3
v/1014s-1
①随着温度（T）的增加， 总辐射能量E（即曲线下的面积） 急剧增加。
E T 4 ( 5.67 108W gm2 gK 4 )
——斯芯蕃公式
②随着温度（T）的增加，E的 极大值向高频移动；曲线的峰值 对应于辐射最强的频率，相应的 波长ma随x 温度升高而发生位移。
1
R° H
1 n12
1 n22
R°为H 里德堡常数， R°=H 1.09677576×107m-1
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Acos2(xt)Acos2(xpEt)
hh
Acos2h(xpx Et)Acos 1(xpx Et)
1-7
23
22.03.2022
（2）德布罗波波长的估算
动量为p的自由粒子，当它的运动速度比光速小得多时（c）
ET+V1mv2 eV 2
h h h p mv 2meV
6.626 1034
2 9.111031 1.602 1019 V
频率ν0 时，才有光电子产生。 ● 随着光的强度增大，发射的电子数目
增多，但不影响光电子的动能。
● 增大频率，光电子动能随之增大。 22.03.2022
Einstein光子学说（1905）
1 光是一束光子流，每种频率的光的能量都有其 最小单位
即 ε=h v
光子静止质量为零，运动质量为m。
Einstein
第1章 量子力学基础
1
22.03.202
1.1 量子力学的实验基础
经典物理学
Maxwell 电磁理论
Newton力学
Gibbs-Boltzman 统计力学
开尔文
物理学的大厦已经完 成，今后物理学家的 任务只是把实验做得
更精确些。
2014年 厦 门 市 中 考满 分作文 ：时光 的海岸 线 当 夕 阳 消 逝在 地平线 ，一丝 微 光 是 时 光 的尾巴 ，那迷 人的海 岸线， 恰似你 迷人的 双眼…… 晨 曦 ， 你 的笑 容 太 阳缓缓 升起， 海岸那 端，天 水相接 ，波光 粼粼， 阳光倾 洒在蓝 色的海 面， 金 黄 的 沙 滩 ，晨曦 的足迹 。 我 牵 着 外 婆， 一蹦一 跳地在 沙滩上 行走， 身后拉 长 的 背 影 ， 累了， 依偎在 外婆怀 里，看 着远处 海岸上 闪闪发 光的我 ，我问 外婆： “ 那 是 什 么 ？那个 我怎么 会发光 ？”“ 那是太 阳的长 发哦！ 和它一 样亮。 ”外婆 微 笑 着 向 我 解释， 扬起嘴 角，浅 浅的酒 窝。我 伸出小 手，摸 着外婆 的脸说 ：“外 婆 的 脸 在 发 光！” 阳光照 在那张 脸上， 酒窝是 一道道 弯曲的 线，像 那海岸 线，带 着 无 尽 的 温 柔…… 午 后 ， 你 的发跟 梢 缕 缕 银 丝 透过 树梢， 带着阳 光的气 息 ， 钻 进 我 和外婆 的怀抱 ，暖暖 的。 芒 果 树 下， 芒果淡 淡的清 香弥漫 ，那是 我 的 最 爱 。 外婆讲 着精灵 的故事 ，芒果 里的小 精灵。 我入迷 地听着 ，阳光 下你的 银 发 闪 闪 发 光，抚 摸着你 的发梢 ，拿起 梳子为 你整理 缕缕发 丝，像 梳理时 光留下 的 痕 迹 ， “ 外婆老 了！” 她轻声 地叹息 ，时光 总是那 么快， 一个人 在时光 的海岸 边 ， 带 走 那 些青春 。海岸 线上的 太阳， 牵挂着 两端的 思念。 夕 阳 ， 你 的泪光
黑体是指能全部吸收各种波长入 射光线辐射的物体。
微孔空心金属球代替黑体
5
22.03.2022
实验得出: 平衡时辐射能量密度按波长分布的曲线，只与黑体 的绝对温度有关，而与空腔的形状及物质无关。
E
T=1500K T=1000K
6
E： 黑体辐射的能量
Ed ：频率在 到d 范围内、
单位时间、单位表面 积上辐射的能量
30
22.03.2022
以多晶粉末电子衍射花纹图案为例说明： 在点（x,y,z）附近的微体积元内，电子密度为： d N
d
波的强度 2
电子密度与实物波的强度成正比，即： 2
几率密度与实物波的强度成正比
微体积内发现电子的几率为：
dPk2d '2d 2d
dPk2'22 d
1-9
31
22.03.2022
Bohr “玻尔”模型
19
22.03.2022
Bohr原子模型（1913）
原子存在具有确定能量的状态 —— 定态（能量 （1）最低的叫基态，其它叫激发态），定态不辐射。
（2） 定态（E2）→定态（E1）跃迁辐射
1 h
E 2
E1
（3） 电子轨道角动量
Mn
h
2
Bohr
Bohr 模型可以很好地说明H原子光谱为线状光谱的事实。 但它不能推广到多电子原子也不能解释光谱精细结构。
hWEKh01 2mv2
1-2
式中W 是电子逸出金属所需要的最小能量（逸出功；EK 是电子的动能。
13
22.03.2022
hWEKh01 2mv2 1-2
上式解释了光电效应实验的全部结果：
当hv＜W 时，光子无足够能量使电子逸出，不发生光电效
应； 当hv=W 时，这时的频率为产生光电效应的临阈频率(v0) ；
射能量的最小单位为 0=hν。0 被称为能
量子。
谐振子的辐射能量 E只能是 0 的整倍，即
E = n0 = nhv n=0,1,2…
v是谐振子的频率， h=6.626×10-34J·s , 称为普朗克常数， n 称为量子数。
22.03.2022
Planck解释
Planck公式
E
2h3
c2
h
(e kT
2 根据质能关系系ε=mc2
m =ε/c2 = hv/c2
3 光子具有一定的动量p。
p=mc=hv/c=h/λ
4 光的强度取决于单位体积内光子的数目，即光子的密度
12
22.03.2022
光电效应的解释
将频率为v的光照射到金属上，当产生光电效应时，光子 消失，将能量传给电子。电子吸收的能量部分用于克服金 属对它的束缚力（逸出功），部分转化为电子的动能。
当hv＞W 时，逸出电子的动能随v的增加而增加，与光强
无关。但光的强度的增加可增大光束中单 位体积内的光子数，因此增加发射电子的 数目。
14
22.03.2022
光的波粒二象性 光的本质认识历史:
以Newton为代表的微粒说（1680年）
以Huggens为代表的波动说（1690年）
Maxwell在十九世纪证明光是一种电磁波
粒子性标志： P
光强
波动性标志：
光强 2
所以有
=k2 或 =2
光具有波粒二象性，即在一些场合光的行为象粒子， 在另一些场合光的行为象波。粒子在空间定域，波不 能定域。光子模型得到的光能是量子化的。
17
22.03.2022
1.1.3 氢原子的线状光谱与玻尔（Bohr）原子结构理论 原子光谱
Born
29
22.03.2022
电子的波性是和粒子的统计行为联系在一起的。对大量粒子 而言，衍射强度（即波的强度）大的地方，粒子出现的数目就多， 衍射强度小的地方，粒子出现的数目就小。对一个粒子而言，通 过晶体到达底片的位置不能准确预测。若将相同速度的粒子，在 相同的条件下重复做多次相同的实验，一定会在衍射强度大的地 方，粒子出现的机会多，在衍射强度小的地方，粒子出现的机会 少。
大小相当于分子大小的数量级，说明原子和分子中电子运动 的波效应是重要的。但与宏观体系的线度相比，波效应是微 小的。
25
22.03.2022
（3）De Brogile 波的实验证实
当V=102～104V时，从理论上已估算出电子德布罗依波 长为1.2～0.12Å，与x光相近（0.1～100 Å），用普通的光 学光栅是无法检验出其波动性的。
Einstein在二十世纪初提出光具有波粒二象性（1905）
15
22.03.2022
光具有波动和微粒的双重性质，就称为光的波粒二象性。 标志光的粒子性的能量和动量，和标志波动性的光的频率和 波长之间，遵循爱因斯坦关系式
相互作用
粒 子
h
1-3
波
传播过程
ph/
1-4
16
22.03.2022
光的波与粒子性的统一还表现在
在光学上，比起波动的研究方法，是否忽略了粒子的研 De Brogile
究方法；在实物微粒上，是否发生了相反的错误？是不
是把粒子的图象想得太多而过于忽略了波的图象？
21
22.03.2022
De Broglie提出实物微粒也具有波性，以此作为克服 旧量子论的缺点，探求微观粒子运动的根本途径，这种实 物微粒所具有的波就称为物质波或德布罗依波。
1.226 109 (m) 12.26 A
V
V
1-8
对电子等实物粒子，其德布罗依波长具有Å数量级。
24
22.03.2022
例 求以1.0×106m·s-1的速度运动的电子的de Broglie波波长。
λ= h
mv
=（6.6×10-34J·s）/(9.1×10-31kg×1.0×106m·s-1) = 7×10-10m = 7Å
22.03.2022
经典物理学方法解释
Wien公式
E (,T ) c 1 3ex c2 p /T ()
只适用于短波部分
Rayleigh-Jeans公式
E(,T)
82
c3
kT
只适用于长波部分，引出了“紫外灾难”的争论
7
22.03.2022
Planck 8
Planck解释（1900）
黑体由带电的谐振子组成，谐振子 吸收或发射辐射的能量是不连续的，辐
戴维逊实验——单晶镍 （C.J.Davtsson）
汤姆逊实验——金-钒多晶 （G.P.Thomson）
26
22.03.2022
戴维逊单晶电子衍射实验
电子在单晶金上的衍射
对Dovissn和Germer单晶电子衍射实验，由布拉格
（Bragg）方程
2dhklsinhkl n
和 12.26
V
可分别计算出衍射电子的波长λ。两种方法的计算结果非常吻
“外婆，